功和能习题解答

第4章 功和能

4-1 如图，质量为m 的小球由长为l 的轻质细绳悬挂在天花板上O 点，求小球沿圆弧从最低位置

a 运动到细绳与竖直方向夹角为0θ的过程中重力mg r

所做的功。（不考虑空气阻力）。

解 方法一，建立如解用图1所示的直角坐标系，重力G mgj =-r r ,位移d d d r xi yj =+r r r

d d ()(d d )d W G r mgj xi yj mg y =⋅=-⋅+=-r r r r

r

细绳与竖直方向夹角为0θ 00

d d (1cos )y

W W mg y mgy mgl θ==-=-=--⎰⎰

*

方法二，如解用图2 ，设质点位置与竖直方向夹角为θ，重力G r

与位移d r r

的夹角为（

π

2

θ+） π

d d cos()d sin d 2

W G r mg s mg s θθ=⋅=+=-r r

式中d s 是位移d r r

所对应的圆弧，d d s

l θ=，细绳与竖直方向夹角为0θ

000

d sin d =(1cos )W W mgl mgl θθθθ==---⎰⎰

4-2 如图，一根长为l ，质量为M 的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位置。现将细杆在拉力F r

的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成0θ角的位置。求在此过程中重力矩所作的功（不考虑空气阻力）。

解 如图，设刚体与竖直方向夹角为θ，此时重力矩 sin 2

l

M

mg θ=-

重力矩做的功 00000d sin d (1cos )22

l l

W M mg mg θθθθθθ==-=--⎰⎰

习题4-1图

习题4-1解用图1

习题4-1解用图2

θ

4-3 质量为5kg 的质点在变力F

r

的作用下沿空间曲线运动，其位矢

3422

(2)(3+8)12m r t t i t t j t k ⎡⎤=++--⎣⎦r r r r 。求力F r 的功率。

解 23

d =(61)(122)24m/s d r t i t t j tk t

υ⎡⎤=++--⎣⎦r r r r r

2

d 60(18010)120N d F ma m ti t j k t υ⎡⎤===+--⎣

⎦r r r r r r

532160-120+2960W P F (t t t )υ=⋅=r r

4-4 质量 2 kg m =的质点在力作用下沿x 轴运动，其运动方程为()

3m x t t =+，求力在最初秒内所做的功。

解 方法一 d d d W

P t F t υ==

()2

d 13m/s d x t t

υ==+ 222d 6 m/s d x a t t == 12 N F ma t ==

力在最初秒内所做的功

2

20

d 12(13)d 168J W F t t t t υ==+=⎰⎰

方法二 ()2d 13m/s d x

t t

υ==+，(1) 1 m/s υ=，(2)13 m/s υ= 应用动能定理

22

(2)(1)11168J 22

W m m υυ=

-= 4-5 质量为10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速率为零。如

果物体在沿着x 轴方向的作用力()34N F x =+的作用下运动了3米，

计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少？

习题4-2图

习题4-2解用图

解 力F 在3米内做的功 33

d (34)d 27J W

F x x x ==+=⎰⎰

根据质点的动能定理

2

102

m W υ-=得 2.32m/s υ=

= 质点处于3米处的力15N F =，加速度 2215

m/s 1.5m/s 10

F a m =

== 4-6 质量为

m

的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时，阻力近似为速度的线性函数

f km υ=-，式中k 是正常数。试证明物体以初速度0υ开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等

于物体损失的动能。

证 物体开始时速度为0υ后来静止，则在此过程中损失的动能 22

00

11022

k E m m ∆υυ=-=- 阻尼力所做的功 00

d d x x W f x mk x υ==-⎰⎰

由牛顿第二定律得

d d d d d d x mk m

m

t x t υυυ

-== 或 d d x k

υ

=- 代入功的表达式积分得 0

02

01d 2

k W m m E υυυυ∆==-=-⎰

4-7 质量分布均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂，绳全长为L 。开始时下垂部分为0L ，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）。

解 以整个绳子为研究对象，下垂部分为

y 时，绳子所受合力为

m

yg L

。若在此力作用下，绳子下移了d y ，则合力做的元功 d d m

W yg y L

=

整个绳全部离开桌面时合力所做的功

02201d d 2L

L m W W yg y mg(L L )L L

===-⎰⎰

由动能定理可得 υ=

4-8 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm ，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。

解 由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁钉时的速度。铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能k E 全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。阻力对它所作的功即为其动能的变化。