第08讲 点的应变状态2

如果有刚体转动， ui ui 1 u j u j ui dx j [ ( )]dx j x j x j 2 xi xi
1 ui u j 1 ui u j ( )dx j ( )dx j 2 x j xi 2 x j xi
纯剪变 形引 起 的位移增量 刚性转 动引 起 的位移增量
v
r
n
w
r
(3-43)式
u u u u x dx y dy z dz v v v v dx dy dz x y z w w dx w dy w dz x y z
u x v y y w z z
εij为二阶对称张量。
x xy xz ij yx y yz zx zy z
x xy xz ij y yz z
塑性变形时的体积不变条件
设单元体初始边长为
r12 (dx u ) 2 (dy v) 2 (dz w) 2 dx 2 dy 2 dz 2 u 2 v 2 w2 2(dxu dyv dzw)
略去δr, δu, δv, δw的平方项
略去δr, δu, δv, δw的平方项
金属塑性成形原理
第三章 金属塑性变形的力学基础
第二节
应变分析
第二讲 点的应变状态分析
一点应变状态 体积不变条件 应变状态分析 应变增量
点的应变状态
设任意点a(x,y,z)的应变分量：
x xy xz ij yx y yz zx zy z a)线应变
塑性变形时的体积不变条件
例:一块长、宽、厚为120mm×36mm ×0.5mm的平板，拉伸后在长度方 向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求平板的最终尺寸。 根据变形条件可求得长、宽、厚方向上的主应变（用对数应变表示)为： h 144 144 ln ln 所以 l ln h0 120 120 h 120 36 即 b ln 0 h0 144 36 120 120 h h h0 0.5 0.417 (mm ) h ln 144 144 h0 所以，平板的最终尺寸为 由体积不变条件
1 0, 2 3 1
点的应变状态与应力状态相比较
2、八面体应变 八面体线应变 1 1 I 8 (1 2 3 ) ( x y z ) m 1 3 3 3 八面体切应变 1 8 (1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 3
去除刚性转动
1 ui u j ui ' ( )dx j ij dx j 2 x j xi
(ui ' ) 2 r2 所以 r2
2 r
比较 2 S 2 2
结论：若一点互相垂直的三 个方向上的应变分量已知， 则该点任意方向应变可求。
一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即 kr ij lkilrj (i, j x, y, z; k , r x' , y' , z' )
位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数， u u ( x, y , z , t ) v v( x, y, z, t ) 或 ui ui ( x, y, z, t ) w w( x, y, z, t )
点的应变状态与应力状态相比较
4、等效应变 取八面体切应变绝对值的 2 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。 2 28 (1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 3 3 1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 比较 2 2 1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2 等效应变的特点 1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。
应变增量和应变速率张量
1、位移增量和应变增量 全量应变和应变增量的概念 位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产 生极小的位移变化量称为位移增量,记为dui 全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变 应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变 速度分量：
u du dt dv v dt dw w dt
x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
xy yx (
r l
u
r r r u v w 2 u v v w w u l 2 m2 n ( )lm ( )mn ( )nl x y z y x z y x z xl 2 y m 2 z n 2 2( xylm yz mn zx nl )
点的应变状态与应力状态相比较
（3）主切应变和最大切应变
1 12 (1 2 ) 2 1 23 ( 2 3 ) 2 31 1 ( 3 1 ) 2
若ε1>ε2>ε3,则 1 max (1 3 ) 2
点的应变状态与应力状态相比较
(4)主应变简图 用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简 称为主应变简图或主应变图。 a)压缩类变形 特征应变为负应变，另外 两个应变为正应变。 1 0, 2 3 1 b)剪切类变形(平面变形) 一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。 2 0, 1 3 c)伸长类变形 特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。
由于 故
a1M a1 N r
t an r r NM a1M
r
r
r
Mb1 a1b1 a1M r
NM 2 Nb12 Mb12 (ui ) 2 r 2 (ui ) 2 2 于是： 2 r r r2 r2 r2
2 r
如果没有刚体转动， r 就是切应变 r
点的应变状态与应力状态相比较
（2）应变张量不变量 应变状态特征方程 3 I1 2 I 2 I 3 0
应变张量不变量
I1 x y z 1 2 3
2 2 2 I 2 ( x y y z z x ) xy yz zx (1 2 2 3 31 ) 2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) 1 2 3
x y z 0
塑性变形时，三个线应变分 量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外 两个应变分量的符号相反。
塑性变形时的体积不变条件
对数应变表示的体积不变条件:
l b h ln ln l1b1h1 0 l0b0 h0
l1 b h ln 1 ln 1 l0 b0 h0
变形前的体积 变形后边长 变形后的体积
dx,dy,dz
V0 dxdydz
(1 x )dx, (1 y )dy; (1 z )dz
V1 dxdydz(1 x )(1 y )(1 z )
展开，略去高阶微量 V1 dxdydz(1 x y z ) V V 1 0 x y z 体积变化率 V0 在弹性变形中，θ可正可负，在塑性变形中，认为体积不变θ为零。 体积不变条件为
或
ui
dui dt
位移增量分量：dui ui dt
应变增量和应变速率张量
2、速度分量和速度场 速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三 个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。
u u t v v t w w t
m
v
n
w
2 2 2 比较： xl y m z n 2( xy lm yz mn zx nl )
b)切应变(线元变形后的偏转角） 引NM⊥a1b1 在ΔNMb1中，有
2 2 2 NM 2 Nb1 Mb1 (ui ) 2 Mb1
r 2 2rr dx2 dy2 dz2 2(dxu dyv dzw)
rr dxu dyv dzw
两边同除以r2
r
r

dx u dy v dz w r r r r r r
r l
u
r
m
v
r
n
w
r
r l
u
r
m
3、应变偏张量和应变球张量
x xy xz x m ij yx y yz yx zx zy z zx ij ' ij m
xy xz m 0 0 y m yz 0 m 0 zy z m 0 0 m
设线元ab=r r在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz 方向余弦：
l dx dy dz ;m ;n r r r
长度： r 2 dx 2 dy 2 dz 2
变形后 ab
移至
a1b1
长度： r1 r r 在三个轴上的投影： dx+δu,dy+δv,dz+ δw
r12 (r r ) 2 r 2 2rr r 2
l b h 0
得Βιβλιοθήκη Baiduh l
144mm×36mm ×0.417mm
点的应变状态与应力状态相比较
点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性 也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接 由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变 分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。 1、主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应变简图 （1）主应变 过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变 主轴)，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。用ε1, ε2, ε3表示 1 0 0 在主轴坐标系统中，应变张量为 ij 0 2 0 0 0 3