第8章 时间序列分析(2)

第8章 时间序列分析 Time Series Analysis
8.1 时间序列的分解 8.2 指数平滑 8.3 ARIMA模型
8.2 指数平滑 Exponential smoothing



8.2.1 单参数（一次）指数平滑 8.2.2 双参数指数平滑 8.2.3 三参数指数平滑
指数平滑方法的基本原理
模型（序列） AR(p) 自相关函数 拖尾 偏自相关函数 第p个后截尾 MA(q) 第q个后截尾 拖尾 ARMA(p,q) 拖尾 拖尾
拖尾是指以指数率单调或振荡衰减， 截尾是指从某个开始非常小（不显著非 零）。
Example：一个零均值时间序列
一个零均值时间序列的ACF和PACF
下图图中横线为0±两倍标准差，可以判断ACF和 PACF是否显著非零）。可以看出ACF呈拖尾状，PACF 第2个后截尾，可初步断定序列适合AR(2)模型。
Yt

ˆ Yt
适用场合



单参数（一次）指数平滑适用于不包含长 期趋势和季节成分的时间序列预测 如果原序列有增长趋势，平滑序列将系统 的低于实际值 如果原序列有下降趋势，平滑序列将系统 的高于实际值
平滑系数的确定



选择合适的平滑系数是提高预测精度的关键。 如果序列波动较小，则平滑系数应取小一些，不 同时期数据的权数差别小一些，使预测模型能包 含更多历史数据的信息； 如果序列趋势波动较大，则平滑系数应取得大一 些。这样，可以给近期数据较大的权数，以使预 测模型更好地适序列趋势的变化。 统计软件中可以根据拟合误差的大小自动筛选最 优的平滑系数值。
Example : 销售额时间序列的温 特指数平滑预测
8.3 ARIMA模型

8.2.1 平稳时间序列模型 （ARMA模型） 8.2.2 ARIMA模型

ARIMA: Autoregressive Integrated Moving Average
时间序列的平稳性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机时间序列分析的一个重要概念是平稳性。 时间序列平稳性的直观含义是指时间序列没有明 显的长期趋势、循环变动和季节变动。 从统计意义上讲，如果序列的一、二阶矩存在， 而且对任意时刻满足：(1)均值为常数；(2)协方差 仅与时间间隔有关，则称该序列为宽平稳时间序 列，也叫广义平稳时间序列。

MA模型 ( X t ) at 1at 1 q at q

ARMA模型 ( X t ) 1 ( X t 1 ) p ( X t p ) at
1at 1 q at q
(2) ARMA模型的识别与估计
• Box-Jenkins 的模型识别方法： • 根据ACF和PACF确定模型的形式。 • 自相关函数(ACF)描述时间序列观测值与其 过去的观测值之间的线性相关性。 • 偏自相关函数(PACF)描述在给定中间观测 值的条件下时间序列观测值与其过去的观 测值之间的线性相关性。
Box-Jenkins 的模型识别方法
例子：销售额时间序列

某企业1990-2002年各月销售额数据。
Example : 销售额时间序列的温 特指数平滑预测


软件操作：分析预测创建模型方法选择 “指数平滑”; 设置“条件”，选择季节性模型中 的“Winter(冬季）加法或乘法模型），这里选的 是乘法模型。 从图形看拟合效果很好。
初始预测值的确定


初始预测值的确定 等于第一个观测值 等于前k个值的算术平均 适用场合：单参数（一次）指数平滑适用 于不包含长期趋势和季节成分的平稳时间 序列预测
案例分析


新卫机械厂销售额的单参数指数平滑预测 分析预测创建模型方法选择“指数平 滑”;根据需要设置“条件”。 拟合情况与2年的预测值（下页图）。 SPSS Statistics 估计的=0.689. 拟合数据的MAPE=12.847%.
态分布。
平稳时间序列模型
• 滑动平均(Moving Average)模型-MA(q)
X t at 1at 1 q at q
• 自回归滑动平均(Autoregressive and Moving Average)模型 ARMA(p,q)
X t 1 X t 1 p X t p at 1at 1 q at q


模型的正态化的BIC=4.91；R2=0.166 根据BIC分析 AR(1)要好一点。
AR（1)的拟合效果图
残差自相关图（AR(1)模型）

根据残差自相关图判断AR(1)模型是适合的。
8.2.2 ARIMA模型



在实际问题中我们常遇到的序列，特别是 反映社会、经济现象的序列，大多数并不 平稳，而是呈现出明显的趋势性或季节性。 对于有趋势性时间序列通常采用ARIMA模 型进行分析。 对于有季节性的时间序列可以采用乘积季 节ARIMA模型进行预测。由于这类模型比 较复杂，本课程不做介绍。
ˆ ˆ Yt 1 Yt (1 )Yt ˆ Yt (1 )Yt 1 (1 ) Yt 2 (1 ) Y1 (1 ) Y1
2 t 1 t
式中：
ˆ Yt 1
表示时间序列第t+1期的预测值； 表示时间序列第t期的实际观测值； 表示时间序列第t期的预测值； 表示平滑系数，0< <1。
时间序列的平稳性（图形）
Yt t X
非平稳序列
平稳序列
1 平稳时间序列模型
• （1）ARMA模型的基本形式 P阶自回归(Autoregressive)模型－AR(p)
X t 1 X t 1 p X t p at
X t 为零均值平稳时间序列
a t 是互不相关的序列，且均值为零，方差 2 a 为 （即为白噪声序列）,一般假定其服从正
差分（Difference)运算
ARIMA模型需要用到差分工具。用原序列的每 一个观测值减去其前面的一个观测值，就形 成原序列的一阶差分序列：
1 X t X t X t 1

对一阶差分后的序列再进行一次差分运算， 称为二阶差分。
差分（Difference)运算



一阶差分可以消除原序列存在的线性趋势。 有时候需要进行高阶差分才能够使得变换后 的时间序列平稳。 大部分经济时间序列进行一阶或二阶差分后 都可以变为平稳序列。 对有季节性的时间序列，进行季节差分（当 年的可以消除季节成分：
应用实例

利用指数平滑法对我国人均原油产量（单位： 公斤/人）进行预测。 。 从图形看具有增长 趋势，可以用双参数 指数平滑法进行 预测。

应用实例

软件操作：分析预测创建模型方法选 择“指数平滑”;根据需要设置“条件”（选 择Holt线性趋势模型）
由SPSS软件搜索出的最终平滑系数 、 ， 分别为1.00和0.001，预测2007-2010年我国 人均原油产量的预测值分别为： 141.74 142.56 143.37 144.18
ARMA模型的参数估计
• 对时间序列所适合的ARMA模型进行初步识 别后，接下来就需要估计出其中的参数， 以便进一步识别和应用模型。 • 主要的参数估计方法有矩估计法、最小二 乘估计法和极大似然估计法等，一般都由 计算机软件实现，这里不作介绍。
（3）ARMA模型的适应性检验
• 模型的适应性检验主要是残差序列的独立 性检验。残差序列可由估计出来的模型计 算得到。如果残差序列的自相关函数不显 著非零，可以认为是独立的。
2 ˆ a ( p, q)] 2 ( p q) N AIC ( p, q) ln[
2 ˆ a ( p, q)] ( p q) ln( N ) N BIC ( p, q) ln[
ˆ2 a ( p, q) 是对序列拟合ARMA（p,q）模型的残差 方差，N为观测值的个数。相对于AIC信息准则， BIC信息准则更多的考虑了模型的参数个数。
例1：AR模型

对前面例子，由SPSS可以得到参数估计，模型 表达式为：
X t 0.42 X t 1 0.39 X t 2 at (4.54)

(4.17)
括号中为参数的t检验值，各参数都是显著的。
例1：AR模型

由下图可以看出残差不存在显著的自相关性，可以认为是 独立的，因而模型是适应的。
单参数指数平滑的图形结果
8.2.2 双参数指数平滑


双参数指数平滑包含两个平滑参数 适用于包含长期趋势、不包含季节成分的 时间序列预测。 其基本思想是：首先对序列选定其随时间 变化的线性模型，再通过对序列水平和增 长量分别进行平滑来估计模型中的参数。
双参数指数平滑模型
ˆ YT l Ft bt l
一个模拟的AR(1)序列
X t 0.6 X t 1 at
～ at NID(0,1)
一个模拟的MA(1)序列
X t at 0.6at 1
at ～ NID(0,1)
有均值项的ARMA模型
对于均值是否为零未知的情况下，建模时 需要给ARMA模型加上一个均值项。 AR模型： ( X t ) 1 ( X t 1 ) p ( X t p ) at
l 1,2,
Ft Yt (1 )(Ft 1 bt 1 ) bt ( Ft Ft 1 ) (1 )bt 1

第一个平滑方程得到原序列经趋势调整的平滑值， 第二个平滑方程是对增量进行指数平滑。初始值 取为:
F1 Y1
Ym Y1 b1 m 1
三参数指数平滑模型
预测公式 (L为季节长度)