9、圆锥曲线
圆锥曲线第二定义内容及推论
圆锥曲线第二定义内容及推论本系列将介绍圆锥曲线的基础知识。
圆锥曲线主要有椭圆、抛物线、双曲线。
下面主要介绍它们的定义、标准方程、几何性质和一些特征量。
同时，圆锥曲线的统一定义，即第二种定义，也将在下面介绍。
本文首发于如下：数学那些事sunsnow。
概述了双曲线的定义和几何性质。
1 双曲线定义1 第一定义平面内与两个定点f_1、f_2的距离之差的绝对值等于常数2a( 0 < 2a < |f_1f_2| )的点的轨迹称为双曲线。
即双曲线上的点m满足\left\|m f_{1}|-| m f_{2}\right\|=2 a \\其中f_1、f_2为双曲线的焦点，2c=|f_1f_2|为双曲线的焦距，2a为双曲线的实轴。
2 第二定义平面上到定点f与到定直线l距离之比为常数e( e>1 )的点的轨迹为双曲线。
其中，定点f为双曲线的焦点，定直线l为双曲线的准线，常数e为双曲线的离心率。
2 几何性质标准方程双曲线的标准方程为\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ &\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\上面表达式所表示的双曲线焦点在x轴上；下面表达式所表示的双曲线焦点在y轴上。
可见，哪个坐标前面的系数为正，双曲线焦点就在哪个轴上。
下面以焦点在x轴上的双曲线为例进行介绍。
即：\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\几何图形离心率双曲线的离心率e定义为e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1 +\frac{b^{2}}{a^{2}}} \\显然双曲线的离心率范围为 e>1 。
圆锥曲线 公式
圆锥曲线是一个在三维空间中由一个固定点（焦点）和一个固定直线（直角方向线）确定的曲线。
根据焦点和直角方向线的位置关系，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
下面是各种圆锥曲线的基本方程：
1. 椭圆（Ellipse）的方程：
(x/a)² + (y/b)² = 1
其中，a为椭圆的长轴（长半径）长度，b为椭圆的短轴（短半径）长度。
2. 双曲线（Hyperbola）的方程：
(x/a)² - (y/b)² = 1 (右开口)
或
-(x/a)² + (y/b)² = 1 (左开口)
其中，a为双曲线的实轴（长半轴）长度，b为双曲线的虚轴（短半轴）长度。
3. 抛物线（Parabola）的方程：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c为抛物线方程的系数，确定了抛物线的形状和位置。
4. 直线（Line）的方程：
y = mx + c
其中，m为直线的斜率，c为直线的纵截距。
这些方程仅涵盖了基本形态的圆锥曲线方程。
在实际应用中，还可以根据具体情况进行方程的变形和扩展。
圆锥曲线解题技巧归纳(9篇)
圆锥曲线解题技巧归纳（9篇）化为一元二次方程，利用判别式求最值篇一如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。
例3：直线，椭圆C：。
求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的。
分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的`最小值。
解：椭圆C的焦点。
说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。
圆锥曲线的八大解题方法：篇二1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法圆锥曲线的解题方法：篇三一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。
例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2。
求动点P的轨迹方程。
解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。
（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。
（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。
例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。
解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。
例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。
解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。
一、化为二次函数，求二次函数的最值依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式，而自变量都有一定的变化范围，然后用配方法求出限制条件下函数的最值，就可得到问题的解。
解读数学中的圆锥曲线与双曲线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线和双曲线是数学中重要的概念和研究对象。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将对圆锥曲线和双曲线进行解读，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交所得到的曲线。
根据平面与圆锥的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆：当平面与圆锥的切线小于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为椭圆。
椭圆具有以下性质：a. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越接近于圆形；b. 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数；c. 椭圆的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。
2. 抛物线：当平面与圆锥的切线等于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为抛物线。
抛物线具有以下性质：a. 抛物线具有对称性，焦点是抛物线的特殊点，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；b. 抛物线的形状由焦点和准线的位置决定，焦点越靠近准线，抛物线越扁平。
3. 双曲线：当平面与圆锥的切线大于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为双曲线。
双曲线具有以下性质：a. 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线的形状越扁平；b. 双曲线的焦点是双曲线的特殊点，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是常数；c. 双曲线的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定双曲线的形状和大小。
二、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 光学：双曲线是抛物面镜和双曲面镜的截面曲线，这些曲线具有聚焦和发散光线的特性，被广泛应用于光学系统中，如望远镜、显微镜等。
2. 电磁场：在电磁学中，双曲线是电场和磁场的等势线，它们的分布和形状对电磁场的性质和行为有着重要的影响。
3. 天体力学：在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道形状，如彗星的轨道就是一个双曲线。
圆锥曲线参数方程中参数的几何意义
圆锥曲线参数方程中参数的几何意义圆锥曲线是解析几何中的重要组成部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
在数学分析中，我们常常使用参数方程来描述这些曲线。
本文将详细探讨圆锥曲线参数方程中的参数所蕴含的几何意义。
圆锥曲线的参数方程通常由两个变量表示，一个是参数，另一个是曲线上的点的坐标。
这些参数在几何上具有直观的意义，以下是几种常见圆锥曲线参数方程中参数的几何意义的解析：### 椭圆的参数方程椭圆的标准参数方程可以写作：[ x=acostheta ][ y=bsintheta ]其中，( a )和( b )分别是椭圆的半长轴和半短轴，而( theta )是参数。
**参数的几何意义：**- ( theta )：表示从椭圆的x轴正半轴开始，逆时针旋转到椭圆上某点的角度。
- ( costheta )和( sintheta )：分别决定了点在x轴和y轴上的投影长度。
### 双曲线的参数方程双曲线的标准参数方程为：[ x=asectheta ][ y=btantheta ]或[ x=acosh t ][ y=bsinh t ]**参数的几何意义：**- ( theta )或( t )：代表点在双曲线上相对于渐近线的位置。
- ( sectheta )和( tantheta )：描述了点在x轴和y轴方向上的放大倍数。
- ( cosh t )和( sinh t )：与双曲线的对称性和渐近线有关，其中( cosh t )表示点在x轴方向的位移，( sinh t )表示点在y轴方向的位移。
### 抛物线的参数方程抛物线的参数方程通常写作：[ x=t ][ y=at^2+bt+c ]**参数的几何意义：**- ( t )：代表从抛物线顶点到曲线上任一点的距离（假设( x=t )沿对称轴方向）。
- ( a )，( b )，( c )：与抛物线的开口方向、大小和位置有关。
通过对圆锥曲线参数方程中参数的几何意义的分析，我们可以更深入地理解这些曲线的几何特性和它们在坐标系中的位置关系。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
1 ， 2
1 PH , 即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
4 / 35
当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为
a2 xA 4 1 3 c
y M D C 5 x
A
0B
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方 程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中 的 A、M、C 共线，B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中 的 MC MD ） 。 解：如图， MC MD ， ∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2 ∴ MA MB 8 （*）
∴ 4 y 0 4 x0
2
9 ， 2 1 4 x0
2 4 y 0 4 x0
9 9 2 (4 x0 1) 2 1 2 4 x0 4 x0 1
6 / 35
≥ 2 9 1 5,
y0
5 4
当 4x02+1=3 即 x 0
2 2 5 5 , ) 时， ( y 0 ) min 此时 M ( 2 2 4 4
方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=
3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半 径） ，可转化为边长的关系。
3 sinA 5 3 ∴ AB AC BC 5
x0 y 0 k 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线拉格朗日恒等式-概述说明以及解释
圆锥曲线拉格朗日恒等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学领域中，圆锥曲线是一类重要的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
而拉格朗日恒等式则是一种在微积分中经常用到的重要等式，用于描述函数的导数与积分之间的关系。
本文将探讨圆锥曲线与拉格朗日恒等式之间的联系，重点介绍圆锥曲线拉格朗日恒等式的推导过程。
通过深入研究这一恒等式，我们可以更深入地理解圆锥曲线的性质，并且拓展对其在微积分中的应用。
通过本文的阐述，读者将能够对圆锥曲线和拉格朗日恒等式有更清晰的认识，同时也能够掌握相关数学知识的推导方法和应用技巧。
愿本文能够为读者带来启发和启示，促使对数学更深入的研究和理解。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容进行简要介绍，让读者能够清晰地了解文章的脉络和主要内容安排。
以下是对文章结构部分的内容的一个可能的写作方式：文章结构部分介绍了本文的组织结构，主要包括引言、正文和结论三个主要部分。
在引言部分，将对本文的背景和研究现状进行概述，同时明确本文的目的和意义。
接着，在正文部分将从圆锥曲线的定义出发，介绍拉格朗日恒等式，并详细推导出圆锥曲线拉格朗日恒等式。
最后，在结论部分将对整篇文章进行总结，并探讨圆锥曲线拉格朗日恒等式的应用与意义，以及展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构，读者可以全面了解本文的内容框架，更好地理解文章的内容。
1.3 目的：本文的目的在于探讨圆锥曲线与拉格朗日恒等式之间的关系，具体而言，通过推导圆锥曲线拉格朗日恒等式，深入理解这一数学概念的内在联系。
通过本文的研究，我们希望能够帮助读者更加清晰地理解圆锥曲线和拉格朗日恒等式的本质，拓展数学知识的广度和深度。
同时，通过具体的数学推导过程，我们也可以锻炼自己的数学推理和分析能力，提高解决数学问题的能力和水平。
最终，我们希望本文能够为读者提供一个新的视角，深入探讨数学世界中圆锥曲线和拉格朗日恒等式的奥秘。
2.正文2.1 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在平面上呈现出的曲线形状，其定义来源于一个平面上的点集合到一个定点的距离与一个定直线上的点到该定点的距离之比保持不变的性质。
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线最常见二级结论
圆锥曲线是数学中的重要内容，也是平面解析几何的核心。
以下是圆锥曲线的一些常见二级结论：
1.离心率和焦点与直径的关系：对于椭圆和双曲线，离心率是一个描述曲线扁平程度的参数。
对于椭圆，离心率e的取值范围是0到1之间；而对于双曲线，离心率大于1。
离心率和焦点与直径之间存在紧密的关系。
2.切线与法线的性质：曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线。
切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的。
切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数。
3.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和：过椭圆准线上任意一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
4.圆锥曲线的相关二级结论：例如过圆上任意一点作圆的两条切线，两条切线垂直；过椭圆上任意一点作斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值等。
此外，还有很多其他结论和应用，可以根据具体的数学分支和需求进行深入研究和学习。
这些结论有助于更好地理解和应用圆锥曲线的性质和定理，提高解题能力和数学素养。
1。
圆锥曲线面积向量叉乘
圆锥曲线面积向量叉乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开：引言:圆锥曲线是数学中重要的研究对象之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
而在计算圆锥曲线的面积时，向量叉乘的概念是一个关键的工具。
本文将探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用与实际问题中的案例分析。
文章结构:本文共分为四个部分：引言、正文、应用与分析、结论。
在引言部分，我们将总体介绍本文的主要内容和结构安排。
在正文部分，首先介绍圆锥曲线的定义和性质，然后详细介绍面积的定义与计算方法，以及向量叉乘的概念与性质。
在应用与分析部分，我们将探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，介绍圆锥曲线面积的计算方法，并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用和实际问题中的案例分析。
最后，在结论部分，我们将对全文进行总结与回顾，探讨圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向，以及对本文内容的贡献和局限性，并展望未来的研究方向。
目的:本文的目的是探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系，并研究向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用。
通过对圆锥曲线面积的计算方法和向量叉乘的概念进行分析和研究，我们旨在深入理解圆锥曲线的性质和面积计算的原理，并探讨向量叉乘在实际问题中的应用。
同时，本文还将对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向进行探讨，为未来研究提供一定的参考。
总结:本文将从圆锥曲线的定义和性质出发，通过对面积的定义与计算方法的介绍，讨论向量叉乘的概念与性质，进而探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系，并在应用与分析部分介绍具体的计算方法和实际问题中的案例分析。
最后，在结论部分对全文进行总结与回顾，提出对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向的展望。
通过本文的研究，我们将有助于深化对圆锥曲线面积与向量叉乘关系的理解，以及在实际问题中的应用。
文章结构部分的内容主要是介绍整篇文章的组织结构和各个章节的内容概述。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问 题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－ －yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)， －4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二 最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标 思维提 准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行 讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1
高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于定长定长通常等于2a,且2a>F 1F 2的点的轨迹叫椭圆;1①椭圆的标准方程：i. 中心在原点,焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+.ii. 中心在原点,焦点在y 轴上：)0(12222b a b x a y=+.注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b ac =-；B.在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,只要看2x 和2y 的分母的大小;②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 一象限θ应是属于20πθ .⑵椭圆的性质①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴,y 轴；长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.∵0a c >>,∴01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁；反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆;当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=;⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点,21,F F 为左、右焦点,则ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a a y b x =+上的一点,21,F F 为上、下焦点,则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑨焦点三角形的面积：若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ∆的面积为2tan 2θb 用余弦定理与a PF PF 221=+可得;若是双曲线,则面积为2cot2θ⋅b ;（3）（4）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==,方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 2.3.椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线LF 不在L 上的距离的比为常数e 01e <<的点的轨迹叫做椭圆;其中定点F 为椭圆的焦点,定直线L 为椭圆焦点F 相应的准线;二、双曲线方程1.2. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F 1,F 2的差的绝对值等于定长定长通常等于2a,且2a<F 1F 2的点的轨迹叫做双曲线;12||||||2PF PF a -=;⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-.一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-by a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±bx a y 或02222=-b x a y ,参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c.③离心率ace =.④准线距c a 22两准线的距离；通径ab 22.⑤参数关系ace b a c =+=,222.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-M aex F M --='01⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-yA.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线;定义式：a b =；B.等轴双曲线的性质：1渐近线方程为：x y ±= ；2渐近线互相垂直;C.注意到等轴双曲线的特征a b =,则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴,当0<λ时焦点在y 轴上;⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ,求双曲线的方程解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ,代入)21,3(-得12822=-y x .2.双曲线的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线LF 不在L 上的距离的比为常数ee>1的点的轨迹叫做双曲线;其中定点F 为双曲线的焦点,定直线L 为双曲线焦点F 相应的准线;三、抛物线方程1抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 不在定直线l 上;定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线;方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程;注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是F2p ,0,它的准线方程是2px -= ；2抛物线的性质设0 p ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①通径过焦点且垂直于坐标轴的线段为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.px y 22=或py x 22=的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222或⎩⎨⎧==222pt y ptx t 为参数. 四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时,轨迹为椭圆；当1=e 时,轨迹为抛物线；当1 e 时,轨迹为双曲线；当0=e 时,轨迹为圆a c e =,当b ac ==,0时.弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=2.备注1双曲线：1等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=,离心率2=e . 2共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 备注2抛物线：1设抛物线的标准方程为2y =2pxp>0,则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ,顶点到准线的距离2p,焦点到准线的距离为p.2已知过抛物线2y =2pxp>0焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,则线段AB 称为焦点弦,设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,则弦长AB=21x x ++p 或α2sin 2pAB =α为直线AB 的倾斜角,221p y y -=,2,41221px AF p x x +==AF 叫做焦半径. §弦长公式：。
圆锥曲线面积公式
圆锥曲线面积公式圆锥是一种三维曲面，它具有非常独特的性质，是许多几何结构中常见的几何形状之一。
它是由一个圆和一条接近它的直线组成的，其特性可以用一种称为“圆锥曲线面积公式”的公式来描述。
圆锥曲线面积公式是描述圆锥形状及其面积的一种经典几何公式。
其中，圆锥体的表面积可以用以下公式表示：S =r(h + r)其中，r表示圆锥底部圆的半径，h表示圆锥高度，π表示3.1415926。
圆锥曲线面积公式是世界上最常用的一个几何公式，它可以用来解决圆锥的表面积、体积和对称性等相关问题。
在建筑设计、医学技术和其他多种应用领域，圆锥曲线面积公式在图形绘制和几何处理方面都被广泛使用。
在高等数学中，圆锥曲线面积公式也被广泛应用，它可以帮助数学家们求解许多复杂的几何问题。
举个例子，假设有一个圆锥体，它底部半径为5，高度为10，则根据圆锥曲线面积公式，它的表面积为π5(10+5)，也就是785.398163。
圆锥曲线面积公式也可以用来解决另一种复杂的几何问题，那就是求解圆锥体的体积。
圆锥体的体积是由底面圆和圆锥面积之积所得，因此，圆锥体的体积公式可以用以下公式表示：V=rh/3，其中，r表示圆锥底部圆的半径，h表示圆锥高度，π表示3.1415926。
举个例子，假设有一个圆锥体，其底部半径为5，高度为10，则根据圆锥体的体积公式，它的体积为π510/3，即261.7990512。
圆锥曲线面积公式不仅可以用于解决圆锥底部半径、高度和面积、体积等问题，还可以用于解决其他一些几何问题，比如计算圆锥面积的分段函数，以及计算平面内的圆锥的平行于底面的线段的长度。
圆锥曲线面积公式可以让数学家们知道如何去计算几何图形，为科学家们在多个学科领域工作提供了极大的帮助。
总之，圆锥曲线面积公式是一种经典的几何公式，用于描述圆锥曲线的面积及其相关特性，它可以用来解决圆锥表面积、体积、分段函数等多种复杂的几何问题，并且在建筑设计、医学技术和其他多种应用领域中被广泛使用，为科学家们工作提供了极大的帮助。
圆锥曲线第三定义内容及推论
圆锥曲线第三定义内容及推论
圆锥曲线的第三定义是：在平面上取定一个点F（称为焦点）和一条
直线L（称为准线），对于平面上的任意一点P，其到焦点的距离与到准
线的距离之比是一个定值e（称为离心率），即PF/PL=e。
根据这个定义，我们可以得出以下推论：1.离心率e的取值范围是0<e<1。
当e=0时，圆
锥曲线为圆；当e=1时，圆锥曲线为抛物线。
2.对于椭圆和双曲线，焦点
和准线的位置关系不同。
对于椭圆，焦点在准线的中垂线上；对于双曲线，焦点在准线的中线上。
3.椭圆和双曲线的离心率是有关系的。
椭圆的离心
率小于1，双曲线的离心率大于1。
4.圆锥曲线的形状和离心率有关。
离
心率越小，圆锥曲线越接近于圆形；离心率越大，圆锥曲线越扁平。
5.圆
锥曲线的焦点和准线可以确定圆锥曲线的位置和形状。
因此，我们可以通
过给定焦点和准线的位置来确定圆锥曲线的方程。
总之，圆锥曲线的第三
定义是圆锥曲线研究的基础，通过这个定义我们可以得出很多有用的结论，帮助我们更好地理解和应用圆锥曲线。
圆锥曲线加密算法
圆锥曲线加密算法圆锥曲线加密算法是一种基于椭圆曲线加密算法的加密方式。
它是在保护信息安全方面的一种高强度的加密算法，被广泛应用于银行、金融、电子商务等领域。
本文将从以下几个方面进行介绍：什么是圆锥曲线；圆锥曲线加密算法的原理；圆锥曲线加密算法的优点及其应用。
一、什么是圆锥曲线？圆锥曲线是解析几何中的一个重要概念，它是平面上所有点的集合，其满足一个特定的方程式。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种，可以通过改变方程式中的参数来描述不同形状的曲线。
二、圆锥曲线加密算法的原理与椭圆曲线加密算法类似，圆锥曲线加密算法同样是基于数学问题的难度来保护信息安全的。
圆锥曲线加密算法的基本原理是：通过随机选择一个大的素数作为私钥，在圆锥曲线上选择一个点作为公钥。
然后利用这个公钥进行信息加密，只有知道私钥的人才能够解密。
与椭圆曲线加密算法不同的是，圆锥曲线加密算法可以使用较小的素数进行加密，这使得它更加高效和快速。
另外，圆锥曲线加密算法在安全性方面也具有较高的保障，它可以有效地避免信息泄露和被窃听等风险。
三、圆锥曲线加密算法的优点及其应用圆锥曲线加密算法在信息加密和保护方面具有以下几个优点：（1）高度保密性：圆锥曲线加密算法具有高度的保密性，只有知道私钥的人才能够解密。
（2）高效性：圆锥曲线加密算法可以使用较小的素数进行加密，这使得它更加高效和快速。
（3）广泛应用：圆锥曲线加密算法被广泛应用于银行、金融、电子商务等领域，可以有效地保护信息安全。
除了以上优点，圆锥曲线加密算法还可以被用于数字签名、安全电子邮件通信等方面，具有良好的发展前景和应用前景。
综上所述，圆锥曲线加密算法是一种高效、安全的信息加密算法，它在信息保护方面具有广泛的应用价值，可以有效地保障信息的安全性。
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高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线【知识图解】【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A圆锥曲线双曲线椭圆抛物线几何性质 定义几何性质 标准方程定义几何性质标准方程 圆锥曲线应用定义标准方程【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是43 2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P （3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程.解：（1）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22221y x a b+=（0a b >>），由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)1010210222222a =-+++-+-=+=，∴10a =，又∵2c =，∴2221046b a c =-=-=，所以，椭圆的标准方程为221106y x +=。
（2）方法一：①若焦点在x 轴上，设方程为()222210x y a b a b+=>>，∵点P （3,0）在该椭圆上∴291a=即29a =又3a b =，∴21b =∴椭圆的方程为2219x y +=. ②若焦点在y 轴上，设方程为()222210y x a b a b+=>>，∵点P （3,0）在该椭圆上∴291b=即29b =又3a b =，∴281a =∴椭圆的方程为221819y x += 方法二：设椭圆方程为()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠.∵点P （3,0）在该椭圆上∴9A=1，即19A =,又3a b =∴1181B =或，281a =∴椭圆的方程为2219x y +=或221819y x +=. 【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x 轴上，设方程为()222210x y a b a b +=>>，若焦点在y 轴上，设方程为()222210y x a b a b+=>>，有时为了运算方便，也可设为221Ax By +=，其中0,0,A B A B >>≠.例2.点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
【分析】①列方程组求得P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x ,y ),则AP =（x +6, y ）,FP=（x －4, y ）,由已知可得 22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则22x +9x －18=0, x =23或x =－6.由于y >0,只能x =23,于是y =235. ∴点P 的坐标是(23,235) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m .于是26+m =6m -,又－6≤m ≤6,解得m =2. 椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15 点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.【反馈练习】1.如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（0，1）2.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是21-3.椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的7倍4.若椭圆2215x y m +=的离心率105e =,则m 的值为2533或5.．椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离为326.与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是22186x y +=或223412525y x += 7.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是10 8. 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a 和b （或2a 和2b ）的值．从而求得椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21s i n 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．第2课 椭圆B【考点导读】1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】1.曲线()2216106x y m m m +=<--与曲线()2215959x y n n n+=<<--的（D ） A 焦点相同 B 离心率相等 C 准线相同 D 焦距相等2.如果椭圆1162522=+y x 上的点A 到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是20103，3 离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是2291520x y += 【范例导析】例1.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的二个焦点F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且021=⋅M F M F 。
求离心率e 的取值范围.分析:离心率与椭圆的基本量a 、b 、c 有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，则),(1y c x M F +=，),(2y c x M F -=。
由021=⋅M F M F ，得x 2-c 2+y 2=0，即x 2-c 2=-y 2。
①又由点M 在椭圆上，得y 2=b 2222x a b -，代入①，得x 2-c 22222b x a b -=，即22222cb a a x -=。
∵0≤2x ≤2a ，∴0≤2a 222c b a -≤2a ，即0≤222cc a -≤1，0≤112-e ≤1，解得22≤e ≤1。
又∵0＜e ＜1，∵22≤e ≤1. 例2.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标.分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a ，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3. 故椭圆方程为92522y x +=1.(2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4.【反馈练习】1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为22 2．已知F 1、F 2为椭圆2212x y +=的两个焦点，过F 1作倾斜角为4π的弦AB ，则△F 2AB 的面积为43oy xCAB'B F 1F 2例23.已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为21-4.椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 125.椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．求证:821=+x x ；证明：由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：acx ca AF =-12，∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．第3课 双曲线【考点导读】1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则14m =-2. 方程13322=+--k y k x 表示双曲线，则k 的范围是33k k ><-或 3．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线的离心率为54. 已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为221916x y -= 【范例导析】例 1. (1) 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,42),(,5)4-，求双曲线的标准方程;（2）求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率． 分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>①； ∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。