高三文科数学第二轮复习资料《函数与导数》专题

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高考数学二轮复习专题02：函数与导数

A . f（a）＞f（b）
B . f(a)<f(b)
C . f(a)＝f(b)
D . f(a)f(b)>0
4. （2分） (2019高二上·浙江期中) 已知，且，，是函数的两个相邻的零点，且，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）
A . 3a﹣1
B . 1﹣3a
C . 3﹣a﹣1
D . 1﹣3﹣a
6. （2分）已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·沈阳期中) 已知函数f（x）满足：当f（x）= ，则f（2+log23）=（）
29-2、答案：略
29-3、答案：略
29-4、答案：略
30-1、
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共17题；共34分)
1. （2分） (2016高一上·厦门期中) 已知函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（）
A . 当a=0时，f（x）没有零点
B . 当a＜0时，f（x）有零点x0 ，且x0∈（2，+∞）
A .
B .
C .
D .
17. （2分）（）
A . 0
B . π
C . －π
D . 2π
二、填空题 (共7题；共8分)

(word完整版)高中文科数学复习-函数与导数知识点,推荐文档

一函数与导数一．函数定义——知识点归纳1函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f3映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一二．函数解析式——知识点归纳1函数的三种表示法（1）解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系2求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解（1）已知3311()f x x xx +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x解：（1）∵3331111()()3()f x x x x xx x x+=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-（3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+，∴2a =，7b =，∴()27f x x =+（4）12()()3f x f x x+= ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法三．定义域和值域——知识点归纳1求函数解析式的题型有：同上2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出3求函数值域的各种方法函数的值域可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=四．单调性——知识点归纳1函数单调性的定义：2 证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号②用导数证明：若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，)x A ∈（ ⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数 3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法4复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； ②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集5一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,,b ba a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增；在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或，上是单调递减五．奇偶性——知识点归纳1函数的奇偶性的定义；2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=4若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =5判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；6牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 8设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) +f(x)=0；2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5若存在常数T ，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x 恒成立，则称T 为函数f(x)的周期，（5）函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期六．反函数——知识点归纳1反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x fy -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域七．二次函数——知识点归纳1二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 4422，2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()(（顶点式）3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f4 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根一、关于二次函数 6.韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121①两个正根，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，则需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆021x x ⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞U八．指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0） 2分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ 3 )10(≠>=a a a y x且的图象和性质a>1 0<a<1图象1oyx1oy x性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R 上是增函数（4）在R 上是减函数4指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔=5重要公式： 01log =a ，1log =a a 对数恒等式N aNa =log6对数的运算法则如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N=- log log n m a a mM M n =7对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)8两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mnb a na m log log =（ a, b > 0且均不为1） 9对数函数的性质：a>1 0<a<1图象1oyx1oyx性质定义域：（0，+∞）值域：R 过点（1，0），即当1=x 时，0=y)1,0(∈x 时 0<y),1(+∞∈x 时 0>y)1,0(∈x 时 0>y),1(+∞∈x 时0<y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数10同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1) a f(x)=b ⇔f(x)=log a b, log a f(x)=b ⇔f(x)=a b ; （定义法）(2) a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)>0（转化法）(3) a f(x)=b g(x)⇔f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法)(4) l og a f(x)=log b g(x)⇔log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法)九．函数图象变换——知识点归纳1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到① y=f(x)h 左移→y=f(x+h); ② y=f(x) h右移→y=f(x -h); ③y=f(x) h 上移→y=f(x)+h; ④y=f(x) h下移→y=f(x)-h5对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；（3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y fx -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x)ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x)xy =→直线y=f -1(x); ⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)6翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到y=f(x)cb aoyxy=|f(x)|cb aoyxy=f(|x|)cb aoyx7伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到 ①y=f(x)ω⨯→x y=f(ωx);② y=f(x)ω⨯→y y=ωf(x)十．导数知识点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x y ，故x y x ∆∆→∆0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos x x --= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：x x 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。

高三二轮复习函数与导数

第三课时函数与导数的应用1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．02.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D.34．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )>bf (b )B ．af (a )<bf (b )C ．af (b )<bf (a )D ．af (b )>bf (a )5：放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln2太贝克C ．150ln2太贝克D ．150太贝克6．曲线y ＝2x 4上的点到直线y ＝－x －1的距离的最小值为_____5162___．7:已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，2'()()0(0)xf x f x x x->>，则不等式x 2f (x )>0的解集是 (－1,0)∪(1，＋∞) ．8:已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞）由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(.综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分（Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x xf ln )2(4)(2-+-= 所以xa x x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2m in 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<；令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ，解得221a -221ax +<<. ①若221a +≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242m in -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增，所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322aa a a +-+--=.③若221a +≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2m in综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24m in -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(m in a a a a x f +-+--=；当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2m in9．已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -= 故)(x f 在),0(+∞单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-=由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．解：（I ）11()0ex f x e x x-'=-==，得1x e =当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：x1(0,)e 1e1(,)e +∞()f x ' ＋ 0 － ()f x 单调递增极大值单调递减 ∴当1x e =时，()f x 取得极大值1()2f e=-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-，再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分．。

高中总复习二轮文科数学精品课件专题2 函数与导数 2.3 一、导数与函数的单调性、极值、最值

e
1

− +
1
2
=
(1-)(e + 2 )
,
e 2
e22

(1-) e 4
e 2
e2
a=- 4 时,g'(x)=
构造函数
1
x- (x>0),

e
h(x)= 2 (x>0),则
.
e (-2)
h'(x)= 3 ,
当0<x<2时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
,且
4
时,f'(x)>0;
时,f'(x)<0;
3- 9-8
0<
4
<
3+ 9-8
.
4
当 x∈
3+ 9−8
, +∞
4
所以 f(x)在区间
在区间
3− 9−8
0,
4
3- 9-8 3+ 9-8
,
4
4
综上所述,当
当
时,f'(x)>0.
和
3+ 9−8
4
,பைடு நூலகம்+∞ 上单调递增,
3- 9-8
3+ 9-8
在的情况,从而求解.
2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个
是最大值,最小的一个是最小值.
2 + -1
对点训练2(2022广西南宁一模)已知函数f(x)= e

新数学二轮总复习专题二函数与导数2.2热点小专题一函数的零点及函数的应用学案含解析

2.2热点小专题一、函数的零点及函数的应用必备知识精要梳理1.零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)〈0，那么函数y=f（x)在区间[a，b］内有零点，即存在c∈(a,b），使得f(c）=0,此时这个c就是方程f（x)=0的根.2。

函数F（x)=f(x）—g(x）的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x）的图象交点的横坐标。

3。

判断函数零点个数的方法：（1)利用零点存在性定理判断法；(2）代数法:求方程f(x）=0的实数根；（3）几何法：对于不易求根的方程,将它与函数y=f（x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.关键能力学案突破热点一判断函数零点所在的区间【例1】（1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g （x)=e x+f’（x)的零点所在的大致区间是（)A.(-1，0） B。

（0,1) C。

(1，2）D。

（2,3)（2)（2020湖北恩施高中月考,理11）已知单调函数f（x）的定义域为（0,+∞），对于定义域内任意x，f([f（x)—log2x]）=3，则函数g(x)=f（x)+x—7的零点所在的区间为（)A.（1，2）B.（2，3)C.(3，4) D。

（4，5）解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断。

首先看函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f（a)·f（b）<0.若有，则函数y=f(x)在区间（a，b)内必有零点.【对点训练1】设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x)对任意的x∈（0,+∞），都有f[f（x)-ln x]=e+1，若x0是方程f（x)-f’（x)=e的一个解，则x0可能存在的区间是(）A。

（0，1） B.(e—1,1）C。

高中总复习二轮数学精品课件专题一函数与导数素养提升微专题(二) 导数应用中的函数构造技巧

(1)对于 f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=exf(x).
()
(2)对于 f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)= e .
(3)对于 f'(x)+2f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=e2xf(x).
()
(4)对于 f'(x)-2f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)= 2 .
,因为函数
e2
f(x)满足 f'(x)-
2f(x)>0,所以 F'(x)>0,即 F(x)在 R 上单调递增.
又因为 f(0)=1,则 F(0)=1,所以 f(x)>e ⇔
2x
不等式的解集为{x|x>0}.
()
>1⇔F(x)>F(0),所以
2
e
x>0,故所求
名师点析利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧
f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以 F'(x)>0,即函数
由于
f
π
6
f
π
6
π
0<
6
<
π
4
π
π
cos6<f 4
<
π
3

3
3
<
π
3
<
π
π
cos4<f 3
π
F(x)在区间(0,2)
π
4
<F
π
cos3,因此可得
π
6
π
,所以

高三数学二轮复习专题讲解14 函数与导数

高三数学二轮复习专题讲解第14讲易错点-函数与导数专题综述函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果专题探究探究1:函数性质掌握不牢致错函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有： (1)若[]12,,x x a b ∀∈,12x x ≠,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔>-()f x ⇔在[],a b 上是增函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2) 若12x x ≠,且()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数.奇偶性的相关结论有：(1)()f x 是偶函数⇔()()()()()()0f x f x f x f x f x f x =-⇔=⇔--=； (2)()f x 是奇函数⇔()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=； (3)若函数()f x 在0x =处有意义,则()00f =；(4)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+. 利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：(1)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =；若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =.(2)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数.(2022江苏联考)已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x R ∀∈有()() 4.f x f x +-=当(0,2]x ∈时，() 2.f x x =+则下列说法正确的是(). ()f x 的最小正周期是8 . ()f x 的最大值为5 . (2022)0f = . (2)f x +为偶函数【规范解析】解：.A 因为(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，所以()f x 关于直线2x =-对称；即有()(4)f x f x =--，()(4)f x f x -=-，又()()4f xf x +-=，所以(4)(4)4f x f x --++=，即()(4)4f x f x ++=，所以()4(f x f x =-+，又()4f x f x=--，()(4)(4)f x f x f x -=+=-，所以()(8)f x f x =+，所以()f x 的周期8T =，故正确； .由知(2022)(20228)f f =-(202288)(6)(2)4(2)440f f f f =--===-=-=-=，故正确； .由知()(4)f x f x -=+所以(2)(2)f x f x +=-+，则(2)f x +为偶函数，故正确； .当(0,2]x ∈时，()2f x x =+，结合以上知函数图象大致为则()f x 的最大值为4，故错误.故答案选：.ACD(2022福建联考)已知定义在上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时()f x x =，则()A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数C. (2023)1f =-D. 当[3,4)x ∈时，()f x =探究2:函数图象识别时不细致致错函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.(2022福建联考)函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟的图象大致为()A. B. C. D.【规范解析】解：函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟，满足3113()cos()cos ()3113x xx x f x x x f x -----=-==-++，()f x ∴为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，排除，.B 当x π=时，13()013f πππ-=<+，排除.C 故选.D (2022福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟相对应的图象是()A. B. C.D.探究3:比较大小时没有选对方法致错在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是0,1,1-，有时也可借助13,2,22等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.(2022江苏联考)如果01a <<，那么下列不等式中正确的是()A. 1132(1)(1)a a ->- B. (1)log (1)0a a -+>C. 32(1)(1)a a ->+D. 1(1)1a a +->【规范解析】解：由题意 01a <<，所以()()10,1a -∈，()()11,2a +∈，得()1xy a =-为R 上的减函数，又1123>，所以()()113211a a ->-，10(1)(1=)1a a a +-<-而(1)log a y x -=单调递减，(1)(1)log (1)log 1=0a a a --+<， 32(1)1(1)a a -<<+，故选：.A(2022安徽省池州市单元测试)已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若ln3(4)a f =，(2)eb f -=，1(ln)(c f π=其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>探究4:混淆两类切线致错求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.(2022山东模拟)已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 【规范解析】解：设y kx =与x y e =和ln y x m =+的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln )x x m +，x y e =的导数xy e '=，1x e k ∴=，且11x k x e=，解得11x =，k e ∴=；ln y x m =+的导数1y x'=，21k e x ∴==，21x e ∴=，又22ln kx x m =+，11ln 2.m e e e∴=⨯-=故答案为；2.(2022河南信阳月考)若曲线2y x =与ln()y x a =-有一条斜率为2的公切线，则()a =A. 1ln 22- B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 2探究5:混淆导数与单调性的关系致错研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.(2022福建省福州市期中)已知函数()ln nx f x x mx xe =+-(1)当0n =时，讨论函数()f x 在区间(0,3)的单调性【规范解析】解：(1)当0n =时，函数()ln (03)f x x mx x x =+-<<，1(1)1()1m x f x m x x-+'=+-=当1m …时，(0,3)x ∈，()0f x '>，()f x ∴在(0,3)上单调递增，当1m <时，令1()0,1f x x m'==-， ①当131m <-时，即23m <时，由()0f x '>得：101x m <<-，由()0f x '<得：131x m<<-， ∴当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m-上单调递减. ②当131m-…时，即213m <…时，由03,()0x f x <<'>得03x <<，∴当213m <…时，函数()f x 在(0,3)上单调递增，综上所述：当23m …时，函数()f x 在(0,3)上单调递增；当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m -上单调递减.(2022河北联考)已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；探究6:混淆导数与极值的关系致错对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,且0()0f x '=,即0()0f x '=是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．(2022河北省张家口市期中)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是()A. 函数()f x 只有一个极值点B. 函数()f x 满足(4)(1)f f -<-，且在4x =-处取得极小值C. 函数()f x 在2x =处取得极大值D. 函数()f x 在(),4-∞-内单调递减【规范解析】解：由导函数的图象可得，当2x <时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞，只有当2x =时函数取得极大值，无极小值. 故选：.AC(2022湖南联考)已知函数()(3)2.x f x x e x -=++(1)证明：()f x 恰有两个极值点;探究7:函数零点与方程的根不会转化致错确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.(2022河北期中)已知函数,()e ,x xx a f x x x a⎧⎪=⎨⎪<⎩…，若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足123()()()f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________.【规范解析】解：由题意可知，对于()xx f x e=，则1().x xf x e -'=当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1(1)f e =，如图，分别画出函数x xy e =和y x =在上的图象，用一条平行于x 轴的直线y m =截图象，有3个交点时，即存在1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x m ===，当(1,)a ∈+∞或(,0]a ∈-∞时，最多有2个交点，所以不成立;当(0,1)a ∈时，存在3个交点，所以a 的取值范围是(0,1). 故答案为：(0,1)(2022福建月考)函数()ln (),0()(2),(0)x x f x x x x ⎧-<=⎨-⎩…，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________.专题升华函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！【答案详解】变式训练1【答案】.ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知，函数()f x 的图象关于轴对称，故()f x 为偶函数.选项正确;由(4)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，()f x ∴是周期8T =的偶函数，(2023)(25381)(1)(1) 1.f f f f ∴=⨯-=-==选项正确，选项错误;设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1],x x -∈--∈()f x 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4.f x f x -=--又(4)()f x f x +=-，()(4)f x f x ∴=--=选项正确.故选：.ABD变式训练2【答案】【解析】因为()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟，所以()()1sin f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除、选项；又0x π<<时，()10f =，令6x π=，则6sin 0666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除选项.故选：.D变式训练3【答案】【解析】根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1(l n )(l n )c f f ππ==，ln31444ln ln 120e e π->=>>=>>，又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：.A变式训练4【答案】【解析】由2y x =得2y x '=，令22y x '==，解得1x =，由点斜式得切线方程：12(1)y x -=-，即21y x =-，由l n ()y x a =-，得1y x a '=-，令12y x a '==-，解得12x a =+，代入ln()y x a =-得：ln 2y =-，将1(,ln 2)2a +-代入21y x =-，得：11ln 22()1ln 222a a -=+-⇒=-，故选：.A变式训练5【解析】(1)由题知()cos 1(0)af x x x x'=-+>，若0a >，因为0x >，1cos 0x -…，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而11 / 11 ()2cos 1(1cos )0f x x x '<--+=-+…，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意，综上分析，a的取值范围是(0,).+∞变式训练6【解析】(1)证明：依题意()f x 的定义域为，()(2)2x f x x e -'=-++，令()(2)2x m x x e -=-++，()(1).x m x x e -'=+当(1,)x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0m x '<，所以()f x '在(),1-∞-单调递减．又因为(1)20f e '-=-<，(0)0f '=，(2)20f '-=>，所以()f x '在(),1-∞-恰有1个零点0x ，在()1,-+∞恰有1个零点0，且当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，当0(,0)x x ∈时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0.f x '>所以()f x 在0(,)x -∞单调递增，在0(,0)x 单调递减，在(0,)+∞单调递增．所以()f x 恰有一个极大值点0x 和一个极小值点0，即()f x 恰有两个极值点．变式训练7【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，结合图象可知，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不等的实数根，则关于的方程2210t at -+=在[0,1)有两个不等实数根，因为221y t at =-+的图象过点(0,1)，则280014210a a a ⎧∆=->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩，解得3.a <<故答案为：。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

高三数学第二轮专题复习(一)————函数与导数

2011届高三数学第二轮专题复习（二）————函数及其性质（1）一、知识要点回顾1、定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题是务必要“定义域优先”。

2、函数值域的求法：①配方法 ②换元法 ③分离常数法 ④单调性法 ⑤导数法 ⑥不等式法 ⑦函数的有界性法 ⑧数形结合法 ⑨判别式法3、函数的单调性：㈠判断方法有：定义法、导数法、图象法。

对于选择题和填空题，也可以用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数。

㈡复合函数的单调性由“同曾异减”判定。

㈢注意定义的两种等价形式：设[]1,2x x ∈a,b 那么① []1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在a,b 单调递增；[]1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在a,b 单调递减。

②[]1212()(()())0(0)(),x x f x f x f x a b --><⇔在上是增函数（减函数）。

4、函数的奇偶性：①一个函数具有奇偶性的前提条件是：这个函数的定义域必须关于原点对称。

②奇函数在关于原点对称的两个区间单调性____________；偶函数在关于原点对称的两个区间单调性____________。

③若奇函数()f x 且在0x =处有定义，则一定有(0)0f =；若函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =，利用这个性质，可以避免一些分类讨论。

例：若定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且1()23f =，则不等式18(log )2f x >的解集为________________________________5、函数图象的对称性：(1)若函数()y f x =满足()(),()(2)f a x f a x f x f a x +=-=-即，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称。

（2）若函数()f x 满足()(),f a x f b x +=-，则函数()f x 的图象关于直线2a b x +=对称。

高考总复习二轮数学精品课件专题1 函数与导数第2讲基本初等函数、函数的应用

3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).

(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log

(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg

高三数学二轮复习建议——专题五：函数与导数

曲线的切线、单调性、化与化归的思想和分类存在定理及利用性最值问题；考查转化、数调性最值问题；考查转化
极值问题；考查用导讨论的方法.
导数研究函数单形结合思想和分类讨论的方的思想、数形结合思想和
数求单调区间和极值
调性最值问题；法.
分类讨论的方法.
的常规方法.
考查转化的思想.
近五年全国Ⅰ卷考查情况分析
12—难 13—易 21—难
7—中 8—中 21—难
5—中 11—中难 21—难
总分值
22分
27分
22分
22分
22分
11.涉及分段函数及 3.考查函数奇偶性. 12.涉及函数不 7.涉及函数图象问 5.涉及函数单调性、
一次函数、二次函数、对 6.考查建立函数等式存在成立求参数题；考查利用导数判断奇偶性、函数不等式问
11.涉及三次函数形结合方法和运算题；考查不等式基本性题；考查指对互化和对
知识 16.涉及函数的对称数、函数零点；考查求解能力.
质及函数单调性比较大数运算能力；考查作差
性和利用导数求函数最值用导数解决函数单调 13.考查函数奇小的方法；考查作差或或作商法比较大小；考方法问题；考查化归思想和利性、极值、函数图像偶性和对数运算. 作商法比较大小；考查查分析问题、解决问题
文科理科
切线
2013 2014 2013 2014 2015
单调性与极值
恒成立求参数
范围
存在成立求参数范围
不等式证明
讨论零点个数
由零点个数求参数
范围
极值点偏移问
题
2013
2016 2017 2014 2015 2015 2016

2024届高考二轮复习文科数学课件：函数与导数

+
x= 对称;若 y=f(x)对∀x∈R 都有 f(a-x)=b-f(x),即 f(a-x)+f(x)=b,则 f(x)的图象
2

关于点( , )对称.
2 2
(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)和y=f(b+x)的图象
-
关于直线x=
2
对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)
4
4
y=t+ ,t∈(0,1].因为函数 y=t+ 在区间(0,1]上单调递减,所以当 t=1 时,y 取最小

值,且
4
ymin=1+ =5,该项不符合题意;C
1
4
y=t+ ≥2

×
项,y=2 +2 =2
x
2-x
x
4
+ ,设
2
t=2x,则 t>0,于是
4
=4,当且仅当 t=2,即 x=1 时等号成立,该项符合题意;D 项,因为
些特殊值,当一次取值不能达到目标时,可考虑多次取值、混合选
取,看能否达到目标.特殊值法可以让一般问题特殊化,抽象问题具
体化,从而减少计算量.
4.对函数与导数的高频考点问题——单调性、最值、范围、零点、
不等式证明等,通过开展微专题教学,以提升学生对利用导数研究
函数的图象与性质的认识.
备考
策略
5.加强函数问题的变式教学.对典型问题进行变式教学,是备考复
大”或“二小一大”;命题的难度分为易、中、难三个层次,小题
有时也会出难度较大的把关题,大题为难度较大的压轴题,大

高考数学二轮复习专题2 函数与导数教案文

高考数学二轮复习专题2 函数与导数教案文专题二函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ．当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或．故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =．当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<，因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠．（1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．解析：（1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >，此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--，设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=，令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（） A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2．定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为．5．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3．答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++，由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-．（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-，故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-，令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩，所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解，由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

2023年高考数学二轮复习讲练测专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类(原卷版)

专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类【命题规律】1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．【核心考点目录】核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型核心考点二：函数嵌套问题核心考点三：函数整数解问题核心考点四：唯一零点求值问题核心考点五：等高线问题核心考点六：分段函数零点问题核心考点七：函数对称问题核心考点八：零点嵌套问题核心考点九：函数零点问题之三变量问题核心考点十：倍值函数核心考点十一：函数不动点问题核心考点十二：函数的旋转问题核心考点十三：构造函数解不等式核心考点十四：导数中的距离问题核心考点十五：导数的同构思想核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法核心考点十七：三次函数问题核心考点十八：切线问题核心考点十九：任意存在性问题核心考点二十：双参数最值问题核心考点二十一：切线斜率与割线斜率核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题核心考点二十四：函数的伸缩变换问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．12．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________．8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【方法技巧与总结】1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．4、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5、动态二次函数中静态的值：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．6、动态二次函数零点个数和分布问题：通常转化为相应二次函数的图象与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：（1）对称轴变动，区间固定；（2）对称轴固定，区间变动；（3）对称轴变动，区间也变动．这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…具体来说，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞，其导函数为()()232 0f x ax bx c a '=++＞，根的判别式()243b ac ∆=-．增区间：(), x -∞，0∆≤恒成立，三次函数()f x 在R 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；（2）当0∆≥时，()0f x '=有两根1x ，2x ，不妨设12x x ＜，则1223b x x a+=-，可得三次函数()f x 在()1, x -∞，()2, x +∞上为增函数，在()12, x x 上为减函数，则1x ，2x 分别为三次函数()32f x ax bx cx d=+++的两个不相等的极值点，那么：① 若()()120f x f x ⋅＞，则()f x 有且只有1个零点； ② 若()()120f x f x ⋅＜，则()f x 有3个零点； ③ 若()()120f x f x ⋅=，则()f x 有2个零点．特别地，若三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞存在极值点0x ，且()00f x =，则()f x 地解析式为()()()20f x a x x x m =--．同理，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＜，其性质也可类比得到．9、由于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++≠的导函数()232f x ax bx c '=++为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点, 33bb faa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．14、两类零点问题的不同处理方法利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<．．①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明()()0f a f b ⋅<．②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明()()0f a f b ⋅<．15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 16、已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．【核心考点】核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型【典型例题】例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦例3．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数()22x xf x x x a e=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(0,1]e+B ．1(0,]e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+核心考点二：函数嵌套问题【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6例5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数()||12x f x e =-，()()11,021ln ,0x x g x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()0g f x m -=有四个不同的解，则实数m 的取值集合为（） A ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．()0,1例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函数()ln x f x x=，若关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2e,1e --B ．()1e,0-C ．(),1e -∞-D ．()1e,2e -核心考点三：函数整数解问题【典型例题】例7．（2023·福建宁德·高三）当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．2-B ．1-C ．0D ．1例8．（2023·江苏·苏州大学附属中学高三月考）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13B ．21C ．26D ．30例9．（2023·江苏宿迁·高一月考）用符号[x ]表示不超过x 的最大整数（称为x 的整数部分），如[﹣1.2]=﹣2，[0.2]=0，[1]=1，设函数f （x ）=（1﹣ln x ）（ln x ﹣ax ）有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，若[x 1]+[x 2]+[x 3]=6，则实数a 的取值范围是（） A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2ln 3,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 核心考点四：唯一零点求值问题【典型例题】例10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则a =（）A ．0B ．12-C ．1D ．2例11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．3例12．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1核心考点五：等高线问题【典型例题】例13．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数2()log 1f x x =-，若方程()f x a =(0)a >的4个不同实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，有以下三个结论：①142x x +=且232x x +=；②当1a =时，12111x x +=且34111x x +=；③21340x x x x +=．其中正确的结论个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3例14．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数2()(2)x f x x x e =-，若方程()f x a =有3个不同的实根()123123x x x x x x <<，，，则22ax -的取值范围为（） A ．10e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B．1e⎡-⎢⎣⎭C．()D．(例15．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数(){}2max ,32f x x x =-，其中{},max ,,p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩，若方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1423x x x x ++的取值范围是（）A ．93,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭B ．193,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭C ．39,210⎫⎛- ⎪⎝⎭D ．319,210⎫⎛- ⎪⎝⎭核心考点六：分段函数零点问题【典型例题】例16．（2023·山东青岛·高三期末）已知函数2|ln(1),1()(2),1x x f x x x ⎧+-=⎨+≤-⎩，若方程()0f x m -=有4个不相同的解，则实数m 的取值范围为（） A ．(0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．[0,1]例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log ,1()11,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()()g x f x kx =-，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是（） A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,ln 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42eln ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例18．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（）． A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．[1,0)-核心考点七：函数对称问题【典型例题】例19．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例20．（2023·全国·高一课时练习）若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[],P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看作同一个“友好点对”）．已知函数()22log ,04,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例21．（2023·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对核心考点八：零点嵌套问题【典型例题】例22．（2023·湖北武汉·高三月考）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a -例23．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数2()e e x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则3122312111e e ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A ．1B ．1-C ．aD ．a -例24．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1核心考点九：函数零点问题之三变量问题【典型例题】例25．（2023·全国·高三）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞，， C ．3(0]2e，D ．3[)2e+∞，例26．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数y ，使得ln 0ye xy x ay y--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是A ．2(,)4e -∞-B ．2(,0)4e -C ．2[,)4e -+∞D ．2(,)4e -+∞例27．（2023·四川省新津中学高三月考（理））若存在两个正实数,x y ，使得等式330yx x e ay -=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为A ．2[,)8e +∞B ．3(0,]27eC ．3[,)27e +∞D ．2(0,]8e核心考点十：倍值函数【典型例题】例28．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题）对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2xf x e x =+是k倍值函数，则实数k 的取值范围是（） A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．,e e 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭例29．（2023·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数.若()xf x e =是k 倍值函数，则k 的取值范围为（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,eC ．(),e +∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭例30．（2023·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则k 的取值范围为（） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭核心考点十一：函数不动点问题【典型例题】例31．（2023·广东海珠·高三期末）设函数()f x a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是（） A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]例32．（2023·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()1(xg x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭例33．（2023·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1ln 2=+-∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（） A ．1,122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦eB ．e 1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦核心考点十二：函数的旋转问题【典型例题】例34．（2023·上海市建平中学高三期末）双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题，其中真命题的个数为（） ①f （x ）是奇函数；②f （x ）的图象过点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭； ③f （x ）的值域是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；④函数y ＝f （x ）－x 有两个零点． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例35．（2023·山东青岛·高三开学考试）将函数2([3,3])y x =∈-的图象绕点(3,0)-逆时针旋转(0)ααθ≤≤，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（）A ．32B ．23C ．1D 例36．（2023·浙江·高三期末）将函数π2sin 0,22x y x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像绕着原点逆时针旋转角α得到曲线T ，当(]0,αθ∈时都能使T 成为某个函数的图像，则θ的最大值是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．2π3核心考点十三：构造函数解不等式【典型例题】例37．（2023·江西赣州·高三期中（文））已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1()2f x '>，则不等式||1(||)22x f x <+的解集为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞例38．（2023·全国·高二课时练习）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，例39．（2023·全国·高二课时练习）已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,核心考点十四：导数中的距离问题【典型例题】例40．（2023春•荔湾区期末）设函数22()()(22)f x x a lnx a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x 成立，则实数a 的值是( ) A ．15B ．25C ．12D ．1例41．（2023•龙岩模拟）若对任意的正实数t ，函数33()()()3f x x t x lnt ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,]2-∞B ．(-∞C ．(-∞D ．(-∞，2]例42．（2023•淮北一模）若存在实数x 使得关于x 的不等式2221()22x e a x ax a -+-+成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1{}2B ．1{}4C ．1[2，)+∞D ．1[4，)+∞核心考点十五：导数的同构思想【典型例题】例43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式ln ln(1)0x e mx x m ---+≥在(0,)+∞恒成立，则m 的取值范围是（） A ．(]1,1-B ．(]1,1e --C ．(]1,1e -D ．(]1,e例44．（2023·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数0m ＞，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 20mxxe m-≥恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞例45．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意()0,x ∈+∞，不等式ln 0ax ae x ->恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D ．(),e +∞核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法【典型例题】例46．（2023·浙江·高三月考）已知函数2()1x f x xe =-，不等式()ln f x mx x ≥+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．(2,e 1⎤-∞-⎦D ．20,1e ⎡⎤-⎣⎦例47．（2023·四川省资中县第二中学高二月考（理））关于x 的不等式()32ln 113x x a x xe x+++-≥对任意0x >恒成立，则a 的取值范围是（）． A ．(],1-∞-B ．(){},1e -∞⋃C ．[],1e --D ．(],0-∞例48．（2023·全国·高三专题练习）已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式2ln 0x a x a b -+-≥恒成立，则ab 的最大值为_______．核心考点十七：三次函数问题【典型例题】例49．（2023·全国·高三课时练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例50．（2023·安徽·东至县第二中学高三月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数()f x 都有对称中心，其对称中心为00(,())x f x （其中0''()0f x =）.已知函数32()345f x x x x =-++.若()4,()10f m f n ==，则m n +=（） A ．1B ．32C ．2D ．3例51．（2023·全国·高三月考（文））已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭核心考点十八：切线问题【典型例题】例52．（2023·云南红河·高三月考（理））下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（）①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠-时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠-时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例54．（2023·全国·高二单元测试）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A ．e b a C ．0e b a <<D ．0e a b <<核心考点十九：任意存在性问题【典型例题】例55．（2023·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式()()()221212log 1log 3,,13x xa x x ++-≥-∈-∞恒成立，则实数a 的范围是（） A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞.例56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()=++f x x px q 对,∀∈p q R ，总有0[1,5]∃∈x ，使()0f x m≥成立，则m 的范围是（） A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,2]-∞C ．(,3]-∞D ．(,4]-∞例57．（2023·全国·高二课时练习）已知()()1ln f x x x =+，若k ∈Z ，且()()2k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点二十：双参数最值问题【典型例题】例58．（2023·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知,a b ∈R ，且0ab ≠，对任意0x >均有()()(ln )0x a b x a x b ----≥，则（） A ．0,0a b <C ．0,0a b ><D ．0,0a b >>例59．（2023·山西运城·高三期中（理））已知在函数()()0,0f x ax b a b =+>>，()()ln 2g x x =+，若对2x ∀>-，()()f x g x ≥恒成立，则实数ba的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．[),e +∞例60．（2023·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当(1,)x ∈+∞时，不等式ln(1)230(x ax b a --+，b R ∈，0)a ≠恒成立，则ba 的最大值为（）A ．1eB ．2C ．43D ．2e核心考点二十一：切线斜率与割线斜率【典型例题】例61．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数2()ln (1)1h x a x a x =+-+(0)a < ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．⎛-∞ ⎝⎦C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎝⎭例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函数(),()f x g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x +=2x ax +，记2()()()g x h x xf x x =+，若对于任意的1212x x <<<，都有()()12120h x h x x x -<-，则实数a 的取值范围为（） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(0,2]例63．（2023·全国·高一课时练习）已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，若对任意的1x ，2x ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．[)1,8C ．()4,8D ．[)4,8核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）【典型例题】例64．设二次函数2()(2)32f x a x ax =-++在R 上有最大值，最大值为m （a ），当m （a ）取最小值时，(a =) A ．0B ．1C ．12D例65．（2023春•绍兴期末）已知函数2()||||f x x a x b =+++，[0x ∈，1]，设()f x 的最大值为M ，若M 的最小值为1时，则a 的值可以是( ) AB ．0 CD ．1例66．（2023•济南模拟）已知函数2()||2x f x ax b x -=--+，若对任意的实数a ，b ，总存在0[1x ∈-，2]，使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．(-∞，1]2C ．(-∞，2]3D ．(-∞，1]核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题【典型例题】例67．（2023春•湖州期末）若存在正实数x ，y 使得不等式22414lnx x lny ln y -++-成立，则(xy += ) ABCD 例68．（2023•上饶二模）已知实数x ，y 满足2(436)326x y ln x y e x y +-+--+-，则x y +的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-例69．（2023•崇明区期末）若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+对[1x ∈-，1]恒成立，则a b +的值等于() A ．23B ．56C ．1D ．2核心考点二十四：函数的伸缩变换问题【典型例题】例70．（2023·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．[]2,3 B ．[]1,3 C ．[]1,4D ．[]2,4例71．（2023·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例72．（2023届山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【新题速递】一、单选题1．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()2,01,011x x f x x x x ⎧≤⎪=-≤<⎨≥，若函数()()()22231g x m f x mf x =-+，存在5个零点，则m =（） A ．1B ．12C ．1或12D ．1-2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．53．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()11,041,0x xf x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若()()12f x f x =，则12x x -的最小值为（） A ．4B ．92C ．143D ．54．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（）． A ．114a b+≤B ．存在a ，b ，使得223a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线10ax by 与圆224x y +=相切5．（2023·全国·高三专题练习）已知()0,2A ，()(),00B t t <，动点C 在曲线T ：()2401y x x =≤≤上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-6．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P 为直线=1y x --上一动点，过点P 作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点记为A ，B ，则原点到直线AB 距离的最大值为（） A ．1BCD ．27．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（） A ．16B ．12C ．8D ．48．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1二、多选题9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()e xf x x =-，()lng x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()e xg 在()0,∞+上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()()122f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln t x x -的最大值为1e10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数32()e 3xf x ax =-有三个不同的极值点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则下列结论正确的是（）A ．2e 8a >B ．11x <-C ．2x 为函数()f x 的极大值点D ．()23e 3f x <11．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()3f x x ax b =++，其中a ，b 为实数，则下列条件能使函数()f x 仅有一个零点的是（） A ．3a =-，3b =-B ．3a =-，2b =C ．0a =，3b =-D ．1a =，2b =12．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意实数x ，都有2()e ()x f x f x -=，且满足22()()21e x f x f x x -'+=+-，则（）A ．函数()e ()x F x f x =为偶函数B ．(0)0f =C ．不等式e ()e e x xxf x +<的解集为(1,)+∞ D ．若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ，则122x x a +> 13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点P ，Q ，使得()f x 在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（） A ．sin cos y x x =+ B ．(sin c s )o y x = C ．sin y x x =+D ．2sin y x x =+14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 三、填空题15．（2023·河南郑州·高三阶段练习）正实数a ，b 满足1e 4a a +=+，()ln 3b b +=，则b a -的值为____________． 16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()234202312342023x x x x f x x =+-+-++，()234202312342023x x x x g x x =-+-+--，设()()()53F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[](a b a b <，，a ，)b Z ∈内，则b a -的最小值为__________．17．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）方程e 0x ax a -+=有唯一的实数解，实数a 的取值范围为__________．18．（2023春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数()()23e ,? 0e ,? 0x x xf x x a x ⎧->=⎨-≤⎩，若()()12f x f x =，且12x x -的最大值为4，则实数a 的值为_______．19．（2023·全国·高三专题练习）若存在0a >，0b >，满足(2e )ln (2e )ln a t b a b t b a a +-=-，其中e 为自然对数的底数，则实数t 的取值范围是___________．20．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若2224ln x ax a x ->，则a 的取值范围是______．。

高三第二轮知识点总结数学

高三第二轮知识点总结数学一、函数与导数1. 函数的概念函数是自变量与因变量之间的对应关系。

如果每个自变量对应唯一的因变量，并且每个因变量都由自变量确定，则称这种对应关系为函数。

2. 函数的性质（1）定义域：一个函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，是函数的合法输入值的范围。

（2）值域：一个函数的值域是指所有可能的因变量的取值，是函数的合法输出值的范围。

3. 导数的概念函数的导数，简称导数，是函数在某一点处的变化率。

导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，例如速度，加速度等。

如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，则称函数在该点可导。

如果函数在某一点处可导，那么导数就是这个点处函数的斜率。

4. 导数的计算导数的计算是通过极限的概念来定义的。

对于一个函数y=f(x)，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式来计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$5. 导数的性质（1）导数与函数的关系：如果函数f(x)在任意一点可导，则称f(x)是可导的。

（2）可导函数的性质：如果函数f(x)在某一点可导，则它在该点处必然连续。

6. 导数的应用导数在很多实际问题中都有着重要的应用，如切线与切线方程、极值与最优化问题、微分与微分方程等。

二、不等式1. 绝对值不等式（1）绝对值函数：$|x|$表示x的绝对值。

绝对值函数的性质有：a. $|x|\geq 0$；b. $|ab|=|a|\cdot |b|$；c. $|x-y|\leq |x|+|y|$。

（2）绝对值不等式：绝对值不等式是带有绝对值的不等式，解题时会对不等式的两边取绝对值，然后分类讨论。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是指一元二次函数的不等式，它的解法主要通过构造零点法，求不等式的根，或者使用图像法，构造抛物线的图像来求解。

3. 二元一次不等式二元一次不等式是指两个变量的一次不等式，通常使用图像法，分析直线在坐标轴上的位置以及不等式的解集。

高三数学二轮复习——第四讲主干考点函数与导数

第四讲主干考点函数与导数对于函数部分的备考，应先掌握基本概念和基本运算，牢记基本初等函数的图象与性质，重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法在解题中的应用，导数是高中数学知识的一个重要知识点，主要考查与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值、最值等常规问题求解的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明等．有关导数问题的求解过程又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，这些对培养考生的应用能力和创新意识都大有益处．【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、函数1．函数及其表示(1)概念：非空数集A f−−−−→对应关系非空数集B 的对应（B 中有唯一y 与A 中的x 对应）．(2)三要素：定义域A 、值域C (C B ⊆)、对应关系f ． (3)表示方法：解析法、图象法、列表法． ◆求函数定义域的主要依据 ①分式的分母不为零； ②偶次方根被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于l ；④由有限个基本初等函数运算合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数定义域的交集；⑤由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．【注意】对于复合函数[()]y f g x =的定义域，应遵循先内后外的原则，①若已知()f x 的定义域为[,]a b ，则[()]f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出，②若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]a b 上的值域．◆求函数值域的常用方法①直接法：利用常见函数的值域来求，如：y ax b =+(0a ≠)的定义域为R ，值域为R ．2()f x ax bx c =++(0a ≠)的定义域为R ，当0a >时，值域为24{|}3ac b y y a-≥；当0a <时，值域为24{|}3ac b y y a-≤； ②配方法：利用二次函数的特征来求值域，常化为2()f x ax bx c =++，(,)x m n ∈的形式；③换元法：利用化归思想通过变量代换转化为容易求值域的函数；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数的有界性来求值域； ⑤基本不等式法：转化成(0)ky x k x=+>的形式，利用基本不等式来求值域．不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；⑥单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性，进而求其最值和值域．要特别注意定义域对值域的制约作用；⑦数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围；⑧分离常数法：即将有理分式转化为“反比典例函数类”的形式，便于求值域． 2．函数的性质(1)单调性注意：先求出定义域，单调区间是定义域的子集． (2)判断方法：①定义法：设12,x x A ∈，且12x x <，作差12()()f x f x -，确定差值的符号．若为负，()f x ；若为正，()f x ．②导数法：若()f x 在区间(,)a b 内可导，则()0()()0()f x f x f x f x '⎧⇔⎨'⇔⎩≥≤．【提醒】复合函数[()]y f g x =的单调性遵循“同增异减”法则． ◆一些有用的结论①在公共定义域内：增+增=增；减+减=减；增−减=增；减−增=增． ②函数(0,0)by ax a b x=+>>在(,-∞，)+∞上单调递增；在[，上单调递减． ③单调函数的等价定义：12,x x A ∈，且12x x <，12121212()()()0[()()]()0f x f x f x f x f x x x x x -⇔>⇔-->-．12121212()()()0[()()]()0f x f x f x f x f x x x x x -⇔<⇔--<-．(2)奇偶性→对于先判定函数的定义域是否关于原点对称★ ①奇偶性定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()()f x f x -=-．图象特征：关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同．【注意】若()f x 的定义域中有0，则必有(0)0f =，但(0)0f =是()f x 为奇函数的必要不充分条件．②偶函数定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()()f x f x -=．图象特征：关于y 轴对称，且在对称区间上的单调性相反． ◆判定函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法N ()()Y f x f x -→→非奇非偶函数定义域关于确定确定定义域原点对称与的关系结论②图象法()()()f x f x y f x 关于原点对称为奇函数的图象关于轴对称为偶函数③性质法在公共定义域内：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．【提醒】判断分段函数的奇偶性，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象判断．(3)周期性周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现，注意从代数变换角度分析．抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形： ①若()()f x a f x b +=+()a b ≠，则()f x 的一个周期是||T a b =-． ②若()()f x a f x +=-，则()f x 的一个周期是2||T a =．③若1()()f x a f x +=或1()()f x a f x +=-，则()f x 的一个周期是2||T a =． (4)函数图象的对称性 ①一个函数图象的对称性a ．若()y f x =满足()()f a x f a x +=-，即()(2)f x f a x =-,则()f x 的图象关于直线x a =对称．b ．若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称． c ．若()y f x =满足()2(2)f x b f a x =--，则()f x 的图象关于点(,)a b 成中心对称．②两个函数图象的对称性a ．函数()y f a x =+与()y f a x =-的图象的对称轴为0x =，并非直线x a =．b ．函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象的对称轴为2b ax -=． c ．函数()y f x a b =-+与()y f a x b =--+的图象关于点(,)a b 对称． (5)图象变换 ①平移变换0||0||()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−→=-，右移个单位，左移个单位； 0||0||()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−→=+，右移个单位，左移个单位． ②对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称；()()y f x y f x =−−−−−→=-关于y 轴对称；()(2)x a y f x y f a x ==−−−−−→=-关于对称；()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称．③伸缩变换10111()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−→=，横坐标伸长到原来的倍，横坐标缩短到原来的倍； 011()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=，纵坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的倍． ④翻折变换 a ．左右翻折变换：()()(||)f x y y f x y f x =−−−−−−−−→=先画出在轴右侧的图象再将此部分图象关于y 轴翻折． b ．上下翻折变换：()()|()|f x x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=先画出的图象再将轴下方的图象关于轴翻折．二、函数的图象和性质 1．二次函数的图象和性质R 24[,)4ac b a-+∞24(,]4ac b a--∞bb2．指数函数、对数函数的图象和性质恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)3．幂函数ay x =的图象和性质(1)所有的幂函数在(0,)+∞上都有定义，且都过点(1,1)． (2)0a >时，图象通过原点，并且在[0,)+∞上是增函数，特别地，当1a >时，图象下凸；当01a <<时，图象上凸．(3)0a <时，图象在(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．4．对数的运算性质log log log aa a MM N N=-；log ()log log a a a MN M N =+； log log n a a M n M =；log a N a N =．（0a >且1a ≠，0M >，0N >）换底公式：log log log c a c bb a=（a ,c 均大于零且不等于1，0b >）．三、函数与方程 1．函数的零点方程()0f x =有实数根①⇔()y f x =的图象与x 轴有交点⇔()y f x =有零点②．【注】①有根，函数才有零点，②一个实数，即()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．函数()()()y F x f x g x ==-的零点问题⇔()y f x =与()y g x =的图象交点问题．2．二次函数2y ax bx c =++(0a >)的图象与零点的关系1(,0)x ，2(0)x1(,0)x无交点 213．判断函数零点的主要方法①零点定理法：根据连续函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<，判断函数在(,)a b 内存在零点．②数形结合法：函数()y f x =的零点是函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标，【注意】利用零点定理法求解时，①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．四、导数1．导数的几何意义(1)()y f x =在0x x =处的导数()f x '就是()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率，即0()k f x '=．(2)()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．【提醒】求曲线的切线时要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．导数的正负与函数单调性的关系(l)()0f x '>是()f x 为增函数的充分不必要条件，即()0f x '>⇒()f x 为增函数，反之不成立．如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上单调递增，但()0f x '≥．(2)()0f x '≥是()f x 为增函数的必要不充分条件，即()f x 在(,)a b 内单调递增⇒()0f x '≥，反之不成立．当函数在某个区间内恒有()0f x '=时，则()f x 为常数，不具有单调性． 3．导数的运算法则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±. ②[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+. ③[()]()Cf x Cf x ''=．④2()()()()()[]()()f x f x g x f x g x g x g x ''-'=(()0g x ≠)． ⑤21()[]()()g x g x g x ''=-(()0g x ≠)．复合函数求导：设()y f u =，()u x ϕ=，则x u x y y u '''=．4．导数的应用(1)利用导数研究函数单调性的思维导图(2)利用导数研究函数极值的思维导图(3)利用导数研究函数最值的思维导图 ①求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值求导数()f x '→求(,)a b 内所有使()0f x '=的根→求出根所对应的函数值与端点处的函数值→比较大小得结论． ②求()f x 在非闭区间上的最值求导数()f x '→判断()f x 的单调性→下结论【注意】(1)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(2)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 5．生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，利用导数解决生活中优化问题的基本思路为：五、定积分与微积分基本定理 1．定积分的性质(1)()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰(2)()()b b a a kf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数) (3)1212[()()]()()bb b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰2．微积分基本定理一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上是连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰．3．定积分在几何中的应用由曲线()y f x =与直线x a =，x b =()a b <和0y =所围成的曲边梯形的面积为S ．(1)当()0f x >时，()ba S f x dx =⎰．(2)当()0f x <时，()ba S f x dx =-⎰．(3)当[,]x a c ∈时，()0f x >；当[,]x c b ∈时，()0f x <，则()()cba c S f x dx f x dx =-⎰⎰．【注意】平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．【方法技巧突破】必考点1 有关函数图象问题的求解【典例1】(2019年全国Ⅰ卷)函数2sin ()cos x x f x x x +=+在[,]-ππ的图像大致为A BC D【解析】∵22sin()()sin ()()cos()()cos -+-+-==-=--+-+x x x x f x f x x x x x，∴()f x 为奇函数，排除A ；∵22sin ()0cos 1πππππππ+==>+-+f ，∴排除C ；∵sin11(1)cos11+=+f ，且sin1cos1>，(1)1>f ，∴排除B ．故选D ．【方法探究】利用特殊值和函数的奇偶性判断．【典例2】(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为【解题思路】由函数的奇偶性判断函数422y x x =-++的图象关于y 轴对称，然后利用导数判断函数的单调性即可确定该函数的图象．【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或2x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．【方法总结】判断高次函数图象题目，注意运用导数的极值点．【典例3】(2017全国卷Ⅰ)函数sin 21cos x y x=-的部分图像大致为【解析】由题意知，函数sin 21cos x y x =-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =-，因为22ππ<<，所以sin 20>，cos20<，故0y >，排除A ．故选C ．【思路点拨】破解此类由函数的解析式判断函数的图象问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点，排除不适合的选项，从而得出合适的选项．【典例4】(2016全国卷Ⅰ) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【解析】当0x ?时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=>，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D ．【思路点拨】破解已知函数的解析式判断函数的图象题时，不仅要会用特殊点法排除，而且要会利用导数法，判断图象的单调性或利用导数的几何意义去识别．【典例5】若函数log a y x =(0a >且1)a ≠的图象如图所示，则下列函数图象正确的是A ．B ．C ．D ．【解析】因为函数log a y x =的图象过点(3,1)，所以1log 3a =，解得3a =，所以函数3x y -=的图象不可能过点(1,3)，排除A ；函数33()y x x =-=-的图象不可能过点(1,1)，排除C ；函数3log ()y x =-的图象不可能过点(3,1)--，排除D ．故选B ．【方法探究】求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，求出参数的值；二是利用特殊点法或函数的单调性来判断函数图象．总之，有关函数图象的判断题常利用“特殊点”与“函数的性质”来求解．【典例6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ．将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π的图象大致为A．B．C．D．【解析】由题意知,()|cos|sinf x x x=⋅，当[0,]2xπ∈时,1()cos sin sin22f x x x x=⋅=；当(,]2xππ∈时，1()cos sin sin22f x x x x=-⋅=-，故选B．【典例7】已知函数1()ln(1)f xx x=+-，则()y f x=的图象大致为【解析】解法一（函数性质法）函数()f x满足10x+>，且ln(1)0x x+-≠，即1x>-且ln(1)0x x+-≠．设()ln(1)g x x x=+-，则1()11g xx'=-+．由于10x+>，显然当10x-<<时，()0g x'>，当0x>时，()0g x'<，所以函数()g x在0x=处取得极大值，也是最大值，故()(0)0g x g=≤，当且仅当0x=时，()0g x=，所以函数()f x的定义域是( 1.0)(0,)-+∞，且函数()g x在( 1.0)(0,)-+∞上的值域为(,0)-∞，故函数()f x的值域也是(,0)-∞，且在0x=附近函数值无限小，观察各选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求，解法二（特殊值检验法）当0x=时，函数无意义，排除选项D中的图象，当11xe=-时，11(1)011ln(11)(1)f eee e-==-<-+--，除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象．【方法探究】研究函数的图象要从研究函数的性质入手，即研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点等，通过函数的性质判断函数图象的大致形状，以选择题形式出现的函数图象问题，宜采用排除法，排除的依据主要是函数的定义域、单调性、奇偶性、函数图象的变换、特殊值等．必考点2 有关函数性质问题的求解【典例1】(2019年北京)设函数()-=+x x f x e ae (a 为常数)．若()f x 为奇函数，则a =___；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是______．【解析】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，x x x x eae e ae --+=--， ∴(1)(1)0x x a e a e -+++=，∴1a =-；∵()f x 单调递增， ∴2()0x x x x e a f x e ae e--'=-=≥，∴20x e a -≥，0a ≤，故a 的取值范围是(,0]-∞．【方法探究】利用奇偶性的定义和导数的运用．【典例2】(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ，故选C ．解法二由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ，所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ．【思路点拨】寻找特殊函数可以快速解决与函数性质有关的题目．【典例3】(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <时，()f x >0，所以()g x 在(0，+∞)上单调递增，且()g x >0．又22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.8(2)b g =，(3)c g =， 0.822222log 4log 5.1log 83<=<<=，所以b a c <<，选项C 符合．优解取()f x x =，则2()g x x =为偶函数且在(0，+∞)上单调递增，然后进行判断可知b a c <<，故选C ．【思路点拨】特值法在处理选择题时不仅简化了运算，还大大地提高了正确率，解题时要学会运用．【典例4】(2017全国卷Ⅰ)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称【解析】解法一由题易知，()ln ln(2)f x x x =+-的定义域为(0，2)， 2()ln[(2)]ln[(1)1]f x x x x =-=--+，由复合函数的单调性知，函数()ln ln(2)f x x x =+-在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又1113()lnln(2)ln 2224f =+-=，3333()ln ln(2)ln 2224f =+-=，所以133()()ln 224f f ==，所以排除D ，故选C ．解法二由题易知，()ln ln(2)f x x x =+-的定义域为(0，2)， 2(1)()(2)x f x x x -'=-，由()002f x x '>⎧⎨<<⎩，得01x <<；由()002f x x '<⎧⎨<<⎩，得12x <<，所以函数()ln ln(2)f x x x =+-在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又1113()lnln(2)ln 2224f =+-=，3333()ln ln(2)ln 2224f =+-=，所以133()()ln 224f f ==，所以排除D ，故选C ．【方法探究】破解此类问题需注意：一是定义域优先意识，有关函数的单调性、奇偶性的研究，需先考虑函数的定义域；二是判断复合函数的单调性，注意“同增异减”在解题中的应用；三是不要混淆函数中的中心对称与轴对称．【典例5】(1)(2019年全国Ⅲ)设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> (2)(2016天津)已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增．若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______．【解析】(1)根据函数()f x 为偶函数可知，3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=，因为2303230222log 4--<<<<，且函数()f x 在(0,)+∞单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>．故选C ．(2)由()f x 是偶函数可知，(,0)-∞单调递增；(0,)+∞单调递减，又|1|(2)(a f f ->，(f f =，可得，|1|2a -<1|1|2a -<，∴1322a <<．【典例6】函数()f x = A ．1(0,)2 B ．(2,)+∞ C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(0,][2,)2+∞ 【解析】22(log )10x ->，即2log 1x >或2log 1x <-，解得2x >或102x <<，故所求的定义域是1(0,)(2,)2+∞．选C ．【方法探究】已知函数的解析式求解函数定义域的具体步骤：①写出使函数式有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出定义域（即不等式（组）的解集）．如本题，按照此步骤即可轻松解题．常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子：分式、根式、对数式，本题中这三类式子都含有．【典例7】函数22()log (1)f x x =-的单调递减区间为．【解析】复合法：根据对数函数的单调性求解．由210x ->得1x >或1x <-，即函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞．令21t x =-，因为2log y t = 在(0,)+∞上为增函数，21t x =-在(,1)-∞-上是减函数，所以函数22()log (1)f x x =-的单调递减区间为(,1)-∞-．【方法探究】解答此类试题可采用复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数，如本题的求解．【答题提醒】1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题．2．函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接，【典例8】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数B ．|()|f x ()g x 是奇函数C ．()f x |()|g x 是奇函数D ．|()()|f x g x 是奇函数【解析】因()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()()f x g x 为奇函数，()f x |()|g x 为偶函数，|()|f x ()g x 为奇函数，|()()|f x g x 为偶函数，故选C ．【典例9】(1)偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= ．(2)已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是．【解析】(1)因为()f x 的图象关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==．(2)因为()f x 为偶函数，所以()()(||)f x f x f x -==，故不等式(1)0f x ->可化为(|1|)0f x ->．因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，所以|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<．所以x 的取值范围是(1,3)-．【方法探究】函数性质的综合应用主要包括求值与解不等式两个方面：①求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值，如本题的第(1)题；②解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解，如本题的第(2)题．【典例10】已知122a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【解析】122a -=(0,1)∈，21log 3b =(,0)∈-∞，121log 3c =2log 3=(1,)∈+∞，所以c a b >>．选C ．【方法探究】比较指数函数、对数函数、幂函数值的大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较，本题利用指数函数、对数函数的单调性及特殊点的函数值来解答．必考点3 函数零点问题的求解【典例1】(2019年浙江卷)已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩≥．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．1a <-，0b C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b > 【解析】由题意可得，当0x ≥时，3211()(1)32f x ax b x a x b =--=-+-．令()0f x ax b --=，则322111(1)[23(1)]326b x a x x x a =-+=-+．因为对任意的x ∈R ，()0f x ax b --=有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当0x ≥时，21[23(1)]6b x x a =-+必须有2个零点，所以3(1)02a +>，解得1a >-．所以0b <．故选C ．【方法探究】利用函数与方程的思想解决零点问题．【典例2】(2018天津)已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩≤若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是．【解析】当0x ≤时，由22x ax a ax ++=，得2a x ax =--；当0x >时，由222x ax a ax -+-=，得22a x ax =-+．令22,0(),0x ax x g x x ax x ⎧--=⎨-+>⎩≤，作出直线y a =，2y a =，函数()g x 的图象如图所示，()g x 的最大值为222424a a a -+=，由图象可知，若()f x ax =恰有2个互异的实数解，则224a a a <<，得48a <<．【方法探究】含参数的零点类题目，学会借助函数的图象直观的分析．【典例3】(2017全国卷Ⅲ)已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1 【解析】解法一由211()2()x x f x x x a ee --+=-++，得221(2)1(2)(2)2(2)()x x f x x x a e e ----+-=---++=2112()x x x x a e e --+-++，所以(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 图象的对称轴．由题意，()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121()0f a e e --+=-⨯++=，解得12a =．故选C ．解法二令()0f x =，则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ．【典例4】函数22,0()26ln ,0x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩≤的零点个数是．【解析】①当0x ≤时，令220x -=，解得x =②（函数单调性法）当0x >时，()26ln f x x x =-+，因为1()20f x x'=+>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞上单调递增，因为(1)26ln140f =-+=-<，(3)ln30f =>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞ 上有且只有一个零点．综上，函数()f x 的零点个数为2．（数形结合法）当0x >时，由()0f x =，得26ln x x -+=0，即ln 62x x =-．如图，分别作出函数ln y x =和62y x =-的图象，显然，由图可知两函数的图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当0x >时，()0f x =只有一个解，综上，函数()f x 共有2个零点．【方法探究】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数()f x 在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【技巧点拨】解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数单调性和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【典例5】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()|2|2f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是．【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]- 上有互不相同的10个零点，即函数()y f x =，[3,4]x ∈-与y a =的图象有10个不同交点，在同一平面直角坐标系中作出函数()f x 在一个周期内的图象如图，可知当102a <<时满足题意，【典例6】(2019年全国Ⅱ卷)已知函数1()n 1l x f x x x -+=-．(1)讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；(2)设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线．【解析】(1)()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞．因为212()0(1)f x x x '=+>-，所以()f x 在(0,1)，(1,)+∞单调递增．因为e 1()10e 1f e +=-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以()f x 在(1,)+∞有唯一零点1x ，即1()0f x =．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故()f x 在(0,1)有唯一零点11x ．综上，()f x 有且仅有两个零点．(2)因为0ln 01e x x -=，故点001(ln ,)B x x -在曲线x y e =上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，连接AB ，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线xy e =在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线xy e =的切线．【方法探究】用导数判断函数的单调性，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调性．【典例7】(2016全国卷Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．(1)求a 的取值范围； (2)设1x ，2x 是的两个零点，证明：122x x +<．【解析】(1)'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．(2)不妨设12x x <，由(1)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，又()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．【思路点拨】本题主要考查导数的应用，意在考查考生的运算求解能力以及逻辑思维能力．(1)由函数有两个零点，得关于a 的不等式求解；(2)构造函数证明不等式．【方法探究】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（如本题）必考点4 利用导数研究函数的性质问题【典例1】设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即12a -=，所以3a =．【误区警示】本题求导中涉及“复合求导”，若将题中函数换为ln(1)y ax x =-+，则容易忽视“复合求导”步骤而导致出错，【突破策略】解决函数切线的相关问题，要抓住两个关键点：其一，切点是交点，其二，在切点处的导数是切线的斜率，因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程（组）．【典例2】(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【解析】通解因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．【方法探究】利用函数的性质求出3()=+f x x x 是解题的关键，进而运用导数求出切线的斜率．【典例3】(2019年浙江卷)已知实数0a ≠，设函数()=ln f x a x 0x >．(1)当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)对任意21[,)ex ∈+∞均有()f x 求a 的取值范围．注：e=2．71828…为自然对数的底数．【解析】(1)当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=，所以，函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．(2)由1(1)2f a≤，得04a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥．令1t a=，则t ≥设()22ln ,g t t x t =≥，则2()2ln g t t x=--．(i)当1[,)7x ∈+∞()2ln g t g x =≥．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ===．故所以，()(1)0p x p =≥．因此，()2()0g t g p x =≥≥．。

高考数学二轮复习资料-专题02-函数与导数(学生版)

高考数学二轮精品复习资料专题二函数与导数（学生版）【考纲解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型.6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数(0xy a a =>且1)a ≠与对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠互为反函数.7.了解幂函数的概念;结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图象,了解它们的变化情况.8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题.【考点预测】1.对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查，渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.3.由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.4.函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有机结合体现了高考命题的趋势.5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵活,它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其含义并能准确进行知识的应用.6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.【要点梳理】1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等；解决实际应用题的一般步骤是：分析实际问题，找出自变量，写出解析式，确定定义域，计算.2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系.3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的高度重视.4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，应熟练掌握.函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点，应认真研究、熟练掌握.5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值，常与导数结合在一起考查，是高考的常考点.6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础，掌握其单调性、奇偶性，通过图象进行判断和应用,常与导数结合在一起考查.7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查，它主要结合导数的应用进行考查.8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查.9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一.10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性；（3）确定极值点；（4）求出极值.12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.【考点在线】考点一函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1．已知函数()1f x x=-的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（）（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅例2．(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（）A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2练习2: (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________例3．(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<练习3:（2011年高考全国卷文科10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=( ) A.-12 B.1 4- C.14 D.12考点三函数的图象函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例4．(2011年高考山东卷理科9文科10)函数2sin 2x y x =-的图象大致是( )练习4:（2010年高考山东卷文科11）函数22x y x =-的图像大致是( ) 了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例5．（2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（）(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15练习5:（2011年高考江西卷文科4)曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.eD.1e 考点五导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.例6．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．练习6: 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.考点六函数的应用建立函数模型，利用数学知识解决实际问题.例7. (2011年高考山东卷文科21)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .练习7:(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.考点七（理科）定积分例8. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 练习8: (2011年高考湖南卷理科6)由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为( )A.21 B. 1 C. 23 D. 3【易错专区】问题1：函数零点概念例1.函数2()712f x x x =-+的零点为 . 问题2：零点定理例2.已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围【考题回放】1. （2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( )A.1(,0)4 B.1(0,)4 C. 11(,)42 D.13(,)242.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是( )（A ）（a 1，b ） (B ) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 3.(2011年高考安徽卷文科10)函数()()n f x ax x 2=⋅1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 的值可能是( )（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. （2011年高考福建卷文科8)已知函数f （x ）=20,1, 0x x x x >⎧⎨+≤⎩，。

高考总复习二轮文科数学精品课件专题6 函数与导数培优拓展14 双变量问题的转化

(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围;
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数c的取值范围.
解令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],
k'(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.
-1
h(x)= e ,x∈(1,+∞),则
-1
a≥ e 在
x>1 时恒成立,
2-
h'(x)= e ,
所以当 x∈(1,2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
当 x∈(2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
所以当 x=2 时 h(x)取到最大值
1
h(2)= 2 ,所以实数
e
a
即方程
2
a= e 有两个不同的实数根,设
2
u(x)= e ,可得
2-2
u'(x)= e ,
当 x<1 时,可得 u'(x)>0,u(x)单调递增;当 x>1 时,可得 u'(x)<0,u(x)单调递减,
∴x=1 时,函数 u(x)取得极大值,极大值为
2
u(1)=e,
又 x<0 时,u(x)<0;x>0 时,u(x)>0,且 x→+∞时,u(x)→0,
系或二元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元
问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.
对点训练2
(2023江西赣州二模)已知函数f(x)=x2-3x+ln x.