2015年春季学期新版北师大版八年级数学下册1.4角平分线同步练习1

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八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

度数，可以求此角的度数。
3
应用三解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的平分线。
练习二用角平分线定理求角度
练习应用角平分线定理来求出角的度数。
练习三解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解方法？
可用尺规作图法作出一条角的平分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交，则它们所截的弧上的点都在相同的直线上。

北师大版八年级数学下册课时达标训练：1.4.1角平分线

1.4.1角平分线一、选择题1.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图,在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C 的坐标是()A.(0,2)B.(0,5)C.(0,√5)D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°.6.已知:如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm.7.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,CD=3.(1)求DE的长;(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.10.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图,某地有两个村庄M,N,和两条相交叉的公路OA,OB,现计划在∠AOB内部修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你确定该仓库的位置.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.13.感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=(用含a的代数式表示)答案1.[答案] C2.解析： A 从图上可以看出点M 在∠AOB 的平分线上,其他三点均不在∠AOB 的平分线上, 所以点M 到∠AOB 两边的距离相等.故选A .3.解析： B 如图,过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于点H.∵BD 平分∠ABC ,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD 的面积=S △ABD +S △BCD =12AB ·DH+12BC ·CD=12×6×4+12×9×4=30.故选B .4.解析： D ∵AD 平分∠OAB ,DB ⊥AB ,DO ⊥OA ,∴DB=DO=√3.∵点B 的横坐标为1,∴BC=1.∵OA ⊥y 轴,BC ∥OA ,∴BC ⊥y 轴,即∠BCD=90°,∴CD=√(√3)2-12=√2,∴OC=OD+CD=√3+√2,∴点C 的坐标是(0,√3+√2).故选D .5.[答案] 55解析： ∵QC ⊥OA 于点C ,QD ⊥OB 于点D ,QC=QD ,∴OQ 是∠AOB 的平分线.∵∠AOB=70°,∴∠AOQ=12∠AOB=12×70°=35°, ∴∠CQO=90°-∠AOQ=90°-35°=55°.故答案为55. 6.[答案] 6解析：过点P 作PM ⊥AB 于点M ,并反向延长交CD 于点N.∵AB ∥CD ,∴PN ⊥CD.∵AP 平分∠BAC ,PE ⊥AC ,PM ⊥AB ,PE=3 cm,∴PM=PE=3 cm .同理PN=PE=3 cm,∴MN=PM+PN=6 cm,∴AB 与CD 之间的距离是6 cm . 7.[答案] 2解析：如图,过点E 作EG ⊥OA 于点G.根据角平分线的性质定理得到EG 的长,再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°,然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半解题.8.[答案] 11解析：如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF=DH.在Rt △FDE 和Rt △HDG 中,∵DF= DH ,DE=DG ,∴Rt△FDE ≌Rt △HDG (HL).同理,Rt △FDA ≌Rt △HDA (HL).设△EDF 的面积为x ,由题意,得48-x=26+x ,解得x=11,即△EDF 的面积为11.故答案为11.9.解:(1)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于点E ,CD=3,∴DE=CD=3. (2)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,CD=3,∴BD=BC-CD=5,∴S △ADB =12BD ·AC=12×5×6=15.10.证明:∵PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中,∵PF=PG ,DF=EG , ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (HL), ∴PD=PE.∵P 是OC 上一点,PD ⊥OA ,PE ⊥OB , ∴OC 是∠AOB 的平分线.11.解:如图,点P 即为该仓库的位置.12.解:(1)证明:如图,过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵四边形OECF 是正方形,∴OE=EC=CF=OF ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC. ∵BD 平分∠ABC , ∴OM=OE , ∴OM=OF.又∵OM ⊥AB ,OF ⊥AC ,∴点O 在∠BAC 的平分线上.(2)方法一:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,∴由勾股定理得AB=13. 易证BE=BM ,AM=AF.又∵BE=BC-CE ,AF=AC-CF ,CE=CF=OE ,∴BE=12-OE ,AF=5-OE. ∵BM+AM=AB ,∴BE+AF=13,即12-OE+5-OE=13, 解得OE=2,即OE 的长为2. 方法二:利用面积法.连接OC.∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12, ∴由勾股定理得AB=13.∵S △ABC =12AC ·BC ,S △ABC =12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM , ∴12AC ·BC=12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM ,即12×5×12=12×12OE+12×5OF+12×13OM. 由(1)得,OM=OE=OF ,∴OE=2.13.解:探究:证明:如图①,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC , ∴DE=DF.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB 和△DFC 中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD ,DE=DF , ∴△DEB ≌△DFC ,∴DB=DC.应用:如图②,连接AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB和△DFC中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD,DB=DC, ∴△DEB≌△DFC,∴DE=DF,BE=CF.在Rt△ADF和Rt△ADE中,∵AD=AD,DF=DE,∴Rt△ADF≌Rt△ADE,∴AF=AE,∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.在Rt△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=√2a,∴AB-AC=√2a.2故答案为√2a.。

北师大版八年级下册数学1.4角平分线同步练习题(含解析)

1.角平分线同步练习2.一.选择题3.，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分(4)AE＋∠ABC，以下结论：〔1〕CD＝BD, (2)AE＝CE(3)OA＝OB＝OD＝OEBD＝AB，其中正确结论的个数是〔〕3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，15.那么AC的长是〔〕16.17.18.19.20.21.22.A．4B．3C．6D．5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，那么∠AEB＝〔〕°°° D.35°如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.假设AQ＝PQ，PR＝PS，以下结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是〔〕A.①③B.②③C.①②D.①②③5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABCC．△ABC的三条中线的交点三条高所在直线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点D．△ABC三条角平分线的交点6．ABC中，AD是BAC的平分线，且AB ACCD.假设BAC60，那么ABC 的大小为〔〕A．40B．60C．80D．100二.填空题在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E〔如图〕，折痕DE的长为.8.如图，在△ABC中， A 90,AB AC,CD平分ACB，DE BC于E，假设BC15cm，那么△DEB的周长为cm．9.如下列图，△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，那么△ABC的面积是．12.10.如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，那么△ACD的面13.积为．14.15.16.17.18.19.20.11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分21.ADC，∠CED＝35°，如图，那么∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，假设∠CBD＝20°，那么∠CED＝__________.三.解答题13．：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．15．：如图，在ABC中，AD是△ABC并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE 的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，和DF的大小关系并说明理由．（16．：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1〕求证：AM平分∠BAD；（2〕试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？3〕线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．17．如图，在ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，假设△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE 与△BCA的面积之比．：如图，ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．参考答案一.选择题1.【答案】C；【解析】〔1〕〔2〕〔4〕是正确的.2.【答案】B；【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．应选：B．3.【答案】B；【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.4.【答案】C；【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠BAP，所以②正确.5.【答案】D；【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．应选D．6.【答案】A；【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.二.填空题【答案】1；【解析】由题意设DE＝CE＝x，BC＝BD＝AD＝3x，AE＝2x，AC＝3x＝3，x＝1.【答案】15；【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15cm.【答案】30【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×〔AB+BC+AC〕×320×3=3010.【答案】；【解析】解：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ， AB=4，△ABD 的面积为3， ∴S △ABD = AB?DE= ×4×DE=3，解得DE=；DF=，AC=2，S △ACD =AC?DF=×2×=．故答案为：．11.【答案】35°；【解析】作 EF ⊥AD 于F ，证△DCE ≌△DFE 〔HL 〕，再证△AFE ≌△ABE 〔HL 〕，可得 FEB ＝180°－70°＝110°，∠AEB ＝55°，∠EAB ＝35°.12.【答案】10°；【解析】考虑△BDC 中，EC 是∠C 的平分线，EB 是∠B 的外角平分线，所以E 是△BDC 的一个旁心，于是ED 平分∠BDA.∠CED ＝∠ADE －∠DCE ＝1∠ADB －1∠DCB ＝1∠DBC ＝1×20°＝10°.22 2 2三.解答题 13.【解析】证明：∵OD 平分∠POQ ∴∠AOD ＝∠BOD 在△AOD 与△BOD 中OA OB AOD BOD ODOD∴△AOD ≌△BOD 〔SAS 〕 ∴∠ADO ＝∠BDO又∵CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.∴CM ＝CN 〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕.14.【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBCDF=EB，AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE2AE=AB+AD15.【解析】DE＝DF.证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD是△ABC的角平分线，DM＝DN∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF＝180°又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF＝180°∴∠1＝∠4在Rt△DEM与Rt△DFN中4DMDNEMDFNDRt△DEM≌Rt△DFN〔ASA〕DE＝DF【解析】〔1〕证明：作M E⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．2〕解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣〔∠1+∠3〕=90°，即DM⊥AM．3〕解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中Rt△DCM≌Rt△DEM〔HL〕，∴CD=DE，同理AE=AB，AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．17.【解析】解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E∴DE＝CD可证Rt△BCD≌Rt△BED〔HL〕设△BCD的面积＝△BED的面积＝3x，△BCA的面积为8x，△ADE的面积为8x－6x＝2x，∴△ADE与△BCA的面积之比为2x：8x＝1:4．【解析】证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.FM＝FP，FN＝FP〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕FM＝FN∴点F必在∠DAE的平分线上.〔到角两边的距离相等的点在角的平分线上〕。

北师大版八年级数学下册1

1.4.2 三角形三条内角的平分线同步练习题 2022-2023学年北师大版八年级数学下册一、选择题1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )A.△ABC 的三条中线的交点B.△ABC 三边的垂直平分线的交点C.△ABC 三条角平分线的交点D.△ABC 三条高所在直线的交点2.下列关于三角形三个内角平分线的说法中，正确的个数为( )①三条角平分线上的点到三边的距离都相等；②三角形的三条内角平分线相交于一点；③三角形的内角平分线位于三角形的内部；④三角形任意一条内角平分线可以将三角形分成面积相等的两部分，A.1B.2C.3D.43.如图，在△ABC 中，AB=BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF ，若BE=AC=2，则△CEF 的周长为( ) A.31+ B.53+ C.51+ D.44.如图，BM 是∠ABC 的平分线，点D 是BM 上一点，点P 为直线BC 上的一个动点，若△ABD 的面积为9，AB=6，则线段DP 的长不可能是( )A.2B.3C.4D.5.55.如图，直线l 1，l 2，l 3，表示三条交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A.1处B.2处C.3处D.4处6.如图，△ABC 的周长是20，BO 和CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于点D ，且OD=3，则△ABC 的面积是( )A.20B.25C.30D.357.如图，在△ABC 中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2，则△ABC 的面积是（ ) A.223+ B.21+ C.22 D.22+8.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，AD⊥BE 于点D ，下列结论：①AC -BE=AE;②点E 在线段BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C;④BC=4AD.其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.4二、填空题9.如图，在△ABC 中，O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，∠BOC=134°，则∠A 的度数为_____.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC.若BC=6，则点D到线段AB的距离等于______.11.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD:S△ACD=_______.12.如图，D是∠ABC平分线上一点，E，F分别在AB，BC上，且DE=DF.若∠BED=130°，则∠BFD 等于____.13.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°，则∠CAP=____.三、解答题14.如图，有三条公路两两相交于A，B，C处，先计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请在图中确定加油站的位置O.15.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.(1)求证：∠EBD=∠EDB.(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.16.已知OM是∠AOB的平分线,点P是射线OM上一点,OP=3√2,点C、D分别在射线OA、OB上,连接PC、PD.(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是.(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.(3)在(2)中,四边形ODPC的面积S是否会发生变化?若不会发生变化,请直接写出面积S的值;若发生变化,请说明理由.17.如图，已知在△ABC中，CP平分∠ACB，E，F分别是边AC，BC上的两点，连接PE，PF，已知∠CEP+∠CFP=180°，点D为AC延长线上一点，连接PD，且DE=BF.(1)当∠CEP=90°时，如图①，求证：DP=BP.(2)若∠CEP≠90°，如图②，(1)中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，下点E 请说明理由.(3)在(2)的条件下，已知AB=AE+BF，若∠ACB=82°，求∠APB的度数.。

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明第4节角平分线课堂练习

第一章三角形的证明第4节角平分线课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．在Rt ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∠AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．32C．2D．62．如图，Rt∠ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB 上一动点，则GP的最小值为（）A．1B．12C．2D．无法确定3．作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；（2）分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA4．如图，ABC中，BAC∠的平分线AD与边BC的垂直平分线GD相交于点D，DE AB⊥交AB的延长线于点E，DF AC⊥于F，现有下列结论：∠DE DF=；∠BE CF=；∠DG平分EDF∠；∠2AB AC AF+=；其中，正确的结论的个数是______A．4B．3C．2D．15．如图，在∠ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2B．4C．5D．6评卷人得分二、填空题6．如图，点O在直线AB上，OD OE⊥，垂足为O，OC是DOB∠的平分线，若70AOD∠=°，则COE∠=________度．7．如图，点C在AOB∠的平分线上，CD OA⊥于点D，且1CD=，如果E是射线OB 上一点，那么CE长度的最小值是______．8．如图，在ABC中，90ACB∠=︒，O为三条角平分线的交点，OD BC，OE AC⊥，OF AB⊥，若5AB=，4BC=，则OD的长为_______________________．9．如图，在∠ABC中，按以下步骤作图：∠以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；∠分别以D，E为圆心，以大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；∠作射线BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，∠ABG的面积为18，则∠CBG的面积为_____．10．如图，在∠ABC中，AD是中线，AE是高，AB＝BC,过点D作DF∠AC于点F，交AE于点K,∠BAD＝∠DAE，∠ABD的面积是15，DE＝3，则KE的长为__．11．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED ＝_____°．评卷人得分三、解答题12．已知：∠DAC＋∠ACB＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACF＝24°，∠DAC＝4∠5，求证：（1）CE平分∠BCF（2）则∠5＝__________°（直接写出答案即可）13．已知直线//AB CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是ACD∠的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG AC⊥交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若36GAB∠=︒，求MCD∠的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明：290MCD GAB∠+∠=︒．14．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．已知：如图，点D ，E 分别在线段,AB BC 上，//,AC DE AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，DF 平分BDE ∠交BC 于F ．试说明//DF AE ．解：因为AE 平分BAC ∠（已知），所以1122∠=∠=_________（________）．因为DF 平分BDE ∠（已知），所以1342∠=∠=__________（角平分线的定义）．因为//AC DE （已知），所以BDE BAC ∠=∠（______________），所以___________________________．（等量代换），所以//DF AE （____________）．15．如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 上一点，且DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，求证：AD ＝CD ＋AB ．16．已知如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD CD=，DE AB⊥，DF AC⊥，垂足分别是E、F．求证：EB FC=．17．如图，BD平分ABC∠，ADB ABD∠=∠．证明：MAD ABC∠=∠．18．如图，已知ABC，用尺规作图法作ABC∠的平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）19．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图∠在ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果5AD=，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．解：∠AD是BC边上的中线，∠BD CD=，又∠//AC BE，∠CAD E∠=∠在ADC和EDB△中CAD EADC EDBBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC EDB≌（AAS）∠AD DE=又∠5AD=∠AE=______（2）【猜想证明】如图∠，在四边形ABCD中，//AB CD，点E是BC的中点，若AE 是BAD∠的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）【拓展延伸】如图∠，已知某学校内有一块梯形空地，//AB CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现50AB BC==米，16CD=米，ABE△和ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在BCD△内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知30DFE BAE∠=∠=︒，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．20．如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，EF与AC相交于点G，∠BDA＋∠CEG＝180°．（1）求证：AD∠EF；（2）求证：AD是∠BAC的平分线．参考答案：1．A【解析】【分析】根据角平分线的性质即可求得．【详解】解：∠∠B=90°，∠DB∠AB，又∠AD平分∠BAC，DE∠AC，∠DE=BD=3，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2．A【解析】【分析】如图，过点G作GH∠AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，过点G作GH∠AB于H．∠GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC∠BC，∠GH＝GC＝1，根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短的知识点，作好辅助线求解是关键．3．B【解析】【分析】利用基本作图得到OD =OE ，DC =EC ，然后根据全等三角形的判定得到进行判断．【详解】解：如图，连接EC ，DC ．在∠EOC 和∠DOC 中，OE OD OC OC EC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩　，∠∠EOC ∠∠DOC （SSS ），∠∠EOC =∠DOC ，∠OC 平分∠BOA ．故选：B ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．B【解析】【分析】角平分线的性质可知∠正确；先证明BED CFD ≌，从而可证明∠正确；先证明DAE DAF ≌，从而得∠ADE =∠ADF ，即：AD 平分EDF ∠，故∠错误；∠连接BD 、DC ，然后证明∠EBD ∠∠DFC ，DAE DAF ≌，从而得到BE ＝FC ，AE ＝AF ，从而可证明∠．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．∠AD平分∠BAC，DE∠AB，DF∠AC，∠ED＝DF．故∠正确．∠BAC∠的平分线AD与边BC的垂直平分线GD相交于点D，∠BD＝CD，∠DE∠AB，DF∠AC，∠∠BED=∠CFD=90°，又∠ED＝DF，≌，∠BED CFD=，故∠正确；∠BE CF∠∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∠DAE=∠DAF，∠DAE DAF≌，∠∠ADE=∠ADF，即：AD平分EDF∠∠不能判定GD平分∠EDF．故∠错误．∠∠∠BED∠∠CFD．∠BE＝FC，∠DAE DAF≌，∠AE＝AF，∠AB＋AC＝AE−BE＋AF＋FC，又∠AE＝AF，BE＝FC，∠AB＋AC＝2AE．故∠正确．故选B．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【解析】【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值．【详解】解：作C点关于BD 的对称点C '，过C '作C 'F ∠BC 交BD 于点E ，交BC 于点F ，∠CE +EF ＝C 'E +EF ≥C 'F ，∠CE +EF 的最小值C 'F 的长，∠CC '∠BD ，∠BD 平分∠ABC ，∠∠C 'BG ＝∠GBC ，在∠C 'BG 和∠CBG 中，''C BG GBC BG BGBGC BGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠C 'BG ∠∠CBG （ASA ），∠BC ＝BC '，∠AC ＝BC ＝8，∠ACB ＝120°，∠∠ABC ＝30°，BC '＝8，在Rt∠BCC '中，C 'F ＝12BC '＝812⨯=4， ∠CE +EF 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题．【解析】【分析】根据点O 在直线AB 上，得到180AOD DOB ∠+∠=︒，110DOB ∠=︒，再根据OD OE ⊥，垂足为O ，OC 是DOB ∠的平分线得到90∠+∠=︒DOC COE ，1552DOC COB DOB ∠=∠=∠=︒ ，最后得出答案．【详解】解：∠点O 在直线AB 上，∠180AOD DOB ∠+∠=︒，∠70AOD ∠=°，∠180********DOB AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∠OD OE ⊥，∠90∠+∠=︒DOC COE ，∠OC 是DOB ∠的平分线，∠1552DOC COB DOB ∠=∠=∠=︒， ∠90905535COE DOE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：35．【点睛】本题主要考查了补角、余角、角平线的性质，关键在于熟练运用角平分线的性质进行求解．7．1【解析】【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C在∠AOB的平分线上，CD∠OA于点D，且CD＝1，∠CE＝CD＝1，即CE长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．1【解析】【分析】根据勾股定理求得AC＝3，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，设OD＝x，然后根据S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB可得到关于x的方程，从而可得到OD的长度．【详解】解：∠在∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∠AC＝2222543AB BC-=-=，∠点O为∠ABC的三条角平分线的交点，OD BC，OE AC⊥，OF AB⊥，∠OE＝OF＝OD，设OE＝OF＝OD＝x，∠S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，∠12AC·BC＝12AB·OF +12AC·OE+12BC·OD，∠12×3×4＝12×5x+12×3x +12×4x，解得：x＝1，∠OD＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理和角平分线的性质，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，面积法的应用是解题的关键．9．24【解析】【分析】如图，过点G作GM AB⊥于M，GN BC⊥于N．证明GM GN=，求出GM，即可解决问题．【详解】解：如图，过点G作GM AB⊥于M，GN BC⊥于N．由作图可知，GB平分ABC∠，GM AB⊥，GN BC⊥，GM GN∴=，1182ABGS AB GM∆=⨯⨯=，4GM∴=，4GN GM∴==，111242422CBGS BC GN∆∴==⨯⨯=，故答案为24．【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题是解题的关键．10．1【解析】【分析】先作DG ∠AB 于点G ，根据角平分线的性质和∠ABD 的面积可以求出AB ，进而求出BC ，BD ，EC ，然后根据计算结果证明AF DF =，再证明C AFK DF ≌，推出CF FK =，即可求得KE 的值．【详解】解：作DG ∠AB 于点G ，∠∠BAD ＝∠DAE ，AE ∠BC∠DG ＝DE ＝3，∠∠ABD 的面积为15，∠AB •DG ＝30，∠AB ＝10，∠BC ＝10，BD ＝DC ＝5，∠BE ＝DB +DE ＝8，∠AE ＝6，EC ＝BC ﹣BE ＝2，∠222262210AC AE EC =+=+=，∠1122AE DC DF AC =， ∠3102DF =， ∠22102CF CD DF =-=， ∠3102AF AC CF =-=， ∠AF DF =， ∠90,90C CDF C CAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，∠CDF KAF ∠=∠，∠90AFK DFC ∠=∠=︒，()AFK DFC ASA ∴≌，∠102CF FK ==， ∠10DK DF FK =-=，∠221EK DK DE =-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质以及勾股定理，根据全等三角形性质求出CF FK =是解题的关键．11．37【解析】【分析】连接CE ，过E 作ER ∠AC 于R ，CD 交ER 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE ＝BE ，ER ＝EF ，根据全等求出∠RCE ＝∠EBF ，求出∠ACB ＝∠QED ＝28°，求出∠BED ＝∠CED ＝65°，求出∠REF 的度数，再求出∠CAB ，求出∠CAE ，根据三角形的外角性质求出∠DOE ，再求出答案即可．【详解】解：连接CE ，过E 作ER ∠AC 于R ，CD 交ER 于Q ，AE 交BC 于O ，∠DE 是线段BC 的中垂线，∠∠EDC ＝90°，CE ＝BE ，∠∠ECB ＝∠EBD ，∠∠EBD ＝25°，∠∠ECB ＝25°，∠∠DEB ＝∠CED ＝90°﹣25°＝65°，∠ER ∠AC ，ED ∠BC ，∠∠QRC ＝∠QDE ＝90°，∠∠ACB +∠CQR ＝90°，∠EQD +∠QED ＝90°，∠∠CQR ＝∠EQD ，∠∠ACB ＝∠QED ，∠∠ACB ＝28°，∠∠QED ＝28°，∠AE 平分∠CAM ，ER ∠AC ，EF ∠AM ，∠ER ＝EF ，在Rt∠ERC 和Rt∠EFB 中，CE BE ER EF=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ERC ∠Rt∠EFB （HL ），∠∠EBF ＝∠ACE ＝∠ACB +∠ECD ＝28°+25°＝53°，∠∠EFB ＝90°，∠∠BEF ＝90°﹣∠EBF ＝90°﹣53°＝37°，∠∠REF ＝∠RED +∠BED +∠BEF ＝28°+65°+37°＝130°，∠∠ARE ＝∠AFE ＝90°，∠∠CAM ＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∠AE 平分∠CAM ，∠∠CAE ＝12∠CAM ＝25°， ∠∠DOE ＝∠CAE +∠ACB ＝25°+28°＝53°，∠ED ∠BC ，∠∠EDB ＝90°，∠∠AED ＝90°﹣∠DOE ＝90°﹣53°＝37°，故答案为：37．【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：∠线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，∠角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．12．（1）见解析；（2）26°【解析】【分析】（1）根据平行线的判定方法证明DA ∠BC ∠EF ，然后根据平行线的性质即可证明．（2）根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）∠∠DAC ＋∠ACB ＝180°，∠DA ∠BC ，又∠∠1＝∠2，∠DA ∠EF ，∠DA ∠BC ∠EF ，∠∠3＝∠5，∠∠3＝∠4，∠∠4＝∠5，∠CE 平分∠BCF ．（2）∠∠DAC ＋∠ACB ＝180°，∠DAC ＝4∠5，∠4∠5+∠5+∠5+24°=180°，解得：∠5=26°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念和判定，解题的关键是根据题意找出题目中各角之间的关系．13．（1）63°；（2）见解析【解析】【分析】（1）依据AG AC ⊥，36GAB ∠=︒可得CAH ∠的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质即可得到MCD ∠的度数；（2）结合（1）得180ACD CAH ︒∠+∠=，再依据角平分线的定义，即可得290MCD GAB ∠+∠=︒.【详解】解：（1）AG AC ⊥，36GAB ∠=︒，903654CAH ∴∠=︒-︒=︒，//AB CD ，180ACD CAH ∴∠+∠=︒，126ACD ∴∠=︒，CM 是ACD ∠的平分线，63ACH DCM ∴∠=∠=︒；（2）ACH DCM ∠=∠，2ACD MCD ∴∠=∠，由（1）得180ACD CAH ︒∠+∠=，AG AC ⊥，90CAG ∴∠=︒，290180MCD GAB ∴∠+︒+∠=︒，290MCD GAB ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14．BAC ∠；角平分线的定义；BDE ∠；两直线平行，同位角相等；23∠∠=；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质与判定即可证明.【详解】解：因为AE 平分BAC ∠（已知），所以1122BAC ∠=∠=∠（角平分线的定义）．因为DF 平分BDE ∠（已知），所以1342BDE ∠=∠=∠（角平分线的定义）．因为//AC DE （已知），所以BDE BAC ∠=∠（两直线平行，同位角相等），所以∠2=∠3．（等量代换），所以//DF AE（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．证明见解析【解析】【分析】过M作ME∠AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM ＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根据全等三角形性质，推导得∠MCD∠∠MED，根据全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．【详解】如图，过M作ME∠AD于E，∠∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∠∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，∠CDM EDMC DEMCM EM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠MCD∠∠MED（AAS），∠CD＝DE，∠BAM EAMB AEMBM EM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABM∠∠AEM（AAS），∠AE＝AB，∠AD ＝AE ＋DE ＝CD ＋AB ．【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．16．见解析【解析】【分析】首先由角平分线的性质可得DE ＝DF ，又有BD ＝CD ，可证Rt∠BED ∠Rt∠DFC （HL ），即可得出EB ＝FC ．【详解】证明：∠AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 、DF ∠AC ，∠DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，在Rt∠BED 和Rt∠DFC 中，BD CD DE DF=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠BED ∠Rt∠CFD （HL ），∠EB ＝FC ．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．17．见解析【解析】【分析】由角平分线定义得ABD DBC ∠=∠，等量代换得DBC ADB ∠=∠，由内错角相等两直线平行得到//AD BC ，再由两直线平行同位角相等即可得证.【详解】证明：∠BD 平分ABC ∠∠ABD DBC ∠=∠∠ADB ABD ∠=∠∠DBC ADB ∠=∠∠//AD BC∠MAD ABC ∠=∠【点睛】此题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握相应的性质定理是解答此题的关键. 18．见解析【解析】【分析】利用基本作图作∠ABC 的平分线即可．【详解】解：如图，BD 即为所求．【点睛】考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）是解决问题的关键． 19．（1）10；（2）AB DC AD +=，证明见解析；（3）34cm ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据AD DE =，可以得到210AE AD ==即可求解；（2）延长AE ，DC 相交于点A '，然后证明ABE A CE '△≌△即可得到答案；（3）延长AE ，DC 相交于点A '，根据ABE ACE S S =得到BE CE =，然后证明ABE A CE '△≌△即可求解．【详解】解：（1）∠AD DE =∠210AE AD ==（2）结论：AB DC AD +=．证明：延长AE ，DC 相交于点A '．∠//AB CD ，∠B A CE '∠=∠在ABE △和A CE '△中B A CEBE CEAEB A EC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩'∠ABE A CE'△≌△（ASA）∠AB A C'=，BAE A'∠=∠∠AB A C'=，BAE A'∠=∠∠AD A D'=∠AD A D A C CD AB CD''==+=+（3）解：延长AE，DC相交于点A'．∠ABE ACES S=∠BE CE=．∠//AB CD∠ABE BCA'∠=∠在ABE△和A CE'△中，ABE BCABE CEAEB CEA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'∠ABE A CE'△≌△（ASA）∠()50mAB A C'==，30BAE A'∠=∠=︒∠A AFE'∠=∠∠A D DF'=∠()501634m A D A C CD ''=-=-=∠()34m DF =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20．（1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】（1）由领补角可得∠ADB +∠ADC =180°，然后可得∠ADC =∠CEG ，进而问题可求证；（2）由（1）及题意易得∠F =∠BAD ，DH ∠AC ，则有∠H =∠EGC =∠DAC ，然后问题可求证．【详解】证明：（1）∠∠BDA ＋∠CEG ＝180°，∠ADB +∠ADC =180°，∠∠ADC =∠CEG ，∠AD ∠EF ；（2）∠∠EDH ＝∠C ，∠DH ∠AC ，∠∠H =∠EGC ，∠AD ∠EF ，∠∠F =∠BAD ，∠DAC =∠EGC ，∠∠H =∠EGC =∠DAC ，∠∠F ＝∠H ，∠∠BAD＝∠DAC，∠AD是∠BAC的平分线．【点睛】本题主要考查角平分线的判定及平行线的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定及平行线的性质与判定是解题的关键．。

八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大

【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示．方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB，且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝＝EADD，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。

通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。

教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。

但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。

四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。

2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。

3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。

六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。

2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。

3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。

2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。

北师大版八年级下册数学 1.4角平分线同步练习 (含解析)

1.4角平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15B．30C．12D．102．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.53．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（）A．5B．6C．3D．44．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（）处．A．一B．二C．三D．四6．如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③7．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3，则S1（）S2+S3．A．＞B．＝C．＜D．无法确定8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB9．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE ＝3，则△ABE的面积等于（）A．15B．12C．10D．1410．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若AB＝12，CD＝4，则△ABD的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D 到边AB的距离为．13．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．14．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．15．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB 的周长为20，则△ABC的面积是．三．解答题（共3小题）16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE ＝FC．求证：BD＝DF．17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．参考答案一．选择题1．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×10×3＝15．故选：A．2．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面积为9，AB＝6，∴DE＝，∵BM是∠ABC的平分线，∴DE＝3，∴DP≥3，故选：A．3．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，∴PE＝PD＝6，∴点P到边OB的距离为6．故选：B．4．解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．5．解：∵度假村到三条公路的距离相等，∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，∵△ABC的三条角平分线相交于一点，∴度假村可供选择的位置有一处，故选：A．6．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，∴OD＝OE，同理可得OE＝OF，∴OD＝OF，∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；OD＝OE＝OF，所以②正确；∵不能确定∠ABC＝∠ACB，∴不能确定∠OBE＝∠OCE，∴不能确定OB＝OC，所以③错误．故选：B．7．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵P是△ABC的三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：C．8．解：A．∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B．∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C．∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D．∵S AEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．10．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F AG+∠DAC＝90°，∴∠F AG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠F AG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．二．填空题11．解：作DH⊥AB于D，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝4，∴S△ABD＝AB×DH＝×12×4＝24．故答案为：24．12．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD为△ABC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝R，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴S△ABC＝＝＝24，∴S△ABD+S△DBC＝24，∵AB＝6，BC＝8，∴R+＝24，解得：R＝，即DF＝，∴点D到边AB的距离是，故答案为：．13．解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．14．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．15．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC三条角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD＝5，∴S△ABC＝S△P AB+S△PBC+S△P AC＝PD•AB+PE•BC+PF•AC＝（AB+BC+AC）＝×20＝50，故答案为：50．三．解答题（共3小题）16．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．17．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．18．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．。

北师大八年级数学下册教案：1.4角平分线

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等角的射线。它是几何图形中的重要组成部分，有助于解决许多几何问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了角平分线在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
此外，我在课程中发现个别学生对判定定理的理解不够深入，容易混淆。在未来的教学中，我需要针对这些难点进行更有针对性的讲解和练习，通过更多的例子和变式题目来帮助他们巩固理解。
最后，今天的课程也让我意识到，教学过程中及时反馈的重要性。在实践活动和小组讨论后，我应该给予学生更多的即时反馈，帮助他们及时纠正错误，巩固正确的方法。
2.培养学生的空间想象能力：通过画角平分线的实践活动，激发学生的空间想象力，培养学生对几何图形的认知和理解。
3.培养学生的数学建模能力：将角平分线知识应用于实际问题，让学生学会运用数学知识构建模型，解决现实问题。
4.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的几何图形中抽象出角平分线的概念和性质，提高数学抽象思维。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如画角平分线的方法和角平分线在实际问题中的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何使用量角器和尺规作图来画角平分线的基本原理。
北师大八年级数学下册教案：1.4角平分线
一、教学内容
北师大八年级数学下册教案：1.4角平分线
1.角平分线的定义与性质

北师大新版八年级数学下学期 1.4 角平分线同步练习含答案

1.4 角平分线一．选择题（共8小题）1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD2．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，则DE的长（）cm．A．16 B．12 C．28 D．24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，若AB＝12cm，BC＝18cm，S△ABC＝90cm2，则DF长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，那么AE+DE 等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB＝3，S△OPB ＝6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB＝4，DE＝2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．58．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2二．填空题（共6小题）9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝7，DE＝4，则△BCE的面积等于．10．如图，DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，BD＝DC，∠BAC＝110°，则∠BAD＝°．11．如图所示，△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC＝10cm，CD ＝6cm，则AD的长为cm；DE的长为cm；EC的长为cm．12．如图，已知AB∥CD，O为∠BAC与∠ACD的平分线交点，过点O作OE⊥AC于E，OG⊥CD 于G，延长GO交AB于F．若OE＝2，则FG的长为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是．14．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是．三．解答题（共6小题）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上．17．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．18．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．19．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．20．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．。

北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习(含答案)

北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线同步练习一、单选题（共 10 题；共 20 分）1.如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为 A，B。

下列结论中不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO 平分∠AOBC.OA=OBD.AB 垂直平分 OP )2.如图， AB∥CD,AP， CP 分别平分∠BAC 和∠ACD， PE⊥AC 于点 E，且 PE＝3cm，则 AB 与 CD 之间的距离为(A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定3.如图，以∠AOB 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D，再分别以点 C，D 为圆心，大于 CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 E，作射线 OE，连接 CD，以下说法错误的是（）A. △ OCD 是等腰三角形 C. CD 垂直平分 OEB. 点 E 到 OA，OB 的距离相等 D. 证明射线 OE 是角平分线的依据是 SSS4.如图,在△ ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 G,过点 G 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，过点 G 作 GD⊥AC 于 D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ AE+AF=n,则△∠A；③点 G 到△ ABC 各边的距离相等；④设 GD=m，=mn.其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.如图，在△ ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列四个结论：① ∠AOB=90°+∠②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC 的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b， ) C. ①②④ D. ①③④则 S△ CEF=ab 其中正确的是( A. ①② 则可供选择的地点有（）B. ③④6.如图，直线 l1 ， l2 ， l3 表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，A.四处B.三处C.两处D.一处7.如图，△ ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将△ ABC 分为三个三角形，则 S△ ABO ︰S△ BCO︰S△ CAO 等于（）A. 1︰1︰1 则 DQ 的最小值（）B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰58.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，若 CD=3，点 Q 是线段 AB 上的一个动点，A. 5B. 4C. 3D. 29.∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 4，Q 是 OB 上任一点，则（） B. PQ＞4 D. PQ＜4A. PQ≥4C. PQ≤410.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等D. 以上均不正确二、填空题（共 6 题；共 8 分）11.如图，要在河流的南边，公路的左侧 M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉 A 处的距离为 1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在________.12.如图，△ ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠BAC 的平分线，点 E 到 AB 的距离等于 3cm，则 CF=________cm.13.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AD 是△ ABC 的角平分线，若 CD=4，AC=12，BC=9，则 S△ ABD =________．14.如图， △ ABC 中， ∠A=100°， BI、 CI 分别平分∠ABC， ∠ACB， CM 分别平分∠ABC，则∠BIC=________，若 BM、 ∠ACB 的外角平分线，则∠M=________．15.如图，已知相交直线 AB 和 CD 及另一直线 MN，如果要在 MN 上找出与 AB，CD 距离相等的点，则这样的点至少有________个，最多有________个．16.如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1 ， ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2 ，依此类推…．已知∠A=α，则∠An 的度数为________（用含 n、α 的代数式表示）．三、解答题（共 6 题；共 55 分）17.如图，直线 l 及 A、B 两点（保留作图痕迹，不写作法）。

八年级数学下册《角平分线》练习题及答案(北师大版)

八年级数学下册《角平分线》练习题及答案(北师大版)一选择题（共12小题）1. 如图若则对于和的大小关系下列说法正确的是A. 一定相等B. 一定不相等C. 当时相等D. 当时相等2. 如图线段两个端点的坐标分别为A（6 6）B（8 2）以原点为位似中心在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段则端点的坐标为A. B. C. D.3. 如图AI BI CI 分别平分∠BAC ∠ABC ∠ACB 的周长为ID=3 则的面积为A. B. C. D.4. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点5. 如图在上 E 在AC 上且则在下列条件中无法判定的是A. B.C. D.6. 如图已知在中是边上的高线平分交于点 E BC=5 DE=2 则的面积为A. B. C. D.7. 如图若则的度数为A. B. C. D.8. 下列判断正确的是A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B. 有两边对应相等且有一角为的两个等腰三角形全等C. 有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等9. 如图在四边形中AD=3 BC=5 对角线平分则的面积为A. B. C. D. 无法确定10. 如图两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放记两把尺的接触点为点．其中一把直尺边缘恰好和射线重合而另一把直尺的下边缘与射线重合上边缘与射线于点连接．若则的大小为A. B. C. D.11. 如图中分别作的两个内角平分线和BECD 相交于点连接有以下结论①②平分③④⑤其中正确的结论有A. ①②③④⑤B. ①②④⑤C. ①②⑤D. ①②12. 如图直角梯形中AB=a BD=bBC=d AD=e 则下列等式成立的是A. B. C. D.二填空题（共4小题）13. 如图平面内三条直线a b c 两两相交在平面内找出一点使得点到三条直线的距离相等那么符合条件的点有处．14. 在中AC=3 是的角平分线则与的面积之比是．15. 如图平分于点点在上于点．若OP=7 PM=3 则的长为．16. 如图是内一点且点到三边AB BD CA 的距离都相等．若则．三解答题（共5小题）17. 如图点为锐角内一点点在边上点在边上且DM=DN ．求证平分．18. 如图1 正方形的边分别在等腰直角的腰上点在内则有（不必证明）．将正方形绕点逆时针旋转一定角度后连接BE DF．请在图 2 中用实线补全图形这时还成立吗?请说明理由．19. 如图已知在直角中为各内角平分线的交点过作的垂线垂足为点．若BC=6 AC=8 AB=10 求的长．20. 如图在四边形中BC=DC 于若．求证平分．21. 以的为边作和且与相交于．（1）如图求证（2）在图中连接则（都用含的代数式表示）（3）如图若分别是的中点求的度数．参考答案一1. D2. A【解析】线段的两个端点坐标分别为以原点为位似中心在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段即点是的中点点的坐标为3. D4. C5. D6. C7. C8. D9. B10. B【解析】平分．11. B【解析】的角平分线相交于点故①正确作于点于点于点则点在的平分线上平分故②正确假设在和中在和中与已知条件不符假设错误故③错误在和中故④正确在和中同理故⑤正确故选B．12. A【解析】．．．．二13.14.【解析】三角形面积之比为．15. 略16. 略三17. 如图作于点于点．即．在和中平分．18. 补全图形如图所示．还成立理由是正方形和等腰．．在和中（）．．19. 略．20. 如图过点作在和中又平分．21. （1）如图在和中（2）（3）如图连接G H 分别是EC BD 的中点EC=BD在和中的度数是．第11页（共11页）。

2020-2021学年北师大版八年级下册数学 1.4角平分线同步练习【有答案】

1.4角平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC2．如图．四边形ABCD，AC为四边形的一条对角线，下列说法正确的是（）A．若AB＝AD，则AC是∠BCD的角平分线B．若BC＝CD，则AC是∠BAD的角平分线C．若AC是∠BCD的角平分线，则AB＝ADD．若AB⊥BC，AD⊥CD，AC是∠BAD的角平分线，则BC＝CD3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（）A．3B．4C．5D．64．如图，有三条公路l1、l2、l3两两相交，要选择一地点建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，不考虑其他因素，则符合条件的地点有（）个A．1B．2C．3D．45．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC ＝6cm，则DE＝（）cm．A．1B．2C．3D．46．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD ＝4．若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为（）A．34B．17C．8.5D．47．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，角平分线AD、BE相交于点O，则四边形OECD 的面积为（）A．5B．C．D．88．已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°9．如图，∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，∠BDE和∠BED的角平分线相交于点M，连接MN．下列说法错误的是（）A．直线MN平分线段AC B．直线MN平分∠ABCC．∠ANC＝∠DME D．∠ADE+∠DEC＝180°+∠B10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列五个结论：其中正确的有（）（1）EF＝BE+CF；（2）∠BOC＝90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn；（5）S△EOB＝S FOC．A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题11．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝4，则点P到AB的距离是．12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC 长是．13．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝9cm，BC＝11cm，则DE＝cm．14．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40，其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝6，△BCD的面积为12，则ED的长为．三．解答题16．如图，∠1＝∠2．∠3＝∠4．求证：AP平分∠BAC．17．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，AD是∠CAB的平分线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则（1）图中与线段AC相等的线段是；（2）与线段CD相等的线段是；（3）△DEB的周长为cm．18．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．（1）求证：GA平分∠DGB；（2）若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．1.4角平分线同步练习参考答案与试题解析一．选择题1．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．2．解：A．若AB＝AD，AC＝AC，则△ABC与△ADC不一定全等，故AC不一定是∠BCD的角平分线，故不符合题意；B．若BC＝CD，AC＝AC，则△ABC与△ADC不一定全等，故AC不一定是∠BCD的角平分线，故不符合题意；C．若AC是∠BCD的角平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△ADB与△ADC不一定全等，则AB不一定等于AD，故不符合题意；D．若AB⊥BC，AD⊥CD，AC是∠BAD的角平分线，根据“AAS”定理可证得△ABC≌△ADC，则BC＝CD，故说法符合题意；故选：D．3．解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，。

北师大版八下数学《角平分线》同步练习1(含答案)

1.4 角平分线一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_______∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.（1）（2）（3）4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图（5），已知OM平分∠POQ，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△POM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.2.如下图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC参考答案一、1.√ 2. × 3.√ 4.×二、1.=2.=3.14.905.4三、1.C 2.A 3.B 4. D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF=DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC.。

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1.4角平分线
一、选择题
1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．70°B．65°C．50°D．25°
2．如图1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB 交BC于点
D，DE⊥AB于点E．若AB=6 cm，则DEB的周长为（）
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
3．如图1—103所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，若△ADB ≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
4．如图1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二、填空与解答题
5．补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE．使OD =OE；②分别以D，E为圆心，以为半径画弧，两弧在∠
AOB内交于点C；③连接OC．则OC即为∠AOB的平分线．
6．如图1—105所示，D，E，F分别是,ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE 和△DBF的面积相等．求证AD平分∠BAC．
7．如图1—106所示，AD 为ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB 于点F，
EF交AD于点M，求证AM⊥EF．
8．如图1—107所示，,在EAABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？?如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由．（简要说明作图过程即可）
9．某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000 m．根据这些资料，考古队员很快找到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图l—108上找到古城的遗址（比例尺为1：100000）．
10．学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如图1—109所示的RtAABC的斜边AB 上取点E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于点D，那∠BD就是∠ABC的平分线．你认为他的作法有道理吗？说说你的看法．11．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20 m，30m，40 m，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．
12．如图1—110（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
（1）如图1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，
AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点F ，请你写出FE 与FD 之间的数量关系；（不要求写证明）
（2）如图1-110（3）所示，在AABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C [提示：折痕EF 恰为∠DED ′的角平分线，∴∠DEF=∠D ′EF ．
又∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED ′=65°×2=130°∴∠AED ′=180°一∠DED ′=50°．]
２．Ｃ［提示：易知DE=DC ，AE=AC=BC ，∴BE ＋DE ＋BD=BD ＋DC ＋BE ＝BC ＋BE=AC ＋BE=AE ＋BE=AB=6 cm ．]
3．D[提示：易证∠C=∠DBE=∠DBA ，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]
4．D[提示：证明△OAP ≌△OBP ，可得答案．]
5.大于12
DE 长． 6．证明：如图1一l11所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC
于G ，因为S △DCE =S △DBF ,所以C Ｅ•DG=BF •DH ，又CE=BF ，所以DG=DH ，所以点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．
7．证明：因为AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，所以DF=DE ．
在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，
所以Rt △ADF ≌Rt △AD （HL ）．所AF=AE ．在△AMF 和△AME 中，所以△AMF ≌△AME （ＳＡＳ），所以∠AMF=∠AME ．又因为∠AMF ＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM ⊥EF
8．解：有，如图1一112所示，作∠BAC ，∠ACB 的平分线，它
们的交点P 即为符合要求的点．理由：作PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF
⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，因为AP 是∠BAC 的平分线，所以
PD=PF ．又CP 是∠ACB 的平分线，所以PE=PF ，所以PD=PE=PF ．连接PB ，设PD=PE=PF=x ，由题意S △APB ＋S △A ＰC ＋S △ＣP B = S △ＡＢＣ，即12× 7x ＋12× 24x ＋12× 25x =12
×24×7，解这个方程，得x =3．即这个距离为3． 9．解：作两条河岸夹角的平分线，再以古塔所在的位置为圆心，以3 cm 长为半径画弧，弧线与角平分线的交点即为所求．图略．
10．解：小明的作法是有道理的．根据他的画法我们可以用HL 证明Rt △BCD ≌Rt △BED ，得∠CBD=∠EBD ．
11．解：如图1一113所示，AC=20，BC=30，AB=40，作出该三
角形空地ABC 的三条角平分线的交点P ，连接PA ，PB ，PC ，则S
△ACP ： S △BCP ：S △ABP ＝2：3：4．理由：作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE
⊥BC ，垂足分别为D ，F ，E ，由角平分线的性质定理，可知PD=PE=PF ，∴S △ACP ： S △BCP ：S △ABP =（
12PF ·AC ）：（12PE ·BC ）：（12PD ·AB ）=AC ：BC ：AB=2：3:4．
12．解：在OM ，ON 上分别取OA ，OB ，使OA=OB ，再在OP 上任取一点D ，连接AD ，
BD，则△OAD与△OBD全等，如图l一114（1）所示．（1）FE与FD之间的
数量关系为FE=FD．
（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC 上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD．由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．证法2：如图1—114（3）所示，过点F分别作FG ⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AC于点I．因为∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，FG=FH 可证AEGF≌△DHF，所以FE=FD。