量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。

这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。

其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。

[解] 德布罗意公式为 ph =λ 因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式μ22p E = 代入德布罗意公式得 Ehμλ2=（1） 101106.1100-⨯==eV E 尔格，281109-⨯=μ克81028271111023.1106.110921063.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯-=∴E h μλ厘米=1.23A（2） 132106.11.0-⨯==eV E 尔格，281210918401840-⨯⨯==μμ克A 92.02=∴λ（3） 133106.11.0-⨯==eV E 尔格，13=μ克A 1231017.1-⨯=∴λ（4） 161641004.211038.12323--⨯=⨯⨯⨯==kT E 尔格，2441066.14-⨯⨯=μ克A 6.124=∴λ4．利用玻尔——索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

[解] （1）方法一：量子化条件⎰=nh pdq ，一维谐振子的能量为222212q p E μωμ+=可化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。

两半轴分别为E a μ2=， 22μωEb =这个椭圆的面积为nh vEEEE ab pdq ===⋅==⎰ωπμωμππ2222故 nhv E =上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。

方法二：一维谐振子的方程为02=+q qω 其解为 )sin(δω+=t A qdt t A dq )cos(δωω+=而 )cos(δωωμμ+==t A qp nh vA T A dt t A pdq T ===+=∴⎰⎰22)(cos 22220222ωμωμδωωμ而 )(s i n 212)(c o s 2122222222222δωμωμδωμωμωμ+++=+=t A t A q p Enhv A ==2221μω （2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有R H c e 2υμυ= 故 eHc R υμ=这时因为没有考虑量子化，因此R 是连续的。

应用玻耳—索末菲量子化条件⎰=nh pdq这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度ϕ作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量υμϕμϕμϕϕϕR R R H P ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂=22221 ⎰⎰====∴πϕππμυϕυμϕ20222nh R c eH R d R d PeH cn eH nhc R ==∴π2 其中 π2h=可见电子轨道的可能半径是不连续的。

讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。

②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。

而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。

③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量hv n E n ⎪⎭⎫⎝⎛+=21相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能hv E 210=。

但能级间的间隔则完全相同。

前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。

第二章 波函数和薛定谔议程1．一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。

[解] 首先将ψ归一化，求归一化系数A 。

⎰⎰∞-∞==02220*1dx e x A dx x λψψ⎰⎰∞-∞-∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=02202022222121dx xe A dx xe e x A x xx λλλλλλ32022242λλλA xe A x =-=∞- 2/32λ=∴A⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2/3x x xe x x 当当λλψ （1）动量的几率分布函数是⎰∞∞---=dx e x t p c px Et i)(2/1)()2(),(ψπ注意到Et i e中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有⎰∞∞---=dx ex t p c px i)()2(),(21ψπ ⎰∞+--=0)(21)2(dx xeA xp iλπ令 dx p i dy x p i y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= λλ,代入上式得⎰∞----=0221)()2(),(dy ye p i A t p c yλπ2222322)(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+= p p i p i A λλπλλπ（2）()⎰⎰∞∞-∞∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==pdp p p i p i pcdp c p 4222223*/2λλλπλ ()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=+=222223322223/2p dp p pdpλπλλπλ 0122233=∞-∞+-=p λπλ动量p 的平均值0=p 的结果从物理上看是显然的，因为对本题),(t p c 说来，粒子动量是p -和是p 的几率是相同的。

讨论：①一维的傅里叶变换的系数是π21而不是()2/321π。

②傅里叶变换式中的t 可看成参变量。

因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于0=t 的情况，变换式的形式保持不变。

③不难证明，若)(x ψ是归一化的，则经傅里叶变换得到)(p c 也是归一化的。

2．设在0=t 时，粒子的状态为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。

[解] 方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。

任意状态)(x ψ总可以分解为单色平面波的线性和，即px ieP c xπ∑ψ21)()(⋅=，展开式的系数2)(P c 表示粒子的动量为p 时的几率。

知道了几率分布函数后，就可按照22)()(P c p P c P ∑∑=求平均值。

⎪⎭⎫⎝⎛+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--22122ikx ikx ikx ikx e e i e e A ()ikx ikx ikx ikx e e e e A--+++--=2422 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--=-=-- ππππππ2222222402ikx ikx p ikx ikx ikx e e e e e A在0=t 时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为x p i eπ21，与)(x ψ的展开式比较可知，处在)(x ψ状态的粒子动量可以取k p k p p k p k p -===-==54321,,0,2,2，而 π2421Ac c -==， ππ24,22543A c c A c ===粒子动量的平均值为 0)11211(162)0422(162222222222=++++-+⨯+-==A k k k k A c p c p nnn ππ∑∑ A 可由归一化条件确定2221)11411(1621A A c nππ∑=∴++++==故π1=A粒子动能的平均值为)044(2116222222222222k k k k A c T c T nn n ++++⋅==μπ∑∑μ2285k =。

方法二：直接积分法⎰∞∞--=dx ex p c px i)(21)(ψπ⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰∞∞-∞∞-+--x d ex d eAx p k i x p k i )2()2(212124πππ ⎰⎰∞∞-∞∞---⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x d e x d e xp k i xip)(2122ππ⎭⎬⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞∞-+- x d e xp k i )(21π {)(2)2()2(24p k p k p Aδδδπ-++-=})()(k p k p +---δδ根据δ函数的性质，只有当δ函数的宗量等于零时，δ函数方不为零，故p 的可能值有k p k p p k p k p -===-==54321,,0,2,2而 πππ24,22,2454321A c c A c A c c -==-=== 则有π1,0==A p 及 2285k T μ=。