从一题多解看导数在函数中的应用
应用导数求解实际问题的例子
应用导数求解实际问题的例子篇一：应用导数求解实际问题的例子导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述函数在某一点的变化率。
应用导数可以帮助我们解决许多实际问题，下面是一个例子：假设我们要设计一个汽车的制动系统，我们希望汽车在制动时可以停下来，并且停下来的时间尽可能短。
为了达到这个目标，我们需要确定合适的制动力大小和时间点。
首先，我们需要建立一个数学模型来描述汽车运动的规律。
假设汽车在t时刻的速度为v(t)，我们可以通过导数来描述速度的变化率。
根据牛顿第二定律，汽车的加速度a(t)与施加在汽车上的制动力F(t)之间存在关系：F(t) = m * a(t)，其中m是汽车的质量。
我们知道加速度是速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
将这个等式代入F(t) = m * a(t)中，我们可以得到制动力F(t)与速度v(t)之间的关系。
现在，我们的问题变成了如何确定制动力F(t)使得汽车在尽可能短的时间内停下来。
我们可以通过求解关于时间t的导数来找到答案。
我们需要求解速度v(t)等于0时的时间点t0，即v(t0) = 0。
我们可以通过将v(t)等于0代入导数dv(t)/dt中，得到速度v(t)为0时的时间t0。
通过求解这个方程，我们可以确定汽车停下来的时间点t0。
然后，我们可以根据t0来确定制动力F(t)的大小，使得汽车在这个时间点停下来。
在实际应用中，我们可以通过测量汽车的速度来获取速度随时间的变化情况。
然后，我们可以通过应用导数的方法来确定制动力的大小和时间点，以使得车辆尽快停下来。
这个例子展示了如何应用导数来解决实际问题。
通过建立数学模型，并利用导数的性质，我们可以更好地理解和优化真实世界中的各种现象和过程。
篇二：应用导数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。
下面是一个例子，说明如何使用导数来解决实际问题：假设我们需要确定一个物体在某一时刻的速度。
我们可以通过给定的位置函数来计算。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
求导数的实际应用题
求导数的实际应用题导数作为微积分的重要概念，具有广泛的实际应用价值。
在物理学、经济学、生物学等领域中，求导数可以帮助我们解决一系列实际问题。
本文将以几个实际应用题为例，阐述导数的应用。
1. 速度和加速度假设有一个小车在直线道路上行驶。
我们知道，速度可以看作是位移对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt，其中v(t)表示时刻t的速度，s(t)表示距离。
如果我们已知小车的位移函数s(t)，则可以通过求导数的方法得到其速度函数v(t)。
同样地，加速度可以看作速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
如果我们已知小车的速度函数v(t)，可以通过求导数得到其加速度函数a(t)。
这些速度和加速度的函数关系可以帮助我们对行驶中的小车进行分析，如判断是否超速或者行驶过程中是否需要采取制动等措施。
2. 弹簧振动在物理学中，弹簧振动是一个常见的问题。
假设一个弹簧的位置可以用函数x(t)表示，其中x(t)表示时刻t的位置。
根据胡克定律，弹簧受力与其伸长程度成正比。
设弹簧的劲度系数为k，则弹簧的受力可以表示为F = -kx(t)。
根据牛顿第二定律，物体受力与加速度成正比。
设物体的质量为m，则物体的加速度可以表示为a = F/m = -kx(t)/m。
我们可以通过求导数的方法，得到物体的速度v(t) = dx(t)/dt，并进一步求得物体的加速度。
通过对弹簧振动过程的分析，可以了解弹簧在不同时刻的位置、速度以及加速度，从而揭示了弹簧振动的规律。
3. 生物学中的增长问题在生物学中，许多生物群体的增长问题都可以通过求导数来解决。
以细菌繁殖为例，假设初始时刻有N个细菌，细菌的繁殖速率与其当前数量成正比。
设细菌繁殖速率为r，则细菌的繁殖速度可以表示为dN/dt = rN。
将微分方程化简后可得到N(t) = N0 * e^(rt)，其中N(t)表示时刻t的细菌数量，N0表示初始时刻的细菌数量。
通过求导数，我们可以得到细菌数量随时间变化的规律，以及在不同时刻细菌数量的增长速度。
【高中数学】习题课 导数的综合应用
习题课导数的综合应用题型一导数在解决实际问题中的应用【例1】某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝4 200－x24 500，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元.(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数；(2)求该种饮品的最大日利润.解(1)由题意，知每生产1千瓶正品盈利4 000元，每生产1千瓶次品亏损2 000元，故y＝4 000×4 200－x24 500x－2 000⎝⎛⎭⎪⎫1－4 200－x24 500x＝3 600x－43x3.所以日利润y＝－43x3＋3 600x(x∈N*，1≤x≤40).(2)令f(x)＝－43x3＋3 600x，x∈[1，40]，则f′(x)＝3 600－4x2.令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).当1≤x<30时，f′(x)>0；当30<x≤40时，f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，30)上单调递增，在(30，40]上单调递减，所以当x＝30时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，为f(30)＝－43×303＋3 600×30＝72 000，也即y的最大值为72 000，所以该种饮品的最大日利润为72 000元.规律方法利用导数解决实际应用问题的步骤(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y ＝f (x ). (2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的范围.(3)求最值：尽量使用导数法求出函数的最值. (4)下结论：根据问题的实际意义给出圆满的答案.【训练1】 如图，要设计一面矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两个栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌的面积最小？解 设广告牌的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每个栏目的高和宽分别为(x －20)cm ，y －252 cm ， 其中x >20，y >25.∵两个栏目的面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，∴y ＝18 000x －20＋25， ∴广告牌的面积S (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′(x )＝18 000[（x －20）－x ]（x －20）2＋25＝－360 000（x －20）2＋25.令S ′(x )>0，得x >140；令S ′(x )<0，得20<x <140.∴函数S (x )在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140).当x ＝140时，y ＝175，故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告牌的面积最小，最小面积为24 500 cm 2.题型二 与最值有关的恒成立问题【例2】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0，2)，当maxh(t)<－2t－m对t∈(0，2)恒成立，也就是g(t)<0对t∈(0，2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞).规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.【训练2】设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x∈(0，3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞). 题型三利用导数证明不等式【例3】已知函数f(x)＝ln x－a（x－1）x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对于任意x∈(1，2)，不等式1ln x－1x－1<12恒成立.(1)解易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a x2.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a). (2)证明∵1<x<2，∴1ln x－1x－1<12等价于(x＋1)ln x－2(x－1)>0，令F(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)，即F′(x)＝ln x＋x＋1x－2＝ln x＋1x－1.由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln x－1＋1x在[1，＋∞)上单调递增，∴当x∈[1，2)时，f(x)≥f(1)，即ln x ＋1x －1≥0，F ′(x )≥0， ∴F (x )在[1，2)上单调递增， ∴当x ∈(1，2)时，F (x )>F (1)＝0， 即当1<x <2时，1ln x －1x －1<12恒成立.规律方法 (1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性. (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)<f (x 2)＋g (x 2)对x 1<x 2恒成立，即等价于函数h (x )＝f (x )＋g (x )为增函数. 【训练3】 设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x . (1)解 依题意，f (x )的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1. ∴当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，且最大值f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1. 故当x ∈(1，＋∞)时，x －1ln x >1， 又可将1x 代入ln x <x －1，得ln 1x <1x －1， 即－ln x <1x －1⇔ln x >1－1x ⇔ln x >x －1x ⇔x >x －1ln x ， 故当x ∈(1，＋∞)时恒有1<x －1ln x <x .题型四 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 【例4】 已知函数f (x )＝ln x ＋ax －1，(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ≤1时，求函数f (x )在区间(0，e]上零点的个数. 解 (1)f ′(x )＝1－ln x －a x2，令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a. f ′(x )及f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )(2)由(1)可知f (x )的最大值为f (e1－a)＝1－e 1－a e1－a ，①当a ＝1时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减. 又f (1)＝0，故f (x )在区间(0，e]上只有一个零点. ②当a <1时，1－a >0，e 1－a >1， 则f (e1－a)＝1－e 1－ae1－a <0，所以f (x )在区间(0，e]上无零点.综上，当a ＝1时，f (x )在区间(0，e]上只有一个零点， 当a <1时，f (x )在区间(0，e]上无零点.规律方法 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.【训练4】 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )取得极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2－b ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝12a －b ＝0，f （2）＝8a －2b ＋4＝－43，解得a ＝13，b ＝4(经检验满足题意).∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2). 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0.因此，当x ＝－2时，f (x )取得极大值283，当x ＝2时，f (x )取得极小值－43. ∴函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的大致图象如图所示. 由图可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.一、素养落地1.通过学习利用导数解决实际应用问题、培养学生数学建模素养，通过学习利用导数解决不等式问题及函数零点问题，提升数学运算素养.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要方法.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.3.利用导数解决不等式问题与利用导数解决函数的零点问的一般方法都是转化为函数的极值或最值问题. 二、素养训练1.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( )A.3V B.32VC.34VD.23V解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43x V (x >0). ∴S ′＝3x 2(x 3－4V ).令S ′＝0，得x ＝34V . 答案 C2.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A.bf (b )≤af (a ) B.bf (a )≤af (b ) C.af (a )≤bf (b )D.af (b )≤bf (a )解析 设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数. ∵a <b ，∴g (a )≥g (b )，即af (a )≥bf (b )，故选A. 答案 A3.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A.13万件 B.11万件 C.9万件D.7万件 解析 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0.所以，函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增. 所以x ＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x ＝9处取得最大值. 答案 C4.直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________.解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.答案(－2，2)三、审题答题示范(二)利用导数解决不等式问题【典型示例】(12分)已知函数f(x)＝ax－e x(a∈R)，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间①；(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x成立②，求a的取值范围.联想解题看到①想到解不等式f′(x)>0求f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0求f(x)的单调减区间，但需注意讨论不等式中参数a的符号；看到②想到通过分离参数a构造新函数，把不等式问题转化为求函数的最值问题，需注意的是条件为“∃x”，而不是“∀x”，所以要弄清楚问题是求函数的最大值还是最小值.满分示范解(1)因为f′(x)＝a－e x，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；2分当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a.由f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；由f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞).4分(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ， 则ax ≤ln x x ，即a ≤ln xx 2.6分设h (x )＝ln x x 2，则问题转化为a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2max ，由h ′(x )＝1－2ln xx 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 变化的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)h ′(x ) ＋0 － h (x )极大值12e10分由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e . 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12e .12分满分心得(1)涉及含参数的函数的单调区间，一般要分类讨论，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)解决不等式“恒成立”或“能成立”问题首先要构造函数，利用导数求出最值、求出参数的取值范围，也可分离参数、构造函数，直接把问题转化为求函数的最值.基础达标一、选择题1.对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A.0≤a ≤21 B.a ＝0或a ＝7 C.a <0或a >21D.a ＝0或a ＝21解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ， 当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点. 答案 A2.定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A.f (0)＋f (2)>2f (1) B.f (0)＋f (2)＝2f (1) C.f (0)＋f (2)<2f (1)D.f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1). 答案 C3.已知函数f (x )＝x －sin x ，则不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.(－∞，3)D.(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x －sin x ，所以f (－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，函数的导数f ′(x )＝1－cos x ≥0，则函数f (x )是增函数，则不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0等价为f (x ＋1)>－f (2－2x )＝f (2x －2)，即x ＋1>2x －2，解得x <3，故不等式的解集为(－∞，3). 答案 C4.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A.4 B.6 C.4.5D.8解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4. 答案 A5.若函数f (x )＝x 2e x －a 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2 C.(0，4e 2)D.(0，＋∞)解析 令g (x )＝x 2e x ， 则g ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2). 令g ′(x )＝0，得x ＝0或－2，∴g (x )在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增. ∴g (x )极大值＝g (－2)＝4e 2，g (x )极小值＝g (0)＝0， 又f (x )＝x 2e x －a 恰有三个零点，则0<a <4e 2. 答案 B 二、填空题6.某厂生产某种商品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大.解析 设产品的单价为p 万元，根据已知，可设p 2＝k x ， 其中k 为比例系数.因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000. 所以p 2＝250 000x ，p ＝500x ，x ＞0.设总利润为y 万元，y ＝500x ·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200.则y ′＝250x －225x 2. 令y ′＝0，得x ＝25.故当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，所以，当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值. 答案 257.已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x . 设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0).则h ′(x )＝2x －3x 2＋1＝（x ＋3）（x －1）x 2，当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. ∴h (x )min ＝h (1)＝4.又f (x )≥g (x )恒成立，∴a ≤4. 答案 (－∞，4]8.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，若关于x 的不等式f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则实数m 的取值范围是________. 解析 由f (x )－m ≥0得f (x )≥m ， 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2（x 2－1）x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，此时，函数f (x )单调递增，所以f (1)≤f (x )≤f (e). 即1≤f (x )≤e 2－2，要使f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则有m ≤e 2－2. 答案 (－∞，e 2－2] 三、解答题9.已知函数f (x )＝a ＋x ·ln x (a ∈R )，试求f (x )的零点个数. 解 f ′(x )＝(x )′ln x ＋x ·1x ＝x （ln x ＋2）2x，令f ′(x )>0，解得x >e －2， 令f ′(x )<0，解得0<x <e －2， 所以f (x )在(0，e －2)上单调递减， 在(e －2，＋∞)上单调递增. f (x )min ＝f (e －2)＝a －2e ，显然当a >2e 时，f (x )min >0，f (x )无零点， 当a ＝2e 时，f (x )min ＝0，f (x )有1个零点， 当a <2e 时，f (x )min <0，f (x )有2个零点.10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元， 问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解 设速度为v 海里的燃料费每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3. 又设当船的速度为v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以，行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.∴当v <20时，q ′<0； 当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时q 取得极小值，也是最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.能力提升11.已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋3)，则下列有关描述正确的是( ) A.∀x ∈(－3，＋∞)，f (x )≥13B.∀x∈(－3，＋∞)，f(x)>－1 2C.∃x0∈(－3，＋∞)，f(x0)＝－1D.f(x)min∈(0，1)解析因为f(x)＝e x－ln(x＋3)，所以f′(x)＝e x－1x＋3，显然f′(x)在(－3，＋∞)上是增函数，又f′(－1)＝1e－12<0，f′(0)＝23>0，所以f′(x)在(－3，＋∞)上有唯一的零点，设为x0，且x0∈(－1，0)，则x＝x0为f(x)的极小值点，也是最小值点，且e x0＝1x0＋3，即x0＝－ln(x0＋3)，故f(x)≥f(x0)＝e x0－ln(x0＋3)＝1x0＋3＋x0>－12，故选B.答案 B12.已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.(1)解f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－4x＝（x＋2）（x－2）x，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.(2)解因为f′(x)＝x－ax＝x2－ax，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).当a＞0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝（x＋a）（x－a）x，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间(a，＋∞)；递减区间为(0，a).(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x＞0，又x >1，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以当x >1时，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.创新猜想13.(多选题)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( ) A.0<x 0<1e B.x 0>1e C.f (x 0)＋2x 0<0D.f (x 0)＋2x 0>0解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ， 易知f ′(x )＝ln x ＋1＋2x 在(0，＋∞)上单调递增， ∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0， 即ln x 0＋1＋2x 0＝0，而f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e >0，当x →0，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e ，即A 选项正确，B 选项不正确；f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝－x 0(x 0－1)>0，即D 正确，C 不正确.故答案为AD. 答案 AD14.(多选题)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3－ax ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是奇函数B.若f (x )是增函数，则a ≤1C.当a ＝－3时，函数f (x )恰有两个零点D.当a ＝3时，函数f (x )恰有两个极值点解析 对A ，f (x )＝sin x ＋x 3－ax 的定义域为R ，且f (－x )＝sin(－x )＋(－x )3＋ax ＝－(sin x ＋x 3－ax )＝－f (x ).故A 正确.对B ，f ′(x )＝cos x ＋3x 2－a ，因为f (x )是增函数， 故cos x ＋3x 2－a ≥0恒成立.即a ≤cos x ＋3x 2恒成立.令g (x )＝cos x ＋3x 2，则g ′(x )＝6x －sin x ，设h(x)＝6x－sin x，h′(x)＝6－cos x>0，故g′(x)＝6x－sin x单调递增，又g′(0)＝0，故当x<0时g′(x)<0，当x>0时g′(x)>0.故g(x)＝cos x＋3x2最小值为g(0)＝1.故a≤1.故B正确.对C，当a＝－3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误. 对D，当a＝3时f(x)＝sin x＋x3－3x，f′(x)＝cos x＋3x2－3，令cos x＋3x2－3＝0则有cos x＝3－3x2.在同一坐标系中作出y＝cos x，y＝3－3x2的图象易得有两个交点，且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高等数学中导数的求解及应用
高等数学中导数的求解及应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。
本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。
关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。
然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。
我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。
一、导数的定义1.导数的定义设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）-f（x0）。
若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。
如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。
二、导数的应用1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。
解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000边际收入R(x)Γ=30边际成本C(x)=0.02x+20边际利润I(x)=-0.02x+20令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
《应用高等数学》导数的意义
《应用高等数学》导数的意义导数是高等数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
导数的意义包括数学意义、几何意义和物理意义等方面。
首先是导数的数学意义。
导数可以看作函数在特定点上的变化率。
具体地说，对于函数f(x)，如果x的微小变化量Δx引起f(x)的变化量Δy，那么Δy/Δx就是函数在x点上的变化率。
而导数则定义了这一变化率的极限。
换句话说，导数就是函数在其中一点的瞬时变化率，表示随着自变量的微小变化，函数值的变化量。
其次是导数的几何意义。
导数可以用来描述曲线上其中一点的切线斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处有导数f'(a)，那么曲线在点(x,f(x))处的切线的斜率就是导数f'(a)。
切线斜率的大小和正负决定了曲线是上升还是下降。
通过导数，我们可以研究曲线的变化趋势、最值点、转折点等等几何特征。
导数的物理意义则体现在速度和加速度的描述中。
在物理中，物体的运动状态可以由其位置函数表示。
如果我们知道位置函数关于时间的导数，即速度函数，那么我们就能够了解物体在不同时刻的速度信息。
同样地，如果我们知道速度函数关于时间的导数，即加速度函数，那么我们就能够了解物体在不同时刻的加速度信息。
导数在经济学中也有重要的应用。
在经济学中，我们经常需要分析经济指标的变化率。
例如，对于其中一种商品的需求函数而言，需求量的变化率对于制定价格、预测市场变化等都具有重要的参考价值。
同样地，成本函数、利润函数等在经济学中也需要用到导数的概念。
导数可以帮助我们分析经济现象中的微小变化和灵敏性。
导数的意义不仅仅局限于以上几个方面，它还有很多其他的应用。
例如，导数在微分方程中被广泛应用，可以用来描述物理、生物等现象中的变化规律。
导数也在最优化问题中有着重要作用，用于求解最大值、最小值以及优化问题。
此外，导数作为微分的基础，还可以在数值求解、数学建模等领域中发挥重要作用。
总之，导数在数学和其他学科中都有着重要的意义。
导数在数列极限中的应用
导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一个重要的概念。
它可以用来描述渐近演化和分析数字运动，从而对数学和物理问题进行建模。
通常，求解数列极限所需要的主要工作是确定它的收敛进度、确定它是否有极限值，以及求出其具体值。
在这一过程中，导数发挥着极为重要的作用。
导数在极限的应用中可以说是无处不在，大多数的极限问题，如极限的唯一性定理，都需要导数的运用。
导数是一种描述现有数据的函数，可以让我们快速求得函数的斜率，而且可以更进一步通过斜率来求出极限值。
有时，通过极限的定义可以把求导数转化成求极限的问题，这样就能更进一步理解数列极限以及它们之前的关系。
除此之外，导数在数列极限中还可以用来验证一个序列是不是连续或是分段连续的。
例如，如果一个函数f除外某个点x0外在x0附近可以连续导数，那么就可以说明f在x0处是连续的。
而如果函数f在x0处的导数不存在，那么就可以说明f在x0处是分段连续的。
这一点也可以用来验证极限的存在性，如果一个序列在极限处的导数存在，那么就可以说明极限存在。
此外，导数在极限中还可以用来确定函数的单调性，这种方法叫做代数极限法。
如果在某个点处函数的导数为正，则说明该函数在该点处是单调递增的；如果在某个点处函数的导数为负，则说明该函数在该点处是单调递减的；如果有极限存在，而且该极限等于函数的某处的定值，则说明该函数是有界的；如果极限不存在，则说明该函数是无界的。
通过以上分析，可以看出，导数在数列极限中发挥着重要的作用，它可以用来解决许多实际问题，特别是极限的存在性和函数的单调性，它们可以用来确定函数的行为。
在这方面，导数比极限更易于理解和应用，所以在数列极限中，它给了我们更多的思考空间。
导数在高考中是怎么应用的？
导数在⾼考中是怎么应⽤的？考纲原⽂1．导数在研究函数中的应⽤（1）了解函数单调性和导数的关系；能利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数⼀般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会⽤导数求函数的极⼤值、极⼩值（其中多项式函数⼀般不超过三次）；会求闭区间上函数的最⼤值、最⼩值（其中多项式函数⼀般不超过三次）.2．⽣活中的优化问题会利⽤导数解决某些实际问题.知识点详解⼀、导数与函数的单调性⼀般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果 f'(x)>0,函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果f'(x)<0,函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果f'(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利⽤导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；注意：（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成⽴，且在(a,b)的任意⼦区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数f (x)在区间内的单调性.⼆、利⽤导数研究函数的极值和最值1．函数的极值⼀般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则称x=a为f (x)的极⼩值点，叫做函数f (x)的极⼩值.（2）若在点x=b处有f'(b)=0，且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0 ，则称x=b为f (x)的极⼤值点，叫做函数f (x)的极⼤值．（3）极⼩值点与极⼤值点通称极值点，极⼩值与极⼤值通称极值.2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最⾼点的纵坐标是最⼤值，图象上最低点的纵坐标是最⼩值，对于最值，我们有如下结论：⼀般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是⼀条连续不断的曲线，那么它必有最⼤值与最⼩值.设函数f(x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最⼤值与最⼩值的步骤为：（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)⽐较，其中最⼤的⼀个是最⼤值，最⼩的⼀个是最⼩值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某⼀点附近(即局部)⽽⾔，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体⽽⾔；（2）在函数的定义区间[a,b]内，极⼤（⼩）值可能有多个（或者没有），但最⼤（⼩）值只有⼀个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，⽽最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最⼤(⼩)值必在极⼤(⼩)值点或区间端点处取得.三、⽣活中的优化问题⽣活中经常遇到求利润最⼤、⽤料最省、效率最⾼等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有⼒⼯具.解决优化问题的基本思路是：考向分析考向⼀利⽤导数研究函数的单调性1．利⽤导数判断或证明⼀个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0（f'(x) <0)在给定区间上恒成⽴．⼀般步骤为：（1）求f ′(x)；（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，f'(x)>0 时为增函数，f'(x)<0时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进⾏分类讨论．注意：2．在利⽤导数求函数的单调区间时，⾸先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的⽅法（1）可导函数在某⼀区间上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意⼦区间内都不恒等于0)恒成⽴，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从⽽获得参数的取值范围；（2）可导函数在某⼀区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知f(x) 在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的⼦集，从⽽可求出参数的取值范围.4．利⽤导数解决函数的零点问题时，⼀般先由零点的存在性定理说明在所求区间内⾄少有⼀个零点，再利⽤导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.考向⼆利⽤导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数f(x)极值的⽅法：①确定函数f(x)的定义域．②求导函数f'(x)．③求⽅程f'(x)=0的根．④检查 f'(x)在⽅程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极⼤值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极⼩值；如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变，则fx() 在这个根处没有极值．（3）利⽤极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f'(x),求⽅程f'(x)=0 的根的情况，得关于参数的⽅程(或不等式)，进⽽确定参数的取值或范围.2．求函数f (x)在[a,b]上最值的⽅法（1）若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)⼀个为最⼤值，⼀个为最⼩值．（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)⽐较，其中最⼤的⼀个是最⼤值，最⼩的⼀个是最⼩值．（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯⼀⼀个极值点时，这个极值点就是最⼤(或最⼩)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应⽤.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不⼀定是最值，函数的最值也不⼀定是极值.要注意利⽤函数的单调性及函数图象直观研究确定.3．利⽤导数解决不等式恒成⽴问题的“两种”常⽤⽅法：（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利⽤导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果⼀个函数在某⼀范围内导数的绝对值较⼤，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就⽐较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”⼀些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.考向四⽣活中的优化问题1．实际⽣活中利润最⼤，容积、⾯积最⼤，流量、速度最⼤等问题都需要利⽤导数来求解相应函数的最⼤值.若在定义域内只有⼀个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯⼀的极⼤值就是最⼤值. 2．实际⽣活中⽤料最省、费⽤最低、损耗最⼩、最节省时间等问题都需要利⽤导数求解相应函数的最⼩值.⽤料最省、费⽤最低问题出现的形式多与⼏何体有关，解题时根据题意明确哪⼀项指标最省(往往要从⼏何体的⾯积、体积⼊⼿)，将这⼀指标表⽰为⾃变量x的函数，利⽤导数或其他⽅法求出最值，但⼀定要注意⾃变量的取值范围．。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数在高中数学解题中的应用分析
——数学教研教学案例【摘要】导数是高中数学中的基础性概念,其在对于数学问题的解决都能够起到重要的辅助性作用,为此,本文从不等式、函数、切线等方面入手,对导数在高中数学解题中的具体应用进行了探究。
【关键词】导数;不等式;函数;切线导数在高中数学解题中的应用分析马梦雪【滨州实验中学,山东滨州256606】从近几年来的高考数学试卷来看,导数已经逐渐成为高考中的重要考点,而为了充分体现答题者解决问题的综合能力,其试题一般会从方程组、不等式、数列、函数等多方面进行交汇命题,因此在解决数学问题的过程中,我们必须要将对导数知识的运用重视起来。
一、导数在函数问题中的应用在函数问题中,导数通常会用于对函数极值、最值与单调性的判断。
一般来说,对于单调性的判断通常需要依靠函数单调性的定义,因此,在解决一些比较复杂的函数问题时,想要判断其单调性就会显得比较困难,而借助导数知识,则可以在函数区间内求导,若令f`(x )>=0,则解得的x 区间就是函数f (x )的递增区间;若令f`(x )<=0,则解得的x 区间就是函数f (x )的递减区间,这样一来,就可准确的判断出函数的单调性。
而在函数单调性的基础上,自然就可以通过区间的对应来判断出函数的最值与极值。
例1:设函数f`(x )=x 2+3x-4<0,求y=f (x-1)的单调区间。
解析:由f`(x )=x 2+3x-4<0可知,-4<x<1,故函数f (x )在区间(-4,1)内单调递减,而y=f (x-1)的单调递减区间则为(-3,2)。
二、导数在不等式问题中的应用高中数学的不等式问题大多与函数知识相结合,因而在面对这类问题时,就可以通过不等式构造出函数f (x ),之后利用导数来判断函数f (x )在某一区间内的单调性,并依据该区间的单调性来完成对的不等式求证。
例2:当x>0时,求证x-x 2/2<ln(1+x ).证明:设f (x )=x-x 2-(1+x )(x<0),则f`(x )=-x 2/1+x 因为x>0,所以f`(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上递减,所以当x>0时,f (x )>f (0)=0,即x-x 2-(1+x )<0,由此可判断x-x 2/2<ln(1+x )成立在例2中,就是将不等式x-x 2/2<ln(1+x )构造成函数f (x )=x-x 2-(1+x )并进行求导,之后对函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性进行判断,进而证明不等式成立。
导数在不等式的“一题多证”中的应用
数学 中经常会遇到各样的不等式 ， 且不等式 的 证 明 比较复 杂 。不 等 式 的证 明方法 有很 多 种 ， 有 比 较法 、 分 析法 、 配 方 法 。判别 式 法 、 数学归纳法 、 反 证 法等ｎ 。选择合适的方法证明不等式是教学中的 难点也是重点 ， 那如何才 能使学生顺利掌握并且达 到 良好 的教育 效果 ？ 在教学 中， 要发挥 每道 例题的教育功效 ， 就必 须挖掘每一道例 题的内涵 ， 一题多解。这样 ， 既有 利于加深对知识的理解 ， 渗透 数 学 思 想 方 法 ， 又 有 利 于提 高思 维能力 ， 培 养创新 意 识 。 导数是高等数学 中非常重要的概念之一 ， 利用 导数 的知识证 明不等式 的方法也是数学研究中常 用的 。下面通过一道典型不等式 的证明来探讨 导 数 的知识 在不 等式 的 “ 一题 多证 ” 中的应用 。
区间 【 ａ ， ｂ 】 上连续 ， 在 开 区间 （ ａ ， ｂ ） 上可导 ， 则在 开 区
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２ ． ３利用 导数及 函数 的 单调性 证明 不等式 证明： 分 别证 明左 右两个 不 等式 。
Ｓｅ ｐ． ， ２ ０１ ３
导数在不等式的“ 一题多证” 中的应用水
张雅 清
（ 太 原大 学外语 师 范学 院数 学 系 ， 山西 太原 ０ ３ ０ ０ １ ２ ）
导数在函数的单调性,极值中的应用
导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．56．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．课堂过手练习：设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间．考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)；(2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。
高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2第3课时导数在函数有关问题
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点）1。
借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题,培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常,按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1）求出函数f （x）的定义域;（2)求导数f ′（x)及函数f ′(x）的零点；(3)用f ′（x）的零点将f （x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′（x）在各区间上的正负,并得出f （x）的单调性与极值；(4)确定f （x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f （x）的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示]（1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．（2)求实际问题的最大(小）值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的应舍去,如：长度、宽度应大于0,销售价为正数等．1．判断正误（正确的打“√"，错误的打“×”）(1)用导数研究实际问题要先求定义域．（）(2）方程x e x＝2有两个不相等的实数根．(）（3）做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．()［提示］（2）令y＝x e x，，则y′＝e x（x＋1）．由于x＞－1时，y′＞0,x＜－1时，y′＜0。
∴x＝－1时y＝x e x取到最小值－错误!。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
高中数学导数难题怎么解题
高中数学导数难题怎么解题1高中数学导数难题解题技巧1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用利用导数来求函数的最值的一般步骤是：(1)先根据求导公式对函数求出函数的导数;(2)解出令函数的导数等于0的自变量;(3)从导数性质得出函数的单调区间;(4)通过定义域从单调区间中求出函数最值。
2.导数在函数极值中的应用利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。
利用导数求函数极值的一般步骤是：(1)首先根据求导法则求出函数的导数;(2)令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点;(3)从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;(4)根据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。
3.导数在求参数的取值范围时的应用利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。
在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。
2高中数学解题中导数的妙用导数知识在函数解题中的妙用函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数解题中应用导数简直就是手到擒来。
例如：函数f(x)=x3+3x2+9x+a，分析f(x)的单调性。
这是高中数学中常见的三次函数，在对这道题目进行单调性分析时，很多学生根据思维定式会采用常规的手法画图去分析单调区间，但由于未知数a的存在而遇到困难。
如果考虑用导数的相关知识解决这一问题，解：f’(x)=-3x2+6x+9，令f’(x)>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是说函数在(-∞，-1)，(3，+∞)这个单调区间上单调递减，这样就能非常容易的判断函数的单调性。
导数知识在方程求根解题中的妙用导数知识在方程求根中的应用属于一项重点内容，在平时的数学练习中以及高考的考察中均曾以不同的难度形式出现过。
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题． 情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期． 证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解 因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解 先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明 存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ， 当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告 我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场． 分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=． 由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。
导数与函数的生物学应用问题关系解析与归纳
导数与函数的生物学应用问题关系解析与归纳导数是微积分的一个重要概念，也是数学分析中的一个基本工具。
函数是数学中常见的表示关系的工具，而导数则可以描述函数在某一点的变化率。
在生物学中，导数与函数的应用可以帮助我们研究生物体的生长、传染病的传播以及生物反应等问题。
本文将分析导数与函数在生物学中的具体应用，并进行问题关系的解析与归纳。
一、生物体的生长问题对于生物体的生长问题，我们可以通过导数来分析其生长速率。
假设一个生物体的体积随时间的变化可以用函数V(t)来表示，其中t表示时间。
那么生物体的生长速率就是体积函数的导数，即V'(t)。
通过对V'(t)的分析，我们可以了解生物体的生长趋势以及生长速率的变化情况。
例如，如果V'(t)一直为正，表示生物体一直处于快速生长期；如果V'(t)逐渐减小且趋近于0，表示生物体的生长逐渐趋缓。
二、传染病的传播问题在传染病的传播问题中，导数与函数同样具有重要作用。
假设一个传染病的传播人数随时间的变化可以用函数P(t)来表示，其中t表示时间。
传染病的传播速率可以通过P'(t)来描述，即传染病传播人数函数的导数。
通过对P'(t)的分析，我们可以了解传染病的传播速度以及传染病的爆发期。
例如，如果P'(t)一直为正，表示传染病的传播速度在增加；如果P'(t)逐渐减小且趋近于0，表示传染病的传播逐渐趋稳。
三、生物反应问题除了生长和传播问题，导数与函数在生物反应问题中也具有重要意义。
对于一个生物体对某种刺激的反应问题，我们可以用函数F(t)来表示反应强度随时间的变化，其中t表示时间。
生物反应的变化速率可以通过F'(t)来描述，即生物反应强度函数的导数。
通过对F'(t)的分析，我们可以了解生物体对刺激的敏感程度以及生物反应的快慢变化。
例如，如果F'(t)一直为正，表示生物体对刺激的敏感程度在增加；如果F'(t)逐渐减小且趋近于0，表示生物反应逐渐减弱。
导数的物理解释与应用
导数的物理解释与应用导数是微积分中的重要概念之一，它在物理学中有着广泛的应用。
导数的物理解释与应用涉及到速度、加速度、斜率等概念，下面将从这些方面展开讨论。
首先，我们来看导数的物理解释。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
在物理学中，速度就是位置随时间的导数。
假设一个物体在直线上运动，它的位置随时间的变化可以用函数表示。
那么在某一时刻，这个物体的速度就是该时刻位置函数的导数。
速度的正负表示了物体运动的方向，而速度的大小则表示了物体运动的快慢。
同样地，加速度可以理解为速度随时间的导数。
加速度的正负表示了速度变化的方向，而加速度的大小则表示了速度变化的快慢。
通过导数的物理解释，我们可以更好地理解速度和加速度的概念。
其次，导数在物理学中的应用非常广泛。
以速度为例，导数的概念使我们能够更好地描述物体的运动。
通过对位置函数求导，我们可以得到物体的速度函数。
利用速度函数，我们可以计算物体在不同时刻的速度，并进一步得到物体的加速度函数。
这样，我们就能够准确地描述物体在不同时刻的速度和加速度变化情况。
在实际应用中，导数的物理解释和应用可以帮助我们解决许多与运动相关的问题，如物体的轨迹、碰撞等。
此外，导数还可以用于求解最优化问题。
在物理学中，我们经常需要找到使某一物理量取得最大或最小值的条件。
通过对相关函数求导，我们可以找到函数的极值点。
这样，我们就能够确定物理问题中的最优解。
例如，在抛体运动中，我们可以通过对抛体的运动方程求导，找到抛体的最大高度和最远距离。
这种应用使得我们能够更好地理解和解决物理问题。
最后，导数的物理解释和应用不仅限于一维运动，还可以扩展到更复杂的情况。
在多维空间中，我们可以使用偏导数来描述物体的运动。
偏导数表示了函数在某一点上关于某个变量的变化率。
通过对多变量函数求偏导数，我们可以得到物体在不同方向上的速度和加速度变化情况。
这种扩展使得导数的物理解释和应用更加丰富和广泛。
综上所述，导数在物理学中具有重要的物理解释和应用。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
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( x1 , ) 两 个 区 间 ， 从 而 只 需 证 明 x ( x1 , ) g ( x) g ( x) min g ( x2 ) 0 即可。
3
g (1) 1 k 0
方法三：解法三是解法一与解法二的结合。难度在于如何
想到将 x 交点的问题，即用单调性结论函数零点的存在性定理即可证明。 不管何种方法和技巧来解决此题，问题的关键还是利用导 数来确定函数的单调区间，以及用导数求函数的最值来证明恒 成立问题。
当 x (, x1 ) 时， g '( x ) 0 g ( x ) 在 (, x1 ) 上单调递增。
方法二：构造函数后，利用导数讨论函数的单调区间，这 是 导 数 在 解 决 该 类 问 题 的 常 用 方 法 ， 当 k 2 时 ， 因 g '( x ) 0 恒成立，因而只需找出一正一负两函数值即可。观 察 g ( x ) 的表达式，易得 g (0) 4 0 g ( 1) 1 k 0 ， 当考虑 2 k
贺水英
( x1 ) g (0) 4 0 g g ( 1) 1 k 0
g ( x ) 在 (, x1 ) 上与 x 轴有唯一交点。
当 x ( x1 , ) 时 ， x ( x1 , x2 ) x ( x2 , ), g '( x) 0
f ( x) 0
g ( x) min g ( x2 ) 0
1 k 0
g ( x) 3x 6 x 1 k 3x( x 2) ( k )
' 2
g ( x ) 0 在 (, 0] 上有唯一实根
即 k 1 时，曲线 y f ( x) 与直线 y kx 2 有唯一交点。 本题的第Ⅰ问考查的是导数的几何意义，难度较小。 第Ⅱ问考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数求 函数在定区间的最值。 方法一：构造函数求导后，根据题意发现 x 0 时， g '( x ) 0 恒 成 立 。 因 而 结 合 函 数 零 点 存 在 性 定 理 求 出 综上可知， g ( x ) 0 在 R 上有唯一实根。
145
；
g ( x ) 在 ( x1 , ) 上与 x 轴无交点。 综上 g ( x ) 在 R 上与 x 轴有唯一交点。 即曲线 y f ( x) 与直线 y kx 2 只有一个交点。 解法三： （Ⅰ）同解法一。 （Ⅱ）设 g ( x) x3 3 x 2 4 (1 k ) x ( x 1)( x 2) 2 (1-k ) x （1） 当 x 0 时， g ( x ) 0 恒成立。即 g ( x ) 在 (0, ) 与 x 轴 无交点。 （2） 当 x 0 时， g '( x) 3x 2 6 x 1 k 3x( x 2) (1 k ) g ( x ) 0 恒成立 g ( x ) 在 （ ， 0 上单调递增。
即曲线 y f ( x ) 与直线 y kx 2 只有一个交点。 解法二： （Ⅰ）同解法一。 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f ( x) x 3 3 x 2 x 2 设 g ( x) f ( x) kx 2 x 3 3x 2 (1 k ) x 4
2
1 时，易得 g ( x ) 的图象呈现 N
·教学探讨·
从一题多解看导数在函数中的应用
贵州省湄潭求是高级中学
导数在函数中的应用是高考中的重点考查内容，最近五年 都作为压轴题来考查，具有很高的区分度，所以难度很高。但 不管题型如何变化，情境模型如何设置，导数在函数中的应用 都可以归纳为考查：导数的几何意义；利用导数研究函数的单 调性；利用导数求函数的极值与最值这三个方面。下面就 2014 年全国卷（Ⅱ）文科 21 题的多种解法来浅谈导数在函数中的应 用。 2014 年全国卷（Ⅱ）文科数学： 21 题：已知函数 f ( x) x 3 3 x 2 ax 2 ，曲线 y f ( x ) 在 点 (0, 2) 处的切线与 x 轴的交点横坐标为 2 （Ⅰ）求 a （Ⅱ）证明：当 k 1 时，曲线 y f ( x ) 与直线 y kx 2 只 有一个交点。 解法一： （Ⅰ） f ' ( x) 3 x 2 6 x a f ' (0) a 曲线 y f ( x) 在点 (0, 2) 处的切线方程为 y ax 2 a 1 由题设得 2 2 a （Ⅱ）由（Ⅰ）知： f ( x) x 3 3x 2 x 2 设 g ( x) f ( x) kx 2 x 3 3 x 2 (1 k ) x 4 由题设知 1 k 0 当 x 0 时 g '( x ) 0 g ( x ) 在 (, 0] 上 单 调 递 增 ， 而 g (1) k 1 0 ， g (0) 4 g ( x ) 0 在 (, 0] 上有唯一实根 当 x 0 时 ， 令 h( x ) x 3 3 x 2 4 g ( x ) h ( x ) (1 k ) x h( x ) h '( x) 3x 2 6 x 3x( x 2) 当 0 x 2 时， h '( x ) 0 ， 则
（2） 已知 k 1 ，当 0 ，即 2 k 1 时 令 g '( x ) 0 x 3 6 3k , x 3 6 3k 1 2
3 x 2 4 进行因式分解。当把 g ( x ) 进行部分因式 分解后， x 0 部分可以明显看出 g ( x ) 0 恒成立，所以问题 就变成了 x 0 ， k 1 时 y f ( x ) 与 y kx 2 只有一个
形的走势， ，
g '( x ) 3 x 6 x (1 k ) 12(2 k )
（1） 当 0 ，即 k 2 时， g '( x ) 0 恒成立
因有第一种情况的讨论，从而把定义域划分为 (, x1 ) 与
g ( x ) 在 R 上单调递增，而 g (0) 40 g ( x ) 图象在 R 上与 x 轴有唯一交点。
g (0) 0, g ( 1) 0 两个函数值得出函数图像在 (,0 上 与 x 轴有唯一交点；当考虑 x 0 时，把 g ( x ) 0 分为 h( x ) 和 y (1 k ) x 是否有交点的问题。 因 y (1 k ) x 在 x 0 时， y 0 恒成立。因而只需利用导数求出 h( x) min 0 即可。
而 g ( 1) k 1 0
g (0) 4 0
h( x) min （ h 2） =0 g ( x) h( x) h( x) min 0
当 x 2 时， h '( x ) 0
上没有实根 （0， ） g ( x) 0 在 综上可知， g ( x ) 0 在 R 上有唯一实根。