东北三省三校2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)含答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3）2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10C.81 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 C.2 D ．29 9.已知过曲线x e y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ） A ．π3 B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．12.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．D ．第Ⅱ卷（共90分）()cos(2)4g x x π=+a 512π712π924π14124πx 222211x y m m -=-1F 2F P 12PF PF ⊥12PF F ∆23二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数满足，当时，)9()8(f f +的值为 ．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足ED AE 21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C aB b cos cos cos 2+=.（I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．x y 0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩25z x y =++2.1161.13y x =-+()f x 1()(1)1()f x f x f x ++=-(1)2f =80%[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．（1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若)(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x.ABCD PA ⊥ABCD E F AD PB 1PA AB ==//EF DCP EFC PDC C 22221(0)x y a b a b +=>>123(1,)2M C C (2,0)P -(2,0)Q (1,0)l C A B APBQ ()f x请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（I ）求与交点的极坐标； （II ）设点在上，，求动点的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，． （I ）当时，求不等式的解集； （II ）对于都有恒成立，求实数的取值范围．xOy x 1C cos 3ρθ=2C 4cos ρθ=02πθ≤<1C 2C Q 2C 23OQ QP =P ()|2||23|f x x x m =+++m R ∈2m =-()3f x ≤(,0)x ∀∈-∞2()f x x x≥+m数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题13.14 14.38 15.3716.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B AC C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ，而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由，得， （2）平均数为岁； 设中位数为，则，∴岁． （3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件CDCDD 10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=0.035a =200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ≈从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，， ∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面， ∴平面．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PD E C PD C E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵，∴， 椭圆的方程为，将代入得，∴， ∴椭圆的方程为． PC M DM MF M F PC PB //MF CB 12MF CB =E DA ABCD //DE CB 12DE CB =//MF DE MF DE =DEFM //EF DM EF ⊄PDC DM ⊂PDC //EF PDC 12c a =2a c =2222143x y c c+=3(1,)222191412c c+=21c =22143x y +=（2）设的方程为，联立 消去，得，设点，， 有，， 有， 点到直线，点到直线，从而四边形的面积（或）令，，有，设函数，，所以在上单调递增，有，故， 所以当，即时，四边形面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F-=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，l 1x my =+221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x 22(34)690m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122634m y y m -+=+122934y y m -=+2212(1)||34m AB m +==+P (2,0)-l (2,0)Q l APBQ 22112(1)234m S m +=⨯=+121||||2S PQ y y =-t 1t ≥22431t S t =+2413t t=+1()3f t t t =+21'()30f t t =->()f t [1,)+∞134t t+≥224246313t S t t t==≤++1t =0m =APBQ若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===， 即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 x x x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x . 22.解：（1）联立，∵，，∴所求交点的极坐标．（2）设，且，，由已知，得∴，点的极坐标方程为，． 23.解：（1）当时，当解得；当，恒成立； cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos θ=02πθ≤<6πθ=ρ=)6π(,)P ρθ00(,)Q ρθ004cos ρθ=0[0,)2πθ∈23OQ QP =002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ=P 10cos ρθ=[0,)2πθ∈2m =-41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩102x ≤≤302x -<<13≤当解得， 此不等式的解集为． （2）令 当时，，当时，，所以在上单调递增，当，所以在上单调递减， 所以，所以，当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上，．453,3,2xx --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩322x -≤≤-1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩302x -≤<22'()1g x x=-+0x ≤<'()0g x ≥()g x [32x -≤≤'()0g x ≤()g x 3[,2-min ()(g x g =30m =+≥3m ≥-32x ≤-22'()50g x x =-+<()g x 3(,]2-∞-min 335()()026g x g m =-=+≥356m ≥-3m ≥-。
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)及答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3） 2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10C.81 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 C.2 D ．29 9.已知过曲线x e y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512π B ．712πC ．924π1 D ．4124π12.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B ．72C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足(1)1()f x f x +=-，当(1)2f =时，)9()8(f f +的值为．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足ED AE 21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则AF CD ⋅=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C a B b cos cos cos 2+=. （I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ； （2）求平面EFC 与平面PDC 的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==．（I ）若()f x )(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（I ）求1C 与2C 交点的极坐标； （II ）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （I ）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （II ）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题13.14 14.38 15.3716.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B AC C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ， 而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， （2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =，∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PD E C PD C E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，点P (2,0)-到直线l 21m+点(2,0)Q 到直线l 21m+从而四边形APBQ 的面积2222112(1)2412341m m S m m++=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令t =1t ≥， 有22431t S t =+2413t t =+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F -=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 x x x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x . 22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos 2θ=±， ∵02πθ≤<，6πθ=，23ρ=∴所求交点的极坐标3,)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP =，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当20x -<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[2,0)-上单调递增，当322x -≤≤'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2)2-上单调递减， 所以min ()(2)g x g =-2230m =+≥， 所以223m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-， 综上，223m ≥-．。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
D哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.B.C. D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==uu u r uu u r uuu r ，则AC AD ⋅=uuu r uuu r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++ C. 3223x x x +++ D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =uu u r uu u r，则||PQ =A.92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (,3)-∞ C. (1,2)- D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,DE 两点，且1AF 、12F F 、2AF构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ， 试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =uu u r uuu r(O为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）. （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，] 8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣612．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝1﹣i，∴在复平面内对应的点为（1，﹣1），故选：D．2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵集合＝[，]，集合B＝{x|y2＝4x}＝[0，+∞），∴A∩B═[，]∩[0，+∞）＝[0，]．故选：A．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢p：∀x∈R，x2+1≥2x，故选：C．4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，其底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积为V＝••1•1•1＝．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM【解答】解：根据程序框图：算法的作用是求{a n}中的最小项．故：S n＝a1+a2+…+a n≥M+M+…+M＝nM，故：S n≥nM，故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，函数的最小正周期为π，则：ω＝2，由于f（﹣x）＝f（x），且|φ|＜，解得φ＝．故：f（x）＝，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），解得（k∈Z），当k＝1时，f（x）在（，π）单调递增．当k＝0时，f（x）在（﹣）单调递增．所以f（x）在（）单调递减．所以A错误．故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设z＝＝1+，则z的几何意义是区域内的点到M（5，7）的斜率加上1，由，可得A（0，4），由，可得B（2，2）；由图象可知，当MA的斜率最小为k＝＝，MB的斜率最大为k′＝＝，所以的取值范围是：[，]．故选：C．8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，则△OAB为等边三角形且∠AOB＝60°，则||＝||＝1，•＝||×||×cos60°＝，M为线段AB的中点，则＝（+），则•＝（3﹣2）•（+）＝（3﹣2）•（+）＝（32﹣22+•）＝（3﹣2+）＝；故选：B．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：△ABC中，由cos A cos B cos C＞0知，△ABC是锐角三角形，由正弦定理可知sin B＝sin2A＝2sin A cos A，∴b＝2a cos A，∴＝＝tan A，∵A+B+C＝180°，B＝2A，∴3A+C＝180°，A＝60°﹣＞30°，∵2A＜90°，∴A∈（30°，45°），＜tan A＜1，则＜＜．故选：D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形，设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴CO1＝＝，∴OO1＝，∴高PD＝2OO1＝2，∵△ABC是边长为4正三角形，∴S△ABC＝＝4，∴V三棱锥P﹣ABC＝＝∴r2＝．则球O的表面积为4πr2＝．故选：D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣6【解答】解：在同一坐标系内作出函数y＝与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象，如图所示，则函数y＝的图象关于点（﹣1，0）对称，同时点（﹣1，0）也是函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤2）的对称点；由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上共有4个交点，且两两关于点（﹣1，0）对称；设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝2×（﹣1）＝﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×（﹣2）＝﹣4．故选：A．12．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【解答】解：设S（m，n）与渐近线y＝平行的直线方程为则M（m﹣，0），P（0，n﹣）．与渐近线y＝﹣平行的直线方程为则N（，0），Q（0，n+，|OM|＝||，|ON|＝||，|OP|＝||，|OQ|＝||，∴（+）•（|OP|+|OQ|）＝+（||），要使（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则．∴双曲线离心率e＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝±3．【解答】解：∵a3＝18，a5＝162，∴q2＝＝9，公比q＝±3．故答案为：±3．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）【解答】解：由题意a1＝∈[0，1]，a＝2（a1﹣0.5）＝2a1﹣1∈[﹣1，1]，又b∈[0，1]，由N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则＝，如图所示；∴所围成图形的面积可估计为S＝．故答案为：．15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为【解答】解：∵抛物线y2＝2px的焦点为F（，0）∴设弦AB所在直线的方程为y＝k（x﹣），（k≠0）与抛物线y2＝2px联解，得ky2﹣2py﹣kp2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝﹣p2．根据抛物线的定义，得|AB|＝x1+x2+p＝4p∴x1+x2＝y12+y22＝3p，得y12+y22＝6p2．由此可得|y1﹣y2|2＝（y12+y22）﹣2y1y2＝6p2﹣（﹣2p2）＝8p2．∴S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|OF|•|y1﹣y2|＝××，因此，三角形的面积为：．故答案为：．16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．【解答】解：不等式f（x）＞2017e x﹣1+1⇔＞2017．令g（x）＝，∵f′（x）＞f（x）﹣1，∴g′（x）＝＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，而g（1）＝＝2017，∴g（x）＞g（1），∴x＞1．∴不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由﹣＝2（+）（n∈N*），∴＝∴a n+12﹣2a n+1＝a n2+2a n，∴a n+12﹣a n2＝2（a n+1+a n），∴（a n+1﹣a n）（a n+1+a n）＝2（a n+1+a n），∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1﹣a n＝2，∵a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，（2）b n＝+（﹣1）n•a n＝22n+1+（﹣1）n•（2n+1）＝2×4n+（﹣1）n•（2n+1），设c n＝2×4n，则{c n}的前n项和为＝设d n＝（﹣1）n•（2n+1），当n为偶数时，{d n}的前n项和为（﹣3+5）+（﹣7+9）+…（﹣2n+1+2n+1）＝2×＝n，当n为奇数时，{d n}的前n项和为﹣3+（5﹣7）+（9﹣11）+…（2n﹣1﹣2n﹣1）＝﹣3﹣2×＝﹣3﹣（n﹣1）＝﹣n﹣2，故当n为偶数时，S n＝+n，当n为奇数时，S n＝﹣n﹣2＝﹣n﹣，综上所述S n＝．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．【解答】解：（1）∵频率直方图中，T∈[5，6）对应的小矩形最高，∴据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数为：＝5.5．由频率直方图估计早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：0.15×3.5+0.2×4.5+0.3×5.5+0.2×6.5+0.1×7.5+0.05×8.5＝5.55．（2）由题知严重拥堵中交通指数T∈[7，8）的有4个，记为a，b，c，d，交通指数T∈[8，9）的有2个，记为A，B，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，基本事件总数有15个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），（A，B），选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]包含的基本事件有8个，分别为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），∴恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率p＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°．又在△DAB中，有AD＝AB＝1，∴∠ADB＝45°．∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，则CD∥平面P AB，在Rt△PDA中，由AD＝PD＝1，可得D到P A的距离为，即D到平面P AB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面P AB的距离为．在Rt△P AB中，由AB＝1，P A＝，且F为P A的中点，可得．∴．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．【解答】（1）解：由题意可得：c＝＝b，a2＝b2+c2，解得c＝，b＝1，a＝2．∴椭圆C的方程为：＝1．（2）证明：设直线l1的方程为：y＝kx+1，（k＞0），则直线l1的方程为：y＝﹣x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝﹣，+1＝，可得A（﹣，）．联立，化为：（4+k2）x2﹣8kx＝0，解得x2＝，y2＝﹣×+1＝，可得B（，）．∴直线AB的方程为：y﹣＝（x﹣），化为：y﹣＝（x﹣），化为：y＝x﹣．∴直线AB过定点：．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．【解答】解：（1）证明：当a＝1，x＞0时，令g（x）＝，g′（x）＝e x﹣x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g″（x）＞0，g′（x）递增，g′（x）＞g′（0）＝0，∴g（x）递增，g（x）＞g（0）＝0，∴曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）由y＝ae x和y＝x+1，可得ae x＝x+1，即有a＝，设m（x）＝，可得m′（x）＝，当x＞0时，m′（x）＜0，m（x）递减；当x＜0时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）在x＝0处取得极大值，且为最大值1，图象如右上：由图象可得0＜a＜1时，a＝有两解，可得函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，则a的范围是（0，1）；（3）证明：由（2）可得ae x1＝x1+1，ae x2＝x2+1，作差可得a＝，要证a＞，即证＞，由x1＜x2时，即证x2﹣x1＞，即为x2﹣x1＞1﹣＝1﹣，可令t＝x2﹣x1，即为t＞1﹣，设n（t）＝t﹣1+，t＞0，n′（t）＝1﹣＝＞0，可得n（t）在t＞0上递增，可得n（t）＞n（0）＝0，可得t＞1﹣成立，则当x1＜x2时，a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ＝﹣4．∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2＝﹣4，即＝1．（2）将直线l：（t为参数），转换为：（t为参数），代入曲线，得到：7t2+40t﹣75＝0，所以，（t1和t2为M和N对应的参数），则＝＝．故+的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．【解答】解：（1）在等式x+y+z＝2两边平方得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，由基本不等式可得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz＝（x2+y2）+z2+2xy+2yz+2xz≥2xy+z2+2xy+2yz+2xz＝4xy+2yz+2xz+z2，当且仅当x＝y时，等号成立，因此，4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）由基本不等式可得++＝≥2（x+y+z）＝4，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．。
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题
21．已知定义域为 (0, ) 的函数 f ( x) ( x m)ex （常数 m R ） . （1）若 m 2 ，求函数 f ( x) 的单调区间； （2）若 f ( x) m 1 0 恒成立，求实数 m 的最大整数值 . 请考生在 22、 23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题 记分 .
2
D ．1
8．如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥
的体积为（
）
A． 3 B ． 4 C ．6 D ．8
9．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结
合的方法给出了勾股定理的详细证明 . 如图所示的“勾股圆方图”中，
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为
二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．函数 f (x) log 3(8x 1) 的值域为
.
14．设实数 x, y 满足约束条件
3x 2 y 12
x 2 y 8 ，则 z 3x 4y 的最大值
x0 y0
为.
15．写出下列命题中所有真命题的序号
.
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数 r 越接近 1；②回归直线一
22
A． ( 2, 1)
B
． ( 2,1)
C ． ( 1,0)
） D
． ( 1,2)
4．设 x R ，则使 lg( x 1) 1 成立的必要不充分条件是（
）
A． 1 x 9
B
．x 1
C
．x 1
D． 1 x 9
5．等比数列 { an} 中， a3 2 ， a11 8 ，则 a7 （
）
A． 4
B
2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)及答案
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9 5．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣2，a11=﹣8，则a7=（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接PA，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN=（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f （x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1 C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x=10时，必有相应的y=12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n=．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a﹣2ccosB．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y=kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）=（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数==i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B={x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量=（，）﹣（，﹣）=（﹣，+）=（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣2，a11=﹣8，则a7=（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5=﹣=﹣【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a=﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2=4x，∴P=2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|FA|=x1﹣（﹣）=x1+1，|FB|=x2﹣（﹣）=x2+1，∴|AB|=|FA|+|FB|=（x1+x2）+2=+2=．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．1【解答】解：s=﹣1，i=2≤4，a=1+1=2，s=﹣1+2=1，i=3≤4，a=1﹣=，s=1+=，i=3+1≤4，a=1﹣2=﹣1，s=﹣1=，i=4+1＞4，输出s=，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，∴DB=AC=5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R=2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V=×π×（2.5）3=．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接PA，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN=（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x=ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9=0，且k2≠，∴y1+y2=，y1•y2=，∴x1+x2=k（y1+y2）+4=，x1x2=k2y1y2+2k（y1+y2）+4=则直线PA的方程为y=•（x+1），直线QA的方程为y=•（x+1），分别令x=，可得y M=•，y N=•，∴=（，﹣•），=（，﹣•），∴•=+•=+=0，∴⊥，∴∠MFN=，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x=2，由，解得y=±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线PA的方程为y=3x+3，当x=时，y=，即M（，），同理可得N（，﹣），∴=（，﹣），=（，），∴•=﹣=0，∴⊥，∴∠MFN=，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f （x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1 C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）=+e﹣x，则g′（x）=﹣=＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z 最大由可得A（2，3），此时z=18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x=10时，必有相应的y=12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x=10时，则y=0.2×10+10=12，∴样本数据x=10时，预测y=12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n=．【解答】解：∵，，∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+n﹣1=n+1，∴a n=，∴=﹣，∴数列的前n项和为S n=+……+﹣+……+=﹣=．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a﹣2ccosB．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b=2a﹣2ccosB=2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2=ab，即cosC===，因为0＜C＜π，则C=；（2）由（1）知，则B=π﹣A﹣，于是=cosA+sin（π﹣A）=cosA+sinA=2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B=．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a=2，b=0.06，c=12，d=0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08=73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE=D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y=kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y=kx+m的距离为1，得，即m2=1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）=48（3k2+2）＞0，，==．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）=（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m=2时，f（x）=（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）=（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）=e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）=e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）=e﹣3＜0，g（3）=e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）=0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2=1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）=2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m=1，则a+b+c=1；则；同理；则；即M≥8．。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
2．若复数 z 满足 z(2－i)＝1＋7i，则 | z | ( )
A.
5
B.
10
C. 2 2
D. 2
3. 已知 cos(
7 9 1 9
2 ) ，则 sin （ 4 2 3
）
1 9 7 9
A.
B.
C.
D.
B
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 4. 在 ABC 中， AD AB, BC 3BD,| AD | 1 ，则 AC AD （
（2）若 bn
an Sn ，求 b1 b2 b3 L bn ．
值．
a3 x a2 x a1 x a0 然后进行求
运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ A. x 4 x 3 2 x 2 3 x 4
）
B. x 4 2 x 3 3 x 2 4 x 5
C. x 3 x 2 2 x 3
D. x 3 2 x 2 3 x 4 ）
第Ⅰ卷（选择题
共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知集合 A {x | 2 x 3, x Z }, B { y | y x 2 3} , 则 A I B 的子集个数共有( A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个 )
A.1 C.3 B.2
）
A
D
C
D.4
5．我国南宋数学家秦九韶给出了求 n 次多项式
an x n an 1 x n 1 L a1 x a0 当 x x0 时的值的一种简捷算法，
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
值．
运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ）
A. x4 x3 2x2 3x 4
B. x4 2x3 3x2 4x 5
C. x3 x2 2x 3
D. x3 2x2 3x 4
6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）
A. 12
B. 24
.
y 1
14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在
乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只
有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是
.
15. 已知平面四边形 ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, BCD 90 ，则四边形 ABCD 面积的
则 | PQ |
A. 9
B. 4
2
C.
7 2
D. 3
12. 已知函数 f (x) 2x5 x3 7x 2 ，若 f (a2 ) f (a 2) 4 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (,1)
B. (,3)
C. (1, 2)
D. (2,1)
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
C. 与 相交，且交线垂直于 l
D. 与 相交，且交线平行于 l
10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别 选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
6
3
2
3
uuur uuur 11. F 是抛物线 y2 2x 的焦点，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的准线上，若 PF 2FQ ，
2018年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜95．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝＝i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量＝（，）﹣（，﹣）＝（﹣，+）＝（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7＝﹣＝﹣＝﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x，∴P＝2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|F A|＝x1﹣（﹣）＝x1+1，|FB|＝x2﹣（﹣）＝x2+1，∴|AB|＝|F A|+|FB|＝（x1+x2）+2＝+2＝．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．1【解答】解：s＝﹣1，i＝2≤4，a＝1+1＝2，s＝﹣1+2＝1，i＝3≤4，a＝1﹣＝，s＝1+＝，i＝3+1≤4，a＝1﹣2＝﹣1，s＝﹣1＝，i＝4+1＞4，输出s＝，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱P A⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为＝1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，∴DB＝AC＝5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R＝2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V＝×π×（2.5）3＝．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x＝ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0，且k2≠，∴y1+y2＝，y1•y2＝，∴x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，x1x2＝k2y1y2+2k（y1+y2）+4＝则直线P A的方程为y＝•（x+1），直线QA的方程为y＝•（x+1），分别令x＝，可得y M＝•，y N＝•，∴＝（，﹣•），＝（，﹣•），∴•＝+•＝+＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x＝2，由，解得y＝±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线P A的方程为y＝3x+3，当x＝时，y＝，即M（，），同理可得N（，﹣），∴＝（，﹣），＝（，），∴•＝﹣＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）＝+e﹣x，则g′（x）＝﹣＝＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得A（2，3），此时z＝18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x＝10时，则y＝0.2×10+10＝12，∴样本数据x＝10时，预测y＝12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．【解答】解：∵，，∴﹣＝1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴＝2+n﹣1＝n+1，∴a n＝，∴＝﹣，∴数列的前n项和为S n＝+……+﹣+……+＝﹣＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b＝2a﹣2c cos B＝2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2＝ab，即cos C＝＝＝，因为0＜C＜π，则C＝；（2）由（1）知，则B＝π﹣A﹣，于是＝cos A+sin（π﹣A）＝cos A+sin A＝2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B ＝．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a＝2，b＝0.06，c＝12，d＝0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08＝73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE＝D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1＝C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，得，即m2＝1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＝48（3k2+2）＞0，，＝＝．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）＝（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）＝e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）＝e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）＝e﹣3＜0，g（3）＝e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）＝0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2＝1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）＝2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
东北三省三校(哈师大附中)2018-2019学年高三第二次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案
东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，则复数ii437++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合}02|{2<--=x x x A ，集合}41|{<<=x x B ，则=B A Y （ ） A ．}21|{<<x x B ．}41|{<<-x x C ．}11|{<<-x x D ．}42|{<<x x3．等比数列}{n a 中，23-=a ，811-=a ，则=7a （ ） A ．4- B ．4 C ．4± D ．5- 4．已知向量)1,1(=a ，)2,1(-=b ，若)2//()(b t a b a +-，则=t （ ）A ．0B ．21C ．2-D ．3- 5．执行如下的程序框图，若输出T 的值为1225，则“？”处可填（ ）A ．6<nB ．5<nC ．4<nD ．3<n6．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A ．240 B ．480 C ．720 D ．960 7．函数11)(+-+=x x e x f x的部分图象大致是（ ）8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A ．338π B ．π8 C ．π6 D ．334π9．21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于B A ,两点，若12=，则双曲线的离心率为（ ） A.25B. 5C.310D. 10 10．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若βα⊥，α⊥m ，则β//m B ．若α//m ,α⊂n ,则n m // C ．若m =βαI ，α//n ,β//n ，则n m //D ．若βα⊥，且m =βαI ，点α∈A ，直线m AB ⊥，则β⊥AB11．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ ）A ．甲和乙不可能同时获奖B ．丙和丁不可能同时获奖C ．乙和丁不可能同时获奖D ．丁和甲不可能同时获奖 12．已知当),1(+∞∈x 时，关于x 的方程1)2(ln -=-+kxk x x 有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．)4,3(B ．)5,4(C ．)6,5(D ．)7,6( 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设随机变量)21,6(~B X ，则==)3(X P .14．已知递增的等差数列}{n a 的前三项和为6-，前三项积为10，则前10项和=10S .15．函数43cos 3)3sin(cos )(2+-+=x x x x f π在闭区间]4,4[ππ-上的最小值是 .16．设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于B A ,两点，与抛物线的准线相交于点C ，2||=BF ，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACFBCFS S . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若)sin (sin )sin )(sin (B A b C A c a -=+-.（1）求角C ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为2，求ABC ∆周长的最大值.18．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：xb y a xn x yx n yx bn i i ni ii ˆˆ,ˆ1221-=⋅-⋅⋅-=∑∑==，∑==81217232i i x ，∑==8147384i ii y x（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=；（b aˆ,ˆ的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？19．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面为菱形，0120=∠BAD ，2=AB ，F E ,为1,AA CD 中点.（1）求证：//DF 平面AE B 1；（2）若⊥1AA 底面ABCD ，且直线1AD 与平面AE B 1所成线面角的正弦值为43，求1AA 的长.20．椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，若椭圆过点)23,1(. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B A ,为椭圆的左、右顶点，),(00y x P （00≠y ）为椭圆上一动点，设直线BP AP ,分别交直线l ：6=x 于点N M ,，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.21．已知函数1ln )(--=x a x x f ，曲线)(x f y =在)0,1(处的切线经过点)0,(e . （1）证明：0)(≥x f ；（2）若当),1[+∞∈x 时，xp x x f ln )(ln )1(2+≥，求p 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数），曲线2C ：1222=+y x .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系.（1）求曲线21,C C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C 的交点为B ，求||AB .23．选修4-5：不等式选讲 设函数|12|)(-=x x f .（1）设5)1()(<++x f x f 的解集为集合A ，求集合A ；（2）已知m 为集合A 中的最大自然数，且m c b a =++（其中c b a ,,为正实数），设ccb b a a M -⋅-⋅-=111.求证：8≥M .理科数学答案一、选择题二、填空题 13.165 14. 85 15.21- 16. 54 三、解答题17．（1）由正弦定理得)())((b a b c a c a -=+-，∴222b abc a -=-，∴212222=-+ab c b a ，即21cos =C 因为π<<C 0，则3π=C .（2）由正弦定理4sin sin sin 2====AaB bC c r ∴A a sin 4=，B b sin 4=，32sin 4==C c ， ∴周长c b a l ++=32sin 4sin 4++=B A32)32sin(4sin 4+-+=A A π32sin 214cos 234sin 4+⨯+⨯+=A A A 32cos 32sin 6++=A A32)6sin(34++=πA∵)32,0(π∈A ，∴)65,6(6πππ∈+A ∴当26ππ=+A 即3π=A 时363234max =+=l∴当3π==B A 时，ABC ∆周长的最大值为36.18. (1)（2）4586258524842383228=+++++++=x1298147140135129127122118114=+++++++=y∴91.012911845817232129458473848ˆ2812281≈=⨯-⨯⨯-=⋅-⋅⋅-=∑∑==i ii ii xxy x n yx b05.884591.0129ˆˆ=⨯-=-=x b y a∴回归直线方程为05.8891.0ˆ+=x y. （3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为75.15105.887091.0=+⨯（mmHg ）∵19.175.151180≈∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群. 19.（1）证明：设G 为1AB 的中点，连GF EG , 因为FG1121B A ，又DE 1121B A ，所以FG DE ，所以四边形DEGF 是平行四边形， 所以EG DF //又⊄DF 平面AE B 1，⊂EG 平面AE B 1， 所以//DF 平面AE B 1.（2）因为ABCD 是菱形，且060=∠ABD ， 所以ABC ∆是等边三角形 取BC 中点G ，则AD AG ⊥，因为⊥1AA 平面ABCD ， 所以AG AA ⊥1，AD AA ⊥1建立如图的空间直角坐标系，令)0(1>=t t AA ，则)0,0,0(A ，)0,23,23(E ，),1,3(t B -，),2,0(1t D ， )0,23,23(=AE ，),1,3(1t AB -=，),2,0(1t AD =， 设平面AE B 1的一个法向量为),,(z y x n =， 则0)3(23=+=⋅y x AE n 且031=+-=⋅tz y x ， 取)4,,3(t t n -=，设直线1AD 与平面AE B 1所成角为θ， 则43)4(26||||sin 211=+=⋅=t t AD n θ，解得2=t ，故线段1AA 的长为2. 20.(1)由已知1=c ， ∴122+=b a ① ∵椭圆过点)23,1(，∴149122=+b a ② 联立①②得42=a ，32=b∴椭圆方程为13422=+y x（2）设),(00y x P ，已知)0,2(),0,2(B A - ∵00≠y ，∴20±≠x ∴BP AP ,都有斜率 ∴2,20000-=+=x y k x y k BP AP ∴4202-=⋅x y k k BPAP ③ ∵1342020=+y x ∴)41(3220x y -=④ 将④代入③得434)41(32020-=--=⋅x x k k BPAP设AP 方程)2(-=x k y ∴BP 方程)2(43--=x k y ∴)3,6(),8,6(kN k M -由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为)0,(t T 则TM ⊥ ∴0)24()6()3,6()8,6(2=-+-=--⋅-=⋅t k t k t∴24)6(2=-t ，∴626±=t ∴存在定点)0,626(+或)0,626(-以线段MN 为直径的圆恒过该定点.21. （1）曲线)(x f y =在)0,1(处的切线为)1)(1('-=x f y ，即)1)(1(--=x a y 由题意得)1)(1(0--=e a ，解得1=a所以1ln )(--=x x x f 从而xx x x f 111)('-=-= 因为当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，当),1(+∞∈x 时，0)('>x f .所以)(x f 在区间)1,0(上是减函数，区间),1(+∞上是增函数，从而0)1()(=≥f x f .（2）由题意知，当),1[+∞∈x 时，0ln ≠+x p ，所以0>p从而当),1[+∞∈x 时，0ln >+x p ， 由题意知xp x x x ln )(ln 1ln 12+≥-+，即0ln ]1)1[(≥+-+-p px x x p ，其中),1[+∞∈x 设p px x x p x g +-+-=ln ]1)1[()(，其中),1[+∞∈x设)(')(x g x h =，即11)1()(-+-=x x p x h ，其中),1[+∞∈x 则21)1()('xx p x h --=，其中),1[+∞∈x （1）当2≥p 时，因为),1(+∞∈x 时，0)('>x h ，所以)(x h 是增函数从而当),1(+∞∈x 时，0)1()(=>h x h ，所以)(x g 是增函数，从而0)1()(=≥g x g .故当2≥p 时符合题意.（2）当21<<p 时，因为)11,1(-∈p x 时，0)('<x h ， 所以)(x h 在区间)11,1(-p 上是减函数 从而当)11,1(-∈p x 时，0)1()(=<h x h 所以)(x g 在)11,1(-p 上是减函数，从而0)1()11(=<-g p g 故当21<<p 时不符合题意.（3）当10≤<p 时，因为),1(+∞∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 是减函数 从而当),1(+∞∈x 时，0)1()(=<h x h所以)(x g 是减函数，从而0)1()2(=<g g故当10≤<p 时不符合题意综上p 的取值范围是),2[+∞.22. （1）曲线1C 的参数方程⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数） 可化为普通方程1)1(22=-+y x ，由⎩⎨⎧==θρθρcos sin x y ，可得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=， 曲线2C 的极坐标方程为2)cos 1(22=+θρ.（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的交点A 的极径为33sin21==πρ， 射线3πθ=（0>ρ）与曲线2C 的交点B 的极径满足2)3cos 1(222=+πρ，解得51022=ρ， 所以51023||||21-=-=ρρAB . 23．（1）5)1()(<++x f x f 即5|12||12|<++-x x当21-<x 时，不等式化为51221<---x x ，∴2145-<<-x ； 当2121≤≤-x 时，不等式化为51221<++-x x ，不等式恒成立； 当21>x 时，不等式化为51212<++-x x ，∴4521<<x . 综上，集合}4545|{<<-=x x A . （2）由（1）知1=m ，则1=++c b a . 则a bc a c b a a 21≥+=-，同理c ab c c b ac b b 21,21≥-≥-，则 8222111=⋅⋅≥-⋅-⋅-a bc b ac c ab c c b b a a ，即8≥M .。
2018年高三最新 东北三校高三数学第二次联合考试试题 精品
东北三校高三数学第二次联合考试哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 参考公式：sin α+sin β=2sin2cos2βαβα-+sin α-sin β=2cos 2sin 2βαβα-+ cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α－cos β=-2sin 2sin 2βαβα-+ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面四个函数中，不存在反函数的函数的是 A.ｙ=-x 4 B.ｙ=x 4 C.ｙ=3xD.ｙ=x 21log 2.设α、β为钝角且sin α=55,cos β=-10103,则α+β的值为A.π43B. π45 C. π47D. π45或π47 3.对于直线a 、b 和平面α、β，a ∥b 的一个充分条件是A.a ∥α,b ∥αB.a ∥α,b ∥β,α∥βC.a ⊥α,b ⊥β,α∥βD.α⊥β,a ⊥α,b ∥β 4.函数f (x )=ctg wx (w ＞0)图象的相邻两支截ｙ=8π所得线段长为4π.则f (8π)的值是 A.0 B.-1 C.1 D. 4π5.今有一组实验数据如下t 1.993 3.018 4.001 5.182 6.121S 1.501 4.413 7.498 12.18 17.93现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是 A.S -1=2t -3B.S =t 2log 23C.2S =t 2-1 D.S =-2t -2 6.已知A （0，0），B （a ，b ），P 1是AB 中点，P 2是BP 1中点，P 3是P 1P 2中点，…，P n +2是P n P n +1 中点，则P n 点的极限位置A.)2,2(b aB.)3,3(b aC.)32,32(b aD.)43,43(b a 7.函数f (x )=x 2+x 1 (x ≤-21)的值域是 A.]47,(--∞ B. ]223,(3--∞ C.),47[+∞- D. ),223[3+∞-8.已知|a |≠|b |,m =ba b a n ba b a ++=--,,则m 、n 之间的关系是A.m ＞nB.m ＜nC.m =nD.m ≤n9.如图在正三棱锥A —BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A —BCD 的体积是 A.122 B. 242 C.123 D. 24310.在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，ｙ轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和ｙ轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个 11.若直线ｙ=kx +1与曲线x =12+y 有两个不同的交点，则k 的取值范围是A.-22kB.-2＜k ＜-1C.1＜k ＜2D.k ＜2或k ＞212.某厂有一批长为2.5 m 的条形钢材，要截成60 cm 长的A 型和43 cm 长的B 型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案最佳（所剩材料最少）A.A 型4个B.A 型2个，B 型3个C.A 型1个，B 型4个D.B 型5个第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的离心率为21，F 为左焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，C 为下顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tg BDC =__________.14.已知（x +1）6·(ax -1)2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为______________.15.（理）已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1222t y t x (t 为参数)，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为______________.（文）函数ｙ=sin x -|sin x |的最小值为______________. 16.在△ABC 中A ＞B ，下列不等式中正确的是①sin A ＞sin B ;②cos A ＜cos B ;③sin2A ＞sin2B ;④cos2A ＜cos2B 其中正确的序号为______________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知集合A ={x |62)21(--x x ＜1},B ={x |l og 4(x +a )＜1},若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知复数z 满足(z +1)(z +1)=|z 2|,且11+-z z 是纯虚数; (Ⅰ)求z ; (Ⅱ)求arg z .19.（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅲ）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD .20.（本小题满分13分）已知抛物线C ：ｙ=-21x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB 的面积S 的最大值及此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A ，一艘机艇以40 km/h 的速度从A 港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知 最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式ｙ≥ax +b 的点（x ,ｙ）不在ｙ=ax +b 的下方）.（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底．获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其他开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底．，这一个体户有现款多少元？（1.1812≈2.5） 22.（本小题满分13分）（理）若{a n }是正项递增的等差数列，n ∈N ,k ≥2,k ∈N ,求证：（Ⅰ）kk k k a a a a 112+++; (Ⅱ)k nk nk nk k k k k k k kk k n a aa a a a a a a a a a 2212132312221211)1(++++++++++++⋅⋅⋅⋅; （文）已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{ｙn }满足ｙn ·l og xn a =2(a ＞0且a ≠1)，设ｙ3=18,ｙ6=12.(Ⅰ)求数列{ｙn }的前多少项和最大，最大值为多少？（Ⅱ）试判断是否存在自然数M ，使当n ＞M 时，x n ＞1恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令a n =l og xn x n +1(n ＞13,n ∈N ),试判断数列{a n }的增减性？。
黑龙江省齐齐哈尔2018届高三第二次月考数学试卷(文)含答案(打印版)
15.216.①②④⑤
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
【解答】解:(1)∵等差数列{an}第10项为24，第25项为﹣21，
∴ ，
解得a1=51，d=﹣3，
∴an=51+(n﹣1)×(﹣3)=﹣3n+54．
高三第二阶段测试数学(文)
命题人:刘欣审题人:梁艳梅
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 = ( )A．Fra bibliotekB． C． D．
2.已知 为虚数单位，复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于()
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)在(1)中，设bn= ，求证:当c=﹣ 时，数列{bn}是等差数列．
20.(本小题满分12分)已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量 与向量 共线．
(1)求角C的值；
(2)若 ，求 的最小值．
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-1+错误！未找到引用源。(a∈R,e为自然对数的底数).
A．a<－3B．a≤－3C．a>－3D．a≥－3
10. 已知平面向量 的夹角为 ， ， ，则 ()
A．2B．3C．4D．
11.函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在
[－1,3]上的解集为()
A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)
黑龙江省哈尔滨市2018届高三二模考试数学试题Word版含解析
黑龙江省哈尔滨市2018届高三二模考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D2. 设非空集合满足，则（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】试题分析：由于,因此不属于集合的元素一定不属于集合,故答案B是正确的，应选B.考点：集合的运算．3. 若过点的直线与圆的圆心距离记为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知，点在圆外，当直线经过圆心时，圆心到直线的距离最小为0，圆心到点的距离，是圆心到直线的最大距离，此时，故选.考点：1.直线与圆的位置关系；2.两点间的距离公式.4. 从中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】B考点：1.程序框图；2.古典概型．5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得，即；若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得,即 .综上可得或.故选：B.6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C7. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，，.所以零点在区间.考点：零点与二分法.8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（）A. B. C. D.【答案】C9. 若实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：其图形如图所示,,由图形知,故选A.考点：线性规划.10. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11. 已知抛物线的焦点为,准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为.设，则，，根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，有，故.12. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由a n=（-1）n（2n-1）+1，得a1=−+1=1，a2=3cosπ+1=-2，a3=−5+1=1，a4=7cos2π+1=8，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则实数__________．【答案】-214. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为，由以上信息，得到下表中的值为__________．（天）繁殖个数【答案】6【解析】试题分析：∵，，∴代入到回归直线方程中得：，∴.考点：线性回归方程.15. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．【答案】【解析】等差数列{an}的公差为d，前n项和为S n，若a1=d=1，∴ ,(当且仅当n=4时取等号)．故答案为：．点睛：本题考查数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．16. 设函数.其中，存在使得成立，则实数的值为__________．【答案】考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.【答案】(1) ，;(2).试题解析：（1）的最大值为2．要使取最大值，，故的集合为（2），即．化简得，只有．在中，由余弦定理，．由知，即，当时取最小值1．,考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理；4．基本不等式．18. 某批次的某种灯泡个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出的值；（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.【答案】(1) ;(2) ;（3）.【方法点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件抽样方法及古典概型概率公式，属于中档题题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和；在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面.（1）求证:；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD证得；（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．试题解析：(1)底面为菱形，底面面面.(2)设，设到平面的距离为，则由题意，，在等腰中，可求，，.20. 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)或.试题解析：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，则椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立可得，则，，直线的方程为，直线的方程为，则，，假设为直径的圆是否恒过定点，则，，，即，即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．21. 已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明: 存在，使；（3）若存在属于区间的，且，使，证明:.【答案】(1)时，函数的单调增区间为；时，函数的单调增区间为，单调减区间为;(2).【解析】试题分析：（1）求的单调区间，由于函数含有对数函数，因此求的单调区间，可用导数法，因此对函数求导得，，令，解得，列表确定单调区间；（2）当时，证明：存在，使，可转化为在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到两个，是得即可，故本题把代入得，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，，故，取，则，即可证出；（3）若存在均属于区间的，且，使，由（1）知的单调递增区间是，单调递减区间是，故，且在上的最小值为，而，，只有，由单调性可知，，从而可证得结论.所以，的单调递增区间是，单调递减区间是（5分）（2）证明：当时，，由（1）知在内单调递增，在内单调递减．令．（6分）由于在内单调递增，故，即（7分）取，则.所以存在，使，即存在，使．（9分）（说明：的取法不唯一，只要满足，且即可．）考点：函数单调性，根的存在性定理.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点.（1）直线与曲线交于两点，求；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.【答案】(1) ;(2) .23. 选修4-5：不等式证明选讲已知函数，且恒成立.（1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论；（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．试题解析：（1）因为，且恒成立，所以只需，又因为，所以，即的最大值为.。
黑龙江省哈尔滨市2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题word版有答案AlUnPw
D哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.5 B. 10C. 22D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==uu u r uu u r uuu r ，则AC AD ⋅=uuu r uuu r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a xa x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++C. 3223x x x +++D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ） A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( ) A. [2,2] B. (2,2)- C. [1,1]- D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =uu u r uu u r，则||PQ =A. 92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,3)-∞C. (1,2)-D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1GF D ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =uu u r uuu r(O 为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l 的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）. （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得x （0,1） 1- 0 +↘极小值↗有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。
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东北三省三校2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数i+11在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合}02|{2<--=x x x A ，集合}41|{<<=x x B ，则=B A （ ）A ．}21|{<<x xB ．}41|{<<-x xC ．}11|{<<-x xD ．}42|{<<x x 3．已知平面向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，则=-2321（ ） A ．)1,2(-- B ．)1,2(- C ．)0,1(- D ．)2,1(- 4．设R x ∈，则使1)1lg(<+x 成立的必要不充分条件是（ ）A ．91<<-xB ．1->xC ．1>xD ．91<<x 5．等比数列}{n a 中，23-=a ，811-=a ，则=7a （ ） A ．4- B ．4 C ．4± D ．5-6．过抛物线C ：x y 42=的焦点F 的直线交抛物线C 于),(11y x A 、),(22y x B 两点，且3421=+x x ，则弦AB 的长为（ ） A ．316 B ．4 C ．310 D ．38 7．执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）A ．25 B ．23 C ．21D ．1 8．如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 231-B.23 C. 434- D. 4310．矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将三角形ABC 折起，当平面⊥ABC 平面ACD 时，四面体ABCD 的外接球的体积是（ ） A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π312511．双曲线C :1322=-y x 的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作一条直线与双曲线C 的右支交于点Q P ,，连接QA PA ,分别与直线l ：21=x 交于点N M ,，则=∠MFN （ ） A ．6π B ．3π C ．2πD ．32π12．已知定义域为R 的函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足1)()('+>x f x f ，则下列正确的是（ ）A ．1)2017()2018(->-e ef f B ．1)2017()2018(-<-e ef f C ．1)2017()2018(+>-e ef f D ．1)2017()2018(+<-e ef f 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数)18(log )(3+=x x f 的值域为 .14．设实数y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00821223y x y x y x ，则y x z 43+=的最大值为 .15．写出下列命题中所有真命题的序号 .①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r 越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心),(y x ；③线性回归方程102.0ˆ+=x y，则当样本数据中10=x 时，必有相应的12=y ；④回归分析中，相关指数2R 的值越大说明残差平方和越小. 16．数列}{n a 中，211=a ，)(0))(1(*11N n na a a na n n n n n ∈=-+⋅+++，设数列}2{+n a n 的前n 项和为n S ，则=n S .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知B c a b cos 22-=. （1）求角C 的大小； （2）求)3sin(cos 3π++B A 的最大值，并求出取得最大值时角B A ,的值.18．某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为100分），将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出d c b a ,,,的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在]100,90[内的学生中任选出两名同学，从成绩在)50,40[内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若1A 同学的数学成绩为43分，1B 同学的数学成绩为95分，求11,B A 两同学恰好都被选出的概率.19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ，1211===AA BC AC ，E D ,分别是棱1CC 、1BB 的中点.（1）证明：AD E A ⊥1； （2）求点A 到平面D B A 11的距离.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点),(y x M 总满足关系式|4|)1(222-=+-x y x .（1）点M 的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O 到直线l ：m kx y +=的距离为1，直线l 与M 的轨迹交于不同的两点B A ,，若23-=⋅，求AOB ∆的面积.21．已知定义域为),0(+∞的函数x e m x x f )()(-=（常数R m ∈）. （1）若2=m ，求函数)(x f 的单调区间；（2）若01)(>++m x f 恒成立，求实数m 的最大整数值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数），曲线2C ：1222=+y x .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系. （1）求曲线21,C C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C 的交点为B ，求||AB .23．选修4-5：不等式选讲 设函数|12|)(-=x x f .（1）设5)1()(<++x f x f 的解集为集合A ，求集合A ；（2）已知m 为集合A 中的最大自然数，且m c b a =++（其中c b a ,,为正实数），设cc b b a a M -⋅-⋅-=111.求证：8≥M .东北三省三校2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题答案一、选择题二、填空题13. ),0(+∞ 14. 18 15. （2）（4） 16. )2)(1(4)3(+++n n n n三、解答题17．（1）acb c a c a B c a b 222cos 22222-+⋅-=-=，整理得ab c b a =-+222， 即21cos =C ， 因为π<<C 0，则3π=C .（2）由（1）知3π=C ，则3ππ--=A B ，于是)3sin(2sin cos 3)sin(cos 3)3sin(cos 3πππ+=+=-+=++A A A A A B A ，由B A -=32π，则ππππ<+<<<33,320A A ， 故当6π=A 时，)3sin(2π+A 的最大值为2，此时2π=B .18. (1)24.0,12,06.0,2====d c b a 估计本次考试全年级学生的数学平均分为8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.（2）设数学成绩在]100,90[内的四名同学分别为4321,,,B B B B ， 成绩在)50,40[内的两名同学为21,A A ， 则选出的三名同学可以为：211B B A 、311B B A 、411B B A 、321B B A 、421B B A 、431B B A 、212B B A 、312B B A 、412B B A 、322B B A 、422B B A 、432B B A ，共有12种情况.11,B A 两名同学恰好都被选出的有211B B A 、311B B A 、411B B A ，共有3种情况，所以11,B A 两名同学恰好都被选出的概率为41123==P . 19.（1）证明：连接DE ，由直三棱柱111C B A ABC -知BC CC ⊥1， ∵AC BC ⊥又有C AC CC = 1， ∴⊥BC 平面11A ACC∵E D ,分别为11,BB CC 的中点，则BC DE //， ∴⊥DE 平面11A ACC ， ∴AD DE ⊥∵212214AA AD D A ==+，所以D A AD 1⊥，D DE D A = 1，⊥AD 平面DE A 1，∴AD E A ⊥1.（2）设点A 到平面D B A 11的距离为d ， ∵11111111111,,C C A CC CC C B C A C B =⊥⊥ ， ∴⊥11C B 平面DA A 1 由D AA B D B A A V V 1111--=知，111113131C B S d S AD A D B A ⋅=⋅∆∆， 即12221312331⨯⨯⨯⨯=⋅⨯d ，解得332=d . 点A 到平面D B A 11的距离为332. 20.(1)由|4|)1(222-=+-x y x 化简，得13422=+y x ，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，它的标准方程为13422=+y x . （2）由点O 到直线l ：m kx y +=的距离为1，得11||2=+=k m d ，即221k m +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 消去y ，得01248)43(222=-+++m kmx x k 0)23(48)43(48)124)(43(4)8(222222>+=-+=-+-=∆k m k m k km222122143124,438k m x x k km x x +-=⋅+-=+，))((21212121m kx m kx x x y y x x +++=+=⋅222222222121243843)124)(1()()1(m km k k m k m x x km x x k ++-++-+=++++= 2222243554312127k k k k m +--=+--=.∵23-=⋅，∴23435522-=+--k k ，解得212=k ，23122=+=k m ∴57643)23(481||222=++⋅+=k k k AB ∴573576121=⨯⨯=∆AOB S . 21. （1）当2=m 时，x e x x f )2()(-=（),0(+∞∈x ），∴xe x xf )1()(-='，令0)(>'x f ，有1>x ，∴)(x f 在),1(+∞上为增函数， 令0)(<'x f ，有10<<x ，∴)(x f 在)1,0(上为减函数， 综上，)(x f 在)1,0(上为减函数，)(x f 在),1(+∞上为增函数. （2）∵01)(>++m x f 对于),0(+∞∈x 恒成立， 即1)(-->m x f 对于),0(+∞∈x 恒成立，由（1）知①当1≤m 时，)(x f 在),0(+∞上为增函数，∴)(x f )0(f >m -=， ∴1-->-m m 恒成立 ∴1≤m②当1>m 时，在)1,0(-m 上为减函数，)(x f 在),1(+∞-m 上为增函数. ∴1min )1()(--=-=m e m f x f ，∴11-->--m e m∴011<---m em设)1(1)(1>--=-m m e m g m ， ∴)1(01)('1>>-=-m e m g m ， ∴)(m g 在),1(+∞上递增，而Z m ∈04)3(,03)2(2>-=<-=e g e g ，∴在),1(+∞上存在唯一0m 使得0)(0=m g ，且320<<m ， ∵Z m ∈，∴m 最大整数值为2，使011<---m em ，即m 最大整数值为2，有01)(>++m x f 对于),0(+∞∈x 恒成立.22. （1）曲线1C 的参数方程⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数）可化为普通方程1)1(22=-+y x ，由⎩⎨⎧==θρθρcos sin x y ，可得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=，曲线2C 的极坐标方程为2)cos 1(22=+θρ.（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的交点A 的极径为33sin21==πρ，射线3πθ=（0>ρ）与曲线2C 的交点B 的极径满足2)3cos1(222=+πρ，解得51022=ρ， 所以51023||||21-=-=ρρAB .23．（1）5)1()(<++x f x f 即5|12||12|<++-x x 当21-<x 时，不等式化为51221<---x x ，∴2145-<<-x ； 当2121≤≤-x 时，不等式化为51221<++-x x ，不等式恒成立； 当21>x 时，不等式化为51212<++-x x ，∴4521<<x . 综上，集合}4545|{<<-=x x A . （2）由（1）知1=m ，则1=++c b a . 则a bc a c b a a 21≥+=-，同理c ab c c b ac b b 21,21≥-≥-，则 8222111=⋅⋅≥-⋅-⋅-abc b ac c ab c c b b a a ，即8≥M .。