2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁u A）∪（∁u B）等于（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}2．直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是（）A．K AB=1 B．K AB=﹣1 C．D．K AB不存在3．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④6．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（）A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=08．设点P是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8上的点，若点P到直线l：x+y﹣4=0的距离为，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C． D．10．已知函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（e﹣1，1）B．（0，e﹣1）∪（1，+∞）C．（e﹣1，e）D．（0，1）∪（e，+∞）11．函数f（x）=2sin|x﹣|的部分图象是（）A．B．C．D．12．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知直线4x﹣ay+3=0和直线2x+y﹣1=0平行，则a=．14．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）16．如图在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为△ABC的外心，则=，=．三、解答题（本大题共6道小题，满分70分）17．若函数f（x）=sin（2x+φ）+1（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心坐标为．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．19．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．20．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．（Ⅰ）证明平面PDC⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y ﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁u A）∪（∁u B）等于（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U，以及A与B，找出A与B的补集，求出补集的并集即可．【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴∁u A={4}，∁u B={0，1}，则（∁u A）∪（∁u B）={0，1，4}．故选C2．直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是（）A．K AB=1 B．K AB=﹣1 C．D．K AB不存在【考点】I3：直线的斜率．【分析】直接利用斜率公式求出直线的斜率即可．【解答】解：直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是：K AB= =1．故选A．3．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；故选C．6．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．7．圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（）A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线3x﹣4y+5=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程，整理后即可得到正确的选项．【解答】解：∵圆心（2，﹣1）到直线3x﹣4y+5=0的距离d==3，∴所求圆的半径r=3，则所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=9，即x2+y2﹣4x+2y﹣4=0．故选B8．设点P是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8上的点，若点P到直线l：x+y﹣4=0的距离为，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线的距离为，结合圆的半径为，数形结合得答案．【解答】解：⊙C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心坐标为（1，1），半径为．圆心C（1，1）到直线l：x+y﹣4=0的距离d=．如图：则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上．故选：C．9．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．10．已知函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（e﹣1，1）B．（0，e﹣1）∪（1，+∞）C．（e﹣1，e）D．（0，1）∪（e，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】当lnx＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，所以f（lnx）＞f（1）等价于lnx＜1；当lnx＜0时，﹣lnx＞0，结合函数f（x）是定义在R 上的偶函数，得f（lnx）＞f（1）等价于f（﹣lnx）＞f（1）．x=1时，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．由此能求出x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上是减函数，f（lnx）＞f（1），∴当lnx＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，所以f（lnx）＞f（1）等价于lnx＜1，解得1＜x＜e；当lnx＜0时，﹣lnx＞0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（lnx）＞f（1）等价于f（﹣lnx）＞f（1），由函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，得到﹣lnx＜1，即lnx＞﹣1，解得e﹣1＜x＜1．当x=1时，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．综上所述，e﹣1＜x＜e．∴x的取值范围是：（e﹣1，e）．故选C．11．函数f（x）=2sin|x﹣|的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；35：函数的图象与图象变化．【分析】根据正弦函数的图象和函数的对称性质可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=2sin|x﹣|的图象关于x=对称，从而可排除A，B，D故选C．12．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】3L：函数奇偶性的性质；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合以及两个函数图象的交点个数，求得，由此求得a的范围．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（﹣x）=（）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1．分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=log a（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和y=log a（x+2）图象有3个交点，故有，求得＜a＜2，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知直线4x﹣ay+3=0和直线2x+y﹣1=0平行，则a=﹣2．【考点】I7：两条直线平行的判定．【分析】由两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，即，由此解得a 的值．【解答】解：∵直线4x﹣ay+3=0和直线2x+y﹣1=0平行，∴，解得a=﹣2，故答案为﹣2．14．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为0或4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】由已知得圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==，由此利用点到直线的距离公式能求出实数a的值．【解答】解：∵直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，∴圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==，∴，解得a=0或a=4，故答案为：0或4．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④16．如图在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为△ABC的外心，则= 2，=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设外接圆半径为R，则═，故可求；根据，将向量的数量积转化为：=，故可求．【解答】解：设外接圆半径为R，则═==2 同理═=所以=故答案为：2，﹣．三、解答题（本大题共6道小题，满分70分）17．若函数f（x）=sin（2x+φ）+1（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心坐标为．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的对称性．【分析】（Ⅰ）由函数的对称中心可得2×+φ=kπ，k∈Z，结合φ的范围即可求得φ值；（Ⅱ）直接利用复合函数的单调性求函数y=f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin（2x+φ）+1（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心坐标为，得2×+φ=kπ，k∈Z，∴φ=﹣+kπ，k∈Z，又∵﹣π＜φ＜0，∴k=0时，得φ=﹣；（Ⅱ）f（x）=sin（2x﹣）+1，由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间为[+kπ， +kπ]，k∈Z．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，【分析】即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．19．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】（1）直线l不经过第二象限，得到，解得即可；（2）当x=0时，y=a﹣2，y=0时，x=，根据三角形的面积公式得到|（a﹣2）•|=2，解得即可．【解答】解：（1）直线l的方程（a+1）x+y+2﹣a=0化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵直线l不经过第二象限，∴，解得a≤﹣1．∴实数a的取值范围是a≤﹣1，（2）当x=0时，y=a﹣2，y=0时，x=，∴|（a﹣2）•|=2，解得a=0或a=8．20．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）由奇函数得f（0）=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），得到不等式组，解出即可．【解答】（1）解：函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）=0，即有b=0，且f（）=，则，解得，a=1，则函数f（x）的解析式：f（x）=（﹣1＜x＜1）；（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）==，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．（Ⅰ）证明平面PDC⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥CD，AD⊥PD，推出AD⊥平面PDC，然后证明平面PCD ⊥平面ABCD．（Ⅱ）在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，说明∠PBE 为直线PB与平面ABCD所成的角，通过在Rt△PEB中，求解sin∠PBE=，推出结果．【解答】（Ⅰ）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分；（Ⅱ）解：在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，由于平面PCD⊥平面ABCD，而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角…8分在△PDC中，由于PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．，在Rt△PEC中，PE=PDsin60°=3，DE=12，PD=1，且BE===，故在Rt△PEB中，PB==，sin∠PBE==．所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为．…12分．22．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J1：圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程．（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…。