大学物理解题法1.1-质点运动学2013J

设 x=t 即，x方向是速度为1的匀速直线运动，则y=et
vx = 1 vy = et v(t) = vx2 + vy2 = 1+ e2t
ax = 0 ay = et an = ?
an = ay cosϕ = et cosϕ cosϕ = vx = 1
v 1+ e2t
y
7
ay
6 5
an ϕ
v
4
ϕ
3
∴ an =
et = et 1+ e2t v
2 1
-1 -0.5
x
0.5
1
1.5
2
( ) ρ
=
v2 an
=
v
2
⋅
v et
=
3
1+ e2t et
因本题中设 x=t
( ) 1+ e2x 3/2
ρ(x) =
ex
( ) 1+ y2 3/2
ρ(y) =
y
★ 利用几何关系
例：
ω = 2π
24× 60× 60
ω
第一章 质点运动学
一、内容要点：
•参考系、坐标系、质点、质点系 •描述质点运动的物理量： 位置矢量、位移、路程、速度、加速度、速率
Δr = Δ r ?
dr = d r ?
Δ r = Δr ?
d r = dr ?
Δr = Δs ? Δr = Δs ?
dr = ds ? dr = ds ?
v = dr v = dr ? v = d r ? v = ds ?
∴ dx = − u x2 + h2 = − ur
负号表示船向左运动
dt
x
r2 − h2
a = dv = dvx iˆ ? dt dt
ax
=
d dt
(−
ur ) x
=
−u(r′ x
−
rx′ x2 )
=
−
u2h2 x3
∵ vy一直为零 ∴ ay = 0
船在向左加速运动
例：
得运动方程为：
代入数值,
例：
=
v02
sin 2 α
2g
为射高。
例：用运动学方法求曲线 y=ex 的曲率半径随x的分布ρ(x)
解1：高等数学方法
( ) ( ) ρ = 1 = K
1+ y′2 y′′
3/2
=
1+ e2x ex
3/ 2
y′ = ex y′′ = ex
解2：运动学方法
ρ = v2
an
轨迹方程→构造运动方程x(t), y(t)→速度→加速度
aAC = ω 2r
O,C,A在同一直线OA上→两加速度方向相同→标量相加
a AO
=
a AC
+ aCO
=
ω 2Rr
R−r
例：
θ
θ
也可利用余弦定理求速度：
★极坐标系
位置矢量 r = reˆr
eˆθ
(r,θ)
eˆr
r
速度
０θ
v = dr dt
=
dr dt
eˆr
+
r
deˆr dt
=
dr dt
eˆr
例：
vT = d
ωT = 2π
例：
cosθ
x
u只是船沿绳方向的分速度
•u是绳上各点的速度吗？ 也只是沿绳方向的分速度 对绳上各点，其速度的大小、方向各不相同
O
•以滑轮处为坐标原点， 建立极坐标系
θ
h
r
θ
x
船的速率 v = dr ? −u = dr
x y
dt
dt
v = dr = dx iˆ dt dt
∵r = x2 + h2
−u = x dx x2 + h2 dt
1 2
β t2
ω2
−
ω
2 0
=
2 β (θ
−θ0)
二、典型问题： 抛体运动 求曲率半径 利用几何关系 相对运动 无滑滚动 极坐标系
★抛体运动
例：
平抛、第一次碰撞、斜抛、第二次碰撞、斜抛……
=2Kt0
=2Knt0
例：
不同θ 的各物体，在同一时刻t 的位置关系
例：
★ 求曲率半径
例：求抛体运动轨道顶点处的曲率半径。
解：由题已知，PQ=l，飞机相对于空气的速度为u，空气相对 于地面的速度为V（即风速） （231）若若VV≠=≠00，0，，则方方飞向向机自自往ES返指指时向向间WN，，则则按飞速机度往合返成时定间理，有
于是,可得飞机往返时间为
★无滑滚动(纯滚动)
无滑滚动：滚动体边缘上各点，与支承面接触的瞬时， 接触点处与支承面之间没有相对滑动
ωt
h
s
(1988年第5届 填空第1题)
例：高为h的岸边，人以恒定速率u收绳，使船靠岸
求：当船头与岸的水平距离为x时，船的速度与加速度
解：船速为u的水平分量
v = u cosθ = ux ?
x2 + h2
•船是在沿绳方向运动吗？
u
h θ
x
不管怎么进行速度分解，船的合运动都是水平向左！
∴v = u = u x2 + h2
即，相对于支承面，接触点的瞬时速度为0
• 接触点相对于圆心：
ω
接触点的速度为ωr，方向朝左
u
• 圆心相对于支承面：
设圆心的速度为u，方向朝右
• 接触点相对于支承面： 接触点的速度为 u-ωr =0
结论：无滑滚动时，滚动物体的整体移动速度u=ωr
思考：圆心、接触点分别相对于支承面的加速度=？
例：半径为R的大圆静止不动，半径为r的小圆沿大圆
at = dv / dt
an
=
v2
ρ
衡量速度大小的变化 衡量速度方向的变化
•圆周运动、角量与线量的关系 v = ωr
at
=
dv dt
=
r
dω
dt
=
rβ
an
=
v2 r
= ω2r
•相对运动
速度变换式 v = v0 + v′ 加速度变换式 a = a0 + a′
线量
位置矢量 r
位 移 Δr
速
度
v
=
dr dt
加
速
度
a
=
dv dt
=
d 2r dt 2
匀变速直线运动
v = v 0 + at
s

−
s0
=
v0t
+
1 2
at
2
v2
−
v
2 0
=
2a(s
−
s0 )
角量
角位置 θ
角 位 移 Δθ
角速度
ω = dθ
dt
角加速度 β = dω = d 2θ
dt dt2
匀变速圆周运动
ω = ω0 + βt
θ
− θ0
=
ω 0t +
内侧做无滑滚动，小圆的角速度恒为ω， 求：(1)小圆绕大圆一周所用的时间。
解：无滑滚动→ vc= ωr
C点绕O点一周所用的时间
2π
(R −
ωr
r
)
OC A
求：(2)C点相对O点的加速度
解：C点相对O点做匀速圆周运动
∴ aCO
=
ω 2r2
R−r
求：(3)接触点A相对O点的加速度
由加速度变换公式： a AO = a AC + aCO
需求出dl/dt， 注意到：
★相对运动
例：
例: 下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可遮雨。(后背淋不着)
例：一架飞机水平飞行，从P处向北飞到Q处，尔后又向南飞回P 处，设P、Q两处相距为l，飞机相对于空气的速度为u，其大小不 变，空气相对于地面的速度为V（即风速），其大小也不变；且 V<u，求： （1） 设V=0，即空气是静止的，飞机往返的飞行时间； （2） 若V的方向为自南朝北，飞机往返的飞行时间； （3） 若V的方向为自东朝西，飞机往返的飞行时间。
dt
dt
dt
dt
dr v= v =
dt
Δr v= ?
Δt
v =v ?
Δr v= ?
Δt
•运动方程，轨迹方程
v=
Δr ?
Δt
v = Δs Δt
•运动学的两类问题
（1）微分 r → v → a （2）积分 a → v → r
θ →ω →β β →ω →θ
•自然坐标系
s = s(t)
v = ds / dt
解：在抛物线轨道的顶点处， y
质点的速度只有水平分量
v0
v0cosα，
加速度沿法线方向，即 an = g
α
o
v0 cosα g ρ
x
抛物线轨道顶点处的曲率半径为
ρ = v2 = (v0 cosα )2 = xm2
an
g
8 ym
( ) 1+ y′2 3/2
ρ=
y′′
xm
=
v02
sin g
2α
为射程，
ym
+
r
dθ
dt
eˆθ
加速度
a
=
dv dt
=
d 2r dt 2
eˆr
+
dr dt
d eˆr dt
极轴
d eˆr = dθ eˆθ
dθ
deˆθ = −dθeˆr