第十二章复习题

( 0 x sin y e e sin xdx C , 即得通解
0

y
xdy C ,
0
得通解为 y 1 x (sin x x cos x C ).
x cos x sin x xy C .
(5) ( x y )dy dx 0

[ e


2 x
dx
dx C ]
x (
2
1 x
2
C ), x.
即
e
y
Cx
例7 : 设 y1 ( x ) , y 2 ( x )是y P ( x ) y Q( x ) 的两个不 相同的特解 证明: y Cy1 ( x ) (1 C ) y 2 ( x )必为该 , 方程的通解 C为任意常数). (
例 : 求下列一阶常微分方程 1 的通解.
(1) ( x 1)
解 : 分离变量得 dy 2e 两边积分
y
dy dx
: dy
y
1 2e
y
dx x 1 1 ,
1
,
2e
y

dx x 1
,
即
2e
e dy
y


dx x 1
y
得通解
ln 2 e
y
ln x 1 ln C ,
2
2x
2
17 .
例6 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : (1) y 1 x y 1
du dx 于是 即 1 du dx 1 u 2 x C ,
2
解 : 令 u x y,则
1
dy dx
,
1,
udu dx , u
2
积分得 , 故得
解 : 方程可化为线性方程 全微分方程 方法一 dy dx
, 所以有 2 种解法
将方程化为线性方程 1 x y sin x
故原方程是全微分方程 按全微分方程求解公式
按线性方程的通解公式

dx x dx x

(x,y)
( y x sin x ) dx xdy C x ) dx
(0 ,0 ) x
( x y) 2 x C .
( 2) x(e y) 2
y
解 : 原方程可化为 令 u e 于是
y
y e
y y
2 x
, 即， e
y
y 1
2 x
e
y
,
, 则 du e 2 x

dy ,
du dx
u 1,
2 x dx
所以
u e
2
dP dx
, 原方程化为
x
dP dx
xP
P 0,
dP dx
dP dx
1 x
P P 为 伯努利方程
2
, 方程可化为 1 x
1
1 x
P
1
d(P 1 , 即， dx 1 x (C 1 1 2
2
1
)
P
1 2x 2C 1 x dy dx
2
由求解公式得
3 4
于是
( y) y,
dy d ( xy ) d ( 1 x ) d ( 1 x ) 0 , 原方程通解为 3 4
从而原方程的通解为 y xy
1 3
x
3

1 4
x
4
C.
xy
x
3

x
4
y C.
3
4
例2 求微分方程 2 yy 2 xy xe
例8 已知 y1 xe e
x
2x
, y2 xe e
x
x
,
y3 xe e
x
2x
e
2x
x
是某二阶常系数线性方 程的
x
三个解, 求此微分方程 .
解 : 由题设知 , e 线性无关的解 故此方程是
x
与e
是相应齐次方程的两个 解,
, 且 xe 是非齐次方程的一个特 y y 2 y f ( x ).
方法三 由于 故
2 3
2
3
u x
y x x ,
2 3
所以 , 由通解公式 u( x , y )
方法二
1 3
u( x , y )

( y x x ) dx ( y )
2 3

x 0
( x x ) dx
3 1 4 4

y 0
( 1 x ) dy
u y 故
(x) e

tan
xdx
[ sin 2 xe
tan
xdx
dx C ]
( C 2 cos x ) cos x ,
由于 (0) 2 , 即 C 2 2 得 C 0, 所以 当 ( x ) 2 cos (sin 2 x 2 cos
2
x
2
满足初始
条件 y( 0) 1 的特解.
解 : 原方程可写为 令 z y , 则
2
y xy 2y
x
2
xe
x
2
y 2 dz dx
1
,
x
2
dz dx
dy dx e
. 从而
2 xdx
2 xz xe
x
2
,
所以
z e
2


2 xdx
xe
( x
2
dx C e
1 cos 2 x
例5 一 曲 线 通 过 点 ,3) , 在 该 线 上 任 一 点 (2 P ( x , y ) 处 的 法 线 与 轴 的 交 点 为 ,且 线 段 x Q PQ恰 被y 轴 平 分 求 此 曲 线 方 程 , .
解 : 设所求曲线方程为 y y ( x ) , 则由题意知 ,
2 x 2
y ( x ) xy ( x ) 2 x
( 2 x )e
2 x 2
dx C Ce
2 x 2
2,
又由初始条件得 所以
C 2,
2 x 2
y ( x ) 2 (1 e
).
例4 设 φ( x ) 具有连续的导数 且φ( 0) 2, 试确定 , φ( x ) 使sin 2 x φ( x ) tan x ydx φ( x )dy 0是全微 分方程, 并求此全微分方程的通 . 解
C1x C1x
dP dy
, 则原方程化为
yP
P
2
y P,
2
P y, y ( y C 1 ),
C1x, 即 y
C2 e
(包含 y C )
(3) xy xy y 0, y( 2) 0, y(2)
2
1 2
.
2
解 : 令 y P , y 即 1 P
解 : 原方程可写为 dx dy 所以 x e e

x y,
( 1 ) dy
y

y

ye
dy
dy C
ye
dy
dy C


Ce
( y 1 ).
( 6) (1 x )dy ( y x x )dx 0
解 : 方法一 因为 P y 1, Q x 1,
2 2
x 时 , 原方程 是全微分方程
2
x tan x ) ydx 2 cos
2
xdy 0 ,
即： 2 sin( 2 x ) ydx 2 cos 按全微分方程求解公式
xdy 0

即
x 0
0 dx
2

y
2 cos
0
2
xdy C 1 ,
2( cos y
x)y C , C .
xy
x
3

x
4
( y ), 1 x,
3 x ( y ), 又因
4 u y
x
x (1 x ) y C
原方程可写为
2 3
x ( y ) 1 x , ( y ) 1 ,
dy ( xdy ydx ) x dx x dx 0 , 即
2 3
x
4
3
解 : 令 y P , y 即 故 P
3
dP dx
, 则原方程化为
3 3
xP
2
dP dx
P
3

x
4
,
3
d dx e
(P )
3
3 x
(P ) x ,


3 x
dx
[ x e
3

3 x
dx
dx C 1 ] x ( x C 1 ),
3
既有方程 积分后得
2
例 10 解下列常系数线性齐次 方程 : (1) y 4 y 4 y 0, y(0) 3, y(0) 2

(
x
2
C ).
2
因此
y
e
x
2
C) C 1 , 所以所求特解
2
2 代入初始条件 y
2
, 解得
x
2
e