山西忻州一中2016—2017学年度高三上期中考试(数学理) (含答案)word版

忻州一中2016−2072学年度第一学期期中考试高三 数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数z=1+i ，则z+1z2=（ ）A ．12-iB ．12+iC ．-12-iD ．-12+i 2.右面的程序框图，如果输入三个实数a,b,c.求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( ) A. c > xB. x > cC c > b D.b > c3.直线l :y-1=k(x-1)和圆C:x 2+y 2-2y=0的关系是（ ） A 、相离 B 、相切或相交 C 、相交 D 、相切4.已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=π,则tan(a 2+a 12)的值为（ ） A. 3B.－ 3C.± 3D.－335.若集合A={x ∣x 2-5x+4<0}.B={x ∣⎢x-a ⎥<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的 ( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C. 既不充分不必又要条件D. 充要条件6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是（ ） Ａ．40003cm 2 Ｂ．[600+200(2+5)]cm 2Ｃ．80003cm 2 Ｄ．(600＋4002+2005)cm 27.将函数f(x)=a x图像向右平移n 个单位得函数g(x)的图像，由f(x)、g(x)的图像及直线y=1和y=3围成的封闭图形的面积为6，则n= ( ) A 1B 2C 3D 48.已知函数f(x)=log a x+1x-1，x ∈[2,4]的最小值为1，则a=（ ）A. 12B. 53C. 3D. 53或3 9.在R 上定义的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x)(x ∈R),且在[1，2]上为减函数，则f(x)（ ）A.在[-2，-1]上为增函数，在[3，4]上为增函数 B.在[-2，-1]上为增函数，在[3，4]上为减函数 C.在[-2，-1]上为减函数，在[3，4]上为增函数正视图侧视图D.在[-2，-1]上为减函数，在[3，4]上为减函数10.已知函数f(x)=⎩⎨⎧a xx<0(a-3)x+4a x≥0.满足对任意的x 1≠x 2都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0 成立，则a 的取值范围是（ ） A. (0,14]B. (0,1)C. [14,1)D. (0,3)11.如图，单位圆O 中，OA →,OB →是两个给定的夹角为120°的向量，P 为单位圆上一动点，设OP →=mOA →+nOB →，且设m+n 的最大值为M,最小值为N,则M-N 的值为 ( ) A. 2B.2 2C. 4D.2 312.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l )的图像大致是（ ）二、填空题（每小题5分，共20分）13.设f(x)=3+x 3-x ，则f(12x-1)+f(2x-1)的定义域为 14.如图，已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为___________________15.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．S 1,S 2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则S 1 S 2．（填“>”、“<”或“＝”）． 16.下列四个命题中①若a,b,c ∈R ，则“ac 2>bc 2”是“a>b ”成立的充分不必要条件； ②当x ∈(0,π4)时，函数y=sinx+1sinx的最小值为2；③命题“若∣x ∣≥2,则x ≥2或x ≤-2”的否命题是“若∣x ∣<2,则－2＜x ＜2”； ④函数f(x)=lnx+x-32在区间(1,2)上有且仅有一个零点．其中正确命题的序号是_____________第15题图三、解答题（共70分）17.（本小题满分10分）已知 3cos 2α+2sin2α=1-. 求（1）tan α的值 ,(2)3cos2α+4sin2α的值18.（本小题满分12分）设函数f(x)＝mx 2－mx －1． (1)若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1，3]，f(x)＞－m ＋x －1恒成立，求m 的取值范围．19．（本小题满分12分）设有两个命题：P ：指数函数y=(c 2-5c+7)x在R 上单调递增；Q ：不等式∣x-1∣+∣x-2c ∣>1的解集为R, 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．20.（本小题满分12分）建造一条防洪堤，其断面为如图等腰梯形ABCD ，腰与底边所成角为60︒，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. (1) 求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少？(2) 如防洪堤的高限制在[3,32]范围内，外周长最小为多少米？21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=m →∙n →,其中m →=(sin ωx+cos ωx,3cos ωx), n →=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx), 其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于π2（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，a=3,b+c=3,当ω最大时，f(A)=1,求∆ABC 的面积.22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax（I ）若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性；A（II ）若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值；（III ）若f(x) <x 2在(1,+ )上恒成立，求a 的取值范围。

忻州一中2016−2017学年度第一学期期中考试高三 数学试题答案（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）AACBA BCBBA CC二、填空题（每小题5分，共20分）13. [-1,13]∪(23,2) 14. f(x)=4sin(π4x+π4) 15. < 16.①③④三、解答题（共70分）17.（本小题满分10分）已知 3cos 2α+2sin2α=1- 求（1）tan α的值 ,(2)3cos2α+4sin2α的值17.解：(1)由已知条件得4cos 2α+4sin αcos α+sin 2α=0,(2cos α+sin α)2=0,所以2cos α=-sin α∴ tan α=-2 ……5分 (2) 3cos2α+4sin2α=22223cos sin )8sin cos sin cos αααααα-++（=223tan 8tan 3tan 1ααα-+++=-5……10分18.（本小题满分12分）设函数f(x)＝mx 2－mx －1．(1)若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f(x)＞－m ＋x －1恒成立，求m 的取值范围．18.解答：(1)要mx 2－mx －1＜0对任意实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0成立； ………………………………2分若m ≠0，则⎩⎨⎧m ＜0Δ＝m 2＋4m ＜0解得－4＜m ＜0． ………………………………4分 所以－4＜m ≤0． ………………………………6分(2)因为x 2－x ＋1＞0对一切实数恒成立，所以f(x)＞－m ＋x －1⇒m(x 2－x ＋1)＞x ． 所以m ＞xx 2－x ＋1在x ∈[1，3]上恒成立． ……………………8分因为函数y ＝xx 2－x ＋1＝1x ＋1x－1在x ∈[1，3]上的最大值为1，…………………10分 所以只需m ＞1即可．所以m 的取值范围是{m|m ＞1}． …………………12分19．（本小题满分12分）设有两个命题：P ：指数函数y=(c 2-5c+7)x在R 上单调递增；Q ：不等式∣x-1∣+∣x-2c ∣>1的解集为R, 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围． 解：指数函数xc c y )75(2+-=在R 上单调递增1752>+-⇔c c解得c<2或c>3, 即P ：c<2或c>3 ……………………………………………………….3分 不等式121>-+-c x x 的解集为R 112>-⇔c解得c<0或c>1, 即Q ：c<0或c>1 ………………………………………………………6分 于是10:,32:≤≤≤≤⌝⌝c Q c P …………………………………………………….8分 若P 正确且Q 不正确, 则]1,0[∈c …………………………………………………… 10分若P 不正确且Q 正确, 则]3,2[∈c所以c 的取值范围是]3,2[]1,0[ ………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）建造一条防洪堤，其断面为如图等腰梯形，腰与底边成角为60︒，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. (1) 求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少？(2) 如防洪堤的高限制在[3,32]解： （1）由题意36)(21=+h BC AD ，h BC AD 32+=所以12(2BC+233h)h= 63, BC=63h -33h …………………4分设外围周长为l ，则26363333660sin 220≥+=-+=+=h h h h h BC AB l 当hh 363=，即6=h 时等号成立. ……………………6分 所以外围的周长的最小值为26米，此时堤高6=h 米. --------------8分 （2）由（1）)6(3hh l +=，由导数或定义可证明在]24,3[∈h 单调递增，…10分所以l 的最小值为3533633=+⨯米（当3=h ） -------------------12分 21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=m →∙n →,其中m →=(sin ωx+cos ωx,3cos ωx), n→=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx), 其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于π2（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，a=3,b+c=3,当ω最大时，f(A)=1,求∆ABC 的面积. 21.解：（Ⅰ）x x x x x f ωωωωsin cos 32sin cos )(22⋅+-=⋅=x x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ………………………………3分0>ω ,22)(ωπωπ==∴T x f 的周期函数由题意可知,22,22πωππ≥≥即T 解得}10|{,10≤<≤<ωωωω的取值范围是即………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，A)62sin(2)(π+=∴x x f 1)(=A f 21)62sin(=+∴πA 而πππ613626<+<A ，ππ6562=+∴A 3π=∴A ……………………………8分由余弦定理知bca cb A 2cos 222-+=3322=+=-+∴c b bc c b 又联立解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2112c b c b 或……………………………………………………10分23sin 21==∴∆A bc S ABC …………………………………………………12分22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax（I ）若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性； （II ）若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值；（III ）若f(x) <x 2在(1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围。