五法求二面角

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求二面角的六种方法

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。

本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。

它利用向量的夹角来表示二面角。

首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。

通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。

二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。

它利用坐标系中的点来表示二面角。

我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。

三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。

它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。

通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。

四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。

五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。

六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。

它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。

通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。

不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。

总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。

二面角求法总结

二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。

具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。

通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。

二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。

这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。

三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。

通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。

这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。

四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。

如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。

这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。

五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。

如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。

这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。

六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。

通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。

这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。

七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。

通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。

这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。

求二面角的五种方法

五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。

一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。

二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s 投影面=s 被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42 ∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC∴BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC ∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP ∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

二面角问题求解方法大全

v1.0 可编辑可修改五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AMB --的大小。

练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

四、射影面积法（coss S射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。

定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. （2010全国I 理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°.例3（2010浙江省理，20题，15分）如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.练习（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，60ABC∠=︒,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。

二面角求解方法

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=90∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42 ∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP ∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角5种常见解法立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下:直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线‘得出平面角，用定义法时‘要认真观察图形的特T 生；例、如图，已知二面角a-a-p 等于120° ,PA 丄a ,A ea,PB 丄例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA 丄平面ABCD ，一、定义法: - —面角I可见楼型—不见棱型解法垂线法 *垂面法积法十P ，Bep.求 z APB 的大"、.PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a，z ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、（2003北京春）如图,ABCD-AiBiCiDi是长方体，侧棱AA】长为1, 底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面GDE与面CDE所成二面角的正切值・DAB例、△ ABC 中，Z A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P-AC-B的大小为45°。

求（1 ）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小例、（2006年陕西试题）如图4，平面丄平面，n =h AG ，BG ，点A在直线I上的射影为Al，点B在I的射影为Bl，已知AB=2 ? AA 1=1，BBi=2，求：二面角Ai —AB — Bi 的大小.A三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角 I 的面、及棱I 的距离分别为四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射=$原85 ,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA 丄平面ABCD ，PA=AB= a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

求无棱二面角大小的五种方法

求无棱二面角大小的五种方法作者：胡旭光来源：《新高考·高一语数外》2009年第08期求二面角的大小时,若二面角的棱没有给出,而只给出一个公共点,那么通过该点怎么找出平面角呢?笔者针对此类无棱二面角问题归纳出了五种解法.请看下面的例子.图1例1 已知三棱锥ABCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,点E,F分别在棱AC,AD上,使面BEF⊥面ACD,且EF∥CD,则面BEF与面BCD所成的二面角的正弦值为.一、平行线法(其理论依据是直线与平面平行的性质.具体作法是:在二面角的一个面内作(找)一直线与另一个面平行,则过二面角两面的公共点且与该直线平行的直线就是所求二面角的棱)解析因为EF∥CD,EF面BCD,所以EF∥面BCD.图2过B作BG∥CD,如图2,则BG为BEF与面BCD的公共棱.因为∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,所以CD⊥CB,CD⊥AB,即CD⊥面ABC,所以CD⊥BE.而CD∥BG,所以BG⊥BE,BG⊥CB.故∠EBC即为面BEF与面BCD所成的二面角的平面角.又面BEF⊥面ACD,CD⊥BE,EF∥CD,所以BE⊥AC,则∠EBC=∠CAB,sin∠CAB=CBAC.因为∠ADB=60°,BC=CD=1,所以AB=6,AC=7.故sin∠CAB=CBAC=77.二、垂面法(其理论依据是:如果两相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线必与第三个平面垂直.据此,如果图形中能作出一个平面与无棱二面角的两个面都垂直,那么该平面与两个面的交线所成角就是该二面角的平面角)解析因为∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,所以CD⊥CB,CD⊥AB,即CD⊥面ABC.而又因为EF∥CD,所以EF⊥面ABC.所以面ABC与面BEF及面BCD的交线所成角就是所求二面角的平面角,即∠EBC为所求.由上面的解法可知sin∠CAB=CBAC=77.三、平移法(其理论依据是:一个平面与两个平行平面相交,它们所成的二面角相等或互补.具体作法,将无棱二面角一个面平移到适当位置,可得到一个与所求二面角相等或互补的有棱二面角,然后作出该二面角的平面角便可求解)图3解析过点E作EG∥BC,连结FG,如图3,则易知面BCD∥面EFG,所以面BEF与面BCD所成的二面角等于面EFG与面BEF所成的二面角.因为EF为面EFG与面BEF所成的二面角的平面角的公共棱,而由上面的解法可知EF⊥面ABC,所以∠BEG为所求二面角的平面角.又因为EG∥BC,所以∠BEG=∠EBC.由上面的解法可知sin∠CAB=CBAC=77.四、面积射影法(其理论依据是:如果平面图形E的面积为S,它在平面M内的射影E′的面积为S′,并且E所在平面与平面M所成角为θ,那么cosθ=S′S)图4解析过点E作EG⊥BC,交BC于点G,过点F作FH⊥BD,交BD于点H(因为AB⊥平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,E在平面BCD内的射影在BC上,同理F在平面BCD内的射影在BD上),如图4.易知EG∥FH,而EF∥CD,EF面BCD,所以EF∥面BCD.所以EF∥GH,所以四边形EGHF为平行四边形,则EF=GH.又由CD⊥面ABC,知EF⊥面ABC,所以cosθ=S′S=S△BGH S△BEF=12BG•GH12BE•E F=BGBE.所以面BEF与面BCD所成的二面角的正弦值为77.五、构造法(即根据已知空间图形构造成正方体或长方体,然后将所求的二面角转化到正方体或长方体中进行考虑)图5解析将三棱锥ABCD补成一个长方体,如图5,延长EF交DR于点G,连结GH,则面BEF与面BCD所成的二面角转化为面EBHG与面BCDH所成的二面角.而且易知面EBHG与面BCDH所成的二面角的平面角为∠EBC,所以面BEF与面BCD所成的二面角的正弦值为77.例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,AD,DD1的中点,求平面EFM和平面CC1D1D所成的角.解析法一如图6,连结EF并延长,交CD延长线于点N,连结MN,则MN为平面EFM与平面CC1DD 1的交线.设正方体的棱长为2a,由于E,F,M分别为AB,AD,DD1的中点,所以由图可知ND=DM=DF=a.因为MN=MF=FN=2a,所以△MNF为等边三角形.取MN的中点R,连结DR,RF,则DR⊥MN,FR⊥MN.所以∠DRF为平面EFM与平面CC1D1D所成的二面角的平面角.在Rt△MDN中,由MD•ND=MN•DR,得RD=22a.所以在Rt△RDF中,tan∠DRF=DFRD=a22a=2,所以∠DRF=arctan2,即平面EFM与平面CC1D1D所成的角为arctan2.图6图7法二设所求二面角为θ.如图7,取CD的中点H,连结MH,则EH⊥CD,所以EH⊥平面CC1D1D.故△HDM是△EFM在平面CC1D1D上的射影.设△HDM和△EFM的面积分别为S′,S,则有S′=Scosθ.①设棱长为2a,则DM=DH=a,故S′=12a2.②连结DE,在Rt△MDE中,DM=a,DE=5a.所以ME=6a.又有MF=EF=2a,所以S=32a2.③将②、③代入①,cosθ=33.由sec2θ=1cos2θ=3,tan2θ=sec2θ-1=2,所以tanθ=2,即平面EFM与平面CC1D1D所成的角为arctan2.下面一题给同学们练一练.图8如图8所示,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a,求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.(答案:45°)。

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC—B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

二面角问题求解方法大全

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AMB --的大小。

练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P ADE —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

(1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

练习2如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

二面角求法及经典题型归纳

以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

【原稿】五法求二面角

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-FGFG练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为2E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。

求二面角的六种常规方法

求二面角的六种常规方法二面角是指两个平面或两条直线的交角，常见的二面角有以下六种常规方法：1.夹角法：即利用两个平面的夹角来计算二面角。

给定两个平面，可以通过计算它们的法向量之间的夹角来得到二面角。

这个方法常用于计算两个平面的夹角，如计算棱镜的二面角、计算物体的棱角二面角等。

2.夹线法：这种方法主要用于计算两条直线的交角。

给定两条直线，可以通过计算它们的斜率之差来得到交角。

这个方法常用于计算直线的交角，如计算两个平面的交线的二面角、计算两个物体的接触面边缘的二面角等。

3.余角法：这种方法是在夹角法的基础上进行的改进。

给定两个平面或两条直线的夹角，可以通过计算其余角来得到二面角。

余角是指二面角的补角，即与二面角相加等于180度的角。

通过计算余角，可以得到二面角的大小和方向。

4.三角函数法：利用三角函数的性质，可以通过已知的边长或角度来求解二面角。

根据已知的边长和角度，可以使用正弦、余弦或正切函数等来求解二面角。

这个方法在计算复杂的三维图形或角度时非常有效。

5.矢量法：这种方法利用矢量的性质来计算二面角。

给定两个平面或两条直线的法向量，可以通过计算它们的夹角来得到二面角。

矢量法常用于计算立体图形的面角二面角、计算两个物体的平行面边缘的二面角等。

6.投影法：这种方法利用到给定的图形在投影面上的投影来计算二面角。

给定两个平面或两条直线的投影面，可以通过计算它们的投影线之间的夹角来得到二面角。

投影法常用于计算物体的棱角二面角、计算物体在投影面上的映射角等。

以上六种常规方法是计算二面角常用的方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算的准确性和效率。

二面角的五种求法.doc

(1)二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠βα--l 的平面角。

(2)二面角的通常求法a.由定义作出二面角的平面角；b.作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。

c.利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；d.空间坐标求二面角的大小;(法向量法)e ．射影面积法例１：在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C 后，BC=21AB ，求二面角B-AD-C 的大小。

证明：连结BC ，在等边三角形ABC 中设AB=AC=a ,则BD=CD= a例2：（2006年广东高考题）如图右所示，DE AF ,分别是⊙o 、⊙1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ，BC 是⊙o的直径，6==AC AB ，AD OE //（1）求二面角F AD B --的大小；解：（法一）AD 均与两圆所在的平面垂直AF AD AB AD ⊥⊥∴,故BAF ∠是二面角F AD B --的平面角。

ABCA的中点为BC D CDAD BD AD ⊥⊥∴,为二面角C AD B BDC --∠∴21ABBC 21= 又a BC 21=∴为等边三角形BCD ∆∴∠∴060的大小为二面角C AD B --∴BC 是⊙o 的直径，AB=AC∴ BC AO ⊥又AF 是⊙o 的直径∴四边形ABCF 是正方形∴BAF ∠=450即二面角F AD B --的大小为450（法二）运用空间向量坐标运算以A 为原点建立空间直角坐标系A-XYZ ，如图所示：由（法一）可知：四边形ABCF 是正方形则A （0，0，0），D （0，0，8），B （6，0，0），C （0，6，0），F （6，6，0）)0,6,6(),0,6,0(-==∴→→BC AC O DA 圆⊥ ，AC DA ⊥∴又AB AC ⊥ ，→∴AC 是面DAB 的法向量同理，O DA 圆⊥ ， BC DA ⊥∴ 又BC AF ⊥ →∴BC 是面DAF 的法向量2226636||||,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→BC AC BCAC BC AC∵二面角F AD B--所成的角为锐角 ∴二面角F AD B --的大小为450***（法三）以A 为原点建立空间直角坐标系A-XYZ ，如图所示：由（法一）可知：四边形ABCF 是正方形则A （0，0，0），D （0，0，8），B （6，0，0），C （0，6，0），F （6，6，0）)0,6,6(),8,0,0(),0,0,6(===∴→→→AF AD AB ，设),,(z y x n =→为面DAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅→→→→AB n AD n即⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==00608y z y z ,令1=x ，则)0,0,1(=→n同理：设),,(z y x m =→为面DAF 的法向量，则)0,1,1(-=→m22211||||,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→m n mn m n ∵二面角F AD B --所成的角为锐角 ∴二面角F AD B --的大小为450***例3：射影面积法如图5，二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半平面α内, △ABC 在平面β内的射影为△A 1B 1C 1，那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABCS S θθ∆∆=应满足.（思考例题2用射影面积法）。