大物课件1质点运动学

意义: 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度( 参看下面的内容）
自然坐标系下
轨迹已知时，以质点 在t时刻所在点P为原点， 取该点处轨迹的切线方 向为一坐标轴，其正方 向沿着质点运动的前进 方向（单位矢量 表示 为 ）；另一轴取该点 et 处轨迹的法线方向，其 正方向指向轨迹的凹侧， （单位矢量表示为 ）。 以 、 为坐标轴的坐标 et e n en 系称为自然坐标系。
v ax v rx v ex v ay v ry v ey v az v rz v ez
2. 加速度变换
dv 绝对 dv 相对 dv 牵连 a绝对 a相对 a牵连 dt dt dt
例 一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ，当它停在马路边时， 雨滴可落入车内达 d=1 m ，而当它以15 km/h 的速率运动时， 雨滴恰好不能落入车中。 求 雨滴的速度矢量。
§1.6 不同参考系中的速度和加速 度变换定理简介
一. 基本概念
一个动点 P (研究对象) 二个参照系 绝对参照系s ，相对参照系s' 三种运动 绝对、相对和牵连运动
O
P B
y s s'
r
P A A'
·
r A'
u t
u
O • s' 系相对于s 系的位移： u t — 牵连位移 — 相对位移 • B 点相对于s' 系的位移： r — 绝对位移 • B 点相对于s 系的位移： r r r u t
动点为螺母,取二个坐标系如图 三种加速度为:
O'
a
a a g i , ae a i , a r ? a a ae a r , a r a a ae
h
x
x'
a r a a ae g a
1 2 2h 2 2.74 h ar t , t 0.7 s 2 ga 9.80 1.22
o
n
p
e en t



运动方程
s s (t )
二. 加速度 2 dv d ds d s ds dτ ds a ( τ ) 2τ v τ vτ dt dt dt dt dt dt dt d2s 第一项： 2 τ 叫切向加速度 a τ τ (t ) dt P Q 2 d s dv τ (t t ) 大小为 θ 2 L dt dt n (t )
x
二. 速度变换定理 加速度变换定理
1. 速度变换
r r t ' u t t ' 1 lim lim lim lim t 0 t t 0 t ' t t 0 t t 0 t dr dr ' u v a v r v e v 绝对 v 相对 v 牵连 dt dt '
1
t2

t 1 2 1 t dt 1 t ln t 1 t 2 c 2 2
2


3 10 s2 s1 s 3 10 2 ln 9.98 m 1 2
例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿 钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为 aτ g sin θ
例 如图所示，以速 度v 用绳跨一定 解 取坐标系如图 依题意有 坐标表示为
v
l0
h
l (t )
O
x (t )
x
l ( t ) l0 v t
x ( t ) ( l0 v t ) 2 h 2 y (t ) 0
aτ an
一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运 例 动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即 ω=kt 2 , k 为待定常数.已知质点在2 s 末的线速度为 32 m/s 求 t =0.5 s 时质点的线速度和加速度
解 由题意得 v 32 m/s
ω 4t 2
当t =0.5 s 时
v
v
0
v dv
y
y0
2 v v 0 2 g ( y0 y ) gdy
2
例 一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为
求 (1) 当t =2s 时，质点运动的an 和 a 以及aτ的大小
dθ (1) 运动学方程得 解 ω 12t 2 dt
(2) 当 =? 时，质点的加速度与半径成45 角？
2
ω v K 2 2 4 s 3 t Rt v Rω 4 Rt 2
v 4 Rt 2.0 m/s v2 an 2.0 m/s 2 R an θ arctan ( ) 13.6 a
dv aτ 8 Rt 8.0 m/s 2 dt 2 2 a an a 8.25 m/s 2
方向为
τ
O
n (t t )
意义：反映速度大小变化的快慢
ds dτ 第二项： 叫法向加速度 a n dt dt τ τ (t t ) τ ( t )
τ (t )
θ
τ (t t )
τ
当 t 0 时
τ (t )
τ τ (t ) θ θ τ // n τ θ n dτ τ θ θ lim 因而 lim n lim t 0 s d t t 0 t t 0 t ds dτ 1 v2 v v n n an dt dt ρ ρ v2 法向加速度： 大小为 方向为 n ρ
θ
τ (t t )
τ
s 1 n vn t ρ
曲率半径
意义： 反映速度方向变化的快慢
2 2 ds 2 1 v d v d s 加速度 a an n aτ τ n τ 2τ ( ) n ρ dt dt dt ρ
2 例 已知质点运动方程为 r 2 t i t j (SI)
o
2 4t 3 rad
dθ β 2 24t dt
2
an rω2 230.4 m/s2
2 2
aτ rβ 4.8 m/s2
a an aτ 230.5 m/s 2
(2) 设t’ 时刻，质点的加速度与半径成45 角，则
o
rω 2 rβ 144t '4 24t ' t ' 0.55 s 2 4t '3 2.67 rad
g 为重力加速度， 为切向与水平方向的夹角.
求 质点在钢丝上各处的运动速度.
解 由题意可知
y
dy P
dv dv ds dv aτ g sin v dt ds dt ds dy v dv g sin ds sin ds
从图中分析看出
ds

O
x
sin ds dy
解 根据速度变换定理
ve
va vr ve
画出矢量图
h
d
vr
h arctan 63.4 d ve 15 va cosα cos 33.5km/h 9.3 m/s
va

ve
例 升降机以加速度 1.22 m/s2 上升，有一螺母自升降机的 天花板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74 m 。 求 螺母自天花板落到底板所需的时间. O 解 取螺母刚松落为计时零点.
求 t1 1s t 2 3s 之间的路程 。
dr d 2 ( 2ti t j ) 2i 2t j 解 质点运动速度为 v dt dt
速率为 v v x v y
2
2
2
2 2 4t 2 2 1 t 2
s2
1
2 d s v d t 2 1 t d t d s 2 1 t dt 路程有 s t