量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答

目录

第一章量子理论基础 (1)

第二章波函数和薛定谔方程 (5)

第三章力学量的算符表示 (28)

第四章表象理论 (48)

第五章近似方法 (60)

第六章碰撞理论 (94)

第七章自旋和角动量 (102)

第八章多体问题 (116)

第九章相对论波动方程 (128)

第一章 量子理论基础

1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000

A （可见光），1

A （x 射线）以及0.001

A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？

[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22

1

υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即

λ

νυhc h eV m ===221 )

(1024.1106.11031063.64

19834

A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当

A

50001=λ时， 48.21=V （伏）

A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）

A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）

2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为

1

8/33-⋅=kT hv v e dv

c hv

d πνρ

单位体积辐射的总能量为

⎰

⎰∞∞-==0

0/331

3T hv v e dv v c h dv U κπρ

令kT

hv

y =

，则 4

40333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=033341

8y e dy

y c h k πσ （★★）

（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下：

因为

)1()1(1

121 +++=-=-------y

y y y y y

e e e e e e

∑∞

=-=1

n ny e

dy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-0130

31 令 ny x =，上式成为

dx e x n e dy y x

n y

⎰∑⎰

∞-∞=∞=-0

3140

311 用分部积分法求后一积分，有

⎰⎰⎰

∞

-∞∞

--∞∞--+-=+-=0

220

332333dx xe e x dx e x e x dx e x x x

x x

x

66660

=-=+-=∞∞

--∞

-⎰x

x x e dx e xe

又因无穷级数 ∑∞

==1

4

4901n n π

故

⎰

∞=⨯=-0

44315

9061ππy e dy y 因此，比例常数

⎰∞-⨯==-=0153

34

533341056.715818c

h k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度4

3．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：

（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 2

3

=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。 [解] 德布罗意公式为 p

h =

λ 因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式

μ22

p E = 代入德布罗意公式得 E

h

μλ2=

（1） 10

110

6.1100-⨯==eV E 尔格，28

110

9-⨯=μ克

8

10

28

27

1

111023.110

6.110

921063.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯-

=

∴E h μλ厘米=1.23

A

（2） 132106.11.0-⨯==eV E 尔格，281210918401840-⨯⨯==μμ克

A 92.02=∴λ

（3） 133106.11.0-⨯==eV E 尔格，13=μ克

A 12

31017.1-⨯=∴λ

（4） 16

1641004.211038.12

323--⨯=⨯⨯⨯==kT E 尔格，2441066.14-⨯⨯=μ克

A 6.124=∴λ

4．利用玻尔——索末菲的量子化条件求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 [解] （1）方法一：量子化条件

⎰=nh pdq ，一维谐振子的能量为

2222

12q p E μωμ+=

可化为

(

)

1222

222

2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+

μωμE q E

p

上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为

E a μ2=

， 2

2μω

E

b =

这个椭圆的面积为

nh v

E

E

E

E ab pdq ==

=

⋅

==⎰ω

πμωμππ2222

故 nhv E =

上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。 方法二：一维谐振子的方程为

02=+q q

ω 其解为 )sin(δω+=t A q

dt t A dq )cos(δωω+=

而 )cos(δωωμμ+==t A q

p nh v

A T A dt t A pdq T ==

=

+=∴

⎰

⎰22

)(cos 2

22

20

2

2

2ωμωμδωωμ