广东省2012届高三全真高考模拟试卷5(文数)(含详细答案)
2012届广东高考模拟仿真试题(六)文科数学
瘙綊DE，(12分) 又DE⊂平面BDC1，AP⊄平面BDC1，所以AP∥平面BDC1.(13分) 19.(本小题满分14分) 已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第 一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝ 0，若椭圆的离心率等于； (1)求直线AB的方程； (2)若|AB|＝2，设P为椭圆上不同于A、B的动点，求△PAB的面积的 取值范围． 解析：(1)由题意得a＝b＝c.(1分) 设A点坐标为(x0，y0)，因为·＝0，所以AF2⊥F1F2.将x0＝c代入＋＝ 1， 得y0＝＝c，所以kOA＝.(4分) 又＋＝0，则A，O，B三点共线，所以直线AB方程为y＝x.(5分) (2)因为|AB|＝2|OA|＝2，所以|OA|2＝c2＋＝c2＝3. 则c2＝2＝b2，得a2＝4，故椭圆方程为＋＝1.(8分) 设平行于直线AB的直线l：y＝x＋m与椭圆相切，则联立消去y， 得x2＋mx＋m2－2＝0，由Δ＝2m2－4(m2－2)＝0，得m＝±2.(11分) 平行直线AB与l间的距离为d＝，△PAB面积的最大值为|AB|·d＝2. 所以△PAB的面积的取值范围为(0,2]．(14分) 20.(本小题满分14分) 设函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝a2x2. (1)若函数y＝f(x)图象与直线2x－y－1＝0相切，求a的值； (2)是否存在正实数a，使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在， 求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：(1)f ′(x)＝a＋，(1分) 设切点为P(x0，y0)，由题意得f ′(x0)＝a＋＝2, ①(2分) 由①知x0＝，2x0－ax0＝1， 又因为y0＝ax0＋lnx0＝2x0－1，(4分) 消去x0，得ln＝0，所以a＝1.(6分) (2)假设存在正数a，令F(x)＝f(x)－g(x)(x>0)， f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立，则F(x)max≤0(x>0)， 由F′(x)＝a＋－2a2x＝0，得x＝.(8分) 当x>时，F′(x)<0，故F(x)为减函数； 当0<x<时，F′(x)>0，故F(x)为增函数．(10分)
2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣66．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．19．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．110．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为．15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．2012年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：∵，故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出∁U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M={2，4，6}，故选A．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由，，利用能求出．解答：解：∵，，∴．故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）=f（x），即可判断解答：解：A：y=sinx，则有f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx为奇函数B：y=x3，则有f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）为奇函数，C：y=e x，则有f（﹣x）=，为非奇非偶函数．D：y=ln，则有F（﹣x）=ln=f（x）为偶函数故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．点评：本题主要考查了线性规划的思想和方法，二元一次不等式表示平面区域的知识，数形结合解决问题的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项解答：解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C点评：本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．1考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题9．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈（0，），故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈（0，），∴cos2θ=∈（0，），故m=n=1，∴•==，故选：D．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，须，解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列{a n}的性质可得=，再次利用等比数列的定义和性质可得．解答：解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由题意，可设x1≤x2≤x3≤x4，，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值．解答：解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．点评：本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断．14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标解答：解：曲线C1的普通方程为x2+y2=5（），曲线C2的普通方程为y=x﹣1 联立方程x=2或x=﹣1（舍去），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）点评：本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．解答：解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可解答：解：（1），解得A=2（2），即，即因为，所以，，所以．点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．解答：解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．点评：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以ME DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴ME DF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1．由T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，能求出a1．（2）当n≥2时，S n=T n﹣T n﹣1=2S n﹣n2﹣[2S n﹣1﹣（n﹣1）2]=2S n﹣2S n﹣1﹣2n+1，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1，S n+1=2S n+2n+1，故a n+1=2a n+2，所以=2（n≥2），由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1（2）当n≥2时，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1①所以S n+1=2S n+2n+1②②﹣①得a n+1=2a n+2所以a n+1+2=2（a n+2），即（n≥2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，n∈N*．点评：本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．解答：解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．考点：利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：导数的综合应用；集合．分析：（1）根据题意先求不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解．（2）对函数f（x）求导可得f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），由f′（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值解答：解：（1）令g（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△≥0，方程g（x）=0的两个根分别为，所以g（x）＞0的解集为因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）综上所述，当时，D=；当时，D=（0，+∞）．（2）f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=a或x=1，①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）因为g（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0 所以0＜a＜x1＜1≤x2，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，x1）（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣+f（x）↗极大值↘↗所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点．②当时，由（1）知D=（0，+∞）所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．点评：本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化，体现了分类讨论思想的应用，函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用．。
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科6一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图所示，U表示全集，则用A、B表示阴影部分正确的是()A.B.C.D.2.若复数是实数（是虚数单位），则实数的值为（）A．-2B．-1C．1D．23.已知向量=（）A．B.C.D.4.已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则的前项和为（）A．B.C．D．5.下面说法正确的是()A．命题“使得”的否定是“使得”；B．实数是成立的充要条件；C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题；D．命题“若则”的逆否命题为假命题.6.已知、是两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题不正确的是() A．则B．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β7.一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A.B.C.D.8.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．C．0D．9.已知△中，，，分别是，的等差中项与等比中项，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或10.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5B．7C．13D．15二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11.一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中)分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数2x3y24则样本在区间10，50)上的频率为．12.已知函数那么不等式的解集为．13.若目标函数在约束条件下的最大值是，则直线截圆所得的弦长的范围是______________.（二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为．15.(几何证明选讲选做题)如图所示，AB是半径等于的⊙的直径，CD是⊙的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则___________.三、解答题(共80分)16.(本题满分12分）已知向量，且满足.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值及其对应的值；（3）若，求的值.17．（本题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生名，各年级男、女生人数如下图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在高三年级抽取多少名？（3）已知，求高三年级中女生比男生多的概率．18．（本题满分14分）如图：、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．19．（本题满分14分）设曲线在点处的切线与y轴交于点.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，猜测的最大值并证明你的结论.20.（本题满分14分）已知椭圆的离心率，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上的动点,为椭圆的右焦点,以为圆心,长为半径作圆,过点作圆的两条切线,（，为切点），求点的坐标，使得四边形的面积最大．21.（本题满分14分）已知函数.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．参考答案一．选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBCDDBACB二、填空题：(每小题5分，共20分)11.12.13.14.15.（或三、解答题：(共80分)16.解：（1），即，所以所以…………………………………………4分(2)当，即时，………………8分（3），即……………………………………………………9分两边平方得：，所以…………………………10分…………………………12分17.解：（1）由已知有；3分（2）由（1）知高二男女生一起人，又高一学生人，所以高三男女生一起人，按分层抽样，高三年级应抽取人；7分（3）因为，所以基本事件有：一共11个基本事件．9分其中女生比男生多，即的基本事件有：共5个基本事件，11分故女生必男生多的事件的概率为12分18解：（1）证明：依题意：…………………………2分平面∴……………2分∴平面．……………………………5分（2）证明：中，，∴………………………………6分中，，∴．……………………………………………………………………7分∴．…………………………………………………………8分∴在平面外∴平面．…………………………………………………………10分（3）解：由（2）知，，且∴到的距离等于到的距离为1．………………………………11分∴．……………………………………………………12分平面∴．……………14分19.解：（1）,…………………………1分∴点P处的切线斜率,…………………………2分∴切线方程为:,…………………………4分令得:,故数列的通项公式为:.…………………………………6分(2)------①…………………7分两边同乘得:------②①②得:………8分∴……………………10分其中,,,猜测的最大值为.证明如下:…………………11分(i)当为奇数时，；…………………12分(ii)当为偶数时，,设,则.,∴.…………13分故的最大值为,即的最大值为.………………14分20.解：（1）依题意得，………………………………3分解得，………………………………4分所以椭圆的方程为．………………………………5分（2）设，圆：，其中，…………7分…………8分又在椭圆上，则………………………………9分所以，………………………………10分令，，………………………11分当时，，当时，………………………12分所以当时，有最大值，即时，四边形面积取得最大值……13分此时点的坐标为或………………………………………14分21.解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．……………4分(2)由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．……………………………………6分①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．……………………………………8分②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．………………………10分【（方法二）由对任意成立等价于恒成立当，恒成立，则，又，所以此时………6分当，恒成立，则，令，则，……7分易知为上偶函数，考察，，，当时，，当时，，所以当时，，所以……………………………9分综上…………………………………………………………10分】(3)，，…………………………………………………………11分，……………………………………12分由此得，………………………………………13分故．…………………………14分。
广东2012届高考仿真试题理科数学(五)
解：(1)证明：连接OE，因为E，O分别为PA，AC的中点，所以 EO∥PC.(1分) 又EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE.(2分) 所以PC∥平面BDE.(3分)
(2)证明：连接OP，因为PB＝PD， 所以OP⊥BD.(4分) 在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因为OP∩AC＝O， 所以BD⊥平面PAC. 又PH⊂平面PAC，所以BD⊥PH.(5分) 在直角三角形POB中，OB＝1，PB＝2， 所以OP＝.(6分) 又PC＝，H为OC的中点，所以PH⊥OC.(7分) 又因为BD∩OC＝O，所以PH⊥平面ABCD.(8分)
15.(几何证明选讲选做题) 如图，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的 直径，若DA＝2，＝，则AB＝ 4 . 解析：DA＝30°，连接OC，OC⊥PC， 故OC＝PCtan30°＝2，故AB＝4. 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．) 16.(本小题满分12分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b、c，a＝2，b＝ 2，cosA＝－. (1)求角B的大小； (2)若函数f(x)＝cos2x＋csin2(x＋B)，求函数f(x)在(0，π)上的单调递 增区间． 解：(1)cosA＝－，得A＝，sinA＝.(1分) 由＝＝，得sinB＝.(3分) 又0<B<，所以B＝.(5分) (2)由(1)知，C＝π－A－B＝，故c＝b＝2， 所以f(x)＝cos2x＋2sin2(x＋) ＝cos2x－cos(2x＋)＋1.(6分)
A．a B．b C．c D．a或c 解析：阅读所示的流程图可知：该流程图的功能是输出a、b、c三 个数中的最大者．若0<m<1，由函数性质可知：0<m2<1,1<2m<2， log2m<0，所以c<a<b，故选B. 6.函数y＝f(x)的图象如图1所示，则函数y＝logf(x)的图象大致是( C)
2012年广东省高考文科数学试题Word版和答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科数学试题和答案（详细解析版）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.球的体积343V Rπ=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,nx x x 的标准差2s =其中x 表示这组数据的平均数。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34ii +=A. 43i i --B. 43i i -+C. 43i +D.43i-2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量(1,2)A B = ，(3,4)B C =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x =3.B y x=.xC y e=.l 1D y = 5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6 6.在A B C 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，，则AC=A ．4B C.D 27．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π 8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．3D 19．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b =A ．52B ．32C ．1D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学
广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）． 1． 若集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<≤，则()R NM =ð( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．在复平面内，与复数i+11对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A ． 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =5．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为( )A ．4π B ．1-4π C ．8π D ．18π-6．若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47． 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞ 8． 已知θ为锐角，向量(sin ,cos )a θθ=，(cos ,sin )b θθ=， 若a b ，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( ) A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．78x π=9．已知ABC ∆的顶点B 、C在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )A ．B ．C ．8D ．16正(主)视侧(左)视俯视图10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，已知()37712012(1)1a a-+-=，()32006200612012(1)1a a-+-=-，则下列结论正确的是( )A．20122012S=，20127a a<B．20122012S=，20127a a>C．20122012S=-，20127a a<D．20122012S=-，20127a a>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．已知1(,22aλλ→=+，(3,2)bλ→=，如果→a⊥→b，则实数λ= ．12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积．13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为θρcos2=，则曲线C上的点到直线tttx(21⎧=+-=为参数）的距离的最小值为．15．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，90AOB∠=︒，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．二、解答题（本大题共6小题，共80分）．16．（本小题满分12分）在ABC∆中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知222b c a bc+=+．（Ⅰ）求角A的大小：（Ⅱ）若222sin2sin122B C+=，判断ABC∆的形状．17．（本小题满分12分）（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由. 附：独立性检验的随机变量2K的计算公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K临界值参考表如下：如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． 19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20． （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OPOMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21． （本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．113--或 12． 2 13． 100 14．5554- ; 15． ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，1cos 12B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分17．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分 （2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >，(1)(3)f f ''=，解得23a =． ……………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ……………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ……………………6分 ②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a． …………………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ……………………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．……………………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <．……………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a aa==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ……………………13分 综上所述，ln 21a >-． ……………………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ……………………3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k = 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-． ……………………6分 （Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．……………………8分①当λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．……………………14分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21nn a =-． ……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>；所以11122311*********()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑．……………………14分。
广东省2012届高三数学(文)仿真模拟试题18
广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷18一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则AB 等于A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}1,22．已知命题:p “若=，则||||=”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =A ．21B ．22C ．23D ．244．某几何体的直观图如右图所示，则该几何体的侧（左）视图的面积为A ．25a πB ．25a C．2(5a π+ D．2(5a +5．函数2()12sin ()4f x x π=-+，则()6f π= A．．12-C ．12D6．已知为虚数单位，a 为实数，复数(12i)(i)z a =-+在复平面内对应的点为M ，则“12a >”是“点M 在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知ABC ∆中，︒=∠45A ，6=AB ，2=BC ，则=∠CA ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒60或︒1208．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为A ．2B ．C D9.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i 10. 已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤C ．24m -<<D ．42m -<<二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分） (一)必做题(11～13题)11.某学校共有师生4200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为140的样本，已知从学生中抽取的人数为130，那么该学校的教师人数是__________.12. 已知直线22x y +=分别与x 轴、y 轴相交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为__________.13. 已知函数f (x +1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为__________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x （θ为参数）表示的图形上的点到直线x y =的最短距离为．15．（几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．2=AD ，52=AC ，则=AB ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,16．（本小题满分12分）已知函数1()cos 2f x x x ππ=+,x R ∈． （Ⅰ）求函数f (x )的最大值和最小值；（Ⅱ）如图,函数f (x )在[－1,1]上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P,求PM 与PN 的夹角的余弦．17．（本小题满分12分）“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏， “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不B分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． （Ⅰ）写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果； （Ⅱ）求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率． 18．（本小题满分14分）在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=3，a n+2= 3a n+1- 2a n .(Ⅰ)证明数列{a n+1- a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =)1(log 2+n a ，{b n }的前n 项和为S n ，求证21111321<++++nS S S S . 19．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD.（Ⅰ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （Ⅱ）求证：CA '//平面BDE ；(Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 20．（本小题满分14分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点P 到两个焦点的距离的和为6，焦距为,A B分别是椭圆的左右顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）设(,)(0)C x y x a <<为椭圆上一动点，D 为C 关于y 轴的对称点，四边形ABCD的面积为()S x ，设2()()3S x f x x =+，求函数()f x 的最大值.21．（本小题满分14分）已知函数x axxx f ln 1)(+-=（a 为常数）. （Ⅰ）求)(x f '；（Ⅱ）当a =1时，求)(x f 在∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上的最大值和最小值()71828.2≈e ；（Ⅲ）求证：1ln1n n n>-.1(>n ，且)*N n ∈16．解：解：(Ⅰ)∵1()cos 2f x x x ππ=+ =sin()6x ππ+…………2分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1．…………4分(Ⅱ)解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N -…………6分 由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴ 1(,1),3P …………8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=-…………10分∴cos ,||||PM PN PM PN PM PN ⋅<>=⋅35=．…………12分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T ==, …………6分 ||||PM PN ===,…………8分由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅…………10分=521345524⨯-=⨯．…………12分 解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T ==,…………6分||||PM PN ===…………8分在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===…………10分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-23215=⨯-=．…………12分 17．解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，布），共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率6293P ==．…………12分 18．解：解：(Ⅰ)由a n +2= 3a n +1- 2a n 得a n +2- a n +1= 2(a n +1- a n )，a 2-a 1=2，所以，{ a n +1- a n }是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分 a n +1-a n =2×2n -1=2n ，………………………………………………………4分a n =a 1+(a 2-a 1)+ (a 3-a 2)+…+(a n - a n -1)=1+2+22+…+2n -1=2121--n =2n-1；…7分(Ⅱ)b n =)1(log 2+n a =log 22n=n ，………………………………………………8分S n =2)1(+n n ，………………………………………………………………9分 )111(2)1(21+-=+=n n n n S n ， 所以)]111()3121()211[(21111321+-++-+-=++++n n S S S S n =2)111(+-n <2. ………………………14分 19．解：（Ⅰ）多面体A 'B 'BAC 是一个以A 'B'BA 为底,C 点为 顶点的四棱锥，由已知条件，知BC ⊥平面A 'B 'BA ， ∴3211333C A B BAA B BA a V S BC a a ''''-=⋅=⋅⋅=……4分 （Ⅱ）设AC 交BD 于M ，连结ME ． ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又E 为A A '的中点∴ME 为AC A '∆的中位线C A ME '//∴………………6分又BDE C A BDE ME 平面平面⊄⊂' ,//'C A ∴平面BDE ． ………………9分(Ⅲ)ABCD BD AC ∴⊥为正方形 ………………………… 10分.''.','AC A BD A A A AC BD A A ABCD BD ABCD A A 平面又平面平面⊥∴=⊥∴⊂⊥ ……………………12分'.BD BDE A AC BDE ⊂∴⊥平面平面平面…………………………………………14分20．解：（Ⅰ）由题意得，26a =，∴3a =， ----------------1分又2c =，∴c =2221b a c =-=，故椭圆的方程为2219x y +=；-------------3分（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(3,0)A -，(3,0)B ，则220019x y +=，即220019x y =-，则0103y k x =+，0203y k x =-， --------------------4分即2202001222200011(9)1999999x x y k k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值19-．----------------8分 （Ⅲ）由题意可知，四边形ABCD 是梯形，则1()(62)2S x x y =+⋅，且2219x y =-，-----9分于是222232(3)(1)()9()(3)(1)3(03)33993x x S x x x x f x x x x x x +-===+-=--++<<++--------10分 22()133x f x x '=--+，令()0f x '=，解之得11,x =或3x =-（舍去） ----------11分当01x <<，()0f x '>，函数()f x 单调递增； -----------------12分当13x <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减； ---------------------13分所以()f x 在1x =时取得极大值，也是最大值329. -----------------14分21．解：（Ⅰ） 21)(axax x f -='.…………………………………………………2分 （Ⅱ）当1=a 时，21)(x x x f -='，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1，而⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(]e x ,1∈时，0)(>'x f ，∴1=x 是)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上唯一的极小值点， ………………………………4分∴[]0)1()(min ==f x f .…………………………………………………5分 又01)2(112)(1>--=----=-⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e e e e ef e f ，………………………6分 ∴)(1e f e f >⎪⎭⎫ ⎝⎛， ∴[]21)(max -=⎪⎭⎫⎝⎛=e e f x f .……………………………7分 综上，当1=a 时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上的最大值和最小值分别为2-e 和0. ………………………8分（Ⅲ）若1=a 时，由（2）知x xxx f ln 1)(+-=在[)+∞,1上为增函数，……………………………………10分 当1>n 时，令1-=n nx ，则1>x ，故0)1()(=>f x f ，……………………12分即01ln 11ln 1111>-+-=-+---=⎪⎭⎫⎝⎛-n n n n n n n n nn n f ， ∴1ln1n n n>-. ………………………………………………………………14分。
广东省高考全真模拟考试数学文科试题5(详解版).doc
2013年广东省高考全真模拟试卷数学文科（五）数学（文科）本试卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。
答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121(1)(1),(1)ni ni x x y y b a y b x x ==--==--∑∑样本数据x 1,x 2,……，xa 的标准差，211()2(2)()n x x x x x x n+-+-+- 其中,x y 表示样本均值。
N 是正整数，则1221()(ab )n n n n n n a b a b a a b b -----=-+++……一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． (){},|0,,A x y x y x y R =+=∈,(){},|20,,B x y x y x y R =--=∈，则集合A B =( )A ．(1,1)-B ．{}{}11x y ==- C ．{}1,1- D ．(){}1,1-2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( ) A .1)(2++-=x x x f B ． xx f 1)(=第8题C ． 13()log f x x = D . ()ln f x x =3．已知0a >,4()4,f x x a x =-+则()f x 为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关4．已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b //，则x =( ) A ．2 B ． 2- C ． 8D ．8-5.设数列{}n a 是等差数列,且5,8152=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A.109S S <B.109S S =C.1011S S <D.1011S S =6．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则l β⊥③．若α//l ，α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m . 其中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知离心率为e 的曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为（ ）A ．34B ．42323C ．43D ．2348．给出计算201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 9．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
广东省2012届高三数学(文)仿真模拟试题5.pdf
广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷5 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的值为 A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位, 若复数i，i，则 A．i B. i C. i D．i 3. 已知向量,,且，则的值为 A． B. C. D． 4. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为 A． B. C. D． 5. 各项都为正数的等比数列中，，则公比的值为 A． B. C. D． 6. 函数为自然对数的底数在上 A．有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D．是减函数 7. 阅读图1的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A． B． C． D． 8. 已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面， 则下列命题中为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 图1 9. 向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为 A． B． C． D． 10. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件 则该校招聘的教师人数最多是 A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图2所示, 若月均用电量在 区间上共有150户, 则月均用电 量在区间上的居民共有 户. 12. △的三个内角、、所对边的 长分别为、、，已知, 则的值为 . 13. 已知函数满足 且对任意R都有， 记，则 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图3, 是圆的切线, 切点为, 点、在圆上， ， 则圆的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点 且与极轴垂直的直线交曲线于、两点， 图3 则 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数(R). 求的最小正周期和最大值； 若为锐角，且，求的值. 17. （本小题满分12分） 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重 量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4. 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定； 若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率. 18. （本小题满分14分） 如图5,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点, ,. （1）求证：平面； (2) 求四棱锥的体积. 图5 19．（本小题满分14分） 动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆 的圆心是曲线上的动点, 圆与轴交于两点，且. （1）求曲线的方程； （2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系, 并说明理由. 20. （本小题满分14分） 设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差 数列. (1) 求数列的通项公式； （2）令，若不等式对任意N都成立， 求实数的取值范围. 21. （本小题满分14分） 已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令. 求函数的表达式； 求函数的单调区间； 研究函数在区间上的零点个数. 参考答案 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分. 题号123456 78910答案AABCCCBDDC 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共小题，每小题5分． 13. 32 14.15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） …… 2分 …… 3分 . …… 4分 ∴的最小正周期为, 最大值为. …… 6分 (2) 解:∵, ∴. …… 7分 ∴. …… 8分 ∵为锐角，即, ∴. ∴. …… 10分 ∴. …… 12分 17．（本小题满分12分）, …… 1分 , …… 2分 , …… 3分 , …… 4分 ∵, , …… 5分 ∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分 (2) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法: ,. …… 8分 设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种: ,. …… 10分 故所求概率为. …… 12分 18. （本小题满分1分）,设与相交于点,连接, ∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点. ∵为的中点， ∴为△的中位线, ∴ . …… 3分 ∵平面,平面, ∴平面. …… 6分 (2)解法1: ∵平面,平面, ∴ 平面平面，且平面平面. 作，垂足为，则平面， …… 8分 ∵，， 在Rt△中，，， …… 10分 ∴四棱锥的体积 …… 12分 . ∴四棱锥的体积为. …… 14分 解法2: ∵平面,平面, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴平面. …… 8分 取的中点,连接,则, ∴平面. 三棱柱的体积为, …… 10分 则,. …… 12分 而, ∴. ∴. ∴四棱锥的体积为. …… 14分 19．（本小题满分1分）的坐标为,依题意,得, 即, …… 2分 化简得:, ∴曲线的方程为. …… 4分 解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线. …… 2分 ∴曲线的方程为. …… 4分 （2）解: 设点的坐标为,圆的半径为， ∵ 点是抛物线上的动点, ∴(). ∴ …… 6分 . ∵,∴,则当时,取得最小值为, …… 8分 依题意得 , 两边平方得, 解得或(不合题意,舍去). …… 10分 ∴,,即. ∴圆的圆心的坐标为. ∵ 圆与轴交于两点，且, ∴ . ∴. …… 12分 ∵点到直线的距离, ∴直线与圆相离. …… 14分 20．（本小题满分1分）是首项为,公差为的等差数列， ∴. ∴. …… 2分 当时，； 当时，. 又适合上式. ∴. …… 4分 （2）解： . …… 6分 ∴ . …… 8分 故要使不等式对任意N都成立， 即对任意N都成立， 得对任意N都成立. …… 10分 令，则. ∴. ∴. …… 12分 ∴. ∴实数的取值范围为. …… 14分 [另法]: . ∴. ∴. …… 12分 ∴. ∴实数的取值范围为. …… 14分 21．（本小题满分1分），∴. …… 1分 ∵对于任意R都有, ∴函数的对称轴为，即，得. …… 2分 又，即对于任意R都成立， ∴,且． ∵， ∴． ∴． …… 4分 (2) 解： …… 5分 ① 当时，函数的对称轴为， 若，即，函数在上单调递增； …… 6分 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减． …… 7分 ② 当时，函数的对称轴为， 则函数在上单调递增，在上单调递减． …… 8分 综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为 ； …… 9分 当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为 和． …… 10分 (3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增， 又， 故函数在区间上只有一个零点． …… 11分 ② 当时，则，而， ， （）若，由于， 且， 此时，函数在区间上只有一个零点； …… 12分 （）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点； 当时，函数在区间上有两个不同的零点． (14) 输入 否 是 结束 输出k ,n k＝k＋1 ＝3 开始。
2012年广东高考文综模拟试题
2012年广东高考文综模拟试题参考答案第I卷（每小题4分，共140分）1 2 3 4 5 6 7C A C A BD C8 9 10 11 12 13 14B C B B C D D15 16 17 18 19 20 21C B C CD D A22 23 24 25 26 27 28A A CB B D B29 30 31 32 33 34 35D B B A A D B第II卷（共160分）36、（25分）（1）①文化创新应立足于社会实践，做到源于社会生活，服务于社会生活，会徽立足世界，表达了人类对美好和谐的生活追求。
“东方之冠”吸取中国城市建筑和园林中的精华，表达天人合一、和谐共生的人生追求。
（3分）②继承传统，推陈出新，为中华传统文化注入时代精神。
会徽的“世”字倾诉着中国人民弘扬传统、融入世界的不懈努力。
“东方之冠”吸取中国城市建筑和园林中的精华，表达天人合一、和谐共生的人生追求。
（2分）（2）①提高自主创新能力，建设创新型国家。
（2分）②加快转变经济发展方式，推动产业结构优化升级；促进经济增长方式由主要依靠物质资源消耗向主要依靠科技进步、劳动者素质提高、管理创新转变。
（4分）③坚持扩大内需方针，培育新的消费热点，促进旅游业发展。
（2分）④坚持以人为本，增加就业，实现宏观调控目标。
（2分）⑤坚持全面协调可持续的基本要求，全面推进经济、政治、文化、社会和生态文明建设。
（2分）⑥坚持“引进来”和“走出去”更好结合起来，提高开放型经济水平。
（2分）（3）①要做到一切从实际出发，把主观与客观、理论与实践紧密结合起来。
（2分）②辩证的否定是既肯定又否定，是既克服又保留，其实质是“扬弃”，结合自己的实际，取长补短。
（2分）③要坚持矛盾普遍性与特殊性相结合，坚持共性和个性的统一，既要吸取他国在城市发展中的先进理念，解决共性问题，又要突出地方特点，具有当地人文特色。
（2分）37、（27分）（1）①坚持和完善我国人民民主专政的国体和人民代表大会制度的根本政治制度即政体；②坚持和完善中国共产党领导的多党合作和政治协商制度即具有中国特色的社会主义政党制度；③坚持和完善民族区域自治制度和宗教信仰自由政策；④坚持和发展独具特色的社会主义基层民主自治制度。
广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学
广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1． 若集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<≤，则()R N M = ð( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．在复平面内，与复数i+11对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A ． 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =5．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M的距离小于1的概率为( )A ．4πB ．1-4πC ．8πD ．18π-6．若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 7． 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞8． 已知θ为锐角，向量(sin ,cos )a θθ= ，(cos ,sin )b θθ=， 若a b，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( )A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．78x π=正(主)视侧(左)视俯视图9．已知A B C∆的顶点B、C在椭圆2211216x y+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则A B C∆的周长是( )A．B．C．8 D．1610．设等差数列{}n a的前n项和为n S，已知()37712012(1)1a a-+-=，()32006200612012(1)1a a-+-=-，则下列结论正确的是( )A．20122012S=，20127a a<B．20122012S=，20127a a>C．20122012S=-，20127a a<D．20122012S=-，20127a a>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．已知1(,22aλλ→=+，(3,2)bλ→=，如果→a⊥→b，则实数λ= ．12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积．13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为θρcos2=，则曲线C上的点到直线ttytx(21⎩⎨⎧=+-=为参数）的距离的最小值为．15．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，90AO B∠=︒，D为O B的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段D E的长为．二、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+． （Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin122B C +=，判断A B C ∆的形状．17．（本小题满分12分）某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.附：独立性检验的随机变量2K的计算公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K临界值参考表如下：18．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，3A B=，4=BC．E，F分别在线段BC和AD上，E F∥A B，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面⊥MNEF平面E C D F．（Ⅰ）求证：N C∥平面M FD；（Ⅱ）若3E C=，求证：FCND⊥；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．AB CD EF19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． K s 5u(Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ) 求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线P A 与P B 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若O P O Mλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b=+<∑．广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．113--或 12． 2 13． 100 14．5554- ; 15． 5．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在A B C ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+ ∴1cos ,23A A π==……………………………5分（Ⅱ）∵222sin2sin122B C +=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos coscos sinsin 133B B B ππ++=，∴1cos 122B B +=，∴sin()16B π+=，∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴A B C ∆为等边三角形．……………………12分17．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分（2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc Ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形M N E F ，E F D C 都是矩形，所以 M N ∥E F ∥C D ，M N E F C D ==．所以 四边形M N C D 是平行四边形，所以 N C ∥M D ， ………………3分 因为 N C ⊄平面M FD ，所以 N C ∥平面M FD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面E C D F ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面E C D F ，所以 FC N E ⊥． ………………6分又 E C C D =， 所以四边形E C D F 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32N F E C E F C V S N E x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222N F E C x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >，(1)(3)f f ''=，解得23a =． ……………3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ……………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ……………………6分 ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a． …………………7分K s 5u③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ……………………8分④当12a >时，102a<<， 在区间1(0,)a和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．……………………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有m ax m ax ()()f x g x <．……………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………………11分②当12a >时，()f x 在1(0,]a上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故m ax 11()()22ln 2f x f a aa==---． 由12a >可知11ln lnln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，m ax ()0f x <， ……………………13分 综上所述，ln 21a >-． ……………………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =，所以椭圆方程为22132xy+=． ……………………3分（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(0)A，0)B ， 则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1y k =，2y k =K s 5u即2220012222000222(3)2333333x x yk k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-． ……………………6分（Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222O P O Mλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x xx x yx y λ+-+==++，整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．……………………8分①当3λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313xyλλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤的部分；当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．……………………14分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21nn a =-． ……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以211111111n n n nn n n n nn nn nnn b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅．因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=> ；所以 11122311111111111()()()ni i i nn n b b b b b b b b bb b=+++=-+-++-=-<∑．……………………14分。
广州市2012届高三年级调研测试答案(文科数学)
广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分 因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为个，所以4750a b ++=．解得．……………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………………2分 所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分因为0>n a，所以n a =()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分 因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ， 由于三棱锥A BCD -的体积为3所以133BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以2h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH =2==8分 在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =+=+=．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =11分在Rt △AOH中，因为AO =，所以OH =2==12分 在Rt △ACH中，因为CO =则CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC．…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =．①当12a<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……………………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分 （3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分 所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分 令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．令()220g t t at '=-=，解得0t =或2at =．……………………………………………………12分因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，即2a >．……………………………………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。
广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 AB． C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．89．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）()tan α=+π…………………………6分tan 2α==．…………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………11分132155=⨯-=-．…………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………5分()tan α=+π……………………6分tan 2α==．………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………11分 143145-==-+．…………………12分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．…11分所以所求概率为()715P M =．……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =， 所以AC BE ⊥．因为AB BC ==，4=AC ，所以BE ===4分所以△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ，在Rt △PBD 中，因为90PDB ∠=o ，2PD =，BD =，所以PB ===12分在PBC∆中，因为BC=PB =PC =，所以222BC PB PC +=．……………………13分所以PBC∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d =+-，()112n n n S na d -=+．………………1分 依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩……………3分 解得16a =，4d =．……………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭．……8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………2分 当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<． 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………5分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b=．所以双曲线C的方程为2214yx-=．………………………3分证法2：设点11(,)P x y、22(,)T x y（0ix>，0iy>，1,2i=），则111APykx=+，221ATykx=+．……………………4分因为AP ATk k=，所以121211y yx x=++，即()()2212221211y yx x=++．…………5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以221114yx-=，222214yx+=．即()221141y x=-，()222241y x=-．……………6分所以()()()()22122212414111x xx x--=++，即12121111x xx x--=++．…………7分所以121x x⋅=．………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--． 因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，。
2012广东文科高考数学数学真题附答案(纯word版)
2012年广东文科数学参考答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．xy e = D．y = 5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6-6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =ACA ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ． 105B ． 16C ． 15D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ． 52 B ． 32 C ． 1 D ． 12选择题参考答案：1-5：BAADC 6-10：BCBCD第10解析：由定义知：因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案 21 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x （t 为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,A D m A C n ==，则AB = ．填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2)(2,1(-- 几何证明选做题：mn 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ． （1） 求A 的值；（2） 设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值． 解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ（2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f 17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．解(1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为： 人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分60-70段语文成绩的人数为： 人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯(3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3） 证明：EF ⊥平面PAB ．解：（1）：A B C DPH PADPAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB ABPH PH AD PH PH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分 （3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ …………………………………………………………………………………………………………………13分 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）① ②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上． （1） 求椭圆1C 的方程；12221223131=⨯⨯=∙∙=-EM S V BCF BCF E22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n（2） 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a ,…………………………………………………………………………2分 设椭圆方程为：112222=++b y b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分 （2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y 得：04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分 故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21． （本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =． (1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a x(1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D（2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D（3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为： 很明显，0,31012>><<x x a 时 故此时的综上所述： 当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（ 当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D (2)极值点，即导函数的值为0的点。
广东省执信中学2012届高三模拟试题数学文
2012届高三文科数学测试 2012年5月17日一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}log 42x B x ==，则AB =( )A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ． {}2D ．{}2,2-2．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )； A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．13.已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若1()2f a =，则a =（ ）A ．1-BC ．1-D ．1或4.已知数列{}n a 的前n 项和22+⨯=nn p S ，{}n a 是等比数列的充要条件是A.1=p B 2=p C.1-=p D.2-=p5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）A 、x 2－y 2＝2B 、x 2－y 2C 、x 2－y 2＝1D 、x 2－y 2＝126.在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S A ．18B ．99C ．198D ．2977.如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ += A ．OH B ．OG C ．FO D ．EO8．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：()()x f x a g x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③()()()()f x g x f x g x ''⋅>⋅．若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则a 等于 A. 21B. 2C.45D. 2或219. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：图4根据上表可得回归直线方程0.56y x a =+，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.0510.设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对于任意的x R ∈，()2f x '>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．()1,-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，2题全答的，只计算前一题得分）． 11.在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________．12．比较大小：lg9lg11⋅ 1 （填“>”，“<”或“=”） 13．如图，过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D,则CD AB ⋅的值是________14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________15.（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形ABC 中，AC AB =，⊙O 经过点A ，与BC 相切于B ，与AC相交于D ，若1==CD AD ，则⊙O 的半径=r ．三、解答题（总分80分） 16．（本小题满分12分）△ ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小． 17. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t )，制作了频率分布直方图.(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准〜则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；(3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． （1）证明：AD ⊥平面PBC ； （2）求三棱锥D ABC -的体积；（3）在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．侧（左）视图正（主）视图PDCBA19．（本小题满分14分）设数列.,3,2,1,012,}{2==+--n S a S S S n a n n n n n n 且项和为的前（1）求;,21a a（2）求1S S n n -与（2n ≥）的关系式，并证明数列{11-n s }是等差数列。
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2011年广东高考全真模拟试卷（五）文科数学一、选择题：1、如图所示，U 表示全集，则用A 、B 表示阴影部分正确的是( ) A.(B A C U B. B C A C U U C. )(B A C U D. B A2、函数()2sin()2f x x π=+在其定义域上是( )A.奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数3、等差数列{}为则中，593,19,7a a a a n ==（ ）A 、13 B 、12 C 、11 D 、104、原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有 （ ）个. A. 0 B. 1 C . 2 D. 45、已知正方形ABCD 边长为1，则A B B C A C ++=( ) A. 0 B. 2 C .2 D. 22 6、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A 、π8 B 、π6 C 、π4 D 、π 7、方程0Ax By C ++=表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A. 0AB > B. 0AB < C . 0BC > D. 0BC < 8、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+myx的离心率为21，则m =（ ）.A 、23 B 、3 C 、38 D 、329、在空间直角坐标系xyz O -中，过点(4,2,3)--M 作直线O M 的垂线l ，则直线l 与平面O xy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件( )A ．42290+-=x yB ．42290-+=x yC ．42290++=x yD ．42290--=x y 10、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，满足()f ab =()()af b bf a +，(2)2f =，(2)nn f a n=（n *∈N ），(2)2nn nf b =（n *∈N ）.考查下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数列。
其中正确的是（ ） A 、①②③ B 、①③④ C 、③④ D 、①③二、填空题：（一）必做题（11 13题） 11、有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.3升的水， 则小杯水中含有这个细菌的概率_______ 12、某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率 分布直方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为____万元13、阅读图2所示的框图，若输入x 的值为3，则输出y 的值为_________ （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、(几何证明选讲选做题) 如右图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知10,4==BE AC ，且15、(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点A )47,2(π到这条直线的距离为________ 三、解答题：16、（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 最短边的长． 17、（本小题满分12分）央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？18、（本小题满分14分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B B A 是圆柱 的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A B C ⊥平面1A A C ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A B C C B -与圆柱的体积比19、（本小题满分14分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．20、（本小题满分14分）抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线1:l y x =和2:l y x =-相切的圆． （1）求定点N 的坐标；（2）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2．21、（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N2011年广东高考全真模拟试卷（五）参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCCDCBACB选择题参考答案:1. 从图形可以看出阴影部分为)(B A C U ，选A2. 将函数表达式化简()2sin()2cos 2f x x x π=+=，由于余弦函数是偶函数，则该函数也是偶函数，因为余弦函数在整个定义域上单调性不唯一，则整个定义域上不是单调函数，选B 3.根据公式319127,819a a d a a d =+==+=，解方程得到132a d =⎧⎨=⎩，故51411a a d =+=，选C4.因为c 可能为0，则原命题不成立，逆否命题也不成立，逆命题为 “22,,a b c R ac bc a b ∈>>、、若则” 显然是成立的，则否命题也 成立，选C5.化简： A B B C A C A C A C ++=+=222AC = ，选D6.正方体的体积为8，故边长为2，内切球的的半径为1，则表面积244S R ππ== ,选C 7.倾斜角为锐角，则直线的斜率为正数，由0Ax By C ++=，则斜率0,A k B=->化简0AB <,选B8.由题意，则212,2,22c m a c m e a-==-===，化简后得 1.5m = ,选A9.本题可利用排除法，点(4,2,3)--M 必符合直线，代入检验，C 选项符合题意10, 令0a b ==，得到(0)0f =；1a b ==，得到(1)0f =，故①正确，()f ab =()()af b bf a +，(2)2f =，（n *∈N ），(2)2nn n f b =，11111(2)(22)2(2)2(2)1222n nn nn n n n n f f f f b b +++++⋅+====+，说明{}n b 为等差数列，故④正确，同理③可以类似推出，观察选项，选B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11．32012. 10 13. 1 14．63 15．22填空题参考答案：11.本题为几何概型，概率为体积之比，即0.30.152P ==12.观察统计表格中两段的频率之比，则人数为0.42.5100.1⨯=（万）13．由31>，则代入244y x x =-+计算可得到1y = 14. 设BC AD x ==，连接A E ,CAE CED ∆∆ ,则有4,,104C A C B x C EC Dx x=∴=++，化简得到2x =，根据勾股定理，则2212663DE =-= 15. 直线22)4sin(=+πθρ，可化为10x y +-=，点A )47,2(π可化为(2,2)A -,根据点到直线的距离公式221222d --==三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．求：（1）角C 的大小； 解：（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）] ……2分＝－tan （A ＋B ）11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯ ……4分∵0C π<<， ∴34C π= ……6分（2）△ABC 最短边的长．解:∵0<tanB<tanA ，∴A 、B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c ……8分 由1tan 3B =，解得10sin 10B =，由sin sin b c BC=，……10分∴101sin 510sin 522c B b C⨯⋅=== ……12分17．（本小题满分12分）（本题为线性规划问题，重点考察学生的审题能力和解决生活中实际问题的能力）央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？解：设电视台每周应播映片甲x 次，片乙y 次总收视观众为z 万人．则有如下条件：目标函数 ……6分由图解法可得：当x =3， y =2时，z max =220．……10分答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．……12分 18. （本小题满分14分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B B A 是圆柱 的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A B C ⊥平面1A A C ；证明: 因为侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一 个点，所以AC BC ⊥………2分又圆柱母线1A A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A A ⊥BC ，又1A A AC A =，所以BC ⊥平面1A AC ，因为BC ⊂平面1A BC ，故平面1A BC ⊥平面1A AC ；…6分 （Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A B C C B -与圆柱的体积比。