大学物理第三章

万有引力的功只与始、末位置有关，而与质点所经
过的路径无关（与路径无关） 。
二、保守力与非保守力 作功只与始末位置有关，而与路径无关的力称为 保守力conservative force ；不具有这一特点的力称为 非保守力nonconservative force 。 若物体沿acbda闭合路径运动一周时，保守力所作 的功为： a c W F dr F dr F dr 0
r L sin
4. (1)
dv f t m dt

v
v0
dv
t 0
t
m
dt
v v0
(2)

2m
t 2 30 m/s
dx 2 v v0 t dt 2m

x
0
dx (v0
t 0

2m
t 2 )dt
1400 x v0 t t m 466 .7 m 6m 3
3.万有引力的功
质点 A 在曲线上任一点受到 的万有引力大小为：
元功： dA F cos dr
Mm F G 2 R
mM dA G 2 dr r
r2
dr dr cos( ) dr cos
结论
mM 1 1 A G 2 dr GmM ( ) r1 ( L ) r r2 r1
dA F cos ds
积分可得力Ｆ在路程ab上的总功
A
b
a( L)
dA
b
a( L)
Fcos ds
b
a( L)
F dr
直角坐标系中功的表达式
F Fx i Fy j Fz k
A
b a( L) a(L)
dr dxi dyj dzk

f
x2
h
x1 x
o
1.质点动能定理
设质点在外力作用下，由A运动到B
元功： F dr F cos ds dA
dv F cos ma m dt dv dA m ds mvdv dt
B B
v1

F
v
B
v2
Ft
A
1 2 1 2 1 2 总功： A dA d ( mv ) mv2 mv1 A A 2 2 2 1 2 Ek mv 动能 kinetic energy 2
有关势能的几点说明 1、势能属于以保守力相互作用着的物体系，不属 于某一物体所有。
2、系统引入势能的条件是只有系统内物体间 存在着 保守力。对于系统内的非保守力就不能引入势能。 3、保守力所做的功等于系统势能的减少。保守力做 正功，系统势能减少；保守力做负功，系统势能增加。 系统具有势能，就具有做功的本领。 4、由于势能和系统所处的相对位置有关，因而与参照 系的选择无关。
质点的动能定理：
1 2 1 2 A mv2 mv1 EK 2 EK 1 2 2
在一个过程中，合外力的功，等于质点动能的增量。
例1.质量m=1.0kg的小球系在长为1m的细绳下端，起初 把绳子放在与铅直线成30°角处，然后放手使小球沿 圆弧下落，求绳与铅直线成10°角时，小球的速率。 解：合外力的功
x1 x0
dx v kx dt
kdt
0
t
dx kt ln x1 ln x0 x
1 x1 t ln k x0
3.
mg F cos m g F cos v2 r g sin F sin m an m v r cos
2 r L cos T 2 v g
mg
2 9.8 1(cos10 cos 30) 1.53 m s 1
§3.5 保守力与非保守力 势能
1.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
z2 mg dr mgdz z1
z
M1
②
A
M2
M1 1
dA
M2
m ① G O
M2
例题：在离水面高度为h的岸上，有人用大小不变 的力f 拉绳子使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的 过程中，力f 对船所作的功。 x 解： W f d r
2
x1
x f cos d x
x2
1
x f
x2
1
x x2 h2
dx
x
2 f ( h 2 x12 h 2 x2 )
3

§3.4
动能定理
（微元分析法）
ds
P

二、变力的功work done by variable force
元功: dA F cos dr
dr
b F
P
r
r
o

为 F 与 dr之间的夹角，按照矢量标积定义写为：a dA F dr
dr ds
当 ds 0
F
O
x1
x2
x
A
注意
x2
x1
1 2 1 2 kxdx kx1 kx2 2 2
这里ox轴的坐标原点必须选在弹簧原长处!
结论 （1） 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所经 过的路径无关（与路径无关） 。 （2） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形 增大时，弹性力作负功。
弹性力的功等于质点在始、末位置弹性势能增量的 负值。弹性力做正功，弹性势能减少；弹性力做负功， 弹性势能增加。
3、万有引力势能 universal gravitation potential energy
E p (r)
r
Mm Mm G 2 dr G r r
势能零点在r 处。
作业2 1.
T N ma A: N m g m a
3 T (1 )mg 4
答案
N
f
A
mg
T
a
B : mg T ma地＝ma a
T
B a mg
a
2.
dv dx k a kv k 2 x dt dt
F m a Mk 2 x
b F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz )
如果 F 常矢量 则
A
b a( L)
Fcos ds Fscos
3、合力的功
A

B
A B
A
B B F1 dr F2 dr Fn dr
l
bda F dr acb F dr F dr 0
l
acb
bda
d
b
即：物体沿任意闭合路径运动一周，保守力对它 所作的功为零。
三、势能
potential energy
势能曲线
保守力的功，均由系统始末位形函数的差决定，我 们把这些由位形决定的函数，叫做势能函数(Ep)。
M1
W mgz1 mgz2
y
x 重力所作的功等于重力的大小乘以质点位置高度的变化。
结论 (1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所经过 的路径无关（与路径无关） 。
(2)质点上升，重力作负功；质点下降，重力作正功。
2. 弹性力的功 弹簧弹性力 F kxi
由x1 到x2 路程上弹性力的功为：
W T ds mg ds mg sin ds 2 T ds 0 ds ld


300
l
T ds

W mgl sin d mgl(cos cos 0 ) 0 1 由动能定理： mgl (cos cos 0 ) mv2 2 v 2 gl (cos cos 0 )
1 2 E p ( x ) x kxdx kx 2
0
x
O
x
质点在弹性力场中，由起始位置 x1 移到末位置 x2 的过程中弹性力的功为
1 2 1 2 1 2 1 2 A kx1 kx2 ( kx2 kx1 ) 2 2 2 2 A ( Ep 2 Ep1 ) Ep
A保 ( Epb Epa ) Ep
假定r0处为势能零点，则 E p (r )
r0 r
F保 dr
质点在某位置r处的势能等于它从此位置移至零势 能点，保守力作的功。 1、重力势能 gravity potential energy
Ep (h) mgz
2、弹性势能 elastic potential energy 势能零点在弹簧原长处。
质点在万有引力场中，由起始位置 r1 移到末位置r2 的过程中万有引力的功为
Mm Mm A G G r2 r1
A ( Ep 2 Ep1 ) Ep
结论
保守力在某一过程中的功，等于该质点在始、末两
个状态势能增量的负值。
A A
B F dr F1 F2 Fn dr
A
dr

B
A A A2 An 1
A 平均功率： P t
A
Fi
F
4.功率 ―功率是反映作功快慢程度的物理量 单位：瓦特（W）=（J/s）
dA F dr 瞬时功率： P F v Fv cos dt dt 当力和速度的方向一致时： P Fv
5、保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取 无关。
三 势能曲线
EP
E p mgh