第一讲 空间几何体的结构及其表面积与体积
空间几何体的表面积与体积
V柱 = pR2·2R
面积, 再减去渗水孔的面积.
组合体的体积怎样计算?
柱体、锥体、台体 京沪铁路全长1462 km,
球的表面积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?
京沪高铁全长1318 km. 0230568 (kg),
的表面积与体积
∴ h(a+c)>bh,
≈1197 (cm2).
球的体积和表面积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
p = 2 [ 6 3 ( 2 + 1 4 )+ 6 2 ] 1 5 + 2 6 25
≈1579.485 (mm2),
10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
种零件需要用锌, 已知每平方米用锌 0.
某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.
在△SBC中, 边长为 a,
五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm, 求它的侧面面积.
≈2956 (mm3)
圆柱、圆锥、圆台的表面积
当半球切得的片数无限多,
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面积加侧面积.
底面积: S底=p r2. 圆柱侧面积: S柱侧=2p rh. 圆锥侧面积: S锥侧=p rl. 圆台侧面积: S台侧=p l (r+r).
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积
柱体体积: V柱 = Sh.
锥体体积:
V锥
=
高中数学一空间几何体空间几何体的表面积与体积球的体积和表面积PPT课件
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相 切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上， 则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径． 设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 的半径为 R.
由于∠AOB＝90°， 所以 VO ABC＝VC AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6， 故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球 的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3， 所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3， 故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时， 要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球 的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角 线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据 求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作 出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．
空间几何体的表面积和体积1(共82张1)PPT课件
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
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24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
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28
高中数学PPT：第1讲空间几何体及其表面积和体积
3＝
3 3 π.
索引
考点三 多面体与球的切、接问题
///////
【例3】 (经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 9
为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____2_π___. 解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
个半圆，则此圆锥的体积为( A )
3 A. 3 π
3 B. 3
C. 3π
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
D. 3
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝ห้องสมุดไป่ตู้， 所以圆锥的高为 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3，
所以圆锥的体积为 V＝13πr2h＝13π×12×
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是 作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两 两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接球问题.
图(3)
索引
探究提高
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放 在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解.
索引
【跟踪演练2】 (1)(2021·杭州二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一
图(2)
索引
法三 如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点 N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABEDMN，所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN 的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为 VABE-DMN＝12×2×2×4＝8， VD-CMNF＝131＋2 2×2×2＝2， 所以所求几何体的体积为VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.
数学一轮复习第8章立体几何第1讲空间几何体的结构三视图表面积和体积试题2理
第八章立体几何第一讲空间几何体的结构、三视图、表面积和体积1。
［2020全国卷Ⅲ,8,5分］[理]如图8-1—1为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是（）A.6+4√2B.4+4√2C。
6+2√3D。
4+2√32。
[2020浙江,5,4分］某几何体的三视图(单位:cm）如图8—1-2所示，则该几何体的体积(单位：cm3）是()A.73B.143C.3D.63。
［2021合肥市调研检测］表面积为324π的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于()A。
567 B.576 C.240 D.49π4.［2021安徽省四校联考］在三棱锥A—BCD中,△ABC和△BCD 都是边长为2的正三角形，当三棱锥A-BCD的表面积最大时，其内切球的半径是(）A。
2√2−√6 B。
2-√3 C。
√2D。
√665。
[数学文化题］《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法。
在如图8—1—3所示的羡除中，平面ABDA’是铅垂面，下宽AA'=3 m，上宽BD=4 m，深3 m，平面BCED是水平面，末端宽CE=5 m，无深，长6 m(直线CE到BD的距离),则该羡除的体积为(）图8-1—3A.24 m3B.30 m3 C。
36 m3 D。
42 m36.［2020全国卷Ⅱ,10,5分]［理]已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上。
若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(）A。
√3B。
32C.1 D。
√327.[2021安徽省示范高中联考］蹴鞠（如图8—1—4所示）,又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆"“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球。
高考数学第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及表面积与体积课件
5.柱、锥、台、球的表面积和体积❻
几何体
名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底
V＝13Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝13(S上＋S下＋ S上S下)h
球
S＝4πR2
V＝43πR3
[熟记常用结论]
1．特殊的四棱柱
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的联系： S圆柱侧＝2πrl―r―′―＝―r→S圆台侧＝π(r＋r′)l―r′―― ＝→0 S圆锥侧＝πrl.
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❺
圆柱
圆锥
圆台
侧面展 开图
侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
柱体、锥体、台体的体积公式间的联系： V柱体＝Sh―S′――＝→S V台体＝13(S′＋ S′S＋S)hS―′―＝→0V锥体＝13Sh.
直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱
长一定相等．其中正确命题的个数是
A．0
B.1
C．2
D．3
( B)
解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正
确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，
各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故正确命题
的个数是 1.
3．下列命题正确的是
四棱柱
底面为平 ―行―四―边―形→
平行六面体
侧棱垂直 ―于―底――面→
直平行六面体
底面为 ―矩―形→
长方体
底面边 ―长―相―等→
正四棱柱
侧棱与底面 ―边―长――相―等→
第1讲 空间几何体的表面积和体积
考点整合 1.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积S＝4πR2.
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球 O 在侧面 PAD 内的正视图是△PAD 的内切圆，故内
切球的半径 r＝12(3＋4－5)＝1，则 V＝43πr3＝43π.
由 2R＝3，即 R＝32.故球的最大体积 V＝43πR3＝92π.
(2)在四棱锥 P－ABCD 中，侧棱 PA⊥底面 ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补
成 长 方 体 ， 则 (2R)2 ＝ AB2 ＋ AD2 ＋ AP2 ＝ 16 ＋ 16 ＋ 9 ＝ 41 ， 因 此
R＝
41 2
.
依
题
意
144－100＝2 11.又 DB＝6 3，PB＝8，所以 DB2＝PD2＋PB2，即△PBD 为直角三 角形，所以 S△PBD＝12×8×2 11＝8 11.因为点 A 为 DC 的中点，所以 VP－ABC＝12VP－ CBD＝12VC－PBD＝12×13×S△PBD×CB＝12×13×8 11×6＝8 11，即四面体 PABC 的体积 为 8 11. 答案 (1)C (2)8 11 8 11
的高 22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，所以形成的几何 体的表面积 S′＝2×π× 22×1＝ 2π.综上可知，形成几何体的表面积是( 2＋1)π 或 2 π.故选 AB. 答案 (1)B (2)AB
探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不 规则几何体分割成几个规则的几何体. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
空间几何体及其表面积与体积
要点梳理
忆一忆知识要点
3．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
圆柱
S 侧＝ 2πrh
圆锥
S 侧＝ πrl
体积
V＝Sh ＝πr2h
1 V＝ 3Sh
＝ 13πr2h
＝13πr2 l2－r2
圆台 直棱柱
S 侧＝π(r1＋r2)l S 侧＝ Ch
V＝13(S 上＋S 下＋
S上S下)h ＝13π(r12＋r22＋r1r2)h
答案 ②④
图（1） 图（2）
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几何体的表面积
例 2 如图，斜三棱柱 ABC—A′B′C′中，底面 是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，侧棱 AA′与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45°角， 求此斜三棱柱的表面积．
由题意，可知 A′在平面 ABC 内的射影 D 在∠BAC 的角平分线 上，从而可证得四边形 BCC′B′是矩形． 解 如图，过 A′作 A′D⊥平面 ABC 于 D， 过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，连结 A′E，A′F，AD.
对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直 且互相平行，故①假；
第11页/共60页
对于②，两截面的交线平行于侧棱，且垂直 于底面，故②真； 对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面， 可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；
对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线， 恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于 是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也 垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底 面，故④真(如图(2))．
空间几何体的结构、表面积与体积
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间几何体的结构、表面积与体积1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底·h 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底·h台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示 不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱． 2．如何求不规则几何体的体积？提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( √ ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二 教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.32 cm答案 B解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，。
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
高三总复习数学课件 空间几何体的结构特征、表面积与体积
矩形
扇形
扇环
[注意] 球的截面的性质 1球的任何截面都是圆面；2球心和截面不过球心圆心的连线垂直于截面；
球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R2－d2 ．
[逐点清]
1．(易错题)如图，长方体 ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中 EH∥A′D′，
FG∥BC．则剩下的几何体是
c＝
1 48
abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－
1 48
abc＝
47 48
abc，所以
V1∶V2＝1∶47．
答案：1∶47
[记结论] 几个与球有关的切、接常用结论
(1)设正方体的棱长为a，球的半径为R． ①若球为正方体的外接球，则2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝ 2a． (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝ a2＋b2＋c2． (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．
第一课时 空间几何体的结构特征、表面积与体积
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
重点一 基本立体图形
1．多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面 互相平行且相等 侧棱 互相平行且相等 侧面形状 平行四边形
多边形
[提速度]
1．(2020·天津高考)若棱长为2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为
()
A．12π
空间几何体的结构及其表面积与体积
第一课时空间几何体的结构及表面积与体积【学习目标】①认识柱，锥，台，球及其简单组合体的结构特征。
②了解柱，锥，台，球的表面积与体积的计算公式【考纲要求】①空间几何体的结构及其表面积与体积的计算公式是A级要求【自主学习】1．棱柱的定义：2．棱锥的定义：3．棱台的定义：4．圆柱的定义：5．圆锥的定义：6 圆台的定义：7 球的定义：[课前热身]1下列不正确的命题的序号是 .①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥2如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是3 若一个球的体积为，则它的表面积为_____________4 一张长宽分别是8cm和6cm的矩形硬纸板，将这硬纸板折成正四棱柱的侧面，则此四棱柱的对角线长为_______________π，母线长为2，则此圆锥的底面半径5 一圆锥的侧面展开图的中心角为23为________________，则其母线与底面所成角的正弦6 一圆锥的轴截面面积等于它的侧面积的14值为_________________[典型例析]例1 下列结论不正确的是（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线例2如图所示，等腰ABC D的底边AB=CD=3.点E是线段BD上异于B,D的动点。
点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PE AE⊥.记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
[当堂检测]1．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .2. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是（填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上3. 如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）4 若正方体的全面积为6，且它的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积=_______________________5已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .[学后反思]____________________________________________________ ____________________________________________________________________ _____________________________________________________________。
高二第1讲 空间几何体及表面积与体积(教师)
2.画几何体的高：在已知图形中过O点作垂直于xOy平面的z轴，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍_平行于_z′轴且长度_不变_.
五、柱体、锥体、台体的表面积
1．多面体的表面积
(1)我们可以把多面体展成_平面图形_，利用_平面图形_求面积的方法，求多面体的表面积；
(2)棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_側面面积____之和，表面积是_各个面的面积_之和，即_側面积_与_底面积__之和．
2．旋转体的面积与体积
名称
图形
侧面积
表面积
体积
圆柱
S侧＝2πrl_
S＝_ 2πr2＋2πrl
或S＝_ 2πr(r＋l)
V=Sh
圆锥
S侧＝πrl
S＝πr2＋πrl
(2)（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）
（3）已知正三角形ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
思考流程(1)分析：将直观图还原为平面图形；推理：将斜二测画法画直观图的要求逆用；结论：根据规则画出原来图形．(2)分析：观察俯视图，用淘汰法。
(2)如图7－37－8所示，已知△ABC的水平放置的直观图是等腰Rt△A′B′C′，且∠A′＝90°，A′B′＝，则△ABC的面积是()
A.B．2C．4D．1
[答案](1)2a2(2)B
[解析](1)一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，而直观图面积S′＝a2，所以原平面四边形的面积为＝2a2.
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
第7章第1节空间几何体的结构及其表面积体积课件共113张PPT
棱柱
图形
棱锥
棱台
第一节 空间几何体的结构及其表面积、体积
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
底面 互相_平__行__且_全__等__
侧棱 互相_平__行__且_相__等__
侧面 形状
平行四边形
多边形 相交于_一__点__， 但不一定相等
三角形
互相_平__行__且_相__似__ 延长线交于 _一__点__
A
B
C
D
第一节 空间几何体的结构及其表面积、体积
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
(3)(2020·全国卷Ⅱ)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条
棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，
则该端点在侧视图中对应的点为( )
A．E C．G
B．F D．H
∴r＝2(cm)．]
1234
第一节 空间几何体的结构及其表面积、体积
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
________．
16 3
π
[由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高
的圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝136π.]
第一节 空间几何体的结构及其表面积、体积
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
01
走进教材·夯实基础
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第一讲 空间几何体的结构及其表面积与体积
一、选择题
1．将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周, 形成的几何体一定是（ ）
A ．圆锥
B ．圆柱
C ．圆台
D ．以上均不正确 2.（2011·合肥高二检测）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.2
B.1
C.
23
D.
1
3
3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形,则原来图形的形
状是( ).
4. 一个三角形的直观图的面积与其原三角形的面积的比值是（ ）
A.21
B.2
C.42
D.2
5．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于（ ） A.
S
2
S B.
π
S 2
S C.
S
4
S D.
πS 4
S
6．圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥的体积是（ ）
A ．
4581
p
B ．
881
p C ．
2281
p
D ．
1081
p
二、填空题
7.（2011·永嘉高二检测）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的半径是
8.（2010·福建高考）若一个底面是正三角形的三 棱柱的正视图如图所示，则其表面积．．．等于 .
9.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3
，底面周长为3，那么这个球的体积为
.
2
1 2
10.如右图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在平面,那么所截得的图形可能是下图中的 .(把可能的图的序号都填上)
11.(2010·上海春招）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱 底面的直径为40cm,母线长最短50cm 、最长80cm ，则斜截圆 柱侧面面积是 2cm . 三、解答题
12.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇 淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子里溢出吗?请用你的计算数据说明理由．
13.若一个三棱锥的各个棱长都相等，那么这个棱锥叫做正四面体.设一个正四面体的棱长为
a ，
求：（1）高； （2）斜高； （3）体积； （4）外接球的半径； （5）内切球的半径.
14.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm 2
,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
15.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.
（1
）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
10cm
4 cm
G
E
F
C'
B'
D'C
A B
D
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积.
16.(2010·上海高考)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面分成8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请 作出灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
参考答案
2
2
4
侧视图
正视图6
2
4
一、选择题
1.【解析】选A.由圆锥的定义可知，将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥.
2.【解析】选B.由三视图可知该空间几何体为三棱柱，且此三棱柱的底面为两直角边分别为1，
2
的直角三角形，三棱柱的高为
2
，故此三棱柱的体积为1
12212
=⨯⨯
⨯
.
3.【解析】选A.由斜二测画法的规则知选A.
4.【解析】选C.由斜二测画法的规则知，两个三角形的底等长，直观图的高变为原来的
4
245cos 2
1=
，所以面积比为
4
2，故选C.
5.【解析】选D.设圆柱的底面直径为R,则圆柱的高也为R,据题意知2R S π=,故S
R
π
=
,所
以圆柱的体积等于2()2
4
R S S
V R ππ
==
.
6.【解析】选 A.设圆锥底面圆的半径为r,则据题意得22
113
r ππ⨯⨯=，即23
r =
，所以圆
锥的高2
2
51(3
3
)
=-=
h ，所以圆锥的体积2
2
112
54
5
()3
3
3
3
81
V r h πππ=
=
⨯⨯
=
.
二、填空题
7.【解析】据题意知此正方体为球的内接正方体，而此正方体的棱长为2cm,所以此正方体的体对角线为23cm ,即此球的半径为3 cm . 【答案】3cm .
8.【解析】由右图是正三棱柱的正视图，可知这个正三棱柱的底面边长为2，高为1，它的侧面积为6123=⨯⨯， 底面积为
3
2432
=
⨯，所以表面积等于36+.
【答案】36+.
9.【解析】这是一个正六棱柱，上下两个底面的中心连线的中点就是球心，因为六棱柱的高为
3
，所以2
3=
d .因底面周长为3，所以底面正六边形的边长为2
1，即外接圆的半径为2
1=
r
，
所以由球的截面性质得12
2
=+=d r R ，所以这个球的体积为
π
3
4
.
【答案】π
34
.
10.【解析】截面为轴截面时可得①,不过轴截面时可得③,截面只过一条母线时可得④. 【答案】①③④.
11.【解析】复制一个斜截圆柱，将两个斜截圆柱的斜面重合 在一起，组成一个底面的直径为40cm,母线长50cm+80cm 的新 圆柱，它的侧面面积为ππ520013040=⨯，所以斜截圆柱侧面 面积是2600π. 【答案】2600π. 三、解答题
12.【解析】因为3
3
3
14141284()23
2
3
3
V R cm πππ=
⨯=
⨯
⨯=
半球
2
2
3
11160410()3
3
3
V r h cm πππ=
=
⨯⨯=
圆锥
因为圆锥
半球
V V <
所以，如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
13.【解析】如图在正四面体ABCD 中，DE 是中线，G 是重心，O 既是外接球的球心，也是内切球的球心，AG 是高，AE 是斜高，外接圆半径是OA=OB=R,内切圆半径是OG=r. 在直角三角形ABG 中，AB=a ,a
a BG 332332=
⋅=
,
a
BG
AB AG 3
62
2=-=
∴.
在直角三角形ABE 中，AB=a ,a
BE 21=
,
a
BE
AB AE 232
2=-=∴.
正四面体的体积为3212
23
64
3313
1a a a h S V =
⋅⋅=⋅⋅=
,
在直角三角形OBG 中，a
BG 3
3=
,()2
22OG AG BG OB -+=
即2
223633⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a R ，
解得a R 4
6=
，a
a a r 12
64
63
6=-=
.
所以这个正四面体的高为
a 3
6，斜高为
a
2
3，体积为312
2a ，
外接球半径为a 4
6，内切球半径为
a 12
6.
14.【解析】圆台的轴截面如右图.
设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm, 延长AA 1交OO 1的延长线于点S. 在Rt △SOA 中,∠ASO ＝45°, 则∠SAO ＝45°.
所以SO ＝AO ＝3x,OO 1＝2x. 又
2
1×(6x+2x)×2x ＝392,解得x ＝7,
所以圆台的高OO 1＝14 cm, 母线长cm
OO l 214
21==,底面半径分别为7 cm 和21 cm.
15.【解析】（1）如图
（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫
=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
33284
cm =． 16.【解析】（1）设圆柱的高为h ，则6.9)42(4=+r h ，即r h 22.1-=
所以22r rh S ππ+=()r r 4.232+-=π，
所以当4.0=r m 时，S 有最大值，最大值为58.1332.4≈=πS 2m . （2）当底面半径为0.3米时，高为0.6米.
三视图如下：。