高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

明目标、知重点
3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变 换,有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系,选 用恰当的公式快捷求解.
明目标、知重点
明目标、知重点
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7102＋35×－102＝ 22. 又∵α∈0，π2，∴α＝π4.
明目标、知重点
反思与感悟 此类题是给值求角题,步骤如下：(1)求所求角的某 一个三角函数值；(2)确定所求角的范围,此类题常犯的错误是对 角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会使求出的角不 合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角 函数值.
明目标、知重点
解 原 式 ＝ sin π4－3x cos π3－3x － sin π3－3x ·cos π4－3x ＝
sinπ4－3x－π3－3x
＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
明目标、知重点
例1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)； 解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)· sin(x－18°) ＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x) ＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝ 22.
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β出发, 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
明目标、知重点
探究点一 由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)
思考 由于公式C(α－β)对于任意α,β都成立,那么把其中的＋β换成－ β后,也一定成立.请你根据这种联系,从两角差的余弦公式出发,推导 出用任意角α,β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式？ 答 ∵α＋β＝α－(－β),cos(－β)＝cos β,sin(－β)＝－sin β, ∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos αcos β－sin αsin β. 即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
∴cos α＝ 55，sin β＝31010.
明目标、知重点
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝
55×
1100－2 5 5×3 1010＝－
2 2.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.
答案
3π 4
明目标、知重点
1234
呈重点、现规律
1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律 四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同,但它们的本质是 相同的,其内在联系为cos(α－β) ――以―－――β―换―→β cos(α＋β)
明目标、知重点
反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、 “等价转化”、“往中间凑”等办法,注意等式两边角的差 异、函数名称的差异、结构形式的差异.
明目标、知重点
跟踪训练 3
证明：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α.
sin2α＋β
sin2α＋β－2sin αcosα＋β
明目标、知重点
(3)sin 1π2－
π 3cos 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12

＝2sin

π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
明目标、知重点
(2)(tan 10°－
cos 10° 3)·sin 50°.
解
(tan 10°－
cos 3) sin
5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
证明
sin α －2cos(α＋β)＝
sin α
sin[α＋β＋α]－2sin αcosα＋β
＝
sin α
sinα＋βcos α＋cosα＋βsin α－2sin αcosα＋β
＝
sin α
sinα＋βcos ＝
α－cosα＋βsin sin α
α＝ssiinn
β α.
明目标、知重点
明目标、知重点
探究点二 由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β)
思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化,根据这 种联系,请你试着从差角的余弦公式出发,推导出用任意角α,β的正 弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？ 答 sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
明目标、知重点
反思与感悟 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正 化小,化切为弦统一函数名称,然后根据角的关系和式子 的结构选择公式.
明目标、知重点
跟sin 76°·cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)； 解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
25 A. 5
B.－2 5 5
5 C. 5
D.－
5 5
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B
1234
)
明目标、知重点
＝
2 2 (cos
B＋
1－cos2B)
＝
22×
1100＋3
10
10

＝2 5 5. 答案 A
明目标、知重点
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角 和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的 求值、化简、计算等. 3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用,了解公式的正 用、逆用以及角的变换的常用方法.
1234
1234
[－2,2]
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
当堂测·查疑缺
1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( A )
A.－12
1 B.2
3 C. 2
D.－
3 2
解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° ＝sin(－30°)＝－12.
明目标、知重点
1234
2.在△ABC 中，A＝π4，cos B＝ 1100，则 sin C 等于(
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.两角和与差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β . C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β . 2.两角和与差的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β . S(α－β)：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β .
＝35×－153＋－45×－1123＝3635.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝35×－153－－45×－1123＝－6653.
明目标、知重点
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β,求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α ＋β)＋α ]＝3sin[(α ＋β)－α ] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
为第三象限角.求 sin(α＋β)和 sin(α－β)的值. 解 ∵sin α＝35，α 为第二象限角，∴cos α＝－45. ∵cos β＝－153，β 为第三象限角，∴sin β＝－1123. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
sin(α＋β)――以―－――β―换―→β sin(α－β),这样我们只 要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式,也就掌握 了其他三个公式.
明目标、知重点