(完整版)全等三角形证明中考题精选(有答案)
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七年级数学下---全等三角形证明题
1.如图,已知AD 是△ABC 的中线,分别过点B 、C 作BE⊥AD 于点E ,CF⊥AD 交AD 的延长线于点F ,求证:BE=CF
.
2.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现:如图2,固定△ABC,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空:
①线段DE 与AC 的位置关系是 _________ ;
②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是 _________ .
(2)猜想论证
当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立,并尝
试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB 交BC 于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F ,使S △DCF =S △BDE ,请直接写出相应的BF 的长.
3.如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.
4.如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是 _________ ;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
4.(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数
量关系和位置关系?请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;
乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.
6.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE _________ CF;EF _________ |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 _________ ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
r
7.如图,已知AB=AC ,(1)若CE=BD ,求证:GE=GD ;
(2)若CE=m•BD (m 为正数),试猜想GE 与GD 有何关系.(只写结论,不证明)
8.(1)已知:如图①,在△AOB 和△COD 中,OA=OB ,OC=OD ,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;
(2)如图②,在△AOB 和△COD 中,若OA=OB ,OC=OD ,∠AOB=∠COD=α,则AC 与BD 间的等量关
系式为 _________ ;∠APB 的大小为 _________ ;
(3)如图③,在△AOB 和△COD 中,若OA=k•OB ,OC=k•OD (k >1),∠AOB=∠COD=α,则AC 与BD
间的等量关系式为 _________ ;∠APB 的大小为
10.已知:EG∥AF,AB=AC ,DE=DF ;求证:
BE=CF
i m
e n d
A
l l t h i n g
s i
n t h
e i r
b e
i 参考答案与试题解析
2.解:(1)①∵△DEC 绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上,
∴AC=CD,∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,∴△ACD 是等边三角形,∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°,∴CD=AC=AB ,∴BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,△ACD 的边AC 、AD 上的高相等,
∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S 1=S 2;故答案为:DE∥AC;S 1=S 2;
(2)如图,∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD ,∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN 和△DCM 中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS ),∴AN=DM,
∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2;
3、解答:
(1)证明:∵在△CBF 和△DBG 中,,
∴△CBF≌△DBG(SAS ),∴CF=DG;
(2)解:∵△CBF≌△DBG,∴∠BCF=∠BDG,又∵∠CFB=∠DFH,∴∠DHF=∠CBF=60°,
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
4、
解答:解:(1)①结论:BD=CE ,BD⊥CE;
②结论:BD=CE ,BD⊥CE;理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACE 中,∵
∴△ABD≌△ACE(SAS )∴BD=CE