(完整word版)初二有关三角形证明的中考题
(完整word版)北师大8下数学第一章三角形的证明
第一章三角形的证明知识点一：等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形,两底角相等（等边对等角)。
②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合.( “三线合一”）③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。
2、等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。
知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等,三个内角都相等,且都等于60°。
2、等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立;②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论;③假设不成立；④原命题成立.知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角：直角三角形，两锐角互余。
②边：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、直角三角形的判定定理：①角：两锐角互余的三角形是直角三角形。
②边：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。
）3、特殊的直角三角形：在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。
4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等.(注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角.)知识点五:垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
知识点六：角平分线（点到边）1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：在一个角的内部,到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
武汉市七一中学初二数学专题——直角三角形(含答案)
武汉市七一中学初二数学专题——直角三角形（含答案）直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD；由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．例题求解【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P 在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．(江苏省常州市中考题)思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)思路点拨从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD的等式．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．(1)求证：BD×BC＝BG×BE；(2)求证：AG⊥BE；(3)若E为AC的中点，求EF：FD的值．（盐城市中考题）思路点拨发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD∽△CBE；(2)证明△ABG∽EBA；(3)EF的值转化为求其他线段的比值．利用相似三角形，把求FD【例4】如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P．求证：DP⊥PQ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可． 注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力．【例5】 已知△ABC 中，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足BHAHBC AC 22，试探讨∠A 与∠B 的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明．学力训练1．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 边的中点，点Q在线段BC 上，当BQ= 时，三角形ADP 与三角形QCP 相似． (云南省中考题) 2．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DF ⊥CB 于E ，若BE=6，CE=4，则AD= ．3．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=23，AC=4，过AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AD 于E ，交BC 于F ，则EF= ． (重庆市竞赛题) 4．P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ． 2条 C ．3条 D ．4条 (2001年安徽省中考题)5．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2=BD ×CD ，那么∠BAC 的度数是( ) A ．小于90° B ．等于90° C ．大于90° D ．不确定 6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，AE ⊥BD于E ，则EC=( )A ．27B ．25 C ．215D ．2217．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2＝AF ×FC ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ． 求证；(1)AB=BH ；(2)AB 2=GA ×HE ． (青岛市中考题)9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ×AD=16，AB=45(1)求证：CE=EF ； (2)求EG 的长． (河南省中考题)10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AC ⊥BD ，已知k ADBC ，则BDAC= ． (江苏省竞赛题)11．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB 、AC 的长分别为l 厘米、2厘米，那么直角的角平分线的长度等于 厘米．12．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C ＝90°，DE ∥AB ，且3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长为 ． ( “我爱数学”初中数学夏令营试题)13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1与∠2的大小关系是( )A ．∠1>∠2B ．∠1<∠2C ．∠1=∠2D ．无法确定 (天津市竞赛题)14．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于点D ，有下列条件：①∠A=∠BCD ；②∠A+∠BCD=∠ADC ；③ACBC CDBD ；④BC 2=BD ×BA ．其中，一定能判断△ABC 是直角三角形的共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 (2003年河南省竞赛题)15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，DC=3，如果边AD 上的点P 使得以P ，A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=AE ×BF ． (山东省竞赛题)17．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，已知Rt △ABC 的三边长都是整数，且BD=113，求Rt △BCD 与Rt △ACD 的周长之比． (全国初中数学联赛题)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线AD 交BC 边于D ，求证：BDBCADAC 222．(昆明市竞赛题)19．如图，已知边长为a 的正方形ABCD ，在AB 、AD 上分别取点P 、S ，连结PS ，将Rt △SAP 绕正方形中心O 旋转180°得Rt △QCR ，从而得四边形PQRS ．试判断四边形PQRS 能否变化成矩形?若能，设PA= x ，SA=y ，请说明x 、y 具有什么关系时，四边形PQRS 是矩形；若不能，请说明理由． (山东省济南市中考题)20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° (1)当点D 在斜边AB 内时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222； (2)当点D 与点A 重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由； (3)当点D 在BA 的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)。
完整word版,几何证明题和应用题的复习(八年级上册湘教版)
几何证明题和应用题的复习（八年级上册湘教版）1、已知：如图，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，延长BC 至点E 使CE ＝AD ，连接DE 交AC 于点F ，求证：FD ＝FE 。
2、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点。
(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
3、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE=BD ， 连结EC 、ED ，求证：CE=DE4、如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 且BC ＝10，求△DCE 的周长。
AB COM NCBA D E F 5、如图所示，已知点D 是等边三角形ABC 的边BC 延长线上的一点，∠EBC=∠DAC ，CE ∥AB 。
求证：△CDE 是等边三角形。
AEBC6、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm 长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•7、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．8、如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。
求AQN ∠ 的度数。
9、如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE（1）线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论； （2）将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由．10、为支援灾区，宁波市政府组织了20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨所需运费（元/吨）120 160 110（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．11、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？12、如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．13、如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于E点．求证：∠E=∠A．14、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．15、我市某学习机营销商经营某品牌A、B两种型号的学习机．用10000元可进货A型号的学习机5个，B型号的学习机10个；用11000元可进货A型号的学习机10个，B型号的学习机5个．（1）求A、B两种型号的学习机每个分别为多少元？（2）若该学习机营销商销售1个A型号的学习机可获利120元，销售1个B型号的学习机可获利90元，该学习机营销商准备用不超过30000元购进A、B两种型号的学习机共40个，且这两种型号的学习机全部售出后总获利不低于4440元，问有几种进货方案？这几种进货方案中，该学习机营销商将这些型号的学习机全部售出后，获利最大的是哪种方案？最大利润是多少？16、某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。
11.1与三角形有关的线段练习题(可编辑修改word版)
一、选择题11.1 与三角形有关的线段测试题A1.如图1，三角形有（）A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个2.甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲、乙两地之间的距离为dkm，则d 的取值范围是（）A.3B.5C.3 或5D. 3 ≤d ≤53.三角形按边可分为（）EB D CA.等腰三角形，直角三角形，锐角三角形B.直角三角形，三边都不相等的三角形C.等腰三角形，三边都不相等的三角形D.等腰三角形，等边三角形4.下列说法正确的是（）A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D.一个等边三角形一定不是钝角三角形5.已知三角形的两边长分别为3 和8，则该三角形的第三边的长可能是（）A.4B.5C.6D.116.△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A.A．a＋b=c B．a＋b>c C．a＋b<c D．a2＋b2=c27、以长为13cm、10cm、5cm、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A.1个B．2 个C．3 个D．48、已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（）9、2a B．－2b C．2a＋2b D．2b－2c9、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2 倍，则这个三角形的最短边长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm二、填空题1.个等腰三角形的两边长分别为8cm 和6cm，则它的周长为cm.2.已知三角形的两边长分别为a=3,b=7,则第三边的长c 的取值范围3..已知△ABC的三边长为5，12，3x－4，周长为偶数，则X= ,周长=4.如果以 5cm 为等腰三角形的一边，另一边为 10cm，则它的周长为．5.已知：a、b、c 为三角形的三边长，化简：|b+c-a| +|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|=6.平面上有n 个点（n≥3），且任意三点不在同一条直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？考察点的个数n 和可作出的三角形的个数S n发现：三、简答题1.如图，草原上有 4 口油井，位于四边形 ABCD 的 4 个顶点，现在要建立一个维修站 H ，问 H 建在何处，才能使它到 4 口油井的距离之和最小？点的个数 345…n可连成三角形的个数2.如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，试说明下列不等式成立的理由.AB ＋BC ＋AC>2CD.3、已知△ABC 的周长为 45cm ，（1）若 AB=AC=2BC ，求 BC 的长；（2）若 AB:BC:AC=2:3:4， 求△ABC 三条边的长.4.点 P 是△ABC 内任意一点。
人教版数学八年级上册 全册全套试卷同步检测(Word版 含答案)
人教版数学八年级上册全册全套试卷同步检测（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，则△ADF为等边三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，在△DEB和△CDF中，120EBD DFCEDB DCFDE CD，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD .(2).EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠FAE 的度数；（3）求证：CD=2BF+DE ．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，BF FAFB AFGAF AFG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，在△CGA和△CDA中，GCA DCACGA CDAAG AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．4．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明5．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．【解析】【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交∠=︒,因此有BM⊥AN；AN于点C，得出MCN90(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y xy xααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α∴+y xy xααβ=+⎧⎨=+⎩①②-①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y xy xαβα-++=⎧⎨++=⎩①②-①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．7．已知：等边ABC∆中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足60AMN∠=︒，求ANBN的值．（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32． 【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形，点M 是BC 的中点∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=︒∴30BAM ∠=︒，90AMB ∠=︒∵60AMN ∠=︒∴90AMN BAM ∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM ∠=︒∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠∴在Rt BNM ∆中，2BM BN =在Rt ABM ∆中，2AB BM =∴24AB AN BN BM BN =+==∴3AN BN =即3AN BN=． （2）如下图：过点M 作ME ∥BC 交AC 于E∴∠CME=∠MCB ，∠AEM=∠ACB∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB∠=∠=︒，120MBN=︒∠∴120CEM MBN∠==︒∠，60AEM A∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB，MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=（3）如下图：过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=，180120EMP AMP=︒-=︒∠∠，180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形，120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS∆∆≌∴ME FC=∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=∴3322BCBF BEBC BC-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．8．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ，∴AB ＝AD∴∠ABD ＝∠D∵∠PAC ＝20°∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60°（3）CE ＋AE ＝BE ． 在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ．∵AD ＝AC ＝AB ，∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°． ∴△AME 为等边三角形．∴AM=AE ，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．9．八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB 边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．（1）如图①，当点E为AB的中点时，DE＝；（2）如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由；（3）如图③，F是AC的中点，连接EF．在AB边上是否存在点E，使得DE+EF值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）【答案】（1）32）DE＝CE，理由见解析；（3）这个最小值为7；【解析】【分析】（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，由等边三角形的性质可得BE=DB=AE=2，由直角三角形的性质可求BH=1，EH3=（2）如图②，过E作EF∥BC交AC于F，可证△AEF是等边三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可证△DBE≌△EFC，可得DE=CE；（3）如图③，将△ABC沿AB翻折得到△ABC'，连接C'F交AB于点E'，连接CE'，DE'，过点F作FH⊥AC'于点H，由“SAS”可证△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得当点C'，点E'，点F三点共线时，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.【详解】（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，∵△ABC 为边长为4的等边三角形，点E 是AB 的中点，∴AE =BE =2=DB ，∠ABC =60°，且EH ⊥BC ，∴∠BEH =30°，∴BH =1，EH 3=BH 3=，∴DH =DB +BH =2+1=3，∴DE 2293DH EH =+=+=23.故答案为：23；（2）DE =CE.理由如下：如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，AB =AC =BC.∵EF ∥BC ，∴∠AEF =∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE =EF =AF ，∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ，∴BE =CF.∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°，∴∠DBE =∠EFC =120°，且AE =EF =DB ，BE =CF ，∴△DBE ≌△EFC (SAS)，∴DE =CE ，（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H.∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，∴AC =AC '=BC =BC '=4，∠BAC =∠BAC '=60°，且AE '=AE '，∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS)，∴C 'E '=CE '，由（2）可知：DE '=CE '，∴C 'E '=CE '=DE '.∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ，∴当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小.∵F 是AC 的中点，∴AF =CF =2，且HF ⊥AC '，∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°，∴AH =1，HF 3=3=∴C 'H =4+1=5，∴C 'F 22'253C H HF +=+=27∴DE +EF 的最小值为27【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.10．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的高，D 是AM 上的点，以CD 为一边，在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）填空：∠ACB =____；∠CAM =____；（2）求证：△AOC ≌△BEC ；（3）延长BE 交射线AM 于点F ，请把图形补充完整，并求∠BFM 的度数；（4）当动点D 在射线AM 上，且在BC 下方时，设直线BE 与直线AM 的交点为F ．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM 的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC ，DC=EC ，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；（3）补全图形，由△ADC ≌△BEC 得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM 的度数；（4）画出相应图形，可知当点D 在线段AM 的延长线上且在BC 下方时，如图，可以得出△ACD ≌△BCE ，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM 为BC 边上的高， ∴∠CAM=12∠BAC=30°， 故答案为60，30°； （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC 和△BEC 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC ≌△BEC ，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D 在射线AM 上，且在BC 下方时，画出图形如下：∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO ，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D 在射线AM 上时,∠AOB 为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x ，y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；（3）大 小 【解析】 【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小； 【详解】（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++ （2）22()()4x y x y xy +=-+（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．12．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：()()23212x x x x ++=++；()()223123x x x x +-=-+．请你仿照以上方法，探索解决下列问题：（1）分解因式：2712yy ；（2）分解因式：2321x x --．【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）． 【解析】 【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果. 【详解】（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）； （2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）. 【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.13．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=- ()()324 111,x x x x x -+++=- ()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213--【解析】 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果. 【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x xx x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+=201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+=2020(2)13---=2020213--【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.14．请你观察下列式子：2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……根据上面的规律，解答下列问题： （1）当3x =时， 计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ； （3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．【答案】（1）201831-；（2）3；（3）2018554- 【解析】 【分析】（1）根据已知的等式发现规律即可求解；（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解. 【详解】（1）∵2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=- ()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……∴()()1122.1..11nn n n x x xx x x x --+-+++++=-+故x=3时，201720162015(31)(333-+++…323331)++++=201831-故填：201831-；（2）201720162015222a =+++…322221++++ =（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821- ∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64 ∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列， ∵2018÷4=504…2， ∴20182的个位数为4， ∴201821-的个位数为3， 故填：3；（3）201720162015555+++…32555+++ =1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54×（201751-） =2018554-【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.15．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn；（2）由题意，得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．据上述条件解决下列问题：①规定期限是多少天？写出解答过程；②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】规定期限20天；方案（3）最节省【解析】【分析】设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求． 【详解】解：设规定期限x 天完成，则有：415x x x +=+， 解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解； 答：规定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（万元） 方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ）， 方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款． 所以方案（3）最节省．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．17．已知下面一列等式：111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式： （2）验证一下你写出的等式是否成立； （3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++.【答案】（1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x +.【解析】 【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算. 【详解】 解：（1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…，知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；（3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x =+. 【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.18．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍. （注：=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量）（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？ 【答案】（1）100；（2）98. 【解析】 【分析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可； （2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案. 【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，40 2.5401.25100x x ⨯=⨯+，解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨， 设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，40 2.5200(110%)m⨯+⨯+≥90%，m ≥98，∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.19．阅读下面的解题过程：已知2112x x =+，求241x x +的值。
(完整word)三角形内角和定理练习题
三角形内角和定理练习题1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是三角形。
2.如图,在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，它们相交于点I,已知∠A＝56°，则∠BIC ＝。
3。
如图，在△ABC中，∠B＝25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O,且∠E＝40°，则∠A＝。
4.如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG,则∠BAC的度数为.5.若等腰三角形一腰上的高和另一腰上的高的夹角为58°,则这个等腰三角形顶角的度数是。
6.如图，将三角形纸片ABC的一角折叠，折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°，∠CFB＝22°，则∠CEA ＝。
7.在一个三角形中，三个内角中至少有个锐角，最多有个直角或钝角.8.如图,AB∥CD，若∠ABE＝135°，∠CDE＝110°，则∠DEF＝。
9。
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD＝158°，则∠EDF等于( )A.64°B.65°C.67°D。
68°10。
如图,已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,则∠E是( )A.锐角B.直角C。
钝角 D.无法确定11。
如图,已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，AD∥BC,则△ABC的形状是（) A。
等边三角形 B.直角三角形C。
等腰三角形 D.任意三角形12.如图,在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，设∠BAC＝∠α，则∠D等于（)A。
180°—2∠α B。
180°—∠αC。
90°—∠α D.90°-2∠α13.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形的形状是( ）A.锐角三角形B。
直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形14。
如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°,则∠BDC的度数等于（）A。
(完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总
2015年 05月 03日初中数学三角形证明组卷．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）2 ．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）4．（ 2014?丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）C 12D53．（ 2014 秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中， AD 是它的角平分线， A B=8cm ，AC=6cm ，C 16 ： 9D 9： 163：4WORD格式可编辑A 70°B 80°C 40°D 30°度数为（ ）6．（2014? 山西模拟）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD ，若∠ AOC=3°5 ， 则∠BOD7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 BC 边于8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）5．（ 2014? 南充）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点，CD=AD ， AB=BD ，则∠ B 的C 40D 45A 145°B 110C 70°D 35°60°的角的个数是（C4D5等于（ ）D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于9．（2014春? 栖霞市期末） 在 Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，则 BC 等于（10 ．（ 2014秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离 相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°B3 C6D 不能确定B 7.6cm 11.4cmD 11.2cm11 ．（2013秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，A 3.8cm若 PE=6，则 PF 的长为（12 ．（ 2013秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ，C 15cmD 16cm13．（2013秋? 西城区期末） 如图，∠BAC=13°0 等于（ ）14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用条件是（ ）， 若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ80°D 105°HL ”判定 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的B ．∠A=∠A ′， AB=A ′B ′ D ．∠B=∠B ′， BC=B ′C ′15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， M N 是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（ ）A BC > PC+APB BC <PC+APC BC=PC+APD BC ≥ PC+APCE=BD，那么∠ EDF等于（）不一定成立的是（ ）B ． 90°﹣ ∠AC ． 180°﹣∠AD45°∠A17．（ 2014 秋 ? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论A ． △ABD ≌△ ACDC ． AD 是△ ABC 的角平分线B ． AD 是△ ABC 的高线D ．△ABC 是等边三角18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（A ．点 P 在∠ABC 的平分线上 C ．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 B ． 点 P 在∠ ACB 的平分线上 D ．点 P 在边 BC 的垂直平分线上19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点 B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°， C 25° D 30°A 90°﹣∠A20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ， PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②MO=N ，O ③OP ⊥MN ，④MD=N ．D 其中正确 的有（ ）．解答题（共 10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知 ON 是∠AOB 的平分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．1）如果∠ AOC α= ，∠ BOC β= ，请用含有 α， 的式子表示∠ NOC ． 那么∠ MON 的度数是多少？A 1 个2）如果∠ BOC=9°0 ， OM 平分∠ AOC ，22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、 D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点 F ．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C ， BD 平分∠ ABC ，DE ⊥AB（ E 在 AB 之间），DF ⊥BC ，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC 的周长．24 ．（ 2014 秋? 大石桥市期末） 如图， 点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点， 且 AB=AC=C ，DAD=BD ， 求∠BAC 的度数．EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α 的式子表示）；分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28 ．（2013秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E30．（2011? 龙岩质检）如图，AD是△ ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△ AEF 是等腰三角形．2015年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点：分 先根据勾股定理求出 AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13． 析：解解：∵∠ C=90°，答：∴A E=，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE=1；3 故选： A ．点 本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出 AE 是解题的关评： 键．2．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）考 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．C 12D5点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，析：解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角平分线∴∠ EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°，AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB= （180°﹣36°）=72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD是等腰三角形．故选：A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，评：题．3．（2014秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中，AD是它的角平分线，考角平分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：C 16 ：9 D 9：16即可得出答案．属于中档AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）3：4分 首先过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质， 析： 即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则 可求得△ ACD 的面积．解 解：过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ⋯（ 1 分） 答： ∵AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=D ，F ⋯（ 3 分） ∴S △ABD= ? DE? AB=12， ∴DE=DF=⋯3 （ 5 分）∴S △ADC= ? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S △ABD ： S △ACD =12： 9=4： 3．点 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性 评： 质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014? 丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 几何图形问题．分析： 由等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直 平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，可得 AE=BE ，继而求得∠ ABE 的度数，则可求得答 案．解答： 解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，A 70°B 80°C 40D 30°故选 A ．∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=∠2 B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=A，D∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出评：∠BAD=2∠CAD=∠2 B=2∠C 关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD 等于（）A 145°B 110C 70°D 35°考 角平分线的定义． 点：分 首先根据角平分线定义可得∠ AOD=∠2 AOC=7°0 ，再根据邻补角的性质可得∠ BOD 析： 的度数．解 解：∵射线 OC 平分∠ DOA ． 答： ∴∠ AOD=∠2 AOC ，∵∠ COA=3°5 ， ∴∠ DOA=7°0 ，∴∠ BOD=18°0 ﹣70°=110°， 故选： B ．点 此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 评：7．（ 2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（ ）考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 根据已知条件易得∠ B=30°， ∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答： 解：∵∠ ACB=90°， AB=10， AC=5，∴∠ B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE 垂直平分 BC ，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=9°0 ﹣30°=60°． ∴∠BDE 对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是 4． 故选 C ．点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识． 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ）BC 边于C4 D5考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ABC的中线，∴AD=C，D∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+A）D ﹣（BC+BD+C）D=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春? 栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点 D 到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（考点：角平分线的性质．分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B 的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.，8 ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.．4 故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB 的距离DE即为CD长，是解题的关键．B3 C6 D 不能确定B 7.6cm 11.4cm D 11.2cmA 3.8cm10．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相 等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 计算题．由已知， O 到三角形三边距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求 出∠BOC 的度数．解 解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以 O 是内心， 答： 即三条角平分线交点，AO ， BO ，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO ∠= ABO= ∠ABC ，∠ BCO ∠= ACO= ∠ACB ， ∠ABC+∠ACB=18﹣0 40=140 ∠OBC ∠+ OCB=70 ∠BOC=18﹣0 70=110° 故选 A ．点 此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识 评： 点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若考点 ： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题 ： 计算题．分析： 利用角平分线性质得出∠ POF=∠POE ，然后利用 AAS 定理求证△ POE ≌△ POF ，即可 求出 PF 的长．考点专题分）4解答： 解：∵ OC 平分∠ AOB ，∴∠ POF=∠POE ， ∵PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PFO=∠PEO ， PO 为公共边，∴△ POE ≌△ POF ， ∴PF=PE=6． 故选 C ．点评： 此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此 题的关键是求证△ POE ≌△ POF ．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点： 分 要求△ ABC 的周长，先有 AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，根据线段垂直平分线析： 的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+A 等D 于△ ACD 的周长，答案可得． 解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答： ∴AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ ABC 的周长是 12+2=14cm ． 故选 B点 此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 评： 点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关 键．13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 ，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠PAQ 等于（ ）考点：线段垂直平分线的性质． 点：分析：根据线段垂直平分线性质得出 BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B=∠BAP ，∠C=∠QAC ，求出 ∠B+∠C ，即可求出∠ BAP+∠QAC ，即可求出答案．C 15cmD 16cmC 80°D 105°A 13cmB 14cm A 50° B 75解 解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ， 答： ∴BP=AP ， CQ=AQ ，∴∠B=∠PAB ，∠C=∠QAC ，∵∠ BAC=13°0 ， ∴∠B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=5°0 ， ∴∠PAQ=∠BAC ﹣（∠ PAB+∠QAC ）=130°﹣50°=80°， 故选： C ．点 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注 评： 意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“ HL ”判定AB=A ′B ′ ． BC=B ′C ′考 直角三角形全等的判定． 点：分 根据直角三角形全等的判定方法（ HL ）即可直接得出答案． 析： 解 解：∵在 Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′中，答： 如果 AC=A ′C ′， AB=A ′B ′，那么 BC 一定等于 B ′C ′，Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′一定全等， 故选 C ．点 此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基 评： 础题．15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， 在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（考点： 线段垂直平分线的性Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的MN 是线段 AB 的垂直平分线，）C 在 MN 外，且与 A 点C BC=PC+APD BC ≥ PC+APC AC=A ′ C ′，D ∠ B=∠B ′，B BC < PC+AP分析： 从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB ，结合图形知 BC=PB+P ，C通过等量代换得到答案．解答： 解：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB ．∵BC=PC+B ，P ∴BC=PC+A ．P 故选 C ．点评： 本题考查了垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ， CE=BD ，那么∠ EDF 等于（ ）考点： 等腰三角形的性质．分析： 由 AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 BF=CD ， BD=CE ，利用 SAS 得到三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出解答： 解：∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C °， 在△BDF 和△CED 中，，∴△ BDF ≌△CED （ SAS ）， ∴∠ BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣ 则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC ）=90°﹣ ∠A ． 故选 B ．点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的 关键．90° ﹣ ∠A∠A ，=90°BC 180°﹣∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论B AD 是△ ABC 的 ． 高线D △ ABC 是等边 ． 三角形考点 ： 等腰三角形的性质．分析： 利用等腰三角形的性质逐项判断即可． 解答： 解：A 、在△ ABD 和△ ACD 中，，所以△ ABD ≌△ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确； C 、由条件可知 AD 为△ ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=B ，C 所以△ ABC 不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D ．点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（考点： 线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由 线段 BC 的垂直平分线上． PC=PB 即可得出 P 在解答：解：∵ PB=PC ，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，．DC AD 是△ ABC的 ． 角平分线A 点 P 在∠ ABC ． 的平分线上C 点 P 在边AB ． 的垂直平分 B 点 P 在∠ ACB ． 的平分线上D 点 P 在边BC ． 的垂直平不一定成立的是（故选 D ．点评： 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点考 等腰三角形的性质． 点：分 根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ ECF 的度数． 析： 解解：∵ BC=BD=D ，A 答： ∴∠ C=∠BDC ，∠ ABD=∠BAD ， ∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°． 故选： C ．点 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运 评： 用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②M O=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=N ．D其中正确考 角平分线的性质． 点：B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°，C 25°D 30°的有（ ）A 1 个分由已知很易得到△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△ OM≌P △ ONP，析：△PMD≌△PND，可得MD=N，D ∠ ODN∠= ODM=9°O，答案可得．解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA 于M，PN⊥OB 于N答：连接MN交OP于点D，∴∠ MOP∠= NOP，∠OMP∠= ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=N，POM=O，N 又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=N，D∠ ODN∠= ODM=9°O，∴OP⊥MN∴① PM=P，N ②MO=N，O③OP⊥MN，④MD=ND 都正确．故选D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OM≌D △OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，请用含有α，β 的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=9°0 ，OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出解答：解：（1）∵∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠AON= （α﹣β），∠NOCα= ﹣（α﹣β）= （α +β）；（2）∵OM平分∠ AOC，ON平分∠ AOB，∴∠AOM= ∠AOC ，∠AON= ∠AOB ， ∴∠MON ∠= AOM ﹣∠AON= (∠AOC ﹣∠AOB )点评： 本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点F ．考点 ： 线段垂直平分线的性质． 专题 ： 探究型．分析： （ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE ≌△OCE ， 可得出 OD=OC ， DE=CE ， OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性 质即可得出 OE 是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 可得出∠ AOE=∠BOE=3°0 ，由直 角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答： 解：（ 1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴DE=C ，EOE=O ，E∴Rt △ODE ≌Rt △OCE ， ∴OD=O ，C∴△DOC 是等腰三角形， ∵OE 是∠AOB 的平分线， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； ( 2)∵ OE 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 ， ∴∠ AOE=∠BOE=3°0 ， ∵EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴OE=2D ，E ∠ ODF=∠OED=6°0 ， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4E ．F= ∠BOC= × 90° =45°EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB （ E 在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=C，D∵BD平分∠ ABC，∴DE=D，F∴△ DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=．12点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋? 大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=C，DAD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=∠2 DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=10°8 ．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC 的大小（用含α 的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ BCD=∠BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣ ×30°=75°，由题意得：BC=BD=B，E由BC=BD得∠ BDC=∠C=75°，∴∠CBD=18°0 ﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=7°5 ﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是67.5 °．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．考等腰三角形的判定．点：分由条件可得出DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（1）∵AD平分∠ BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，答：∴DE=D，F在Rt △BDE和Rt △CDF中，，，∴Rt △BDE≌Rt △CDF（HF），∴∠ B=∠C；（2）由（1）可得∠ B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出DE=DF是解题的关键．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠ A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF 是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=6°7 ﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC 和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=A，E DE=EC，得到∠ B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，根据∠ DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，求得∠C 即可．解答：解：∵ AB=AD=A，E DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E考 等腰三角形的性质．点：专 证明题．题：分由 DE ∥BC ， BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB 可知， DB=DF ， CE=EF ．便可得出结论．析：解 证明：∵ BF 平分∠ ABC （已知） ， CF 平分∠ ACB （已知） ，答： ∴∠ ABF=∠CBF ，∠ ACF=∠FCB ；又∵ DE 平行 BC （已知）∴∠ DFB=∠FBC （两直线平行，内错角相等） ，∠ EFC=∠FCB （两直线平行，内错角 相等），∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠E CF （等量代换）∴DF=DB ， EF=EC （等角对等边）∴DE=BD+C ．E点 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利 评： 用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ，连 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析： 根据角平分线的性质知∠ BAD=∠CAD ；然后根据已知条件“ DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ”得到∠ DEA=∠DFA=90°；再加上公共边 AD=AD ，从而证明，△ADE ≌△ ADF ；最后根据全等三角形的对应边相等证明△ AEF 的两边相等，所解答： 证明：∵ AD 是△ ABC 的平分线，∴∠ BAD=∠CAD ，（ 3 分） 又∵DE ， DF 分别垂直 AB 、AC 于 E ，F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD ，∴△ ADE ≌△ ADF ． （8分） ∴AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形（ 10分）30．（ 2011? 龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线，点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理ASA判定△ ADE≌△ADF．。
(完整word版)全等三角形证明经典及答案
中考数学专练三角形的专题1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBC4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD ABADB CBA CDF2 1 ECDB A8. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠29. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC10. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C11. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEBA CDF2 1 ECDB A12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠CDCBA FEAB C D15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBAP D ACBFA ED C B20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．PEDCBA D CBA23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
(完整word版)相似三角形精选好题-证明题25题
相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图,在中，，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．为何值时,；是否存在某一时刻，使∽？若存在，求出此时AP的长；若不存在,请说明理由；当时,求的值．2.如图，中，于是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证:∽．3.如图，已知四边形ABCD中，的延长线与AD的延长线交于点E．若，求BC的长；若,求AD的长．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号4.如图，在中，点D在BC边上，点E在AD边上，．求证：∽；若，求AE的长．5.如图,在四边形ABCD中，,交BC于点F，连接AF．求CF的长；若,求AB的长．6.如图,在锐角三角形ABC中，点分别在边上，于点于点．求证:∽；若,求的值．7.如图，在中，，点D是BC边的中点,．求AD和AB的长;求的值．8.从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1,在中，CD为角平分线，，求证：CD为的完美分割线．在中，是的完美分割线,且为等腰三角形,求的度数．如图中，是的完美分割线,且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．9.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为,测得大楼顶端A的仰角为点在同一水平直线上,已知，求障碍物两点间的距离结果精确到参考数据：10.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC为米，，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长结果保留根号11.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡AB的坡度:米,米：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比求点B距水平面AE的高度BH；求广告牌CD的高度．测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：12.如图，在中,，动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为点的运动速度为，那么运动几秒时,和相似?13.如图所示，，点P从点B出发,沿BC向点C以的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？14.如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为，顶部的仰角为,已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长精确到参考值：．15.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处三点在同一直线上，又测得主教学楼顶端A的仰角为，已知测角器CD的高度为米，请计算主教学楼AB的高度,结果精确到米16.已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，．求证：∽；如果,求DC的长．17.如图,CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高结果保留根号18.钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛设N、M为该岛的东西两端点最近距离为15海里即海里，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东方向其中N、M、C在同一条直线上,求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离精确到海里参考数据：．19.探究证明：如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边上,，求证：．如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上,分别交于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．拓展应用：综合、的结论解决以下问题：如图3,四边形ABCD中,，点分别在边上,求的值．20.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角的度数为，测得旗杆顶端A的仰角的度数为，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度结果精确到．【参考数据：】21.已知,如图，在四边形ABCD中,,延长AD、BC相交于点求证：∽；．22.如图,在中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的的两边分别与边交于点E、F，且与互补．如图1，若为BC的中点时,则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；如图2，若为BC的中点时，那么中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由;如图3,若，且，直接写出______ ．23.放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为已知点在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？风筝线均为线段，，最后结果精确到1米．24.禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只,测得A、B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号．25.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地,如图，其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东方向，在C地北偏西方向，C地在A 地北偏东方向且，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？最后结果保留整数,参考数据：答案和解析【答案】1。
中考数学压轴题揭秘-三角形问题(Word版+答案)
三角形问题【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．8【变式1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm 2.（结果保留一位小数）【变式1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．【变式2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【变式2-2】（2019·广西中考真题）如图，,AB AD BC DC ==，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求证：BE DE =．【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC <<.⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ??；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ??，求B Ð的度数.【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ．若2AB =，则AD 的长为_____．【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，若2DE =，则FG 的长为_____．【考点4】直角三角形的性质【例4】（2019·宁夏中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=o，则BCD ABD S S ∆∆=_____．【变式4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=o ，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【变式4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】（2019·四川中考真题）如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【变式5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【变式5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD ，此时，小花测得标杆CD 的影长CE ＝2米，CD ＝2米；然后，小风从C 点沿BC 方向走了5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ，接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端A ，标杆顶端F 在一条直线上，此时，小花测得GM ＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM ＝1.5米，FG ＝2米．如图②，已知AB ⊥BM ，CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，HM ⊥BM ，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB ．【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.【变式6-1】（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200AB =米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【变式6-2】（2019·海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60︒方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15︒方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．（1）填空：BAC ∠= 度，C ∠= 度；（2）求观测站B 到AC 的距离BP （结果保留根号）．【达标训练】1．（2019·河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2019·江苏中考真题）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．（2019·浙江中考真题）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．424．（2019·湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·广东中考真题）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（ ）A ．45B ．43C ．10D ．86．（2019·湖南中考真题）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．（2019·海南中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，5AB =，4BC =．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ AB ∥交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分ABC ∠时，AP 的长度为（ ）A ．813B ．1513C ．2513D ．32139．（2019·辽宁中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF P ，AD CE P ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°10．（2019·四川中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC ∆是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB ∆∆∽；③:1:2DQ BQ =；④314BDP S ∆-=． 其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④11．（2019·辽宁中考真题）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝32°，则∠C 的度数是（ ）A ．64°B ．32°C ．30°D ．40°12．（2019·青海中考真题）如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.213．（2019·辽宁中考真题）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分∠BAC ．若DE ＝1，则BC 的长是_____．14．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，2tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．15．（2019·山东中考真题）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得70ABO ∠=︒，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得50CDO ∠=︒，那么AC 的长度约为______米．（sin700.94︒≈，sin500.77︒≈，cos700.34︒≈，cos500.64︒≈）16．（2019·山东中考真题）把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点,,B C D 在同一直线上．若2AB =，则CD =____．17．（2019·湖北中考真题）如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC ∆≌△DCB ∆的是_____（只填序号）．18．（2019·贵州中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．19．（2019·青海中考真题）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为_______米（结果保留根号）．20．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为________cm.21．（2019·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝_____°（点A ，B ，P 是网格线交点）.22．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．23．（2019·江苏中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm ．24．（2019·湖南中考真题）已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．25．（2019·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=o ，11175B A C ∠=o，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75o ，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．26．（2019·四川中考真题）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值． 28．（2019·湖北中考真题）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q .①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）29．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B’. （1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC 边上，则AB’的长度为_____； （2）如图2，当PB=5时，若直线l //AC ，则BB’的长度为 ；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.30．（2019·四川中考真题）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪AF 测得古树顶端H 的仰角HFE ∠为45︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线FH 上，再向前走10米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角GED ∠为60︒，点A 、B 、C 三点在同一水平线上．（1）求古树BH 的高；（2）求教学楼CG 的高．（参考数据：2 1.4,3 1.7==） 31．（2019·江苏中考真题）如图，ABC ∆中，90C =o ∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．32．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．33．（2019·吉林中考真题）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角CAD ∠为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）（参考数据：0sin 430.68=，0cos430.73=，0tan 430.93=）34．（2019·陕西中考真题）如图，点A ，E ，F 在直线l 上，AE=BF ，AC//BD ，且AC=BD ，求证：CF=DE35．（2019·辽宁中考真题）如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60︒方向上，位于B 市北偏西45︒方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3 1.73≈）36．（2019·重庆中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ． （1）若42C ︒∠=，求BAD ∠的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF AC P 交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．三角形问题【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为,3,5a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．【变式1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）【答案】1.9【解析】【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． 【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，如图所示．经过测量，AB=2.2cm ，CD=1.7cm ，112.2 1.7 1.922∆∴=⋅=⨯⨯≈ABC S AB CD （cm 2）． 故答案为：1.9． 【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．【变式1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【答案】68 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数． 【详解】 如图，∵ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，∴45A C ∠=∠=︒， ∵123∠=︒，∴168AGB C ∠=∠+∠=︒， ∵EF BD P ， ∴268AGB ∠=∠=︒； 故答案为68． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．【答案】(1) 323AM =；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝ 2 ，求出 ∠MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质证明；（3）过点 M 作 ME ∥BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME ≌△AMN ，根据全等三角形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC ∠=︒Q ，AB AC =，AD BC ⊥，AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，2AB =Q ，AD BD DC ∴===，30AMN ∠=︒Q ，180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 30BMD ∴∠=︒， 2BM DM ∴=，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得，DM =3AM AD DM ∴=-= （2）证明：AD BC ⊥Q ，90EDF ∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中，{B DAF DB DA BDE ADF∠=∠=∠=∠， ()BDE ADF ASA ≌∴∆∆BE AF ∴=；（3）证明：过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，90AME ∴∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，ME MA ∴=，90AME ∠=︒∵，90BMN ∠=︒，BME AMN ∴∠=∠，在BME ∆和AMN ∆中，{E MANME MA BME AMN∠=∠=∠=∠，()BME AMN ASA ∴∆∆≌，BE AN ∴=， 2AB AN AB BE AE AM ∴+=+==．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AD AB DC =+；（2）AB AF CF =+，理由详见解析.【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得AD DF =，再根据AAS 证得CEF ∆≌BEA ∆，于是AB CF =，进一步即得结论；（2）延长AE 交DF 的延长线于点G ，如图②，先根据AAS 证明AEB ∆≌GEC ∆，可得AB CG =，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得FA FG =，进而得出结论.【详解】解：（1）AD AB DC =+.理由如下：如图①，∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠∵AB DC P ，∴F BAE ∠=∠，∴DAF F ∠=∠，∴AD DF =.∵点E 是BC 的中点，∴CE BE =，又∵F BAE ∠=∠，AEB CEF ∠=∠∴CEF ∆≌BEA ∆（AAS ），∴AB CF =.∴AD CD CF CD AB =+=+.故答案为：AD AB DC =+.（2）AB AF CF =+.理由如下：如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G .∵AB DC P ，∴BAE G ∠=∠，又∵BE CE =，AEB GEC ∠=∠，∴AEB ∆≌GEC ∆（AAS ），∴AB GC =，∵AE 是BAF ∠的平分线，∴BAG FAG ∠=∠，∵BAG G ∠=∠，∴FAG G ∠=∠，∴FA FG =，∵CG CF FG =+，∴AB AF CF =+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．【变式2-2】（2019·广西中考真题）如图，,AB AD BC DC ==，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求证：BE DE =．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题中条件易知：△ABC ≌△ADC ，可得AC 平分∠BAD ；（2）利用（1）的结论，可得△BAE ≌△DAE ，得出BE=DE ．【详解】解：（1）在ABC ∆与ADC ∆中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABC ADC SSS ∆∆≌∴BAC DAC ∠=∠即AC 平分BAD ∠；（2）由（1）BAE DAE ∠=∠在BAE ∆与DAE ∆中，得BA DA BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAE DAE SAS ∆∆≌∴BE DE =【点睛】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC <<.⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ??；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ??，求B Ð的度数.【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB ，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B ，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA ，设∠B=x ，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：因为点P 在AB 的垂直平分线上，所以PA=PB ，所以∠PAB=∠B ，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.（2）根据题意，得BQ=BA ，所以∠BAQ=∠BQA ，设∠B=x ，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x ，所以∠BAQ=∠BQA=2x ，在△ABQ 中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ．若2AB =，则AD 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】AB=AC=BC=CD ，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．【详解】解：∵ABC ∆是等边三角形，∴60B BAC ACB ︒∠=∠=∠=，∵CD AC =，∴CAD D ∠=∠，∵60ACB CAD D ∠=∠+∠=o ，∴30CAD D ∠=∠=o ，∴90BAD o ∠=， ∴AB 23tan 303AD ︒=== 故答案为3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD 是含30°角的直角三角形是解题的关键．【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，若2DE =，则FG 的长为_____．【答案】33．【解析】【分析】根据折叠的性质可得：FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长.在Rt △BDE 中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出BD 与BE 的长，从而可得AC 的长，再根据三角形的中位线定理即得答案.【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，∴AF BF =，AE BE =，BG CG =，DC DB =， ∴12FG AC =， ∵60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，∴30EBD ︒∠=，∴24DB DE ==， ∴22224223BE DB DE =-=-= ∴23AE BE ==，4DC DB ==， ∴2324623AC AE DE DC =++=+=+， ∴1332FG AC ==+ 故答案为：33【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的性质得出FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长是解本题的关键.【考点4】直角三角形的性质【例4】（2019·宁夏中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=o ，则BCD ABDS S ∆∆=_____．【答案】12． 【解析】【分析】 利用基本作图得BD 平分ABC ∠，再计算出30ABD CBD ∠=∠=o ，所以DA DB =，利用2BD CD =得到2AD CD =，然后根据三角形面积公式可得到BCD ABDS S V V 的值． 【详解】解：由作法得BD 平分ABC ∠，∵90C =o ∠，30A ∠=o ，∴60ABC ︒∠=，∴30ABD CBD ︒∠=∠=，∴DA DB =，在Rt BCD ∆中，2BD CD =，∴2AD CD =，∴12BCD ABD S S ∆∆=. 故答案为12． 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．【变式4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=o ，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【答案】3或247【解析】【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长【详解】分两种情况：①若90DEB ∠=o ，则90AED C ∠==∠o ， CD ED =，连接AD ，则()Rt ACD Rt AEAD HL ∆≅∆，6AE AC ∴==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，Rt BDE ∆Q 中，222DE BE BD +=2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3CD ∴=；②若90BDE ∠=o ，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=o ，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，90AFE EDB ∴∠=∠=o ，AEF B ∠=∠，~AEF EBD ∴∆∆， AF EF ED BD ∴=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，68x x x x-∴=-， 解得247x =， 247CD ∴=， 综上所述，CD 的长为3或247， 故答案为：3或247． 【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形 【变式4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．【答案】20 13【解析】【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB 的长度；（2）根据A 、B 、C 三点的坐标可求出CE 与AE 的长度，设CD =x ，根据勾股定理即可求出x 的值．【详解】（1）由A 、B 两点的纵坐标相同可知：AB ∥x 轴，∴AB =12﹣（﹣8）=20；（2）过点C 作l ⊥AB 于点E ，连接AC ，作AC 的垂直平分线交直线l 于点D ，由（1）可知：CE =1﹣（﹣17）=18，AE =12，设CD =x ，∴AD =CD =x ，由勾股定理可知：x 2=（18﹣x ）2+122，∴解得：x =13，∴CD =13． 故答案为：（1）20；（2）13．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A 、B 、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】（2019·四川中考真题）如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【答案】（1）见解析；（2）475MN =【解析】【分析】（1）通过证明ABD BCD ∆∆∽，可得AD BDBD CD=，可得结论； （2）由平行线的性质可证MBD BDC ∠∠＝，即可证4AM MD MB ＝＝＝，由2BD AD CD ⋅＝和勾股定理可求MC 的长，通过证明MNB CND ∆∆∽，可得23BM MN CD CN ==，即可求MN 的长． 【详解】证明：（1）∵DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠∠＝，且90ABD BCD ∠∠︒＝＝，ABD BCD ∴∆∆∽AD BDBD CD∴=2BD AD CD ∴⋅＝（2）//BM CD QMBD BDC ∴∠∠＝ADB MBD ∴∠∠＝，且90ABD ∠︒＝BM MD MAB MBA ∴∠∠＝，＝4BM MD AM ∴＝＝＝2BD AD CD ⋅Q ＝，且68CD AD ＝，＝， 248BD ∴＝，22212BC BD CD ∴＝﹣＝22228MC MB BC ∴+＝＝MC ∴＝//BM CD Q MNB CND ∴∆∆∽23BM MN CD CN ∴==且MC =MN ∴=【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．【变式5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25 3.【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP=，∴BP=253．“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．【变式5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．【答案】紫云楼的高AB为39米．【解析】【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴AN NHPF PH=，即1.560.50.6x x-+=，∴x＝39，∴紫云楼的高AB为39米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD 的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
人教版八年级数学上册 11.1 与三角形有关的线段 同步练习题(Word版附答案)
11.1与三角形有关的线段同步练习题11.1.1三角形的边基础题知识点1三角形的概念1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（）2．如图，以CD为公共边的三角形是；∠EFB是的内角；在△BCE中，BE所对的角是，∠CBE所对的边是EC；以∠A为公共角的三角形有．3．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．(1)其中以AB为一边可以画出个三角形；(2)其中以C为顶点可以画出个三角形．知识点2三角形的分类4．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（）5．下列说法正确的是（）A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形6．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）A B C D知识点3三角形的三边关系7．(金华中考)(教材P4练习T2变式)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，108.如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB ＝10米，A，B间的距离不可能是（）A．5米B．10米C．15米D．20米△9．在ABC中，若AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数，则AC＝5．易错点没有验证是否满足三角形的三边关系致错10．(教材P8习题11.1T6变式)已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．中档题11．(教材P8习题11.1T1变式)如图，图中三角形的个数是（）A．3B．4C．5D．612．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a(a＞0) 13．(扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6B．7C．11D．1214．(教材P8习题11.1T2变式)有四条线段，长分别为3cm，5cm，7cm，9cm，如果用这些线段组成三角形，可以组成个三角形．15．已知三角形的两边长分别为2cm和7cm，最大边的长为a cm，则a的取值范围是．16．(大庆中考)如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．17．(教材P3例题改编)用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么三角形的各边长是多少？(2)能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？为什么？18．已知a，b，c是△ABC的三边长．(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；(2)若a，b，c满足(a－b)(b－c)＝△0，试判断ABC的形状；(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.综合题19．如图，点P是△ABC内部的一点．(1)度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？(3)你能说明上述结论为什么正确吗？11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性基础题知识点1三角形的高1．(教材P5练习T1变式)下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（）2．如图，AD ⊥BC 于 D ，那么图中以 AD 为高的三角形有 6 个． △3．如图，在 ABC 中，∠C ＝90°. (1)指出图中 BC ，AC 边上的高； (2)画出 AB 边上的高 CD ；(3)若 BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，求 AB 边上的高 CD 的长．知识点 2 三角形的中线4．(教材 P8 习题 11.1T4 变式)如图，如果 AD 是△ABC 的中线，那么下列结论：①BD ＝CD ；②AB1＝AC ；③S △ABD ＝2S △ABC .其中一定成立的有（）A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个5．三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的 ． 6．如图，已知 BD 是△ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，△ABD 和△BCD 的周长的差是．7．如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若 DE ＝3 cm ，则 EC ＝ ．C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线知识点3三角形的角平分线8．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4.下列结论中错误的是（）A．AD是△ABC的角平分线B．CE是△ACD的角平分线129．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°10．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD 是△ABC的角平分线．知识点4三角形的稳定性11．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性D．长方形的四个角都是直角12．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的性．中档题13．下列有关三角形的说法：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④14．(教材P9习题11.1T10变式)如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．15．(原创题)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图，你能分析出他们各自折纸的意图吗？简述你判断的理由．16．(教材P9习题11.1T8变式△)如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？17．如图，网格小正方形的边长都为△1，在ABC中，标出三角形重心的位置，并猜想重心将中线分成的两段线段之间的关系．综合题18．(娄底中考改编)如图，在△Rt ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中，试判断BE＋CF的值是否发生改变？小专题1三角形中线段的相关应用类型1三角形的三边关系1．已知不等边三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于（）A．13B．11C．11，13或15D．152．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，求AB边的取值范围．解：设AB＝AC＝x，则BC＝20－2x.∴0＜20－2x＜2x.∴5＜x＜10.类型2三角形高的应用3．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．△4．如图，在ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.类型3三角形中线的应用5．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝△8，AEC的周长为△24，则ABC的周长为（）A．40B．46C．50D．566．(广东中考改编△)如图，ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是．△7．在ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．(1)如图1，若S△ABC ＝1cm△2，求BEF的面积；(2)如图2，若S△BFC ＝1，则S△ABC＝(提示：对比第(1)题，先作辅助线)．类型4三角形角平分线的应用8．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．11.1与三角形有关的线段同步练习题参考答案11.1.1三角形的边基础题知识点1三角形的概念1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其中符合三角形概念的是(D)2．如图，以CD为公共边的三角形是△CDF，△CDB；∠EFB是△EFB的内角；在△BCE中，BE 所对的角是∠ECB，∠C BE所对的边是EC；以∠A为公共角的三角形有△ADB，△A EC，△ABC．3．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形；(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形．提示：(1)如图，以AB为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE共3个．(2)如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．知识点2三角形的分类4．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是(D)5．下列说法正确的是(B)A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形6．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(C)＜AB C D知识点 3 三角形的三边关系7．(金华中考)(教材 P4 练习 T2 变式)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(C)A ．2，3，4B ．5，7，7C ．5，6，12D ．6，8，108.如图，为估计池塘岸边 A ，B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O ，测得 OA ＝15 米，OB＝10 米，A ，B 间的距离不可能是(A)A ．5 米B ．10 米C ．15 米D ．20 米△9．在 ABC 中，若 AB ＝5，BC ＝2，且 AC 的长为奇数，则 AC ＝5． 易错点 没有验证是否满足三角形的三边关系致错10．(教材 P8 习题 11.1T6 变式)已知等腰三角形的周长为 16 cm ，若其中一边长为 4 cm ，求另外两边 长．解：若腰长为 4 cm ，则底边长为 16－4－4＝8(cm)．三边长为 4 cm ，4 cm ，8 cm ，不符合三角形三边关系定理．这样的三边不能围成三角形， 所以应该是底边长为 4 cm.所以腰长为(16－4)÷2＝6(cm)．三边长为 4 cm ，6 cm ，6 cm ，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为 6 cm.中档题11．(教材 P8 习题 11.1T1 变式)如图，图中三角形的个数是(C)A ．3B ．4C ．5D ．612．下列长度的三条线段能组成三角形的是(A)A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a(a ＞0)13．(扬州中考)若一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则该三角形的周长可能是(C)A ．6B ．7C ．11D ．1214．(教材 P8 习题 11.1T2 变式)有四条线段，长分别为 3 cm ，5 cm ，7 cm ，9 cm ，如果用这些线段组成三角形，可以组成 3 个三角形．15．已知三角形的两边长分别为 2 cm 和 7 cm ，最大边的长为 a cm ，则 a 的取值范围是 7≤a 9． 16．(大庆中考)如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再连接图② 中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为(4n－3)．17．(教材P3例题改编)用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么三角形的各边长是多少？(2)能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得2x＋2x＋x＝25.解得x＝5.∴三角形的三边长分别为10cm，10cm，5cm.(2)若长为6cm的边是腰，则底边长为：25－6×2＝13(cm)．∵6＋6<13，∴不能围成三角形，即长为6cm的边不能为腰长；若长为6cm的边是底边，则腰长为：(25－6)÷2＝9.5(cm)，满足三角形的三边关系．综上所述，能围成底边长是6cm的等腰三角形，且三角形的三边长分别为9.5cm，9.5cm，6 cm.18．已知a，b，c是△ABC的三边长．(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；(2)若a，b，c满足(a－b)(b－c)＝△0，试判断ABC的形状；(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.解：(1)∵|a－b|＋|b－c|＝0，∴a－b＝0且b－c＝0.∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．(2)∵(a－b)(b－c)＝0，∴a－b＝0或b－c＝0.∴a＝b或b＝△c.∴ABC为等腰三角形．(3)∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.∴原式＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b＝a＋b＋c.综合题19．如图，点P是△ABC内部的一点．(1)度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？(3)你能说明上述结论为什么正确吗？解：(1)如图有：AB＋AC＞PB＋PC.(2)改变点P的位置，上述结论还成立．(3)连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，在△ABE中有，AB＋AE＞BE＝BP＋PE.①在△CEP 中有，PE ＋CE ＞PC.②①＋②，得 AB ＋AE ＋PE ＋CE ＞BP ＋PE ＋PC ， 即 AB ＋AC ＋PE ＞BP ＋PE ＋PC ， ∴AB ＋AC ＞BP ＋PC.11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性基础题知识点 1 三角形的高1．(教材 P5 练习 T1 变式)下列各图中，画出 AC 边上的高，正确的是(D)2．如图，AD ⊥BC 于 D ，那么图中以 AD 为高的三角形有 6 个． △3．如图，在 ABC 中，∠C ＝90°.(1)指出图中 BC ，AC 边上的高；(2)画出 AB 边上的高 CD ；(3)若 BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，求 AB 边上的高 CD 的长．解：(1)BC 边上的高是 AC ，AC 边上的高是 BC.(2)如图所示．1 1(3)∵△S ABC ＝2AC·BC ＝2AB·CD ，∴3×4＝5CD.∴CD ＝2.4.知识点 2 三角形的中线4．(教材 P8 习题 11.1T4 变式)如图，如果 AD 是△ABC 的中线，那么下列结论：①BD ＝CD ；②AB1＝AC ；③S △ABD ＝2S △ABC .其中一定成立的有(BA ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线5．三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心．6．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2．7．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE＝3cm，则EC＝9__cm．知识点3三角形的角平分线8．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4.下列结论中错误的是(D)A．AD是△ABC的角平分线B．CE是△ACD的角平分线129．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(A)A．20°B．30°C．45°D．60°10．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD 是△ABC的角平分线．证明：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD.∴AD是△ABC的角平分线．知识点4三角形的稳定性11．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是(C)A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形具有稳定性D．长方形的四个角都是直角12．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性．中档题13．下列有关三角形的说法：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是(B)A．①②B．①③C．②④D．③④14．(教材P9习题11.1T10变式)如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．15．(原创题)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图，你能分析出他们各自折纸的意图吗？简述你判断的理由．解：甲折出的是BC边上的高AD，由图可知∠ADC＝∠ADC′，∴∠ADC＝90°，即AD为BC边上的高．＝×12×6∴×8×BE＝36，即BE＝9.AB·BC＝AD·CF＋AD·BE＝AD·(CF＋BE)．乙折出的是∠BAC的平分线AD，由图可知∠CAD＝∠C′AD，即AD平分∠BAC.丙折出的是BC边上的中线AD，由图可知CD＝BD，∴AD是BC边上的中线．16．(教材P9习题11.1T8变式△)如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？1解：∵△SABC＝2BC·AD12＝36，1又∵△SABC＝2AC·BE，1217．如图，网格小正方形的边长都为△1，在ABC中，标出三角形重心的位置，并猜想重心将中线分成的两段线段之间的关系．解：如图所示，AB与AC两边的中线的交点D即为重心．重心将每条中线分成1∶2两部分，BD＝2ED，CD＝2DF.综合题18．(娄底中考改编)如图，在△Rt ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在D点的运动过程中，试判断BE＋CF的值是否发生改变？解：由△SABC＝△SACD＋△SABD，得11112222∵△ABC的面积不变，且点D由点B运动到点C，AD的长度逐渐变大，∴AC·BG＝AB·DE＋AC·DF.∴BE＋CF的值逐渐减小．小专题1三角形中线段的相关应用类型1三角形的三边关系1．已知不等边三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于(D) A．13B．11C．11，13或15D．152．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，求AB边的取值范围．解：设AB＝AC＝x，则BC＝20－2x.∴0＜20－2x＜2x.∴5＜x＜10.类型2三角形高的应用3．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．解：当高AD在△ABC的内部时(如图1)，∠BAC＝90°.当高AD在△ABC的外部时(如图2)，∠BAC＝50°.综上可知，∠BAC的度数为90°或50°.△4．如图，在ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.证明：连接AD，∵△SABC＝△SABD＋△SADC，111222又∵AB＝AC，∴BG＝DE＋DF.类型3三角形中线的应用5．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝△8，AEC的周长为△24，则ABC的周长为(A)A．40B．46C．50D．566．(广东中考改编△)如图，ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是4．△7．在ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．(1)如图1，若S△ABC＝1cm△2，求BEF的面积；(2)如图2，若S△BFC ＝1，则S△ABC＝4(提示：对比第(1)题，先作辅助线)．解：由中线平分三角形的面积，可得△SBED ＝△SCED，△SBEF＝△SBCF，∴S△BEC＝△2SBED＝11△2S BEF，∴△S BED＝△S BEF＝△S ABE，同理可得△S ACE＝△S CDE＝△S BEF，∴△S BEF＝4S△ABC＝4.类型4三角形角平分线的应用8．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.又∵∠1＝∠2＝15°，∴∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.∴∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.∴∠2＝∠3＝15°.∴AE是△DAF的角平分线．。
(完整word版)八年级全等三角形证明经典50题(含答案).doc
1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求ADA 解：延长AD 至IJE,使AD=DE・・・D 是BC 中点BD=DC在厶ACD 和厶BDE 中AD=DEZBDE= ZADC BD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE 中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即 4・2 <2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=2延长CD 与P,使D 为CP 中点。
连接VDP=DC,DA=DBA AC BP 为平行四边形又 Z ACB=90・・・平行四边形ACBP 为矩形AAB=CP=1/2AB 2.已知：D 是AB 中点，Z ACB=90 0,求证：CD [AB 2AAP,BP3.已知：BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点，求证：Z 1= Z2证明：连接BF和EF・・・ BC=ED,CF=DF, Z BCF= Z EDF・・・三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）・・・ BF=EF, ZCBF=Z DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/. Z EBF=Z BEFo・・・ Z ABC= Z AED o・・・ Z ABE= Z AEBo/. AB=AE o在三角形ABF和三角形AEF屮AB=AE,BF=EF,ZABF= Z ABE+ Z EBF= ZAEB+ Z BEF= Z AEF・・・三角形ABF和三角形AEF全等。
・・・ Z BAF= Z EAF（Z 1= Z 2）o4. 己知：Z 1= Z 2 , CD=DE , EF//AB ,求证：EF=AC过C作CG〃EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得，Z EFD= CGDDE= DCZFDE= Z GDC （对顶角）AA EFD^A CGDEF= CGZCGD = Z EFD又，EF// AB・・・，Z EFD= Z 1Z1= Z 2・・・Z CGD= Z 2・・・△ AGC为等腰三角形,AC= CG又EF=CG・・・EF= AC5.已知：AD 平分Z BAC, AC=AB+BD ,求证：Z B=2 Z C证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DEVAD 平分Z BACAZ EAD=Z CAD・・・AE=AC, AD = ADA A AED^A ACD ( SAS)AZ E=Z CVAC = AB+BD・・・AE= AB+BD・・・AE= AB+BEABD = BE・・・Z BDE=Z EVZ ABC=Z E+ Z BDEAZ ABC = 2 ZEAZ ABC = 2 ZC6.己知：AC 平分Z BAD , CE丄AB , Z B+ Z D=180 ° ,求证：AE=AD+BE・・・CE丄AB ・・・Z CEB=Z CEF= 90° ・・・EB=EF, CE = CE, AACEB^ACEF ・・・Z B=Z CFEVZ B+Z D= 180 ° , ZCFE+Z CFA= 180 0AZ D = Z CFAVAC 平分Z BAD・・・Z DAC = Z FACVAC = AC・・・△ ADC 竺△ AFC ( SAS)/.AD = AF ・・・AE= AF+ FE= AD + BE解：延长AD至IJE,使AD=DE・・・D是BC中点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DC7.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC屮点, AD是整数，求ADA 证明:在AE上取F,使EF= EB,连接CFAAACD^ABDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即4・2 < 2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=218.已知：D 是AB 中点，Z ACB=90 0,求证：CD -AB2解：延长AD到E,使AD=DE・・・D是BC屮点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2•・•在A ABE中9.已知：BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点，求证：Z 1= Z2A证明：连接BF和EF。
(word完整版)三角形基础练习题
三角形基础练习题1、已知：如图已知△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°.证法一:作BC的延长线CD,过点C作CE∥BA，证法二:过点C作DE∥AB，证法三:在BC上任取一点D，作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F,证法四：过点C作CD∥BA，2、在△ABC 中,2∠A=∠B+∠C，则∠A=度;∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠A= ∠B= ∠C= .3、如图，已知五角星ABCDE,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和为。
4、以4cm，8cm，10cm,12cm四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是：；5、已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长x的取值范围是；若x是奇数,则x的值是；此三角形的周长p的取值范围是；6、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是 cm；一个等腰三角形的一边是5cm,另一边是7cm，则这个三角形的周长是 cm7、三角形的三条中线,三条角平分线，三条高_____，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的_____，钝角三角形三条高的交点在_____.8、三角形ABC中,D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为( ）。
9、如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm,则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为 .DCE BF10、如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线，∠B=46°，∠C=72°，则∠EAD=11、如图，△ABC 中BC 边上的高为12、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 13、在△ABC 中,AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE ；③BD=DC ；④AE=EC ．正确的是_________________.14、给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内.正确的是_________________.15、如图，在△ABC 中，∠A=70°，点O 是内心，则∠BOC=_____ ．16、如图,在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AD ，垂足为点D ，有下列说法：①点A 与点B 的距离是线段AB 的长；②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长；③线段CD 是△ABC 边AB 上的高；④线段CD 是△BCD 边BD 上的高． 正确的是_________________. 17、如图，D 、E 在线段BC 上．下列说法：①以A 为顶点的角共有6个；②图中有2对互补的角；③若∠BAE=m°，∠CAD=n°，则∠BAC+∠DAE=（m+n)°；④若BC=11，BD ：CE=2：l,DE= 21BD+3，则S △ABD ：S △ADE ：S △ACE =4:5：2．其中说法正确的是_________________。
(完整word版)三角形的方程练习题
(完整word版)三角形的方程练习题三角形的方程练题1. 已知三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，求三角形的边长。
- 用两点之间的距离公式求出AB、AC和BC的长度：AB的长度= √((x2-x1)² + (y2-y1)²)AC的长度= √((x3-x1)² + (y3-y1)²)BC的长度= √((x3-x2)² + (y3-y2)²)2. 已知三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，求三角形的周长。
- 周长 = AB的长度 + AC的长度 + BC的长度3. 已知三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，求三角形的面积。
- 利用海伦公式计算三角形的面积：AB的长度= √((x2-x1)² + (y2-y1)²)AC的长度= √((x3-x1)² + (y3-y1)²)BC的长度= √((x3-x2)² + (y3-y2)²)s = (AB的长度 + AC的长度 + BC的长度) / 2面积= √(s * (s-AB的长度) * (s-AC的长度) * (s-BC的长度)) 4. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求三角形的角度。
- 利用余弦定理计算三角形的每个角度：cosA = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)cosB = (a² + c² - b²) / (2 * a * c)cosC = (a² + b² - c²) / (2 * a * b)A的角度= acos(cosA) * 180 / πB的角度= acos(cosB) * 180 / πC的角度= acos(cosC) * 180 / π5. 已知三角形的一个角度A和两个边长a，b，求另外两个角度。
2021年中考数学综合题冲刺专题30 三角形综合练习(拔高)(Word学生考试版)
专题30 三角形综合练习（提优）1．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若DG＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AE+AF．3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？4．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，连接CD，过点C作CF⊥CD交AD于F．（Ⅰ）如图①，（1）求∠EBD的度数；（2）求证AF＝BD；（Ⅱ）如图②，DM⊥AC交AC的延长线于点M，探究AB、AC、AM之间的数量关系，并给出证明．5．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD．（1）如图1，当点E为AB的中点时，求证EC＝ED；（2）如图2，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC．①求证△AEF是等边三角形；②EC与ED还相等吗？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC边的中点，AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE．（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交BE于点F（保留作图痕迹）；（2）求证：DE＝DF；（3）探究BD与DE之间的数量关系，并证明结论．7．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝27°，则∠ACD的度数是．拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若AC＝CB＝13，BE＝5，则DE＝．应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE．且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC，CD＝2DE，且S△CBE＝8时，则△ACE的面积是．8．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点．连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，求证：BD＝CE，BD⊥CE．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外），请直接写出你的猜想．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE 于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若BG＝6，求AC的长．11．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D是AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C移动，同时点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度移动，若P、Q同时出发，当有一个点移动到点C时，P、Q都停止运动，设P、Q移动时间为ts．（1）求t的取值范围．（2）当t＝2时，问△BPD与△CQP是否全等，并说明理由．（3）t＞0时，若△CPQ为等腰三角形，求t的值．12．如图，已知△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的移动速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间的t秒，解答下列问题．（1）t＝2s时，求△PBQ的面积；（2）若△PBQ是直角三角形，求t的值；（3）用t表示△PBQ的面积并判断S△PBD=13S△ABC能否成立，若能成立，求t的值，若不能成立，说明理由．13．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4√2cm，动点P由点A向点C运动，速度为√2cm/s，过点P作PD⊥BC于点D．连接AD，动点Q由点B向点C运动，速度为1cm/s．点P 到达点C时，P、Q两点均停止运动．（1）△PDC为哪种三角形，请证明你的结论；（2）当t＝2时，求证△ABD≌△ACQ；（3）连接PQ，是否存在某个t值，使△APQ的面积与△PDQ的面积的2倍之和为10．若存在请求出t 的值，若不存在请说明理由．14．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．（1）如图1，求∠AFD的度数；（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积；（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由．15．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．（1）如图1，若ACB＝90°，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；（3）如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．16．如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD的延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．（1）试判断∠BCE与∠BCD是否互补，并说明理由；（2）求证：AE＝EC；（3）求证：BE+BD＝2BF．17．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB的中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．（1）如图1，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．①求证：PG＝PQ；②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；（2）当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图2，用等式表示线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．18．△ABC是等边三角形，在△ABC的外部作△ACE，且CE＝AC．（1）如图1，O为AC的中点，连接BO并延长交AE于点D，连接BE．①若∠ACE＝70°，直接写出∠DBE的大小是．②如图2，∠CAE的平分线交BD于点H，交EC于点I，连接HE，若BH＝EH，求证：HI＝EI．（2）如图3，∠CEA的平分线交AC于点M，交AB于点N，若EN∥BC，求证：BN+ME＝AE．19．已知△ABC中，∠BAC＝60°，以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE．（1）连接AE、CD，如图1，求证：AE＝CD；（2）若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE＝2AN；（3）若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=√2，如图3，则BM＝．（直接写出结果）20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E的运动过程中，若AF=52√2，求线段CE的长．。
全等三角形类型题汇总
13. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠3＝∠1＋∠2.5. 一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整的碎片(如图所示)，聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．下列四个答案中考虑最全面的是( )A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2 或2、3 去就可以了C．带1、4 或3、4 去就可以了D．带1、4 或2、4 或3、4 去均可16. 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB ＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.(1) 求证：AF＋EF＝DE；(2) 若将图①中的△DBE绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1) 中猜想的结论是否仍然成立；(3) 若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图③. 你认为(1) 中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．1板块一、三角形全等的判定与应用在AB、AC上各取一点E、D，使AE AD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．BEA12ODC【巩固】如图所示，AB AD，BC DC，E、F在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．BCAE P FD板块二、三角形全等的判定与应用(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC∥DE，BC∥EF，AC DE．求证：AF BD．EFADBC2(2008 年宜宾市)已知：如图，AD BC ，AC BD ，求证： C D ．D COA B【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD ，AB CD ，求证：OA OD ．DCA OB(哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC ，BE CF ，B C ．求证：OA OD ．DAOB E F C已知，如图，AB AC ，CE AB ，BF AC ，求证：BF CE ．AE FCBE 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF ．求证：AE BF ．A DFPCBE【巩固】 E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ，GE EF ．求证：3BG CF BC ．ADGFB CE在凸五边形中， B E ， C D ，BC DE ，M 为CD 中点．求证：AM CD ．AB EC M D板块三、截长补短类如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作DMN 60 ，射线MN 与∠DBA外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?DNA MB E【巩固】如图，点M 为正方形ABCD的边AB 上任意一点，MN DM 且与∠ABC外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？4D CNA MB E如图，AD ⊥AB ，CB⊥AB ，DM=CM= a ，AD= h，CB= k ，∠AMD=7°5 ，∠BMC=4°5 ，则AB 的长为( )k hA. aB. kC. 2D. hDCA BM已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD= ∠FAE. 求证：BE+DF=AE.A DFB CE如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60 的MDN ，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN 的周长．ANMB CD五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+ ∠AED=18°0，求证：AD 平分∠CDE5AB EDC板块四、与角平分线有关的全等问题如图，已知ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC和ACB ，OD BC 于D ，且OD 3 ，求ABC 的面积．AOB CD在ABC 中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ，BD CD ，求证：AB AC ．ABD C已知ABC 中，AB AC ，BE 、CD 分别是ABC及ACB 平分线．求AD EB C证：CD BE ．已知ABC 中， A 60 ，BD 、CE 分别平分ABC 和ACB，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．AEDOBC6如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：ED EB．DC 34E12BA(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED 交AB于F，则EF=__________．A DFB CE如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DE CD，EF AC．求证：EF∥ABAFB E D C【巩固】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG CF，求证：AD为BAC的角平分线．FA GBE D C【巩固】在ABC中，A B AC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB AC PB PC．APB D C7如图，在ABC中，B2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：AB BD AC．AB D C如图所示，在ABC中，AC AB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CF AD且交AD的延长线于F，求证1MF AC AB2．AB DMCF【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CD AD于D，E是BC的中点，求证DE∥AB且1DE(AB AC)2．ADB E C【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，AD AB，CM AD于M，求证AB AC2AM．AD CBM如图，ABC中，AB AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD BD于D，AE CE于E．求证：AD AE．AD EG B C H8【巩固】已知：AD和BE分别是△ABC的∠CAB和∠CBA的外角平分线，CD AD，CE BE，求证：⑴DE∥AB；⑵1DE AB BC CA2．CD EA B在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，AM BM，AN CN垂足分别是M、N．求证：MN∥BC，1MN AB AC BC2AMNEB C F【巩固】在ABC中，MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线，AM BM，AN CN垂足分别是M、N．求证：MN∥BC，1MN AB AC BC2AN MCB【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CE AB于E，AE 12(AB AD)并且，则ABC ADC等于多少？DCBAE如图，A D180，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．9探讨线段BE与CE之间的位置关系．DEAB C版块一、倍长中线已知：ABC中，AM是中线．求证：1AM(AB AC)2．AB M C【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？如图，ABC中，AB<AC，AD是中线．求证：DAC<DAB．AB D C如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF EF，AFE求证：AC BE．B D C已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．10ADCBGE已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE CF EF．AEFB CM在Rt ABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三AFEB CD角形？【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BM CN DM DN，求证2122 AD AB AC4．AMNB D C(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE90．若AD3，BE4，则线段DE的长度为11AFDC BE_________．版块二、中位线的应用AD 是ABC 的中线， F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于 E ．求证：AEF1B D CA E A C3．如图所示，在ABC 中，AB AC ，延长AB到D ，使BD AB ，E 为AB的中点，连接CE 、CD ，求证CD 2EC ．AEB CD【巩固】已知△ABC 中，AB=AC ，BD 为AB 的延长线，且BD=AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD=2CECE B DA已知：ABCD 是凸四边形，且AC<BD ．E、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N，AC 和BD 交于G 点．求证：∠GMN> ∠GNM ．AWORD文档ED MGNBFC121AC BC，以BC 为底作等腰直角B CD ，E 是CD 的中点，求证：A E EB 在ABC 中，ACB 90 ，2DECA B 且AE BE．如图，在五边形A BCDE 中，ABC AED 90 ，BAC EAD ，F 为CD 的中点．求证：B F EF ．ABEC F D( “祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC 内的一点，PAC PBC ，P作PM AC 于M ，PL BC 于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL ．过CMLPA D B(全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC 中，D 为AB的中点，分别延长CA、CB到点E 、F ，使DE DF ．过E、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段P A、PB的中点分别为M 、N ．求证：(1) DEM ≌FDN ；(2) PAE PBF ．13CCB BD DAANNMME F EPP【习题1】如图，已知AC BD，AD AC，BC BD，求证：AD BC．A BD C【习题2】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．ANMB CD【习题3】在△ABC中，AB3AC，BAC的平分线交BC于D，过B作BE AD，E为垂足，求ACDB E 证：AD DE．【习题4】如图，在ABC中，AB BD AC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：B2C．AB D C14【习题5】如图，在等腰ABC中，AB AC，D是BC的中点，过A作AE DE，AF DF，且AE AF．AEFB DC 求证：EDB FDC．【习题6】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？AFEBD C【习题7】如右下图，在ABC中，若B2C，AD BC，E为BC边的中点．求证：AB2DE．AB D E C15。
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第一章三角形的证明测试卷（源于中考的试题）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．2．（2012•潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A 的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．25解答：解：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠CBA=75°﹣30°=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25（海里）．故选D．3．（2011•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7解答：解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．4．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．5．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.5考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．解答：解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5故选B．点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．6．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB==15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD===，则点C到AB的距离是．故选A7．（2007•芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．4解答：解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠ADB=90°；∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；∵在△BCE和△HAE中，∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选A．8．（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．6解答：解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选A．9．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12 C．32 D．64解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．二．填空题（共8小题）10．（2011•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=4．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．解答：解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB2，∴AD==4，故答案为：4．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．11．（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为7．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．专题：压轴题；探究型．分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC===4，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案为：7．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．12．（2010•滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．专题：压轴题；动点型．分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．解答：解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．取CE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE=2，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，∴BE=BM．在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，∴BM==，∴BE=．∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值为．点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．13．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．专题：压轴题．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．14．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．15．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：压轴题．分析：分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．解答：解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．答：△PDE的周长是5cm．点评：此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．17．（2005•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．考点：勾股定理．专题：规律型．分析：根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答．解答：解：根据勾股定理：第一个三角形中：OA12=1+1，S1=1×1÷2；第二个三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1，S2=OA1×1÷2=×1÷2；第三个三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1，S3=OA2×1÷2=×1÷2；…第n个三角形中：S n=×1÷2=．点评：本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律．三．解答题（共5小题）18．（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．19．（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE 交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题；压轴题．分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．解答：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．22．（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．解答：证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．点评：本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADB≌△AEC．。