方差分析
方差分析
方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。
在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。
一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。
随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。
而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。
1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。
其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。
最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。
如下表所示。
消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。
因素不同的表现称为水平或处理。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
方差分析
p p q 1 1 q 1 . j i 1 ij , i . j 1 ij , i 1 j 1 ij p q pq
因子A的水平效应: i i . , i 1, , p 因子B的水平效应:
j . j , j 1, , q
p r 2 p r j 1 i 1 p j 1 i 1 2
S A r X j X r j j
2 p j 1 j 1 p
2
r p 2 并且有：ES E E ij j r 1 2 n p 2 j 1 i 1 j 1 E S A p 1 r j
SE
2
~ n p ,
2
SA
2
~
2
p 1, 并且
SE
2
和
SA
2
相互独立。
当H0成立时，
SA F p 1 2
方差分析
SA SE ~ F p 1, n p 2 n p S E
14
3、方差分析表
方差来源 因子A的影响 误差 总和 平方和S SA SE ST 自由度f fA=p-1 fE=n-p fT=n-1 均方S SA=SA/(p-1) SE=SE/(n-p) F值 F=SA/SE 显著性
A1 B1 B2 平均 αi 100 130 115 -10 A2 120 150 135 10 平均 110 140 125 βj -15 15
μij=μ+αi+βj, α1+α2=0, β1+β2=0 Xij=μij+εij=μ+αi+βj+ εij
方差分析
方差分析方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的统计方法。
它通过比较各个样本之间的方差大小来推断它们是否具有显著的差异。
方差分析可以应用于各种领域的研究中，比如教育、医学、经济等。
方差分析的基本思想是将总体的方差分解为不同来源的方差，通过对比它们的大小来判断不同因素（组别）对总体的影响程度。
在进行方差分析之前，需要明确研究的目的和假设，然后选择相应的方差分析模型和计算方法。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（组别）的情况，它将数据按照不同的组别分组，然后计算各组之间的方差，并比较它们的大小。
如果各组之间的方差较大，那么可以认为它们之间存在显著差异。
多因素方差分析适用于有多个自变量（组别）的情况，它可以同时考虑多个因素对总体的影响。
方差分析的原假设是各组之间的均值相等，备择假设是各组之间的均值不等。
通过计算统计量F值，可以得到方差分析的结果。
若F值大于临界值，就能拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异；反之，无法拒绝原假设，认为各组之间的差异不显著。
在进行方差分析时，还需要注意一些前提条件。
首先，各个样本之间应独立，互不影响；其次，各个样本应满足正态性和方差齐性的假设；最后，应确认所用的统计方法是否适用于样本数据。
方差分析的结果可以为研究者提供一些重要的信息。
比如，研究者可以通过方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响；医学研究者可以通过方差分析来比较不同治疗方法对患者生存率的影响；市场营销研究者可以通过方差分析来比较不同广告策略的销售效果。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们比较多个样本之间的差异。
通过对各个样本之间方差的分析，可以判断它们是否具有显著的差异，从而得出相应的结论。
方差分析可以应用于各个领域的研究中，为我们提供有价值的信息。
当我们在进行方差分析时，应注意选择适当的方法和模型，并满足各个前提条件，以得到准确的结果。
什么是方差分析
什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。
111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。
通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。
112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。
12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。
121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。
122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。
13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。
132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。
133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。
134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。
14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。
142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。
143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。
15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。
152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。
153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。
方差分析
k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k
( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08
方差分析 (共72张PPT)
2.总体变异的构成
总体变异 组间变异： 组内变异：组内变异理论上要求齐性，实际计算取其 均值
3.方差的基本公式
一般总体方差称方差，样本方差称均方 能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变异
因素或变异来源。
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本资料作 为一个整体来考虑。
原理是变异的可加性。
即每一个数据与数据的总体平均数差的平方和，可以分解为每一组数 据各自的离差平方和与由各组数据的平均数组成的一组数据的
离差平方和两部分。前者表达的是组内差异，即每组数据中 各个数据之间的差异，也就是个体差异，表达的是抽样误差或 随机误差程度；后者表达的是组间差异，即各组平均数之间的差 异，表达的是实验操纵的差异程度，实验操纵即指自变量的操 纵，这两部分差异之间相互独立。
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错的差异显著性检验，若两两比较推 断正确的概率为95%,则所有比较都正确的概率为6=0.74,则降低
了推断的可靠性。
• 几个常用术语:
1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具体测
(1).计算平方和：
组间平方和
SB SX n2X n2 71 .5 6 65 8 .1 7 8 20 8 .47
¨ 组内平方和
SW SX 2X n2 7 6 7 41 4 .5 6 4 45 7 .5 7 8
¨ 总平方和
SS T X 2X n2
764414252 876.396
23
(2)．计算自由度
因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键，发 现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质性的东西。
方差分析
3.
检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的 平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量， 4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面 的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同
方差分析中的基本假定
1.
2.
在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分
2.
3.
方差分析中的基本假定
方差分析中的基本假定
1.
每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
2.
各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
3.
观察值是独立的 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
水平A ( i )
粉色(A2)
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
147.8
四种颜色饮料的销售量及均值
橘黄色(A3)
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
132.2
无色(A1)
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
136.6
绿色(A4)
方差分析
二、方差分析的基本假定
每个总体都应服从正态分布 各个总体的方差 σ 2 必须相同 观测值是独立的
三、方差分析的分类
单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析 多元方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析研究的是一个分类型自 变量对一个数值型因变量的影响。例如， 要检验不同行业被投诉次数的均值是否 相等，这里只涉及行业一个因素，因而 属于单因素方差分析。
计算统计量
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消 除观测值多少对误差平方和的影响，需要将其平均，也就是 用各平方和除以它们对应的自由度，这一结果称为均方，也 称为方差。 SST的自由度为n-1，其中n为全部观测值的个数。 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平（总体）的个数。 SSE的自由度为n-k。 SSA的均方也称为组间均方或组间方差，记为MSA SSA MSA=组间平方和/自由度= k − 1 代入例题得 MSA=485.536232 SSE MSE=组内平方和/自由度= n − k 代入例题得MSE=142.526316
则根据上面计算出F=3.40643，若取显著性水 平 α = 0 . 05 ，根据自由度 df 2 = n − k = 23 − 4 = 19 和分母自由度 df 1 = k − 1 = 4 − 1 = 3 ，查F分布 F0.05 (3,19) = 3.13 表得到临界值 。由于 F > Fα 拒绝原假设 H 0 : µ1 = µ 2 = µ3 = µ 4 ，表明 µ1, µ 2, µ3, µ 4, 之间有显著的差异，即行业对投诉次数有显著影响。
k
x）
k
∑ ∑
x =
代入得：
i=1
ni
j =1
x ij =
方差分析
• 例题：探讨噪音对解决数学问题的影响作用。
噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、中、 弱。因变量是解决数学问题时产生的错误频数。 随机抽取12名被试，再把他们分到强、中、无 三个实验组。每组被试接受数学测验时戴上耳 机。强噪音组、中噪音组的被试通过耳机分别 接受100、50分贝的噪音； 无噪音组的被试 则没有任何噪音。数学测验完后，计算每位被 试的错误频数。
查F值表进行F检验并作出决断
• 注意：
• 1.确定显著性水平 • 2.明确用单侧检验还是双侧检验
方差齐性检验
• 哈特莱最大F比率法：找出要比较的几个组内 方差中的最大值与最小值代入下式:
F max
S 2 S
2
max min
• 然后查F max临界值表，当算出的 F max小于表中相 应的临界值，就可认为要比较的样本方差两两 之间均无显著差异。
SSB MSB df B
SSW MSW df w
自由度的计算
• 组间自由度
• 组内自由度 • 总自由度
df B =k-1 df w =N-k
dfT
=N-1
• dfT = df B + df w
两个均方值之比为F统计量：
SSB / (k 1) MSB F SSW / (N k ) MSWE0.05来自SE X MS
n
E
• 4 用标准误乘以q的临界值就是对应于某 一个r值的两个平均数相比较时的临界值。
• 临界值,又称阀值，英文称 critical value，是指一个效应能 够产生的最低值或最高值。临界 值在数据分析中常常用来判定差 异情况 。
4、把5个平均数两两之间的差异与相应的 比较。但用这些差数与 q .SE 比较时一定要注意对应 于哪个r值。 例如： X E - X C =4.5，这时r=4-2+1=3，当r=3时 q0.05.SE X =3.49×1.738=6.06，因此应该将4.5与6.06 相比较。
方差分析
3900C
7S
方差分析概述
2、计算AB因素交互影响，作交互作用影响图 计算AB因素交互影响 因素交互影响，
1）首先计算各因素交互影响值
A1 B1 =
5 .6 + 5 .8 = 5.7 2 6 .9 + 7 .2 A2 B1 = = 7 .1 2
A1 B2 =
7.1 + 6.3 = 6.7 2 5.0 + 4.5 A2 双因素无交互作用方差分析 双因素有交互作用方差分析
方差分析概述
一、什么是方差分析
方差分析是一种确定因变量与单个和多个自变量之间 统计显著性的方法。 统计显著性的方法。它可以根据其来源将一组数据的 变差分解到不同的变差来源中， 变差分解到不同的变差来源中，从而发现变差的重要 程度， 程度，即变差是由偶然因素引起还是因为特殊原因引 起的。 起的。
方差分析概述
二、方差分析种类
1）单因素方差分析 单因素方差分析适用于单因素x由两个以上水平时， 单因素方差分析适用于单因素x由两个以上水平时， 确定因素各水平对因变量y 确定因素各水平对因变量y的变差的影响 2）双因素方差分析 适用于两个因素x 适用于两个因素x和两个以上水平时确定每个因素 对因变量y 对因变量y的影响 可控输入
方差分析概述
方差分析就是通过比较组间变差（又称为信号）和 方差分析就是通过比较组间变差（又称为信号） 组内变差（又称为噪声）， ），从而得出组间变差是否显 组内变差（又称为噪声），从而得出组间变差是否显 著的结论。 著的结论。 通过以上分析，我们可以知道， 通过以上分析，我们可以知道，单因素方差分析中 存在两种变差，即组间变差和组内变差， 存在两种变差，即组间变差和组内变差，这两种变差 组成了y的总变差。 组成了y的总变差。 组间变差＋组内变差＝ 组间变差＋组内变差＝总变差 变差用SS（ 变差用SS（Square Sum）来度量，称平方和 Sum）来度量，
方差分析
方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。
如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。
每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。
方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。
二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。
除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。
通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。
如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。
方差分析
计算统计量F
F=MS组间/MS组内 公式是在H0成立的条件下进行的，即MS组间与 MS组内差别应该很小， F值应该接近于1。那么 要接近到什么程度呢？（Fisher计算出了F的分 布规律，即标准的F値） 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的 P值，以确定是否为小概率事件。
数据 Id x1 x2 d 1 5 6 -1 2 76 1 3 88 0
……… 15 6 9 -3
成组双样本比较
统计假设: H0：μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
公式:
假设条件: 1) 每组数据服从正态分布; 2) 两组数据的方差一致。
回忆
数据 Id A B 1 56 2 76 3 88
……… 15 6 9
组内变异
E 组内均方MS组内
方差分析是先将总变异分解，然后计算变异间的比值。若比值接近 1，认为处理因素无作用；若比值远大于1，且大于F界值 [F0.05(1,2)]时，认为处理因素有作用。
方差分析的步骤
1.建立假设 H0 ：1 = 2 = 3 =…. H1 ： 1 、 2 、 3 ….各总体均数不全相等
方差分析的概念
方差是描述变异的一种指标，方差分析也就是 对变异的分析。
对总变异进行分析。看总变异是由哪些 部分组成的，这些部分间的关系如何。
列举存在的变异及意义
1、全部的19个实验数据之间大小不等， 存在变异（总变异）。
2、各个组间存在变异：反映处理因素之 间的作用，以及随机误差。
3、各个组内个体间数据不同：反映了观 察值的随机误差。
二）多选题（选一个或多个正确答案；共5题）
方差分析
F
MSBetween MSWithin
~ F(1 , 2 )
F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamste研究作物产量 时，完善了方差分析的思想
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
anova方差分析
anova方差分析ANOVA（Analysis of Variance，方差分析）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本的均值是否具有显著差异。
它通过计算总体方差以及各组内部的方差，来推断样本之间的差异是否随机发生。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过对总体方差进行分解，将样本之间的差异归结为因子差异和误差差异两个部分。
当因子差异显著大于误差差异时，我们可以得出结论：样本之间存在显著差异，即各组均值不全相等。
在方差分析中，我们通常将因子称为自变量，将被观察的变量称为因变量。
自变量可以是分类变量（如不同的药物治疗方法）或连续变量（如不同的剂量水平）。
因变量可以是定量变量（如收缩压）或定性变量（如治疗成功与否）。
二、单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析形式，适用于只有一个自变量的情况。
假设我们有k个独立的样本，每个样本包含n个观测值。
我们的目标是判断不同样本之间的均值是否存在显著差异。
为了进行单因素方差分析，我们需要计算各组样本的均值和方差。
然后，我们通过计算组间差异（组间方差）和组内差异（组内方差）来评估总体方差。
在显著性检验中，我们会计算F值，通过与临界F值进行比较来判断差异是否显著。
三、多因素方差分析在实际应用中，我们往往需要考虑多个自变量对因变量的影响。
这时，我们就需要使用多因素方差分析。
多因素方差分析可以同时考虑多个自变量之间的交互作用，得出更准确的结论。
多因素方差分析的计算方法与单因素方差分析类似，只是要考虑到不同自变量之间的交互作用。
我们需要计算各组样本的均值和方差，并通过计算组间差异和组内差异来评估总体方差。
最后，我们计算F值并与临界F值进行比较，判断差异是否显著。
四、方差分析的应用领域方差分析在各个领域都有广泛的应用。
在医学研究中，方差分析用于比较不同药物或治疗方法的疗效；在社会科学中，方差分析用于比较不同人群之间的行为差异；在工程领域中，方差分析用于比较不同工艺参数对产品质量的影响等等。
方差分析简介[统计学经典理论]
![方差分析简介[统计学经典理论]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ebed87e001ca300a6c30c22590102020740f2f2.png)
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
第九章 方差分析506312261
第九章 方差分析第一节 方差分析的基本原理及步骤一、方差分析的基本原理假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。
随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。
你能从这些数据发现什么问题吗？首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。
前者称组间变异，后者称组内变异。
其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。
表9-1 第1次抽取结果表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 Xt X方法 学生实验成绩 Xt XA 6 5 7 6A 1 7 4 4B 11 9 10 10 7B 6 2 8 6 5C5465C3655再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。
综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。
这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。
因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。
所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。
总变异组间变异实验条件随机误差组内变异个体差异随机误差实验误差图10-1 总变异的分解图二、方差分析的基本过程（一）综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。
综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等（二）方差的可分解性总变异 = 组间变异 + 组内变异变异（V ariance ，用V 表示）即方差（S 2），又称均方差或均方（M ean S quare ，MS ），其公式为()df SS n X X MS V S =--=∑1),(22或或其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS ；分母为自由度，记为df ，所以总变异及各变异源记为w b t MS MS MS +=总变异的数学意义是每一原始分数（X ）与总平均数（t X ）的离差，记为()tX X -组间变异的数学意义是每一组的平均数（i X ）与总平均数的离差，记为()t iX X-组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（i X ）的离差，记为()iX X -（二）总变异的分解及各部分的计算 1．平方和的分解与计算 1）平方和的定义式根据变异的可加性，任何一个原始分数都有()()()i t itX X X XX X -+-=-对容量为n 的某一小组而言，则有()()()[]∑∑-+-=-i t it X X X XX X为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有()()()[]22∑∑-+-=-i t itX X X XX X对k 组页言，则有()()()[]∑∑∑∑-+-=-22ititX X X X X X()()()()∑∑∑∑∑∑-+--+-=222iititiX X X X X X X X ∵ ()()0=--∑∑i t iX X X X∴ ()∑∑-2tX X ()()∑∑∑∑-+-=22itiX X X X即 总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和 或 w b t SS SS SS += 2）平方和的计算式()()nX XX X 222∑∑∑-=-总平方和：()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=nX X X X SS t t 222组间平方和：()()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=n X n X X X SS tib222组内平方和：()∑∑-=2i wX X SS ()∑∑-=2i w X X SS b tSS SS-=例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。
方差分析
（1.2）
27 May 2020
方差分析
一、单因素方差分析的统计模型：
yij
诸 ij
i ij , j 1, 2,..., mi , i
相互独立，且都服从N
1,（21,..3.）., r,
(0, 2 )
总均值与效应的概念:
1）称诸 i 的平均
为总均值(或一般平均).
2）称第 ia水i=平i -下的为均A值i 的效i 与应总。均1n值ir1m的i 差i :
27 May 2020
方差分析
第26页
➢ 由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间 的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间
偏差平方和 SA r mi ( yi• y )2 表示，也称为 i 1
因子A的偏差平方和(或称为因子A的效应平方 和) ，其自由度为 fA=r1；
27 May 2020
27 May 2020
方差分析
第11页
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为 此，我们把饲料称为因素，记为A，而三种不同的配方称为因素A的三 个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表 示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此， 需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用 方差分析的方法进行解决。
27 May 2020
方差分析
第15页
为对假设（1.1）进行检验，需要从每一水平下的
r
总体抽取样本，设n从 i第1 mi i个水平下的总体获得mi个试验结
果，记 yij 表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作用，③分析因素间的交互作用，④方差齐性检验。
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。
通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异。
例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害虫的杀虫效果等，都可以使用方差分析方法去解决。
方差分析原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：
(1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示，记作SS w，组内自由度df w。
(2) 实验条件，实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表示，记作SS b，组间自由度df b。
总偏差平方和 SS t = SS b + SS w。
组内SS t、组间SS w除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均方MS w和MS b，一种情况是处理没有作用，即各组样本均来自同一总体，MS b/MS w≈1。
另一种情况是处理确实有作用，组间均方是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来自不同总体。
那么，MS b>>MS w(远远大于)。
MS b/MS w比值构成F分布。
用F值与其临界值比较，推断各样本是否来自相同的总体。
方差分析的假设检验
假设有m个样本，如果原假设H0：样本均数都相同即μ1=μ2=μ3=…=μm=μ，m个样本有共同的方差。
则m个样本来自具有共同的方差和相同的均数u的总体。
零假设H0：m组样本均值都相同，即μ1= μ2=....= μm
如果,计算结果的组间均方远远大于组内均方（MS b>>MS w），F>F0.05(dfb,dfw), p<0.05，拒绝零假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义；否则, F<F0.05((dfb,dfw), p>0.05不能拒绝零假设，说明样本来自相同的正态总体，处理间无差异。
SPSS中方差分析过程
1）One-Way ANOVA过程
One-Way过程是单因素简单方差分析过程。
它在Analyze菜单中的Compare Means过程组中。
用0ne-Way ANOVA菜单项调用，可以进行单因素方差分析、均值多重比较和相对比较。
2）General Linear Model 过程组
在SPSS主菜单“Analyze”项调用。
这些过程可以完成简单的多因素方差分析和协方差分析，不但可以分析各因素的主效应，还可以分析各因素间的交互效应。
该过程允许指定最高阶次的交互效应，建立包括所有效应的模型。
如果想建立包括某些特定的交互效应的模型也可以通过过程中的“Method”对话框中的选择项实现。
在General Linear Model菜单项的下一级菜单中有四项过程，每个菜单项分别完成不同类型的方差分析任务。
这些过程的主要功能分别是：
① Univariate 过程
Univariate过程完成一般的单因变量、多因素方差分析。
可以指定协变量，即进行协方差分析。
在指定模型方面有较大的灵活性并可以提供大量的统计输出。
② Multivariate过程
Multivariate过程进行多因变量的多因素分析。
当研究的问题具有两个或两个以上相关的因变量时，要研究一个或几个因素变量与因变量集之间的关系时，才可以选用Multivariate过程。
例如，当你研究数学、物理的考试成绩是否与教学方法、学生性别、以及方法与性别的交互作用有关时，使用此菜单项。
如果只有几个不相关的因变量或只有一个因变量，应该使用Univariate过程。
③ Repeated Measure过程
Repeated Measure过程进行重复测量方差分析。
当一个因变量在不只一种条件下进行测度，要检验有关因变量均值的假设应该使用该过程。
④ Variance Component 过程
Variance Component过程进行方差估计分析。
通过计算方差估计值，可以帮助我们分析如何减小方差。