高三数学高考模拟测试卷及答案
山东省枣庄市2022届高考模拟数学试题及答案
秘密★启用前 试卷类型：A2022届高三模拟考试数 学 试 题 2022．3本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合R ==∈A y y x x {|2cos ,}，满足B A 的集合B 可以是A ．−[2,2]B ．−[2,3]C ．−[1,1]D ．R2．命题“Z ∀n ，Q n ”的否定为A ．Z ∀n ，Q nB ．Q ∀n ，Z nC ．Z n，Q nD ．Z n，Q n3．设z 1，z 2是方程x x 102在复数范围内的两个解，则A．−=z z ||12B．=z ||1C ．+=z z 112D ．=z z 1124．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为 A ．66.5 B ．67C ．67.5D ．685．在长方形ABCD中，=AB =AD 2，点M 满足AMMC ，点N 满足NC DN 2，则MN ACA ．1B ．0.5C ．3D ．1.56．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点−(3,4)，则=α2tanA ．−21或2B ．2C ．−31或3D ．37．已知双曲线−=>>a ba b x y 1(0,0)2222的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C D8．已知=−⨯a 5log 922log 65，=+b log 6log 25530，+=b b c 51213，则A ．<<c b aB ．<<b c aC ．<<a c bD ．<<a b c二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知正数a ，b 满足+=a b 122，则A ．+a bB ．ab 的最大值是21C ．−a b 的最小值是−1D ．−b a 2的最小值为−310．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件=R 1“第一次摸到红球”，事件=R 2“第二次摸到红球”，=G “两次都摸到绿球”， =R “两个球中有红球”， 则 A ．<P R P R ()()1B ．=+P R P R P R ()()()12C ．<−P G P R ()1()D ．+=+P G R P G P R ()()()22A11．如图，平行六面体ABCDA B C D 1111中，以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60，则 A ．AC 61B ．AC BD 1C ．四边形BDD B 11的面积为2D ．平行六面体ABCD A B C D 111112．已知椭圆E ：+=x y 43122，过椭圆E 的左焦点F 1的直线l 1交E 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过椭圆E 的右焦点F 2的直线l 2交E 于C ，D 两点，则 A ．若=AF F B 211，则l 1的斜率=k 2B ．+AF BF ||4||11的最小值为427C ．以AF 1为直径的圆与圆+=x y 422相切D ．若⊥l l 12，则四边形ADBC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数=+−f x x a x ()ln(e 1)是偶函数，则实数a 的值为 ．14．如图，等腰△PAD Rt 与矩形ABCD 所在平面垂直， 且===PA PD AB 2，则四棱锥−P ABCD 的外接球的表面积为 ．15．已知随机变量X ～B (6,0.8)，若=P X k ()最大，则+=D kX (1) ． 16．已知函数=>ωωf x x ()2sin (0)在−44[,]ππ3上单调递增， 且直线=−y 2与f x ()的图象在−,0]π[2上有且仅有一个 交点，则实数ω的取值范围是 . （用区间．．表示）A 1E 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知R =−∈+λλS n n 2()1是等比数列a n {}的前n 项和．(1) 求λ及a n ； （2）设=+a b a nn n log 12，求b n {}的前n 项和T n ． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b a B B C2sin sin ．求：(1) A ； （2）b a c的取值范围．19．（本小题满分12分）已知正方体ABCD A B C D 1111中，点E ，F 分别是棱AA 1，A D 11的中点，过点D 1作出正方体ABCDA B C D 1111的截面，使得该截面平行于平面BEF ．（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；（2）求BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值．截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．20．（本小题满分12分）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求： ①(0)P X =；②X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点G 到点(4,0)F 的距离比到直线60x 的距离小2， （1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C ，过点F 作斜率为1k ,2k 的两条直线分别交C 于M ,N 两点和P ,Q 两点，其中122k k ．设线段MN 和PQ 的中点分别为A ,B ，过点F 作FD AB ，垂足为D ．试问：是否存在定点T ， 使得线段TD 的长度为定值．若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x x a x =−（a ∈R ）．（1）若[0,π]x ∀∈，()0f x ，求a 的取值范围； （2）当59a −时，试讨论()f x 在(0,2π)内零点的个数，并说明理由．2022届高三模拟考试数学试题参考答案及评分标准 2022．3一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．CDDC ABBC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．AD 11．ABD 12．BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．12π 15．24 16．1[4，2]3四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）．解：由12n n S λ+=-，得14a λ=-． ················································· 1分 当2n 时，11(2)(2)2n n n n n n a S S λλ+-=-=---=． ····························· 3分 于是，14a λ=-，24a =，38a =． ·················································· 4分 由1a ，2a ，3a 成等比数列，得2132a a a =，即(4)816λ-⋅=．解得2λ=． ·················································································· 5分 当2λ=时，1122a ==．又2n 时，2n n a =．可见，当2λ=时，{}n a 为等比数列．2λ=即为所求，且2nn a =．·········· 6分 （2）211log 2n n n n b a n a =+=+． ································································· 7分 211111(1)(2)[(1)]()2222nn nT n n2111()(12)222nn ··················································· 8分 111(1)1(1)2221122212n nn n n n． ········································· 10分18．解：（1）由b a B B C2sinsin 及B C A π得B A B A 2sin sinsin sin π，即B A B A2sin cos sin sin ．······················ 2分 因为B sin 0，所以A A 2cossin ，即A A A222cos 2sin cos ． 又A 22(0,)π，A 2cos0，所以A 22sin1． ····································· 3分 所以A26π，即A 3π． ································································ 4分 （2）由正弦定理，得b B ac A Csin sin sin ····················································· 5分BB sin 33sinsin()π2π ············································ 6分BB B sin 233(sin cos cos sin )π2π2 ·························· 8分B B 2sin 231cos 1 ··············································· 9分 B B B 222sin cos222311(12sin )2B222tan 31················· 10分 因为B30π2，所以B230π,所以B 20tan3， ·························· 11分所以B 2222tan 1131．所以b a c 的取值范围是2(,1)1． ················ 12分19．（1）设G ，H 分别是棱BC ，CC 1的中点，顺次连接D 1，A ，G ，H ，则四边形D AGH 1即为所求的截面． ······································································ 2分理由如下：因为点G ，H 分别是棱BC ，CC 1的中点，故BC GH 1．又BC D A 11，所以D A GH 1．而两平行直线确定一个平面，所以四边形1D AGH 为平面图形． ··············· 3分 因为点E ，F 分别是棱1AA ，11A D 的中点， 故1D AEF ． ·································· 4分又1D A 平面BEF ，EF平面BEF ，所以1D A 平面BEF ． ···················· 5分因为EB AB AE ，1111D H D C HC ，11AB D C ，1AE HC ，所以1EBD H ．又E ，B ，1D ，H 不共线，所以1EB D H ． ····································· 6分又1D H 平面BEF ，EB 平面BEF ，所以1D H平面BEF ． ··············· 7分 又111D AD H D ，1D A 平面1D AGH ，1D H平面1D AGH ，所以平面1D AGH平面BEF ． ························································· 8分（2）解法1：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．不妨设正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，则(2,2,0)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,0)A ，(0,2,1)H ． ························· 9分故1(2,0,2)AD ，1(0,2,1)HD ．设平面1AGHD 的一个法向量为(,,)x y z m ， 则110,0,AD HD m m 即220,20.x z y z令2z，可得(2,1,2)m ．····························································· 10分 又1(2,2,2)BD , 所以11123cos ,9||||323BD BD BD m m m ．故BD 1． ································ 12分 解法2：BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值，即BD 1与平面BEF 所成角的正弦值．建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．设正方体ABCDA B C D 1111的棱长为2，则B (2,2,0)，D (0,0,2)1，E (2,0,1)，F (1,0,2)．······························· 9分 故BE (0,2,1)，EF (1,0,1)．设平面BEF 的一个法向量为m x y z (,,)，则m m EF BE 0,0,即x z y z 0.20,令z2，可得m (2,1,2)．····························································· 10分 又BD (2,2,2)1, 所以m m m BD BD BD 323||||9cos ,23111． 故BD 1与平面BEF，即BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值为9． ······················································································· 12分 20．（1）解：记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则=P A B (|)1，=P A B 4(|)1，==P B P B 2()()1． ······························································· 2分 由全概率公式，=+=⨯+⨯P A P B P A B P B P A B 2248()()(|)()(|)1=1115． ········ 4分所求概率为====⨯P A P A P B A P BA P B P A B 8()()55(|)2()()(|)411． ·························· 6分 注：计算概率值时，给出公式占1分，代入数据并给出正确结果占1分．（2）设事件A i 表示小明选择了i 个选项，i 1,2,3．C 表示选到的选项都是正确的． ············································································································ 7分解法1： 由互斥事件的概率加法公式，123(0)()()()P X P A C P A C P A C ==++112233()(|)()(|)()(|)P A P C A P A P C A P A P C A =++241111125(1)1223C 636=⨯+⨯-+⨯=； ········································· 8分 111111(2)()()(|)224P X P AC P A P C A ====⨯=； ····································· 9分 22224111(5)()()(|)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=． ································ 10分 随机变量的分布列为·································· 11分 25117()025364189E X =⨯+⨯+⨯=． ··················································· 12分 解法2：设事件表示小明选择了个选项，．表示选到的选项都是正确的．··································································································· 7分111111(2)()()(|)224P X P AC P A P C A ====⨯=； ····································· 8分 22224111(5)()()(|)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=． ································· 9分 1125(0)1(5)(2)118436P X P X P X ==-=-==--=． ······························ 10分 下同解法1. 21．（本小题满分12分）（1） 因为动点G 到点(4,0)F 的距离比到直线60x 的距离小2，所以点G 到点(4,0)F 的距离和它到直线4x 的距离相等， ··················· 1分 点G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线4x为准线的抛物线． ············· 2分设抛物线方程为y px 22p (0)．由p24，得p 8．所以G 的轨迹的方程为y x 162． ······················································· 4分 （2）由题意，直线MN 的方程为y k x (4)1．由题意k 01，k 02，且k k 12． 由y k x y x 416()12 消去y 并整理得k x k x k (816)1601112222． 该方程的判别式k =256(1)0112．设M x y (,)11，N x y (,)22， 则k k x x k 81681611221212，k k x x y k y 4)16(4)(1112121． 所以k k A (4,)88112．········································································· 6分 同理k k B (4,)88222．AB 的斜率k k k k k k k k k AB (4)(4)88882122122112． ··········· 7分 直线AB 的方程为k k k k y x k k (4)881211212 k k k k x k k (4)8121212x k k 2(4)412． ··················· 8分 下分两种方法：法1： 直线AB 的方程为y x k k 2(4)412． 可见直线AB 过定点E (4,4)． ····· 9分 又FD AB ，所以点D 在以EF 为直径的圆x y (4)(2)422上． ·········· 11分 故存在定点T (4,2)，使得线段TD 的长度为定值2．········································ 12分法2： 由题意，直线FD 的方程为k k y x (4)212． 令t k k 212，则直线AB ：y tx t 44，直线FD ：t yx (4)1． 联立t y x y tx t (4),144,得t t y x t 1.444122 所以点t D t 44(12，t 1)42． ·································································································· 10分 消去参量t ，可得x y y (4)4022，即x y (4)(2)422． ··········· 11分 所以点D 在以(4,2)为圆心，半径为2的圆上．故存在定点T (4,2)，使得线段TD 的长度为定值2． ···························· 12分22．（1）解：=+-'f x x a x x ()(1)e cos ． ······················································ 1分 ① 若a 0，当∈x ]π[0,时，-a 0，x sin 0，=+--f x x a x a x x ()e ()sin ()sin 0， 当且仅当=x 0时取等号．可见，a 0符合题意． ······································ 2分② 若<a 01，当∈x 2[0,]π时，+--'f x x a x a ()(1)e cos 100； 当∈x 2]π(,π时，<x cos 0，=++⋅->'f x x a x x ()(1)e (cos )0． 可见，当∈x ]π[0,时，'f x ()0，当且仅当=a 1，且=x 0时取等号．所以f x ()在]π[0,上单调递增，所以=f x f ()(0)0． 所以<a 01符合题意． ······································································ 4分 ③ 若>a 1，因为=+y x x(1)e 在]π[0,上单调递增，=-y a x cos 在]π[0,上单调递增，所以=+-'f x x a x x ()(1)e cos 在]π[0,上单调递增． ··································· 5分 或：若>a 1，当∈x ]π[0,时，x sin 0，=+++>''f x x a x x x x ()(2)e sin (2)e 0，所以=+-'f x x a x x ()(1)e cos 在]π[0,上单调递增． ··································· 5分又=-<'f a (0)10，=+>'f 22()(1)e 0ππ2π，由零点存在定理及'f x ()的单调性， 存在唯一的∈x 2(0,)π0，使得='f x ()00．当∈x x (0,)0时，<=''f x f x ()()00，f x ()单调递减，所以<=f x f ()(0)0．可见，>a 1不符合题意． ···································································· 6分 综上，a 的取值范围是-∞(,1]． ···························································· 7分（2）① 若-a 590，由（1），∈x (0，]π时，>f x ()0，f x ()在]π(0,内无零点． 当∈x )π,2π(时，-<x 1sin 0，<-x 0sin 1，-a x a sin ，=->+>->⨯-=>f x x a x a x e 3e 593 2.7590.0490π()e sin 33π．可见，若-a 590，f x ()在)π(0,2内无零点． ··································· 9分 ② 若<a 01，由（1），∈x (0，]π时，>f x ()0，f x ()在]π(0,内无零点． 当∈x )π,2π(时，->x sin 0，=+->>f x x a x x x x ()e (sin )e 0．可见，若<a 01，f x ()在)π(0,2内无零点． ········································ 10分 ③ 若>a 1，由（1），存在唯一的∈x 2(0,)π0，当∈x x (0,)0时，<=''f x f x ()()00， f x ()单调递减；当∈x x )π(,0时，>=''f x f x ()()00，f x ()单调递增．又=f (0)0，所以<=f x f ()(0)00．又=>f e 0π)π(π，由零点存在定理及f x ()的单调性，存在唯一的∈x x )π(,10，使得=f x ()01．可见，f x ()在]π(0,内存在唯一的零点．当∈x )π,2π(时，<x sin 0，->a x sin 0，所以=->>f x x a x x x x ()e sin e 0．可见，f x ()在)π(0,2有且仅有1个零点． ·············································· 11分 综上所述，若-a 591，f x ()在)π(0,2内无零点；若>a 1，f x ()在)π(0,2内有且仅有1个零点． ······················································································ 12分。
2023高考数学模拟卷(一)(含答案解析)
9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线交于 两点，若 ，则
A B.8C.16D.
10.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则
A. B.-1C.1D.
11.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为
20.已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，设直线 ，直线 ，直线 的斜率分别为 ，且 成等比数列.
（1）求 的值；
（2）若点 在椭圆 上，满足 直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21.已程 的两个实数根为 ，求证： ；
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵ ，
∴ ，即 ，∴ .
∴ ,∴直线AB的斜率为 ，
∵F（1，0），∴直线PF的方程为y= （x﹣1），
将y= （x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，
A. B. C. D.
6.已知 展开式中 的系数为0，则正实数
A.1B. C. D.2
7.已知数列 的前 项和 ，若 ，则
A. B.
C. D.
8.如图是正四面体的平面展开图， 分别是 的中点，在这个正四面体中：① 与 平行；② 与 为异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）
河北省石家庄市2024届高三下学期高考模拟预测 数学试题【含答案】
2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷附解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为（）A ．2024-︒B ．224-︒C ．44-︒D ．24-︒2．已知()41i 1iz +=-，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2i-C ．2-D ．23．已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）AB ．1C ．34D ．324．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2024S 与2024a 的关系是（）A ．2024202421S a =-B ．2024202421S a =+C ．2024202443S a =-D ．2024202441S a =+5．已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此可以预测当8x =时，y =（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．106．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A ．216B ．432C ．864D ．10807．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左､右焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=，直线:l y x t =-+经过点P .若点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，则C 的离心率是（）A ．13B ．22C ．12D ．238．已知函数()xf x x =，()0,x ∈+∞，则下列命题不正确的是（）A ．()f x 有且只有一个极值点B ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．存在实数()0,a ∈+∞，使得()1ef a =D ．()f x 有最小值1e1e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（）A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B ．两组样本数据1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y 的方差分别为21s ，22s ，若已知10i i x y +=（1,2,3,4i =），则2212s s =C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D ．已知一系列样本点(),i i x y （1,2,3,i =⋅⋅⋅）的回归方程为ˆˆ3y x a =+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差（残差＝实际值i y －模型预测值ˆy）相等，则310m n +=10．若关于x 的不等式22e 2ln x x ax x x -+-≥在()0+∞，上恒成立，则实数a 的值可以是（）A ．1eB ．12C ．e 3D ．211．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．()322f '=C ．()202410122023f =⨯D ．20241()10122024k f k ='=⨯∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z ，若集合M N ⋂恰有两个元素，则实数a 的取值范围是.13．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为.14．如图，在梯形ABCD 中，190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC 沿直线AC 翻折至1B AC △的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()e e axf x x b =--在0x =处的切线为x 轴．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的单调区间．16．如图，三棱锥A BCD -中，,,,AD CD AD CD ADB BDC E ∠∠⊥==为线段AC 的中点.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设3,2,0AB BD BF FD EF BD ===⋅=，求直线CF 与平面ABC 所成角的正弦值.17．有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*N n n ∈个等差数列的第()N,2m m m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.(1)若()()22212a a -=，求21d d -的值；(2)若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；(3)若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122mm m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．设椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>经过点()2,1P -，且离心率e =:3m x =垂直x 轴交x 轴于T ，过T 的直线l 1交椭圆E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接PA ，PB ，PT ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．（ⅰ）求12k k +的值；（ⅱ）如图：过P 作x 轴的垂线l ，过A 作PT 的平行线分别交PB ，l 于M ，N ，求||||MN MA 的值．19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数()f x 和()g x 满足下列条件：①()lim 0x a f x →=且()lim 0x a g x →=（或()lim x a f x →=∞，()lim x ag x →=∞）；②在点a 的附近区域内两者都可导，且()0g x '≠；③()()lim x af x Ag x →'='（A 可为实数，也可为±∞），则()()()()limlimx ax af x f x Ag x g x →→'=='．(1)用洛必达法则求0limsin x xx→；(2)函数()()232112!3!21!n x x x f x x n -=+++++- （2n ≥，*n ∈N ），判断并说明()f x 的零点个数；(3)已知()()2cos g x g x x =⋅，()01g =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的解析式．参考公式：()()lim lim x a x af x f x →→=，()()lim lim x a x a kf x k f x →→=．1．C【分析】利用任意角的定义与集合A 所表示的角即可得解.【详解】因为04420211481︒=-︒-⨯︒-，所以集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为44-︒.故选：C.2．D【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数z ，继而得z 的虚部.【详解】由()42221i [(1i)](2i)4(1i)2(1i)22i 1i 1i 1i (1i)(1i)z ++-+=====-+=------+，则22i z =-+，z 的虚部为2.故选：D.3．A【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-= 2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -= 故选：A 4．A【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出2024S 和2024a 观察它们之间的关系即可.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >因为3a -，2a ，4a 成等差数列，所以2342a a a =-+，所以232q q q =-+，解得2q =，所以()20241202420241211a q S q-==--，20232023202412a a q==，则2024202421S a =-.故选：A.5．D【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，进而求出a 即可得解.【详解】依题意，1234535x ++++==，6678875y ++++==，即样本的中心点为(3,7)，于是70.63a =⨯+，解得 5.2a =，即0.6 5.2y x =+，当8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=.故选：D 6．B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有33A 种方法，再把4名语文教师按2:1:1分成3组，并分配到三所学校，有2343C A 种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有22A 种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为32323432A C A A 432⋅⋅=.故选：B 7．B【分析】根据题意，得到点M 与点2F 关于PH 对称，从而2120F PM ∠=，在12PF F △中，利用正弦定理得到121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠ ，结合sin 60sin15sin105c e a ==+，即可求解.【详解】由直线:l y x t =-+，且点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，如图所示，可得点M 与点2F 关于PH 对称，且1260F PF ∠=,故在2PF M 中，则2120F PM ∠= ,故230PF M ∠=又PH 的倾斜角为135 ，则245HF M ∠=，故在12PF F △中，有1260F PF ∠= ，21105PF F ∠=，1215PF F ∠= ，又由1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，可得121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠，即1222sin15sin105sin a cF PF =+∠ ，又因为1sin15sin(4530)22224=-⨯-⨯=，1sin105sin(6045)2=++ ，所以sin 602sin15sin1052c e a ===+.故选：B.8．C【分析】由条件可得函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.【详解】由x y x =得ln ln y x x =，令ln z x x =，则函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，因为ln z y =为增函数，所以ln z x x =与x y x =单调性、图象变换等基本一致，ln 1z x '=+，由0z '=得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭z '－＋z1e-由表知，ln z x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ex =时，取得极小值（最小值）1e -，所以()xf x x =在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，即B 正确；在1e x =时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）1e 1e e->，即A 、D 都正确，C 错误.故选：C 9．BC【分析】A 选项，根据百分位数的运算公式得到答案；B 选项，利用平均数定义得到10y x =-，根据方差的计算公式得到()()()()2222123422214s x x x x x x x xs -++-++-++-+==；C 选项，由正态分布的对称性得到C 正确；D 选项，由题意得到()()ˆˆ336m an a -+=-+，得到D 错误.【详解】A 选项，0010404⨯=，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即121312.52+=，A 错误；B 选项，12344x x x x x +++=，12344y y y y y +++=，因为10i i x y +=，（1,2,3,4i =），故123410101010104x x x x y x -+-+-+-==-，故()()()()22221423124s x x x x x x x x-+-+--=+，()()()()2222123422*********s y x y x y x y x-++-++-++-+=()()()()2222123410101010101010104x x x x x x x x --++--++--++--+=()()()()222212344x x x x x x x x-++-++-++-+=，故2212s s =，B 正确；C 选项，因为()2,X N μσ ，()()261P X P X ≥-+≥=，2,6X X =-=关于x μ=对称，所以2622μ-+==，C 正确；D 选项，由题意得()()ˆˆ336m an a -+=-+，整理得39m n +=，D 错误.故选：BC 10．AB【分析】根据题意分12a ≤和12a >两种情况讨论，当12a ≤时，有222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥结论验证；当12a >时，令()2ln u x x x =--，求导判断出函数存在零点设为0x ，即可判断020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，最后综合得出a 的取值范围.【详解】依题意，2e 12ln 0x ax x x -+-+≥在()0+∞，上恒成立，当12a ≤时，222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，令2ln t x x =--，则()e 1t h t t =--，()e 1t h t '=-，故当t (,0)∈-∞时，()0h t '<，当(0,)t ∈+∞时，()0h t '>，故()(0)0h t h >=，故2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥，则不等式成立；当12a >时，令()2ln u x x x =--，因为(1)10u =-<，(4)22ln 20u =->，故()x μ在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=，则020ex x -=，故020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，不合题意，舍去；综上所述，12a ≤.故选：AB.【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.11．BCD【分析】对A 、B ，利用赋值法进行计算即可得；对C 、D ，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000f f f =++，即()00f =，令1x y ==，则有()()()2111f f f =++，又()10f =，故()21f =，()f x 不关于()1,0对称，故A 错误；对于B ，令1y =，则有()()()()11f x f x f x f x x +=++=+，两边同时求导，得()()11f x f x +='+'，令1x =，则有()()13211122f f =+=+=''，故B 正确；对C ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +-=，则()()()()()()()2024202420232023202211f f f f f f f =-+-+-+ ()2023120232023202210101220232+⨯=++++==⨯ ，故C 正确；对D ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +=+，则()()11f x f x +='+'，即()()11f x f x +-'='，又()112f '=，故()11122f k k k -'=+=-，则()20241112024202422101220242k f k =⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭==⨯'∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 、D 选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和.12．(2,)+∞【分析】解二次不等式化简集合M ，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为{}2230{13}M x x x xx =--<=-<<∣，{}20,{()0,}N x x ax x x x x a x =-<∈=-<∈Z Z ∣，又集合M N ⋂恰有两个元素，所以M N ⋂恰有两个元素1和2，所以2a >.故答案为：(2,)+∞.13【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：设过2F 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan b F F P a ∠=可得12cos a F F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-∠ ，即有2229422aa a c a c c=+- ，化简可得，223c a =，则双曲线的离心率==c e a【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．3π4【分析】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，此时1B 到底面ACD 的距离最大，即此时平面1⊥B AC 平面ACD ，取AC 的中点E ，AD 的中点O ，O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，从而求解.【详解】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，由于底面ACD 的面积是定值，所以此时1B 到底面ACD 的距离最大，平面1⊥B AC 平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =，取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD 的中点O，则OE =1B E =1π2B EO ∠=，则12OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则222R OM r ==+；由于AC CD ⊥，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面1B AC ，而1AB ⊂平面1B AC ，则1CD AB ⊥，则1π2AB D ∠=，在1B AD 中，12,4B A AD ==，故1π3B AD ∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有211π13422cos 4234OM =+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为3π4.故答案为：3π4【点睛】关键点点睛：取AD 的中点O ，由12OA OD OC OB ====，确定点O O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心.15．(1)e a =，1b =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f =且()00f '=，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数说明()f x '的单调性，即可求出()f x 的单调区间.【详解】（1）因为()e e ax f x x b =--，所以()e e ax f x a '=-，依题意()00f =且()00f '=，所以00e 0e e 0b a ⎧-=⎨-=⎩，解得e 1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()e e e 1x f x x =--函数的定义域为R ，又()()e 1e e e e e 1x xf x +'=-=-，令()()e 1e e xg x f x +'==-，则()e 2e0x g x +'=>，所以()g x （()f x '）在定义域R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CF 的方向向量与平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.【详解】（1）因为DA DC =，E 为线段AC 的中点，所以DE AC⊥因为DA DC =，DB DB =，ADB CDB ∠=∠，所以ADB CDB ≌，故AB CB =．又E 为线段AC 的中点，所以BE AC ⊥．又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BED .所以AC ⊥平面BED又AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD ．（2）取DA 的中点G ，连接EG ，BG ，因为EG 为中位线，所以//EG CD ，又AD CD ⊥，所以AD EG ⊥．因为AB BD =，G 为DA 的中点，所以AD BG ⊥．又⋂=EG BG G ，,EG BG ⊂平面BEG ，所以AD ⊥平面BEG ，BE ⊂平面BEG ，所以AD BE ⊥，因为BA BC =，E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ．以E 为坐标原点，分别以EA 、EB 、ED 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示设(),0,0A a ，(),0,0B b ，则()0,0,0E ，()0,0,D a ，()0,,0B b ，20,,33b a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20,,33b a EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,,BD b a =- ，由22222||92033AB a b b a EF BD ⎧=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得a b ⎧⎪⎨=⎪⎩．所以,33CF ⎫=⎪⎪⎭.又平面ABC 的法向量()0,0,1n = ．设直线CF 与平面ABC 所成角为θ，则232153sin cos ,15CF n CF n CF nθ⋅===⋅ ,所以直线CF 与平面ABC.17．(1)212d d -=；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入等差数列的通项公式，即可求解；（2）根据已知条件，代入等差数列的通项公式，得到数列{}n d 的递推公式，再通过构造得到数列{}n d 的通项公式，并根据（1）的结果，证明等式；（3）根据题意，结合等差数列和等比数列的综合应用，首先证明()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，再利用求和，即可证明.【详解】（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()11111n i i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111nm m m m m a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122mm m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意，并能正确表示()m a n 和公差为n d .18．(1)22163x y +=(2)（i ）2；（ii ）1【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，利用待定系数法，即可求解；（2）（ⅰ）首先设直线1l 的方程，并联立椭圆方程，转化为关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理，即可求解；（ⅱ）首先设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,根据正弦定理利用角表示边长MN ，AN ，再求比值，利用（ⅰ）的结论，即可求解.【详解】（1）由题意知2222241122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得ab c ==所以椭圆E 的方程为22163x y +=；（2）（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设直线1l 的方程为()()211m x n y -++=，由直线1l 过()3,0T 知1m n +=，联立方程()()22163210x y m x n y ⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩得()()()()()()()2224144211420n y n m x y m x -++--+++-=，变形得：()()211244414022y y n n m m x x ++⎛⎫-+-++= ⎪--⎝⎭，即()1244144842424242n n n m n k k n n n ----+====---；（ⅱ）设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则1tan k α=，2tan k β=，5π4NMP β∠=-，π2MPN β∠=-,π4PAN α∠=-，π2APN α∠=-，在PMN 中，πsin sin πsin 2sin 4PN PNMN MPN NMP ββ⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，在PAN △中，πsin sin πsin 2sin 4PN PN AN APN PAN αα⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以()ππsin sin cos sin cos tan 1242ππtan 1sin sin 422MN AN βαβαααββα⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由122k k +=知，tan tan 2αβ+=，即tan 11tan 1αβ-=--，故1MNAN =..【点睛】关键点点睛：本题第一问的转化比较巧妙，转化为关于斜率的方程，利用韦达定理即可求解，第二问巧妙设倾斜角，利用三角函数表示MN AN 的值.19．(1)1(2)仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点，理由见解析(3)()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数()e x f x ，结合()e xf x 的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，然后结合()01g =，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）001lim lim 1sin cos x x x x x →→==（2）()()2321123!21!n x x x f x x n -=+++++- ，()()232212!3!22!n x x x f x x n -'=+++++- ，所以()()()2121!n x f x f x n -'-=--，()()()()21e e e 21!n x x xf x f x f x x n -⎡⎤'-='=-⎢⎥-⎣⎦．当0x >时，()0e x f x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在()0,∞+上单调递减，当0x <时，()0e x f x ⎡⎤'>⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在(),0∞-上单调递增，()lime xx f x →-∞=-∞，()01f =，当0x >时，()0e x f x >，所以仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点．（3）()()2cos g x x g x =，所以()cos 22g x x x g =⎛⎫ ⎪⎝⎭，2cos 44x g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12cos 22n n n x g x x g -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭将各式相乘得()cos cos cos 2422n n g x x x x x g =⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos cos cos sin 1sin 24222sin sin 22n n n n nx x xxx x x ⋅⋅⋅⋅=⋅ ，两侧同时运算极限，所以()1sin sin 22lim lim lim sin sin 222n n n n n n n n x x g x x x x x x g →+∞→+∞→+∞⋅==⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()sin 2lim 0sin 2n n n x g x x xg x →+∞=，令2nx t =，原式可化为()()0sin lim 0sin t g x x t g x t →=，又()01g =，由（1）得0lim1sin t t t →=，故()()sin 0x g x x x=≠，由题意函数()g x 的定义域为()π,π-，综上，()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而利用洛必达法则求极限.。
河北省部分重点高中2023-2024学年高三上学期普通高考模拟(12月)数学试题及答案
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的班级和姓名填写在答题纸上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}30A x x =->，则()R N A = ð（）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1,2,3 D.{}1,2,32.在递增的等比数列{}n a 中，若3152a a -=，23a =，则公比q =（）A.43B.32C.2D.523.已知函数()36x f x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.3,22⎛⎫⎪⎝⎭D.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4.如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增速是与上一年同期相比的增速，则图中X 的值约为（）A.90.2B.90.8C.91.4D.92.65.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）A.()ln 2x f x x =+ B.()11e 1x x f x ++=-C.()()321x f x x =+ D.()()21xf x x =+6.已知离心率为32的椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()00,P x y 是椭圆上位于第一象限的一点，且121cos 3F PF ∠=-，则0x =（）A.34a B.12a C.33a D.32a 7.已知对任意实数x ，y ，函数()f x 满足()()()111f xy f x f y +=+++，则()f x （）A.有对称中心B.有对称轴C.是增函数D.是减函数8.已知半径为R 的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为a ，当正四棱锥的高为h 时，正四棱锥的体积取得最大值V ，则（）A.2h a= B.32h a =C.h a =D.12h a =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()ln f x x =，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是增函数C.曲线()y f x =在e x =处的切线过原点D.存在实数a ，使得()y f x =的图象与xy a =的图象关于直线y x =对称10.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x ，y ，设事件1A =“5x y +=”，事件2A =“2y x =”，事件3A =“2x y +为奇数”，则（）A.()119P A =B.()2112P A =C.1A 与3A 相互独立D.2A 与3A 相互独立11.已知复数01i z =-，()i ,z x y x y =+∈R ，则下列结论正确的是（）A.方程02z z -=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程002z z z z -+-=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程001z z z z ---=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D.方程()00012z z z z z ++=-表示的z 在复平面内对应点的轨迹是抛物线12.已知定义：1,0,e e ,0,xxx x +<⎧=⎨≥⎩则下列命题正确的是（）A.b +∀∈R ，()e e bx bx ++= B.若12,x x ∈R ，则2211e e e xxx x ++++⋅=C.x ∀∈R ，()ln e 1ln 22xx ++-≥ D.若12,x x ∈R ，则1221e e e x x x x-+++÷=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若3cos 214cos 70θθ-+=，则cos 2θ=__________.14.高三（1）班某竞赛小组有3名男生和2名女生，现选派3人分别领取数学、物理、化学竞赛资料，则至少有一名女生的选派方法共有____________种.（用数字作答）15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其右支上有一点P 满足1260F PF ∠=︒，过点2F 向12F PF ∠的平分线引垂线交于点H ，若212F H b =，则双曲线C 的离心率e =_________.16.在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为2，PAC △为正三角形，点M ，N 分别在PB ，PD 上，且2PM MB =，2PN ND =，过点A ，M ，N 的截面交PC 于点H ，则四棱锥P AMHN -的体积为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()141n n n S n a a +=++.（1）证明：221n a d nd +=+；（2）若38a =，求12231111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+.18.（本小题满分12分）已知函数()()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，2πϕ<，且90ACB ∠=︒.（1）求ω与ϕ的值；（2）若斜率为4的直线与曲线()y f x =相切，求切点坐标.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，N 是PB 的中点，点M ，Q 分别在线段PD 与AP 上，且DM MP λ= ，AQ QP μ=.（1）当1λ=时，求平面MDN 与平面DNC 的夹角大小；（2）若MQ ∥平面PBC ，证明：12μλ=+.20.（本小题满分12分）已知[)0,1x ∈，()e x f x =.（1）证明：()111x f x x+≤≤-；（2）比较()2f x 与11xx+-的大小.21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：()220y px p =>上有一点()()1,0P m m >，F 为抛物线C 的焦点，,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，且2EP =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 向圆E ：2222p x y r ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（点P 在圆外）引两条切线，交抛物线C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 过定点.22.（本小题满分12分）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有13的概率再传给该运动员，有23的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n 次传球传给甲运动员的概率为n p .（1）求2p ，3p ；（2）求n p 的表达式；（3）设21n n q p =-，证明：()()1111sin sin 2ni i i i i q q q q ++=--<∑.数学参考答案及评分细则题号123456789101112答案C B B D D C B C BCD ACD AC AC1.C 解析：∵(]R ,3A =-∞ð，∴(){}R N 0,1,2,3A = ð，故选C.[命题意图]该试题考查集合的补集与交集运算，数学能力思维方面主要考查运算思维与抽象思维.2.B 解析：由题得213a a q ==，2311152a a a q a -=-=，联立可得32q =或23q =-（舍），故选B.[命题意图]该试题考查等比数列的运算，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查运算思维、变换思维、方程思想等.3.B 解析：由题知()f x 在R 上单调递增，∵1 5.502f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()120f =-<，3233 4.52f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又323 4.50->，∴302f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故选B.[命题意图]该试题考查零点存在定理和二分法，数学能力思维方面主要考查转化思想和特值思想.4.D 解析：由题得增速39582055%100%92.6%2055X -=⨯≈，故选D.[命题意图]该试题考查统计知识，是高考热点，数学能力思维方面主要考查数形结合和拓展思维.5.D 解析：对于A ，函数()f x 的定义域为()()()(),33,22,11,-∞------+∞ ，A 不正确；对于B ，()00f ≠，B 不正确；对于C ，结合题中图象，()()()6427843225169f f f =>=>=，C 不正确，故选D.[命题意图]该试题考查函数的图象及其性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查特值思想与数形结合思想.6.C 解析：设()1PF m m a =>，则22PF a m =-，由2c e a ==，得2c =，由余弦定理得()()22223223a m a m m a m =+-+-，解得32m a =或2a m =（合），则22200924x a y a ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，联立椭圆方程解得033x a =，故选C.[命题意图]该试题考查椭圆的定义与性质，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查静态思维与迁移思维.7.B 解析：令1x y ==，得()()()222f f f =+，∴()20f =；令1x y ==-，得()()2200f f ==，∴()00f =；令1y =-，得()()()()1101f x f x f f x -=++=+，∴()f x 的图象关于直线关于1x =对称，故选B.[命题意图]该试题考查抽象函数的性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查赋值思维与抽象思维.8.C 解析：设球心到底面的距离为x ，则h R x =+，a =，∴()()223V R x R x =+-，则()()()3112222333R x R x R x V R x R x R x ++++-⎛⎫=++-≤⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当22R x R x +=-，即3R x =时取等号，此时43R h =，43Ra =，即h a =，故选C.[命题意图]该试题考查球内接正棱锥的最值问题，是高考的常考点，数学能力思维方面主要考查建模思维与化归思维9.BCD 解析：根据函数性质可得A 错误，B 正确；对于C ，()1f x x '=，在e x =处的切线斜率为1e，切线方程为()11e ey x -=-，即e x y =，显然过原点，C 正确；当e a =时，()y f x =的图象与x y a =的图象关于直线y x =对称，D 正确，故选BCD.[命题意图]该试题考查函数的奇偶性、单调性，导数的几何意义以及反函数等，数学能力思维方面主要考查运算思想和数形结合思想.10.ACD 解析：满足事件1A 的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种情形，其概率()141369P A ==A 正确；满足事件2A 的有（1，1），（2，4）共两种情形，其概率()2118P A =，B 不正确；()312P A =，满足事件13A A 的有（1，4），（3，2）共两种情形，()()()1313118P A A P A P A ==，C 正确；满足事件23A A 的只有（1，1）一种情形，()()()2323136P A A P A P A ==，D 正确，故选ACD.[命题意图]该试题考查古典概型以及事件的相互独立性，是高考常考点之一，数学能力思维方面主要考查分类思维和运算思维.11.AC 解析：由复数模的几何意义知A 正确；由椭圆的定义知122a F F >，但002z z =-，故B 不正确；同理由双曲线的定义知C 正确；对于D ，由复数的几何意义知z 在复平面内对应点到两定点的距离相等，轨迹是直线，故D 不正确，故选AC.[命题意图]该试题考查复数模的几何意义、共轭复数等，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查跳跃思维与认知思维.12.AC 解析：对于A ，显然正确；对于B ，令11x =-，22x =，则122e e e x x ++⋅=，12e e x x ++=，错误；同理D也错误；对于C ，当0x <时，()ln e 1ln 2ln 222xx x++-=->，成立，当0x ≥时，()()222ln e 1ln e 1ln e ln e e ln 22x x xxx x -+⎛⎫+-=+-=+≥ ⎪⎝⎭，正确，故选AC.[命题意图]该试题考查新情境、新定义下的数学知识的应用.是高考热点题目，数学能力思维方面主要考查创新思维和探索思维.13.79-解析：由已知得26cos314cos 70θθ--+=，解得1cos 3θ=或cos 2θ=（舍），故27cos 22cos 19θθ=-=-.[命题意图]该试题考查倍角公式以及一元二次方程，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查方程思想和运算思想.14.54解析：由题得选派方法共有()2112323233C C C C A 54+=种.[命题意图]该试题考查排列组合知识，数学能力思维方面主要考查分类思想和抽象思维.15.3解析：延长2F H 交1F P 于点Q ，则2F Q b =，∵1260F PF ∠=︒，∴2PF PQ b ==，则12F Q a =，12120F QF ∠=︒，在12F QF △中，由余弦定理得222442c a b ab =++，即23a b =，则3e ==.[命题意图]该试题考查双曲线的定义与性质、余弦定理，数学能力思维方面主要考查方程思想和拓展思维.16.9解析：如图，连接BD ，交AC 于点O ，平面AMN 交PC 于点H ，交PO 于点G ，∵2PM MB =，2PN ND =，∴2PG GO =，即点G 是PBD △的重心，也是PAC △的重心，∴H 是PC 的中点，∴PC AH ⊥，∵PC BD ⊥，∴PC MN ⊥，又AH MN G = ，∴PC ⊥平面AMHN ，故1146329P AMHN V PH AH MN -=⋅⋅⋅⋅=.[命题意图]该试题考查截面问题、线面垂直、求几何体体积以及三角形重心的性质等，数学能力思维方面主要考查空间想象以及逻辑推理.17.解：（1）当1n =时，11241S a a =++，即121a d =+，∴()()()111112n a a n d d n d =+-=++-，即221n a d nd +=+.（2）∵38a =，∴1661d d +=+，解得3d =，∴31n a n =-，∴()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴122311111111111325583132n n a a a a a a n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()1113232232nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.[命题意图]该试题考查数列的性质、等差数列的定义与性质、裂项求和等，数学能力思维方面主要考查变换思维和跳跃思维.18.解：（1）如图，过点C 向x 轴引垂线交于点D ，由正弦曲线的性质知3AD DB =，由射影定理知2CD AD DB =⋅，而CD =，∴33DB DB =⋅，∴1DB =，∴24T πω==，解得2πω=.由102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()24k k πϕπ+=∈Z ，当0k =时，4πϕ=-.（2）由（1）知()24f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴()cos 224f x x ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭令()4f x '=，∴cos 242x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()2244x k k ππππ-=±∈Z ，∴4x k =或()41x k k =+∈Z ，∴其切点坐标为4,2k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()41,2k k ⎛+∈ ⎪⎝⎭Z .[命题意图]该试题考查三角函数的图象与性质、射影定理、导数的几何意义等，数学能力思维方面主要考查探索思维和拓展思维.19.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,2,0B ，()0,0,2P .当1λ=时，1,0,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1N ，则1,1,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,1DN =-，()1,0,1CN =- .设平面MDN 的法向量为(),,m x y z = ，平面DNC 的法向量为(),,n a b c =，∴102x y -+=且0x y z -++=，0a c -+=且0a b c -++=，令1y =，1a =，则()2,1,1m = ，()1,0,1n =，∴3cos ,262m n ==⨯ ，∴平面MDN 与平面DNC 的夹角大小为30°.（2）证明：设(),,M x y z '''，由DM MP λ=，得()()1,,,,2x y z x y z λ''''''-=---，∴12,0,11M λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭，同理由AQ QP μ= ，得20,0,1Q μμ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴122,0,111MQ μλλμλ⎛⎫=-- ⎪+++⎝⎭.()0,2,2PB =- ，()1,1,0BC =- ，设平面PBC 的法向量为()111,,p x y z =，∴11220y z -=且110x y -=，令11x =，则()1,1,1p =，∴0p MQ ⋅= ，则1220111μλλμλ-+-=+++，即12μλ=+.[命题意图]该试题考查空间向量中的求夹角、线面平行等问题，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查创新思维和数形结合思想.20.解：（1）证明：要证()111x f x x +≤≤-，即证11e 1x x x+≤≤-，设()e 1x h x x =--，∴()e 1x h x '=-，由()0h x '>，得0x >；由()0h x '<，得0x <，∴()h x 在0x =处取得最小值，即()()00h x h ≥=，∴e 1x x ≥+.当[)0,1x ∈时，∵e 1x x ≥+，用x -代替x ，得e 10x x -≥->，∴1e 1x x≤-，结论成立，∴不等式()111x f x x+≤≤-成立.（2）∵()22e x f x =，由题即证()e 1x x -与()e 1x x -+的大小，令()()()e 1e 1x x g x x x -=--+，∴()()ee x x g x x -'=-，当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，e e 0x x --≤，∴()g x 单调递减，∵()00g =，∴()0g x ≤，即()()e 1e 1x x x x --≤+，即有21e 1x x x≤+-，得证.[命题意图]该试题考查利用导数证明不等式，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查构造思想和等价变换.21.解：（1）由已知得22m p =，且22212122p p m ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,2P ，设圆E ：()2221x y r ++=过点P 的切线方程为()21y k x -=-，设两条切线的斜率分别为1k ，2k，∴r =整理得()2224840r k k r --+-=，∴121k k =.设直线AB 方程为y tx n =+，代入C 的方程整理得2440ty y n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y t +=，124n y y t =，∴()()12121212221611122y y k k x x y y --=⋅==--++，∴48416n t t ++=，即32n t =-，∴直线AB 方程为()23y t x +=+，恒过点()3,2--.[命题意图]该试题考查抛物线的方程及其性质、直线与圆相切、直线与圆锥曲线的位置关系等，是高考必考内容，数学能力思维方面主要考查方程思想与转化思想。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
湖南省常德市高2024届高三高考模拟数学试题及答案
常德市高2024届高三高考模拟试卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{|,}230A x mx m =->∈R ,其中2A ∈且1A ∉,则实数m 的取值范围是( )A.33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦B.33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知复数πcos6z =+=( )3．平面向量a ,b 满足1b a b =⋅=,则a 在b 方向上的投影向量为( )A.12b - b C.b - D.b4. 将函数()cos 2fx x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象,若对满足()()122f x g x -=的1x ,x 12minx -==( )21(0)4y a +=>的焦距为2,则该椭圆的离心率为( )6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸7. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的第5项为（ ） A ．9- B ．7-C ．7-或1D ．9-或18.如图，已知M 为双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>上一动点，过M 作双曲线E 的切线交x 轴于点A ，过点A 作AD OM ⊥于点D ，22OD OM b ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ）B.2D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1z ，2z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A.若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数 B.若12z z +与12z z 均为实数，则12z z = C.若1z ，2z 均为纯虚数，则12z z 为实数 D.若12z z 为实数，则1z ，2z 均为纯虚数 10．已知非零函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,且()()22f x f x +=-,则()A.()10f =B.4是函数()f x 的一个周期C.()()11f x f x +=---D.()y f x =在区间[]0,2024上至少有1012个零点11．已知6ln m m a =+,6nn e a =+,其中n m e ≠,则n m e +的取值可以是( )A.eB.2eC.23eD.24e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．241(1)(2)x x x+-的展开式中常数项为__________． 13. 在公差为正数的等差数列{}n a 中，若13a =，3a ，6a ，832a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项和为___________.14．已知圆()22:21220C mx m y ax a +----=,若对于任意的a ∈R ,存在一条直线被圆C 所截得的弦长为定值n ,则m n +=__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足1sin sin cos cos A BA B-=.（1）求证：22A B π+=；（2）求222a b c+的最小值.16. （15分）如图1，菱形ABCD 2BD =,将其沿BD 折叠形成如图2所示的三棱锥A BCD -．（1）证明：三棱锥A BCD -中，BD AC ⊥;（2）当点A 在平面BCD 的投影为BCD △的重心时，求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值．17．（15221(0)y a b b+=>>的左顶点为A ,右焦点为F ,椭圆C 上的点到F 的31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）设过点F 的直线l 与C 相交于M ,N 两点,直线l 的倾斜角为锐角.若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 与18．（17分）在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为：首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获利第四名,紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军决赛,胜者获得冠军,败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<,且不同对阵的结果相互独立. （1）若0.6p =,经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁; ①求甲获得第四名的概率;②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望;（2）除“双败淘汰制”外,也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵,胜者晋级,败者淘汰,直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．（17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关,是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =,那么在区间(,)a b 内至少存在一点m ,使得()0f m '=.(1)运用罗尔定理证明：若函数()f x 在区间[],a b 连续,在区间(,)a b 上可导,则存在0(,)x a b ∈,使得21,()12x g x x bx =-+,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数1x ,2x ,都有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立,求实数b 的取值范围.(3)证明：当1p >,n ≥11111[]1(1)p p p n n--<---.2024数学参考答案1. A2. C3. D4. A5. C6. C7. B8. B9. ABC 10． ABD 11. CD 12. 16 13. 165 14.1或115.（1）由1sin sin cos cos A B A B -=知，2A π≠即sin cos cos sin cos A B A B B +=，∴()sin cos sin 2A B B B π⎛⎫+==-⎪⎝⎭∴2A B B π+=-，即22A B π+=，得证.（2）由（1）知22A B π=-，2C B π=+∴()22222222222cos11cos cos 2sincos cos B Ba b B B c BB-+-++==∴2222224cos 55cos a b B c B +=+-≥当且仅当2cos 2B =时，222a b c +取最小值516. （1）记BD 的中点为E ，由菱形的性质，有AD AB =，CD CB =，所以AE BD ⊥，CE BD ⊥. 而AE 和CE 在平面ACE 内交于点E ，故BD 垂直于平面ACE . 又因为AC 在平面ACE 内，所以BD AC ⊥.（2）设BCD △的重心为点G ，则AG 垂直于平面BCD .这表明直线AC 与平面BCD 所成角等于ACG ∠，故所求正弦值即为sin ACG ∠的值.由于2CE ==，2AE =，故2433CG CE ===，42233EG CE CG =-=-=.从而3AG ===，故sin AGACH AC∠=====.所以直线AC 与平面BCD所成角的正弦值是3. 17．（1）由题意知a c +=, 得22223a ac c b ++=,由222a b c =+, 得2222233a ac c a c ++=-,化简得2a c =,所以b =,又因为椭圆过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,2914b =, 29112c +=,解得1c =.所以2a =,b =213y =. （2）设直线l 的方程为1x my =+,()0m >. 由点31,2P ⎛ ⎝=2=. 联立2221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2161290y y +-=.设()11,M x y ,()22,N x y ,则12y y +=12y y =所以直线PM 与直线PN 的斜率的和为1212121212123333322221011224y y y y y y x x y y y y ----++=+=-⋅=--, 18．（1）①记“甲获得第四名”为事件A ,则()()210.60.16P A =-=; ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X , 则X 的所有可能取值为2,3,4,连败两局：()()2210.60.16P X ==-=,3X =可以分为：连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负;()()()()()230.610.60.610.60.610.610.60.552P X ==+-⨯⨯-+⨯-⨯-=, ()()()410.60.60.60.610.60.60.288P X ==-⨯⨯+⨯-⨯=;故X 的分布列如下：故数学期望()20.1630.55240.288 3.128E X =⨯+⨯+⨯=;（2）“双败淘汰制”下,甲获胜的概率()()()32331132P p p p p p p p p =+-+-=-,在“单败淘汰制”下,甲获胜的概率为2p ,由()()()()3222232321211p p p p p p p p p --=--=--,且01p <<所以1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()3232p p p ->,“双败淘汰制”对甲夺冠有利;10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()3232p p p -<,“单败淘汰制”对甲夺冠有利;()bt f a at =-,令函数()()F x f x tx =-,则()()F a F b =,()()F x f x t ''=-,显然()F x 在[],a b 上连续,且在(,)a b 上可导,由罗尔定理,存在0(,)x a b ∈,使得0()0F x '=, 即0)(0f x t '-=,所以0()f x '=（2）依题意,()ln 1,()f x x g x x b ''=+=-, 不妨令12x x >,则12121212()()()()||||f x f x g x g x x x x x -->--恒成立,由（1）得|()||()|f x g x ''>,(1,2)x ∈,于是ln 1||x x b +>-,即1ln ln 1x b x x --<-<+, 因此ln 1ln 1x x b x x --<<++,令()ln 1(12)x x x x ϕ=--<<, 求导得1()0x x xϕ-'=>,函数()x ϕ在(1,2)上单调递增,则0()1ln 2x ϕ<<-, 而函数ln 1y x x =++在(1,2)上单调递增,其值域为(2,3ln 2)+, 则1ln 22b -≤≤,所以实数b 的取值范围是1ln 22b -≤≤.（3）令函数1()p h x x -=,[1,]x n n ∈-,显然函数()h x 在(1,)n n -上可导, 由（1）,存在(1,)c n n ∈-,使得()h c '=又()(1)p h x p x -'=-⋅11()(1)pp h c p c n--'-=-=-,1111[](1)p p n n ---=-1n c n ≤-<<,1p >,则p c n <>11111[]1(1)p p p n n--<---.。
2024届海南省天一大联考高三上学期高考全真模拟(五)数学及答案
2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：高考全部内容.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知{}{}24,2,4,6A xx B ==∣……，则A B ⋂=（ ）A.{}2,3,4B.[]2,4C.{}2,4D.{}2,4,62.已知复数z 满足()12i 34i ,z z +=-的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）A.6B.5C.4D.33.某饮料厂生产A ，B 两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A 型号饮料15瓶，则每小时B 型号饮料的产量为（）A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶4.已知()3232,0,,0x x x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩为奇函数，则()f a =（ ）A.0B.1C.-1D.25.已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，()0,,A b B 为C 的右焦点，若AP PB = ，则C 的离心率为（ ）C.26.已知函数()()2log 41(0,1)a f x ax x a a =-+>≠在()1,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)2,∞+B.[]2,3C.[)3,∞+D.[)4,∞+7.函数()πππsin tan sin 4124f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）1- C.2D.28.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2023a =（ ）A.3374-B.3374C.33714 D.33714-二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在正三棱柱111A B C ABC -中，12,3AB AA ==，则下列说法正确的是（ ）A.正三棱柱111A B C ABC -的体积为B.三棱锥111B A BC -C.二面角1A BC A --的大小为60D.点A 到平面1A BC10.已知随机变量X 的分布列为()464410C C ,0,1,2,3,4C k k P X k k -===，则下列说法正确的是（ ）A.()327P X ==B.()125E X =C.甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数X 满足此分布列D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数X 满足此分布列11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>,F C 的准线与x 轴交于点,2M MF =，过点F 的直线与C 交于,A B 两点，则下列说法正确的是（ ）A.1p =B.直线MA 和MB 的斜率之和为0C.MAB 内切圆圆心不可能在x 轴上D.当直线AB 的斜率为1时，8AB =12.设12,x x 分别为函数()()21ln 2x f x a x a x =-++的极大值点和极小值点，且11x <，则下列说法正确的是（）A.1x =为()f x 的极小值点B.()()0,11,a ∞∈⋃+C.()231,22f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D.()11,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.写出一个圆心在x轴上，且与直线y x =相切的圆的标准方程：__________.14.已知,a b为平面向量，2b = ，若a 在b 方向上的投影向量为2b ，则()a b b -⋅= __________.15.已知圆锥SOAB 为底面圆O 的一条直径，C 为圆O 上的一个动点（不与,A B 重合），则三棱锥S ABC -的外接球表面积为__________.16.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点,A B 在函数()f x 的图象上，P 为曲线()y f x =与y 轴的交点，若PA PB ⊥，则f=__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，面积为,2S S AC =⋅ .（1）求A ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求a .18.（12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列.（1）若1231a a a =，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（2）若12a =，证明：1211151116n a a a +++<+++ .19.（12分）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径ix（单位：厘米），如下表：i123456789101112ix 28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：1212211360,10992ii i i xx ====∑∑.（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差2s .（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求()P A ；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布()230,8N .在这个条件下，求()P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若()2,Y Nμσ~，则()()()0.6827,20.9545,30.9973P Y P Y P Y μσμσμσ-≈-≈-≈……….参考数据：1212120.68270.01,0.95450.57,0.99730.97≈≈≈.20.（12分）已知函数()()121e3ln 1x f x x x ax -=--+-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()f x 有唯一极值点.21.（12分）如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成.（1）证明：PS∥平面ABCD ；（2）求AS 与平面PAD 所成角的正弦值.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上､下顶点分别为,A B ，短轴长为2,P 在C 上（不与,A B 重合），且12PA PB k k ⋅=-.（1）求C 的标准方程；（2）直线,PA PB 分别交直线2y =于,D E 两点，连接DB 交C 于另一点M ，证明：直线ME 过定点.2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学·答案8.D7.A6.C5.D 4.A 3.B2.B1.C 10.ABD12.AC11.BD9.AC13.22(2)1x y -+=（答案不唯一） 14.-215.16π316.117.解：（1）由题意可得122sin 2S bc A =⨯=cos A ，所以tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即222b c bc a +-=.因为1πsin 23S bc ==，所以40bc =.因为20a b c ++=，所以222a b c bc=+-2()3b c bc =+-2(20)120,a =--整理得40280a =，所以7a =.18.解：（1）由1231a a a =，可得33121a ⋅=，故112a =，所以数列{}n a 的通项公式为22n n a -=.则22n n na n -=⨯，故10121222322n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯ ，①()012212122232122n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ .②由②-①可得，()()110121122222122n n n n S n n ----=⨯-++++=-⨯+ .（2）证明：若12a =，则数列{}n a 的通项公式为2nn a =.当1n =时，11113a =+；当2n …时，1111212n n n a =<++.故231211111111111151113222322326nn n a a a +++<++++=+-<+=+++ .19.解：（1）样本均值12113012i i x μ===∑，样本方差()12221112ii s x μ==-∑12122211121212i i i i x x μμ==⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑()2110992230360123012=⨯-⨯⨯+⨯16=.（2）①由题意可得，树干直径Y （单位：cm)近似服从正态分布()230,4N .4年的红松树，其树干直径位于区间[]22,38的概率是0.9545，所以()120.95450.57P A =≈.②若树干直径Y 近似服从正态分布()230,8N ，则()120.68270.01P A =≈此时A 发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.A 是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A 发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.20.解：（1）当1a =时，()()121e3ln 1,0x f x x x x x -=--+->，()13e 2xf x x x x-=-+'，()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()11233e 2e 2x x f x x ax x a x x --⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭'，0x >，设()123e2x g x a x -=-+，则()136e 0x g x x-=+>'，所以()g x 在()0,∞+单调递增，又,()x g x →+∞→+∞；0,()x g x →→-∞.所以存在唯一的()00,x ∞∈+，使得()0g x =0，当()00,x x ∈时，()()0,g x f x <单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()()0,g x f x >单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，所以()f x 有唯一极值点.21.解：（1）分别取,,AD BC PS 的中点,,E F G ，连接,,,,PE PF GF SF EF ，由题意可知多面体PS ABCD -的棱长全相等，且四边形ABCD 为正方形，所以,,EF BC PF BC SF BC ⊥⊥⊥，因为,,EF PF F EF PF ⋂=⊂平面PEF ，所以BC ⊥平面PEF ，同理BC ⊥平面PFS .又平面PEF ⋂平面PFS PF =，所以,,,P E F S 四点共面.又因为,EF PS AB PE SF ===，所以四边形PEFS 为平行四边形，所以PS∥EF ，又EF ⊂平面,ABCD PS ⊄平面ABCD ，所以PS∥平面ABCD .（2）以F 为原点，以,,FE FB FG 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1AB =，则()111,1,0,0,1,,0,222P E A S ⎛⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎝，所以1131,0,,0,,2222EP EA AS ⎛⎛⎛⎫=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎝.设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由0,0,EP n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,210,2x z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令1z =，则x =)n =.设AS 与平面PAD 所成角为θ，则||sin ||||n AS n AS θ⋅===⋅，即AS 与平面PAD.22.解：（1）依题意可得，22AB b ==，所以1b =.设()00,P x y ，则000011,PA PB y y k k x x -+==，所以202201112PA PBy k k x a -⋅==-=-，所以22a =，所以C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题可知直线,PA PB 的斜率存在且不为0，不妨设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为12k-，直线:1PA y kx =+，令2y =，解得1x k=，所以1,2D k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:12PB y x k=--，令2y =，解得6x k =-，所以()6,2E k -.直线:31DB y kx =-，由2231,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()22181120k x kx +-=，则2Δ(12)0k =>，且212181M B kx x k +=+，解得212181M kx k =+，所以22212181,181181k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以直线ME 的方程为()222181218126126181k k y x k kk k --+-=⋅+--+，整理得()1266y x k k-=-+，即660x ky k +-=，即()610x k y +-=，所以直线ME 过定点()0,1.。
2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案
2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。
高三数学模拟试卷新高考
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的图像为：A. 上升-下降-上升B. 下降-上升-下降C. 上升-下降-上升D. 下降-上升-下降答案：C2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S9 = 81，则数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 在极坐标系中，点P(2, π/3)的直角坐标为：A. (1, √3)B. (1, -√3)C. (-1, √3)D. (-1, -√3)答案：C4. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为：A. (1/3, +∞)B. (1, +∞)C. (1/3, 1)D. (1, 1/3)答案：A5. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围为：A. z = 0B. z = 1C. z = -1D. z = 2答案：A6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + b，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则f(0)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A7. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为：A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 4/3答案：B8. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 1/2，则第10项a10为：A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：D9. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 36，则数列的首项a1为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
2023年高考数学全真模拟试卷01(新高考专用)(解析版)
2023年高考数学全真模拟试卷01（新高考专用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022秋·天津南开·高三南开翔宇学校校考期末）设全集为{}270U x N x x =∈-<，{}2,3,5UA =，{}2,5,6B =，则()UAB =（ ）A ．{}1,4B ．{}2,5C ．{}6D ．{}1,3,4,6 【答案】A【分析】把{}270U x N x x =∈-<化简，分别求出集合A ，UB ，然后求解()U A B ∩.【解析】{}{}{}270071,2,3,4,5,6U x N x x U x N x =∈-<∴=∈<<=又{}{}2,3,51,4,6U A A =∴=，又{}{}2,5,61,3,4U B B =∴=(){}1,4UAB ∴=，故选：A2．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）复数()()231i 1i --在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则化简后，即可确定复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标，进而判断其所在象限.【解析】()()()()()232221i 1i 1i i 12i i 2i 1i 2i 2i 2i 2----==-⋅=+=+---，则复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标为()2,2-，位于第四象限，故选：D.3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．2π3C ．5π6 D ．π3【答案】B【分析】先求得数量积1a b ⋅=-，再利用向量夹角公式即可求得a 与b 的夹角. 【解析】因为3a b +=，所以()22222523a b a ba b a b a b +=+=++⋅=+⋅=,则1a b ⋅=-.则11cos ,122a b a b a b⋅-===-⨯⋅. 又因为[],0,π∈a b ，所以2,π3a b =,即a 与b 的夹角为2π3.故选：B. 4．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数()32sin22xx x f x +=的部分图像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解． 【解析】∵()32sin22xx xf x += ，x ∈R ， 33||||()2sin(2)2sin 2()()22x x x x x xf x f x --+-+-==-=- ，则()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B 、D ； 对12sin 2(1)02f +=> 故可排除选项C ．故选：A ． 5．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知等差数列{}n a 前9项的和为1027,8a =，则90a =（ ） A ．87 B ．89C ．88D ．90【答案】C【分析】根据已知条件求得公差d ，从而求得正确答案. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()199195927,22a a S aa a +⨯==+=，所以53a =．又因为108a =，所以1051105a a d -==-． 故()90109010188a a =+-⨯=．故选：C6．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若22sin 291cos 2αα+=-，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）A ．3-B ．3C ．97D ．97-【答案】B【分析】由题知sin 0,cos 0αα<<，进而结合二倍角公式整理得sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=，再代入求解即可.【解析】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα<<，()()()()222221sin 2212sin cos sin cos 22sin 291cos 22sin sin 112sin αααααααααα++++====---，所以sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=所以cos sin 2sin sin 3cos sin 2sin sin αααααααα++==--.故选：B 7．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）设120231e 2023a =，2024ln2023b =，sin(0.2023)c =︒，则（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数()()()e ln 1,0,1xf x x x x =-+∈，利用导数确定函数的单调性可得()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断,a b 大小关系；估计实数12023与0.2023π0.2023180︒=的大小关系及大致倍数关系，构造函数()1e sin 6,0,1000xh x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，利用导数确定单调性可得()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而结合正弦函数的单调性可比较,a c 大小，即可得结论．【解析】设()()()e ln 1,0,1x f x x x x =-+∈，则()()11e 1xf x x x =+-+'， 设()()()11e 1x g x f x x x==+-+'，则()()()212e 01x g x x x =++>+'恒成立， 所以()f x '在()0,1上单调递增，所以()()00f x f ''>=恒成立，则()f x 在()0,1上单调递增，故()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12023112024e ln 1ln 202320232023⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，所以a b >； 因为10.000494322023≈，0.2023π0.20230.0035308160.00049432180︒=≈>⨯， 则10.202362023︒>⨯，设()1e sin 6,0,1000x h x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()1e 6cos6xh x x x '=+-，又设()()()1e 6cos6xm x h x x x ==-'+，故()()2e 12sin60xm x x x =++>'恒成立，所以()h x '在10,1000x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()110001111e 6cos 0100010001000h x h ⎛⎫⎛⎫<=+-< ⎪ ⎪⎝'⎭⎝⎭'恒成立，则()h x 在10,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1202311e sin 620232023⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭ 又()1sin 6sin 0.20232023⎛⎫⨯<︒ ⎪⎝⎭，则()120231e sin 0.20232023<︒，即c a >； 综上，c a b >>.故选：D ．8．（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a = (当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h ==.故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a =令2(02)a t t =<<，V ()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=， 403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V最大，此时h =．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中0.028a =B ．在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C ．估计短视频观众的平均年龄为32岁D ．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】CD【分析】根据频率和为1可构造方程求得a ，知A 错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在10~20岁的人数，知B 正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD 正确. 【解析】对于A ，()0.0150.0330.0110.011101a ++++⨯=，0.03a ∴=，A 错误；对于B ，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10~20岁的人对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有40000.15600⨯=人，B 错误；对于C ，平均年龄()0.015150.033250.03350.011450.011551032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，C 正确；对于D ，设75%分位数为x ，则()0.015100.03310300.030.75x ⨯+⨯+-⨯=， 解得：39x =，D 正确.故选：CD.10．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，给出下列判断正确的是（ ）A ．直线1B D ⊥平面1ACD ； B ．1A P ∥平面1ACD ；C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；D ．三棱锥1D APC -的体积不变 【答案】ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证明判断； 对于B ，利用线面平行和面面平行的判定定理证明判断；对于C ，分P 与线段1BC 的B 端和1C 端以及线段1BC 的中点重合判断；对于D ，由11D APC P ACD V V --=，结合1BC ∥平面1AD C 判断. 【解析】对于A ，如图所示：连接BD ，根据正方体的性质，∵1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，∴1BB AC ⊥，又∵BD AC ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥面1BB D ， ∴1AC B D ⊥，连接1A D ，根据正方体的性质，∵11A B ⊥平面11A D DA ，且1AD ⊂面11A D DA ，∴111A B AD ⊥； 又∵11AD A D ⊥，且1111A B A D A =，∴1AD ⊥面11A B D ， ∴11AD B D ⊥，且1ACAD A =，∴直线1B D ⊥平面1ACD ，故A 正确 对于B ，如图所示：连接111,A B A C ，在正方体中，∵AC ∥11A C ， 且AC ⊂平面1ACD ，11AC ⊂/平面1ACD ，∴11A C ∥平面1ACD ，同理可证1BC ∥平面1ACD ， 又∵11A C 、1BC ⊂平面11BA C ，且1111=AC BC C ，∴平面11//BA C 平面1ACD ，又∵1A P ⊂平面11BA C ，∴1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，当P 与线段1BC 的B 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11A BC ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3BC A =∠； 当P 与线段1BC 的1C 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11AC B ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3AC B ∠=； ∴当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值，∴11A PC ∠为异面直线1A P 与1AD 所成角，又∵111A B AC =， 且P 为线段1BC 的中点，∴11π2A PC ∠=，故1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，11D APC P ACD V V --=，∵1BC ∥1AD ， 且1BC ⊂/平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴1BC ∥平面1AD C ，∴点P 到平面1ACD 的距离不变，且1ACD △的面积不变， 所以三棱锥1P ACD -的体积不变，故D 正确；故选：ABD.11．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知函数21e 1()e x x f x +-=，()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．方程()f x x =只有一个实根B ．()f x '的最小值为2eC ．函数()()()f x G x f x '=的值域为(1,1)- D ．函数()()()F x f x f x '=⋅为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程()f x x =不止一个实根；利用()f x ''的正负，求出()f x '的单调性，进而求得()f x '的最小值；利用分离常数法，求得2()1e 21x G x =+-，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；2222()e e x x F x ---=-，而()()F x F x -=-不符合偶函数的定义.【解析】对于A ，方程()f x x =，即2111e 1e e 0ex x x x x x ---+---==-，显然0x =是方程的一个根，令()11ee x x x g x ---=--，由于()0201e e 1g --=-<，()1302e e 2g --=->，根据零点存在定理可知，函数()g x 在()1,2上有一个零点， 因此方程()f x x =不只有一个实根，A 选项错误；对于B ，2111e 1()e e ex x x x f x ---+-=-=，则()1111()e e e 1e 1+x x x x f x ------'⋅-⋅=-=，()1111()e 11e e e x x x x f x ------'==-'⋅+⋅-，令()0f x ''=，即110e e x x ----=，解得0x =，当0x <时，()0f x ''<，所以()f x '在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，因此()f x '的最小值为112+e(0)e e f --'==，B 选项正确； 对于C ，1122112221122+111()e e e e ()1()e e e e e x x x x x x x x x f x G x f x --------+-'====+-++=， 22222122011010220e 11e e e e 1x x x x x >⇒+>⇒<<⇒<<⇒-<-<+++， 则2111e 21x -<-<+，所以函数()G x 的值域为(1,1)-，C 选项正确； 对于D ，()()11112222()()()e e e e ee +x x x x x x F xf x f x ---------'-==-⋅= 而()22222222()ee e e ()x x x x F x F x ------=-==----，所以函数()()()F x f x f x '=⋅不是偶函数，D 选项错误；故选：BC.12．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知抛物线23y x =上的两点()00,A x y ，()()000,0B x y x -≠及抛物线上的动点(),P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，坐标轴原点记为O ，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程为32x =-B ．三角形AOB为正三角形时，它的面积为C ．当0y 为定值时，1211k k -为定值D ．过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠的圆的周长大于3π 【答案】BCD【分析】由抛物线方程判断A ，根据正三角形求出直线OA 斜率，联立抛物线求点A 坐标即可判断B ，直接计算1211k k -结合,A P 在抛物线方程上化简可判断C ，根据题意及圆的性质求出半径，结合点A 在抛物线上可得出半径范围，即可判断D.【解析】对A ，由抛物线23y x =知准线方程为34x =-，故A 错误；对B ，当三角形AOB 为正三角形时，不妨设A 在第一象限，则π6AOx ∠=，直线AO方程为y =，联立23y x =，可得009,x y ==故0||22AB y ==⨯=2||AOB S AB ==△B 正确； 对C ，001200,y y y y k k x x x x -+==--，当0y 为定值时 00000000022000020103((122)2)2)()()()331(x x x x y y x x y x x y x x y y y y k y y y y y k y x x -----===-+-+---=-=为定值，故C 正确；对D ，因为圆过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠，所以可设圆心为(,0)a ，则0R x a =-=22000()()2y x ax =-，故20003()2x x ax =-，因为00x ≠，所以0230x a =+>，即32a >-，故0332R x a a =-=+>，所以圆的周长32π2π3π2R >⨯=，故D 正确.故选：BCD第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）()8111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为___.（用数字作答）【答案】28-【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可 【解析】()81x +的展开式通项为818C rrr T x-+=，所以22867C 28T x x ==，53368C 56T x x ==．故所求2x 的系数为1285628⨯-=-．14．（2023·广西梧州·统考一模）直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC 为等边三角形，则a 的值为______．【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【解析】由条件和几何关系可得圆心C 到直线:l y x =a =． 15．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知()2e e x xmf x -=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，则m n +=__________．【答案】1【分析】根据()()0f x f x -+=，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得m ，再根据导数的几何意义可得()2f n '=，从而可求得n ，即可得出答案．【解析】函数()2e e x xmf x -=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f m =-=，解得1m =，经检验成立所以()2e 1e x xf x -=，则()()22222e e e 1e e 1e e x x x xx xxf x ⋅--+'==， 因为()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，所以()2e 12e n nf n +'==，解得0n =，所以1m n +=．16．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点（异于点A ，B ），直线BP 交x 轴于点D ．若直线AB ，AP 的斜率之积为49，且BDO BOD ∠=∠，则椭圆C 的离心率为______．【分析】设点的坐标，求斜率，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，化简得22AP BP b k k a ⋅=-，结合BDO BOD ∠=∠，知2249AP ABb k k a ⋅==，再利用222c a b =-及离心率公式即可求解. 【解析】设()00,P x y ，(),A m n ，(),B m n --，则直线AP 的斜率为00y n x m --，BP 的斜率为00y nx m++，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220022x m y n a b --=-， 即200200x m y n a y n b x m +-=-⨯+-，即221AP BP a k k b =-⨯，即22AP BP b k k a⋅=-， 又BDO BOD ∠=∠，则AB BP k k =-，即22AP ABb k k a⋅=， 即2249b a =，则2249b a =，所以2222224599c a b a a a =-=-=，即2259c a =，则椭圆C的离心率为c a =四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2023年哈三中高三学年第一次高考模拟考试数学试卷及答案
2023年哈三中高三学年 第一次高考模拟考试数学试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、 选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知集合==>-M y y x x{2023,1}，==<<N y y x x {log ,01}2023，则=MNA ．<<y y 2023{|0}1B ．<<y y {|01}C ．<<y y 2023{|1}1D ．∅ 2． 在∆ABC 中，AB BC −→−−→−⋅>0是∆ABC 为钝角三角形的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3． 定义在R 上的奇函数f x ()满足+=-f x f x (1)(1)．当∈x [0,1]时，=+f x x x ()33，则=f (2023)A ．-4B ．4C ．14D ．04． 苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣． 《蝶恋花·春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息．词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是 A ．秋千绳与墙面始终平行 B ．秋千绳与道路始终垂直 C ．秋千板与墙面始终垂直 D ．秋千板与道路始终垂直5． 已知-A 1,0)(，,B 10)(，若在直线=-y k x 2)(上存在点P ，使得∠=︒APB 90，则实数k 的取值范围为A ．⎣⎦⎢⎡B ．⎣⎭⎝⎦⎪ ⎢⎥⎪ ⎡⎫⎛⎤30,3C ．⎝⎭ ⎛D ．⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-∞+∞⎛⎛⎫3,,36． 哈尔滨市第三中学古诗词大赛中，12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为A ．41B ．31C ．551 D ．5537． 在边长为3的菱形ABCD 中，∠=BAD 600，将∆ABD 绕直线BD 旋转到∆'A BD ，使得四面体'A BCD 外接球的表面积为π18，则此时二面角--'A BD C 的余弦值为A ．-31B ．-21 C ．31 D ．38． 已知0.2，则（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9． 已知函数)()sin 26(f x x π=-，则下列说法中正确的是A ．|()|y f x =的最小正周期为πB ．()y f x =的图象关于3x π=对称C ．若()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为56πD ．()f x 在[,]62ππ-上的值域为[1,1]- 10．已知圆锥SO （O 是圆锥底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径,P Q 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是A ．圆锥SO 的侧面积为B ．SPQ ∆面积的最大值为C ．三棱锥O SPQ -体积的最大值为53D ．圆锥SO 的内切球的体积为43π11．已知抛物线2:4C x y =，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线上，则下列说法中正确的是A ．若点)3,2(A ，则PF PA +的最小值为4B ．过点(3,2)B 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C ．若正三角形ODE 的三个顶点都在抛物线上，则ODE ∆的周长为D ．点H 为抛物线C 上的任意一点，()0,1G -，HG t HF =，当t 取最大值时，12．已知0a ≠，01b b ≠>-且，(1)ln(1)aab e b =-+，则下列说法中错误的是A ．a b ≤B ．若关于b 的方程1bm a +=有且仅有一个解，则m e = C ．若关于b 的方程1bm a +=有两个解12,b b ，则122b b e +>D ．当0a >时，11222a b b <++二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()41212x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________．14．已知4=+y x ，且0x y >>，则yy x 12+-的最小值为 ． 15．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，32-+=n a S n n ，令4log (1)n n b a =-，则=+++12512521b b b ．16．如图，椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y m n m n-=>>有公共焦点()12(,0),(,0)0F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且01260F PF ∠=，则221213e e += ；I 为12F PF ∆的内心，1,,F I G 三点共线，且0GP IP ⋅=,x 轴上点,A B 满足AI IP λ=，BG GP μ=，则22λμ+的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆外接圆的半径为R ， 且22(12cos cos )bc R B C =+． （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 边上的点，2AD BD ==，1CD =，求tan B ．18．（本题满分12分）已知递增等差数列}{n a 满足：27762=++a a a ，521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若21212+++⋅=n n a n n a a a b n ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD ∆为等边三角形，PAD ABCD ⊥平面平面，PB BC ⊥．（1）求点的距离；（2）E 为线段PC 上一点，若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为10，求平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值． ED CBAP在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次． ①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；②记摸出的红球个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球． 已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．21．（本题满分12分）已知平面内动点M 到定点)1,0(F 的距离和到定直线4=y 的距离的比为定值21．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设动点M 的轨迹为曲线C ，过点(1,0)的直线交曲线C 于不同的两点B A 、，过点B A 、分别作直线t x =的垂线，垂足分别为11B A 、，判断是否存在常数t ， 使得四边形B B AA 11的对角线交于一定点？若存在，求出常数t 的值和该定点坐标；若不存在，说明理由．已知函数=-++f x x ax x ()ln 12．（1）当=a 0时，求函数=-g x xe f x x()()的最小值；（2）当=y f x ()的图象在点f (1,(1))处的切线方程为=y 1时，求a 的值，并证明：当∈n N *时，∑+<-=k k knln(1)1)2112．2023年哈三中高三学年第一次高考模拟考试 数学 试卷答案一、选择题：二、填空题：13. -1014. 215. 31 16. +24;1三、解答题： 17. （1）+-==∈=+==-===ππC B C A A A A B CR bc R b cB C B B C ,cos()23),sin 1cos cos cos ,(0,12cos 1sin sin 2,42sin sin sin 2（2）即==+=---∠==∠=∠=-πππB B B B B B B B B DAC C CD AD CD ADCDA B C B 3tan 2sin 322sin sin )1133sin()sin()sin sin 2,32,2第９页，共１３页18. （1）⎩+=+⎨⎧+=a a d a d a d (4)()3122711121，>d 0，⎩=⎨∴⎧=d a 211 ∴=-a n n 21（2）++++==--⋅+n n n n b n n n n n(21)(23)2321(21)2221 +∴=-+n T n n 23322119. （1）取AD 中点O ，连接OB OP ,∆PAD为等边三角形，∴⊥==OP AD OA OP ,1,又面平面平面平面平面平⊥=⊂PAD ABCD PAD ABCD AD OP PAD ,,面平∴⊥O P A B C D ，又面平⊂∴⊥OB ABCD OP OB ,⊥∴⊥P B B C B C A DP B A,//, 又面平面平⊥⊂⊂=OP AD OP POB PB POB OP PB P ,,,面平∴⊥A D P O B ，又面平⊂∴OB POB , ∴O B P B ,设点A 到平面PBC 的距离为h 则⋅=⋅∆∆S h S OP PBC ABC 3311∴=h 2（2）分别以OA OB OP ,,为轴,轴,轴x y z 建立如图所示的空间直角坐标系 第１０页，共１３页则--P C A D ((1,0,0),(1,0,0)设=λPE PC ，则--=---λλλλλλE AE (2,3,33),(21,3,33)面平面平⊥∴O P A B C D A B C,的法向量n =(0,0,1)1 AE n <>=10cos ,301，解得=λ31，∴-E 33(,2∴平面ADE 的法向量n =-(0,2,1)2∴平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值为<>=n n 5cos ,51220. （1）①设事件A =“摸出的两个球中恰好有一个红球”==A C C C P ()2815823511②X 可取0,1,2，===-C X k C P k C k k,,2)01,(82352 ∴X 的分布列为=⨯=E X 84()233（2）设事件B =“丁取到红球”，事件=C “甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”==⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯C P B P C B P BC C C C C C C C C C C C C C C C C C ()()()777749543244777432888833334444443211238883334444421123第１１页，共１３页21. （1）+=y x 43122 （2）⎩=+⎨++-=+-=⎧x my m y my y x 1,(34)880341202222 +++==+=--m m y y y y y y my y m 4343,,882212121212 若存在常数t ，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x 轴上，设该定点为D s (,0)，则线共，线共A B D A B D ,,,,11 设A x y (,),11B x y (,),22A t y (,),11，则=--=--A B x t y y A D s t y (,),(,)122111，则--=--y x t y y s t ()()()1221 ---===--+-+-+--y y y y y y s my y y ty y y y ty t y y ()(1)22121211212121221则-===t t s 12,3,2同理，线共A B D ,,1，==t s 3,2∴存在常数t =3，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点，该定点为(2,0)22. （1）当=a 0时,=---g x xe x x x()ln 1. 方法一：g x ()定义域∞+)(0,,=+-xg x x e x 1'()(1)() 令=-=+∴>x x xh x e h x e h x x 0,,(1)1()'()2在∞+)(0,上递增>-<∴=-=h x e h h e (,()2(1)10,)201在2,1)1(上有唯一零点x 0即==-x e h x x)01(000 在,上<h x x (0,)()00,即在<g x g x x )'()0,()(0,0递减 在+∞x ,)(0上,即>>h x g x g x ()0,'()0,()在+∞x ,)(0上递增 第１２页，共１３页=∴=-x x e x x n 1l 0000 =---+--==∴=x e x x x x g x g x x )()(ln 1110min 0000000方法二：先证：”“取,时当=≥+x e x x0=1, =≥+++e x x x exx x ln 1ln (存在x 0使+=x x ln 000)∴≥---x e x x x l n 10成立 （2）+=-f x xax 11'()2,依题意,=∴=f a '(1)01 即-+-=-++=xx x f x x x x f x (1)()(21)()ln 1,'2∴f x ()在(0,1)递增,∞+)(1,递减.∴==f x f ()(1)1max∴在∞+)(1,上,-++<x x x 11ln 2,即-<x x x 1)ln (,-<x x x1ln取+=n x 11,则<++n n n 111ln(1)1,即+<+n n n ln(1)111+∴++++++++<++n nn n 223(1)l n (11)2l n (1)...l n (1)11111而+++++<+++nn 3122311111111==++++-+<+++n n 111)2)11∑=-++∴++++++<-==nn k n k k n2)211ln(1)1ln(11)2ln(1)ln(1)1121。
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-南昌市高三测试卷数学（五）命题人：南昌三中 张金生一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}M x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1，则N M 是 （ ）A ．{}1,0,1- B. {}1 C. {}1,0 D.{}0 2．（文）在数列{n a }中，若12a =-，且对任意的n N *∈有1221n n a a +-=，则数列{}n a 前15项的和为（ ）A ．1054B ．30C ．5D ．452(理) 若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( )A.13 B.13 C.32D. -6 3．若0<<b a ，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．b a 11> B ．||||b a > C ．ab a 11>- D ．22b a > 4.设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件； 5.设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) A 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B 当α⊂b 时，若b β⊥，则βα⊥C 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D 当α⊂b ，且α⊄c 时，若//c α，则//b c6．设nx x )5(3121-的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N=992。
则展开式中x 2项的系数为（ ）A ．150B ．－150C ．250D ．－2507．将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A 、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ）A ．15B ．18C ．30D ．368．（文）已知a =（2cos α，2sin α）， b =（3cos β，3sin β），a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－ysin α+21=0与圆(x －cos β)2+(y+sin β)2=1的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定(理)统计表明，某省某年的高考数学成绩2(75,30)N ξ，现随机抽查100名考生的数学试卷，则成绩超过120分的人数的期望是（ ）（已知(1.17)0.8790,(1.5)0.9332,(1.83)0.9664φφφ===）A. 9或10人B. 6或7人C. 3或4人D. 1或2人9．设}10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。
则“漂亮方程”的个数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12D ．1410.已知121(0,0)m n m n+=>>,则当m+n 取得最小值时，椭圆22221x y m n +=的离心率为（ ）A.12B.C.D.11.关于函数()cos(2)cos(2)36f x x x ππ=-++有下列命题： ①()y f x =；②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；③()y f x =在区间13[,]2424ππ上是减函数；④将函数2y x =的图象向左平移24π个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．①②③④12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ）A ．367385B ． 376385C ．192385D ．18385二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填写在题中的横线上。
13．.某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有 1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200 辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下的 频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站 的汽车中车速度不小于90km/h 的约有 辆（注：分析时车速均取整数）。
14. (文)已知平面上三点A 、B 、C 满足AB =BC =CA =1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ 的值等于 .（理）已知函数)(,1,1,11)(3x f x a x x x x f 若⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=在R 上连续，则 =+-∞→)321(lim n a n an n . 15．设命题34120:280(,)260x y p x y x y R x y +->⎧⎪--≤∈⎨⎪-+≥⎩,命题222:(,,0)q x y r x y R r +>∈>,若命题p ⌝是命题q ⌝的必要不充分条件,则r 的最大值为 .16．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共六道小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）18.已知向量m =（sin B ，1－cos B )，且与向量n = （2，0）所成角为3π，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角．（Ⅰ）求角Ｂ的大小；（Ⅱ）求sinA + sinC 的取值范围．18．（本小题满分12分）(文科做)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且ξ大于0的概率为710.（Ⅰ）求文娱队的人数；（Ⅱ）写出1ξ=的概率． (理科做)某中学开展“创建文明城市知识竞赛”活动，竞赛题由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，要求学生在规定时间内通过笔试完成，且每道题必须选出一个选项(不得多选或不选)，每道题选正确得6分。
已知学生甲对任一道题选择正确的概率为34；学生乙由于未作准备，因此只能从每道题的4个选项中随机地选择1个.(Ⅰ)若选错得0分，比较甲得66分的概率与乙得54分的概率的大小；(Ⅱ)为防止个别学生像乙那样随机地作出选择，学校决定对每道选择错误的倒扣若干分，但倒扣太多对学生不公平，倒扣太少又达不到杜绝乱选的目的，倒扣的分数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获，换句话说，如果学生每道题都随机选择，那么他20道题所得总分的数学期望应该是0.问:对每道题选择错误应该倒扣多少分比较合适?19．（本小题满分12分）正四面体A-BCD 的棱长为1，（Ⅰ）如图(1)M 为CD 中点，求异面直线AM 与BC 所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB 、BD 、DC 、BC 剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E 的大小；（Ⅲ）若将图(1)与图(2)面ACD 重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积。
20．（本小题满分12分）（文科）已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－(y ＋3ax )OB →＋(x 3－1)OC →＝0．（Ⅰ）求函数y ＝f (x )的单调区间；（Ⅱ）当a ＝1时，求证：直线4x ＋y ＋m ＝0不可能是函数y ＝f (x )图象的切线．E DC B AM图(2)D C BAM 图(1)（理科）已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f /(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0.（Ⅰ）求函数y ＝f (x )的表达式；（Ⅱ）若x ＞0，证明：f (x )＞2x x ＋2；（Ⅲ）若不等式12x 2≤f (x 2)＋m 2－2bm －3时，x ∈[－1，1]及b ∈[－1，1]都恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2的离心率为 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。
（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。
22． (本小题满分14分）(文科做)已知曲线2:(0),C yx x过C 上的点1(1,1)A 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点1B ，再过1B 作y 轴的平行线交曲线C 于点2A ，再过2A 作曲线C 的切线2l 交x 轴于点2B ，再过2B 作y 轴的平行线交曲线C 于点3A ，…，依次作下去，记点n A 的横坐标为*()n a n N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记(82)n n b n a ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：4nT .( 理科做)定义在(0，＋∞)的函数f(x)＝⎩⎨⎧xe 2x ax -+，x ∈(0，1)2x －1，x ∈[1，＋∞），其中e ＝2.71828……是自然对数的底数，a ∈R.(Ⅰ)若函数f(x)在点x ＝1处连续，求a 的值；(Ⅱ)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a 的取值范围，并判断此时函数f(x)在(0，＋∞)上是否为单调函数；(Ⅲ)当x ∈(0，1)时，记g(x)＝l n f(x)＋x 2－ax ，试证明：对n ∈N *，当n≥2时，有－n(n －1)2＜g(1n ！)＜∑n k ＝11k －n.南昌市2008-2009学年度高三测试卷数学（五）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．BDCBB DCBCB AA二、填空题：每小题４分，共16分． 13. 300 14.（文）32-，（理）3。
⒖125⒗①③④. 三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵ m =（sinB ，1－cosB) , 且与向量n =（2，0）所成角为,3π∴3Bsin B cos 1=- ，∴ tan B 2 = 3 ， 又∵ 0<B <π ⇒ 0< B 2 < π2 ，∴ B 2 = π3 ，∴ B = 2π3。