最新人教版八年级数学上册第十二章全等三角形小结导学案

第十二章全等三角形小结导学案

一、学习目标：

1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统；

2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。

二、学习重点、难点：

学习重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。学习难点：提升分析问题、解决问题的能力。

三、本章知识结构图：

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四、回顾与思考：

1、请你举一些生活中的全等形。

2、全等三角形的概念及性质；

3、三角形全等的判定；

4、角平分线的性质及判定

5、你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？

知识点一：证明三角形全等的思路

通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：

⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩

SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS

找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：ACF BDE ∆≅∆。

思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

知识点二：构造全等三角形

例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。

思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。

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例 3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。

思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90 到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

知识点三：常见辅助线的作法

1. 连接四边形的对角线

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

2. 作垂线，利用角平分线的知识

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。

思路分析：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。求证：2AC AE =。

思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

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