高考数学二轮复习素材：专题04函数与方程思想[ 高考]
2020年高考数学二轮复习讲义：函数与方程思想
专题九 数学思想方法精析第一讲函数与方程思想、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系， 并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解.二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论, 从而使问题获解.三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的， 如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)= 0，就是求函数 y = f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y = f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x) = g(x)的解的问题可以转 化为函数y = f(x)与y = g(x)的交点问题，也可以转化为函数y = f(x)— g(x)与x 轴的交点问题,方程f(x)= a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重 要.崗题热点突破命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用+ mx + 4>2m + 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为(D )A. (―汽一2]B. [2 ,+^ )C. ( —s,— 2]U [2 ,+s ) D . ( — ^，― 2) U (2 ,+s )2[解析] 因为 x€[2,16]，所以 f(x) = Iog 2x€[1,4]，即 m€[1,4] •不等式 x + mx + 4>2m + 4x易错费示>知识整合 Zhi shi zhe ng he(4tf QubN TU 押例1 (1)已知f(x)= log 2X , x € [2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m ,使 x 2M 知识合恒成立，即为m(x—2) + (x—2)2>0恒成立.设g(m) = (x—2)m+ (x—2)2,则此函数在区间［1,4］上恒大于0,X — 2 + (X — 2 2>0 , 4(x - 2 ”(x — 2 2>0,解得x< — 2或x>2.(2) 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(—0, 0)上单调递增.若实数a 满足f(2|ad Q—1|)>f(— 2)，则a 的取值范围是£,自.［解析］由f (x )是偶函数且f (x )在(—0, 0)上单调递增可知，f(x)在(0, + 0 )上单调递减.又因为 f(2|a -1|)>f ( — 2), f ( — 2) = f ( 2), 所以 2『-1|<_2，即 |a — 11<2，解得 1<a<|.『规律总结』函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题.(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化.一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数.跟踪训练：：：・ G■en zong xun lia n1. (2018太原一模)定义域为R 的可导函数y = f(x)的导函数为f (x),满足f(x)>f ' (x), 且f(0) = X 则不等式号B 的解集为(B )A . ( — 0, 0)B . (0 ,+0 )C . (—0, 2)D . (2 ,+0 )［解析］构造函数()切则'()e X f' (X X -e X f(x )f ' (x —f (x )g(x) = e x ，贝V g (x) = x 2 = e x.由题意得 g' (x)<0恒成立，所以函数 g(x)=吁在R 上单调递减•又因为 g(0)=爭=1,所以 吁<1.即g(x)<1，所以x>0 ,所以不等式的解集为(0,+ 0).2 12.若不等式x + ax + 1 > 0对一切x € (0, ?］恒成立，则a 的最小值为(C )C .— 5D . - 3［解析］因为x 2 + ax + 1 > 0,所以 g 1 >0, $g 4 >0,A. 0 B . - 2一x一1i i即a》―x=— (x+X)，令g(x)=-(x+ X)，1 1当0<x w 2时，g(x) = - (x + x)递增，1 5 5g(x)max= g(2)= - 2，故a》-2，5即a的最小值为一2-例2设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x € R，都有f(x+ 4) = f(x)，且当x1€ ［-2,0］时，f(x) =(3)x- 6•若在区间(-2,6］内关于x 的方程f(x)—log a(x+ 2) = 0(a>1)恰有3 个不同的实数根，则实数a的取值范围是(34, 2).［解析］由f(x+ 4) = f(x)，即函数f(x)的周期为4,1因为当x q - 2,0］时，f(x) =(3)x— 6.所以若x q o,2］，则一x€-2,0］,则f( - x) = (3)- x-6 = 3x-6,因为f(x)是偶函数，所以f( - x)= 3x- 6 = f(x)，即f(x) = 3x- 6，x€［0,2］，由f(x) - log a(x+ 2) = 0 得f(x) = log a(x+ 2)，作出函数f(x)的图象如图.当a>1时，要使方程f(x) —log a(x+ 2) = 0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x) = log a(x+ 2)有3个不同的交点，J g(2 <f(2)则满足l_g(6 pf(6，解得3 4<a<2，故a 的取值范围是(3.4, 2).『规律总结』禾U 用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的 问题转论为函数零点问题.(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 跟踪训练 丄・ G .. en zong xun lia n1 n已知函数f(x)= ~x — COSX ,则方程f(x) = ~4所有根的和为(C )7t3n 2［解析］■-f(x) = 2x — cosx , ••f ' (x)= 2 + sinx ,sinx> — 丁, 1•f ' (x)= 2 + sinx>0,1 n 7 nf f(x) = 2x — cosx 在(—6, 6)上是增函数.Ilog a 4<3即log a 8>3,£一 n n n n■f(2) = 4 — cos 2 = 4，•••在区间（—n 帑上有且只有一个实数x =n 满足f （x ）=n/ —詰，-cow 1,1 n , n,f(x) = 2X — cosx w —12+ 1<4,由此可得：当x <訓寸，f （x ）=n 殳有实数根. 同理可证：x >噺寸，f （x ）=7n — i>nn• • •方程f （x ）= 4也没有实数根.n n综上可知f （x ）= 4，只有实数根2.故选C .命题方向3解决最值或参数范围问题小值为（D ）a［解析］当 y = a 时，2(x +1) = a ,所以 x =~— 1. 设方程x + ln x = a 的根为t ,“ “ a t + ln t t ln_t ’则 t + In t = a ，则 |AB|= t — ? + 1 = t — —-~+1 =2 — 2 +1 、工上 Jn_t设 g(t )= 2 — ~2 + 1(t >0),令 g ' (t) = 0, 得 t = 1,当 t€(0,1)时,g' (t)<0; 当 t€(1 ,+s )时，g ' (t)>0 ,3所以 g (t)min = g(1) = 2 ,33所以|AB|>3,所以|AB|的最小值为|.例3直线y = a 分别与曲线y = 2（x + 1）, y = x + In x 交于点A , ，则|AB|的最(t)=-——2 2tt — 1"2T ， C . 3 *2 4『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1) 充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解.(2) 充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解.(3) 当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决.(4) 当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪训练G en zong xun lia n————I—n ——［解析］・.0A = (1,0), 0P= (cos 0, sin 9 , .'OA OP + S= cos 0+ sin 0= ■. 2sin( 0+ ~)，故OA OP+ S的最大值为.2,此时0= n故选B .例4椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，短轴长为.2，离心率为命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用直线l与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C交于相异两点A, B,且AP = 3PB.(1)求椭圆C的方程；⑵求m的取值范围.2 2［解析］(1)设椭圆C的方程为*+存=1(a> b>0),2 2 ,2设c>0, c = a —b ,由题意，知2b= 2, ^=寻，所以a = 1, b= c= f.a 2 22故椭圆C的方程为y2+ X = 1,即y2+ 2x2= 1.2⑵设直线I的方程为y= kx+ m(k z 0), l与椭圆C的交点坐标为A(x i, y i), B2(x2, y2), |y= kx+ m, 由22 12x + y = 1,得(k2+ 2)X2+ 2kmx+ (m2—1) = 0,△= (2km)2—4(k2+ 2)(m2—1) = 4(k2—2m2+ 2)>0 , (*)2—2km m — 1X1 + x2=二,X1x2 = ~ ,k2+ 2 k2+ 2因为AP= 3PB ,所以一X1= 3X2.x1 + x2=—2X2 , 所以丫2X1X2=—3X2.则3(X2 + X2)2+ 4X1X2= 0 ,2—2km 2 m —1 即3) + 4 •-k2+ 2 k2+ 2整理得4k2m2+ 2m2—k2—2 = 0 ,即k2(4m2—1) + (2 m2—2) = 0 ,2 1当m2= 4时，上式不成立；2 1 2 2 —2m当m丰匚时，k = 2 —，44m2— 1由(*)式，得k2>2m?—2,又k z 0,22 2 —2m 所以k2= 2一>0,4m2— 11 1解得—1<m< —2 或2<m<1,即所求m的取值范围为(—1,—1)*1，1).『规律总结』利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式 △第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质， 得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论•将上述等量代换式代入 少0或0中，即可求出目标参数的取值范围.跟踪训练Gen zong xun lia n上的任意一点，贝y OP FP 的取值范围为(B )若点0和点F(— 2,0)分别为双曲线2X2— y 2=P 为双曲线右支A . ［3 — 2 ,3,+s ) C . ［ — 7,+m)B . ［3 + 2 3,+^ ) D .【7，+s )2［解析］由c= 2,得a + 1 = 4,••a2= 3.2•••双曲线方程为X^ —y2= 1.设P(x, y)(x》.3),OP FP = (x, y)(・x+ 2, y)2=x2+ 2x+ y2= x2+ 2x+ x—13=3x2+ 2x—1(x> ,3).令g(x) = fx2+ 2x—1(x> . 3),则g(x)在［3, + a)内单调递增，g(x)min = g C . 3)= 3+ 2：.；3••O P FP的取值范围为［3 + 2 3, +°° ).。
高考数学二轮复习专题辅导资料 专题(4)函数与方程思想
专题四：函数与方程思想【考情分析】纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。
在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测2012年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
【知识交汇】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 数学思想系统归纳 函数与方程思想讲义
函数与方程思想应用(一) 借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.[例1] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝32，a n ＋2a n ＋1＝0，则S n －1S n的最大值与最小值的积为________.[解析] 因为a n ＋2a n ＋1＝0，所以a n ＋1a n ＝－12，所以等比数列{a n }的公比为－12，因为a 1＝32，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而减小，则1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n ＜1，故－712≤S n －1S n＜0.综上，S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712.故S n －1S n 的最大值与最小值的积为56×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－3572.[答案] －3572[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.[应用体验]1.已知等差数列{a n }满足3a 4＝7a 7，a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 取得最大值时n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，∴4a 1＝－33d .∵a 1>0，∴d <0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334d ＋n （n －1）2d ＝d 2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－352n ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －3542－⎝ ⎛⎭⎪⎫3542，∴n ＝9时，S n 取得最大值.答案：92.(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________，ca的取值范围是________. 解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B.又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴∠B ＝π3.又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得c a＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca>2. 答案：π3(2，＋∞)应用(二) 转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.[例2] 已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1eC.(1，e －1]D.(1，＋∞)[解析] 令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .令函数f (x )＝ln x ＋1x，若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )＜0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＞0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e ＞1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .故选B. [答案] B[技法领悟]发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y ＝1x＋ln x 的单调性巧妙地求出实数k 的取值范围.此法也叫主元法.[应用体验]3.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________.解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.函数f (p )在[0，4]上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4.已知函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数.(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由于函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1.(2)由题设，知ax 2－3x ＋a ＋1＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即(x 2＋2)a －x 2－2x ＞0对任意a ∈(0，＋∞)都成立. 设g (a )＝(x 2＋2)a －x 2－2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R )，∴对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )＞0恒成立的充要条件是g (0)≥0， 即－x 2－2x ≥0，∴－2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是[－2，0].应用(三) 构造函数关系解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.[例3] 已知函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. [解] (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，知f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－∞，ln2)上单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(ln2，＋∞)上单调递增.所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1(x ∈R )，则g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，由(1)知g ′(x )min ＝g ′(ln2)＝2－2ln2＋2a . 又a >ln2－1，则g ′(x )min >0.于是对∀x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增. 于是对∀x >0，都有g (x )>g (0)＝0. 即e x－x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.[技法领悟]一般地，要证f (x )>g (x )在区间(a ，b )上成立，需构造辅助函数F (x )＝f (x )－g (x )，通过分析F (x )在端点处的函数值来证明不等式.若F (a )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递增即可；若F (b )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递减即可.[应用体验]5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，连接AC .由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3).设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116.故选A. 6.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f （e ）e，b ＝f （ln2）ln2，c ＝－f （－3）3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a ＜c ＜bB.b ＜c ＜aC.a ＜b ＜cD.c ＜a ＜b解析：选D 由题意，构造函数g (x )＝f （x ）x ，当x ＞0时，g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵函数f (x )为奇函数，∴函数g (x )是偶函数，∴c ＝f （－3）－3＝g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln2)，且3＞e ＞1＞ln2＞0，∴g (3)＜g (e)＜g (ln2)，∴c ＜a ＜b .故选D.应用（四） 构造方程形式解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.[例4] (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1，1)，得AM ―→＝(－1－x 1，1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2，1－y 2).由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] 2[技法领悟]本题由∠AMB ＝90°，知AM ―→·BM ―→＝0，从而得出关于k 的方程，问题即可解决.[应用体验]7.(2019·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( )A.82B.97C.100D.115解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100.故选C.8.(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去). 答案：2173 应用(五) 转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.[例5] 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值.[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin αcos β－cos αsin β＝15， 所以sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.法二：令x ＝tan αtan β.因为sin （α＋β）sin （α－β）＝103，且sin （α＋β）sin （α－β）＝sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1. 所以得到方程x ＋1x －1＝103.解方程得tan αtan β＝x ＝137.[技法领悟]本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β⎝ ⎛⎭⎪⎫或tan αtan β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值.[应用体验]9.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上.因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15). 答案：(3，15)10.设非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，b ，c ＝120°，则|b |的最大值为________.解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－(b ＋c )， ∴|a |2＝|b |2＋2|b ||c |cos120°＋|c |2， 即|c |2－|b ||c |＋|b |2－4＝0， ∴Δ＝|b |2－4(|b |2－4)≥0，解得0<|b |≤433，即|b |的最大值为433.答案：433[总结升华]函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解.(3)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.。
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
＜ A+B＜ π
2
∴ tan(A+B)＜ 0，即 tan( A B) tan A tan B 1 tan A tan B
m2 2m 15 0
m1 0 m3
m1 0 ∴m 4 0
∴ m≥ 5
m1 0
m3
(2)证明 ∵ f(x)=(x– 1)(x– m) 又– 1≤ cosα ≤ 1，∴ 1≤ 2+cosα≤ 3，恒有 f ( 2+cosα )≤ 0 即 1≤x≤ 3 时，恒有 f( x)≤0 即 (x– 1)(x– m)≤ 0 ∴ m≥ x 但 xmax=3，∴ m≥ xmax=3
小于等于零为关键
技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列
列式要周到，不遗
漏 （ 1）证明
f(x)+4=0 即 x2– (m+1) x+m+4=0 依题意
(m 1)2 4(m 4) 0
tan A tan B m 1 0 tan A tan B m 4 0
又 A、 B 锐角为三角形内两内角∴
B 关于直线
1 y=kx+ 2a 2
对称，求
1
b 的最小值
解 （ 1）当 a=1,b=–2 时， f(x)=x 2– x– 3，由题意可知
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
高考要求
函数与方程思想是最重要的一种数学思想， 高考中所占比重较大， 综合知识多、 题型多、
应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结
合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解
(证 )不等式、解方程以及讨
论参数的取值范围等问题； 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加
高考数学第二轮专题导练总复习课件 函数与方程的思想方法
16
分析：由f
x 1 1
f (x)，联想到tan(x
π )
1 f (x)
4
1 tan x，注意到函数 tan x的周期为,故猜测 1 tan x
f
(x)
tan
π 4
x, 周期为
π π
4
1 4
4,进而可求
4
f (2010).
17
解析：因为f
x 2
f
x 1 1
1 1
f f
(x 1) (x 1)
sin90 cos40 1 cos40， x y sin20cos70 sin10sin50 cos20sin70 cos10cos50
sin(50) cos60 cos40 1 .
2
33
以上两式相加即得x 1 . 4
所以sin20cos70 sin10sin50 1 . 4
18
2．方程思想 (1)利用根与系数的关系构造方程 例6 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列， 且tanA·tanC=2+33 ，又知顶点C的对边c上的高 等于4 33 试求△ABC的三边a、b、c及三内角．
分析：已知了一个积式，考虑能否由其他已知得到 一 个和式，再用方程 思想求解．
19
解析：由A、B、C成等差数列，可得B π . 3
试证明：a1，a2，a3成等比数列，且a4为其公比．
30
证明：由题设等式可知，a4是一元二次方程
(a12 a22 )a42 2a2 a1 a3 a4 a22 a32 0，的实数根，
所以 4a22 a1 a3 2 4(a12 a22 )(a22 a32 )
4(2a1a22a3 a12a32 a24 ) 4(a22 a1a3)2 0，
高考二轮复习-函数与方程思想 (学生及教师版)
描述正确的是
（A） a 1
[答]（ ）
（B） a 1 （C） b 1
（D） b 1
7.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 3x 2m 与圆 x 2 y 2 n 2 相切，其中
课后作业
1.已知函数
f
(x)
x2 4x
4
x
x
2
x
0
，若
f
(2 a2)
f
(a)
，则实数 a 的取值范围是（
x0
）
ห้องสมุดไป่ตู้
A ． (, 1) (2, ) ；
B ． (1, 2) ；
C ． (2,1) ；
D ． (, 2) (1, ) ．
3
1
2.设
x
,
y
R
，且满足
( (
x y
4) 5 1) 5
2013( x 2013( y
____________.
4.已知关于 x 的方程 x 2 2 cos x a 2 0 有唯一解，则 a 的值为_______；
5.不等式 (x 1)(x2 4x 3) 0 有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出 y1 x 1和
y2 x2 4x 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设 a,b Z ，若对任意 x 0 ，都有
高考二轮复习-函数与方程思想 （学生版）
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量 关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）， 然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨， 达到解决问题的目的。，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等
高三数学高三二轮复习函数与方程思想PPT
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇，在第(1)问中，是 由一元二次不等式转化为数列， 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立， 在证明中， 利用了函数思想， 要注意定义域范围． (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系， 将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值． 但由于数列的通项是一类特 殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列 中的自变量只能取正整数这一特点．
1 3 (2) ， 2 2
利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函
数值大小关系转化为不等式求解． ∵ f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴ 在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， 1 |a－1| |a－1| ∴ f(2 )＞f( 2)，∴ 2 ＜ 2＝2 ， 2 1 1 1 1 3 ∴ |a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.
高三数学最新课件-高考第二轮专题复习函数方程思想上
恒成立问题中的端点能否取到
a 1 ( 2)a f ( x ) (1,2) a 1 ( 3)a f ( x ) [1,2] a 1 (4)a f ( x ) [1,2] a 1
(1)a f ( x ) (1,2)
已知二次函数f ( x ) ax 2 bx 1(a、b R，a 0)， 设方程f ( x ) x的两个实数根为x 1 和x 2 (1)如果x 1 2 x 2 4，函数f ( x )的对称轴为x x 0 ，求证：x 0 1 ； ( 2)如果 x 1 2， x 2－x 1 ＝2，求b的取值范围。
1 1 1 n1 n 2 2n 1 1 0 2n 1 2n 2 7 所以f ( n)为增函数, 从而f (n) f (2) 12
已知不等式
1 1 1 1 2 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立，试确定a的取值范围
9 b ,1 b (b 0)在 区 间 4
b f ( x ) 3( x ) 2 7在区间1,2的最大值为 20, 求b ? 2
y
答案：b 4或－ 10
b x 2
1
x2
已知不等式
1 1 1 1 2 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立，试确定a的取值范围
即 loga a 1 － 1 loga
[1, ), 不等式2 x 2 3 x 3 4 x 5 x a 0恒成立, 求a的取值范围 2、解不等式5 4 x 5 5 2 x 8 6 x 3 0
1 1 1 的取值范围 n1 n 2 2n 7 所以f ( n)为增函数, 从而f (n) f (2) 12 1 1 1 1 2 要使 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立， 关键是确定
高三数学(文)二轮复习第二篇 数学思想 一、函数与方程思想
· FB
= AB
·B F
.
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(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l交椭圆于M,N两点,试确定 FM
·F N
的取值范围.
应用解读 栏目索引
解析 (1)由题意知,A(-a,0),B(0,b),
∵ OF · FB = AB ·B F ,
∴(1,0)·(-1,b)=(a,b)·(1,-b),即b2-a-1=0.
即g(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减.
所以g(x)≤g(1)=0,故f(x)≤x-1.
应用解读 栏目索引
(2)记h(x)=ax+ a 1 -ln x, (构造函数) x
则在(0,+∞)上,h(x)≥1,
h'(x)=a+ 1 a
- 1 = ax2
x
1
a
=
a
和性质去分析问题、转化问题,从而使 究函数的性质也离不开不等式.
问题获得解决的数学思想.
2.数列的通项与前n项和是自变量为正整
方程的思想,就是分析数学问题中变量 数的函数,用函数的观点去处理数列问题.
间的等量关系,建立方程或方程组,或 3.解析几何中的许多问题,需要通过解二
者构造方程,通过解方程或方程组,或 元方程组才能解决.
综上,实数a的取值范围是[1,+∞).
应用解读 栏目索引
【技法点评】 解决(2)的关键是将不等式化为ax+ a 1 -ln x≥1,进而构
x
造函数h(x)=ax+ a 1 -ln x,x∈(0,+∞).将问题转化为研究高考函导数航h(x)在(0,
二轮复习总结专题4--函数与方程的思想
二轮复习专题4—函数与方程的思想知识点梳理一、定义：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y ＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数()()1nf x x =+与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、函数思想在解题中的应用：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。
高考数学二轮专题辅导 函数与方程思想
2008高考数学二轮专题辅导 函数与方程思想一．知识探究：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f (x)＝0的解就是函数y ＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f (x)也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nb ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
高考数学二轮复习第4部分专题一思想方法应用4函数与方程思想课件文
法三：根据 a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这 个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差 数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，以及二次函数图象的对称 性，得只有当 n＝3＋211＝7 时，Sn 取得最大值．故选 C.
方法 3 三角问题的函数(方程)法 【典例】 (2016·苏南四市模拟)将函数 y＝sin4x－3π的图象向左 平移 m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为________．
【解析】 由定义可知 f(x)＝ 3cos 2x－sin 2x＝2cos2x＋6π，所以 函数 f(x)的图象向左平移 n 个单位长度后为 y＝2cos2x＋2n＋π6的 图象，该函数为偶函数，所以 2n＋π6＝kπ(k∈Z)，故 n＝k2π－1π2(k ∈Z)．又 n＞0，所以 n 的最小值为51π2，故填152π.
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。
• 一、听理科课重在理解基本概念和规律
• 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解， 同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。
根据变换列 结合题目条件 【思路分析】 出解析式 → 建立函数关系
得出相应的 → 正确结论
【解题过程】 把 y＝sin4x－3π的图象上所有的点向左平移 m 个 单位长度后，得到 y＝sin4x＋m－3π ＝sin4x＋4m－π3的图象，(图象平移) 而此图象关于 y 轴对称，则 4m－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，(关系建立) 解得 m＝14kπ＋254π(k∈Z)，又 m＞0，所以 m 的最小值为52π4.(得出结 论)
2021高考数学(文)二轮复习策略《函数与方程思想》
1．函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．(2)已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________．(1)－3 (2)4105 [(1)∵E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，不妨设E (0，t )，F (0，t ＋2)，则AE →＝(0，t )－(－1,0)＝(1，t )．BF →＝(0，t ＋2)－(2,0)＝(－2，t ＋2)， AE →·BF →＝t 2＋2t －2.令f (t )＝AE →·BF →＝(t ＋1)2－3≥－3，当且仅当t ＝－1时取等号．即AE →·BF →的最小值为－3.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.]目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法. (1)有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法. (2)求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练1】 已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．2213[建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA →＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cosθ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.]【对点训练2】 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．23 [如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1为正三棱柱．AB ＝2，三角形ADE 为直角三角形，∠ADE ＝90°.设BD ＝x ，CE ＝y ，则AD 2＝4＋x 2，AE 2＝4＋y 2， ED 2＝4＋(y －x )2. ∵AE 2＝AD 2＋DE 2，∴4＋y 2＝4＋x 2＋4＋(y －x )2， 解得y ＝x ＋2x .∵AE 2＝4＋y 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2≥4＋(22)2＝12.∴AE ≥23，当且仅当x ＝2时取等号． 即直角三角形斜边的最小值为2 3.] 应用2 分离参数法求参数范围【典例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．(1)(－1,1] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ [(1)由cos 2x －sin x ＋a ＝0，得a ＝sin 2x ＋sin x －1.问题变成求函数a ＝sin 2x ＋sin x －1在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上的值域问题．∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，而0<sin x ≤1，∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为(－1,1]． (2)由f (x )＝x －1x ＋1得f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0.∴f (x )在[0,1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝－1，∴存在x 2∈[1,2]使－1≥x 2－2ax ＋4，即2a ≥x ＋5x 在[1,2]上有解，∴2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，易知y ＝x ＋5x 在(0，5]上递减，∴y ＝x ＋5x 在[1,2]上递减．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ＝2＋52＝92，∴2a ≥92，a ≥94，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.](1)在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.(2)①对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.②不等式有解、恒成立求参数的方法：g (a )>f (x )恒成立，则g (a )>f (x )max . g (a )<f (x )恒成立，则g (a )<f (x )min ， g (a )>f (x )有解，则g (a )>f (x )min ， g (a )<f (x )有解，则g (a )<f (x )max .(3)分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！【对点训练3】 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－2，＋∞) [当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.]【对点训练4】 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其他变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x ·a a 2－a ＋1＞0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，得1＋2x ＋4x ·a ＞0，故a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数， 因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x max ＝－34，a ＞－34，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.]应用3 构造函数解不等式、比较大小【典例3】 (1)已知函数f (x )满足f (x )＞f ′(x )，在下列不等式关系中，一定成立的是( )A ．e f (1)＞f (2)B ．e f (1)＜f (2)C ．f (1)＞e f (2)D ．f (1)＜e f (2)(2)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜－2f (x )，则使f (x )＞0成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(1)A (2)B [(1)∵f (x )＞f ′(x )，∴f ′(x )－f (x )＜0. ∴令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ＜0，∴g (x )单调递减，又1＜2.∴g (1)＞g (2)， 即f (1)e 1＞f (2)e 2，∴ef (1)＞f (2)．选A.(2)令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x ＞0时，由题设可得F ′(x )＜0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x ＜0时，函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.](1)根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数. (2)根据式子的结构构造相应函数： ①(x m f (x ))′＝x m －1(mf (x )＋xf ′(x ))；②⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2；③(e x f (x ))′＝e x (f (x )＋f ′(x ))； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ；⑤(x ·ln x )′＝ln x ＋1.【对点训练5】 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2C [设f (x )＝e x －ln x (0＜x ＜1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象的交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0＜x ＜1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2. 又0＜x ＜1，∴g ′(x )＜0. ∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0＜x 1＜x 2＜1，∴g (x 1)＞g (x 2)， ∴x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C.]【对点训练6】 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＞f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x ＜1的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)B [构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x·f ′(x )－e x·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )＜0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x ＜1，即g (x )＜1，解得x ＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]应用4 利用方程思想求值【典例4】 (1)函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．(2)(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.(1)(1,0) (2)8 11 [(1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1， ∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0， 即P (1,0)．(2)法一：由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11. 法二：100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元)． 因为95－73＝22(元)， 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只)．]方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练7】 (2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)，∴(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )，解得d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12. (2)法一：由a 1＝－10，d ＝2，得：S n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122－1214，∴n ＝5或n ＝6时，S n 取最小值－30. 法二：由(1)知，a n ＝2n －12.所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ≤0.所以，S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.应用5 方程思想与不等式【典例5】 关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.]方程的根是对应不等式解集区间的端点值，所以不等式与方程是紧密联系的！【对点训练8】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．9 [由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )＜c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c .所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，所以c ＝9.]。
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专题四：函数与方程思想【考情分析】纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。
在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测2012年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
【知识交汇】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y ＝f(x)看作二元方程y －f(x)＝0，函数与方程可相互转化。
4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nb ax )(+（n∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【思想方法】题型1：函数思想在方程中应用例1．已知155=-a c b （a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤解析：法一：依题设有 a ·5－b ·5＋c ＝0，∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根；∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥ 故选(B)；法二：去分母，移项，两边平方得：22210255c ac a b ++=≥10ac ＋2·5a ·c ＝20ac ，∴ac b 42≥ 故选(B)题型2：函数思想在不等式中的应用例2．若a 、b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围。
方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1，而b >0，∴a ＋3a －1>0，即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．又a >3时，(a －1)＋4a －1＋5是关于a 的单调增函数．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．方法二 (看成不等式的解集)∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3，∴ab ≥2ab＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(t －3)2－4t ≥0a ＋b ＝t －3>0ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤1或t ≥9t >3t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。
当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。
题型3：函数思想在实际问题中的应用例3．（2011陕西理14) ．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题；【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是：(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯(1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+210(21210)i i =-+。
所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002+⨯+++⨯=⨯⨯=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是：10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯9(19)10(110)1021029001100200022⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=， 所以路程总和最小为2000米.点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效工具。
该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。
题型4：函数思想在数列中的应用例4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
解析：（1）由123=a 得：d a 2121-=，∵12S ＝d d a 4214444121+=+>0，13S ＝d d a 5215678131+=+<0，∴724-<d<－3 （2）n d dn d n n na S n )2512(212)1(21-+=-+=， ∵d<0，n S 是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x ＝d 1225-。
∵724-<d<－3，∴6<d 1225-<213， ∴当n ＝6时，n S 最大。
点评：数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。
题型5：函数思想在立体几何中的应用例5．（1）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA ＝AB=2r ，求异面直线PB 和AC 的距离。
分析：异面直线PB 和AC 的距离可看成求直线PB 上任意一点到AC 的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
解析：在PB 上任取一点M ，作MD⊥AC 于D ，MH⊥AB 于H ，设MH ＝x ，则MH⊥平面ABC ，AC⊥HD， ∴MD 2＝x 2＋[(2r －x)sin θ]2＝(sin 2＋1)x 2－4rsin 2θx ＋4r 2sin 2θ＝(sin 2θ＋1)[x －2122r sin sin θθ+]2＋41222r sin sin θθ+ 即当x ＝2122r sin sin θθ+时，MD 取最小值212r sin sin θθ+为两异面直线的距离。
点评：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。
一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。