中考一轮总复习圆基础知识篇
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，_______∴ , .∵在圆O中，________∴ , .∵在圆O中，________∴ , .【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 8例2、绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB 为_________考点二：圆心角定理例3、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°例4、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55° B．60°C．65° D．70°考点三：圆周角定理例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P 是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．例6、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于_____________对应训练6、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．考点四：圆内接四边形的性质例3 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．3对应训练【聚焦中考】1．如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2 （B）3 （C）4 （D）62．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）． A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=______7．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A. 135°B. 122.5°C. 115.5°D.112.5°8．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D. BC＝2AD.9．如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF²=EF.EB（1）求证：CB=CF （2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．【备考真题过关】一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化3．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．111314．如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；15．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．。
华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】 连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（ ）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】 解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =． 在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】 解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。
连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质
基础知识知识点一、圆的有关概念1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．3.确定圆的条件确定一个圆有两个基本条件①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．经过不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念1. 弦与直径：①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.2. 弧与半圆①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系1. 圆的旋转不变性把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点四、垂径定理1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，用符号语言叙述为：∵ CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E∴ AE＝EB，AC BC，AD DB3. 垂径定理基本图形的性质：（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．（3）有3对弧相等：AC BC，AD BD，CAD CBD．（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．知识点五．圆周角定理1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，3. 圆周角定理的推论①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．②圆内接四边形的对角互补．典型例题解析例1.（菏泽）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD弧的度数为＿＿＿＿＿．例2. （山西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )A．30° B．40° C．50° D．80°例3. （绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙O与矩形ABCD边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点）．已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为___________．例4. （黑龙江）直径为10cm的⊙Ｏ中，弦AB＝5cm,则弦AB所对的圆周角是．例5. (济南) 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A. 2. 3 C. 32D.3例6. （安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．例7. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．巩固练习1. （湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A. 35 °B.45°C. 55°D.65°2. 如图所示，在⊙O中，，那么（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．无法比较3. （嘉兴）如图，○O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8则AB的长为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）84. （钦州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．20°5. （南通）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_______度．6. （广元）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数为 .7 . (龙岩) 如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC= 。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
超详细中考圆知识点总结复习(精华版)
AdrOBdCd d d R r R r R r 图1 图2 图3d d rR rR一，圆的概念中学圆复习集合形式的概念： 1 ，圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 ，圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 ，圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1，圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2，垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 ，角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 ，到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 ，到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二，点与圆的位置关系1，点在圆内 d r 点C 在圆内；2，点在圆上 d r 点B 在圆上；3，点在圆外 d r 点A 在圆外；三，直线与圆的位置关系1，直线与圆相离 d r 无交点；2，直线与圆相切 d r 有一个交点；3，直线与圆相交 d r 有两个交点；r d d=r r d四，圆与圆的位置关系外离（图1）无交点 d R r ；外切（图2）有一个交点 d R r ；相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点RdrRd Rr ；r ；内含（图5）无交点 d R r ；图4 图5五，垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4 个定理，简称 2 推3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：① AB 是直径② AB CD ③CE DE ④ 弧BC 弧BD ⑤ 弧AC 弧AD 中任意2 个条件推出其他 3 个结论；A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在⊙O 中，∵AB ∥CD C DO六，圆心角定理∴弧AC 弧BD OEA B C DB圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的E弧相等，弦心距相等；此定理也称 1 推3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，就可以推出其它的 3 个结论， F 即：①AOB DOE ；②AB DE ；O③OC OF ；④弧BA 弧BD DACB七，圆周角定理C 1，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：∵AOB 和ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴AOB 2 ACB B OA 2，圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆D周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵ C ， D 都是所对的圆周角∴ C DB OA 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直C角所对的弧是半圆，所对的弦是直径；即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵ C 90∴ C 90 ∴AB 是直径 B AO推论3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是CB AOCP直角三角形； 即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB ∴△ ABC 是直角三角形或C 90留意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八，圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角； 即：在⊙ O 中， ∵四边 ABCD 是内接四边形DC九，切线的性质与判定定理1，切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是⊙ O 的切线2，性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：BAEOM A N即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十，切线长定理B切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；O即：∵ PA ， PB 是的两条切线∴ PA PB ； PO 平分 BPAA十一，圆幂定理1，相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；D即：在⊙ O 中，∵弦 AB ，CD 相交于点 P ，BO ∴ PA PB PC PD PC A推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 C所成的两条线段的比例中项；即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，BO EA∴ CE 2AE BED2，切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；∴ CBAD 180 B D 180 DAE C即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线A∴PA2PC PB ED 3，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条P O割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）；C B 即：在⊙ O 中，∵ PB ，PE 是割线∴PC PB PD PE十二，两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；A 如图：O1O2垂直平分AB ；O1 O2 即：∵⊙O1，⊙O2相交于 A ， B 两点B ∴O1O2垂直平分AB十三，圆的公切线A B 两圆公切线长的运算公式：CO1 （1））公切线长：Rt O O C 中，AB 2CO 2O O 2CO 2；O21 2 1 1 2 2（2））外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四，圆内正多边形的运算（1））正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关运算在Rt BOD 中进行：OD : BD : OB 1: 3 : 2；CB COB D AO OA E D BA（2））正四边形同理，四边形的有关运算在Rt OAE 中进行，（3））正六边形同理，六边形的有关运算在Rt OAB 中进行，OE : AE : OAAB : OB : OA1:1: 2 ：1: 3 : 2.A十五，扇形，圆柱和圆锥的相关运算公式O S lB1，扇形：（1）弧长公式：l （2）扇形面积公式：n R；180n R2 1S lR360 2n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2，圆柱：（1））圆柱侧面绽开图ADD1S S 2 S= 2 rh 2 r 2表侧底母线长（2））圆柱的体积：V r 2 h 底面圆周长B C1CB13，圆锥侧面绽开图（1））S S S = Rr r 2O表侧底1 2（2））圆锥的体积：V r h R3十六，内切圆及有关运算；CA r B（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等；（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，就内切圆的半径r= a b c；2（3）S = 1r (a b c)，其中a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径；△ABC2 A D（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦；O 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D； CB练习题1. 如⊙O 的半径为4cm，点 A 到圆心O 的距离为3cm，那么点 A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上c．点 A 在圆外 D ．不能确定2. 已知⊙O 的半径为5, 弦AB 的弦心距为3, 就AB 的长是3. 如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，就求PA+PB 的最小值_A B B_M_P_O_oN_AE CD 图2_4 如图2，已知BD 是⊙ O 的直径，⊙ O 的弦AC ⊥BD 于点E，如∠ AOD=60°，就∠ DBC 的度数为5. 与直线L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是．6. 已知直角三角形的两直角边长分别为 5 和12，就它的外接圆半径R= ，内切圆半径r= ．7. ⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为6 3 ，以 3 为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是．8. PA，PB 是⊙O 的切线，切点是 A ，B，∠APB=50°，过A 作⊙O 直径AC，连接CB，就∠PBC= ．9. 如图4，AB 是⊙O 的直径，弦AC，BD 相交于P，就CD ∶AB 等于A ．sinBPC B．cosBPC C．tanBPC D．cotBPC图4 图510. 如图5，点P 为弦AB 上一点，连结OP，过PC 作PC⊥OP ，PC 交⊙O 于C，如AP=4，PB=2，就PC 的长是A ． 2 B．2 C．2 2 D． 311．圆的最大的弦长为12 cm，假如直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么A ．d<6 cm B．6 cm<d<12 cmC．d≥6 cm D．d>12 cm12. 如图6，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，P 为切点，设AB=12 ，就两圆构成圆环面积为．图6 图713. 如图7，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，PAB，PCD 是割线，AB=35，CD =50，AC∶DB =1∶2，就PA= ．14. 如图8，AB 是⊙O 的直径，点 D 在AB 的延长线上，且BD =OB，点 C 在⊙O 上，∠CAB =30 °，求证：DC 是⊙O 的切线．图815. 如图，AB 既是⊙ C 的切线也是⊙ D 的切线，⊙ C 与⊙ D 相外切，⊙C 的半径r=2 ，⊙D 的半径R=6 ，求四边形ABCD 的面积；D CBA16. 如图10，BC 是⊙O 的直径， A 是弦BD 延长线上一点，切线DE 平分AC 于E，求证：(1) AC 是⊙ O 的切线．(2) 如AD ∶DB =3∶2，AC=15，求⊙ O 的直径．(12 分)图1017. 如图11，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2) 如OE∶EA=1∶2，PA=6，求⊙O 的半径；(3)求sinPCA 的值．(12 分)图1118. 如图，⊙O 的两条割线AB，AC 分别交圆O 于D，B，E，C，弦DF//AC 交BC 于C．（1）求证：AC FG BC CG ；（2）如CF ＝AE．求证：△ ABC 为等腰三角形．BD G FO·AE C19. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E，点P 在⊙O 上，∠1=∠C，（1）求证：CB ∥PD；（2）如BC=3 ，sinP= 3，求⊙ O 的直径；520. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，PA 是过 A 点的直线，∠PAC＝∠B．（l）求证：PA 是⊙O 的切线；P C（2）假如弦CD 交AB 于E，CD 的延长线交PA 于F，AC＝8，CE ：ED ＝6：5，AE：EB＝2：3，求AB 的长和∠ ECB 的正切值．A E ． BODF21. 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A 的平分线交BC 于点 D ，E 为AB 上的一点，DE＝DC ，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙ D ， A求证：（l）AC 是⊙D 的切线；E（2）AB＋EB＝AC．22. 如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙（l）求证：AD ＝DC ；BD CO1；与⊙O 的弦AC 相交于 D ，DE⊥OC，垂足为E．（2）求证：DE 是⊙O1的切线；（3）假如OE＝EC，请判定四边形O1OED 是什么四边形，并证明你的结论．CDEA BO1 O考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中精确懂得与圆有关的概念，留意分清它们之间的区分和联系. 1. 运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例1】已知：如下列图，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.【例2】如图，A，B，C 是⊙O上的三点，∠AOC=100°，就∠ABC的度数为（）.Ａ. 30 °Ｂ. 45 °Ｃ. 50 °Ｄ.60°2. 利用圆的定义判定点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系【例3】已知⊙O的半径为3cm，A 为线段OM的中点，当OA满意：（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是.（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是.（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是.【例4】⊙O的半径为4，圆心O到直线l 的距离为3，就直线l 与⊙O的位置关系是（）.Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定【例5】两圆的半径分别为3cm 和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是.3. 正多边形和圆的有关运算【例6】已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4. 运用弧长及扇形面积公式进行有关运算【例7】如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的半圆O与DC相切于点E，就阴影部分的面积为（结果保留）.5. 运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行运算【例8 】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，就这个圆锥的母线长与底面半径长的比是.考点二：圆中运算与证明的常见类型1. 利用垂径定懂得题垂径定理及其推论中的三要素是：直径，平分，过圆心，它们在圆内经常构成圆周角，等分线段，直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或运算.【例1】在⊙O 中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5 两部分，AB=6，就弦CD 的长为.Ａ. 2 Ｂ. 4 Ｃ. 4 Ｄ. 22. 利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是特别重要的定理，在解与圆有关的问题时，经常添加帮助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.【例2】如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.3. 利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形， E 为DA延长线上一点，如∠C＝45°，AB＝ 2 ，就点 B 到AE的距离为.4. 判定圆的切线的方法及应用判定圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）如圆心到一条直线的距离等于圆的半径，就该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4 3 ，D是线段BC的中点.（1）试判定点 D 与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O 为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O 与BC相切于M，与AB，AD分别相交于E，F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D 为劣弧上一动点，P 在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【课堂巩固练习】一. 挑选题：1. ⊙O的半径为R，点P 到圆心O的距离为d，并且d≥R，就P 点［］A. 在⊙ O内或圆周上B. 在⊙ O外C. 在圆周上D. 在⊙ O外或圆周上2. 由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，就圆的半径为［］A ，2 或3B ，3C ，4D ，2 或43. 如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，就∠BDC的度数是［］A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °4. 在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，就劣弧AB 的度数等于［］A.30 °B.120 °C.150 °D.60 °5. 直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，就直线ａ与⊙O的位置关系是［］Ａ，相离Ｂ，相切Ｃ，相切或相交Ｄ，相交6，如图，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于点Ｂ，ＣA，如PA＝5，PB＝BＣ，就ＰＣ的长是［］OＡ，10 Ｂ，5 Ｃ，5 2 Ｄ，5 3P7．如图，某城市公园的雕塑是由 3 个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面 B C 上，就雕塑的最高点到地面的距离为［］A．2 3B.3 32 2C.2 2D.3 22 28，已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x两圆有［］条切线；A，1 条 B ，2 条 C ，3 条 D ，4 条－17x+35=0 的两根，就9，假如等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm，就梯形的腰长为［］Ａ，１０ｃｍＢ，１２ｃｍＣ，１４ｃｍＤ，１６ｃｍ10，如图，⊙O1 和⊙O2 相交于A，B 两点，且 A O1，A O2 分别是两圆的切线， A 是切点，如⊙O1 的半径r=3 ，⊙O2 的半径R=4，就公共弦AB的长为［］A，2 B ，4.8 C ，3 D ，2.411，水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm，水面宽也是1cm，就截面有水部分（弓形）的面积是［］A， B ， C ， D ，或二. 填空题：12.6cm 长的一条弦所对的圆周角为90°，就此圆的直径为；13. 在⊙O 中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，如，就CE=DE（只需填一个适合的条件）；14. 在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，就∠D= ；15. 如三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是；16. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E 点，AB=120°，CD=70°就∠AEB= ；17. 已知两个圆的半径分别为8 cm 和3 cm，两个圆的圆心距为7 cm，就这两个2圆的外公切线长为；18. 如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，如AE=8cm，EB=4cm，就OG= cm ；19. 已知圆锥的母线长为 5 厘米，底面半径为 3 厘米，就它的侧面积为；四. 解答题20. 如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB 上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长；CEAD O B21. 如图在⊙ O中，C 为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于点P，又PE⊥CB于E，如BC=10，且CE∶EB=3∶ 2，求AB的长．22. 已知：如图， A 是以EF 为直径的半圆上的一点，作A G⊥EF 交EF 于G，又 B 为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，求证：AE 2EB EK23. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB 边上的高，求证：AC·BC=AE·CD。
2024成都中考数学第一轮专题复习 圆的有关概念及性质 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52， 即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。
中考数学一轮复习资料第38讲 与圆有关的概念(解析版)
2020届中考数学一轮复习讲义考点三十八：与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)3.直径经过圆心的弦叫做直径。
(如图中的CD)直径等于半径的2倍。
4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
3、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类考点典例一、垂径定理【例1】(2019•广西北部湾经济区•3分)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸．【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【举一反三】(2018年湖北省黄梅濯港镇中心学校数学中考模拟)关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．故选：C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角线段，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.考点典例二、求弦心距【例2】(2018贵州黔东南中考模拟)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm【答案】B．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径． 【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦B C ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A.241B. 234C. 4D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理. 【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF.在△ADE 和△ABF 中，∵AD ABDAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△ABF(SAS).∴DE=BF=6. ∵AH⊥BC，∴CH=BH.又∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线. ∴AH=12BF=3．故选D．考点典例三、最短路线问题【例3】(2019年黄冈市中考模拟)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为()A．B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴22×2，即PA+PB的最小值2．故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键． 【举一反三】(2018浙江温州中考模拟)如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ． 6B ． 1132C ． 9D ． 332【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1，∵AB =10，AC =8，BC =6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C =90°，∵∠OP 1B =90°，∴OP 1∥AC∵AO =OB ，∴P 1C =P 1B ，∴OP 1=12AC =4，∴P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1=1，如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是9．故选C ．考点：切线的性质；最值问题．课时作业☆能力提升一．选择题1．(山东省济南市长清区2018届九年级3月质量(模拟)检测数学试题)如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，∠OBC=30°，则点C 的坐标为( )A. ()0,5B. ()0,53 C. 50,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 50,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A故选A ．点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CAB 的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65° 【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】C点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.3.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为( ) A. 25cm B. 45cm C. 25cm 或45cm D.5 23cm 或43cm 【答案】C ． 【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm ，OD=OC=5cm. 当C 点位置如答图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴2222OM OA AM 543=-=-=cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm. ∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4845=+=+=cm. 当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4225=+=+=． 综上所述，AC 的长为25cm 或45cm . 故选C ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4. (2019•黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，点C是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m【答案】A【解析】∵OC⊥AB，∴AD=DB=20 m，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=(r-10)2+202，解得r=25 m，∴这段弯路的半径为25 m，故选A．5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是()A．22B．2C．1 D．2【答案】D.6. (西藏拉萨北京实验中学等四校2018届九年级第一次联考数学试题)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于()A. 80B. 60C. 50D. 40【答案】D【解析】试题解析：由圆周角定理得,1402A BOC∠=∠=，故选D.点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.学&科网二．填空题7.(安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=120°，若⊙O的半径为2，则弦BC的长为__________．【答案】23．∵四边形ABEC 是圆内接四边形, 120BAC ∠=，60E ∴∠=，120BOC ∴∠=，又∵OD ⊥BC ，602BOD BC BD ∴∠==，，3sin60232BD OB ∴=⨯=⨯=， 22 3.BC BD ∴==故答案为： 2 3.点睛:圆内接四边形的对角互补.8. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试)如图，△ABC 是⊙O 的内接锐角三角形，连接AO ，设∠OAB=α，∠C=β，则α+β=______°。
【中考一轮复习】与圆有关的位置关系课件
考点聚焦---点与圆的位置关系
【问题】视察图中点A,点B,点C与⊙O的位置关系？
点A在圆外 点B在圆上 点C在圆内
d＞r A
d＝r
d＜r(或0≤d＜r)
C
·O r
B
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反 过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位 置关系.
当堂训练
当堂训练
1.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接
BC,若∠P=36º,则∠B等于( A ) A.27º B.32º C.36º D.54º
当堂训练
2.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,
过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则
1.一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径
是( C )
A.1.5cm B.7.5cm C.1.5cm或7.5cm D.3cm或15cm
2.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=3,AC=4,点P
在以C为圆心,5为半径的圆上,连接 PA,PB.若PB=4,则PA的长为_3_或___7_3_
P2
B
P1
C
A
目录
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆的切线的性质及判定
切线长定理
三角形的内切圆、外接圆
典型例题
【例2】Rt△ABC中,∠C=90º,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半
径作圆,若⊙aC与直线AB相切,则r的值为( B )
A.2cm B.2.4cm
C.3cm
D.4cm
考点聚焦---直线与圆的位置关系
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
九年级数学中考一轮复习 微专题二讲义：圆的基本性质
微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长； （2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ； （3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（ ）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （ ）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。
数学中考复习 圆的相关知识点及习题
圆专题一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．F EBA CDOr a 2d O CBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等 所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EO D B A【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【例2】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例3】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例4】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ ∠的大小为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【例5】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例6】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于ON MHG FE DC BA（ ） A ．60°B ．100°C ．80°D ．130°【例7】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．【例8】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例9】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【例10】 如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．DCA BBA【例11】 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．【例12】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5【例13】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例14】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．2. 圆内接四边形【例15】 如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．【例16】 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，BAPEC BAP DCBAAB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．【例17】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5） 圆心(定点)，确定圆的位置； （6）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （8） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：C二、过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． （2） 经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例18】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7二、过三点的圆【例19】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例20】 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．三、三角形的外接圆及外心【例21】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .【例22】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍． ABCD ．12【例23】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例24】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【例25】 已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ． ⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑴ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2+∆ABC 外接圆的面积．直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：6. 切线的性质（9） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（10） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．7. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．AB CD El8. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．二、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．lcb acbaO F ED CACBAB A【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C【例7】 如图，已知AB 为⑴O 的弦，C 为⑴O 上一点，⑴C =⑴BAD ，且BD ⑴AB 于B ．（1）求证：AD 是⑴O 的切线．（2）若⑴O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．一、切线长定理1.如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=︒，P ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．70︒2.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B ，两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C．D．P则OP =（ ）A ．50cm B．cm Ccm D．cm5.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．146.等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．7.如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．8.如图，PA PB ，切O 于AB ，，MN 切O 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．PB P于G，交AB AC、于MN，则BMN∆的周长为______________．10.如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA=，且6AD OC+=，求CD的长．补充讲义两圆的公切线（选讲自己了解）9.两圆的外公切线（11）求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的外公切线长为：l=，sin2R rdα-=（12）求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形．10.两圆的内公切线如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的内公切线长l=，sin2R r dα+ =CB AP圆与相似三角形经典证明题1.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3 点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系为．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．4．．Rt．ABC．．．ACB=90°．D．AB．．．．．．．BD．．．．．O．AC．．E．．．DE．．．．．BC．．．．．．．F．．BD=BF．．1．．．．AC．．O．．．．2．．BC=6．AB=12．．．O．．．．5．．．．AB．．O．．．．．．A．．O．．．．．．．．．．C．．．OC．．O．．D．BD．．．．．AC．E．．．AD．．1．．．．．CDE．．CAD．．2．．AB=2．AC=2．．AE．．．6. 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB 于点E．．1．．．．AC•AD=AB•AE．．2．．．BD．⊙O．．．．D．．．．E．OB．．．．．BC=2．．．AC．．．7．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.8. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．9. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.．．．．．O．．AB．．．．OC．AB．．CD．OB．．．F．．AB．．．．．．．E．．EF=ED．．1．．．．DE．．O．．．．．2．．OF．OB=1．3．．O．．．R=3．．．．．11．．．．AB ．⊙O ．．．．．D ．．．．．．∠BDE =∠CBE ．BD ．AE ．．．F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF •DB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB ：PC =1：2． （1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD =3，求△ABC 的面积．13．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB =∠AEC . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =⋅； （3）若⊙O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.第13题图FH EOC B A。
(完整版)中考初三圆知识点专题复习
、圆中重要的知识点 1、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：( 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论,即:3、如图，已知在O O 中，弦AB CD ，且AB CD ，垂足为H , 0E(1) 求证：四边形OEHF 是正方形.(2) 若CH 3 , DH 9,求圆心0到弦AB 和CD 的距离.以上共4个定理,①AB 是直径 ②AB CD ③ CEDE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，••• AB // CD•••弧 AC 弧 BD例题1、基本概念1. F 面四个命题中正确的一个是( A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 •平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2. F 列命题中，正确的是().A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,为 16cm, 那么油面宽度AB 是cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,，如果油面宽度是 48cm,那么油的最大深度为 _______ cm.AB 于 E , OF CD 于 F .截面如图所示，如果油的最大深度4、已知：△ ABC内接于O O, AB=AC半径OB=5cm圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是〒的中点，AD丄BC于D,求证：AD=1 BF.2F例题3、度数问题1、已知：在O O中，弦AB 12cm , 0点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径2、已知：O O的半径0A 1，弦AB AC的长分别是J2、J3.求BAC的度数。
中考数学圆知识点总结5篇
中考数学圆知识点总结5篇第1篇示例：数学是中考考试的必考科目，而关于圆的知识点在数学中占有非常重要的地位。
掌握了圆的相关知识，不仅能够在中考中取得更好的成绩，也有助于我们理解和运用数学知识。
下面我们来总结一下关于中考数学圆知识点的内容。
一、圆的基本概念圆是由平面上距离给定点（圆心）的所有点构成的集合，圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆内不经过圆心的线段称为弦，圆内的一段是弦分成的弧，半径的两端和圆上的一点共线，相交于该点的两条切线长度相等等。
二、圆的性质1. 同圆的弦长相等，异圆的弦长不等。
2. 相等圆的半径相等，而且圆周相等。
3. 圆内角、弦的角平分线和半径三者相交于一点。
4. 圆的外接角是对半的，即半径与切线相交于90度，弦与弦的夹角、切线与切线的夹角相等。
5. 内角落在圆弧内的叫做圆心角。
三、圆的相关定理1. 存在唯一的过三点的圆定理（就是圆的唯一性）。
2. 切、割定理（切线与切线、弦、割线各自乘积相等）。
3. 平行/相似判定定理（有什么情况判断两个圆是否平行或相似）。
4. 余弦定理（三角形当中，直角三角形含有的一种特殊情况）。
5. 弦切角定理（描述弦在圆内部与对应的两平行切线的关系）。
6. 余切定理（指两个切线、或一条切线和半径之间的倍率关系）。
7. 切线定理（圆外一点到圆的切线与切点连线的长度之积）。
四、圆的应用1. 圆的相关计算问题：包括求圆周长、面积等。
2. 圆与三角形、正方形/矩形的结合题：针对圆与其他几何形状的相互作用问题。
3. 圆与证明题：利用圆的性质，进行证明题目。
圆的知识点在中考数学中具有非常重要的地位，掌握了圆的相关知识，可以更好地完成相关题目。
在复习中，我们需要通过大量的练习，加深对圆的概念和性质的理解，提高解题的能力和速度。
希望同学们能够认真学习和练习，取得优异的成绩，顺利通过中考。
第2篇示例：中考数学圆知识点总结圆是我们日常生活中常见的几何图形之一，具有许多特殊性质和规律。
中考复习第一轮课件31圆的有关概念
圆内接四边形性质定理： 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对 角互补， 角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角.
【重点讲解 重点讲解】 重点讲解
例1.(2007上海)小明不慎把家里的圆形玻璃 打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到 与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店 去的一块玻璃碎片应该是（ B ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
(3)圆心角、弧、弦、弦心距. 圆心角、 弦心距. 定理：在同圆或等圆中， 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 圆周角定理： (4)圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的 圆心角的一半. 圆心角的一半. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径. 的圆周角所对的弦是直径. 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形. (5)
3.与圆有关的概念
(1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆. (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. (6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. (8)三角形外心及性质.
O A B
OC = OA2 − AC 2 = 32 − 22 = 5
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
最新中考数学-一轮复习：与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系基础知识知识点一、点与圆的位置关系1. 点和直线有三种位置关系：①点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；②点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；③点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径．2. 用数量关系表示位置关系：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有①点P在⊙O外d＞r；②点P在⊙O上d＝r；③点P在⊙O内d＜r．知识点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：（1）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．（3）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交．2、直线和圆的位置关系的性质与判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线和圆相离 d < r②直线和圆相切 d = r③直线和圆相交 d > r．知识点三、切线的判定定理1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在应用定理时，必须先弄清两个条件：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径，两者缺一不可．2. 切线的判定方法有以下几种：①可以直接应用定义：直线与圆有一个公共点时，直线是圆的切线．②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.③切线的判定定理．当已知条件中没有指出圆与直线的公共点时，常运用方法②进行判定；当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常运用判定定理进行判定.证题方法“有点连半径，无点作垂线”.知识点四、切线的性质定理与切线长定理1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．当已知圆的切线时，常常连接过切点的半径，得两线垂直关系. 2.切线长定理（1）切线长的定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等． 知识点五、三角形的外接圆与外心1. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．2. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点.这个点叫做三角形的外心．3. 三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的；但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．知识点六、三角形的内切圆与内心1.三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．任意一个三角形都有且只有一个内切圆．但一个圆的外切三角形有无数个．2. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等. 常见结论：（1）Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径2ab cr ； （2）△ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则12S lr ． 知识点七、正多边形与圆的关系1. 正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n （n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n 边形.利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．3. 对称性：①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心． ③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角． 典型例题解析例1. 已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为cm．例2. 已知⊙O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO=2cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离或相切D．相切或相交例3. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是.例4. （朝阳）如图，△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）A．2B．3C．2 D．3例5. （葫芦岛）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则SS阴影空白（）A．3 B．4 C．5 D．6例6. 如图：⊙I是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AC=6，BC=8，则⊙I的半径是.例7. （锦州）已知，⊙O为∆ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE 的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，例8. （来宾）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O 于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于点G.连接AE.(1) 直接写出AE与BC的位置关系；(2) 求证：△BCG∽△ACE ；(3) 若∠F=60°，GF=1，求⊙O得半径.巩固训练1. （青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥62. 在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为210，点P的坐标为（4，5），那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定3. 已知正三角形外接圆半径为3，这个正三角形的边长是（）A．2 B．3 C．4 D．54. （天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°△放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面5. 如下图，将ABC△，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．去覆盖ABC6. （曲靖）如图,正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是.7. （莱芜）如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点F，连接BF,下列说法不正确的是（）A. △CDF的周长等于AD＋CDB. FC平分∠BFDC. AC2＋BF2＝4CD2D. DE2＝EF·CE8. （广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6，若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次9. （日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切.若反比例函数kyx（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．10. （德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.（1）求AC，AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.11. （河南）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，切点分别为点A、B.（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=cm时，四边形AOBP是正方形.12. （抚州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP 并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，－1).(1)求证：DC＝FC.(2)判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由.(3)求直线AD的解析式.中考预测1. 在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a=-1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜-1时，点B在圆A外D．当-1＜a＜3时，点B在圆A内2. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A ＝30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3, 0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．54. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD. 已知PC=PD=BC. 下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°. 其中正确的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．6. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是．7. 已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC只有一个公共点，那么x的取值范围是．8. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是__________．(结果保留π)9. 如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为．10. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°.以AB的中点O为圆心、OA长为半径作半圆，交AC于点D.点E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是该半圆的切线；（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长.11．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE AC，垂足为E.（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，与⊙O 相切， BD ∥AC ． (1)图中∠OCD ＝_______°，理由是_____________________； (2)⊙O 的半径为3，AC ＝4，求OD 的长．13. 阅读材料：已知，如图(1)，在面积为S 的△ABC 中， BC ＝a ，AC ＝b ， AB ＝c ，内切圆O 的半径为r.连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形． ∵r c b a r AB r AC r BC S S S S OAB OAC OBC )(21212121++=⋅+⋅+⋅=++=△△△.. ∴cb a Sr ++=2．(1)类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2)，各边长分别为AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，AD ＝d ，求四边形的内切圆半径r ；(2)理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝21，CD ＝11，AD ＝13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求21r r 的值.参考答案：巩固训练∵∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC,∴11313222 OCES CE DE∆=⨯⨯=⨯=.13. 【解析】 (1)连接OA 、OB 、OC 、OD. ∵AOD COD BOC AOB S S S S S △△△△+++=dr cr br ar 21212121+++=r d c b a )(21+++=。
2012中考总复习-圆的基本性质
有关概念
圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距 等圆、同心圆 圆心角、圆周角
圆的基本性质
圆的中心对称性和旋转不变性
圆的轴对称性
圆心角定理 圆周角定理
垂径定理
一、圆的基本概念
1.定义:平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形 叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称 为半径).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”.
A
O
CE
G
D
F
B
(1)
四、典型例题分析 【例3】如图2，AB是是⊙O的直径， CD是⊙O的一条弦, 且AB⊥CD于点G。 (2)当点F在弧AC上运动时(不与点A,C重合),以上结论
成立吗?
A
F
O
EC
G
D
(2) B
四、典型例题分析
【例3】如图(3) ，AB是是⊙O的直径， CD是⊙O的一 条弦,且AB⊥CD于点G (3)若点F在弧AD上运动以上结论还成立吗? (不与点 A,D重合)
二、圆的基本性质
(三)、圆周角定理
1.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半. 即 ∠ABC = 1∠AOC.
D
2
B
C
E
●O
A
●O
B
A
C2Leabharlann 推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
3.推论2:直径所对的圆周角是直角.
4.推论3:90°的圆周角所对的弦是直径.
三、热身练习
D
3
(二)、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所 对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
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圆
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童鞋，我们下次见
谢谢所有同学的配合，我们下次再见~~~
那么第一次课呢，老师将为同学们介绍四种常见“干扰项”的设计方式，让 我们了解那些出卷老师是怎么让我们掉入陷阱的~~~
上述专业的叙述是不是感觉我再也不是辣个萌萌哒的Miss 边了？哈哈，我 只是想告诉同学们，老师不只是只能讲基础的，老师同样可以讲技巧的（我才不 会告诉你们我看了好多大神的书呢）。放心啦，细心继续，耐心继续，老师的风 格永远不会变哦。so，准备好了吗？let's go!
后续课后程续介课绍程介绍
小题不大做客观题点击技添巧加之文本选择题干扰项的设置 时间：3月26日 12:00-12:30 内容简介：
在平常的考试中，我们往往会把更多心思放在大题上，确实大题分数多，做 出来也更加有成就感。更有同学说，大题不会做是一个字也写不出来，而选择填 空至少还文可本以猜。说法没错文，本可是同学，你真文的本会猜么？选择题的选项设置真的 只是随便凑数的么？要想做出一道填空题真的需要一步一步计算出来么？