2016春鲁教版数学九下5.2《圆的对称性》word教案2

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春鲁教版数学九下5.2《圆的对称性》word教案2

5.2圆的对称性（2）一、学习目标1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理3、会运用垂径定理解决有关问题重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用二、知识准备：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

三、学习内容：提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

练习： 1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、给出几何语言例 1 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3⑴求的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

四、知识梳理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。

五、达标检测：B1、如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____2、已知，如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。

鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计2

鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计2一. 教材分析《圆的对称性》是鲁教版数学九年级下册第五章第二节的内容。

本节课主要学习圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径，圆有无数条对称轴，圆的对称性质等。

这部分内容是圆的基本性质之一，对于学生理解圆的概念，掌握圆的性质，以及后续学习圆的其它性质有着重要的意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了轴对称图形和中心对称图形的基础知识，对对称性有一定的理解。

但在实际应用中，对圆的对称性的认识和运用还需要进一步的加强。

此外，学生对于抽象的数学概念的理解和运用还需要提高，因此需要通过实例和实际操作来帮助学生理解和掌握圆的对称性质。

三. 教学目标1.知识与技能：理解圆的对称性质，能够运用圆的对称性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性质的理解和运用。

2.难点：圆的对称性质的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和实际操作，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：通过提问和解答，引导学生主动探究和解决问题。

3.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教具准备：圆规、直尺、剪刀、彩笔等。

2.教学课件：制作相关的教学课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实例，如剪出一个圆，然后将其对折，让学生观察对折后的图形，引导学生思考圆的对称性质。

2.呈现（10分钟）展示圆的对称性质的定义和性质，如圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径，圆有无数条对称轴等。

同时，通过图示和实例，解释和证明圆的对称性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，如用圆规和直尺画出圆的对称轴，或者剪出一个圆，然后尝试将其对折，观察对折后的图形。

九年级数学下册《圆的对称性》教案、教学设计

-运用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作讨论等方式，发现并理解圆的对称性质。
-使用直观演示法，利用多媒体和几何画板等工具，形象直观地展示圆的对称性质，帮助学生克服难点。
2.教学过程：
-导入：通过展示生活中具有对称美的圆形物体，激发学生的兴趣，引导学生关注圆的对称性。
-新课导入：以学生已有的知识为基础，引导学生通过观察、思考和讨论，发现圆的对称性质。
-知识讲解：系统讲解圆的轴对称和中心对称的概念，强调对称轴和对称中心的作用。
-实践应用：设计具有挑战性的问题，让学生运用圆的对称性解决问题，巩固所学知识。
-归纳总结：引导学生总结圆的对称性质，形成知识体系，加深理解。
3.教学评价：
-采用形成性评价，关注学生在课堂上的表现，及时给予反馈，指导学生改进学习方法。
-结合圆的对称性质，尝试解决以下问题：如何在圆中找到一条弦，使得这条弦平分给定的两条弧？
3.创新作业：
-利用圆的对称性，设计一个创意图案，要求具有美观性和实用性，如可以作为装饰画或应用于生活用品；
-与同学合作，开展一次关于圆的对称性的研究，可以选择历史、文化、艺术等方面的课题，进行深入研究并撰写研究报告。
九年级数学下册《圆的对称性》教案、教学设计
一、教学目标Βιβλιοθήκη （一）知识与技能1.理解圆的轴对称和中心对称的概念，掌握圆的对称轴和对称中心；
2.学会运用圆的对称性分析解决问题，如求圆上的对称点、对称线段等；
3.能够运用圆的对称性进行简单的图案设计，培养学生的审美观念和创新能力；
4.掌握圆的弦、弧、圆心角等基本概念，并能运用其性质解决相关问题。
五、作业布置
为了巩固学生对圆的对称性的理解，提高他们的几何思维和创新能力，特布置以下作业：

初中数学初三数学下册《圆的对称性》教案、教学设计

2.逻辑推理和证明过程的严密性。
-在证明圆的对称性质和相关定理时，学生可能会出现推理不严、论证不完整的情况。
-教学中应注重培养学生的逻辑思维能力，通过师生共同讨论、互评作业等方式，提高证明的严密性和准确性。
（三）教学设想
1.创设情境，激发兴趣。
-教学将从生活中的圆引入，如车轮、硬币等，让学生感受到圆的对称美和实用性，激发学习兴趣。
（三）学生小组讨论
1.问题驱动的讨论：教师提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，共同探讨圆的对称性质在实际问题中的应用。
-设计不同难度的题目，让学生在讨论中逐步掌握圆的对称性质。
-学生在小组内分享解题思路和策略，提高合作交流能力。
2.教师巡回指导：教师在各小组之间巡回指导，观察学生的讨论过程，给予及时的反馈和建议。
3.培养学生的逻辑推理能力和批判性思维。
-在证明圆的相关性质时，学生需要运用严密的逻辑推理，教师指导学生进行批判性思考，检验证明过程的严密性和正确性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生欣赏数学美的情感，激发学习数学的兴趣。
-通过展示圆在各种文化和艺术中的应用，让学生体会圆的对称美，从而增强对数学美的感知和欣赏。
3.培养学生的几何直观和空间想象力。
-通过作图和观察几何图形，学生应能够发展对圆及其相关图形的直观认识。
-教学设想中应包含多种直观教具和动态软件，帮助学生构建几何图形的空间想象。
（二）教学难点
1.圆的对称性质在复杂几何问题中的运用。
-学生在解决涉及圆的复杂问题时，往往难以发现对称性的应用。
-教学中应采用问题驱动的教学方法，引导学生通过分析问题特点，逐步发现并运用对称性质。
-教师可以通过展示生活中的圆实例，让学生体验圆的对称美，提高他们对数学美的感知能力。

鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》说课稿1

鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》说课稿1一. 教材分析鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》是本册教材中的一个重要内容。

本节课主要让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴的特点。

通过学习，让学生体会圆的对称性在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对轴对称图形和中心对称图形有了初步的认识。

但是，对于圆的对称性的理解还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动形象的例子和实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究圆的对称性。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴的特点。

2.过程与方法：通过观察、分析和推理，培养学生探究圆的对称性的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，体会数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆的对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

2.教学难点：理解圆的对称性在实际生活中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究圆的对称性。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等，直观展示圆的对称性，增强学生的直观感受。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，如圆桌上的蛋糕如何平均分配，引出圆的对称性。

2.探究圆的对称性：引导学生观察和分析圆的性质，推理出圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

3.案例分析：通过一些生活中的实例，如圆形的桌面、硬币等，让学生体会圆的对称性在实际生活中的应用。

4.小组讨论：让学生分组讨论，分享自己对圆的对称性的理解和应用。

5.总结提升：教师引导学生总结本节课的主要内容和知识点。

6.课堂练习：布置一些有关圆的对称性的练习题，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.圆是轴对称图形2.圆有无数条对称轴3.圆的对称性在实际生活中的应用八. 说教学评价通过课堂表现、课堂练习和课后作业等方式，评价学生对圆的对称性的掌握程度。

《圆的对称性》教学设计

《圆的对称性》教学设计《圆的对称性》教学设计作为一名人民教师，时常需要编写教学设计，借助教学设计可以更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展。

教学设计应该怎么写才好呢？以下是小编收集整理的《圆的对称性》教学设计，欢迎大家分享。

《圆的对称性》教学设计1一、教材分析：《圆的对称性》是义务教育课程标准实验教科书六年级上册第四单元第59页的内容。

它是在学生已经认识了长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形等平面图形和初步认识轴对称图形和对称轴基础上进行学习的。

这是学生研究曲线图形的开始，是学生认识发展的又一次飞跃。

教材注重从学生已有的生活经验和知识背景出发，结合具体情境和操作活动激活已经存在于学生头脑中的经验，促使学生逐步归纳内化，上升到数学层面来认识圆也是轴对称图形，体会到圆是轴对称图形且有无数条对称轴。

考虑到小学生的认知水平，教材并没有给出圆的对称特征的描述，但教材通过观察与思考、画一画等活动帮助学生逐步对此加以体会，为学生到中学学习圆的知识提供了感性认识和直观经验。

通过对圆的有关知识的学习，不仅能够加深学习对周围事物的理解，提高解决简单实际问题的能力，也为以后学习圆柱、圆锥等知识和绘制扇形统计图打好基础。

二、教学内容：教材59页例3。

三、设计思想：现代课堂教学是以现代先进的教育思想和教学理论为指导的，以面向全体学生，全面提高学生作为现代人应具备的基本素质为根本目的，以充分体现学生主体地位，实现教学过程最优化为基本特征的实践活动。

“圆的对称性”的设计我力求体现：1、数学于生活，中出示的几种生活中的图形都是轴对称图形图形，很自然的就为学生创设了问题情境。

2、强化操作，在操作中探究，画一画、剪一剪、折一折，让学生在操作中感知圆对称性特征。

3、运用，用新颖的教学手段加深学生的印象，激发学生的求知欲，发挥图象的效果，让学生建立深刻的印象。

4、将知识还原于生活，运用于生活，不断激发学生的思维，促进学生思维活动的发展，培养创新意识，又让学生感受到数学起源于生活，又能应用于生活。

鲁教版数学九年级下册第五章《圆》教学设计

鲁教版数学九年级下册第五章《圆》教学设计一. 教材分析鲁教版数学九年级下册第五章《圆》是整个初中数学的重要内容，主要介绍了圆的定义、性质、圆的度量、弧度制、圆的方程等基本知识。

本章内容在学生的数学知识体系中占有重要地位，为学生进一步学习高中数学和从事相关领域的工作奠定了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认知和推理能力有一定的提高。

但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还存在一定的困惑，特别是圆的方程和弧度制的理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解和掌握圆的相关知识。

三. 教学目标1.了解圆的定义和性质，掌握圆的标准方程和一般方程。

2.理解弧度制的概念，熟练进行角度与弧度的互换。

3.能够运用圆的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

4.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质2.圆的标准方程和一般方程的推导3.弧度制的理解和应用4.圆的方程在实际问题中的应用五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究和解决问题。

2.利用多媒体和实物模型，直观展示圆的性质和方程。

3.采用合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。

4.注重学生的个体差异，给予学生个性化的指导。

六. 教学准备1.多媒体教学设备2.圆的相关模型和教具3.教学课件和教案4.练习题和测试题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的圆形物体，引导学生关注圆的形状和特点。

提问：你们对这些圆形物体有什么认识？什么是圆？2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质，引导学生通过观察和思考，总结圆的特点。

展示圆的标准方程和一般方程，解释弧度制的概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用圆的知识解决实际问题。

例如，计算圆的周长和面积，将角度转换为弧度等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）呈现一些有关圆的练习题，让学生独立完成。

鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计1

鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性》是鲁教版数学九年级下册第五章第二节的内容。

本节课主要学习圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径，以及圆的对称性质在实际问题中的应用。

教材通过丰富的实例，引导学生探索圆的对称性质，培养学生的观察能力、推理能力和应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初级代数、几何等知识，具备了一定的逻辑思维和推理能力。

但对于圆的对称性的理解和应用，还需要通过实例和引导，进一步深化。

此外，学生对于实际问题的解决，还需要教师的引导和鼓励。

三. 教学目标1.理解圆的对称性质，掌握圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径的性质。

2.能够运用圆的对称性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和应用能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和应用。

2.实际问题中圆的对称性质的运用。

五. 教学方法1.实例教学：通过丰富的实例，引导学生观察、推理，探索圆的对称性质。

2.问题驱动：提出实际问题，引导学生运用圆的对称性质解决问题。

3.合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探索圆的对称性质。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和实际问题。

2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生的学习效果。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆形物品，如硬币、圆桌等，引导学生观察这些物品的对称性。

提问：你们认为圆有什么特殊的对称性呢？呈现（10分钟）教师展示课件，通过实例介绍圆的对称性质。

如圆是轴对称图形，任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴；圆的对称轴是直径，直径两端的点在圆上，且直径垂直于通过这两点的任意直线。

操练（10分钟）教师提出实际问题，如在圆形桌面上有若干个物品，如何才能使这些物品关于圆心对称？引导学生分组讨论，运用圆的对称性质解决问题。

巩固（10分钟）教师引导学生总结圆的对称性质，并运用于其他实际问题。

如在圆形操场跑步，如何找到自己的跑步节奏？引导学生运用圆的对称性质，找到合适的跑步节奏。

圆的对称性教案

教学过程一、课堂导入前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。

圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴二、复习预习圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D 为端点的弧有两条：优弧ACD(记作 ACD)，劣弧ABD(记作 AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．直径是弦，但弦不一定是直径．三、知识讲解考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧;如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E,∴= ，=C垂径定理的推论1：平分弦（此弦非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧如图，∵CD是圆O的直径，EA=EB,∴= ，=，⊥垂径定理的推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧如图，∵CD是圆O 的直径，∴= ，=，⊥C垂径定理的推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

四、例题精析例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）【规范解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故选C．【总结与反思】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键考点二例2 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）【规范解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．【总结与反思】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键考点三如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8cm，求直径AB的长．【规范解答】解：连接OC，∵直径AB⊥CD，∴CM=DM=cm，∵M是OB的中点，∴OM=由勾股定理得：OC2=OM2+CM2∴，∴OC=cm（3分）∴直径AB的长=cm．【总结与反思】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解考点四如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D，（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8cm，CD=2cm，求（1）中所作圆的半径．【规范解答】解：（1）M就是所求的圆的圆心；（2）设圆的半径是r．在直角△ADM中，AM=r，AD=4，DM=r﹣2．根据勾股定理即可得到：r2=42+（r﹣2）2解得：r=5．即圆的半径为5cm【反思与总结】圆中半径、弦长、弦心距之间计算可以转化为直角三角形之间的计算课程小结。

鲁教版初中数学九年级下册《圆的对称性(2)》导学案

五、拓展提高：
教材13页习题5.3第3题。
反思：
（2）什么是1°的弧? 1°的圆心角所对的弧的度数是多少？1°的弧所对的圆心角的度数是多少？与同伴交流。
（3）n°的圆心角的度数所对的弧的度数有怎样的关系?
2、师生归纳定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
3、定理应用：课本13页随堂练习
（二）目标2：圆的对称性及相关性质定理的应用。
1、阅读课本12页例2，独立完成解答过程。(学生板演)
学习内容与流程
一、复习旧知：
1、叙述圆心角的意义，叙述圆的轴对称性与中心对称性。
2、叙述与圆心角定理及推论的内容，结合图形用几何推理的形式加以表述。
(学生思考讨论后，回答)
二、导学过程：
（一）目标1：探索圆心角的度数与所对弧度数的关系。
1、阅读课本第11-12页例2前的内容，思考下列问题：
（1）把顶点在圆心的周角分成360份，每一份的圆心角的度数是多少？
三、当堂检测：
1、如右图，已知是⊙O的直径，为弦，．过圆心作交BC于点，连接，则
2、在⊙O中,已知弦AB= cm,OA=4cm,求弦AB所对的两条弧的度数。
3、已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB,弧CE的度数为80°，求∠AOD
的度数。
四、自我评价
1、本节课有困惑的题自己的解法。
3、教师点评：此题可以有不同的解法,解题的关键是会求劣弧AB的度数以及过圆心O作弦AB的垂线利用勾股定理。
4、变式练习：例2中已知⊙O的半径为R，弦AB长为 R,试求弧AB的度数。
5、阅读课本12页例3，独立完成解答过程。(学生板演)
6、点评：求弧CE的度数应先求它所对圆心角的度数。
课题

圆的对称性2教案

圆的对称性2教案知识点二：圆的中心对称性.问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗?让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.做一做：在等圆⊙O和⊙O中，分别作相等的圆心角∠A O B和A O B(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得O A与O A重合.你能发现哪些等量关系吗?说一说你的理由.小红认为A B=A B，A B=A B，她是这样想的：∵半径O A重合，A O B=A O B，∴半径O B与O B重合，∵点A与点A重合，点B与点B重合，∴A B与AB重合，弦A B与弦A B重合，∴A B=A B，A B=A B.生：小红的想法正确吗?同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨.结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系.问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?你是怎么想的?否则当O A与O A重合时，O B与O B不能重合.3.将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O A重合.[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作.[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由.[生甲]由已知条件可知∠A O B=∠A O B.[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠O A B=∠O B A=∠O A B=∠O B A.[生丙]由△A O B≌△A O B，可得到A B=A B.[生丁]由旋转法可知A B A B.……[师]很好.大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到一种新的证明弧相等的方法——叠合法.[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径O A与O A重合时，由于∠A O B=∠A O B.这样便得到半径O B与O B重合.因为点A和点A重合，点B和点B重合，所以和重合，弦A B与弦A B重合，即，A B=A B.的理由是[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理.下面，我们一起来看一看命题的证明.(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)如上图所示，已知：⊙O和⊙O是两个半径相等的圆，∠A O B=∠A O B.求证：，A B=A B.证明：将⊙O和⊙O叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径O A与O A重合，∵∠A O B=∠A O B，∴半径O B与O B重合.∵点A与点A重合，点B与点B重合，∴∴与重合，弦A B 与弦A B重合.，A B=A B.上面的结论，在同圆中也成立.于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论.[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.(出示投影片§3.2.2B) [生]如下图示，虽然∠A O B=∠A O B，但A B≠A B，下面我们共同想一想.[师]如果我们把两个圆心角用①表示;两条弧用②表示;两条弦用③表示.我们就可以得出这样的结论：在同圆或等圆中②也相等①相等③如果在同圆或等圆这个前提下.将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说.(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确.可以通旋转法可知A B A B.……[师]很好.大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到一种新的证明弧相等的方法——叠合法.[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径O A与O A重合时，由于∠A O B=∠A O B.这样便得到半径O B与O B重合.因为点A和点A重合，点B和点B重合，所以和重合，弦A B与弦A B重合，即，A B=A B.的理由是[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理.下面，我们一起来看一看命题的证明.(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)如上图所示，已知：⊙O和⊙O是两个半径相等的圆，∠A O B=∠A O B.求证：，A B=A B.证明：将⊙O和⊙O叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径O A与O A重合，∵∠A O B=∠A O B，∴半径O B与O B重合.∵点A与点A重合，点B与点B重合，∴∴与重合，弦A B 与弦A B重合.，A B=A B.上面的结论，在同圆中也成立.于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论.[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.(出示投影片§3.2.2B) [生]如下图示，虽然∠A O B=∠A O B，但A B≠A B，下面我们共同想一想.[师]如果我们把两个圆心角用①表示;两条弧用②表示;两条弦用③表示.我们就可以得出这样的结论：在同圆或等圆中②也相等①相等③如果在同圆或等圆这个前提下.将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说.(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确.可以通过旋转法或叠合法得到证明.[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到.[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论?[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，。

鲁教版五四制九年级数学下册教案及教学反思表格式全册

目录第五章圆1圆2圆的对称性*3垂径定理4圆周角和圆心角的关系5确定圆的条件6直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系第2课时圆的切线的判定“7切线长定理8正多边形和圆9弧长及扇形的面积10圆锥的侧面积第六章对概率的进一步认识1用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求简单事件的概率第2课时用树状图或表格求复杂事件的概率2 生活中的概率(略)“3用频率估计概率第五章圆主题第五章圆课型新授课上课时间教学内容1 圆；2 圆的对称性；*3 垂径定理；4 圆周角和圆心角的关系；5 确定圆的条件；6 直线和圆的位置关系：7切线长定理；8 正多边形和圆；9弧长及扇形的面积；10 圆锥的侧面积教材分析在初中阶段各个单元的相关知识的学习过程中，圆的知识具有非常重要的地位和作用，通过对圆的内容的学习，学生能初步掌握圆的相关知识，对与圆有关的基本概念及定理有了清楚的认识.但本单元知识点较多，学生在知识体系建构以及应用定理解决实际问题方面均需要一个循序渐进的过程.对于圆的学习，一方面从知识点的角度需要重点把握“圆的基本概念与定理”“与圆有关的位置关系”“与圆有关的计算”三大板块内容；另一方面结合本章典型例题归纳数学思想方法，通过创设开放性的问题情境，引导学生综合应用知识从不同角度展开提问并尝试解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新整合.教学目标1.知识与技能了解圆的定义和对称性；掌握垂径定理；理解圆心角、弧、弦的关系；掌握圆周角定理；知道与圆有关的位置关系；掌握圆的切线的性质；掌握圆的切线的判定；熟练应用切线长定理；理解圆的内接多边形对角互补；会计算弧长与扇形的面积及圆锥的侧面积.2.过程与方法通过对圆的知识的学习逐渐形成“圆的基本概念与定理”“与圆有关的位置关系”“与圆有关的计算”的知识网络体系.通过对经典例题的学习，构建圆的知识体系，内化数学思想方法，特别是辅助线添加和转化思想等难点问题.通过对经典例题的学习，逐步培养提出问题、分析问题的能力3.情感、态度与价值观通过师生合作探究，师生互动探究等启发性、探索性的学习模式，激发对数学问题的浓厚兴趣，提高学生积极性，树立对知识的探索精神，掌握圆的基本概念与定理、弧长与扇形面积的计算，体会探究成功的喜悦.教学重难点重点：1.圆的基本概念与性质2.与圆有关的定理与判定.难点：1.垂径定理的应用2.切线长定理的应用3.弧长与扇形面积的计算.知识结构圆圆的有关性质点、直线和圆的位置关系正多边形和圆弧长和扇形面积圆的对称性弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角和圆心角的关系点和圆的位置关系三角形的外接圆直线和圆的位置关系切线三角形的内切圆等分圆周弧长圆锥的侧面积和全面积扇形面积A B3课题1 圆课时1课时上课时间教学目标1.理解圆的概念及点与圆的位置关系2.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程3.在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生以定义为依据分析问题、解决问题的良好习惯教学重难点重点：点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的三种位置关系难点：会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系.教学活动设计二次设计课堂导入提出问题，引入新课看如图的投圈游戏，投圈目标都是图中的花瓶.他们呈“一”字排开，你若是其中一员，想站在哪里?为什么?对其他同伴公平吗?你认为排成什么样的队形才公平?探索新知合作探究自学指导自读教材2~4页的内容思考如下问题： (1)圆的定义是什么?(2)点与圆的三种位置关系分别是什么?(3)点与圆的三种位置关系中点到圆心的距离和半径有什么数量关系?合作探究1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.在自己的练习本上用圆规画一个圆，回答下列问题： (1)此圆把纸张分成了几部分?(2)请你在每一部分中各找一点作为代表，写出点与圆的位置关系(3)设此圆的半径为r,请写出与位置关系相对应的数量关系点与圆的位置关系若点A 在OO 内，OA<r;反过来，当OA<r,则点A 在OO 内若点A 在OO 上，OA=r;反过来，当OA=r,则点A 在OO 上若点A 在⊙O外，OA>r;反过来，当OA>r,则点A 在OO 外 3.设A=3 cm,作图说明满足下列要求的图形(1)到点A 和点的距离都等于2 cm 的所有点组成的图形(2)到点A 和点的距离都小于2 cm 的所有点组成的图形CAD(1) (2)B续表探索新知合作探究(3)到点A的距离都小于2 cm,且到点的距离都大于2 cm的所有点组成的图形A B(3)教师指导1.易错点：半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够重合.2.归纳小结：(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形(2)点与圆的位置关系：圆O的半径为r,点到圆心的距离为d时，d与r的关系点在圆外⇔d>r;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔d<r当堂训练1.与圆心的距离不大于半径的点的集合是( )(A)圆的外部 ()圆的内部(C)圆 (D)圆的内部和圆2.以点O为圆心作圆，可以作个 .3.已知A,两点的距离是3 cm(1)画半径为3 cm的圆，使它经过A,两点并回答，这样的圆能画几个?(2)过A,两点的所有圆中，是否存在最小圆和最大圆?若存在，请指出它们圆心的位置和半径大小，若不存在，请简要说明理由板书设计圆1.圆的定义2.圆心定位置，半径定大小3.点与圆的位置关系教学反思本节课的主要教学亮点如下：1.重视学生的操作实践活动.整节课通过让学生动手折一折、量一量、画一画来达到对直径、半径概念的理解.并从中深刻地体会到同圆中直径与直径、半径与半径、直径与半径的关系.2.充分发挥现代信息技术的作用.本节课充分利用多媒体课件的演示，使教学的内容更加生动有趣.3.重视让学生感受数学知识在日常生活中的应用.让学生体验到数学与人类社会的密切关系，如开始向学生提问“车轮为什么制成圆形”到最后问题的解决，使学生对生活中的事物的了解不但知其然还能知其所以然课题2圆的对称性课时1课时上课时间教学目标1.掌握圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间相等关系定理2.通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题、探究和解决问题的能力.3.通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣.在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐.在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心教学重难点重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理，并利用其解决相关问题难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的理解及定理的证明.教学活动设计二次设计课堂导入提出问题，引入新课：1.圆的两要素是它们分别决定圆的2.下列三种图形：①等边三角形；②平行四边形；③矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(填序号):探索新知合作探究自学指导自读教材7~8页的内容.认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念.(1)圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(3)直径：经过圆心的弦叫做直径.注意：(1)弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧B称为劣弧.如图中，以A,D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作AACD),劣弧AD(记作AD).半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆C 0D 成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆.半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧(2)直径是弦，但弦不一定是直径.动手做一做(1)请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗?2)圆是轴对称图形吗?如果是.它的对称轴是什么?你是怎么得到的"(3)圆是中心对称图形吗?如果是，它的对称中心是什么?你是怎么得到的?轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心合作探究1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方2.精读第8页“做一做”,合作探究：根据圆的旋转不变性能够得到什么?第一步：在等圆OO和OO'中，分别作相等的圆心角∠AO和∠A'O"(图1).第二步：将两圆重叠，并固定圆心(图2),然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA与O'A'重合(图3)B B B(B')0* A(0’0(0')A 0(0') A(A')B' B'A' A'图 1 图2 图3(1)通过操作，对比图1和图3,你能发现哪些等量关系?(2)你得到这些等量关系的理由是什么?(3)由此你能得到什么结论?续表探索新知合作探究定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等[例题]如图，在OO 中，A,CD 是两条弦，OE ⊥A,OF ⊥CD,垂足分别为E,F. (1)如果∠AO=∠COD,那么 OE 与OF 的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF,那么A 与CD 的大小有什么关系?为什么?∠AO与∠COD呢?弧的度数：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.一般地，n°的圆心角对着n°的弧. 教师指导 1.归纳小结：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心(3)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(4)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 2.方法规律：(1)本节课使用的方法有叠合法、轴对称、旋转、推理证明等 (2)圆具有旋转不变性(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等当堂训练 1.下列叙述：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②圆有无数条对称轴，任何一条直径都是它的对称轴；③相等的弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等.不正确的是 .(填序号)2.如图，在OO 中，AB=AC,∠AC=60°,求证：∠AO=∠OC=∠AOCCAOB板书设计圆的对称性1 圆的对称性2 圆心角、弦、弧之间的关系3 弧的度数教学反思《圆的对称性》是一节操作性很强的概念课.采用渗透和开发相结合的方式.从本节课的教学设计来看，教案能充分体现新的课程理念，精心设计好每一步教学流程.不仅考虑了教学内容，教学环节，更注重了学生的学习行为方式的改变，课程资源的开发利用.从新课的导入可以看到，充满生活色彩的开始，深深吸引学生，课堂教学中，调动学生参与学习的积极性，通过小组学习、交流探究、比赛等形式，激励学生积极参与合作学习，拓展了 “ 圆的认识”的知识内容，并注意评价的多元性、多向性.最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学知识解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习ACEF 0 DB'课题3 垂径定理课时1课时上课时间教学目标1.学会利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.运用垂径定理及其逆定理解决问题.2.经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法3.培养学生类比分析、猜想探索的能力.通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.教学重难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线教学活动设计二次设计课堂导入提出问题，引入新课： 1.等腰三角形是轴对称图形吗?2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论?3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢?探索新知合作探究自学指导如图， A 是 ⊙ O 的一条弦，作直径 C D , 使 C D ⊥ A , 垂足为 M .CMAD( 1 ) 该图是轴对称图形吗 ? 如果是，其对称轴是什么 ? ( 2 ) 你能发现图中有哪些等量关系 ?( 3 ) 你能给出几何证明吗 ? ( 写出已知、求证并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧合作探究1 . 小组讨论自学指导中出现疑问的地方2 . 如图， A 是 ⊙ O 的弦 ( 不是直径 ) , 作一条平分 A 的直径 C D , 交 A 于点 MCMAD( 1 ) 如图是轴对称图形吗 ? 如果是，其对称轴是什么 ? ( 2 ) 图中有哪些等量关系 ? 说一说你的理由( 3 ) 你能模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理吗 ?( 4 ) 你能正确表述逆定理的内容吗 ?(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . ”如果该定理少了 “不是直径”,是否也能成立?条件：①CD 是直径；②AM=M . 结论(等量关系):①CD ⊥A ;② AC=BC;③AD=BD.垂径定理的逆定理：平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 .BB续表探索新知合作探究3.精读第15页例题，思考如下问题： (1)如何利用所学定理添加辅助线? (2)这样添加辅助线的目的是什么?(3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题? (4)大家能合作完成求解过程吗? 教师指导1.易错点：(1)垂径定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦 (2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不可或缺，否则错误2.归纳小结：(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2)垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 3.方法规律：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件当堂训练1.如图，CD 为OO 的直径，弦A ₁CD 于点E,CE=2,AE=3,则△AC 的面积为( ) (A)3 ()5 (C)6 (D)8AE OC| DB2.在OO 中，弦A 等于OO 的半径，OC⊥A交OO 于点C,则∠AOC的度数为3.如图，点A,D,,C 在OO 上，A⊥C,DE ⊥A于点E.若C=3,AE=DE=1,求OO 半径的长.板书设计垂径定理 1.垂径定理 2.垂径定理的逆定理教学反思1.培养学生会用数学知识解决实际问题.数学来源于生活，又服务于生活.本节课专门设计了一个较为熟悉的实际问题，一是体现问题具有现实的用途——数学的有用性，二是与本节课的知识内容及数学思想方法有直接关系.选择小组合作的教学模式，发挥小组合作学习的优势.2.需要更加关注学生，把尊重学生、关注学生的发展动态始终放在第一位.注重学生间的合作交流，给学生多次展示自己的机会，培养学生语言表达能力及逻辑推理能力，给予适当的鼓励和表扬，增强学生学好数学的信心.在知识的应用过程中，注重数学思想方法的渗透(如本节课渗透从特殊到一般的数学思想),教给学生解决问题的办法DBEC课题 4 圆周角和圆心角的关系课时1课时上课时间教学目标1.了解圆周角的概念；掌握圆周角定理及其推论；2.在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法.3.在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性教学重难点重点：圆周角定理、圆周角定理的推导难点：运用数学分类思想证明圆周角定理教学活动设计二次设计课堂导入如图，当球员在，D,E处射门时，他所处的位置与球门AC分别形成三个张角∠AC,∠ADC,∠AEC,这三个角的大小有什么关系?探索新知合作探究自学指导思考什么样的角是圆周角，阅读教材P18~20内容合作探究一、圆周鱼的概令1.如图，∠AC,∠ADC,∠AEC是圆周角吗?什么是圆周角?2.它们与圆心角有什么区别?与同伴交流3.你能给圆周角下个定义吗?引导学生说出∠AC,∠ADC,∠AEC的共同特征，把握两点特征(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦，像这样的角，叫做圆周角.二、圆周角定理及推论1.做一做：如图，∠AO=80°.(1)请你画几个AB所对的圆周角.这几个圆周角有什么关系?与同伴进行交流(2)这些圆周角和圆心角∠AO的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流学生所画圆周角展示：AC引导学生通过度量验证这些圆周角和圆心角∠AO的大小有什么关系，并启发学生思考：为什么不同位置的圆周角度数相同?从而初步得出结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.2.议一议在T1中，改变∠AO的度数，你得到的结论还成立吗?说说你的想法，并与同伴交流.3.证明续表ACBBoCA BEBVDBA C探索新知合作探究[ 例题 ] 如图， ∠ C 是 A B 所对的圆周角， ∠ A O 是 A B 所对的圆心角 . 求证：B B B0 0/ 0C(1) C(2) (3)根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论： ( 1 ) 圆心 O 在圆周角 ∠ C 的一边上，如图 ( 1 ) ; ( 2 ) 圆心 O 在圆周角 ∠ C 的内部，如图 ( 2 ) ( 3 ) 圆心 O 在圆周角 ∠ C 的外部，如图 ( 3 )先引导学生明确题意，再根据圆周角和圆心角的位置关系，进行分析 — — 讨论 — — 证明 . 证明时先让学生证明圆心 O 在圆周角 ∠ C 的一边上的情况，对于另外两种情况教师应适时进行引导，分析如何添加辅助线，将其转化为 ( 1 ) 的情况进行证明 . 4 . 总结归纳通过以上证明过程你能得出什么结论 ?圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 . 5 . 得出推论(1)由足球射门中，∠AC =∠ADC =∠AEC ,推理得出结论：同弧所对的圆周角相等 (2)若把同弧换成等弧，结论还成立吗?结论仍然成立 . 由此得出圆周角定理的一个推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 . 教师指导归纳总结1 . 圆周角的概念：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦，像这样的角，叫做圆周角 .2 . 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 .3 . 推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 . 同弧或等弧所对的圆周角相等 .当堂训练1.如图，已知CD 是OO 的直径，过点D 的弦D 平行于半径OA,若∠D的度数是50° 则∠C的度数是( )(A)25°()30° (C)40°(D)50°2.如图，A,,C 为OO 上三点，若∠OA=46°,则∠AC的度数为板书设计1.圆周角圆周角和圆心角的关系2.定理及推论教学反思本节课，以学生探究为主，配合多媒体辅助教学.在教学过程中，将问题式教学法、启发式教学法、探究式教学法、情景式教学法、互动式教学法等多种教学法融为一体，创设富有挑战性的问题情境，引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想.在教学中，注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主体作用.运用适度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，不仅“学会”,而且“会学”“乐学”. 引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的方式进行学习，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发现新知，发展能力.与此同时，通过适时的点拨、精讲，使观察、猜想、转化、归纳、实践、推理、验证、分类讨论贯穿在整个教学观察之中.课题5确定圆的条件课时 1课时上课时间G0 BCA D 第1题图,0A B 第2题图0)教学目标1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法以及三角形的外接圆、三角形的外心等概念2.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.3.形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神. 教学重难点重点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，会作三角形的外接圆难点：“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的探索过程教学活动设计二次设计课堂导入提出问题，引入新课(1)经过一点你能画出几条直线?(2)经过两点你能画出几条直线?(3)已知线段A,你会作线段A 的中垂线吗? (4)经过几点能确定一个圆?探索新知合作探究自学指导1.作圆，使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆?同学们按照先找到圆心，再确定半径，最后画圆的方法，并尝试能作出多少个圆? 2.作圆，使它经过已知点A,.(1)你作出的圆的圆心的分布有什么特点?与线段A 有什么位置关系?为什么? (2)线段A 的垂直平分线上有多少个点?这些点都可以作为圆心吗?3.作圆，使它经过已知点A,,C(A,,C 三点不在同一条直线上).(1)以前我们学过：“到三角形三个顶点距离相等的点”是它们三边什么线的交点? (2)这个交点就是圆心的理由是什么? (3)究竟应该怎样找圆心呢?定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 .4.如果A,,C 三点在同一条直线上，你还能作出过A,,C 三点的圆吗?为什么?合作探究1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆.它们外心的位置有怎样的特点?(1)锐角三角形的外心在三角形的什么位置? (2)直角三角形的外心在三角形的什么位置?(3)钝角三角形的外心在三角形的什么位置?锐角三角形直角三角形钝角三角形续表探索新知合作探究教师指导1.易错点：(1)确定圆的条件一定注意“不在同一条直线上”(2)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点(3)三角形的三个顶点确定的圆是三角形的外接圆2.归纳小结：(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心3.方法规律(1)锐角三角形的外心在三角形的内部(2)直角三角形的外心在斜边的中点.(3)钝角三角形的外心在三角形的外部(4)“经过三点能否确定一个圆”培养学生分类讨论的数学思想当堂训练1.一个三角形的内心、外心都在三角形内，则这个三角形一定是( )(A)直角三角形 ()锐角三角形(C)钝角三鱼形 (D)等腰三鱼形2.下列命题不正确的是( )(A)过一点能作无数个圆 ()过两点能作无数个圆(C)直径是圆中最长的弦 (D)过已知三点一定能作圆3.在Rt△AC中，A=6,C=8,则这个三角形的外接圆直径是.4.△AC外接圆的面积是100πcm2,且外心到C的距离是6cm,求C的长A0.B C板书设计确定圆的条件1.过已知点A作圆2.过已知点A,作圆3.过不在同一直线上的点A,,C作圆教学反思回答“经过三点能否画直线”问题上可能出现分歧，部分回答“不能画出直线”或“可以画一条直线”“以上两种情况都有可能"等.教师不宜过早作结论，而是通过让学生对问题的讨论、回答，达到预期目标优点：学生具备了用尺规作“线段垂直平分线”的操作技能，掌握了“线段垂直平分线的性质”,在经过点画直线等知识的学习过程中，发展学生的合作精神和探究能力，让学生了解分类讨论的数学思想方法和类比方法.缺点：找三角形的外心的方法，要引导学生分类，不能死记硬背，应该借用多媒体来快速找.课题6直线和圆的位置关系课时第1课时上课时间教学目标 1.经历探索直线和圆的位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.了解。

(整理)初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

课题：第三章第2节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点)教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.[师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示：[师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?[生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.[师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴.[师]：同学们，这位同学回答的对吗？[生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习合作探究：探究活动一：圆的基本概念（让学生注意观察动画课件）学案(问题3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？学情预设：可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. [生1]：(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫C做半圆.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧.[生2]：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号. [生3]：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.[师] 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.[生4]：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.[生5]：直径是圆中最大的弦. 学生活动:整理好笔记.设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.探究活动二：垂径定理（问题4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.优弧AB半圆CD劣弧AB C学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕CD,在CD 上取一点M ，作CD 的垂线AB,然后再将圆沿CD 对折，观察，得出结论. [生1]：垂直关系；相等的量有，AM =BM , 因为圆沿直线CD 对折后，点A 与B 重合. [生2]：若只证明AM =BM ，还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA ,OB 则OA =OB 又 ∵CD ⊥AB∴AM =BM ,CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴点A 和点B 关于直线CD 对称 ∴ 教师活动:引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧．如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤① CD 是直径③AM =BM ，④② CD ⊥AB 于M ⑤ 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三：垂径定理的推论议一议：(问题5)同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. [生1]：成立. = ,== ,=AD=BDAC=BC∴OA =OB ,AM =BM , ∴ CD ⊥A B(三线合一) ∴ [生2]：不一定成立，如图，当AB 是直径时，CD 平分AB ，但不垂直AB .只有AB 不是直径时，才成立.[师]：同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题6）如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.师生共同归纳总结：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.（问题7）例题分析例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. [生]：解：连接OC ，设弯路的半径是R ，则OF =(R -90))m ∵OE ⊥CD = ,=∴CF =CD /2=300m （垂径定理）由勾股定理得 OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+(R -90)2 解得R =545所以，弯路的半径是545m.设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R 、弦CD 的长、弦心距OF 长、弓形高EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 三、归纳总结，拓展提高[师]：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.[生]：老师，如图，OC ⊥AB ，可不可以使用垂径定理.[师]：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯. 课堂检测:1.已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____. 考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题. 答案提示：解：过O 点作AB 的垂线，垂足是D ，且与弧AB 交于点C ,连接OA , ∵OC ⊥AB∴D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，∴OD =52-32=4∴DC =5-4=1所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为12.两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，若AB =4，CD =2，圆心到AB 的距离为l ，则大圆的与小圆的半径之比为____________.考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题. 答案提示：解：51222=+=OA21122=+=OC则大圆的与小圆的半径之比为21025=3. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答. 答案提示：由垂径定理知，mm oc 12530032522=-=油最大深度=325-125=200（mm ）4．已知：如图，⊙O 中， AB 为弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA .考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合.答案提示：解：设⊙O 的半径为r在直角三角形AOD 中，222OA OD AD =+所以，222)1(3r r =-+∴r =5cm ∴OA =5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定理解决问题.设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题;进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯.板书设计：教学反思：《圆的对称性》是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习.感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务.。

鲁教版初中数学九年级下册《圆的对称性(1)》参考教案

5.2 圆的对称性(1)教学目标(一)教学知识点1．圆的轴对称性、旋转不变性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(二)能力训练要求1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(三)情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法．教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学方法指导探索法．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?，[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。

直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．Ⅱ．讲授新课[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．[师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]很好．教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如右图。

以A 、B 为端点的弧记作AB ，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB 是⊙O 的一条弦，弧CD 是⊙O 的一条直径．注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A 、D 为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?哪位同学知道?[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗?下面我们继续来探讨．[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?[生]大小一样．[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?[生]重合．[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．[师]我们一起来做一做．按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′．[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′．[生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′．[生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′．[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．下面，我们一起来看一看命题的证明．(学生互相讨论交流．学生口述，教师板书)如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，，但AB≠A′B′，弧AB=弧A′B′下面我们共同想一想．[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用○2表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：①相等在同圆或等圆中 ②相等③也相等如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到，[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论?[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．∠2对BC，就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容．课本P10随堂练习1、2、3Ⅲ．课时小结[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形，利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理……Ⅳ．课后作业课本P10习题5.2Ⅴ．活动与探究(略)。

初中数学_【课堂实录】第五章第二节圆的对称性(第二课时)教学设计学情分析教材分析课后反思

教学过程设计复习回顾1．因为∠AOB＝∠A′O′B′，所以 .2．因为弧AB＝弧A′B′,所以 .3．因为AB＝A′B′,所以 .在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分别相等.【设计意图】通过复习回顾圆心角、弦、弧之间的相等关系的定理.为探索圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系做了知识铺垫.观察思考运用多媒体动态地展示等分360分圆心角、等分360份圆弧的过程，让学生的观察感知圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系.小结：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【设计意图】：运用多媒体动态地展示等分过程，从而感知圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系.让学生体验到知识的发现形成过程.利于培养学生的数学素养.巩固练习：已知⌒AB 和⌒CD 分别是⊙O 1与⊙O 2的两段弧，判断下列是否正确 1、如果⌒AB 的度数等于⌒CD 的度数，那么∠A O 1B=∠CO 2D （） 2、如果⌒AB 的度数等于⌒CD 的度数，那么⌒AB 等于⌒CD （） 3、如果⌒AB =⌒CD ，那么⌒AB 的度数等于⌒CD 的度数（）【设计意图】：主要考察学生对圆心角、弧、弦之间相等关系的转化.从而沟通了角与弧这两种不同几何图形之间的联系，使得与圆有关的角同弧之间可以实现相互转化.并强化了弧的长度与弧的度数.尝试新知：例1、在⊙O 中，已知弦AB 所对的劣弧为圆的31，⊙O 的半径为10，求弦AB 的长。

总结：本题根据弦AB 所对的劣弧为圆的31可得，由弧的度数可的【设计意图】：考察学生应用新知的的能力，先有同学独立思考后分析思路，明确解题思路后进行板书，再有同学从不同的角度评价解题过程，形成共识后让全体学生深刻理解由弧的度数化为所对圆心角的度数的转化思想的应用. 巩固新知变式1：在⊙O 中，已知AB=43cm ，OA=4cm ，求弦AB 所对的弧的度数。

北师大版数学九下《圆的对称性》word教案2

第三章圆2．圆的对称性（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。

在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。

学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。

学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。

同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。

二、教学任务分析这是“圆的对称性”的第2课时，学生利用旋转的方法得到圆的旋转不变性，特别圆是中心对称图形，对称中心为圆心；并利用它的旋转不变性重点探究了“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系”。

具体地，本节课的教学目标为：知识与技能：1．理解圆的旋转不变性；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。

情感态度与价值观：1．培养学生积极探索数学问题的态度与方法。

教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。

第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置）1、每人用透明的胶片制作两个等圆。

2、预习课本P94--97内容。

第二环节创设问题情境，引入新课活动内容：问题提出：我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？活动目的：为了引出圆的旋转不变性。

实际教学效果：让学生认识到圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，从而使学生较为自然地探讨圆的其他特性。

九年级数学下册3.2圆的对称性教案2

课题：3.2圆的的对称性教学目标：1．经历探索圆的轴对称性和中心对称性及其相关性质的过程；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的性质；3．经历探索圆旋转不变性，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．教学重点与难点：重点难点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．课前准备：圆形纸片，多媒体课件．教学过程:一、问题情境，导入新课活动内容：（多媒体出示）上一节我们学习了圆的相关概念，从这节课开始，我们学习圆的相关性质，以及由圆的各种性质而得出的定理和推论．问题1：请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？问题2：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？问题3：圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？处理方式：问题1可以放开让学生自由回答，如：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，圆内任意一点到圆心的距离小于半径等；若学生提到或未提到对称性，教师都可直接展示问题2和问题3，学生自己动手操作，并举手回答．问题2第一问可直接得出，第二问若学生回答对称轴是直径，教师需要及时点拨纠正，第三问可以通过折叠的方法得出，然后教师追问，“你能得到几条对称轴？”问题3第一问和第二问可直接得出，第三问可将圆心固定，将圆旋转180°，还能和原来的图形重合，此时教师可追问：“一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？”最后，师生共同总结圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（板书）旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与圆来的图形重合．特别的，当旋转180°时，中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（板书）设计意图：圆的对称性对于九年级来说较为简单，所以同时给出问题，让学生自己探索，利用纸片直观的感受圆的基本性质，教师需要及时纠正并总结，并适时的进行追问，从而得到结论，为后续的学习打下基础．二、探究学习，感悟新知活动内容1：今天我们先来研究一下圆的旋转不变性，看看由它能够得到什么．先来看仔细观看（多媒体演示）．第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′（图1），第二步：将两圆重叠，并固定圆心（图2），然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合（图3）．图1图2 图3问题1：通过操作，对比图1和图3，你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．问题2：由此你能得到什么结论？处理方式：教师利用多媒体演示操作过程后，让学生对比操作的初始图与最终图，让学生发现对应关系，从而利用叠合法得到等量关系．学生会发现很多等量关系，如：∠AOB＝∠A′O′B′（已知），OA＝OB＝O′A′＝O′B′（半径），∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′＝∠O′B′A′，，AB＝A′B′．问题1在学生独立思考后提问回答，其他同学补充，最后板书答案（也可直接阅读课本）：∵半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，∴与重合，弦AB与弦A′B′重合．即，AB＝A′B′．（这种利用重合来证明的方法叫做叠合法）问题2引导学生观察条件和结论，总结出定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．（板书）得出结论时，注意引导学生注意同圆或等圆条件，或提出若非同圆或等圆，结论是否成立．设计意图：本环节是通过实验探索通过圆的旋转不变性来发现圆的另一个特性，此环节鼓励学生用多种手段和方法探索图形的性质，从而对于本节课所学的定理有一个本质性的认识，从而更好的掌握．活动内容2：思考上述命题的逆命题是否成立，发散思维拓展新定理．问题1：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所的对的弦相等吗？你是怎么想的？问题2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？处理方式：先出示问题1，让学生进行充分的思考后再进行合作交流，对于前两问学生很容易就可以得出；对于第三问，教师需要适时点拨学生可仿照前面的证明方法进行推理：∵半径OA与O′A′重合，，∴点B与点B′重合．半径OB与O′B′重合．∴∠AOB与∠A′O′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴∠AOB＝∠A′O′B′，AB＝A′B′．解决完毕问题1后，追问：追问1：由此你能得到什么结论？学生可以总结逆命题1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．（板书）追问2：如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？引导学生回忆等弧的概念，从而发现等弧就已经涵盖了同圆或等圆这个条件了，所以不加也可．擦掉“在同圆或等圆中”得到：相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．然后再出示问题2，学生根据已有的学习经验可以得出结论：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．学生回答完问题2后，追问：追问1：一条弦所对的弧有几条？学生会发现，一条弦所对的弧有两条，从而发现原命题不够准确．追问2：上面的命题怎样叙述能够更准确？师生共同总结逆命题2：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等．（板书）活动内容3：归纳总结定理观察以上所得出的三条结论，你能将其总结为一条定理吗？处理方式：学生先试着总结，如果不够准确可自己看教材并理解．教师利用板书，将三条定理归纳为一条定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（板书）设计意图：本环节是本节课的关键环节，由老师进行精讲点拨，引导学生对原命题进行变化，从而得到两种逆命题，并对每一种变化进行适当补充.如等弧无需加同圆或等圆的前提条件，再如弦所对的弧有两种情况等.在逆命题都完成的情况下，及时进行总结，让学生随时回顾反思，从让学生讲三条定理综合起来，得到新的结论.三、例题解析，应用新知活动内容1：下面我们综合利用刚刚学到的知识解决一下下面一道例题.例如图4，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且．BE与CE的大小有什么关系？为什么？处理方式：学生自主完成，一名同学板书，教师巡视并适时指导，规范步骤．解：BE＝CE．理由是：∵∠AOD＝∠BOE，∴．又∵，∴．∴BE＝CE．活动内容2：例题变式变式：在例题的条件下，若C 为的中点，你还能得到哪些等量关系？试确定四边形OACE的形状，并说明理由．处理方式：第一问学生自由回答，只要理由充分即可．第二问可以让学生根据第一问的结果，并在充分的思考后进行交流，然后尝试写出证明过程，教师可利用口述或投影的方式，图4让学生展示答案．设计意图：本环节主要通过例题，强化学生对于定理的理解和应用，期间主要规范学生的书写步骤．变式练习主要结合课后随堂练习第3题，将其融入例题中，让学生对于定理的应用有更高的提升．四、回顾反思，达标检测活动内容1：回顾反思问题1：本节课你都学到了哪些知识？需要注意什么？问题2：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．处理方式：先出现问题1，让学生自己回顾本节课所学的定理，以及需要注意的问题后，举手回答，其他同学补充；再出现问题2，引导学生有意识地归纳、总结所使用的研究图形的方法，本节课使用的方法有多重，如叠合法、轴对称、旋转、推理证明等，先给学生时间思考交流后总结方法．活动内容2：达标检测必做题：1.（2014·贵港）如图，AB 是⊙O 的直径，，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°图5 图6 图72. 如图6，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，AB ＝DC ，△ABC 与△DCB 全等？为什么？选做题：3.如图7，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ,垂足分别为E ，F .（1）如果AOB COD ∠=∠，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？AOB COD ∠∠与呢？处理方式：根据教学时的剩余时间，以及学生的掌握情况，可以适当取舍题目，让学生自主完成．设计意图：本环节设计了三道题目，分别是两道必做题和选做题，其中第1题是弧与圆心角的对应关系，第2题是弧与弦的对应关系，第3题为三者的对应关系并加入弦心距的证明，意在加强对本节课定理的应用．板书设计：。

小学数学面试试讲真题《圆的对称性》教案、教学设计

小学数学《圆的对称性》教案、教学设计一、教学目标【知识与技能】知道圆是轴对称图形，理解圆有无数条对称轴，并能正确找出圆的对称轴，能根据圆的对称轴确定圆心。

【过程与方法】通过对圆的对称性的探究过程，提高动手操作能力，发展空间观念。

【情感、态度与价值观】体会数学与生活的联系，提升学习数学的兴趣。

二、教学重难点【重点】感受圆的对称性，会找圆的对称轴。

【难点】确定一个圆的圆心的方法。

.三、教学过程(一)导入新课复习：带领学生复习什么是轴对称图形。

组织学生列举一些生活中常见的轴对称图形。

由上节课学习的圆，引出圆的对称性的探究。

(二)讲解新知1.圆的对称性教师组织学生以同桌之间交流的方式，利用准备好的学具圆形卡片，通过折一折，探究圆是不是轴对称图形，如果是，又有几条对称轴，圆的对称轴有什么特点。

学生通过探究发现：将圆沿直径对折，正好两边完全重合，所以圆是轴对称图形，且圆有很多条对称轴。

师生总结：圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。

圆的对称轴经过圆心。

2.对称性的再理解带领学生回忆所学习过的所有平面图形，并通过大屏幕展示，例如：正方形、长方形、三角形、等边三角形、等腰三角形、梯形、等腰梯形、平行四边形……组织学生以数学小组为单位，判断哪些是轴对称图形?分别有多少对称轴?并填写书上表格。

学生汇报，教师总结：针对较难理解的平行四边形，教师进行整体展示，讲解平行四边形不是轴对称图形。

3.圆心的确定组织学生思考如何确定一个圆的圆心，并提供学具圆形卡片，组织学生小组讨论。

讨论结束后，教师找同学汇报结果。

师生总结：将圆对折两次，两次对折的折痕有一个交点，交点即为圆心。

(三)课堂练习找出下列图形的对称轴。

(四)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?作业：找一找生活中还有哪些轴对称图形?并数一数它的对称轴有几条，之后与父母分享。

四、板书设计。