2012北京丰台高三一模文科数学答案
数学2012年高三一模试题及答案整理(朝阳、海淀、丰台)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分 易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分 因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ， 所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥． 又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分 又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ． （题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得． （题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确． （题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<； ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ． 【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分） 椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值． 【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=， 所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学文)(2)：函数.pdf
二、函数（必修一） 10．（2012高考模拟）函数的图象大致是（ C ） 11．已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是（ D ） A． B． C． D． 7．（2012东城一模文科）已知函数其中的图象如右图所示，则函数的图象大致为（ A ） A． B． C． D． 8. （2012东城一模文科）设集合，函数，且则的取值范围是 A． (] B．(] C．() D．[0，]8．满足，当时，．若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ B ）A . (1，5)B .C .D . 13．设函数，则实数的取值范围是 14．（2012石景山一模文科）集合 现给出下列函数：①，②，③，④， 若 时，恒有则所有满足条件的函数的编号是 ． 答案: ①④ 8. （2012高考仿真文科）已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为（ A ） A． B． C． D． 7. （2012朝阳一模文科）某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 管理费不少于14万元，则的最大值是（ D ） A. B. C. D. 8. （2012朝阳一模文科）函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为（ C ） A. B. C. 或 D. 或 13. （2012朝阳一模文科）已知函数则的值为 ； 函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 . 答案14. （2012朝阳一模文科）已知集合，集合.若为坐标原点，，为集合所表示的平面区域与集合所表示的平面区域的边界的交点,则的面积与的关系式为 ． 答案： 7. （2012东城示范校二模文）已知函数则下列结论正确的是C ） A． B． C． D．13. （2012东城示范校二模文）已知函数是偶函数，则的图象与轴交点纵坐标的最小值为. 16 14. （2012东城示范校二模文）函数的定义域为A，若且时总有， 则称为单函数．例如函数=2x+1()是单函数． 下列命题： ①函数（xR）是单函数； ②指数函数（xR）是单函数； ③若为单函数，且，则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） ②③④ 4．（2012房山一模文科）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ D ） A． B． C． D． 13．（2012房山一模文科）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为___千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为__万元． 答案：2,20; 14．（2012房山一模文科）设函数，，，（）,则方程有___个实数根，方程有___个实数根． 答案：4， 7．（2012海淀一模文科）已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是（ A ） A． B． C． D． 或 13．（2012海淀一模文科）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . 答案： 14．（2012海淀一模文科）已知函数 则； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . 函数是偶函数； 任取一个不为零的有理数，对恒成立； 存在三个点使得为等边三角形. 答案：1 ①②③ 4．（2012门头沟一模文科）函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是（ C ） A．B．C．D． 8. （2012门头沟一模文科）给出定义：若(其中为整数)，则叫离实数最近的整数，记作，已知，下列四个命题： ①函数的定义域为，值域为； ②函数是上的增函数； ③函数是周期函数，最小正周期为1； ④函数是偶函数， 其中正确的命题的个数是（ B ） A． 4B． 3 C．2D． 1 8．（2012密云一模文科）给出定义：若（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作=m. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数y=的定义域为R，值域为； ②函数y=的图像关于直线（）对称； ③函数y=是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=在上是增函数. 其中正确的命题的个数为 （ C ） A．1 B.2 C. 3 D. 4 12．（2012密云一模文科）如图2所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则 ， ． 答案：3；－1 14. （2012师大附文科） 设函数，，，，则方程有 个实数根。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学文)(5)数列
五、数列（必修五）3．（2012高考模拟文科）在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（ A ）A ．22B ．23C ．24D ．254．（2012东城一模文科）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等差数列，则x y z ++的值为 （ C ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-14．（2012东城一模文科） 已知数列{}n a ，1a m =，m *∈N ，1,21,2nn n n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数,为奇数.若{}n a 中有且只有5个不同的数字，则m 的不同取值共有 个． 答案：87．（2012丰台一模文科）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若a 1=1，且22a ，3S ，42a +成等差数列，则数列}{2n a 的前5项和为（ A ） A .341 B .31000C .1023D .1024 10．（2012石景山一模文科）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若0,141=+=k a a a ，则k =________． 答案: 104. （2012高考仿真文科）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则7698a a a a ++等于（ C ）A ． 21+B ． 21-C ． 223+D ． 223-4. （2012朝阳一模文科）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =（ B ）A. 16-B. 16C. 31D. 324. （2012东城示范校二模文）设数列{}n a 满足：12()n n a a n *+=∈N ，且前n 项和为n S ，则42S a 的值为（ A ）A.152B. 415C. 4D. 28．（2012房山一模文科）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）．在以下数列 ⑴{}21n +;（2）29211n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭; （3）42n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭;（4）1{1}2n- 中属于集合W 的数列编号为 （ D ） A ．（1）（2） B ．(3) (4) C ．（2）（3） D ． (2) (4)2．（2012海淀一模文科）在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（ B ）A ． 26B ． 40C ． 54D ． 804．（2012密云一模文科）已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（ C ）A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭12. （2012师大附文科）已知数列}{n a 的通项公式为|13|-=n a n ，那么满足102191=++++k k k a a a 的正整数=k 。
北京市丰台区20112012学年度高三第一学期期
北京市丰台区2011—2012学年度高三第一学期期末练习（数学文） 2012.01 高三数学（文科）第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x ∣x<4}，B={x ∣x2<4}，则(A) A ⊆B(B) B ⊆A(C) A ⊆RB(D) B ⊆RA2．在复平面内，复数1+ii -对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，1x x >，命题q ：x R ∀∈，20x >，则(A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题 (C) 命题()p q ∨⌝是假命题(D) 命题()p q ∧⌝是真命题4．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中Pn 为预测人口数，P0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (A) 13(B)23(C) 1(D) 2俯视图侧视图正视图6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 650 (B) 1250 (C) 1352 (D) 50007．若函数21()log ()f x x ax =+-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是25(log ,1)2--(B) (1,)+∞25(0,log )225(1,log )28．如图，P 是正方体ABCD —A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是yxO(A)yxO(B)yxO(C) yxO(D)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 ．10．已知函数2log ,(0),()2,(0).xx x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若1()2f a =，则a= ． 11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间[8,10) 上的频数是 ． 12．若向量a ，b 满足2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于___．13．设Sn 是等比数列{an}的前n 项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q 等于 ．14．函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()'()2f x f x x xf x x -+=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x ；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数序号） D 1C 1B 1A 1PDCBA三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21tan αα-的值．16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是CC1，AB 的中点． （Ⅰ）求证：CN ⊥AB1；（Ⅱ）求证：CN //平面AB1M ．17.（本小题共13分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班.（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率. NMC 1B 1A 1CB A18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O为圆心的圆与直线40x --=相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）已知函数x x bax x f ln 2)(++=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值；（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．20.（本小题共13分）函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*n N ∈且2n ≥）．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常数， *n N∈且2n ≥)，求k 的值；（Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，*ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果(1)m nmn S S +的值与n 无关，求k 的值．丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012．01 高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
2012年北京市高考数学(文科)试题及标准答案详解
20 2 xy ２01２年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(北京卷)本试卷共5页，1５0分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B =(A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- （Ｃ）2(,3)3-(D)(3,)+∞ 【解析】和往年一样，依然是集合（交集）运算,本次考察的是一次和二次不等式的解法。
利用一次、二次不等式的解法2{|}3A x x =>-,{|13}B x x x =<->或并画出数轴图易得答案:D2.在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（A)(1,3) （B ）(3,1) （C)(1,3)- （D ）(3,1)-【解析】考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
因为10133ii i=++,实部为1,虚部为3,对应复平面上的点为(1,3) 答案：A 3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A)4π （B ）22π- (C ）6π(D ）44π-【解析】一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划,圆的概念和面积公式，几何概型。
题目中 表示的区域如右图正方形所示,而动点Ｄ可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分,因此所求概率是44π- ,答案:D 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 (A)2 （B ）4 （Ｃ）8 （D ）１６【解析】考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻,以及简单整数指数幂的计算。
当ｋ＝3时 ，循环结束,此时输出的Ｓ为8,答案:Ｃ5．函数的零点个数为（A ）0 （Ｂ）1 （C)2 (D)3【解析】表面上考查的是零点问题，实质上是函数图象问题(单调性)的变种,该题所涉及到的图像为幂函数和指数函数混合运算后的零点,即令()0f x = 。
丰台区2012年高三一模文科答案
丰台区2012年高三一模文科答案丰台区2022年高三年级第二学期数学统一练习（一）数学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(0,1) 10．(4, 11．212．50，0.12 13．3 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：（Ⅰ）（法1）因为asinB bcosC ccosB，由正弦定理可得sinAsinB sinBcosC sinCcosB．3分即sinAsinB sinCcosB cosCsinB，所以sin(C B) sinAsinB．4分因为在△ABC中，A B C ，所以sinA sinAsinB 又sinA 0，5分所以sinB 1，B 所以△ABC为B．2的直角三角形．6分2（法2）因为asinB bcosC ccosB，a2 b2 c2a2 c2 b2c 由余弦定理可得asinB b ，4分2ab2ac所以asinB a．因为a 0，所以sinB 1．5分所以在△ABC中，B 所以△ABC为B．2的直角三角形．6分2（Ⅱ）因为f(x) sinx+cosx x )，8分4所以f(A) A )．9分4因为△ABC是B 的直角三角形，2所以0 A ，10分2所以A ，11分444所以sin(A ) 1．12分4即f(A) 13分16．解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，3分则P(A)2022年，5分__1 P(A) ．6分3323所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．33（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为ai （i=1，2），教龄在5至10年的教师为bi（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)共15个．9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，10分包括的基本事件为(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4) 共8个，11分8．13分15所以恰有一人教龄在5年以下的概率是．15则P(B)17．证明：（Ⅰ）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．1分因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60，P所以AB=BD，又因为E是AD的中点，Q所以AD⊥BE．2分因为PE∩BE=E，3分所以AD⊥平面PBE．4分C（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ．E5分A因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA．7分因为PA 平面BDQ，OQ 平面BDQ．8分所以PA // 平面BDQ．9分（Ⅲ）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，11SBCDEh1，VQ-ABCD=SABCDh2．10分333因为VP-BCDE =2VQ - ABCD，且底面积SBCDE=SABCD．12分4所以1 ，13分h23CP8hCP．14分因为1 ，所以CQ3h2CQ所以VP-BCDE=18．解：（Ⅰ）f (x) x2 2ax，1分f (1) 1 2a，2分因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行所以1 2a 1，3分所以a 1．4分（Ⅱ）令f (x) 0，5分即f (x) x(x 2a) 0，所以x 0或x 2a．6分因为a0，所以x 0不在区间(a，a2-3)内，要使函数在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需a 2a a 3．7分所以a 3．9分（Ⅲ）证明：令f (x) 0，所以x 0或x 2a．因为a2，所以2a4，10分所以f (x) 0在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．又因为f(0) 1 0，f(2)211 12a0，11分3所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点．13分19．解：（Ⅰ）依题意a22c，所以c 2分a2因为a b c，所以b 3分x2y2 1．椭圆方程为5分42（Ⅱ）因为直线l的斜率为1，可设l：y x m，6分x2 2y2 4则，y x m消y得3x 4mx 2m 4 0，7分20，得m 6．22因为A(x1,y1)，B(x2,y2)，4m2m2 4所以x1 x2 ，x1x2 ．8分33y16y16y2设直线MA：y ；同理yQ ．9分(x 2)，则yPx1 2x2 2x1 21111，y1y2yPyQx 2x2 2x 4x2 466，即1 1 0．10分6y16y26y16y26y16y2所以所以(x1 4)y2 (x2 4)y1 0，所以(x1 4)(x2 m) (x2 4)(x1 m) 0，2x1x2 m(x1 x2) 4(x1 x2) 8m 0，2m2 44m4m2 m( ) 4( ) 8m 0，3338 8m0，所以m 1 (．12分342所以x1 x2 ，x1x2 ．33所以设△ABM的面积为S，直线l与x轴交点记为N，所以S|MN| |y1 y2| |x1 x2| 14分222所以△ABM20．解：（Ⅰ）当n 1时a1 S1 21 1 1；当n 2时an Sn Sn 1 (2n 1) (2n 1 1) 2n 1，因为a1 1适合通项公式an 2n 1．所以an 2n 1(n N)．5分*（Ⅱ）因为bn 1 2bn 8an，所以bn 1 2bn 2n 2，bn 1bnn 2．n 122bb1所以{n是首项为=1，公差为2的等差数列．212nb1 2(n 1) 2n 1，所以n2n即所以bn (2n 1) 2n．9分（Ⅲ）存在常数使得不等式( 1)n1(n N*)恒成立．Tn 1 6n 12 ① n( 2 3) 2n (2 n 1)12因为Tn 1 2 3 2 53 2所以2Tn 1 22 3 23 (2n 5) 2n-1+(2n 3) 2n (2n 1) 2n 1 ②34 1由①-②得Tn 2 2 2 n2n 1，(n2 1)2化简得Tn (2n 3) 2n 1 6．11211Tn 6(2n 3 )n 2n2 3 因为=，n 22Tn 1 6(2n 1 )2n 424n 222n 1T 6（1）当n为奇数时，( 1) 1 n，Tn 1 631T 6所以1 n，即．22n 1Tn 1 63111所以当n=1时，的最大值为，所以只需；22n 122T 6（2）当n为偶数时，1 n，Tn 1 631所以，22n 13177所以当n=2时，的最小值为，所以只需；22n 16617T 6n由（1）（2）可知存在，使得不等式( 1) 1 n(n N*)恒成立．。
2012年高考数学一模试题分类解析(1) 集合 文
集合（必修一）1．（2012高考模拟文科1）若集合211{|log (1)1},{|()1}42x M x x N x =-<=<<，则M N = （ A ） A ．{|12}x x << B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x << 1．（2012丰台一模文科）已知集合A ={x ∣x 2≤9}，B ={x ∣x <1}，则A ∩B =（ C ）A .{x ∣x ≤3}B . {x ∣-3<x <1}C .{x ∣-3≤x <1}D . {x ∣-3≤x ≤3}1．（2012石景山一模文科）设集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M 等于（ B ）A ．(1,1)-B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1,0)-1.（2012高考仿真文科）设集合{}01|2<-=x x M ，{}12|>=x x N ，则N M ⋃等于（ A ）A ． {}1|->x xB ． {}11|<<-x xC ． {}0|>x xD ． {}10|<<x x1. （2012东城示范校二模文）已知集合A ={}2,x x x ≤∈R , B ={}240,x x x x ->∈Z ,则A B 等于（ D ）A ．（1，2）B ．[1，2]C ．(1，2]D ．{1，2} 1．（2012房山一模文科）设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U ( B )A ． {}10><x x x 或B ． {}2101≤<<≤-x x x 或C ． {}2101≤≤≤≤-x x x 或D ． {}21>-<x x x 或1．（2012海淀一模文科）已知集合2{|1}Ax x ，{|(2)0}B x x x ，那么A B =（ C ）A ．B ． {1}C ． {1}D ． {1,1} 1. （2012门头沟一模文科）已知集合}032|{2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有（ D ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个1.（2012密云一模文科）设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是（ B ）A ． M=P B.M ∪P=P C.M ∪P=M D.M ∩P=P1. （2012师大附文科）设集合{}4,3,2,1=U ，{}05|2=+-∈=p x x U x M ，若{}3,2=M C U ，则实数p 的值为（ B ）A. －4B. 4C. －6D. 61．（2012西城一模文科）已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ C）A ． (2,2)- B ． (1,2)- C ． (1,2) D ． (1,4)。
北京市丰台区高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案.pdf
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是 (A) (B) (C) 4 (D) 8 3．“”是“”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 (A) (B) (C) (D) 5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是 (A) (B) (C) (D) 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为. (A)3 (B)6 (C) 7(D) 10 7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是 (A) ，1 (B) 1， (C) ，1 (D) 1， 8．已知函数f(x)=,且，则 (A) 都有f(x)>0 (B) 都有f(x)0 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______． 10．不等式组表示的平面区域的面积是___________. 11．设 . 12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是 ． 13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本题共13分 ）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B． （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围． 16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点． （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 17．（本题共13分 ） 如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. ()求证：MN平面 BCC1B1; ()求证：平面A1BC平面A1ABB1． 18．（本题共14分 ） 已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间； （）若的极小值为-1，求的极大值. 19．（本题共13分 ） 曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （）当m=， 时，求椭圆的方程； （）若，求m的值． 20．（本题共14分 ） 已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （）求、的坐标； （）求数列的通项公式； （）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由. 丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案 一、选择题 题号12345678答案BACCBDAB二、填空题： 9．20； 10.； 11. 3； 12．- （写给3分）； 13．2； 14． (第一个空2分,第二个空3分) 三．解答题 15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B. （）求集合A，B； （）若集合A，B满足,求实数a的取值范围. 解：（）A=, ==， ….…………………..……4分 B. ..……………………………………………….…...7分 （），．..….…………………………………………… 9分 或， 实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点． （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （） 若AB=, 求的值. 解：（）根据三角函数的定义得， ， ，……………………………………………………2分 的终边在第一象限，． ……………………………………3分 的终边在第二象限， ． ………………………………4分==+=．………7分 （）方法（1）AB=||=||，……………………………9分 又， …………11分 ． ． ……………………………………………………………13分 方法（2），………………10分=．…………………………………13分 17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点. ()求证：MN平面 BCC1B1; ()求证：平面A1BC平面A1ABB1. 解：()连结BC1 点M , N分别为A1C1与A1B的中点， ∥BC1．........................................................4分 ， MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分 ()∵， 平面， ．...................................................................................................... 9分 又ABBC， ， ．....................................................................................... 12分 ∵， 平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分 18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （）求的单调区间； （）若的极小值为-1，求的极大值. 解：（）．…2分 令， ， 的零点就是的零点，且与符号相同． 又， 当时，>0,即， 当时，<0,即， ………………………………………6分 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （）由（）知，=0是的极小值点，所以有 解得． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为． 又由（）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数的极大值为． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （）当m=， 时，求椭圆的方程； （）若，求m的值． 解：设C1的方程为,C2的方程为（）． …..2分 C1 ,C2的离心率相同， ,∴，………………………………..……………………3分 C2的方程为． 当m=时，A,C．………………………………….……5分 又, ∴，解得a=2或a=(舍)， ……………………………...………..6分 C1 ,C2的方程分别为，． …………………………..7分 （）由（）知A(-,m),C(,m) ．……………….……………9分 OC⊥AN， （）． ……………………………............................................…10分=（,m），=（,-1-m)， 代入（）并整理得2m2+m-1=0， ………………………………………………12分 ∴m=或m=-1(舍负) ， m=． ……………………………………………………………………13分 20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形. （）求、的坐标； （）求数列的通项公式； （）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由. 解：（）?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B0A1的方程为y=x． 由 得，，得A1（2，2），． ….…….…….…......3分 （）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得， ，即 ．（*）…….………………………..5分 和均在曲线上， ， ，代入（*）式得， ()．………………… …………………………..…..….…..7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 故其通项公式为() ． …………....…………………………...……..8分 （）由（）可知，， ….……………………………………………9分 ，……………………..……………………………….…10分 ，， ==，…………….……..11分 ． …………………….……12分 欲使，只需3? n=n+1 输出S S=0, n=0 结 束 开 始。
2012届北京市高三一模文科数学分类汇编5：立体几何
2012北京市高三一模数学文分类汇编:立体几何【2012年北京市西城区高三一模文】5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形,32=AB所以左视图的面积为34232=⨯,选A 。
【2012北京市门头沟区一模文】己知某几何体的三视图如右图所示,则其体积为(A ） 4(B ） 8 （C)43(D)23【答案】A【2012北京市海淀区一模文】（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示,那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是 . 22俯视图2【答案】23 22【2012北京市房山区一模文】3．一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为( ）【答案】A【2012北京市东城区一模文】（9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 .【答案】43【2012北京市朝阳区一模文】10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .（A ）32 （B)2 （C)4（D ）5【答案】32【2012北京市朝阳区一模文】5。
关于两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //【答案】C【2012北京市丰台区一模文】4．若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．202π-B ．2203π-C ．2403π-D ．4403π-【答案】B【2012北京市石景山区一模文】4。
设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面,下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确.【2012北京市石景山区一模文】7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ )A ．4383+B ．283+C ．2383+D ．323【答案】A【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。
2012北京市高三一模文科数学分类汇编3：三角函数.pdf
2012北京市高三一模数学文分类汇编：三角函数 【2012年北京市西城区高三一模文】11. 函数的最小正周期为_____． 【答案】 【解析】函数，所以周期为。
【2012北京市门头沟区一模文】10. 在中，已知，，，则的面积是 ． 【2012北京市门头沟区一模文】已知，则等于 (A) (B)(C)(D) 【答案】C 【2012北京市海淀区一模文】（10）若，则= . 【答案】 【2012北京市房山区一模文】12．已知函数（>0, ）的图象如图所示，则=____，=___. 【答案】2， 【2012北京市东城区一模文】（6）已知，且，则的值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【2012北京市朝阳区一模文】9.若,，则 . 【答案】 【2012北京市石景山区一模文】3.函数的图象（ ） A．关于对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【答案】A 【解析】函数的图象关于对称，选A. 【2012北京市石景山区一模文】15．（本小题满分13分） 在中，角，所对应的边分别为，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的面积. 【答案】解：（Ⅰ）∵ ，由正弦定理，得 ∴ ． …………2分 ∴ ，………4分 ∵ , ∴ ∴ ． 又∵ ， ∴ ． …………6分 （Ⅱ）由正弦定理，得 …………8分 …………11分 ． …………13分 【2012北京市朝阳区一模文】15. （本题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）若，其中 求的值； （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】解：（Ⅰ）因为，且， …………1分 所以. .…………5分. （II）====. .…….…..10分 当时，. 则当时，的最大值为；当时，的最小值为. ………13分 【2012北京市门头沟区一模文】15.（本小题满分13分） 已知向量，，函数．I）求函数的最小正周期； （II）若，求函数的值域．I）由已知……2分 化简，得……4分 函数的最小正周期……6分 （II），则，……8分 所以……10分 函数的值域是……13分 【2012年北京市西城区高三一模文】15.（本小题满分13分） 在△中，已知． （）； （），△的面积是，求． 【答案】（Ⅰ）解：由，得． ……3分 所以原式化为． …………4分 因为，所以 ， 所以 ． …………6分 因为， 所以 ． …………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理， 得 ．………9分 因为 ，， 所以 ． …………11分 因为 ， 所以 . ………13分 【2012北京市海淀区一模文】（15）（本小题分） . （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）在中，角，，的对边分别为. 已知，，试判断的形状. 【答案】解：（Ⅰ） ………………………………………2分 . ………………………………………4分 由， 得：. 所以 的单调递增区间为，. ………………………………………6分 （Ⅱ）因为 ， 所以 .所以. ………………………………………7分 因为 ，所以 . 所以 . ………………………………………9分 因为 ，， 所以 . ………………………………………11分 因为 ，，所以 .所以 . 所以 为直角三角形. ………………………………………13分 【2012北京市东城区一模文】（15）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值. 【答案】解：（Ⅰ）因为 , …………6分 所以函数的最小正周期为. …………8分 （Ⅱ）依题意,[] . …………10分 因为，所以. …………11分 当，即时，取最大值； 当，即时， 取最小值. …………13分 【2012北京市房山区一模文】15．（本小题共13分） 已知中，内角的对边分别为，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求的面积． 【答案】解：（Ⅰ）∵为的内角，且，， ∴ ………………………………………4分 ∴ ………………………………………7分 （Ⅱ）由（I）知， ∴ ………………………………………8分 ∵，由正弦定理得 ……………………………………11分 ∴ ……………………………………13分 【2012北京市丰台区一模文】15．（本小题共13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （I）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若，求f（A）的最大值． 【答案】。
2012北京丰台高考一模数学文(含解析)
侧视图俯视图丰台区2012年第二学期统一练习（一）高三数学试卷（文科）2012．3第一部分（选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}29A x x =≤，{}1B x x =<，则A B =I （ ）．A ．{}3x x ≤B ．{}31x x -<<C ．{}31x x -≤<D ．{}33x x -≤≤2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）．A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<3．若变量,x y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（ ）．A ．[3,)+∞B ．[8,3]-C ．(,9]-∞D ．[8,9]-4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．A ．202π-B ．220π3-C ．240π3-D ．440π3-5．已知向量(1,2)a =r ，(1,0)b =-r ，若()a mb a +⊥r r r，则实数m 等于（ ）． A ．5- B ．52C ．0D ．56．若函数1(),0,()2,0,xx f x x a x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩则“1a =”是“函数()y f x =在R 上单调递减”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且22a ，3S ，42a +成等差数列，则数列2{}n a 的前5项和为（ ）． A ．341 B ．10003C ．1023D ．10248．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =．若函数()()log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,5B ．1(0,)[5,)5+∞UC ．1(0,][5,)5+∞UD ．1[,1)(1,5]5U第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数1i1i+-对应的点的坐标为____．10．已知抛物线28y x =上一点P 到焦点的距离是6，则点P 的坐标是_____．11．已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x a =时取到最小值，则a =________．12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力， 将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在 [5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是 ；样本数据在[3.8,4.2)内的频率．． 是 ．13．执行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为10，则0a =____．14．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-， 则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断ABC △的形状；（Ⅱ）若()sin +cos f x x x =，求()f A 的最大值．对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，,60PA PD BAD =∠=o ，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ； （Ⅲ）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CPCQ的值．DCBQPEA已知函数321()13f x x ax =-+ ()a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在()()11f ，处的切线与直线10x y ++=平行，求a 的值；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x =在区间()2,3a a -上存在极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若2a >，求证：函数()y f x =在()0,2上恰有一个零点．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接,MA MB 并延长交直线4x =于,P Q 两点，设,P Q y y 分别为点,P Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求ABM △的面积．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-．数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}2n nb为等差数列，并求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式16(1)16nn n T T λ+--<+-*()n ∈N 恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．丰台区2012年第二学期统一练习（一）高三数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(0,1) 10．(4,± 11 12．50， 0.12 13．3 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（Ⅰ）解：（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． …………3分 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+，所以sin()sin sin C B A B +=． ………4分 因为在ABC △中，A B C ++=π，所以sin sin sin A A B =，又sin 0A ≠， ……………5分所以sin 1B =，2B π=． 所以ABC △为2B π=的直角三角形． ……6分（法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， ……………4分所以 sin a B a =．因为0a ≠，所以sin 1B =． ………………5分 所以在ABC △中，2B π=． 所以 ABC △为2B π=的直角三角形． ……………6分（Ⅱ）解：因为 ()sin +cos )4f x x x x π==+， ………8分所以())4f A A π=+． …………9分因为ABC △是2B π=的直角三角形，所以02A π<<， …………10分所以444A ππ3π<+<， …………11分sin()14A π<+≤． ……………12分 即()f A ……………13分 16．（Ⅰ）解：该校教师人数为810301866+++=，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2410420+++=．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A ， ……3分则2010()6633P A ==， ………………5分 231()33P A -=． ………………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是2333．（Ⅱ）解：设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为i a ()1,2i =，教龄在5至10年的教师为()1,2,3,4i b j =，那么任选2人的基本事件为12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个． ……………9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B ， …………10分包括的基本事件为11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b 共8个， ……………11分则8()15P B =． ………………13分 所以恰有一人教龄在5年以下的概率是815．17．（Ⅰ）证明：因为 E 是AD 的中点， PA PD =， 所以AD PE ⊥ ……………………1分 因为底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ， 所以AB BD =，又因为E 是AD 的中点， 所以AD BE ⊥． ………………2分 因为PE BE E =I ， ………………3分ODCBAQPE所以AD ⊥平面PBE ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连结OQ ．………5分因为O 是AC 中点，Q 是PC 的中点， 所以OQ 为PAC △中位线．所以OQ PA ∥． ……………………7分 因为PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ．……………………8分 所以PA ∥平面BDQ ． ……………………9分 （Ⅲ）解：设四棱锥,P BCDE Q ABCD --的高分别为12,h h ，所以113P BCDE BCDE V S h -=⋅，213Q ABCD ABCD V S h -=⋅． ………10分因为2P BCDE Q ABCD V V --=，且底面积34BCDE ABCD S S =． …………12分所以1283h h =， ………13分因为12h CP h CQ =，所以83CP CQ =． ……………14分 18．（Ⅰ）解：2()2f x x ax '=-， ……………1分(1)12f a '=-， ……………2分因为曲线()y f x =在()()11f ，处的切线与直线10x y ++=平行所以121a -=-， …………3分 所以1a =． ……………4分 （Ⅱ）解：()0f x '=， ……5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以0x =或2x a =． ……………6分因为0a >，所以0x =不在区间()2,3a a -内，要使函数在区间()2,3a a -上存在极值，只需223a a a <<-． …………7分所以3a >． ………9分 （Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以0x =或2x a =．因为2a >，所以24a >， ………10分 所以()0f x '<在()0,2上恒成立，函数()f x 在()0,2内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ………11分 所以()f x 在()0,2上恰有一个零点． ……………13分19．（Ⅰ）解：依题意2a =，ca =c ……………2分 因为222abc =+，所以b =． ………………3分 椭圆方程为22142x y +=． ………………5分 （Ⅱ）因为直线l 的斜率为1，可设l ：y x m =+， ……………6分则2224x y y x m ⎧+=⎨=+⎩，消y 得2234240x mx m ++-=， ………………7分 0∆>，得26m <．因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 1243m x x +=-，212243m x x -=． ……………8分设直线11:(2)2y MA y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+．……………9分因为121111P Q y y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+，即121244066x x y y --+=． ………10分 所以1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=，1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m m m m -⋅+----=，所以8803m--=，所以1m =-∈． …………12分 所以1243x x +=，1223x x =-．设ABM △的面积为S ，直线L 与x 轴交点记为N ，所以1212133||||||222S MN y y x x =⋅⋅-=⋅-=分所以ABM△20．（Ⅰ）解：当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=， 因为11a =适合通项公式12n n a -=．所以12n n a -=*()n ∈N ． ………………5分 （Ⅱ）证明：因为128n n n b b a +-=，所以2122n n n b b ++-=，即11222n nn nb b ++-=． 所以{}2n n b 是首项为11=12b ，公差为2的等差数列． 所以12(1)212n n bn n =+-=-，所以(21)2n n b n =-⋅． ………………9分 （Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式16(1)16nn n T T λ+--<+-*()n ∈N 恒成立．因为1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ① 所以2n T =23-111232(25)2+(23)2(21)2n n n n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅L ② 由①-②得34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅L ， 化简得 1(23)26n n T n +=-⋅+．因为1216(23)2231211=6(21)242242221n n n n T n n T n n n n +++--⋅-==-=---⋅---，（1）当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，所以1616n n T T λ+->---， 即31221n λ>-+-．所以当=1n 时，31221n -+-的最大值为12-，所以只需12λ>-；（2）当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，所以31221n λ<--，所以当=2n 时，31221n --的最小值为76，所以只需76λ<；由（1）（2）可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16n nnTTλ+--<+-*()n∈N恒成立．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）北京市丰台区高三一模试卷 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】C【解析】解：当{}{}2|933A x x x =≤=-≤≤，{}|31A B x x =-≤<I ． 故选C ．2．【答案】B【解析】解：易知 4.20.61a =<，0.471b =>，0.6log 70c =<． 故选B ．3．【答案】D【解析】解：由题可知,x y 满足的区域为如图 的阴影部分ABC ，易知当直线过点()1,1A --时，min 8z =-； 易知当直线过点()3,0A 时，max 9z =． 故选D ．4．【答案】B【解析】解：由三视图可知该立体图形为 一个底面边长为2，高为5的正四棱柱去掉 一个直径为2半球，故3142225π120π233V =⨯⨯-⨯⨯=-．故选B ．5．【答案】D【解析】解：可知()1,2a mb m +=-r r ， 因为()a mb a +⊥r r r，所以()()()1,21,2140a mb a m m +⋅=-⋅=-+=r r r，即5m =．故选D ．6．【答案】A【解析】解：当1a =时，函数的图像如图， 满足题意；函数()y f x =在R 上单调递减， 可得1a ≥． 故选A ．7．【答案】A【解析】解：由题可知2a q =，34a q =，231S q q =++，若22a ，3S ，42a +成等差数列，则()232122q q q q ⨯++=++，故2q =，所以数列2{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列，所以()551141023341143S ⎡⎤⨯-⎣⎦===-． 故选A ．8．【答案】B【解析】解：定义在R 上的函数()y f x =满足()(2)f x f x +=， 所以()f x 的周期为2，当11x -<≤时，3()f x x =．可通过平移画出函数()f x 的图像． 函数()()log a g x f x x =-至少有6个零点， 等价于()y f x =与log a y x =图像至少有6个交点．画出()f x 与15log y x=的图像，知10,5a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭图像至少有6个交点画出()f x 与5log y x =的图像，知[)5,a∈+∞图像至少有6个交点．故选B ．二、 填空题 9．【答案】(0,1) 【解析】解：由题可知1i 1i 1ii 1i 1i 1i+++=⋅=--+． 故答案为(0,1)．10．【答案】(4,±【解析】解：由题可知准线方程为2x =-， 故点(),P x y 满足条件()26x --=，故4x =，所以y ==±故答案为(4,±．11【解析】解：因为0x >，由均值知识可知31211x x ++≥++当且仅当32x x x =⇒=时， 等号成立．12．【答案】50， 0.12【解析】解：设总数为n 则2500.10.4n ==⨯；可知()10.40.10.150.7 1.250.12p =-⨯+++=． 故答案为50， 0.12．13．【答案】3【解析】解：可列表故0010901203a a +=⇒=． 故答案为3．14．【答案】①④【解析】解：对于①()32f x x =+，'()3f x =，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-， 得'()3f ξ=，所以[]0,1ξ∈有无数个中值点．符合题意．对于②2()1f x x x =-+，'()21f x x =-，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-，得'()0f ξ=，1210,2ξξ-==只有一个中值点，不合题意． 对于③()ln(1)f x x =+，'1()1f x x =+，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-，得'()ln 2f ξ=，11ln 2,11ln 2ξξ==-+只有一个中值点，不合题意． 对于④31()()2f x x =-，'21()3()2f x x =-，由'(1)(0)()(10)f f f ξ-=⋅-，得'1()4f ξ=，2113()=24ξξ-，2个中值点．符合题意．故答案为①④．。
2012学年高考文科数学年北京卷答案
数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前江苏省苏州市2012年中考数学试卷数 学本试卷满分130分,考试时间120分钟.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.2的相反数是( )A .2-B .2C .12-D .122.,则x 的取值范围是 ( )A .2＜xB .2≤xC .2＞xD .2≥x3.一组数据2,4,5,5,6的众数是( )A .2B .4C .5D .74.如图,一个正六边形转盘被分成6个全等正三角形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止时,指针指向阴影区域的概率是( )A .12B .13C .14D .165.如图,已知BD 是O 直径,点A ,C 在O 上,=AB BC ,60∠=AOB ,则∠BDC 的度数是( )A .20B .25C .30D .406.如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD ,相交于点O ,CE BD ∥,DE AC ∥若4=AC ,则四边形C O D E 的周长是 ( ) A .4 B .7 C .8D .107.若点(,)m n 在函数21=+y x 的图像上,则2-m n 的值是( )A .2B .-2C .1D .-1 8.若2139273⨯⨯=m m ,则m 的值是( )A .3B .4C .5D .79.如图,将AOB △绕点O 按逆时针方向旋转45后得到△''A OB ,若15∠=AOB ,则∠'AOB 的度数是 ( )A .25B .30C .35D .4010.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点1B 在y 轴上,点1C ,1E ,2E ,2C ,3E ,4E ,3C 在x 轴上.若正方形1111A B C D 的边长为1,1160∠=B C O ,112233∥∥B C B C B C ,则点3A 到x 轴的距离是( )A.318B.118C.36D.16二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.) 11.计算：32= .12.若2=a ,3+=a b ,则2+=a ab .13.已知太阳的半径约为696000000m ,696000000这个数用科学记数法可表示为 .14.已知扇形的圆心角为45,弧长等于π2,则该扇形的半径为 . 15.某初中学校共有学生720人,该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查,并将调查结果制成了如图所示的条形统计图,由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 人.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共8页） 数学试卷 第4页（共8页）16.已知点11()，A x y ,22()，B x y 在二次函数21()1y x =+-的图像上,若121＞＞x x ,则1y 2y (填“＞”“＜”“=”).17.如图,已知第一象限内的图像象是反比例函数1=y x 图像的一个分支,第二象限内的图像是反比例函数2=-y x图像的一个分支,在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A ,B ,过点A ,B 作x 轴的垂线,垂足分别为C ,D .若四边形ACBD 的周长为8且＜AB AC ,则点A 的坐标是 .18.如图①,在梯形ABCD 中,∥AD BC ,60∠=A ,动点P 从点A 点出发,以1cm/s 的速度沿着→→→A B C D 的方向不停移动,直到点P 到达点D 后才停止.已知△PAD 的面积S (单位：2cm )与点P 移动的时间t (单位：s )的函数如图②所示,则点P 从开始移动到停止移动一共用了 s (结果保留根号).三、解答题(本大题共11小题,共76分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 19.(本题满5分)计算：01)|2|-+-.20.(本题满分5分)解不等式组：322,813(1).＜≥-+⎧⎨--⎩-x x x x.21.(本题满分5分)先化简,再求值：222441112a a aa a a -+++---,其中1a .22.(本题满分6分)解分式方程：231422+=++x x x x.23.(本题满分6分)如图,在梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB CD =,延长线段CB 到E ,使=BE AD ,连接AE ,AC . (1)求证：ABE CDA ≌△△； (2)若40∠=DAC,求∠EAC 的度数.数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）24.(本题满分6分)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家,有关数据显示,中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15,中、美两国人均淡水资源占有量之和为313800m ,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：3m )？25.(本题满分8分)在33⨯的方格纸中,点A ,B ,C ,D ,E ,F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上.(1)从A ,D ,E ,F 四个点中任意取一点,以所取的这一点及B ,C 为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；(2)从A ,D ,E ,F 四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及B ,C 为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解).26.(本题满分8分)如图,已知斜坡AB 长60m ,坡角(即∠BAC )为30,⊥BC AC ,现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE (请将下面2小题的结果都精确到0.1米,参考数据：1.732≈).(1)若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BEF )不大于45,则平台DE 的长最多为 m ；(2)一座建筑物GH 距离坡角A 点27m (即27m =AG )远,小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30.点B ,C ,A ,G ,H 在同一个平面内,点C ,A ,G 在同一条直线上,且⊥HG CG ,问建筑物GH 高为多少米？27.(本题满分8分)如图,已知半径为2的O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与O 交于点D ,连接PA PB ,,设PC 的长为4(2)＜＜x x . (1)当52=x 时,求弦PA ,PB 的长度； (2)当x 为何值时,PD CD 的值最大？最大值是多少？-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）28.(本题满分9分)如图,正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合,将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动,移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中,边AD 始终与边FG 重合,连接CG ,过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ,连接PD .已知正方形ABCD 的边长为1cm ,矩形EFGH 的边FG ,GH 的长分别为4cm ,3cm .设正方形移动时间为(s)x ,线段GP 的长为(cm)y ,其中0 2.5≤≤x .(1)试求出y 关于x 的函数关系式,并求出3=y 时相应x 的值；(2)记DGP △的面积为1S ,△CDG 的面积为2S ,试说明12()-S S 是常数； (3)当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时,求线段PD 的长.29.(本小题满分10分)如图,已知抛物线2(11144)4=-++by x b x (b 是实数且2＞b )与x 轴的正半轴分别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C . (1)点B 的坐标为是 ,点C 的坐标为是 (用含b 的代数式表示)； (2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在,求出点P 的坐标；如果不存在,请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得QCO △,QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在,求出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由.。
#2012年北京市丰台区高三一模文科数学含答案纯word版
俯视图丰台区2012年高三年级第二学期统一练习（一） 2012.3数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A ={x ∣x 2≤9}，B ={x ∣x <1}，则A ∩B =(A) {x ∣x ≤3} (B) {x ∣-3<x <1} (C) {x ∣-3≤x <1} (D) {x ∣-3≤x ≤3} 2．设a =0.64.2，0.67b =，0.6log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系是(A) c b a <<(B) c a b <<(C) a c b <<(D) a b c <<3．若变量x ，y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z =3x +5y 的取值范围是(A) [3,)+∞(B) [-8,3](C) (,9]-∞(D) [-8,9]4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A) 20-2π(B)2203-π (C) 2403-π (D) 4403-π 5．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =-，若()a mb a +⊥，则实数m 等于(A) -5 (B) 52(C) 0(D) 56．若函数1(),0,()2,0,xx f x x a x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩ 则“a =1”是“函数y =f (x )在R 上单调递 减”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件7．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若a 1=1，且22a ，3S ，42a +成等差数列，则数列}{2n a 的前5项和为 (A) 341(B)31000(C) 1023 (D) 10248．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =．若函数()()log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是(A) (1，5)(B) 1(0,)[5,)5+∞ (C) 1(0,][5,)5+∞ (D) 1[,1)(1,5]5 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数11ii+-对应的点的坐标为____． 10．已知抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离是6，则点P 的坐标是_____． 11．已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x =a 时取到最小值，则a =________． 12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是 ；样本数据在[3.8,4.2)内的频率．．是 ．13．执行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为10，则a 0=____．14．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有．．满足条件的函数的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若()sin +cos f x x x =，求()f A 的最大值．16.（本小题共13分）（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率； （Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？17.（本小题共14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A =PD ，∠BAD =60º，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ； （Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：P A // 平面BDQ ；（Ⅲ）若V P-BCDE =2V Q - ABCD ，试求CPCQ的值． 18.（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x =4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求△ABM 的面积．20.（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =-．数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：数列{}2nn b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式16(1)16nn n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2012年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（文科）参考答案DCBQ PE A9．(0,1) 10．(4,± 1112．50，0.12 13．3 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． ……………………3分 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+，所以 sin()sin sin C B A B +=． ……………………4分 因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以 sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， ……………………5分 所以 sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分 （法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， ……………………4分所以 sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． ……………………5分 所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分（Ⅱ）因为 ()sin +cos )4f x x x x π==+， ……………………8分所以 ())4f A A π=+． ……………………9分因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<， ……………………10分所以 444A ππ3π<+<， ……………………11分所以sin()124A π<+≤． ……………………12分即()f A ． ……………………13分16．解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A ， ……………………3分则2010()6633P A ==， ……………………5分 231()33P A -=． ……………………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是2333．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为i a （i =1，2），教龄在5至10年的教师为i b （j =1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个． ……………………9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B ， ……………………10分 包括的基本事件为11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b 共8个， ……………………11分则8()15P B =． ……………………13分 所以恰有一人教龄在5年以下的概率是815．17．证明：（Ⅰ）因为 E 是AD 的中点， P A =PD ，所以 AD ⊥PE ． ……………………1分 因为 底面ABCD 是菱形，∠BAD =60º， 所以 AB =BD ，又因为E 是AD 的中点，所以 AD ⊥BE ． ……………………2分 因为 PE ∩BE =E ， ……………………3分 所以 AD ⊥平面PBE ． ……………………4分 （Ⅱ）连接AC 交BD 于点O ，连结OQ ． ……………………5分因为O 是AC 中点， Q 是PC 的中点，所以OQ 为△P AC 中位线．所以OQ // P A ． ……………………7分 因为P A ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ． ……………………8分 所以P A // 平面BDQ ． ……………………9分（Ⅲ）设四棱锥P-BCDE ，Q-ABCD 的高分别为1h ，2h ，所以V P-BCDE =13S BCDE 1h ，V Q-ABCD =13S ABCD 2h ． ……………………10分 因为V P-BCDE =2V Q - ABCD ，且底面积S BCDE =34S ABCD ． ……………………12分所以 1283h h =， ……………………13分因为 12h CP h CQ =， 所以83CP CQ =． ……………………14分 O D CB A QP E18．解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以121a -=-， ……………………3分 所以1a =． ……………………4分 （Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以 0x =或2x a =． ……………………6分 因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a 2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分 所以3a >． ……………………9分 （Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分 所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分 所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意2a =，c a =，所以c = ……………………2分 因为222a b c =+，所以b = ……………………3分椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）因为直线l 的斜率为1，可设l ：y x m =+， ……………………6分则2224x y y x m⎧+=⎨=+⎩， 消y 得 2234240x mx m ++-=， ……………………7分 0∆>，得26m <． 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 1243mx x +=-，212243m x x -=． ……………………8分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+．…………………9分因为121111P Qy y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=． ……………………10分 所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=，1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m m m m -⋅+----=，所以8803m--=， 所以1(m =-∈． ……………………12分 所以 1243x x +=，1223x x =-．设△ABM 的面积为S ，直线l 与x 轴交点记为N ，所以1212133||||||222S MN y y x x =⋅⋅-=⋅-==14分 所以 △ABM20．解：（Ⅰ）当1n =时 111211a S ==-=；当2n ≥时 111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，因为 11a =适合通项公式12n n a -=．所以 12n n a -=*()n N ∈． ……………………5分（Ⅱ）因为 128n n n b b a +-=，所以 2122n n n b b ++-=，即11222n nn nb b ++-=． 所以 {}2n n b 是首项为112b =1，公差为2的等差数列． 所以 12(1)212n nbn n =+-=-， 所以 (21)2nn b n =-⋅． ……………………9分（Ⅲ）存在常数λ使得不等式16(1)16nn n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立．因为 1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ①所以 2n T = 23-111232(25)2+(23)2(21)2n n n n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅ ②由①-②得 34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅，化简得 1(23)26n n T n +=-⋅+．因为 1216(23)2236(21)24n n n n T n n T n n +++--⋅-==--⋅-=12242n --11221n =--， （1）当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，所以 1616n n T T λ+->---， 即31221n λ>-+-．所以当n =1时，31221n -+-的最大值为12- ，所以只需12λ>-；（2）当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，所以 31221n λ<--，所以当n =2时，31221n --的最小值为76 ，所以只需76λ<；由（1）（2）可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16nnn T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2012届北京市高三一模文科数学分类汇编3：三角函数
2012北京市高三一模数学文分类汇编：三角函数【2012年北京市西城区高三一模文】11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 【答案】π【解析】函数x x y 2cos 2cos 212+=+=，所以周期为ππ=22。
【2012北京市门头沟区一模文】10. 在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是 ．【答案】233【2012北京市门头沟区一模文】已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于(A)32 (B)31 (C) 54(D)52【答案】C【2012北京市海淀区一模文】（10）若tan 2α=，则sin 2α= .【答案】45【2012北京市房山区一模文】12．已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.【答案】2，3π【2012北京市东城区一模文】（6）已知sin(45)10α-=-，且090<<α，则cos α的值为（A ）513（B ）1213（C ） 35（D ）45【答案】D【2012北京市朝阳区一模文】9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .【答案】2-【2012北京市石景山区一模文】3.函数1sin()y x π=+-的图象（ ）A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称【答案】A【解析】函数x x y sin 1)sin(1+=-+=π的图象关于2π=x 对称，选A.【2012北京市石景山区一模文】15．（本小题满分13分）在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2,4==a A π，求ABC ∆的面积.【答案】解：（Ⅰ）∵ C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得∴ C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，………4分 ∵ ()π，0∈A , ∴0sin ≠A ∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分（Ⅱ）由正弦定理Bb Aa sin sin =，得622232=⨯=b …………8分,43A B ππ==426sin +=∴C …………11分2334266221s i n 21+=+⨯⨯⨯==∴C ab s ． …………13分【2012北京市朝阳区一模文】15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+=1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分【2012北京市门头沟区一模文】15.（本小题满分13分）已知向量)1,(sin -=x a，)2,cos 3(x b =，函数2)()(b a x f +=．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）若]2,4[ππ-∈x ，求函数)(x f 的值域．【答案】解：（I ）由已知222)21()cos 3(sin )()(+-++=+=x x b a x f ……2分化简，得3)62sin(2)(++=πx x f……4分函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ……6分 （II ）]2,4[ππ-∈x ，则67623πππ≤+≤-x ， ……8分 所以1)62sin(23≤+≤-πx……10分函数)(x f 的值域是]5,33[-……13分【2012年北京市西城区高三一模文】15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2B C =，△ABC ，求A B ．【答案】（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ……3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． …………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． …………6分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． …………7分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅．………9分因为 2B C =，1πsin23A B A C ⋅⋅=所以 228AB AC +=． …………11分因为 4A B A C ⋅=， 所以 2A B =. ………13分【2012北京市海淀区一模文】（15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知()2f A =，a =，试判断A B C ∆的形状.【答案】解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin cos 22x x x =+- ………………………………………2分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷)6x π=-. ………………………………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+Z ，得：222,33k x k k ππππ-<<+ Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ .………………………………………6分（Ⅱ）因为 ()2f A =，所以 )62A π-=.所以1sin()62A π-=.………………………………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<.所以 3A π=. ………………………………………9分因为sin sin a b AB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π=.所以 A B C ∆为直角三角形. ………………………………………13分【2012北京市东城区一模文】（15）（本小题共13分） 已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值.【答案】解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos 2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+, …………6分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分（Ⅱ）依题意,()y g x ==[4()8x π-4π+])4x π=-. …………10分 因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分当442x ππ-=，即316x π=时，()g x当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值1-. …………13分【2012北京市房山区一模文】15．（本小题共13分）已知A B C △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且552cos =A ，10103cos =B ．（Ⅰ）求()B A +cos 的值； （Ⅱ）设10=a ，求A B C △的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B∴555521cos1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A1010101031cos1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分∴()B A +cos B A B A sin cos cos +=10105510103552⨯-⨯=22=………………………………………7分（Ⅱ）由（I ）知，45=+B A∴ 135=C ………………………………………8分 ∵10=a ，由正弦定理Bb Aa sin sin =得555101010sin sin =⨯=⨯=AB a b ……………………………………11分∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………13分【2012北京市丰台区一模文】15．（本小题共13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos .a B b C c B -= （I ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若()sin cos f x x x =+，求f （A ）的最大值．【答案】。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷含答案(文科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=-的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.14.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C. D.5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A. B.4 C.4 D.69.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A. B. C. D.10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.811.当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是( )A.,B.,C.(1,D.(,2)12.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .16.设函数f(x)=()的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是,(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.=-=-1+i,=-1-i,故选D.2.D z=-=(-)(-)()(-)评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z min=1-;当过点B(1,3)时,z max=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C. 评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|==.∴球的体积V=πR3=4π.故选B.评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.9.A 由题意得=2-,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2).∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图,则只需满足log a>2,解得a>,故选B.评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=()=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-2解析由S 3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3解析把|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=asin C-c·cos A及正弦定理得·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin-=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.当日需求量n<17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=-,,,(n∈N).(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.19.解析(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4所以|BD|·d=4即·2p·p=4解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,||||=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<-+x(x>0).①令g(x)=-+x,则g'(x)=--(-)+1=(--)(-).由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A ,,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-,, ,,-,.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。
2012年北京市高考文科数学试卷真题及参考答案(文科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔卷〕本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}320A x x =∈+>R ，()(){}130B x x x =∈+->R ，则A B =〔 〕.A.(),1-∞-B.21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为〔〕. A.()1,3 B.()3,1C.()1,3- D.()3,1- 3. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕. A.π4B.π22- C.π6D.4π4- 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为〔〕.A.2B.4C.8D.165. 函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为〔〕.A.0B.1C.2D.36. 已知{}n a 为等比数列. 下面结论中正确的是〔〕.A.1322a a a +B.2221322a a a +C.若13a a =，则12a a =D.若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所所示，该三棱锥的表面积是〔〕.A.2865+3065+ C.565+60125+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为〔〕.A.5B.7C.9D.11第II 卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.09.直线y x =被圆()2224x y +-=截得的弦长为. 10. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =； n S =.11.在△ABC 中，若3a =，3b =π3A ∠=，则C ∠的大小为. 12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则()()22f a f b +=.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC ⋅的最大值为.14.已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.〔本小题共13分〕已知函数()sin cos sin 2()sin x x x f x x-=.〔1〕求()f x 的定义域与最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递减区间.16.〔本小题共14分〕如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使1A F CD ⊥. 如图2. 〔1〕求证：DE ∥平面1A CB ； 〔2〕求证：1A F BE ⊥；〔3〕线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.〔本小题共13分〕近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物与其他垃圾 三类分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类“厨余垃圾〞箱 “可回收物〞箱 “其他垃圾〞箱 厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60〔1〕试估计厨余垃圾投放正确的概率； 〔2〕试估计生活垃圾投放错误的概率； 〔3〕假设厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中0a >，600a b c ++=，当数据a ，b ，c 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c 的图1图2值〔结论不要求证明〕. 并求此时2s 的值.〔求：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦， 其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数〕.18.〔本小题共13分〕已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.〔1〕若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值； 〔2〕当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[],2k 上的最大值为28.求k 的取值范围.19.〔本小题共14分〕已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A ，离心率为2. 直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕当△AMN的面积为3时，求k 的值. .20.〔本小题共13分〕设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f []1,1∈-，且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和〔1,2i =〕，()j c A 为A 的第j 列各数之和〔1,2,3j =〕；记()k A 为1()r A ，2()r A ，1()c A ，2()c A ，3()c A 中的最小值.〔1〕对如下数表A ，求()k A 的值；〔2〕设数表形如其中10d -. 求()k A 的最大值；〔3〕对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值.。
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丰台区2012年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 45 6 7 8 答案C BD BDAAB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(0,1) 10．(4,42)± 11．6212．50，0.12 13．3 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． ……………………3分 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+，所以 sin()sin sin C B A B +=． ……………………4分 因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以 sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， ……………………5分 所以 sin 1B =，2B π=．所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分（法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b ca c ba Bbc abac+-+-=⋅+⋅， ……………………4分所以 sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． ……………………5分 所以在△ABC 中，2B π=．所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分（Ⅱ）因为 ()sin +cos 2sin()4f x x x x π==+， ……………………8分所以 ()2sin()4f A A π=+． ……………………9分因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<， ……………………10分所以444A ππ3π<+<， ……………………11分所以2sin()124A π<+≤． ……………………12分即()f A 的最大值为2． ……………………13分16．解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A ， ……………………3分 则2010()6633P A ==， ……………………5分231()33P A -=． ……………………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是2333．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为i a （i =1，2），教龄在5至10年的教师为i b （j =1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个． ……………………9分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B ， ……………………10分 包括的基本事件为11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b 共8个， ……………………11分 则8()15P B =． ……………………13分所以恰有一人教龄在5年以下的概率是815．17．证明：（Ⅰ）因为 E 是AD 的中点， P A =PD ，所以 AD ⊥PE ． ……………………1分因为 底面ABCD 是菱形，∠BAD =60º， 所以 AB =BD ，又因为E 是AD 的中点， 所以 AD ⊥BE ． ……………………2分 因为 PE ∩BE =E ， ……………………3分 所以 AD ⊥平面PBE ． ……………………4分 （Ⅱ）连接AC 交BD 于点O ，连结OQ ．……………………5分因为O 是AC 中点， Q 是PC 的中点， 所以OQ 为△PAC 中位线．所以OQ // PA ． ……………………7分 因为PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ． ……………………8分ODCBAQPE所以PA // 平面BDQ ． ……………………9分 （Ⅲ）设四棱锥P-BCDE ，Q-ABCD 的高分别为1h ，2h ，所以V P-BCDE =13S BCDE 1h ，V Q-ABCD =13S ABCD 2h ． ……………………10分因为V P-BCDE =2V Q - ABCD ，且底面积S BCDE =34S ABCD ． ……………………12分所以 1283h h =， ……………………13分 因为12h C P h C Q=， 所以83C P C Q=． ……………………14分18．解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-，……………………2分 因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以121a -=-， ……………………3分 所以1a =． ……………………4分 （Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以 0x =或2x a =． ……………………6分 因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a 2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分 所以3a >． ……………………9分 （Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分 所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意2a =，22c a =，所以2c =． ……………………2分因为222a b c =+， 所以2b =． ……………………3分椭圆方程为22142xy+=． ……………………5分（Ⅱ）因为直线l 的斜率为1，可设l ：y x m =+， ……………………6分则2224x y y x m⎧+=⎨=+⎩， 消y 得 2234240x mx m ++-=， ……………………7分 0∆>，得26m <． 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以 1243m x x +=-，212243m x x -=． ……………………8分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+．…………………9分因为 121111PQy y y y +=+，所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=． ……………………10分所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=，1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m m m m -⋅+----=，所以8803m--=， 所以 1(6,6)m =-∈-．……………………12分 所以 1243x x +=，1223x x =-．设△ABM 的面积为S ，直线l 与x 轴交点记为N ， 所以212121212133||||||()410222S M N y y x x x x x x =⋅⋅-=⋅-=⋅+-=．…………14分所以 △ABM 的面积为10．20．解：（Ⅰ）当1n =时 111211a S ==-=；当2n ≥时 111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，因为 11a =适合通项公式12n n a -=．所以 12n n a -=*()n N ∈． ……………………5分（Ⅱ）因为 128n n n b b a +-=，所以 2122n n n b b ++-=， 即11222n n n nb b ++-=．所以 {}2n nb 是首项为112b =1，公差为2的等差数列．所以12(1)212n nb n n =+-=-，所以 (21)2n n b n =-⋅． ……………………9分 （Ⅲ）存在常数λ使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立．因为 1231123252(23)2(21)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅① 所以 2n T = 23-111232(25)2+(23)2(21)2nnn n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅② 由①-②得 34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅ ，化简得 1(23)26n n T n +=-⋅+．因为1216(23)2236(21)24n n n n T n n T n n +++--⋅-==--⋅-=12242n --11221n =--，（1）当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，所以 1616n n T T λ+->---， 即31221n λ>-+-．所以当n =1时，31221n -+-的最大值为12-，所以只需12λ>-；（2）当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，所以 31221n λ<--，所以当n =2时，31221n --的最小值为76 ，所以只需76λ<；由（1）（2）可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16n nn T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。