函数的最值与导数导学案
函数的极值、最值导学案
函数的极值、最值导学案（一）学习目标： 编辑：赵辉、李勤涛、王芳1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值、最值的步骤。
自主学习：阅读课本27、28页之后回答下列问题1 求函数44313+-=x x y 的单调区间，并画出函数图象简图。
探究： 观察函数图形在x=2和2-=x 的函数值与其附近的函数值有什么关系？ )2(f '和)2(-'f 的值呢？在x=2和2-=x 附近的导数值又有什么规律？2 观察下列函数图象分析当x 等于54321,,,,x x x x x 时导数怎样？在这些点附近导数的符号有什么规律？f(x 2)f(x 4)f(x 5)f(x 3)f(x 1)f(b)f(a)x 5x 4x 3x 2x 1b axOy归纳总结1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个 ，记作 ，x 0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有 .就说 是函数f(x)的 ，记作 ，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 思考 函数3)(x x f =有没有极值点？导数为0的点一定是函数的极值点吗？典型例题例1. 求函数44313+-=x x y 的极值，并求[-3 ,4]上的最大值和最小值。
变式1：将区间[3,4]-改为[0,3]【归纳】：一、求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在 方程根左右的值的符号：①如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； ②如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值； ③ 如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 二、求闭区间[a,b]的最值的步骤： ① 先求出给定区间上的极值；再求出区间端点的函数值; ②最后从极值和区间端点的函数值中找出最大值和最小值。
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
利用导数研究函数的极值最值。我的公开课导学案
1. (选修2 2P319练习1改编)函数y=x2-4x+3在R上有极值,该值的大小为.
2. (选修1 1P80习题8改编)函数y=x3-3x+9的极小值是.
3. (选修1 1P76习题2改编)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点有个.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
课
堂
小
结
检
测
反
馈
1.函数f(x)=x3-3x+1,x∈[0,2]的最大值为.
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-x,则使得函数f(x)取得极大值的x=.
3.设函数f(x)= +ln x,则函数f(x)的极小值点为x=.
课
题
第19课时利用导数研究函数的极值、最值
主备人
审核
学
习
目
标
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
重点
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
难点
利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
(2)若函数f(x)有极大值28,求函数f(x)在[-3,3]上的最小值.
练习巩固
1.函数y=x3-3x2+5,x∈[-2,3]的值域为.
2.已知函数f(x)= x2+lnx,则f(x)在区间[1,e]上的最大值是.
高中数学《函数极值,最值与导数》导学案
数学选修2-2导学案
二、认识新知 （一）、导数与极值
问题：如图表示跳水运动员，高度h 随时间t 变化的函
数
的图象
结论：
由图象我们知道，)(t h 在a t =处有极大值，此时：
函数)(t h 在a 处0)(='a h ，在a t =的附近 当 0>t 时,函数h(t)单调递增，0)(>'t h ; 当 0<t 时,函数h(t)单调递减, 0)(<'t h 。
2
() 4.9 6.510h t t t =-++
思考：
【问题】：对于任意的一般函数)(x f ，如果在某一点处有 极值，在该点处，导数有什么规律？ 请大家观察下列图象回答一下问题：
问题1：函数)(x f y =在点b a ,的函数值与这些点附近的点 的函数值有什么关系？
问题2：函数)(x f y =在点b a ,处的导数是多少？ 问题3：在点b a ,处函数)(x f y =的导数有什么规律？
结论：
1、在点a 处函数)(x f y =有极小值，此时： ①:点a 附近的点的函数值都大于)(a f ②：0)(='a f
③：在a 点的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f。
利用导数研究函数的最值(导学案用)
海林林业一中 高二数学学案 教师 ：张海宇探究函数“恒成立”问题（导学案）一、学习目标从近年来的高考试题来看，利用导数研究函数“恒成立”问题成为命题的热点，掌握好函数恒成立问题的方法有两种：一是最值法，一是分离参数法。
根据学生的认知水平和导数在函数中的应用在新课程理念下的要求,确定教学目标如下：◆知识目标：理解利用函数求最值的方法，并能应用这两种常见方法求函数最值。
◆能力目标：通过最值法和分离参数法的学习，从而提高学生分析问题解决问题的能力， 进一步培养学生逻辑推理能力。
◆情感目标：培养学生学习数学的兴趣，体会分类讨论思想方法和构造新函数思想方法。
二 、教学重、难点重 点：学习利用导数研究函数的最值方法；难 点：利用导数求函数最值的具体应用；三、课前预习利用导数可以研究函数的哪些性质？四、课堂探究 一、已知函数x x x g x x f 2)(,ln )(-== ，若对所有的[,)x e ∈+∞都有()x f x a x a ≥-成立，求实数a 的取值范围.二轮复习 班级 姓名 自评得分二、〖探究提升——洛必达法则的应用〗(2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x a x =---。
（1） 若0a =，求()f x 的单调区间；（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围三、〖应用反馈〗1、已知函数2()(1)x f x x e a x =--.当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.2、已知函数x x x f ln )(=。
若对所有1≥x都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。
五、〖课堂小结〗请同学们相互交流一下，回顾本节课你学到了哪些知识？。
高二数学函数最大(小)值与导数导学案
课题1．函数的最大(小)值与导数（理科）课型：新讲课编号08姓名等级时间 2015-3-09主备人：二年级数学组备课组长段长署名使用说明及方法指导：1、课前达成预习教案，掌握基此题型；2、仔细限时规范书写，课上小组合作商讨，答疑解惑。
3、 A、 B 层所有掌握， C 层选做。
学习目标：1.理解最值的观点，认识函数的最值与极值的差别和联系．2．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．学习重、难点：1.相关函数的最值问题． (要点 )2.最值常与函数的极值以及函数的值域等联合考察．3.最值与函数的极值． (易混点 )使用说明及方法指导：1、预习课本 P29—31,联合函数极值弄清两则的差别与联系2、把课本记好此后在做本教案，不理解的部分做好标志温故夯基. 求函数f(x)的极值第一解方程f′ (x)＝ 0.当 f′ (x0)＝ 0 时，(1) 假如在 x0邻近的左边 ____________ ，右边 ___________，那么 f( x0)是函数的 _________；(2) 假如在x0邻近的左边 ____________ ，右边 __________ ，那么f( x0)是函数的 _________知新益能函数 f (x)在闭区间 [a， b]上的最值假如在区间 [a， b]上函数 y＝ f(x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a ， b] 上一定能够取得 _________ 和 _________ ，并且函数的最值必在_________或 _______处获得．问题研究在区间 [ a， b]上，函数y＝ f(x)的图象是一条连续不停的曲线，在[a， b]上一定存在最值和极值吗？合作研究：研究一：求已知函数的最值求函数 y＝ f(x)在 [a， b]上的最值的步骤以下：(1)求函数 y＝ f(x)在 (a， b)内的极值；(2)将函数y＝ f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)， f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例 1、求以下函数在给定区间上的最值：(1)f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ 5， x∈ [－ 2,3]；ππ(2)f(x)＝ sin2x－ x， x∈ [－2，2]．. 【思路点拨】要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可．【解】(1)f′ (x)＝ 6x2－ 6x－ 12，令 f′ (x)＝ 0，则 6x2－ 6x－ 12＝ 0，即 x2－ x－ 2＝ 0，解得 x1＝－ 1， x2＝ 2.∵f(－ 1)＝ 12， f(2)＝－ 15， f(－ 2)＝ 1， f(3)＝－ 4，∴函数 f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ 5在 x∈ [－ 2,3]上的最大值为12，最小值为－ 15.2)f′ (x)＝ 2cos2x－ 1，令 f′ ( x)＝0，π πππ3ππ3π又 x∈ [－，]，得 x＝±，∵ f()＝－， f(－)＝－＋，226626626ππππππ又 f( )＝－， f (－ )＝，∴ [f(x)] max＝， [ f(x)]min＝－ .222222【思想总结】求解函数在固定区间上的最值，在娴熟掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行正确求导；(2)研究函数的单一性，正确确立极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类议论．变式训练1求以下各函数的最值．(1)f(x)＝－ x4＋ 2x2＋ 3， x∈ [－ 3,2]；－x x(2)f(x)＝ e－e，x∈ [0，a]，a为正常数．研究二、已知函数的最值求参数已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采纳待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的分析式，从而能够研究函数的其余性质．例 2、 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b(a>0) ， x∈ [ － 1,2]的最大值为 3，最小值是－ 29，求 a、 b 的值．【思路点拨】可先对 f(x)求导，确立 f(x)在 [－1,2]上的单一性及最值，再成立方程从而求得a， b 的值．【解】f′ (x)＝ 3ax2－ 12ax＝ 3a(x2－ 4x)．令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝ 0， x＝ 4，∵ x∈ [－ 1,2]，∴ x＝ 0.∵a>0，∴ f(x)， f′ (x)随 x 变化状况以下表：x(－ 1,0)0(0,2)f′ (x)＋0－f(x)↗最大值 3↘∴当 x＝ 0时， f(x)取最大值，∴ b＝ 3.又 f (2)＝ 8a－ 24a＋ 3＝－ 16a＋ 3，f(－ 1)＝－ 7a＋ 3>f(2) ，∴当 x＝ 2 时，f(x)取最小值，－ 16a＋ 3＝－ 29，∴a＝ 2，∴ a＝ 2， b＝ 3.【思想总结】此题属于逆向研究题型．解这类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思想出发，实现由已知向未知的转变，最后落脚在比较极值与端点值大小上，从而解决问题．变式训练2设2<a<1，函数 f(x)＝ x3－3ax2＋ b(－ 1≤ x≤ 1)32的最大值为1，最小值为－6，求常数 a， b. 2研究 3、与最值相关的恒成立问题不等式恒成即刻求参数的取值范围问题是一种常有的题型， 这类题型的解法有多种，此中最常用的方法就是分别参数，而后转变为求函数的最值问题， 在求函数最值时，能够借助导数求解．（ C ）例 3、已知 f(x)＝ x 3－ 1x 2－ 2x ＋ 5，当 x ∈ [－ 1,2]时， f(x)<m 恒成2立，务实数 m 的取值范围． 【思路点拨】把 m>f(x)恒成立，转变为求f(x)在 [－ 1,2]上的最大值，只需m 大于此最大值即可．【解】∵ f(x)＝ x 3－ 1 x 2－ 2x ＋ 5，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ x － 2.2令 f ′ (x)＝ 0，即 3x 2－ x －2＝ 0，∴ x ＝1，或 x ＝－ 2. 3x－ 22 (－2， 1) 1(1,2)21(－ 1，－ 3)－ 3 3f ′ (x)＋ 0 －0 ＋ f(x)11 ↗157 ↘ 7 ↗72272∴当 x ＝－2时， f(x)获得极大值 f － 2 ＝522；3 3 27当 x ＝ 17 ＝ 11 ＝ 7.时， f(x)获得极小值 f(1) ＝ .又 f( －1) ， f(2)2 2∴ f(x)在 x ∈ [－ 1,2]上的最大值为 f (2)＝ 7， ∴要使 f(x)<m 恒成立，需 f(x)max <m ，即 m>7. ∴所务实数 m 的取值范围是 (7，＋∞ )． 【思想总结】 相关恒成立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时要确立这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地， λ≥ f(x)恒成立 ? λ≥ [f(x)]max ； λ≤ f(x)恒成立 ? λ≤ [f(x)] min .变式训练 3、已知函数 f(x)＝ ax 4ln x ＋ bx 4 －c( x>0) 在 x ＝ 1 处获得极值－ 3－ c ， 此中 a ， b ， c 为常数．若对随意 x>0，不等式 f(x) ≥－ 2c 2 恒成立，求 c 的取 值范围．当堂检测：1．函数 f(x)＝ x 3－3x ＋ 3，当 x ∈ － 3， 5 时，函数 f( x)的最小值是 ()2 233B ．－ 5C ． 1D.89A. 882．函数 f(x)＝ 1x 3－ 2x 2 在 [－ 1,5] 上()332A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0，最小值－ 332D ．既无最大值也无最小值C ．有最小值－ 3 ，无最大值 你3．若函数 f(x) ＝－ x 3＋ 3x 2＋ 9x ＋ a 在区间 [ － 2，－ 1]上的最大值为 2，则它在该区间上的最小值为()A ．－ 5B ． 7C ． 10D ．－194．已知函数 f(x)、g(x)均为 [a ，b] 上的可导函数，在[a ，b]上连续且 f ′ (x)<g ′ (x)，则 f(x)－g(x)的最大值为 ( )A ． f(a)－ g(a)B ． f(b)－ g(b)C ．f(a)－ g(b)D ．f(b)－ g(a)5．设函数f(x)＝ ax 3－ 3x ＋ 1(x ∈ R )，若关于随意的 x ∈ (0,1] 都有f(x) ≥ 0 成立，则实数 a 的取值范围为 ________．6．设 a ∈ R ，函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 2，若函数 g(x)＝f(x)＋ f ′ (x) ，x∈ [0,2] 在 x ＝ 0 处获得最大值，则 a 的取值范围是 ________．（ B ）7．若方程 3x 4－ 4mx 3＋ 1＝ 0 没有实数根，务实数 m 的取值范围．（ C ） 8．已知函数 f(x)＝1＋ln x1x ，若函数在区间a ， a ＋2 (此中a>0)上存在最大值，务实数a 的取值范围．你曾落 的泪，最 都会 成阳光，照亮脚下的路。
《函数的最大(小)值与导数》导学案
§1.3.3函数的最大（小）值与导数【学习目标】1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
【学习过程】（一）情景问题：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值点，那么()0f x 应满足什么条件呢？探究1：“最值”与“极值”的又有怎样的区别和联系呢？（二）合作探究、精讲点拨例题：求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值探究2：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式训练：求下列函数的最值：（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知]3,3[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
课后练习与提高1．下列说法中正确的是（ ）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（ ）A.10<≤aB.10<<aC.11<<-aD.210<<a 3．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。
高中数学--函数的最值导学案
课题：函数的最值【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分。
要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。
【学习目标】1．通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义； 2．会利用函数的单调性求函数的最值。
【学习重点、难点】重点：函数最大（小）值的定义和求法 难点：如何求一个具体函数的最值.【课前导学与自测】预习教材第30-32页，找出疑惑之处，完成新知学习1、思考：先完成下表，归纳定义：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有_______________；（2）存在I x ∈0，使得____________________。
那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值。
试试：你能仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．【自测】1、24(1,3]y x x =-+∈-函数，有最大值吗？若有，最大值是多少？24(1,3]y x x =-+∈-函数，有最小值吗？若有，最小值是多少？2、 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 23、函数f （x ）=2x 2+4x+5,x ∈[-3,-2]的最小值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 4、函数f （x ）=3│x │+2的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．55、函数f （x ）=x 2+2x+b 的最小值为5，则b= 。
我的疑惑：【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究点一 函数的最大(小)值的概念问题1 你能根据函数f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数来确定当x 取何值时，函数的值最小吗？问题2 你能根据函数f (x )＝－x 2在(－∞，0)上是增函数，在[0，＋∞)上是减函数来确定当x 取何值时， 函数值是最大还是最小？问题3 已知函数y ＝f (x )在定义域[a ，b ]上单调，如何求函数的最值？（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为 ，最小值为 ． （2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为 ，最小值为问题4 已知函数y ＝f (x )的定义域是[a ，b ]，a ＜c ＜b .如果函数f (x )在区间[a ，c ]、[c ，b ]上单调性相反，如何求函数的最值？练习：.设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数。
函数的最值与导数的导学案
1.3.3函数的最大（小）值与导数学习目标⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤. 学习重点难点⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值二、新课导学学习探究探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . 新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.典型例题例1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤1、设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导， 则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.合作探究练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．图1 图2当堂检测1. 若函数3()3f x x x a=--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M N-的值为（）A．2 B．4 C．18 D．202. 函数32()3(1)f x x x x=-<（）A．有最大值但无最小值B．有最大值也有最小值C．无最大值也无最小值D．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x=--+在区间[,2]a上的最大值为154，则a等于（）A．32-B．12C．12-D．12或32-4. 函数2y x x=-在[0,4]上的最大值为5. 已知32()26f x x x m=-+（m为常数）在[2,2]-上有最大值6，那么此函数在[2,2]-上的最小值是6. a为常数，求函数3()3(01)f x x ax x=-+≤≤的最大值.7. 已知函数32()39f x x x x a=-+++，（1）求()f x的单调区间；（2）若()f x在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 8、已知23()logx ax bf xx++=,x∈(0,+∞).是否存在实数a b、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(xf的最小值是1；若存在，求出a b、，若不存在，说明理由.9、设213a<<，函数323()2f x x ax b=-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为62-，求函数的解析式.。
1.3.3选修2-2 《1.3.3函数的最值与导数》学案
选修2－2 《1.3.3函数的最值与导数》学案一、课标要求：结合高一时函数最值的概念，了解函数最值与极值的区别和联系，会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，进一步理解函数的最值。
二、课前自学1．最大值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有________，则称f(x0)为函数在________的最大值。
2. 最小值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有________，则称f(x0)为函数在________的最小值。
3、极值与极值点若函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，称x=a为函数的，f(a)称为函数的。
当函数可导时，有f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________。
f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，称x=b为函数的，f(b)称为函数的。
当函数可导时，有f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________。
极小值点、极大值点统称为___________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在某________的大小情况，刻画的是函数的________性质．三、学习过程：1、直观认识：从以下图象中找出各函数在区间[a,b]的最值对应的点，并总结思考如果判断最值存在？问题思考：定义在闭区间上函数，最大、最小值一定是函数的极大、极小值吗?2、直观认识：从以下图象中找出各函数在区间(a,b)的最值对应的点，并总结思考如果判断最值存在？问题思考：定义在开区间上函数，一定有最大值、最小值吗？什么时候函数没有最小值？3、从形到数，例题学习 例1：()[]321443f x x x =+已知函数－在0，3上的最大值与最小值。
课堂练习：已知函数()322f x x ax =++,2x =是()f x 的一个极值点，求：（1）实数a 的值。
高中数学 3.3.3函数的最值与导数 精品导学案 新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.3.3函数的最值与导数导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】 理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.【自主学习】1.观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．在[]b a ,上找出谁是极小值，谁是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是多少？最小值是多少?2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法.3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？4.利用导数求函数的最值步骤是什么？5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？ f(x)≤c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？【自主检测】1．下列说法正确的是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m,则f ′(x) ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能例1(1)求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值; (2)求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值;(3)求函数x x x y -+=23在闭区间]1,2[-上的最大值与最小值．x 3x 2x 1b a x O y例2.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 (1)求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间; (2)若对x ∈[]12－，，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围.【课堂检测】1. 设()326f x ax ax b =+－在区间12［－，］上的最大值为3，最小值为29-， 且a>b,则 ( )A ．2,29a b =-=-B ．2,3a b ==C ．3,2a b ==D ．2,3a b =-=- 2. 已知f(x)=2x 3－6x 2+m(m 为常数)在［－2，2］上有最大值3，求此函数在［－2，2］上的最小值__________________.4．求函数23422x x x y --=在区间[]2,2-上的最大值与最小值，并画出函数的图像．【总结提升】1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
精品导学案：函数的最值与导数
精品导学案：3. 3.3函数的最值与导数课前预习学案一、预习目标1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
二、预习内容1.最大值和最小值概念2.函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系3.连续函数在闭区间上求最值的步骤三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程 (一)知识回顾：1． 极大值、极小值的概念：2．求函数极值的方法：（二）探究一：例1．求函数1431)(3+-=x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值。
你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式：1 求下列函数的最值：（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知]3,3[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（4）]2,1[,3)(3∈-=x x x x f 则函数的最大值为______，最小值为______。
变式：2 求下列函数的最值：（1）26)(2++=x x x f （2）3126)(x x x f +-=探究二：例2．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。
(完整版)函数的极值与导数导学案
§1.3.2函数的极值与导数教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程：一．复习与思考已知函数 32()267f x x x =-+(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?二．新课讲授1、极值点与极值(1)极小值点与极小值：若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝ ，而且在点x ＝a 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极小值点， 叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值：若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝ ，而且在点x ＝b 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极大值点， 叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为2.关于极值概念的几点说明(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值（3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
（5）函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的 条件。
3.函数的极值与单调性有什么联系？【提示】 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性． 函数极值的求法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值.求下列函数的极值． （1）31()443f x x x =-+(2)f(x)＝(x2－1)3＋1；(3)f(x)＝ln xx.(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10.则a＝________，b＝________.(2)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．①求a，b的值．②若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．若本题(2)变为：已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值，且函数的极小值为－12，求f(－1)的值，如何求解(1)函数f(x)＝x3＋x2－5x＋2的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________．(2)函数f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b，其图象在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0.①求函数f(x)的解析式；②若函数y＝f(x)的图象与y＝13f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．。
函数的最值与导数教案
函数的最值与导数教案导数是微积分中非常重要的概念，它在函数的最值问题中有着重要的应用。
在教授函数的最值与导数的过程中，我们可以通过引入实际问题、图形分析和计算等多种方法来帮助学生理解和掌握这一知识点。
一、引入实际问题为了让学生更好地理解函数的最值与导数的概念，可以通过引入一些实际问题来展开教学。
例如，我们可以以汽车行驶问题为例，假设一个汽车在一段时间内的行驶路程与时间的关系可以用函数来表示。
我们可以让学生思考，如何通过这个函数来确定汽车在这段时间内的行驶距离的最大值或最小值。
这样，学生就可以通过思考这个问题来认识到函数的最值与导数之间的关系。
二、图形分析三、导数的定义在图形分析之后，我们可以引入导数的定义，并通过具体的例子来讲解导数的计算方法和意义。
我们可以以函数的最大值和最小值为例，讲解如何通过导数来确定函数的最值点。
我们可以让学生计算函数在极值点的导数，然后通过导数的正负来判断极值点是最大值还是最小值。
同时，我们还可以让学生通过对导数的计算，来确定函数的最大值或最小值的具体数值。
四、练习题与解答在讲解完导数的定义之后，我们可以通过一些练习题来帮助学生巩固所学内容。
我们可以选择一些经典的函数最值问题，并通过计算导数来解答这些问题。
例如，我们可以让学生计算一个函数的导数，并通过导数的计算结果来确定其最大值或最小值。
同时，我们还可以给出一些函数最值问题，然后让学生自行计算函数的导数，并通过导数的计算结果来求解这些问题。
通过引入实际问题、图形分析和计算练习等多种教学方法，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的最值与导数的概念。
同时，我们还可以通过丰富的例子和练习题，来增加学生对函数最值与导数的应用能力。
通过灵活运用这些教学方法，相信学生会对函数的最值与导数有一个更加深入的理解。
高二数学 3.3.3函数的最值与导数导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.3.3函数的最值与导数导学案【自主学习】1.观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．在[]b a ,上找出谁是极小值，谁是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是多少？最小值是多少?2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法.3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？4.利用导数求函数的最值步骤是什么？5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？ f(x)≤c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？【自主检测】1．下列说法正确的是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m,则f ′(x) ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能例1(1)求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值; (2)求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值;(3)求函数x x x y -+=23在闭区间]1,2[-上的最大值与最小值．x 3x 2x 1b a x O y例2.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 (1)求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间; (2)若对x ∈[]12－，，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围.【课堂检测】1. 设()326f x ax ax b =+－在区间12［－，］上的最大值为3，最小值为29-， 且a>b,则 ( )A ．2,29a b =-=-B ．2,3a b ==C ．3,2a b ==D ．2,3a b =-=- 2. 已知f(x)=2x 3－6x 2+m(m 为常数)在［－2，2］上有最大值3，求此函数在［－2，2］上的最小值__________________.4．求函数23422x x x y --=在区间[]2,2-上的最大值与最小值，并画出函数的图像．。
高中数学《函数的极值与导数》导学案
3．3.2函数的极值与导数1．函数的极值定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有□01 f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□02极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点都有□03f(x)≥f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□04极小值，记作y极＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．小值2．函数极值的判定当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧□05f′(x)>0，右侧□06f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧□07f′(x)<0，右侧□08f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)□09不是函数f(x)的极值．3．求可导函数极值的步骤一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点：(1)求出导数□10f′(x)；(2)解方程□11f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号[即f(x)的单调性]，确定□12极值：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为□13极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为□14极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□15不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．(3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．答案(1)2(2)a<0(3)1探究1求已知函数的极值例1求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．[解](1)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3(x－1)x2.令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究]若将例1(2)中a＞0改为a＜0，结果会怎样？解由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x <0，恒有f ′(x )>0，即函数f (x )＝x 3是单调递增的，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．一般地，函数y ＝f (x )在一点的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2； (2)f (x )＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)∵f (x )＝x 2e x ，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2e x (e x )2＝x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2. 探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后还须验证根的合理性．【跟踪训练2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点x＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(x)在点x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，解得b＝0.(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－23a.依题意有－23a>0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以必有2≤－23a≤4，解得－6≤a≤－3.探究3利用极值判断方程根的个数例3已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．[解]f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或a＋27<0.解得a>5或a<－27.故实数a的取值范围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x ) 符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 答案 y ＝－1e解析 由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y＝－1e .5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．解 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0， 解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c答案 D解析由图象可以看出，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x) 单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以x＝0时，函数取得极小值，f(0)＝c.2．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值答案 C解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当－2<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<2时，f′(x)<0，故当x＝－1时，f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．设函数y＝f(x)在R上可导，则f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析以f(x)＝x3为例，f(x)＝x3在x＝0处导数为0，但不取得极值．故f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．4．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4 B．6 C．7 D．8答案 A解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)>0得x<1或x>2，由f′(x)<0得1<x<2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4.故选A.5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C．a<－1e D．a>－1e答案 A解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a，令y′＝e x＋a＝0，则e x＝－a. 即x＝ln (－a)，又∵x>0，∴－a>1，即a<－1.二、填空题6．函数f(x)＝13x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．答案 3解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝23>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.7．函数f(x)＝2x＋ln x的极小值为________．答案1＋ln 2解析由f(x)＝2x＋ln x知，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：f (x )1＋ln 2∴f (x )极小值＝f (2)＝1＋ln 2.8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 其中正确的结论为________． 答案 ③解析 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值． 所以只有③正确． 三、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值． 解 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)，知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0； 当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0.10．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数． 解 f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a ) ＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋(2a ＋1)]．令f ′(x )＝0，所以x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0.※ ①当Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a >0，即a <0或a >4时，设※有两个不同的根x 1，x 2，不妨设x 1<x 2， 所以f ′(x )＝e x (x －x 1)(x －x 2)．即f (x )有两个极值点．②当Δ＝0，即a ＝0或a ＝4时，设※有两个相等实根x 1， 所以f ′(x )＝e x (x －x 1)2≥0，所以f (x )无极值．③当Δ<0，即0<a<4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以f′(x)>0(x∈R)．故f(x)也无极值．综上所述，当a<0或a>4时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时f(x)无极值点．B级：能力提升练1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案 C解析因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以在x＝－2附近的左侧，f(x)单调递减，即f′(x)<0；在x＝－2附近的右侧，f(x)单调递增，即f′(x)>0.故在x＝－2附近的左侧有y＝xf′(x)>0；在x＝－2附近的右侧有y＝xf′(x)<0.所以可排除选项A，B，D，只有选项C满足这一条件．而且当x＝0时，xf′(x)＝0，选项C也满足这一条件．故选C.2．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)e x，讨论g(x)的单调性．解(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′⎝⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a·169＋2·⎝⎛⎭⎪⎫－43＝16a3－8 3＝0，解得a＝12.(2)由(1)得g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x，故g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫32x2＋2x e x＋⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋52x2＋2x e x＝12x(x＋1)(x＋4)e x.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．。
高中数学《函数的最大(小)值与导数》导学案
1.3.3函数的最大(小)值与导数1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得□01最大值和□02最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的□03极值；(2)将函数y＝f(x)的□04各极值与□05端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况：如图，图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)设函数f (x )＝e 2x ＋3x (x ∈R )，则f (x )________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． (3)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.答案 (1)无 (2)15 (3)1探究1 求已知函数的最值例1 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4A ． 当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (0<a ≤2)，0(2<a <3).综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2)，0(a >2).[条件探究] 将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？ [解] 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ．当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.拓展提升常见结论(1)当f (x )的图象连续不断且在[a ，b ]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(2)当图象连续不断的函数f (x )在(a ，b )内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取到最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是无穷区间．【跟踪训练1】 (1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，又f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2π3或x ＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. 探究2 由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得 x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 拓展提升由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．【跟踪训练2】已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴在(－1,3)上f(x)单调递增，又∵f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2，∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.探究3与函数最值有关的综合问题例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1.由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t＞0，得t＝1，当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max＝1.h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立，即g(t)＜m在(0,2)内恒成立，当且仅当g (t )max ＝1＜m ，即m ＞1时上式成立， ∴实数m 的取值范围是(1，＋∞)． 拓展提升(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； ②f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min ； ③f (x )＞g (x )恒成立⇔[f (x )－g (x )]min ＞0；④a ＞f (x )能成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )能成立⇔a ＜f (x )max .【跟踪训练3】 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a3，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3上单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．其中正确的命题个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12，－8 B．1，－8 C．12，－15 D．5，－16答案 A解析y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时y ＝1，当x＝－1时y＝12，当x＝1时y＝－8.所以y max＝12，y min＝－8.故选A．3．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．答案－16解析由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝2或x＝－2，又f(－2)＝－16，f(－3)＝－9，f(2)＝16，f(3)＝9.故最小值为－16.4．当x＝________时，函数f(x)＝x·e x取得最小值．答案－1解析 由f ′(x )＝e x (1＋x )＝0，得x ＝－1，当x <－1时，f ′(x )<0；当x >－1时，f ′(x )>0，所以当x ＝－1时，f (x )取得最小值f (－1)．5．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－13或x ＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数f (x )＝x 3－12x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．17,1 D ．9，－19 答案 C解析 令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，f (－2)＝17，f (－3)＝10，f (0)＝1，所以最大值为17，最小值为1，故选C ．2．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2 答案 B解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0解得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )为单调增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )为单调减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值，也是最大值．故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为π6.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A．0≤a＜1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<1 2答案 B解析令f′(x)＝3x2－3a＝0，解得x＝±a，∵f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，∴0<a<1，∴0<a<1.4．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1，11) B．(－1,2)C．(－1,2] D．(1,4)答案 C解析∵f′(x)＝－3x2＋3，当x∈(－1,1)时f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)或(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当x＝－1时f(x)取极小值－2.由题意知f(x)在(a2－12，a)端点处函数值不能取到，∴a2－12<－1<a，解得－1<a<11.又f(2)＝－2，即x＝2时，与x＝－1处极小值相等．为保证最小值在x＝－1 处取到，则a≤2，即－1<a≤2.5．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是()A．m≥32B．m>32C．m≤32D．m<32答案 A解析f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f(x)min＝f(3)＝3m－272，由f(x)＋9≥0恒成立得f(x)≥－9恒成立，即3m－272≥－9，所以m≥3 2.6．若函数f(x)＝1e x－x＋m的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＜－1 D．m≤－1 答案 A解析因为f(x)＝1e x－x＋m的定义域为R，所以e x－x＋m≠0恒成立．令g(x)＝e x －x ，则g ′(x )＝e x －1，所以g (x )在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增．所以g (x )min ＝g (0)＝e 0－0＝1.因为∀x ∈R ，g (x )≥1恒成立，即g (x )－1≥0恒成立，所以m ＞－1.二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．答案 20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－1(舍去)．因为f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a ，所以M ＝18－a ，N ＝－2－a ，所以M －N ＝20.8．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134解析 f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.9．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e12 ，且0<x <e12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0，∴x ＝e12 时，g (x )取最大值g (e12)＝e ，∴a ≥e.三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解 (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，所以f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2.又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3，所以3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，所以a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如表：所以f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4，所以f (x )在[－3,1]上的最大值为13.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －A ．若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a ＋1>0，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．解 (1)f ′(x )＝1x －a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a .当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2 a ．②当1a≥2，即0<a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－A．③当1<1a<2，即12<a<1时，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，所以当12<a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2 a．综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．3 《函数的最值与导数》导学案
编写人： 审核人： 编写时间：2014.3.30
班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________
【学习目标】
1.理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2.掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.
【学习重难点】
重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法
难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系
【学法指导】
1，熟读课本96到98页，认真完成导学案 2，注意双色笔的使用
【知识链接】
复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的________点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值
复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.
【基础预习】
问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ； 在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .
新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.
试试：
上图的极大值点为 ，极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 .
反思：
1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 ________________条件。
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
【合作探究】
例1 求函数31()443
f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.
小结：求最值的步骤
(1)
（2）
图1
图2
A1. 求函数
3
()3,[0,2]f x x x x =-∈的最值．
思考：若把A1中改为(0,2)x ∈，求最值
例2 . 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-. （1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．
【反馈检测】
A1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 A2． 函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 A3.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________.
A4..函数f (x )=sin x －x 在［－2π,2
π
］上的最大值为_____；最小值为_______.
B5．函数f (x )＝x 3
－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为 A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <1
2
C6.设213
a <<，函数
323()2f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1
，最小值为，求函数的解析式.
知识拓展
利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.
【归纳小结】
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.
学习反思： 我的疑惑：。