高三理科数学第一轮复习§8.4：直线、圆的位置关系

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广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件

(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置关系
图示
公共点个数
几何特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.

高考数学一轮复习第八章立体几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件

12/13/2021
第十页，共四十一页。
1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|－1－2 1|＝ 2，所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
(5)由xx22＋＋yy22－－44＝ x＋04，y－12＝0，得两圆公共弦所在直线为 x －y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 2
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
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【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半
就等于 1－ 222＝ 22，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为
置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
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2．(方向 2)已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6＝0 相交于 A，B

高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系

第4课直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是-6＜a ＜42.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于23.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的方程为 x =2或3x -4y -2=0 .【范例导析】例1.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|.求实数a 、b 间满足的等量关系.解：连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a .例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r，由已知得：a b r a ⎧⎪=⎪⎪=⎨ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1， l 2都相切. (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：（1）直线1:2,l y =设12l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，2k ∴=∴反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)，圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ，又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，a ∴=81b ∴=+=-，圆C 的半径r=3，故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=.例2（2）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则00004224y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得(2)B '-，固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为33B C '-=-.此时由121y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩1)2P .【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1，3)处的切线方程为20x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k的取值范围是-（ 3.设m>0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+，圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1，0)出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为)23,21(- 6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖． (1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥，求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥，所以圆心C 到直线l ，解得:1b =-±.所以直线l 的方程是:1y x =-±.。

高考数学一轮复习讲义8.4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d＜r Δ＞0相切d＝r Δ＝0相离d＞r Δ＜02.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的系相离d＞r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)无解1．对直线与圆位置关系的理解(1)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(3)(教材习题改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于2 5.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1.故直线与圆O 相交．(2)如图，圆心坐标为C (1,0)，易知A (1,1)，又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)A规律方法判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2014·郑州模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是 ( )． A ．(3，2) B ．(3，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案 (1)A (2)D考点二圆与圆的位置关系【例2】已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2(11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()．A．相离B．相交C．外切D．内切(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()．A．4 B．4 2 C．8 D．8 2解析(1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x －a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×(－10)2－4×17＝8.故选C.答案(1)B(2)C考点三有关圆的综合问题【例3】(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．审题路线(1)由两条直线解得圆心C的坐标⇒设过点A与圆C相切的切线方程⇒由点到直线的距离求斜率⇒写出切线方程；(2)设圆C的方程⇒设点M(x，y)⇒由|MA|＝2|MO|得M的轨迹方程⇒由两圆有公共点，列出关于a的不等式⇒解不等式可得．解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.规律方法 (1)圆与直线l 相切的情形——圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l .(2)圆与直线l 相交的情形——圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．【训练3】 (2013·江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3解析由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图象可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].答题模板10——与圆有关的探索问题【典例】 (12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．[规范解答] 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A ，B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. (2分)于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.(6分)设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2. 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， (8分) ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0.∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0. (10分) 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ＞0， (11分) 即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0 . (12分) [反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB .转化为OA →·OB →＝0. 答题模板第一步：假设符合要求的结论存在．第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．【自主体验】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离不大于2即可．圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离d＝|4k－2|(－1)2＋k2＝|4k－2|1＋k2，由题意知|4k－2|1＋k2≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤4 3.故k max＝43.答案4 3基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·广州二测)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()．A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值解析由y＝kx＋1知直线过定点(0,1)，由x2＋y2－2y＝0得x2＋(y－1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离解析两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．答案 B3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C4．(2014·宝鸡二检)若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为()．A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析由圆的方程得该圆圆心为C(－1,2)，则CP⊥AB，直线CP的斜率为－1，故垂直于AB的直径所在直线的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.答案 B5．(2014·威海期末考试)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x ＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()．A．k＝12，b＝－4 B．k＝－12，b＝4C．k＝12，b＝4 D．k＝－12，b＝－4解析因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝12，b＝－4.答案 A二、填空题6．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．解析显然x＝2为所求切线之一；另设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝07．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝08．(2014·三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x－y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3.答案 3 三、解答题9．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O 相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4r2，若点P在圆O上，则x20＋y20＝解析根据点到直线的距离公式有d＝x20＋y20r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x20＋y20＞r2，d＜r，相交；若点P在圆O 内，则x20＋y20＜r2，d＞r，相离，故只有①正确．答案 A2．(2013·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．A．52－4 B.17－1 C．6－2 2 D.17解析圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为52－4.选A.答案 A二、填空题3．(2014·福建质检)已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．解析依题意，直线l：y＝－3(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 34 三、解答题4．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3. (3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |， ∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9， ∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

题型探究题型一直线和圆相交例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程． (2)代数方法设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切线方程即可求出．【说明】过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中，只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.4 直线与圆

解法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝m|2m＋| 1<1< 5，故直线 l 与圆相交．
解法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l
与圆相交．
3．[教材改编]直线 l：3x－y－6＝0 与 x2＋y2－2x－4y＝0，相交于 A，B 两点，则|AB|＝___1_0____.
__相__交__．___
3．必记结论
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
小题快做 1.思考辨析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( × ) (2)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
第八章平面解析几何
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲展示
三年高考总结
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，
圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等
判断圆与圆的位置关系．考查比较频繁，一般为选择题、填空题，以中等难
所以直线与圆相交． (2)若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有|a＋2|≥1 解得 a≥ 5－2 或 a≤－ 5－2，故选
5 D.
典例2
命题角度 2 求弦长问题 [2014·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0，被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截
2 55 得的弦长为___5_____．

2025年高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】

参考答案
1．C [由题意可得
＝2，于是圆心 C 到直线 l 的距离 d＝
＝＝
＝r，所以直线和圆相切．故选 C.] 2．C [当切线的斜率不存在时，直线 x＝2 是圆的切线．当切线斜率存在时，设切线方程为 y－3＝k(x－2)，由(0，0)到切线距离为 d＝＝2，得 k＝，
此时切线方程为 y－3＝ (x－2)，即 5x－12y＋26＝0.故选 C.] 3．D [令直线 l 与圆 C 交于点 A，B，依题意，∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，而圆 C 的圆心 C(2，0)，半径 r＝2，
可得
＝
，整理得 x2＋(y＋1)2＝4，则圆(x－a)2＋(y－2a
＋ 4)2 ＝ 1 与圆 x2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 4 有公共点，则 2 －
1≤
≤2＋1，
即 1≤5a2－12a＋9≤9，解得 0≤a≤ .故选 D.]
9．AC [直线 l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由
＝，＝，
解得 k＝；当直线 l 过 B 点时，直线 l 的斜率 k＝＝1，则直线 l 与半圆有
两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为， .故选 A.]
5．D [点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，得
＝，
由
消去 y 并化简，得 x2－2x＝0，
＝
解得 x＝0 或 x＝2，所以点 P 的横坐标的取值范围为[0，2].] 14．x＋2y＋1＝0 [⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0 的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2

2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

6．若圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2－6x－8y－m＝0 相切，则 m 的值为_－__9__或__1_1．
【解析】 x2＋y2－6x－8y－m＝0 可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切，所以 32＋42＝1＋ 25＋m或 32＋42＝|1－ 25＋m|，解得 m＝－9 或 m＝11.
易错易混 5．已知圆 C：x2＋y2＝9，过点 P(3,1)作圆 C 的切线，则切线方程为 _____x＝__3__或__4_x_＋__3_y_－__1_5_＝__0___．
【解析】由题意知 P 在圆外．当切线斜率不存在时，切线方程为 x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为 y － 1 ＝ k(x － 3) ，即 kx － y ＋ 1 － 3k ＝ 0 ，所以 |k×0k－2＋0＋－11－23k|＝3，得 k＝－43，切线方程为 4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为 x＝3 或 4x＋3y－15＝0.
(2)解法一：∵直线 kx－y＋1＝0 与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4 有公共点，∴直线与圆相切或相交，又圆心(－1,2)到直线 kx－y＋1＝0 的距离 d＝|－k－k2＋2＋1 1|＝ |kk＋2＋1|1，r＝2，∴d≤r，即 |kk＋2＋1|1≤2，∴3k2－2k＋3≥0，又∵Δ＝4－36＝－32<0，∴k∈R，∴实数 k 的取值范围为(－∞，＋∞)．故选 D.
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
图形
量的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|Fra bibliotek内含 d<|r1－r2|

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)图形量的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d <|r 1－r 2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d 、半径r 和弦长|AB |的一半构成直角三角形，弦长|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，代入，消去y ，得关于x 的一元二次方程，则|MN |＝1＋k 2· x M ＋x N 2－4x M x N .常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；②过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，所以注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(√)(4)在圆中最长的弦是直径．(√)教材改编题1．直线3x ＋4y ＝5与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案A解析圆心到直线的距离为d ＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．2．直线m ：x ＋y －1＝0被圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为()A ．4B ．23 C.12D.13答案B解析∵x 2＋y 2－2x －4y ＝0，∴(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆M 的圆心坐标为(1,2)，半径为5，又点(1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|12＋12＝2，∴直线m被圆M截得的弦长等于2 5 2－ 2 2＝2 3.3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A．±3B．±5C．3或5D．±3或±5答案D解析圆C1与圆C2的圆心距为d＝ a－0 2＋ 0－0 2＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离B．相交或相切C．相交D．相切答案C解析方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为|k＋2－k|1＋k2＝21＋k2≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．命题点2弦长问题例2(1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k 的值为()A．±33B.33C.3D．±3答案D解析圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝|2k|12＋k2，则弦长为2r2－d2＝2，得24－4k21＋k2＝2，解得k＝± 3.(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝23时，直线l的方程为________．答案x＝0或3x＋4y－4＝0解析因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB |＝23，所以圆心到直线的距离为d ＝22－ 3 2＝1，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时圆心(－1,3)到直线x ＝0的距离为1，满足条件；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心(－1,3)到直线l 的距离d ＝|－k －3＋1|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0，综上，所求直线的方程为3x ＋4y －4＝0或x ＝0.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.命题点3切线问题例3已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴过点P 的切线的斜率为－1k PC＝1，∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x ＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，由圆心C 到切线的距离d ′＝|k －2＋1－3k |k 2＋1r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝ 3－1 2＋ 1－2 2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．命题点4直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4(2023·龙岩模拟)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 的面积的最小值为________．答案23解析由圆O ：x 2＋y 2＝2，得r ＝2，四边形PAOB 的面积S ＝2S △PAO ＝|PA |·|AO |＝2|PA |，∵点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，∴P (x 0，4－x 0)，则|PA |＝|PO |2－|OA |2＝|PO |2－2，又|PO |2＝x 20＋(4－x 0)2＝2x 20－8x 0＋16＝2(x 0－2)2＋8≥8，∴|PO |2－2≥6，则|PA |≥6，∴四边形PAOB 的面积的最小值为2×6＝2 3.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．跟踪训练1(1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线3x cos α＋2y sin α＝1(α∈R )与圆O ：x 2＋y 2＝12的位置关系为()A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切答案D解析因为圆心到直线的距离d ＝13cos 2α＋2sin 2α＝12＋cos 2α≤22，当且仅当α＝k π＋π2(k ∈Z )时，取得等号，又圆x 2＋y 2＝12的半径为22，所以直线与圆相交或相切．(2)(2023·昆明模拟)直线2x ·sin θ＋y ＝0被圆x 2＋y 2－25y ＋2＝0截得的弦长的最大值为()A ．25B ．23C ．3D ．22答案D解析易知圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，所以圆心为(0，5)，半径r ＝3，由题意知圆心到直线2x ·sin θ＋y ＝0的距离d ＝|5|4sin 2θ＋1<3，解得sin 2θ>16，所以弦长为2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1，因为53<4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin 2θ＋1<3，所以2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1∈(0,22]．所以当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2023·扬州联考)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16和两点A (0，－m )，B (0，m )，若圆C 上存在点P ，使得AP ⊥BP ，则m 的最大值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案C解析因为两点A (0，－m )，B (0，m )，点P 满足AP ⊥BP ，故点P 的轨迹C 1是以A ，B 为直径的圆(不包含A ，B )，故其轨迹方程为x 2＋y 2＝m 2(x ≠0)，又圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16上存在点P ，故两圆有交点，又|CC1|＝12＋ 22 2＝3，则|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．答案x－2y＋4＝025解析2＋y2－2x＋10y－24＝0，2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2× －5 ＋4|1＋－2 2＝3 5.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长为2 5.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．跟踪训练2(1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离答案B解析圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，则|MN|＝22＋12＝5，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故两圆是相交关系．(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．答案x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3,4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l 21设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0,0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，则点O (0,0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.课时精练1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不确定答案B解析由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝|－3＋8＋5|32＋42＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切．2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切答案B解析由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝1＋4＝5，则2－1<5<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交．3．(2022·沈阳模拟)已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为()A．25 B.4215C.21055D.655答案D解析设圆心坐标为(a，b)，0，＝ a＋2 2＋ b－2 2，解得a ＝－1，b ＝4.则圆心坐标为(－1,4)，半径r ＝－1＋2 2＋ 4－2 2＝5，则圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离d ＝|－2＋4－6|22＋12＝455，则弦长为2r 2－d 2＝2×5－165＝655.4．(多选)(2023·滁州模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝25，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋a )2＝4，若圆C 1与圆C 2内切，则实数a 的值是()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案BC解析由题可知圆心C 1(a ，－2)，半径r 1＝5，圆心C 2(－1，－a )，半径r 2＝2，因为圆C 1与圆C 2内切，所以|C 1C 2|＝ a ＋1 2＋－2＋a 2＝|r 1－r 2|＝3，解得a ＝－1或a ＝2.5．(2022·深圳模拟)若圆C ：x 2＋y 2－6x －6y －m ＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m 的取值范围为()A ．(－18,6]B ．[－2,6]C ．[－2,18]D ．[4,18]答案C解析将圆C 的方程化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝m ＋18，所以m >－18.因为圆C 上有到(－1,0)的距离为1的点，所以圆C 与圆C ′：(x ＋1)2＋y 2＝1有公共点，所以|m ＋18－1|≤|CC ′|≤m ＋18＋1.因为|CC ′|＝ 3＋1 2＋32＝5，所以|m ＋18－1|≤5≤m ＋18＋1，解得－2≤m ≤18.6．(多选)在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2,0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC (图略)，所以四边形PACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，结合选项知实数k 的可能取值是1,2.7．(2022·阳泉模拟)若直线(m ＋1)x ＋my －2m －1＝0与圆x 2＋y 2＝3交于M ，N 两点，则弦长|MN |的最小值为________．答案2解析直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0＋y－2＝0，－1＝0，＝1，＝1，所以直线MN过定点A(1,1)，因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内，圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为3，当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，此时|MN|取最小值，故|MN|min＝23－|OA|2＝2.8．(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，12|OP|＝5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－1 2＋ 6－3 2＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的长为2×27.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；(2)若过点P (1,0)的直线m 与圆C 相交于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线m 的方程．(1)证明转化l 的方程(m －2)x ＋(1－m )y ＋m ＋1＝0，可得m (x －y ＋1)－2x ＋y ＋1＝0，－y ＋1＝0，2x ＋y ＋1＝0，＝2，＝3，所以直线l 恒过点(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交．(2)解由C 的圆心为(3,4)，半径r ＝2，易知此时直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，直线m 的一般方程为my －x ＋1＝0，圆心到直线m 的距离d ＝|4m －3＋1|m 2＋－12＝|4m －2|m 2＋1，所以|AB |＝2r2－d 2＝24－ 4m －2 2m 2＋1，所以S 2|·＝4－4m －2 2m 2＋1· 4m －2 2m 2＋1，令t ＝ 4m －2 2m 2＋1，可得S 2＝4t －t 2，当t ＝2时，S 2max ＝4，所以△ABC 面积的最大值为2，此时由2＝4m －2 2m 2＋1，得7m 2－8m ＋1＝0，得m ＝1或m ＝17，符合题意，此时直线m 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.11．若一条光线从点A (－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案D解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，得|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.12．(2022·合肥模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，则sin ∠AOB ＝________.答案158解析因为圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，所以直线AB 的方程为(x 2＋y 2－4)－(x 2＋y 2－x ＋3y －3)＝0，即x －3y －1＝0，所以圆心O (0,0)到弦AB 的距离为d ＝12，所以|AB |＝222－d 2＝15，所以在△AOB 中，|OA |＝|OB |＝2，由余弦定理得cos ∠AOB ＝4＋4－152×2×2＝－78，所以sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝1－4964＝158.13．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4,0)，B (0,2)，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，因为4＋115<5＋1255＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4<1255－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋ 5－2 2－42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．14．(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r1＝3，依题意，得圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图，因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，即r2＝r1－|OC2|，而点C2在线段AB上，过O作OP⊥AB于P，则|OP|＝|－5|32＋42＝1，显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，即圆C2的半径的最大值是2.。

高考数学一轮复习第8章第4节直线、圆的位置关系课件文新课标

C.－
33，
3 3
D.－
33，
3 3
解析：当直线l的斜率k不存在时，直线l与圆无公共点．
设直线l的方程为y＝k(x－4)．即kx－y－4k ＝0.
因为直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，
所以|2kk－2＋4k1|≤1，解得－
33≤k≤
3 3.
答案：C
点评：直线与圆的位置关系的判定有两种方法．第1种方法是方程的观点，即把圆的方
考点四弦长与中点弦问题【案例4】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋ 4x－12y＋24＝0.
(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l
的方程；
(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程．
解：(1)方法一：圆 C 的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，则圆心 C(－2,6)，半径 r＝4.如图所示，AB＝4 3，D 是 AB 的中点，CD⊥AB，AD＝2 3，AC＝4.
圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1、r2，
两圆圆心距 d＝|C1C2|＝ x1－x22＋y1－y22.
那么，当d＞r1＋r2时，两圆相离．当d＝r1＋r2时，两圆外切．当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交．当d＝|r1－r2|时，两圆内切．当d＜|r1－r2|时，两圆内含．
答案：B
4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋ y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A. 3
B．2
C. 6
D．2 3
解析：过原点且倾斜角为 60°的直线方程为 3x－y＝0，
圆 x2＋(y－2)2＝4 的圆心(0,2)到直线的距离为 d＝

高三数学一轮复习第八章第四节直线、圆的位置关系课件理新人教A版

圆外，当斜率不存在时，直线方程x＝2满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y－2k＋3＝ 0.
∵直线与圆相切，
∴|3k－k22＋k＋1 3|＝1，∴k＝－43.∴4x＋3y－17＝0. ∴所求直线方程为x＝2或4x＋3y－17＝0.
第二十四页，共35页。
(2)设圆心坐标为(a，0)(a＞0)．由题意(|a－21|)2＋2＝(a－1)2解得a＝3或a＝－1(舍)．故圆心坐标为(3，0)，又所求直线的斜率为－1，故所求直线的方程为y＝－ (x－3)，即x＋y－3＝0.
第十三页，共35页。
圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为 (2，1)．
(1)若圆O1与圆O2相外切，求圆O2的方程； (2)若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且|AB|＝2 2 ，求圆O2的方程．【思路点拨】 (1)根据两圆外切求出圆O2的半径，便可写出圆O2的方程(fāngchéng)．
(2)设出圆O2方程(fāngchéng)，求出直线AB的方程 (fāngchéng)，根据点O1到直线AB的距离，列方程 (fāngchéng)求解．
第十四页，共35页。
【尝试解答】 (1)∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4， ∴圆心O1(0，－1)，半径r1＝2. 设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2，又|O1O2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝2 2， ∴r2＝|O1O2|－r1＝2 2－2，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x＋4y ＋r22－8＝0，

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解析
第八章：平面解析几何 §8.4：直线、圆的位置关系
解析
第八章：平面解析几何 §8.4：直线、圆的位置关系
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