中考数学中的折叠问题26088

DE中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。

几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。

处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。

所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。

即对应角相等，对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。

这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ，''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11()18022BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°，故选B 。

例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、'D 。

已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ）A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。

根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。

例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1tan 2BOC ∠=，则点'A 的坐标为 。

分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。

图1D CF(甲)(乙)例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同．．的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。

如图乙和图甲是相同的操作）。

例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。

将纸片折叠后，使顶点A 与边CD 上的点E 重合。

(1) 如果折痕FG 分别与AD 、AB 交于点F 、G （如图1），AF=23，求DE 的长；(2) 如果折痕FG 分别与CD 、AB 交于点F 、G （如图2），△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长。

分析与解答：（1）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，AF=23，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=23。

∴DF=AD-AF=13 ，在Rt △DEF 中,由勾股定理得 22213333DE ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（2）设AE 与FG 的交点为O ，根据轴对称的性质，得AO=EO ， 取AD 的中点M ，连接MO ，则MO=12DE ，图2D FE CMN OMO ∥DC 。

设DE x =，则 12MO x =，在矩形ABCD 中， ∠C=∠D=90° ∴AE 为△AED 的外接圆的直径， O 为圆心。

延长MO 交BC 于 点N ，则ON ∥CD ，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形。

∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=122x - ∵ △AED 的外接圆与BC 相切，∴ ON 是△AED 的外接圆的半径。

∴ OE=ON=122x -，AE=2ON=4-x 。

在Rt △AED 中，222AD DE AE += ∴2221(4)x x +=- 解这个方程，得158x =。

∴158DE =，1172216OE x =-=。

根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴ ∠FOE=∠D=90°。

又 ∵∠FEO=∠AED ，∴△FEO ∽△AED ，∴FO OE AD DE =， ∴OE FO AD DE =⨯ 可得1730FO =又AB ∥CD ， ∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ∴△FEO ≌△GAO ∴FO=GO ∴17215FG FO ==， ∴折痕FG 的长是1715。

中考实战一:一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（ ） A ．4 B ．3C ．4D ．82.（江西省）如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于E ，若∠DBC ＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．304.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（）A．60°B．67.5°C．72°D．75°5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2B．36 cm2C．38 cm2D．40 cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD 于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG°．8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C 重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.（１）求证：△PBE∽△QAB；（２）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；（３）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？17.（临安市）如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．中考实战二: 一、选择题1.（山东日照4分）在平面直角坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是A、（0，34）B、（0，43） C、（0，3）D、（0，4）2.（天津3分）如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF 的大小为（）(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°3.（重庆４分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是( )A、1B、2C、3D、44.（浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是A、3B、4C、22+D、225.（浙江省3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S △BCE：S△BDE等于( )A. 2：5B.14:25C.16:25D. 4:216.（吉林省3分）如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形，将纸片展开，得到的图形是7.（江苏海南3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是 ( )A、①②都对B、①②都错C、①对②错D、①错②对8.（山东菏泽3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）A、6B、3C、23D、39．（山东济宁3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（）A. 22cmB.20cmC. 18cmD.15cm10.（山东泰安3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A、23B、33C、3D、611.（广东广州3分）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线A BCD FECD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A 、B 、C 、D 、12．（河北省3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 （ ）A 、B 、2C 、3D 、413.（四川宜宾3分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在 点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为 （ ）A.3B.4C.5D.614.（四川泸州2分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C′，折痕为BE ，则EC 的长度是（ ） A 、53 B 、535- C 、1053-D 、553+15.（四川内江3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为 （ ）A 、412()55-， B 、213()55-， C 、113()25-， D 、312()55-，（第10题）PNFEDCABM16.（甘肃天水4分）如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CF 的长为（ ）A 、6B 、4C 、2D 、117.（云南昭通3分）如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF ，若∠EFC′＝1250，那么∠ABE 的度数为（ ） A ．150B ．200C ．250D ．30018.（福建三明4分）如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB 2=3CM 2；④△PMN 是等边三角形．正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个19.（福建莆田4分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE 的值为 （ ） A ．43 B ．35 C ．34 D ．4520.（黑龙江省绥化3分）如图，在Rt△ABC 中，AB=CB ，B O⊥AC，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连接DE 、EF ．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上；④BD=BF；⑤S 四边形DFOE =S △AOF ，上述结论中正确的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个21.（湖南岳阳3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③DE EFAB AF=；④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是A、①②B、②③C、①④D、③④二、填空题1．（重庆潼南4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是cm．2.（浙江绍兴5分）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为3.（浙江台州5分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CGE＝．4.（广西贺州3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是_ ．5.（广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于_ cm2．6.（湖北荆州4分）如图，双曲线xy 2(x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ， ∠ABC＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折 后得△AB′C，B′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .7.（湖南衡阳3分）如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为 ．8.（湖南怀化3分）如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A'B'C'关于直线l 对称，则∠B=9.（江苏南通3分）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在 BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1 重合，则AC ＝ cm ．10.（山东滨州4分）将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形．若∠CED′＝56°，则∠AED 的大小是 ．11.（内蒙古包头3分）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将矩形纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置，若B （1，2），则点D 的横坐标是 ．12.（内蒙赤峰3分）如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为 ． 13.（四川广元5分）如图，M 为矩形纸片ABCD 的边AD 的中点，将 纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠A 1MD 1 ＝40º，则∠BMC 的度数为 ．14.（四川绵阳4分）如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于 cm．16.（贵州安顺4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．17.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为kyx．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是；（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是．18.（重庆江津4分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．三、解答题1.（贵州遵义10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F 两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG 的长．2.（黑龙江大庆7分）如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A 1处，折痕交边AD于点E．(1)求∠DA1E的大小；(2)求△A1BE的面积．3.（广东省7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（1）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．4.（广东深圳8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长.5. （四川南充8分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE，点F 落在AD 上． （1）求证：△ABE∽△DFE（2）若sin∠DFE=13，求tan∠EBC 的值。