第6章流体流动微分方程分析

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流函数拉普拉斯方程

流函数拉普拉斯方程流函数拉普拉斯方程是一种描述流体运动的重要方程，广泛应用于流体力学、电磁学等领域。

本文将从基本概念、方程的意义和应用等方面进行介绍。

我们来了解一下流函数的概念。

在流体力学中，流函数是描述流体流动的一种数学函数。

它的引入是为了简化流体流动的描述，使得方程形式更加简洁。

在二维流动中，流函数可以用来表示流体运动的特性，它是一个标量函数，满足拉普拉斯方程。

具体来说，对于二维流动，我们可以定义流函数为：ψ = ψ(x, y)其中，(x, y)为平面上的坐标点，ψ表示流函数。

通过流函数的定义，我们可以得到流体速度的两个分量：u = ∂ψ/∂yv = -∂ψ/∂x其中，u和v分别表示流体速度在x和y方向上的分量。

可以看出，流函数的引入将三维流动问题简化为了二维问题，从而简化了计算和分析的复杂性。

流函数拉普拉斯方程是描述流函数的方程，也是拉普拉斯方程在流体力学中的应用之一。

流函数拉普拉斯方程可以写成：△ψ = 0其中，△表示拉普拉斯算子，它表示对流函数ψ的二阶偏导数之和。

这个方程的物理意义是，在没有外力作用的情况下，流函数ψ满足的偏微分方程是零。

也就是说，流函数在流体运动中满足无源、无旋的条件，即流体运动是无旋的。

流函数拉普拉斯方程具有许多重要的性质和应用。

首先，它是一个椭圆型偏微分方程，具有良好的数学性质。

其次，它可以用来描述稳定的流体流动，例如稳定的定常流、稳定的湍流等。

此外，流函数拉普拉斯方程还可以应用于电磁学中的电势场和磁势场的求解，其中流函数对应电势或磁势。

在实际应用中，流函数拉普拉斯方程在流体力学和电磁学等领域具有广泛的应用。

在流体力学中，通过求解流函数拉普拉斯方程，可以得到流体的速度分布和流线的形状，从而帮助我们理解和分析流体运动的特性。

在电磁学中，流函数拉普拉斯方程可以用来求解电势场和磁势场的分布，从而帮助我们理解和分析电磁场的特性。

流函数拉普拉斯方程是一种重要的偏微分方程，用于描述流体运动和电磁场的分布。

工程流体力学课件第06章流体流动微分方程 - 4

② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )

第六章气体的一维定常流动知识讲解

工程流体力学
第六章气体的一维定常流动
第一节气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
pp(V,T)
EE(V,T) SS(V,T)
比定容热容和比定压热容
cV 比定容热容 c p 比定压热容两者的关系 cp cV
热力学过程
等温过程 p2 V1 p1 V2
绝热过程 dQ0
v
A
p dp 2 A dA
p dp
整理并略去二阶以上的无穷小量有
dF
v dv
vAdA v ddpF
dx
vdvdpdF0
A
单位质量流体的损失可以表示为
dF dx v2 A d 2
第七节实际气体在管道中的定常流动
粘性气体的绝热流动微分关系式可表示为
vdvdpdxv2 0 d2
联立可导出
ddvdA0 v A
能量方程由热力学
hcpTcR ppcpc pcVp1p
代入得
v2
h 2 h0
声速公式
p v2 -1 2
h0
c2 v2 -1 2
h0
c
p
RT
完全气体状态方程
RTv2 -1 2
h0
第四节气流的三种状态和速度系数
滞止状态：气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
d 2
0 .025
q m cv c rr 4 2 .86 35 .3 2 3 3 14 1 .80 ks g 76
第六节喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
1
qm,crAt212-1 p00
由连续方程求得
A A crccr At Acr v

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动

一、流体运动的基本方程回顾动量方程：粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管解：设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿

第六章流体力学的试验研究方法相似原理和量纲分析

和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立V 的公式结构。 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 为无量纲常数。式中k为无量纲常数。将各物理量的量纲
vc ] = LT −1 , [ ρ ] = ML−3 [
µ ] = ML−1T −1 , [ d ] = L [
（8-5b） 5b）
§8.2 相似准则与量纲分析
若模型与原型系统相似，若模型与原型系统相似，几何相似运动相似满足相似条件
x p = Cl xm , y p = Cl ym , z p = Cl zm
v px = Cv vmx , v py = Cv vm y , v pz = Cv vm z , t p = Ct tm
∂vpz
∂vpz
∂vpz
（8-5a） 5a）
∂vmz ∂vmz ∂vmz ∂vmz 1 ∂pm µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz + vpx + vmy + vmz = −gm − + 2 + 2 + 2 ρm ∂zm ρm ∂x m ∂y m ∂z m ∂tm ∂xm ∂ym ∂zm
动力相似
p p = C p pm , g p = Cg g m ,
其他物理量
ρ p = C ρ ρ m , µ p = Cµ µ m ,
（8-6）
§8.2 相似准则与量纲分析
（8-6）代入（8-5），可得到以模型参数和相似比例尺代入（），可得到以模型参数和相似比例尺表示的原型流动方程
2 CV ∂vmz CV ∂vmz ∂vmz ∂vmz + vmx + vmy + vmz = Ct ∂tm Cl ∂xm ∂ym ∂zm Cp 1 ∂pm Cv Cµ µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz −Cg gm − + 2 2 + 2 + 2 （8-7） CCρ ρm ∂zm C lCρ ρm ∂x m ∂y m ∂z m l

第六章热量传热微分方程.docx

第六章热量传热微分方程一、单相对流传热的一般数学模型对流传热是一种与流体运动及流体内部导热规律均有关的一种传热现象。

所以，对此过程的描述，需要同时采用描述流体流动和传热两方面的基本方程，即传热微分方程、导热微分方程、运动微分方程、连续性方程以及相应的单值条件。

下面分别介绍。

1.传热微分方程当流体流过固体壁面时，总存在一层很薄的流体粘附在表面上，这层流体总是处于静止状态(u=0),则热量只能依靠导热在该表而层传递。

因此，在此流体层任一微元面积dA的传热量dq,可以根据付立叶定律计算：d q = -lrf— dA—— (1)和So紧结固体壁面处(11=0)的流体层屮温度梯度,kf——流体的导热系数。

另外，根据对流传热基木方程，壁面与流体之间的传热量dg乂可写为:dq = h[t s -t f^dA = hAtdA (2)式中：M = t s-t f——固体壁面与流体间的温差。

h——对流传热系数。

由⑴,(2)两式相等得：(3)h亠並丽n=0此式即为传热微分方程。

欲求出对流传热膜系数h,则应先得出在该流体中的温度分布。

其温度分布可由导热微分方程描述。

2.导热微分方程：流体内导热微分方程在前面已有推导，在无内热源时为:上式常称为能量方程。

对于稳态的温度场，里=0。

oO因此式包括有未知量代，仏，冬，因此，欲求解上式，必须知道流体内的速度分布，这就需求解流体的运动微分方程。

3•运动微分方程：粘性流体的运动微分方程，即是奈斯方程:上述三个方程中有4个未知量：u x ,u y ,u :及P,所以述应引入一个方程，才能求解。

该方程就是连续性方程。

4.连续性方程：一般流体的连续性方程在前而已经导出，即:讪 | °（刊J |。

（刊J | 讥以J 二°— （6）dxdydz对于不可压缩性流体lp =常数），稳态流动（叟=0 ）时，有:30通过对上述四种方程求解，便可得出对流传热系数h 的一般解。

再加上单值条件，便可求得具体问题的解。

流体力学总结

流体力学总结第一章流体及其物理性质1. 流体：流体是一种受任何微小剪切力作用都能连续变形的物质，只要这种力继续作用，流体就将继续变形，直到外力停顿作用为止。

流体一般不能承受拉力，在静止状态下也不能承受切向力，在任何微小切向力的作用下，流体就会变形，产生流动 2. 流体特性：易流动(易变形)性、可压缩性、粘性 3. 流体质点：宏观无穷小、微观无穷大的微量流体。

4. 流体连续性假设：流体可视为由无数连续分布的流体质点组成的连续介质。

稀薄空气和激波情况下不适合。

5. 密度0limV m m V V δδρδ→==重度0lim V G Gg V Vδδγρδ→===比体积1v ρ=6. 相对密度：是指*流体的密度与标准大气压下4︒C 时纯水的密度〔1000〕之比w wS ρρρ=为4︒C 时纯水的密度13.6Hg S = 7. 混合气体密度1ni ii ρρα==∑8. 体积压缩系数：温度不变，单位压强增量引起的流体体积变化率。

体积压缩系数的倒数为体积模量1P PK β=9. 温度膨胀系数：压强不变，单位温升引起的流体体积变化率。

10. 不可压缩流体：流体受压体积不减少，受热体积不膨胀，密度保持为常数，液体视为不可压缩流体。

气体流速不高，压强变化小视为不可压缩流体 11. 牛顿内摩擦定律：du dyτμ=黏度du dyτμ=流体静止粘性无法表示出来，压强对黏度影响较小，温度升高，液体黏度降低，气体黏度增加μυρ=。

满足牛顿内摩擦定律的流体为牛顿流体。

12. 理想流体：黏度为0，即0μ=。

完全气体：热力学中的理想气体第二章流体静力学1. 外表力：流体压强p 为法向外表应力，内摩擦τ是切向外表应力〔静止时为0〕。

2. 质量力〔体积力〕：*种力场对流体的作用力，不需要接触。

重力、电磁力、电场力、虚加的惯性力 3. 单位质量力：x y z Ff f i f j f k m==++，单位与加速度一样2m s 4. 流体静压强：1〕流体静压强的方向总是和作用面相垂直且指向该作用面，即沿着作用面的内法线方向2〕在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。

《工程流体力学》第六章管内流动及水力计算

r02
4
d dl
(p
gh)
l
vl max
vl
r0
ro2
4
d dl
(p
gh)
粘性流体在圆管中作层
所以，vl
2020/6/11
ro2 r 2
4
d dl
( p gh)
流流动时，流速的分布为
一旋转抛物面。
12
《工程流体力学》第六章管内流动和水力计算
§6.4 圆管中的层流流动
三、平均速度和流量
qV
0
0
H
h1 9m；h2 0.7m； hw 13m 求： H
2 h1
h2
2
解：由伯努利方程（地面为0位势）
（H
h1
)
pa
g
0
h2
pa
g
2
22
2g
hw
紊流流动: 1.0
得H
2 2
2g
hw
h2
h1
42 2 9.806
13 0.7 9
5.52
(m)
2020/6/11
4
《工程流体力学》第六章管内流动和水力计算
持前种情况下的流速不变，流动又为何状态？
解：（1） v
qV A
4qV d 2
4 0.01 1.27m / 0.12
s
Re vd 1.27 0.1 1.27 105 2000
1106
所以水为紊流状态。
（2）
Re
vd
1.27 0.1
1.14 104
1114
2000
2020/6/11
μt —流体的脉动粘度；

流体力学第六章边界层流动5

2018/10/31 10
层流与紊流、雷诺数
在不同的初始和边界条件下，粘性流体质点的运动会出现两种不同
的运动状态，一种是所有流体质点作定向有规则的运动，另一种是
作无规则不定向的混杂运动。前者称为层流状态，后者称为湍流状态（别称紊流状态）。首先是英国物理学家雷诺在1883年用实验证
明了两种流态的存在，确定了流态的判别方法。
u???????????????????????用量纲分析的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组用量纲分析的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组621平板层流边界层微分方程精确解0??????yuxuyxre12222yuxuxpeuyuuxuuxxxyxx???????????????1121?11?11?11???2?2015112924忽略第二方程最后一项第三方程除压强项的其他项
vc d Re c
Re c
vc d

Re 2320时，管中是层流； Re 2320时，管中是紊流。
2018/10/31 13
根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种流动状态，若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层;若全部边界层内部都是湍流，称为湍流边界层；若在边界层起始部分内是层流，而在其余部分内是紊流，称为混合边界层。如图所示，在层流变为紊流之间有一过渡区。在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。
dp dU U dx dx
②第二式右边得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑式意义。
2018/10/31 25
布拉修斯利用相似性解法，引入无量纲坐标：
Rex
*
*

流体力学第6章流体运动微分方程

代入式(5)可得
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习：有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。

第6章-流体流动微分方程-例题汇编

∂p* = 0, ∂r
∂p* = 0, ∂θ
∂p* ∂z
=
μ r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂vz ∂r
⎞ ⎟⎠
(其中 p* = p + ρ gr sinθ )
② 由 r、θ方向运动方程，并考虑稳态条件可知：p* 只能是 z 的函数，即：
p* = p + ρ gr sinθ = C(z)
或
p ρ
+
gh
=
C1 ( z )
工程流体力学——第六章流体流动微分方程——例题
CH6-2
根据柱坐标系运动方程（6-33），代入本题条件有:
r:
∂∂vt r + vr ∂∂v rr + vrθ
∂∂ vθr − vrθ2 +v z ∂ ∂
vzr = fr −
1 ρ
∂p ∂r
+
μ ρ
⎛⎜⎝∂∂ r ⎜⎛⎝ 1r ∂(∂r rvr ) ⎟⎞⎠ + r 12 ∂∂θ2 v2r − r 22 ∂∂vθ θ + ∂∂ 2zv2
R
该问题所有参数沿 z 方向不变，属 r-θ 平面问
题。其中，因为流动沿切向、稳态且流动对
称，所以有
vr
=
0
，
vθ
=vθ
(r
)
，
∂vθ ∂t
= 0 ， ∂vθ ∂θ
=0
图 6-7 例 6-2 附图
又因为忽略重力影响，流动为纯剪切流，故压力沿流动方向不变，所以：
fr = fθ =0 ， ∂p / ∂θ = 0 对于 r-θ 平面问题，其连续性方程和运动方程分别为：
工程流体力学——第六章流体流动微分方程——例题

工程流体力学第6章粘性流体管道内流动

de 2ab ab
第6章粘性流体管道内流动
6.4 管内流动的两种损失
不可压粘性流体的总流伯努利方程：
V12 p1 V22 p2 1 gz1 2 gz2 hw 2 2
hw——单位重量流体损失的能量。
1.沿程（水头）损失
渐变流中由于流体微团、层间、流体与管壁间粘性摩擦引
教学内容
第0章绪论第1章流体的主要物理性质第2章流体静力学第3章流体流动的基本方程第4章旋涡理论和势流理论第5章相似理论与量纲分析第6章粘性流体管内流动第7章粘性流体绕物体的流动
第6章粘性流体管内流动
6.1 粘性流体中的应力分析
理想流体—无粘性，无切向应力；实际流体—有粘性，存在切向应力，表现为阻碍流体运动的摩擦力，消耗机械能。
是t时刻的脉动速度但脉动速度的时均量为零即u010tuudtt?在横向也存在横向脉动且第6章粘性流体管道内流动在横向yz也存在横向脉动且0vw依上法湍流中有瞬时压强p时均压强脉动压强p且pppp01tppdtt?010tppdtt?若湍流中各物理量的时均值如不随时间而变仅是空间点的函数即uvwp?第6章粘性流体管道内流动随时间而变仅是间点的函数即uuxyzppxyz?则被称为恒定的湍流运动但湍流的瞬时运动总是非恒定的
时，随着当逐渐加大玻璃管内流速到达某一上临界值 Vcr 玻璃管内流速的再增大，颜色水与周围清水混合，使整个圆管都带有颜色，表明此时质点的运动轨迹极不规则，各层质点相互掺混，称这种流动状态为湍流。
从层流到湍
流的转捩阶段称
为过渡流，一般将它作为湍流的初级阶段。
第6章粘性流体管道内流动
6.3.2 层流和湍流
6.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程

流体运动方程的应用

流体流动研究核心问题就是流动阻力问题，也就是动量传递速率问题。粘性流体流动时，流体内部存在速度梯度，导致流体流动产生粘性摩擦力。另一方面，速度梯度的存在使动量自发地从高速区向低速区传递，其结果是流体的动量不断地被消耗。这就是流体流动阻力产生的来源。应该指出，流体的这种内摩擦力与固体表面上的摩擦力存在着本质上的不同。固体摩擦仅发生在固体的外表面上，而流体与壁面之间的摩擦则发生在流体内部，因为紧贴壁面的流体与壁面之间没有相对运动。流体的流动阻力是由于壁面的介入，使流体内部出现速度梯度而进行动量传递，从而消耗了流体能量的结果。
将简化条件 uy= 0 代入y方向上的运动方程
uy uy uy uy 2 uy 2 uy 2 uy pd ux uy uz 2 2 2 x y z y z y t x
可得，
pd 0 y
uz uz uz uz 2 uz 2 uz 2 uz pd z方向 ux uy uz 2 2 2 x y z y z z t x
2.2 微分方程的化简 (1)连续性方程的化简：
由于流动仅为x方向上的一维流动，故 uy = uz = 0。所以连续性方程
y 2 ux umax 1 b
由常数C的值还可以求得流动方向上的压力梯度，即
1 dpd 3 C um dx b2
解得：
dpd 3 um dx b2
由上式可知，当流体作稳态流动且流体粘度不变时，动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，因此有
化简后，可得
pd 2 ux x y2
ux 又由于 0 x
ux 0 z

流体力学中的三大基本方程

a 流体质点加速度在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作稳定流动时，沿流线or无旋流场中流束运动时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和是常数，即机械能是守恒的，且它们之间可以相互转换。
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
gdz 1 dp d 0
2
2
gz
dP
C
设： const
2 gz p C
2
Or
z p 2 C
r 2g
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：

对流换热基本方程

=
用矢量形式表示，则为
局部的质量守恒表达式也可以写为
即
对于不可压流体，密度为常量, 连续性方程为
考虑到
( )=0
单击此处添加小标题
6-2 动量方程(参见图6-2)
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考虑作用于控制体上的力平衡
应用在x方向, 得到:
切向应力
得到
法向应力
能量方程(参见图6-3)
单位时间内由于热对流流体通过界面净携入控制体的能量单位时间内由于导热（分子扩散）在界面处净导入控制体的能量单位时间内作用在界面上的力对控制体内流体所作的功dW 之和，等于控制体内流体的总能量对时间的变化率dE
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热对流携入的净能量
01
添加标题
单位质量流体的总能量由内能与宏观动能组成，称为总能
因为
1
得到
2
等式左侧是熵的输运项，右侧两项分别是熵流和熵产(发热与耗散引起)，若控制体内存在内热源，右侧则增加内热源引起的熵增.
3
6-5 方程的封闭与求解方法质量、动量和能量守恒定律基础上的对流换热微分方程组揭示了流体的速度、压力和温度的变化规律
5个方程包含了u，v，w，p，t 5个未知量，对于三维常物性对流换热问题，方程组是封闭的，求解方程组可以得到速度场和温度场。若热物性随温度变化，可以利用连续方程、动量方程和能量方程耦合求解速度场、压力场和温度场，但必须补充物性方程，以使方程组封闭对流换热微分方程组的求解途径主要有：数学分析方法，数值求解方法和实验求解方法
01
数量级分析
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03
～
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02
数量级分析的目的是，应用传热学的基本原理对所研究的物理量的数量级进行估算，即确定其数量级范围

流体流动的多尺度分析与模拟

流体流动的多尺度分析与模拟摘要流体流动是自然界和工程领域中的重要现象，在许多领域都有着广泛的应用。

流体流动的多尺度分析与模拟是研究流体流动行为的一种重要方法。

本文将从不同尺度的视角出发，介绍流体流动的多尺度分析与模拟的基本原理和方法，以及其在不同领域中的应用。

1. 引言流体流动是指液体或气体在一定条件下的运动过程。

在自然界中，流体流动普遍存在于大气中的风、水流中的河流以及海洋中的洋流等。

在工程领域中，流体流动的应用十分广泛，涉及到液压机械、风洞试验、航空航天等方面。

而流体流动的研究需要从不同的尺度出发进行分析与模拟，才能全面理解其运动行为和规律。

2. 单尺度流体流动分析与模拟单尺度流体流动分析与模拟是研究流体流动行为的基础。

在这种模拟方法中，流体被近似为连续介质，其运动可以由一组偏微分方程描述。

常见的模拟方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。

2.1 有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值方法，常用于求解连续介质力学问题。

在流体流动中，有限元法可以用来求解流体的速度和压力场。

其基本思想是将连续介质划分为一系列小单元，利用基函数逼近流体场的变化，进而建立有限元离散方程组进行求解。

2.2 有限差分法有限差分法是一种常用的数值方法，适用于求解偏微分方程。

在流体流动中，有限差分法可以将偏微分方程的导数用差分近似替代，从而建立离散方程组进行数值求解。

有限差分法具有简单易实现、计算速度快等优点。

2.3 有限体积法有限体积法是一种基于守恒方程的数值方法，适用于求解控制体内的守恒量。

在流体流动中，有限体积法可以将流体域划分为一系列小的控制体，利用守恒方程对控制体进行积分，从而建立离散方程组进行数值求解。

3. 多尺度流体流动分析与模拟在实际流体流动中，流体的运动往往涉及到多个尺度。

比如在微观尺度上，流体的流动行为可以由分子动力学方法进行模拟；在介观尺度上，流体的流动行为可以由拉格朗日方法进行分析；在宏观尺度上，流体的流动行为可以由欧拉方法进行描述。

偏微分方程在流体力学中的应用

偏微分方程在流体力学中的应用流体力学作为物理学的一个重要分支，研究液体和气体等流体的运动规律和性质。

而偏微分方程是流体力学中常用的数学工具之一，它能够描述流体的运动、扩散以及其他相关的现象。

本文将探讨偏微分方程在流体力学中的应用。

一、流体运动的描述流体力学中，流体的运动可以通过一组偏微分方程来描述。

其中，最基本的方程是连续性方程和动量守恒方程。

连续性方程描述了物质的守恒，它表明单位时间内进入某一区域的物质质量等于离开该区域的物质质量。

动量守恒方程则描述了流体的加速度与外力之间的关系。

在这两个基本方程之上，还可以考虑其他补充方程，如能量守恒方程、热传导方程等，以便更加全面地描述流体的运动和性质。

二、偏微分方程的应用案例1. 流体流动的数值模拟偏微分方程在流体力学中的一个重要应用是流体流动的数值模拟。

通过将流体力学中的基本方程离散化，并采用数值方法求解，可以模拟各种复杂的流体流动问题。

例如，在工程上，我们可以利用数值模拟来研究风洞实验、水力学问题等，从而更好地指导工程设计和实践。

2. 边界层理论边界层理论是流体力学中的重要分支，它研究了流体在与固体壁面接触时的特性和行为。

在边界层理论中，偏微分方程常被用来描述流体在边界层内的运动。

例如，通过求解横流方程和能量方程，可以得到边界层内的速度剖面和温度剖面等重要参数，从而对流体的运动有更深入的认识。

3. 湍流模型湍流是流体力学中的一个重要概念，它描述了流体的不规则运动和涡旋结构。

湍流的建模是一个复杂的问题，偏微分方程可以帮助我们研究和理解湍流的发生和演化。

例如，雷诺平均N-S方程和雷诺应力传输方程是湍流模型中常用的偏微分方程，通过求解这些方程，我们可以预测湍流的行为和性质。

4. 波动理论在流体力学中，波的传播和散射是一个重要的研究方向。

偏微分方程在波动理论中扮演着关键的角色。

例如，线性的声波方程、电磁波方程等都是偏微分方程，它们能够有效地描述波在流体中的传播和与外界的相互作用。

流体流动动微分方程

微元体表面微元体表面
( vx v z ) ( v y vz ) ( vz 2) z方向动量 - z 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量的输入流量
22
微元体表面微元体表面
6-2.2 动量流量及动量变化率
微元体内的动量变化率：
微元内x方向 ( v x ) = dxdydz t 动量的变化率
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
引用随体导数的概念，可表示为另一种形式为：
D v x v y v z ( )0 Dt x y z
v 速度矢量
D / Dt
是密度

v
D ( v ) 0 Dt
7
6-1 连续性方程-直角坐标中的
输出微元体输入微元体 ( v x ) ( v y ) ( vz ) [ ]dxdydz x y z 的质量流量的质量流量微元体内的 = dxdydz 质量变化率 t
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t ( v) 0 t
( vx 2 ) ( v y vx ) ( vz vx ) x方向动量 - x 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量的输入流量微元体表面微元体表面
( vx v y ) ( v y 2 ) ( vz v y ) y方向动量 - y方向动量 =[ + ]dxdydz x y z 的输出流量的输入流量
xy
yx
dz dx yz
zx dz z xx xx dx