定比分点公式的应用

线段定比分点公式

线段定比分点公式线段定比分点公式是解决线段分点问题的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。

它的原理是根据线段的长度比例，确定分点的位置。

下面我将详细介绍线段定比分点公式的应用和推导过程。

我们来看一个具体的问题。

假设有一条线段AB，长度为L。

我们需要在这条线段上确定一个点C，使得AC:CB的长度比例为m:n。

那么我们可以通过线段定比分点公式来求解这个问题。

根据线段定比分点公式，我们可以得到以下等式：AC/CB = m/n我们可以将这个等式进一步转化为：AC = mL/(m+n)CB = nL/(m+n)这就是线段定比分点公式的具体表达式。

根据这个公式，我们可以在给定的线段上确定一个满足长度比例的分点。

接下来，我们来看一个具体的例子，以更好地理解线段定比分点公式的应用。

例题：在线段AB上，已知AC:CB = 3:2，且AB的长度为10。

求点C的坐标。

解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC = 3/5 * 10 = 6CB = 2/5 * 10 = 4因此，点C的坐标为(6, 4)。

线段定比分点公式不仅可以用于求解已知长度比例的问题，还可以用于求解已知分点和端点长度的问题。

下面我们来看一个例子。

例题：在线段AB上，已知点A的坐标为(1, 2)，点C的坐标为(5, 6)，且AC:CB = 2:3，求线段AB的长度。

解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC/AB = 2/5将已知的点的坐标代入上述表达式，可以得到以下等式：√[(5-1)^2+(6-2)^2]/AB = 2/5解方程可得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB化简得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB两边平方可得：(5-1)^2+(6-2)^2 = (2/5 * AB)^2化简得：16 + 16 = (2/5)^2 * AB^2化简得：32 = (4/25) * AB^2进一步化简可得：AB^2 = 25/4 * 32化简得：AB^2 = 200开平方可得：AB = √200化简得：AB = 10√2因此，线段AB的长度为10√2。

定比分点坐标公式在解题中的应用

定比分点坐标公式在解题中的应用河北陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用．一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1．证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43．二、在代数问题中的应用（一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7．解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8．求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)．（三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12．证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14．设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。

线段中点坐标公式和定比分点坐标公式

线段中点坐标公式和定比分点坐标公式线段中点坐标公式和定比分点坐标公式是几何学中常用的计算坐标的公式，用于确定线段上点的位置。

它们在许多实际应用中都有重要的作用，如建筑设计、工程测量等。

本文将分别介绍线段中点坐标公式和定比分点坐标公式，并举例说明其应用。

设线段AB的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的中点C的坐标可通过以下公式计算：Cx=(x1+x2)/2Cy=(y1+y2)/2其中，Cx和Cy分别代表中点C的横坐标和纵坐标。

例如，若给定线段AB的两个端点分别为A(4,2)和B(8,6)，则线段AB的中点C的坐标可通过以下计算得到：Cx=(4+8)/2=12/2=6Cy=(2+6)/2=8/2=4因此，线段AB的中点C的坐标为(6,4)。

线段中点坐标公式的应用十分广泛。

例如，在建筑设计中，我们常常需要确定一个房间或一个场地的中心点，以便布置家具或进行其他相应的规划工作。

在这种情况下，我们可以利用线段中点坐标公式计算出房间或场地的中心点的坐标。

除了线段的中点，我们还经常需要确定线段上的其他分点位置。

这时，我们可以使用定比分点坐标公式。

定比分点坐标公式：设线段AB的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，若在AB上有一点P将AB分为内部比例m：n（m+n>0）的两部分，那么点P的坐标可以通过以下公式计算：Px = (nx1 + mx2) / (m + n)Py = (ny1 + my2) / (m + n)其中，Px和Py分别代表点P的横坐标和纵坐标。

例如，若给定线段AB的两个端点分别为A(2,4)和B(6,8)，且要在AB上以内部比例2:1将其分割，即将AB分为两段，其中一段长度为整体长度的2/3，另一段长度为整体长度的1/3、那么按照定比分点坐标公式，点P的坐标可通过以下计算得到：Px=(2*2+1*6)/(2+1)=(4+6)/3=10/3≈3.33Py=(2*4+1*8)/(2+1)=(8+8)/3=16/3≈5.33因此，点P的坐标为(3.33,5.33)。

定比分点公式的三大应用

定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1）而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。

定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。

灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。

下面举例说明它在解题中的应用。

一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。

证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。

二、用于解决不等式问题例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。

证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。

定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。

1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。

定比分点的向量公式及应用_慕泽刚

１ｂ＝４ａ＋５ｂ．３９９
解析二由已知条件得Ｄ分ＡＢ所成的 λ＝
５，则Ｏ!"Ｄ＝１Ｏ!"Ａ＋ λ !Ｏ"Ｂ＝４ａ＋５ｂ．
４
１＋λ １＋λ ９９
评注用已知向量表示其他向量也是一个热
点，常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法
则，而本题利用定比分点的向量公式，过程相对较
Ｂ!"Ｐ＝１Ｐ!"Ａ＝１ !Ｂ"Ａ＝１ａ，
ｍ
１＋ｍ
１＋ｍ
因为Ｑ分!Ａ"Ｄ的比为ｎ，则
人教大纲
专业Ｓ
精心策划
!Ｂ"Ｑ＝１ !Ｂ"Ａ＋ｎ !Ｂ"Ｄ＝１ａ＋ｎ（ａ＋ｂ）＝
１＋ｎ
１＋ｎ
１＋ｎ１＋ｎ
高
ａ＋ｎｂ，
一
１＋ｎ
Ｂ!"Ｒ＝１Ｂ!"Ｐ＋ λ Ｂ!"Ｃ＝
在线段
ＡＢ上，
且ＡＰＰＢ
＝ｍ，Ｑ在线段
ＡＤ上，
且
ＡＱＱＤ
＝ｎ，ＢＱ与ＣＰ相交于Ｒ，求ＰＲ的值．ＲＣ
Ａ
Ｑ
Ｄ
ＰＲ
Ｂ
Ｃ
解析设!Ｂ"Ａ＝ａ，Ｂ!"Ｃ＝ｂ，Ｐ!"Ｒ＝λＲ!"Ｃ，
所以
ＰＲＲＣ
＝λ，
由题意有!Ａ"Ｐ＝ｍＰ!"Ｂ，Ａ!"Ｑ＝ｎＱ!"Ｄ，则
１＋λ １＋ｎ
（
ｎ１＋ｍ）（
１＋ｎ）
，即ＰＲＲＣ

高中数学第二章平面向量 2.4 平面向量的坐标巧用定比分点公式解题素材北师大版必修4

c+c 2-abac-c 2-abN bxB X 巧用定比分点公式解题定比分点公式是平面解析几何中的重要公式，在解析几何中应用非常广泛。

在平面直角坐标系中分点的坐标是以二维变量),(y x 形式出现的，在数轴上定比及定比分点公式显得更简洁和新颖，分点的坐标是以一维变量x 的形式出现。

所以在高中数学的其他章节内容中，若能灵活运用定比及定比分点公式求解，能拓展学生的解题思路，开拓视野，培养学生创造性思维。

例1、设1,0,1-≠<<++=c c b a cbca x 且，求证：[]b a x ,∉ 证明：如右图在数轴上取点A ，B ；坐标分别为b a , 点X 分有向线段所成的定比c =λ，即AX λ=，由定比分点公式得c bca b a x ++=++=11λλ 00<<λ即c Θ 所以点X 为线段的外分点，即[]b a x ,∉例2、已知,1||,1||<<b a 求证：11<++abba证明：设1,1,1abba ++-分别对应数轴上的三点,,,21P P P 且P 是有向线段21P P 的分点，则由,1||,1||<<b a 知P 分有向线段21P P 的定比0)1)(1()1)(1(11)1(1>--++=++---++=b a b a abb a ab ba λ，因此P 是有向线段21P P 的内分点，从而111<++<-abba ，即以上结论成立。

例3、已知,02><+a cb a 且求证：abc c a ab c c -+<<--22分析：该题与例2证明方法相同，如右图P 分有向线段MN 所成的定比()[])(2)()()()()(222222b ac a c a ab cc a ab c c a ab c aab c c ab c c a +--+-=----+-=--+---=λ>0所以P 是有向线段的内分点，即结论成立。

空间向量定比分点坐标公式及应用

《空间向量定比分点坐标公式及应用》教学设计量P P 1、2PP 有何位置关系?结合定理1.4.1和定理1.4.6,引入空间向量定比分点的定义...定义 P 为向量→21P P 所在的直线上任意一点,点P 把向量→21P P 分成了两个共线向量→P P 1、→2PP ,如果→→≠02PP ,设→→=21PP P P λ,称P 为分向量→21P P 定比为λ的分点. 引入定义后,让学生理解两点: (1)P 位于向量→21P P 所在的直线上,但P 的位置是相当自由的;(2)向量→P P 1是→2PP 的λ倍,这里的λ也是相当自由的.与此同时,引导学生紧紧使用向量的方法来理解这个定义,还应该关注两个向量→P P 1、→2PP 的方向问题,于是提出问题4. 问题4. 点P 的位置与λ的取值有什么关系?三、向量定比分点的坐标公式法国数学家笛卡尔为把几何与代数有机结合,发明了标架.有了标架后,空间中的任何向量就可以进行坐标化, 也就是代数化.既然我们用点P 把向量→21P P 分成了两个向量→P P 1、→2PP 我们就特别关心分点P 的坐标.下面是从向量(几何)与坐标(代数)两个方面同时研究这个问题.从而提出问题5 问题 5 取定标架⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→321,,;e e e O ,()i i i i z y x P ,,.点P 的坐标是什么?在老师的提示下,引导学生分析解决问题的办法.教学过程中,根据实际情况,可以让学生只使用两种方法之一解决即可. 具体过程:由于→→=21PP P P λ所以→→+=211PP P P λλ,代向量坐标公式入此式,即有 {}{}121212111,,1,,z z y y x x z z y y x x ---+==---λλ,即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=--+=-121121121111z z z z y y y y x x x x λλλλλλ 化简即得定比侵占的坐标公式是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ..是只需直接代定比分点公式就可以直接得到任意空间三角形的重心的必须得先确定对边中点坐标.为了突出向量的教学中可以补充介绍三角形重心的向量表示法。

定比分点公式的应用1

定比定比分点公式不仅在解析几何中广泛应用，而且在有些代数或立体几何问题中若用定比分点公式，常可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的效果,。

下面简要举例说明定比分点公式的应用一、在解析几何中的应用例1．已知点P （2，-3），Q （4，1），要使直线ax+y+2=0与线段PQ 有交点，求实数a 的取值范围. 解：设交点为A （x ，y ），点A 分线段PQ 为两部分之比为λ，因A 为内分点，所以λ≥0，则有⎪⎩⎪⎨⎧++-=++=λλλλ13142y x ，因点A(x ，y)在直线ax+y+2=0上，所以，02131)42(=+++-+++λλλλa 解得，3421+-=a aλ，又因为 λ≥0所以，43-<a ≤21 而当直线过点Q 时，a=43-，故，a ∈[43-，21]例2．一直线顺次交双曲线12222=-by a x ，及渐近线于A 、B 、C 、D 四点，求证：||=||解：设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则直线BC 的参数方程为（不含C 点）⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x （λ为参数）将其代入双曲线方程整理得0)1()1(2)1(2212212212212222222=--+--+--bya xb y y a x x b y a x λλ （1）因为B 、C 在渐近线上，所以0221221=-b y a x ，0222222=-bya x代入方程（1）并整理得：01)1(22212212=+---by y a x x λλ 设DC=1λAC=2λ，则λ1·λ2=1DCAC=1 ∴·BA =·即（+）·BA =·（+） ∴·=· ∴= 即 ||=|| 二、在代数中的应用例3．已知a 、b 、m ∈R +，且a ＜b ，求证：bam b m a >++ 证明：∵mb m a ++=bm bm b a +⨯+11∴设A （b a ，y 1）、B （1，y 2），则P （m b m a ++，y 3），分线段AB 的比λ=0>bm ，知P 在AB 线段内，从而111<+⨯+<bm bmb a b a ，故b a m b m a >++ 例4．求函数11+-=x x e e y 的反函数的定义域解：只需求函数y 的值域，因为y=xx ee +⋅+-111令y 1=-1，y 2=1，λ=e x＞0 所以y 1＜y ＜y 2故所求函数的定义域为（-1，1）例5．解不等式312322133<++++<x x x x 解：设y 1=21，y 2=3，y=123233++++x x x x ，则0)15(2531232321123223333>++=++++--++++=x x x x x x x x x x x λ 解得{x|x ＜35-或x ＞0} 三、在立体几何中的应用例6．把一个棱锥用平行于底面的平面截成棱台，使棱台上下底面积比为1：2，求截面的位置解：设截平面与棱锥的高的交点P ，则P 分棱锥的高的比为λ，满足λλ++=1210S S S ，其中S 1，S 2分别为棱锥的上、下底面的面积，S 0为截面的面积。

线段定比分点公式的几种推导及定比λ

线段定比分点公式的几种推导及定比λ
定比分点是一种方法，用来在一段线段中快速确定一个特定点。

它由定比λ（伽马值）来确定，定比λ为两个端点A(x1，y1)，B(x2，y2)直接分割的比例。

定比分点可以用来容易地计算出某条直线上两点之间某个特定比例（定比λ）的点位置。

确定定比λ，可以使用三种推导方法。

1、直接给出定比λ：即已知两点A、B及定比λ，根据λ的定义，分割的比例为A的比例与B的比例之比。

2、对定比λ求根：先根据两点A、B的坐标计算出分割点的坐标，然后把其与两点的坐标比较，继而确定λ的值。

3、使用方程解析关系：使用定比λ时，可以使用直线方程来确定定比λ。

将两点A、B 的坐标代入垂直平分线方程，计算出λ 的值。

不管采用哪种推导方法，确定定比λ的基本步骤是一样的：首先根据提供的两个点计算出定比λ，然后使用定比λ确定线段上任意一点的坐标。

定比分点是一种比较简单的方法，只要知道定比λ的值，就能快速地确定线段上任意一点的位置，并且它的推导方法也比较简单，方便这使用。

定比分点公式的向量形式及应用

定比分点公式的向量形式及应用马洪炎　吴文尧(宁波市北仑中学,浙江　315800) 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1　定理及其推论定理　(定比分点公式的向量形式)设点P 分P 1P 2的比为λ(即P 1P =λPP 2,λ≠-1),Q 为平面上的任意一点,则QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.证明　∵P 1P =λP P 2,∴QP -QP 1=λ(QP 2-QP ),即(1+λ)QP =QP 1+λQP 2,即QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.推论1　设点P 为■O AB 的边AB 上的点,且AP =m ,P B =n ,则OP =n m +n OA +mm +nOB .推论2　设点P 为■O AB 的边AB 的中点,则OP =12(OA +OB ).推论3　■OAB 中,点P 在直线AB 上的充要条件是:存在实数t ,使OP =t OA +(1-t )OB 成立.推论4　(定比分点公式)在直角坐标平面中,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P (x ,y ),且点P 分P 1P 2的比为λ(其中λ≠-1),则x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ.2　应用举例2.1证明比例线段关系例1　如图1,在■ABC 中,D ,E 是BC 边的三等分点,D 在B 和E 之间,F 是AC的中点,G 是AB 的中点,设H 是线段D F与EG 的交点,求比值E H ∶HG .分析　要求比值E H ∶HG 的大小,只须得到向量E H 与向量EG 之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底使向量E H 、向量EG 都可用这组基底的线性组合表示,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.图1　例1图解　设CB =a ,CA =b ,连结CG ,EF ,由于BE =2EC ,由推论1可知:GE =23GC +13GB=23GC +13(CB -CG )=13CB -CG =13CB -12(CB +CA )=-16a -12b ,即EG =16a +12b ;∵D ,H ,F 三点共线,∴E H =t ED +(1-t )EF=t ED +(1-t )(CF -CE )=t 3a +(1-t )(12b -13a )=2t -13a +1-t 2b .∵EG 与E H 是共线向量,∴16·1-t 2-12·2t -13=0,即t =35,40数学通讯 2007年第24期故E H =25(16a +12b )=25E G ,∴E H ∶H G =2∶3.评注　①由于本题的相关点均“生长”在■ABC 的三边上,所以选择以向量CB =a ,CA =b 作为基底比较合理.②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.例2　(第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCD EF 的两条对角线,点M ,N 分别内分AC ,CE ,使得AM ∶AC =CN ∶CE =r ,如果B ,M ,N 三点共线,求r 的值.分析　①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“B ,M ,N 三点共线”翻译成关于r 的一个方程.②由于B ,M ,N 三点所在直线过顶点B ,因此选择向量B A 、BC 作为基底比较合理,再把向量B M ,B N 用基底表示之,则不难得到关于r 的方程.图2　例2图解　∵AM ∶AC =CN ∶CE =r ,∴AM ∶MC =CN ∶N E =r ∶(1-r ).由推论1可知BM =r BC +(1-r )B A ,B N =r BE +(1-r )BC .∵ABCDEF 是正六边形,∴B E =2(B A +BC ),∴B N =2r (B A +B C )+(1-r )BC=(1+r )B C +2r B A .∵B ,M ,N 共线,∴r ·2r -(1-r )(1+r )=0,解得r =33.评注　由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合,因此上述解法通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度.2.2　证明三角形的面积关系例3　如图3所示,已知■AB C 的面积为14cm 2,D ,E 分别是边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =B E ∶EC =2∶1,求■P AC 的面积.分析　由于已知■AB C 的面积,因此要计算■P AC 的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到■ABC 与■P AC 是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量B A =a ,BC =c 为基底,再把向量BQ ,B P 用基底表示之,则就大功告成了.图3　例3图解　连结BP 并延长交AC 于Q ,设B A=a ,BC =c .∵C ,P ,D 三点共线,∴B P =t BD +(1-t )BC ,又∵BD =13B A =13a ,∴B P =t 3a +(1-t )c .∵A ,P ,E 三点共线,∴B P =λB A +(1-λ)B E ,即B P =λa +2(1-λ)3c .由平面向量基本定理可知t3=λ且1-t =2(1-λ)3,解得λ=17,∴B P =17a +47c .设BQ =μBP =μ7a +4μ7c ,因为A ,Q ,C三点共线,所以μ7+4μ7=1,即μ=75,∴B P =57BQ ,PQ =27BQ ,S ■PAC =27S ■BAC =4cm 2.评注　在用向量方法解决平面几何问题时,除注意基底的合理选择外,还需注意方程412007年第24期数学通讯思想的应用,虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导,则思路还是比较自然.2.3证明三点共线问题例4　(2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)设O,P是平面上的两个不同的点,四边形AB CD是平行四边形,两条对角线相交于点O,点P不在直线AB关于直线CD 对称的图形上,M,N分别是线段P A,PB的中点,Q是直线MC与直线ND的交点.证明:P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD的选择无关.分析　要证明P,Q,O三点共线,只须证明PO=λPQ,注意到O是AC的中点,即有PO=12(P A+P C)成立,故可选择向量P A,PC为基底,再设法把向量PQ也用基底表示之即可.图4　例4图证明　∵M,N分别是线段PA,PB的中点,∴MN瓛12AB.∵ABCD是平行四边形,∴AB瓛C D,即MN瓛12CD,∴Q C=2MQ,由推论1可知PQ=23PM+13PC=13P A+13P C.又因为O是线段AC的中点,由推论2可知PO=12(P A+PC),所以PQ=23PO,即PQ,PO共线,且PQ=23PO,即P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.评注　证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之的思路自然且易于操作.2.4证明平面几何中的定值问题例5　已知G是■ABC的重心,过点G 任作一条直线l,分别交边AB,AC于点D, E,若AD=x AB,AE=y AC.求证:1x+1y为定值.分析　当点D与点B重合,即x=1时,且E为AC之中点,即y=12,此时1x+1y=3,因此只须证明1x+1y=3即可.所以只须得到关于x,y应满足的方程即可,注意到D,G,E三点共线及G是■ABC的重心,因此可选择以向量AB,AC为基底,由向量AG 的两种不同的表示方法得到此方程.图5　例5图证明　∵D,G,E三点共线,∴AG=λAD+(1-λ)AE=λx AB+(1-λ)y AC,又∵G是■ABC的重心,所以AG=23AF=13AB+13AC,由平面向量基本定理可知λx=13,且(1-λ)y=13,∴1x+1y=3λ+3(1-λ)=3(定值).通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:1)把平面几何问题转化为平面向量问题;2)合理选择一组基底;3)把问题涉及的向量用基底表示之;4)得到需要的结论并回归到平面几何问题.(收稿日期:2007-09-04)42数学通讯 2007年第24期。

三角形的定比分点公式及应用

三角形的定比分点公式及应用设在三角形ABC的边AB上，有两个点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，其中m、n、p为正实数，且满足m+n+p=1、则称点D和点E是边AB上的定比分点。

应用：1.线段分点定比问题：已知两点A、B，找到两点之间的一个点P，使得AP:PB=m:n。

这个问题可以通过将线段AB看作三角形的一条边，然后应用定比分点公式来解答。

2.定比分点的证明：如果在三角形的边上有一个点是边的中点，则此点与边两端的点成1:1:1的定比分点。

证明如下：设在三角形ABC的边AB上有一点D是边AB的中点，即AD=BD，则AD:DE:EB=AD:AD:BD=1:1:1同理，三角形的另外两条边上也存在中点，可以利用定比分点公式得到其它的定比分点。

3.相似三角形的性质：如果在两个相似三角形的相应边上分别取定比分点，则这两个定比分点所确定的线段也是相似三角形的定比分点。

例如，在相似三角形ABC和DEF中，AB:DE=BC:EF=a，如果在边AB上取定比分点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，则有BC:EF=AD:DE:EB=m:n:p=a。

即在三角形DEF中，BC是EF的定比分点。

4.解决长度比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与长度比例有关的数学问题。

例如，在已知等腰直角三角形ABC中，如果AD是边AC上的定比分点，即AD:DC=m:n，则可以根据定比分点公式求出在边AC上的偏距AD和线段AB、BC的长度。

5.解决面积比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与面积比例有关的数学问题。

例如，已知三角形ABC中，面积为S，若点D是边AB 上的定比分点，即AD:DB=m:n，则可以根据定比分点公式求出三角形ABD 和三角形ACD的面积，并据此计算出三角形ABC的面积。

总结起来，三角形的定比分点公式是一个重要的几何定理，它可以在解决线段或面积比例问题中起到重要的作用，能够推导出一些三角形的性质和关系。

定比分点的向量公式及应用

定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。

在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。

在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。

这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。

定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。

通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。

在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。

假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。

当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。

通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。

除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。

在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。

一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。

对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。

定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。

例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。

通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。

此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。

向量的定比分点公式运用

向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。

那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。

下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。

1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。

假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。

若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。

2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。

根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。

令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。

3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。

可以使用向量的定比分点公式求解。

假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。

其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。

这样可以求得平均向量v_avg的坐标。

4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。

根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。

将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。

5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。

根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。

我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。

圆锥曲线定比分点和韦达定理

圆锥曲线定比分点和韦达定理圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在几何学中，圆锥曲线定比分点是指在圆锥曲线上取定比分点的方法，而韦达定理则是关于圆锥曲线上点的坐标之间的关系定理。

本文将分别介绍圆锥曲线定比分点和韦达定理的概念、原理和应用。

一、圆锥曲线定比分点1. 椭圆的定比分点椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在椭圆上取一点P(x, y)，连接PF1和PF2，并延长交椭圆于点Q。

若满足条件|PF1|:|PF2|=m:n，则称P为椭圆的定比分点，记作P(m:n)。

2. 双曲线的定比分点双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a 的点P的轨迹。

在双曲线上取一点P(x, y)，连接PF1和PF2，并延长交双曲线于点Q。

若满足条件|PF1|:|PF2|=m:n，则称P 为双曲线的定比分点，记作P(m:n)。

3. 抛物线的定比分点抛物线是平面上到定直线L和定点F的距离相等的点P的轨迹。

在抛物线上取一点P(x, y)，连接PF并延长交抛物线于点Q。

若满足条件|PF|:|PL|=m:n，则称P为抛物线的定比分点，记作P(m:n)。

圆锥曲线定比分点的性质和应用：1. 定比分点构造了圆锥曲线上的一类特殊点，它们具有一些特殊性质，如与圆锥曲线上其他点的位置关系、几何意义等。

2. 定比分点可以用来解决一些几何问题，如确定圆锥曲线上满足特定条件的点的坐标、证明一些几何性质等。

二、韦达定理韦达定理是关于圆锥曲线上点的坐标之间的关系定理，它适用于椭圆、双曲线和抛物线。

具体来说，对于圆锥曲线上三个不共线的点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)、P3(x3, y3)，若它们满足关系式：%[ %frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} = %frac{(y-y_1)(y-y_2)}{(y_3-y_1)(y_3-y_2)} %]则这三个点共线。

定比分点向量公式

定比分点向量公式定比分点向量公式是一种在几何学中使用的数学工具，用于计算两个给定向量之间的夹角和距离。

它是一种应用于平面几何的技术，能够以有效的方式测量两个向量之间的距离或角度。

定比分点向量公式已经用于许多不同的几何计算任务，如求解直线的斜率、计算所有的三角形面积、计算多边形的周长和面积以及计算多边形内部的面积等。

它也用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。

定比分点向量公式的定义定比分点向量公式的定义为：给定两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则它们的定比分点向量公式为：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这里的“Vec”表示向量，a1和b1表示向量a的第一个分量，a2和b2表示向量b的第二个分量。

定比分点向量公式的作用定比分点向量公式的作用是根据两个给定向量确定它们之间的夹角和距离。

因此，该公式能够有效地求解平面几何中的距离和角度，也可以用于空间几何中的计算。

定比分点向量公式的用法要使用定比分点向量公式，首先要给定两个向量a和b，然后将它们表示为a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的形式。

接下来，就可以将它们代入定比分点向量公式中：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这样就可以得到两个向量之间的夹角和距离。

定比分点向量公式的应用定比分点向量公式可以用于许多不同的几何计算任务。

它可以帮助我们计算直线的斜率、三角形的面积、多边形的周长和面积以及多边形内部的面积。

此外，它还可以用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。

定比分点向量公式的优点定比分点向量公式的优点在于，它可以帮助我们有效地计算几何中的距离和角度，而无需考虑具体的坐标系。

此外，它还可以节省大量时间，因为它可以在非常短的时间内完成计算任务。

最后，它还可以帮助我们更好地理解几何中的各种概念，因为它可以清楚地描述几何中的距离和角度。

线段的定比分点

线段的定比分点
教学目标：⑴明白得定比分点的概念，能依照线段长度求比值λ；
⑵把握定比分点坐标公式，中点坐标公式的推导及应用。

教学回忆：
一．定比分点的概念
1．设直线l 上两点P P P ,,21是l 上不同于21,P P 的任意一点，若存在一个实数λ，使，则λ叫做点P 分21p p 所成的比。

2．当P 是线段21P P 的内分点时，=λ ；当P 是线段21P P 的外分点时，=λ 。

例题1⑴若点P 分AB 所成比为5
2，求点A 分PB 所成的比λ； ⑵若点P 分AB 所成比为2-，求点B 分AP 所成的比λ。

二．定比分点坐标公式：
3．设P P P ,,21的坐标分别为()()()y x y x y x ,,,,,2211，则=x ，=y ，当1=λ时，即点P 为线段21P P 的中点，则=x ，=y 。

4．设P P P ,,21的坐标分别为()()()y x y x y x ,,,,,2211，则P 分21p p 所成的比=λ = 。

例题2见书本P116
⑶点P 是AB 的内分点，()()3,4,4,0B A ，且点P 分AB 所成的比与点B 分PA 所成的
比互为相反数，求P 点的坐标。

三．定比分点的应用：
例题3 ⑴已知()()()3,5,0,4,8,0--C B A ，点D 分AB 的比为
3
1，E 在BC 上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求点E 的坐标；
⑵*已知()()()4,2,1,3,4,1C B A -，求△ABC 中∠A 的平分线AD 的长。

运用定比分点的向量公式解题

运用定比分点的向量公式解题浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平教材给出了直角坐标系内线段的定比分点的坐标公式，由于直角坐标系中的点与向量有种一一对应的关系，我们也可得到线段的定比分点的向量公式，这为我们解决一些数学问题提供了方便，更能为我们开拓解题思路，提高解题分析的能力。

1．定比分点向量公式：如图1，设()111,y x P 、),(222y x P 平面上的两点，点P 线段21P P 上不同于1P 、2P 的任一点，则存在一个实数λ，使21PP P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，则21211111OP OP λλλλλ+++=++=。

2．证明：OP PP P PP P -=-==221121,,λ ，()()21211,OP OP λλλ+=+∴-=-∴，故λλ++=121OP3．应用例1．如图2，已知()()()3,8,3,2,1,1-C B A ，且E D ,是线段BC 的三等分点，试求向量AE AD ,的坐标。

解析： E D ,是线段BC 的三等分点，,2,21==∴ 得，()-=-21，()-=-21，.32,32AE AD +=+=∴ ()()()3,8,3,2,1,1-C B A ，()()4,7,2,1-==∴，故()()2,5,0,3-==例2．如图3所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且DC k BD =，E 为AD 上的一点，且EA l DE =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段CA 所成的比λ。

解：∵FA CF λ=，∴λλλ+++=111，又l =，∴l l l +++=111，而kkk +==1， ∴llk l k ++++=1)1)(1(，图1ABD CEF 图3x∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA t BC t BF t λλλ+++=11 ∴BA tBC t BA l l BC k l k λλλ+++=++++111)1)(1(∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。