高三文科数学第二次模拟考试试题
最新高三第二次模拟文科数学试卷(附答案)
最新高三第二次模拟文科数学试卷（附答案）一、单选题
1．下列命题正确的是（）
A．函数的零点在区间内
B．命题“”的否定是“”
C．已知实数，则“”是“”的必要不充分条件
D．设是两条直线，是空间中两个平面.若，，则
2．已知双曲线的两个焦点是和，则（）
A．B．C．D．
3．若集合则（）
A．B．C．D．
4．设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则A．B．C．D．
5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A．B．C．D．
6．已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（）
A．B．C．
D．
7．若，，在复平面内对应的点在实轴上，则实数a的值为（）A．B．2C．1D．
8．已知两条抛物线，（且），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且的面积是面积的3倍．则（）
A．8B．6C．4D．2
9．函数的减区间为（）
A．，B．，
C．，D．，
10．的展开式中的常数项为（）
A．40B．80C．120D．140
11．多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（）。
高三第二次模拟考试数学文科
高三第二次模拟考试数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；满分150分；考试用时120分钟。
第Ⅰ卷 (选择题；共60分)一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题意要求的.53sin =α；则⎪⎭⎫⎝⎛+απ2sin 的值为（ ） A 54±． B ．54- C ．54 D ． 53- bi a + ),(R b a ∈的平方是纯虚数；则（ ）A ．b a -=B ．||b a =C ．b a =D ．||||b a = A ；B 间的球面距离为32π；则弦长AB 等于（ ） A ．23B ．1C ．2D ．3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin )(πx x f 在)2,0(π上的图像与x 轴的交点的横坐标为（ ）A ．6116ππ或-B ．656ππ或 C ．61165ππ或 D ．676ππ或 )(x f y =与)1,0(≠>=a a a y x 且的图像关于直线x y =对称；则下列结论错误．．的是（ ）A ．)(2)(2x f x f = B ．)2()()2(f x f x f +=C ．)2()(21f x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛ D ．)(2)2(x f x f = a ；x ；b ；x 2；则ba等于（ ）A ．41 B ．31 C ．21 D ．32),(y x 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动；则y x z -=的取值范围是（ ）A ．[－2；－1]B ．[－2；1]C ．[－1；2]D ．[1；2] 8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中；直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．125πx +2y +1=0；2x +y +1=0的倾斜角分别为α、β；则α+β等于（ ）A ．60。
2020届高考高三文科数学第二次模拟考试(三 )(附答案)
2020届高考高三文科数学第二次模拟考试（三 ）（附答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ） A ． B ．C ．D ．2．设复数，则在复平面内对应的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知，，则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A ．B ．C ．D ． 6．要得到的图象，可由经过（ ）的变换得到．A ．向左平移个单位，横坐标缩为原来的，纵坐标扩大为原来的倍， 2{|2}A x x =<{|ln }B x y x ==A B =I ∅{|0}x x >{|20}x x -<<2{|0}x x <<i(i 1)z =-z :tan 3p α=π:3q α=pq 1441122365()f x R 0x >()ln f x x =221()()f e f e-⋅=2-12-4-14-π2sin(2)6y x =+sin y x =π6122B ．向左平移个单位，横坐标扩大为原来的倍，纵坐标缩为原来的， C ．向左平移个单位，横坐标缩为原来的，纵坐标扩大为原来的倍， D ．向左平移个单位，横坐标扩大为原来的倍，纵坐标缩为原来的， 7．函数的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．π6212π12122π12212(1)sin ()1x xe xf x e -=+22221(0,0)x y a b a b+=>>40x y -+=A B AB 13-2236332331824246++40246+C ．D ．10．记为数列的前项和，且有，，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，，若，则________． 14．已知集合，则的最大值为________．15．已知公差不为0的等差数列，满足成等比数列，为数列的前项和，当时，的值最大为________．16．用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角所对应的边分别是，若满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围．832246++1612246++n S {}n a n 11a =12nn n a a +=+8S =255256502511ABCD 1AB =3AD =P C BD AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu rλμ-311-3-a 2()ln f x x x ax x =-+a (0,)2e(0,)e (,)2e e 2(,)2e e ,2(2)x =+a )3(1,=b +=⋅a b a b x =()()(){}22,|324,,M a b a b a b =-+-=∈∈R R a b +10a >{}n a 416a a a ,,n S {}n a n 0n S >n 2a 2a ABC △,,A B C ,,a b c (sin sin )b A B +(sin sin sin )sin a A B Cc C -+-=B 6b =ABC △18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为等腰梯形，且，，分别为，的中点． （1）求证：；（2）求点到平面的距离．P ABCD -PC ⊥ABCD ABCD 112AD DC PC AB ====E F AB PD DE PA ⊥CDEF19．（12分）某中学高三年级，在男生中随机抽取了人，女生中随机抽取了人参加抽考测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：（1）确定，的值；（2）试判断能否有的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关；（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成学习小组．从这人中随机抽取名进行奖励，求受到奖励名同学中至少有名是男生的概率．507022a d 90%6221附：0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．0101．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．63520．（12分）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的面积．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P k χ≥0k C 3(3,0)C 2F π3A B ,O 1F AOB △21．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴22()3ln f x x a x ax =-++()f x 0a >()4ln 3f x a a ≥-+C 10sin ρθ=x建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．（1）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程； （2）曲线与直线交于，两点，求的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数． （1）解不等式； （2）若的解集为空集，求实数的取值范围．l 1cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩t π3α=C l C l A B AB ()123f x x x =++-()5f x ≤21()52f x m m <---m文科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】因为，，所以．2．【答案】B 【解析】，所以在复平面内对应的点在第二象限． 3．【答案】B【解析】，则；而，则， 故是的必要不充分条件． 4．【答案】C【解析】当满足条件，执行循环；，满足条件，执行循环；满足条件，执行循环；满足条件，执行循环； 满足条件，执行循环；不满足条件，输出．5．【答案】C【解析】结合奇函数的概念，可知，， 所以． 6．【答案】A【解析】由图象经过向左平移个单位，横坐标缩为原来的，纵坐标扩大为原来的倍的变换得到的图象，所以选项A 正确． 7．【答案】C【解析】，排除A 、D ；，排除B ；故选C ．8．【答案】B{}{}2222A x x x x =<=-<<{}{}ln 0B x y x x x ===>{|02}x x A B <<=I i i(1i)1i(1i)(1i)(1i)2z +-+===--+z tan 3α=ππ3k α=+π3α=tan 3α=p q 1a =2a =5a =14a =41a =122a =12222()()2f e f e -=-=-21()2f e =221()()4f e f e-⋅=-sin y x =π6122π2sin(2)6y x =+(0)0f =(1)sin (1101)e e f ->+=【解析】该，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，两式子相减得到， ，结合， ，，且， 代入上面式子得到，，故选B ． 9．【答案】A【解析】由题可得该几何体是一个正四棱柱，截去了一个三棱柱所剩的几何体（如下图），下底面面积，上底面是长为，宽为，面积，侧面两梯形的面积， 侧面两个矩形的面积， 所以．10．【答案】C【解析】依题意可得，则有，()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=22221212220x x y y a b--+=222121212222121212()()()()y y y y y y b a x x x x x x --+=-=---+12121y y x x -=-1202x x x +=1202y y y +=0013y x =-2213b a =2222613c b e a a ==-=122228S =⨯=22(22)223+=222222346S =⨯=312(24)221222S =⨯⨯+⨯=4222422122S =⨯+⨯=846122122824246S =+++=++112n n n a a ---=121112211()()()222121n n nn n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=++++=-L L．11．【答案】C【解析】以为原点，直线，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，直线，圆与直线相切，所以圆的半径， 圆的方程为， 设点，则有， 所以． 12．【答案】A【解析】，函数有两个极值点，则有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 当两函数图象相切时，设切点为，对函数求导， 则有，解得，要使函数图象有两个交点，则，即．8718(21)(21)(21)502S =-+-++-=L A AB AD x y (1,0)B (1,3)C (0,3)D :33BD l x y +=C BD C 32r d ==C 223(1)(3)4x y -+-=33(1cos ,3sin )22P θθ++31cos 2333sin 2λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩3131π1cos (1sin )cos sin cos()122226λμθθθθθ-=+-+=-=+≥-()ln 22f x x ax '=+-()f x ()f x 'ln y x =22y ax =-00(,)x y ln y x =1(ln )x x'=00000ln 2212y xy ax ax ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩00112y x e e a ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02a e <<02ea <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】 【解析】，，，解得． 14．【答案】【解析】结合题意为以为圆心，为半径的圆，所以（为参数），，最大值为．15．【答案】【解析】结合成等比数列，得到，而为等差数列，设公差为，代入得到，解得，所以，， 当时，解得，所以的值最大为．16．【答案】【解析】由题，圆柱的底面圆的周长为，设底面圆的半径为，可得，， 圆柱的高为，所以体积为，用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面，易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：，设圆锥下底面圆半径，可得，， 圆锥的高，3-22(3)5x +=++a b 26x ⋅=++a b 222(3)5(8)x x ++=+3x =-52+M (3,2)23cos 2sin a b αα=+⎧⎨=+⎩α5cos sin 52sin()4a b πααα+=++=++52+18416a a a ,,1426a a a ={}n a d ()()111253a d a a d =++19a d =-0d <1(1)(1)19(9)222n n n d n n d n S na nd nd ---=+=-+=-0n S >1902n --<19n <n 18223π2a 1r 12π2r a =1πar =2a 3211112ππa V s h r h ===2a π2πC R a ==2r 22π2πr a =2r a =2222(2)3h a r a =-=所以圆锥的体积，所以， 故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据正弦定理有，整理可得，结合余弦定理有，所以． （2）根据（1）的，所以，，， 即面积的取值范围为．18．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）底面四边形为等腰梯形，且， 易得，，平面，平面， 所以，，所以平面，平面，所以，为的中点，易得，所以．（2）取中点，在等腰梯形，易求得，， 在中易得，，， 32222113ππ3333a V s h a a ==⋅=312322233π3ππa V V a ==223ππ3(0,93]2()()b a b a a b c c +-+-=222a c b ac +-=2221cos 22a c b B ac +-==π3B =222a c b ac +-=22362a c ac ac +=+≥36ac ≤113sin 3693222S ac B =≤⨯⨯=ABC △(0,93]217ABCD 112AD DC PC AB ====60ABC ∠=︒AC BC ⊥PC ⊥ABCD BC ⊂ABCD PC BC ⊥PC AC C =I BC ⊥PAC PA ⊂PAC PA BC ⊥E AB DE BC ∥DE PA ⊥DC H ABCD HE DC ⊥32HE =PCD △HF PC ∥HF DC ⊥12HF =易得，， 在等腰梯形中易得，为等腰三角形，面积为，设点到平面的距离为，则， 又，所以有，． 所以点到平面的距离．19．【答案】（1），；（2）没有的把握认为；（3）． 【解析】（1），，解得，．（2）由题知总数，得到，，所以没有的把握认为测试成绩优秀与性别有关．（3）结合，结合分层抽样原理，抽取人，则男生中抽取人设为， 女生抽取人设为，，，，则从6人中抽取2人，总的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种，如果人全部都是女生，有，，，，，，共种，1EF =1222DF DP ==ABCD 1DE =DEF △212271()2248S =⨯⨯-=C DEF h 17324C DEF DEF V S h h -=⨯⨯=△1133224C DEF F CDE V V DC HE HF --==⨯⨯⨯⨯=732424h =217h =C DEF 21715a =40d =90%353550a +=3070d +=15a =40d =120n =()212015403530 2.0575*******k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 2.7 2.057>90%15a =62,a b 41234(,)a b (,1)a (,2)a (,3)a (,4)a (,1)b (,2)b (,3)b (,4)b (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)152(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)6所以． 20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）过点，所以，，所以， 又，所以，所以双曲线的方程为．（2）结合题意可得直线的方程为，设，，联立方程，消去，得．∴，，∴， 直线的方程变形为． ∴原点到直线的距离为， ∴． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），当时，在时，，为单调减函数； 在时，为单调增函数． 当时，，为单调减函数． 当时，在时，，为单调减函数；在时，为单调增函数．63155P ==22136x y -=36AOB S =△(3,0)3a =3ce a==3c =222a b c +=6b =22136x y -=AB 3(3)y x =-11()A x y ,22()B x y ,223(3)136y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩y 230183x x +=-1218x x +=1233x x ⋅=2212121212()4163AB k x x x x x x =+-=+-=AB 3330x y --=O AB 22|33|332(3)1d -==+1133||16336222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△222323(23)(1)()2(0)a x ax ax ax f x a x a x x x x-+-+-'=++==>0a >1(0,)x a∈()0f x '<()f x 1(,)x a∈+∞()f x 0a =()0f x '<()f x 0a <3(0,)2x a ∈-()0f x '<()f x 3(,)2x a∈-+∞()f x（2）由（1）知，当时，，， 令，则，解得， ∴在单调递减，在单调递增， ∴，∴，即，∴． 22．（1）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程； （2）曲线与直线交于，两点，求的最小值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线可化为，将代入可得，把代入得，消掉，即可得出．（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程有，整理可得，有，，，当，即时，取得最小值． 23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），0a >22min 1111()()3ln()23ln f x f a a a a a a a==-+⨯+⨯=+1()(4ln 3)ln 1f a a a a a--+=-+-ln 1(0)y t t t a =-++=>110y t'=-+=1t =y (0,1)(1,)+∞min 1|0x y y ===0y ≥min ()4ln 3f x a a ≥-+()4ln 3f x a a ≥-+π3α=C l C l A B AB 22:(5)25C x y +-=:3330l x y -+-=45C 210sin ρρθ=222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩22(5)25x y +-=π3α=112332x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 3330x y -+-=l C 22(1cos )(3sin 5)25t t αα+++-=22(cos 2sin )200t t αα+--=122(cos 2sin )t t αα+=--1220t t ⋅=-2124(cos 2sin )80AB t t αα=-=-+cos 2sin αα=1tan 2α=AB 4511x -≤≤(,4][1,)-∞--+∞U 32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩即解或或，解得． （2）由（1）知在处取得最小值，且最小值为， 使的解集为空集， 即成立，解集为或， 所以的取值范围为3253x x -≤⎧⎨≥⎩45132x x +≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩32512x x -+≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩11x -≤≤()f x 12x =-7221()52f x m m <---217522m m ---≤4m ≤-1m ≥-m (,4][1,)-∞--+∞U。
2020-2021学年高考数学文科第二次模拟考试试题及答案解析高考模拟题
③已知直线 l1：ax+3y-1=0 ， l2：x+by+1=0，则 l1 l 2 的充要条件是 a
3；
b
④已知 a>0,b>0，函数 y
2ae x
b 的图象过点 （ 0,1），则 1
1
的最小值是
4
2 ，其中正确命题的序号是。
ab
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）
（ I） 求 a， b 的值；
（Ⅱ）若当 x∈ [0,+ ∞ )是，恒有 f x ≥ k g x 成立，求 k 的取值范围；
若要功夫深，铁杵磨成针！
（Ⅲ）若
5 =2.2361，试估计
5 ln 的值（精确到
0.001）
4
请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答题时用
若要功夫深，铁杵磨成针！
最新 高三第二次模 拟考试
数学试题（文）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.集合 U= x Z | x( x 7) 0 ， A={1,4,5} ， B={2,3,5}，则 A (CU B) =
2021-2022年高三第二次模拟考试文科数学含解析
2021-2022年高三第二次模拟考试文科数学含解析高三数学（文科） xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数（A）（B）（C）（D）【答案】 A，选A.2．已知向量，．若与共线，则实数（A）（B）（C）（D）【答案】A因为与共线，所以，解得，选A.3．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（A）①（B）②（C）③（D）④【答案】D①为偶函数.；②非奇非偶.③为偶函数.④为奇函数，选D.4．若双曲线的离心率是，则实数（A）（B）（C）（D）【答案】B双曲线的方程为，即，所以.又，所以，解得，选B.5．如图所示的程序框图表示求算式“” 之值，则判断框内可以填入（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】 C第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出.所以条件应满足，即当，满足，所以选C.6．对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是 （A ），∥ （B ）∥， （C ），，（D ），，【答案】C对于A ，”m ⊥n ，n ∥α”，如正方体中AB ⊥BC ，BC ∥平面A ′B ′C ′D ′，但AB 与平面A ′B ′C ′D ′不垂直，故推不出m ⊥α，故A 不正确；对于B ，“m ∥β，β⊥α”，如正方体中A ′C ′∥面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但A ′C ′与平面BCC ′B ′不垂直．推不出m ⊥α，故不正确；对于C ，根据m ⊥β，n ⊥β，得m ∥n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，可知该命题正确； 对于D ，“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD ′⊥AB ，AB ⊥面BCC ′B ′，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但AD ′与面BCC ′B ′不垂直，故推不出m ⊥α，故不正确．故选C ．7．已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B由得，即.令，分别作出函数的图象，如图，由图象可知要使两个函数的交点有2个，则有，即实数的取值范围是，选B.8．已知集合的非空子集具有性质：当时，必有．则具有性质的集合的个数是（A）（B）（C）（D）【答案】B有条件可知有1，必有5；有2必有4；3可单独在一起.满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个.选B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线，．若∥，则实数______．【答案】因为直线∥，所以，解得.10．右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和， 则______． （填入：“”，“”，或“”） 【答案】由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以.11．在△中，，，，则______；△的面积是______． 【答案】，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即，所以，解得或，舍去.所以△的面积是11sin 32232S AB BC π=⋅⋅=⨯⨯=. 12．设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．【答案】直线与圆有公共点，即 圆心到直线的距离小于或等于半径，所以，即.当时，，此时，有1组.当时，，此时，有1组.当时，，此时，有3组.所以共有5组.所有满足，的组合有组.所以满足条件的概率为.13．已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 或要使函数在上单调递增，则，解得.所以.因为不等式的解集是，所以判别式，解得，即.因为且为真命题，所以同为真，即且，解得.所以实数的取值范围是.14．在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______． 【答案】 ，由得，做出对应的平面区域（阴影部分）为平行四边形.所以平行四边形的面积为.设，则，解得22s t x s t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由，得.做出对应的平面区域（阴影部分）如图为平行四边形OMFE.则平行四边形的面积为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，，． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记． （Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体的体积； （Ⅱ）证明：∥平面； （Ⅲ）证明：平面平面．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数的一个排列，函数对于，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，，称为的满意指数．排列为排列的生成列． （Ⅰ）当时，写出排列的生成列；（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．北京市西城区xx高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．；14．，．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意．………………1分因为，，两式相除得，………………3分解得，舍去．………………4分所以．………………6分所以数列的通项公式为．………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．………………9分因为1211 222n n n nb b+++-=-=，所以数列是首项为，公差为的等差数列．………………11分所以21(1)324nn n n nS nb d-+=+=．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 ，． ………………2分因为 ，，所以 sin 3==α． ………………3分所以 211cos()cos 3226x π-=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 ，整理得 ． ………………11分 因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，所以 △的面积为 ．………………1分 因为平面， ………………2分 所以四面体的体积为………………3分． ………………4分 （Ⅱ）证明：取中点，连结，． ………………5分由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，． ………6分 又因为∥，， 所以∥，．所以四边形为平行四边形，所以∥． ………………8分 因为 平面，平面，所以 直线∥平面． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．因为面为正方形，所以．所以平面．………………11分因为平面，所以．因为，为中点，所以．所以平面．………………12分因为∥，所以平面．………………13分因为平面，所以平面平面.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：的定义域为，且．………………2分当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．………………4分（Ⅱ）解：方程的判别式，………………5分令，得，或．………………6分和的情况如下：故的单调增区间为，；单调减区间为．………………9分①当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………10分②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………12分③当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是．………………13分综上，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，因为，，所以 点的坐标为． ………………2分由点在椭圆上，所以 ， ………………4分解得 ． ……………6分 （Ⅱ）解：设，则 ，且．① ………………7分因为 是线段的中点，所以 ． ………………8分 因为 ， 所以 ．② ………………9分由 ①，② 消去，整理得 ． ………………11分 所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………13分 当且仅当 时，上式等号成立． 所以 的取值范围是． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，排列的生成列为． ………………3分 （Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，． 显然 ，，，，下面证明：．………………5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而． 因为 与是个不同数的两个不同排列，且， 所以 ， 从而 ．所以排列和的生成列也不同． ………………8分精品文档实用文档 （Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为． ………………10分所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．………………13分 26001 6591 斑Y x30828 786C 硬737610 92EA 鋪38949 9825頥35655 8B47 譇24299 5EEB 廫p734931 8873 衳^26363 66FB 曻。
最新高三数学文科第二次模拟试卷(附答案)
最新高三数学文科第二次模拟试卷（附答案）一、单选题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2．某程序框图如图所示，若输出的结果是，则函数可能是下列的（）A．B．C．D．3．已知两个非零单位向量、的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．，B．在向上的投影为C．D．不存在，使4．三个数的大小顺序是A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b5．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（）A ．2B．C．D．7．对于复数，若，则（）A．0B．2C．-2D．-18．已知集合，，则（）A ．或B．C ．D．9．已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A．13时~14时B．16时~17时C．18时~19时D．19时~20时11．在等差数列中，，则（）A．6B．7C．8D．912．下列函数中，值域为的偶函数是A．B．C．D．二、填空题13．不等式的解集是______．14．已知数列的前项和为，，，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为__________．15．已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是．三、解答题16．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.17．在中，，点D在边AB上，，且.（1）若的面积为，求CD；（2）设，若，求证：.18．已知函数，若恒成立，求实数的最大值。
2020届高考高三文科数学第二次模拟考试(二 )(附答案)
2020届高考高三文科数学第二次模拟考试（二 ）（附答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{|8}U x x =∈≤N ，集合{1,3,7}A =，{2,3,8}B =，则()()U UA B =I 痧（ ）A ．{1,2,7,8}B ．{4,5,6}C ．{0,4,5,6}D ．{}6,5,4,3,02．已知复数11i z =+，22i z =-，则12iz z =（ ） A ．13i -B ．13i -+C ．12i +D ．12i -3．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥且1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥4．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则1ABF △的周长为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．165．已知平面向量(1,3)=-a ，(2,0)=-b ，则|2|+=a b （ ） A ．32B ．3C ．22D ．56．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5a =（ ） A ．4B ．10C ．16D ．327．定义在R 上的奇函数()f x ，满足在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f -=，则(1)0f x +>的解集为（ ） A ．(,2)(1,0)-∞--U B ．(0,)+∞C ．(2,1)(1,2)--UD ．(2,1)(0,)--+∞U8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．23C ．2D ．329．若点(,)x y 满足线性条件200580x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数()2sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<，且(0)1f =，则下列结论中正确的是（ ） A ．()2f ϕ= B ．π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心 C ．π3ϕ=D ．π6x =-是()f x 图象的一条对称轴 11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1212．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1)xf x e x =-； ②函数()f x 有2个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ； ④1x ∀，2x ∈R ，都有12()()2f x f x -<， 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线3()2f x x x =-在点(2,(2))f 处的切线方程为______．14．若向区域{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤内投点，则该点到原点的距离小于1的概率 为__________．15．更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入91a =，39b =，则输出的值为______．16．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若其面积2sin S b A =，角A 的平分线AD 交BC 于D ，233AD =，3a =，则b =________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列}{n a 的前n 项和为311(22)()7n n S n +=-∈*N ． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求12231111n n b b b b b b ++++L ．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设1PA =，3AD =，PC PD =，求三棱锥P ACE -的体积．19．（12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？20．（12分）椭圆1C与2C的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率22e ，并且2C的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22．（1）求椭圆1C 与2C 的方程；（2）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F ．①求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；②直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）函数22()ln f x ax x x x =--．（1）若函数()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，设()f x 在0x x =时取到极小值，证明：013()932f x -<<-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (0)a a ρθθ=>，过点(1,2)P --的直线l 的参数方程为212222x ty t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），l 与C 交于A ，B 两点．（1）求C 的直角坐标方程和l 的普通方程； （2）若PA ，AB ，PB 成等比数列，求a 的值．23．（12分）已知定义在R 上的函数2()2x f x x k =-+，k ∈*N ．存在实数0x 使0()2f x <成立．（1）求实数k 的值； （2）若12m >，12n >且求证()()10f m f n +=，求证：91163m n +≥．文科数学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】∵{|8}{0,1,2,3,4,5,6,8}U x x =∈≤=N ， ∴(()(){0,4,5),6}U UU A B A B ==I U 痧?，故选C ．2．【答案】A 【解析】根据题意122(1i)(2i)3i (3i)i13i i i i i z z +-++====-，故选A ． 3．【答案】D【解析】原命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，所以命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥，故选D ． 4．【答案】C【解析】由题意知点A 在椭圆上，∴12||||24AF AF a +==，同理12||||4BF BF +=． ∴1ABF △的周长为111212||||||(||||)(||||)8AF BF AB AF AF BF BF ++=+++=， 故选C ． 5．【答案】A【解析】因为平面向量(1,3)=-a ，(2,0)=-b ， 所以2(3,3)+=--a b ，所以|2|9932+=+=a b ，故选A ．6．【答案】C【解析】由5646a a a +=，得260q q +-=，解得2q =，或3q =-（舍），从而352216a a =⋅=，故选C ．7．【答案】D【解析】由函数性质可知，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =， 结合图象及(1)0f x +>可得110x -<+<或11x +>，解得21x -<<-或0x >， 所以不等式的解集为(2,1)(0,)--+∞U ，故选D ． 8．【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥P ACE -， 故其体积为1112||(12)23323ACE V S PE =⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故选B ．9．【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：由2z x y =+可得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+结合图形可得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也取得最大值．由20580x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，故点A 的坐标为(1,3)，∴max 2135z =⨯+=，故选D ． 10．【答案】A【解析】由题意可知(0)2sin 1f ϕ==，∴1sin 2ϕ=， 又π02ϕ<<，∴π6ϕ=，故π()2sin(2)6f x x =+，故可排除选项C ； 对于选项A ，πππ()2sin(2)2666f =⨯+=成立，故A 正确，B 不正确；对于D ，由πππ()2sin(2)1666f -=-⨯+=-，故D 不正确，所以选A ． 11．【答案】A【解析】延长1F H 交2PF 于点Q ，由角分线性质可知1PF PQ =，根据双曲线的定义，12||||||2PF PF -=，从而2||2QF =， 在12FQF △中，OH 为其中位线，故||1OH =，故选A ． 12．【答案】C【解析】①∵函数()f x 是在R 上的奇函数，∴()()f x f x =--，令(0,)x ∈+∞，则(,0)x -∈-∞，()()(1)(1)x xf x f x e x e x --=--=--=-，故①错； ②当0x <时，()(1)0xf x e x =+=，∵0x e >，∴1x =-是函数的一个零点，同理可以求出当0x >，1x =是函数的一个零点， ∵函数()f x 是奇函数，∴(0)0f =， 综上所述，函数()f x 有3个零点，故②错；由①可知函数(1),0()0,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ，故③正确； ④当0x <时，()(1)(2)xxxf x e x e e x '=++=+，当(2,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单增；当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单减；∴当0<x ，函数有最小值2min ()(2)f x f e -=-=-，同理在0x >时，函数有最大值2max ()(2)f x f e -==． ∴1x ∀，2x ∈R ，都有212max min ()()()()2f x f x f x f x e --<-=，∵201e -<<，∴222e -<，故④正确．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1016y x =-【解析】∵3()2f x x x =-，∴2()32f x x '=-，∴(2)10f '=， 又(2)4f =，故所求切线的方程为410(2)y x -=-，即1016y x =-． 14．【答案】π4【解析】由题意知，所有基本事件构成的平面区域为01(,)|01x x y y ⎧≤≤⎫⎧Ω=⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，其面积为1．设“该点到原点的距离小于1”为事件A ，则事件A 包含的基本事件构成的平面区域为2201(,)|011x A x y y x y ⎧⎫⎧≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+<⎩⎩⎭，其面积为π4．由几何概型概率公式可得π()4P A =． 15．【答案】13 【解析】输入91a =，39b =，执行程序框图，第一次52a =，39b =；第二次13a =，39b =；第三次13a =，26b =；第四次13a =，13b =，a b =，满足输出条件，输出的a 的值为13，故答案为13．16．【答案】1【解析】由题意得21sin sin 2S bc A b A ==，所以2c b =，即2c b=． 由三角形角分线定理可知，233,33BD CD ==． 在ABC △中，由余弦定理得2243cos 223b b B b +-=⋅⋅， 在ABD △中，由余弦定理得244433cos 23223b B b +-=⋅⋅， ∴222444433322323223b b b b b +-+-=⋅⋅⋅⋅，解得1b =．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）32()2n n a n -=∈*N ；（2）31n n +． 【解析】（1）当2n ≥时，3+13232111(22)(22)277n n n n n n a S S ---=-=---=， 当1n =时，3121122a S ⨯-===，符合上式，所以32()2n n a n -=∈*N ． （2）由（1）得322log 232n n b n -==-． ∴122311*********(32)(31)n n b b b b b b n n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⨯⨯-+ 1111[(1)()3447=-+-+⋅⋅⋅11()]3231n n +--+11(1)33131n n n =-=++． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）38． 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ．在PBD △中，DE 为中位线，∴DE PB ∥，∵OC ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，∴PB ∥平面ACE ．（2）∵PC PD =，∴3AC AD ==，2232OD AD AO =-=， ∴3BD =， 11112443P ACE P ACD P ABCD ABCD V V V S PA ---===⨯⋅ 1113(33)14328=⨯⨯⨯⨯⨯=． 19．【答案】（1）268.75；（2）35；（3）见解析． 【解析】（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为(0.0020.0020.003)500.350.5++⨯=<，前4组的频率和为(0.0020.0020.0030.008)500.750.5+++⨯=>，所以中位数在[250,300)内，设中位数为x ，则有0.35(250)0.0080.5x +-⨯=，解得268.75x =．故中位数为268.75．（2）设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A B C D ，，，，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a b ，．从这6个芒果中选出3个的情况共有(,,)A B C ，(,,)A B D ，(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A C D ，(,,)A C a ，(,,)A C b ，(,,)A D a ，(,,)A D b ，(,,)A a b ，(,,)B C D ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)B D a ，(,,)B D b ，(,,)B a b ，(,,)C D a ，(,,)C D b ，(,,)C a b ，(,,)D a b ，共计20种，其中恰有一个在[300,350)内的情况有(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A C a ，(,,)A C b ，(,,)A D a ，(,,)A D b ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)B D a ，(,,)B D b ，(,,)C D a ，(,,)C D b ，共计12种， 因此概率123205P ==． （3）方案A ：(1250.0021750.0022250.0032750.0083250.004⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3750.001)5010000100.00125750+⨯⨯⨯⨯⨯=元．方案B ：由题意得低于250克：(0.0020.0020.003)501000027000++⨯⨯⨯=元； 高于或等于250克(0.0080.0040.001)5010000319500++⨯⨯⨯=元， 总计70001950026500+=元．由于2575026500<，故B 方案获利更多，应选B 方案．20．【答案】（1）221:12x C y +=，222:124x y C +=；（2）①证明见解析；②为常数，18-． 【解析】（1）依题意22e =，设22122:12x y C b b +=，22222:124x y C b b+=， 由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积1222222S b b =⨯⨯=，解得21b =， 所以椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=． （2）①设00(,)P x y ，则2200124x y +=，(2,0)A -，(2,0)B ， 002PA y k x =+，002PB y k x =-，所以2200220042222PA PB y x k k x x -⋅===---， 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-．②设11(,)E x y ，则221112x y +=，112EA y k x =+，112EB y k x =-， 所以221122*********EA EBx y k k x x -⋅===---，同理12FA FB k k ⋅=-， 所以14EA EB FA FB k k k k ⋅⋅⋅=， 由EA PA k k =，FB PB k k =，结合（1）有2EA FB k k ⋅=-，∴18FA EB k k ⋅=-，21．【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得22()ln 0f x ax x x x =--≤恒成立，∴1ln a x x≤+恒成立． 设1()ln ,(0,)g x x x x =+∈+∞，则22111()x g x x x x-'=-=， 故当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴所以min [()](1)1g x g ==，∴1a ≤，∴实数a 的取值范围为(,1]-∞．（2）当1a =时，22()ln (0)f x x x x x x =-->，∴()12ln f x x x x '=--． 令()12ln (0)h x x x x x =-->，则()12ln h x x '=--， 故当12(0,)x e -∈时，()0,()h x h x '>单调递增； 当12(,)x e -∈+∞时，()0,()h x h x '<单调递减， 而1211(,)(0,)43e -⊆，且13()ln 2044f '=-<，12()(ln 31)033f '=->， 存在011(,)43x ∈，使得0000()12ln 0f x x x x '=--=， 因此2220000000()ln 2x x f x x x x x -=--=， 令2()2x x t x -=，则()t x 在区间1(0,)2上单调递减， 又111(,)(0,)432∈，所以011()()()34t t x t <<，即013()932f x -<<-成立． 22．【答案】（1）直线l 的普通方程为10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22(0)ay a x =>；（2）3102+． 【解析】（1）由2cos 2sin a ρθθ=，两边同乘ρ，得22cos 2sin a ρρθθ=，化为普通方程为22(0)ay a x =>， 将212222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y --=． （2）把212222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22x ay =，整理得222(1)820a a t t -+++=， ∴1222(1)t t a +=+，1282t t a =+，由28(1)4(82)0Δa a =+-+>，得2a >或0a <，∵0a >，∴12820t t a =+>，∵PA ，AB ，PB 成等比数列，∴2AB PA PB =⋅， 由t 的几何意义得2122112()t t t t t t -==，即21212()5t t t t +=， ∴2[22(1)5(82])a a +=+，即241210a a --=，解得3102a ±=， 又2a >，∴3102a +=． 23．【答案】（1）1；（2）证明见解析．【解析】（1）∵存在实数0x 使0()2f x <成立，∴min ()2f x <， ∵|2|2|||2||2||22|||x k x x k x x k x k -+=-+≥--=，则min ()2f x k =<， 解得22k -<<，k ∈*N ，∴1k =．（2）证明：由（1）知，()212f x x x =-+， ∵12m >，12n >，∴()21221241f m m m m m m =-+=-+=-， 同理，()41f n n =-，()()10f m f n +=， ∴44210m n +-=，即3m n +=， ∴91191191916()()(10)(102)3333n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=， 当且仅当9n m m n=， 又3m n +=，得94m =，34n =时取等号．。
2021年高考数学第二次模拟考试 文科
紫荆中学2020-2021学年第二次高考模拟考试试题高三数学（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}3,2{},3,1,0{==B A , 则A B ⋃=（ ）A . }3,2,1{B .}3,1,0{C .}3,2,0{D .}3,2,1,0{2.命题“对x R ∀∈，都有02≥x ”的否定为（ ）A ． x R ∃∈，使得 020<x B ． x R ∀∈，使得02<xC ． x R ∃∈，都有 020≥x D ．不x R ∃∈，使得02<x3.设x R ∈，则“12x <<”是“21x -<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 若x ，y 满足约束条件10,0,0,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．3-C ．0D ．2-5.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）6.已知函数,则 的值为( )A.81B.27C.9D.7.三个数的大小顺序是( ) A. B. C.D.8.函数()()2ln 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞9.)sin()tan()tan(23cos )2sin(παπααπαππα-----+-）（A ．αcosB ．αcos -C ．αsinD ．αsin -10.已知),43(ππβα∈，，53)(sin -=+βα， 1312)4sin(=-πβ，则=+)4cos(πα（ ）A ． 6556-B . 6533-C . 6556D . 6533 11.已知偶函数)()(R x x f y ∈=，满足)()2(x f x f -=+且]0,1[-∈x 时||)(x x f =，则0)1(log )(6=+-x x f 的解的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712.已知定义在R 上的函数)(x f ，)(x f '是其导函数，且满足2)()(>'+x f x f ，ef 42)1(+=则不等式xx e x f e 24)(+>的解集是 （ ）A ． )2,(-∞B ．)1,(-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分．)13.函数 的定义域为 __________．14.已知点是角 终边上的一点,则 求= __________．15.若集合}125|{},082|{2-<<-=<-+=m x m x B x x x A ，若R U =，A B C A U =⋂,则实数m 的取值范围是__________．16．设函数()()e 1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于[]12,2x ∀∈-， []21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．三、解答题:(本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
2021-2022年高三第二次模拟数学文科试题
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的焦点坐标是_____________.2．复数（其中是虚数单位），则=_____3． .4.向量在向量方向上的投影为______.35．若集合，集合，且，则=__0或1_.6. 已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为______7.在△中，若,, ,则.8.已知实数、满足不等式组526x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则的最大值是_____.209．甲、乙两位旅行者体验城市生活，从某地铁站同时搭上同一列车，分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，则甲、乙两人不在同一站下车的概率是________.10．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P=____.3 11．直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是___．12．已知数列，首项，若二次方程的根、满足，则数列的前n项和.13．已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称函数为函数.给出下列函数：①；②；③；④.其中是函数的序号为 .（答案：②④）14．手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中，如图所示.在作曲线段AB时，该学生想把函数的图像做适当变换，得到该段函数曲线.请写出曲线段AB在上对应的函数解析式________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ C ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16．设、为复数，下列命题一定成立的是（）DA.如果，那么B. 如果，那么C. 如果，是正实数，那么D. 如果，是正实数，那么17．若双曲线221112211:1(0,0)x yC a ba b-=>>和双曲线222222222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点相同，且给出下列四个结论： ①； ②；③； ④；其中所有正确的结论序号是（ ）BA. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④18．已知函数12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且，.则满足方程的根的个数为（ ）CA 、0个B 、2个C 、4个D 、6个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=， （1）求函数的单调递增区间；（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ，由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：的单调递增区间是；（2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ，由，得， ，.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点．（1）求异面直线与所成角的大小； （2）当时，求在四棱锥的体积.【解答】⑴ ∵，分别是，的中点， ∴.∴为异面直线与所成的角或补角. ∵底面，∴是等腰直角三角形， ∴，∴异面直线与所成角的大小为. ⑵ 解：由⑴知，，且，.又由题意知，为等腰直角三角形，. 又点为的中点，点到底面的距离为.四棱锥的体积为.21．（本大题满分14分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满5分，第3小题满5分.已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线经过点，倾斜角为，与椭圆交于、两点.（1）若，求椭圆方程；（2）对（1）中椭圆，求的面积；（3）是椭圆上任意一点，若存在实数，使得，试确定的关系式.【解答】（1）由已知，可得，，∵，∴，，∴.（2）设，，直线，代入椭圆方程得，，，，，∴.（3）由已知椭圆方程为①，右焦点的坐标为，直线所在直线方程为②，由①②得：，设，，则，， 设，由得， ，，∵点在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=，整理得：222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=，212121212121233()()4()60x x y y x x x x x x x x b +=+=-++= ③，又点在椭圆上，故 ④， ⑤， 由③④⑤式得.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.记数列的前项和为．已知向量 和 满足. （1）求数列的通项公式； （2）求；（3）设，求数列的前项的和为． 【解答】（1）∵∴== = ∴；（2）数列{}1111:,,1,,,1,2222n a ----为周期为3的周期数列且()323130N .k k k a a a k *--++=∈ 故. （3）．当时，∵ ()()323131132313122k k k b b b k k k --⎛⎫⎛⎫++=--+--+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．∴ ；当时，3133333113122232n k k k n n T T T b k k k -++==-=-⋅=-=-⋅=-； 当时，()32333131331133122222n k k k k k T T T b b k k k k ---⎛⎫==--=----=-+=- ⎪⎝⎭； 故()()()(),3,21,31,.21,32.2n nn k n T n k k N n k *⎧=⎪⎪+⎪=-=-∈⎨⎪⎪-=-⎪⎩23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为.若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.（1）试判断函数是否为上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由； （2）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； （3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.（Ⅰ）已知，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围.（Ⅱ）已知当时，函数，若是上周期为4的级类周期函数，且的值域为一个闭区间，求实数的取值范围. 【解答】（1）∵0)13()1()11(22<+--=---+x x x x ，即∴221)1(log )11(log 21->-+x x ，即 )1(log 2)11(log 2121->-+x x即 对一切恒成立，故 是上的周期为1的2级类增周期函数.（2）由题意可知： ，即 )(2)1()1(22ax x x a x +->+++-对一切恒成立， ， ∵ ∴ ， 令，则， 在上单调递增， 所以， 所以.（3）问题（Ⅰ）∵时，，∴当时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n -==-=-= ， 即时，，， ∵在上单调递增， ∴且， 即.问题（Ⅱ）：∵当时，，且有， ∴当时，)mfxf n-== ，-=mx)4(f(4x(n)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上可知：或.S# 25534 63BE 掾a22131 5673 噳精品文档k37589 92D5 鋕40715 9F0B 鼋O36250 8D9A 趚28659 6FF3 濳U31338 7A6A 穪实用文档。
高三第二次模拟数学试卷(文科)
高三第二次模拟数学试卷〔文科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部,第一卷1至2页,第二卷3至8页.共150分.测试时间120分钟.第一卷〔选择题共50分〕 考前须知：1. 答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在做题卡上.2. 每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3. 测试结束,监考人将本试卷和做题卡一并收回. 参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin sincossin sin cossincos cos cos coscos cos sinsinθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφ+=+--=+-+=+--=-+-222222222222正棱台、圆台的侧面积公式 S c c l 台侧（）=+12' 其中c’,c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V S S S S h 台体（）=++13'' 其中S’、S 分别表示上、下底面积,h 表示高一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕集合A R B R f A B ==→+，，：是从集合A 到B 的一个映射,假设f x x ：→-21,那么B 中的元素3的原象为〔A 〕—1 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 〔2〕命题甲为x>0；命题乙为|x|>0,那么 〔A 〕甲是乙的充分非必要条件 〔B 〕甲是乙的必要非充分条件〔C 〕甲是乙的充要条件〔D 〕甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 〔3〕以下函数中,周期为π的奇函数是（）（）（）（）A y x x B y x C y tg x D y x x ====+sin cos sin sin cos 2222〔4〕在复平面中,点A 〔2,1〕,B 〔0,2〕,C 〔-2,1〕,O 〔0,0〕.给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB BC CA -→-→-→+=； ③OA OC OB -→-→-→+=； ④AC OB OA -→-→-→=-2. 其中正确结论的个数是〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个〔5〕过原点的直线与圆x y x 22430+++=相切,假设切点在第二象限,那么该直线的方程是（）（）（）（）A y x B y x C y x D y x ==-==-333333〔6〕在一个锥体中,作平行于底面的截面,假设这个截面面积与底面面积之比为1：3,那么锥体被截面所分成的两局部的体积之比为〔A 〕13： 〔B 〕1：9 〔C 〕133： 〔D 〕1331：（）- 〔7〕将4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片排成一排,任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是〔A 〕P P 4443〔B 〕P P 4433〔C 〕P C 4453〔D 〕P P 4453〔8〕数列{}a n 的通项公式是a anbn n =+1,其中a,b 均为正常数,那么a n 与a n +1的大小关系是〔A 〕a a n n >+1 〔B 〕a a n n <+1 〔C 〕a a n n =+1 〔D 〕与n 的取值相关〔9〕双曲线的虚轴长为4,离心率e =62,F F 12，分别是它的左、右焦点,假设过F 1的直线与双曲线的左支交于A,B 两点,且|AB|是AF 2与BF 2的等差中项,那么|AB|等于〔A 〕82 〔B 〕42 〔C 〕22 〔D 〕8〔10〕某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供应量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表：根据以上提供的信息,市场供需平衡点〔即供应量和需求量相等时的单价〕应在区间 〔A 〕〔2. 3,2. 6〕内 〔B 〕〔2. 4,2. 6〕内 〔C 〕〔2. 6,2. 8〕内 〔D 〕〔2. 8,2. 9〕内第二卷〔非选择题共100分〕考前须知：1. 第二卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上.〔11〕limn n n→∞++++-++++135212462…（）…的值为______.〔12〕偶函数f 〔x 〕的图象与x 轴有五个公共点,那么方程f 〔x 〕=0的所有实根之和等于_________.〔13〕抛物线y ax a =>20（）上一点A 到此抛物线的焦点的距离为12a,那么点A 的坐标为_______. 〔14〕将三棱锥P —ABC 〔如图甲〕沿三条侧棱剪开后,展开成如图乙的形状,其中P B P 12，，共线,P C P 23，，共线,且P P P P 1223=,那么在三棱锥P —ABC 中,PA 与BC 所成的角的大小是___________.三、解做题：本大题共6小题,共84分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.〔15〕〔本小题总分值13分〕sin sin sin cos 222102x x x x x +⋅+=∈，（，）π,求tg2x 的值.〔16〕〔本小题总分值13分〕如图,在边长为a 的正方体ABCD —A B C D 1111中,E 、F 分别为C D 11与AB 的中点. 〔Ⅰ〕求证：四边形A ECF 1是菱形； 〔Ⅱ〕求证：EF A B C ⊥平面；11〔Ⅲ〕求A B 11一平面A ECF 1所成角的正切值.〔17〕〔本小题总分值14分〕函数f 〔x 〕是定义在〔0,+∞〕上的减函数,且对一切a,b ∈〔0,+∞〕,都有f abf a f b （）（）（）。
高三数学第二次模拟考试参考答案文试题
2021—2021学年度高三年级第二次模拟考试本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
文科数学参考答案一、选择题A 卷：BDCCB BABAD CA B 卷：DABBCACBDDBC二、填空题〔13〕54 〔14〕6 (15〕100π 〔16〕100三、解答题 〔17〕解：〔Ⅰ〕由余弦定理知c 2－a 2－b 2＝－2ab cos C ， 又△ABC 的面积S ＝ 1 2ab sin C ＝3 4(c 2－a 2－b 2)，所以 1 2ab sin C ＝34(－2ab cos C )，得tan C ＝－3．因为0＜C ＜π，所以C ＝2π 3．…6分〔Ⅱ〕由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2，所以有a ＋b ＝2sin A ＋2sin B ＝2，sin A ＋sin ( π3－A )＝1，展开整理得，sin ( π 3＋A )＝1，且 π 3＜ π 3＋A ＜2π 3，所以A ＝ π6．…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕由题意可得列联表：因为K 2＝160×640×200×600＝16.667＞．母语对于学习和掌握一门外语有关系．…6分〔Ⅱ〕设其他学生为丙和丁，4人分组的所有情况如下表2种，所以学生甲负责搜集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P ＝ 2 6＝ 13．…12分 〔19〕解：〔Ⅰ〕连接B 1C 交BC 1于点P ，连接PD ．由于BB 1C 1C 是平行四边形，所以P 为为B 1C 的中点 因为D 为AC 的中点，所以直线PD ∥B 1A ，又PD ⊂平面B 1CD ，B 1A ⊄平面BC 1D ， 所以AB 1∥平面BC 1D ．…6分〔Ⅱ〕直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V 1＝ 12×2×2×2＝4．三棱锥C 1－BDC 的体积V 2与三棱锥A 1－BDA 的体积V 3相等，V 2＝V 3＝1 3× 1 2× 1 2×2×2×2＝2 3． 所以几何体BDA 1B 1C 1的体积V ＝V 1－V 2－V 3＝ 83．…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕f '(x )＝ 1 x － m x 2＝x －mx2．那么f '(2)＝2－m 4，f (2)＝ln 2＋ m2．那么曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线为y ＝2－m 4(x －2)＋ln 2＋ m2，即y ＝2－m4x ＋m －1＋ln 2．…3分依题意，m －1＋ln 2＝ln 2，所以m ＝1．ABCDAB CP故f (x )＝ln x ＋ 1x．…5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，f (x )＝ln x ＋ 1 x ，f '(x )＝x －1x2．当x ∈[ 12，1]时，f '(x )≤0，f (x )单调递减，此时，f (x )∈[1，2－ln 2]；当x ∈[1，5]时，f '(x )≥0，f (x )单调递增，此时，f (x )∈[1，ln 5＋ 15]． …10分因为(ln 5＋ 1 5)－(2－ln 2)＝ln 10－ 9 5＞ln e 2－ 9 5＝ 1 5，所以ln 5＋ 15＞2－ln 2．因此，f (x )的取值范围是[1，ln 5＋ 15]．…12分 〔21〕解：〔Ⅰ〕设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，那么其半径r ＝x 2＋(y －1)2． 依题意，r 2－y 2＝1，即x 2＋(y －1)2－y 2＝1， 整理得曲线E 的方程为x 2＝2y ．…4分〔Ⅱ〕设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＝ 1 2x 21，y 2＝ 1 2x 22．设直线m 方程为y ＝kx ＋ 12，代入曲线E 方程，得x 2－2kx －1＝0，那么x 1＋x 2＝2k ．…6分对y ＝ 1 2x 2求导，得y '＝x ．于是过点A 的切线为y ＝x 1(x －x 1)＋ 1 2x 21，即y ＝x 1x － 1 2x 21．①由①同理得过点B 的切线为y ＝x 2x － 1 2x 22．②设C (x 0，y 0)，由①、②及直线m 方程得x 0＝x 1＋x 22＝k ，y 0＝x 1x 0－ 1 2x 21＝－ 1 2．…8分M 为抛物线的焦点，y ＝－12为抛物线的准线，由抛物线的定义，得 |AB |＝y 1＋ 1 2＋y 2＋ 1 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝2(k 2＋1)．点C 到直线m 的间隔 d ＝|kx 0－y 0＋ 12|k 2＋1＝k 2＋1． …10分所以△ABC 的面积S ＝ 1 2|AB |·d ＝(k 2＋1)k 2＋1．由(k 2＋1)k 2＋1＝22，有且仅有k ＝±1． 故直线m 的方程为y ＝±x ＋ 12．…12分〔22〕证明：〔Ⅰ〕连接BD ，因为D 为BC ︵的中点，所以BD ＝DC ． 因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ． 因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90︒，所以AB ∥DE ．…5分〔Ⅱ〕因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ， 又∠BAD ＝∠DCB ，那么∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ． 所以AC CD ＝ADCE，AD ·CD ＝AC ·CE ，2AD ·CD ＝AC ·2CE ， 因此2AD ·CD ＝AC ·BC ．…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得x 24＋y 23＝1．a ＝2，b ＝3，c ＝1，那么点F 坐标为(－1，0)． l 是经过点(m ，0)的直线，故m ＝－1．…4分〔Ⅱ〕将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得 (3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，那么 |FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α． 当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3； 当sin α＝±1时，|FA |·|FB |取最小值 94．…10分AC O〔24〕解：〔Ⅰ〕当a ＝2时，f (x )＝2(|x －2|－|x ＋4|)＝⎩⎪⎨⎪⎧12，x ＜－4，－4x －4，－4≤x ≤2，－12，x ＞2．当x ＜－4时，不等式不成立；当－4≤x ≤2时，由－4x －4＜2，得－ 32＜x ≤2；当x ＞2时，不等式必成立．综上，不等式f (x )＜2的解集为{x |x ＞－ 32}．…6分〔Ⅱ〕因为f (x )＝|ax －4|－|ax ＋8|≤|(ax －4)－(ax ＋8)|＝12， 当且仅当ax ≤－8时取等号． 所以f (x )的最大值为12． 故k 的取值范围是[12，＋∞)．…10分本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2019-2020年高三第二次模拟考试 文科数学 含答案
2019-2020年高三第二次模拟考试 文科数学 含答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和答题纸相应的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式： 锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的表面积公式：24R S π=，其中R 为球的半径．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U = R ，集合A ＝}2|||{<x x ，B ＝}1|{>x x ，则等于 A ．{x | 1＜x ＜2}B ．{x | x ≤-2}C ．{x | x ≤1或x ≥2}D ．{x | x ＜1或x ＞2} 2．复数ii z +-=1)1(2（i 是虚数单位）的共扼复数是 A ．i +1 B ．i +-1 C ．i -1 D ．i --13．平面向量a 与b 的夹角为3π，)0 ,2(=a ，1||=b ，则||b a +等于 A ．7 B ．3 C ．7 D ．794．已知曲线2331x x y -=的切线方程为b x y +-=，则b 的值是 A ．31- B ．31 C ．32 D ．32- 5．已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为A ．2564)1(22=+-y xB ．2564)1(22=-+y xC ．1)1(22=+-y xD ．1)1(22=-+y x6．对于平面α和直线m 、n ，下列命题是真命题的是A ．若m 、n 与α所成的角相等，则m //nB ．若m //α，n //α，则m //nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //αD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //n7．已知命题p ：“存在正实数a ，b ，使得b a b a lg lg )lg(+=+”；命题q ：“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”．则下列命题为真命题的是A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧⌝)(C ．)()(q p ⌝∨⌝D ．q p ∧ 8．已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则a c 91+的最小值为 A ．3 B ．29 C ．5 D ．79．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于A ．6πB ．4πC ．3πD ．32π 10．已知双曲线1922=-mx y 的离心率为35，则此双曲线的渐近线方程为 A ．x y 34±= B ．x y 43±= C ．x y 53±= D ．x y 54±= 11．已知函数f （x ）＝sin ωx 在［0，43π］恰有4个零点，则正整数ω的值为 A ．2或3 B ．3或4 C ．4或5 D ．5或6 12．已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．［－1，0］B ．(－∞，－1］C ．［0，1］D ．(－∞，0］∪［1，+∞）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题4分，共16分．13．某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图，由图中数据可知a ＝ ▲ ．14．已知53)6sin(=+απ，653παπ<<，则cos α＝ ▲ ． 15．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则函数y x z 24=的最大值为 ▲ ． 16．下列命题：①线性回归方程对应的直线a x b y ˆˆˆ+=至少经过其样本数据点（x 1，y l ），（x 1，y l ），……，（x n ，y n ）中的一个点；⑧设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，x x f =)(．则当x ＜0时，x x f -=)(； ③若圆)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 与坐标轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），（0，y l ），（0，y 2），则02121=-y y x x ；④若圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的外接球表面积为4π。
高三文科数学第二次模拟试卷(二)(附答案)
XX 学校 用心用情 服务教育！精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，2,,B y y x y x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭Z Z ，则A B =（ ） A ．{}2,1,1,2-- B ．{}2,1,0,1,2-- C ．{}1,1-D ．{}2,2-2．已知()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“12//l l ”是“32a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果执行下面的程序框图，输入6n =，3m =，那么输出的p 等于（ ）A ．360B ．240C ．120D ．605．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x =R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]3.74-=-，[]2.32=．已知()1112x x e f x e -=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-6．若实数,x y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2269z x y x =+-+的最小值是（ ） A 2B ．2C ．4D ．127．若两个非零向量a 、b 满足2+=-=a b a b a ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ）A ．π2B ．5π6C ．π3 D ．2π38．已知等差数列{}n a 满足11a =，1010a =，则数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为（ ）A ．118B ．115C ．344 D ．11493 ）①tan 25tan 35325tan 35︒+︒+︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-+︒︒．A ．①②B ．③C ．①②③D ．②③④10．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ） A ．1225B ．1625C ．1725 D ．242511．设函数(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++的最大值为5，则()f x 的最小值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．312．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则||||OP OQ ⋅=（ ） A ．16 B ．9 C ．4 D ．3XX 学校 用心用情 服务教育！第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若一组数据123,,,,n x x x x 的平均数是30，另一组数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++的平均数是70，则第三组数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是___________．14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点的距离为______m ．15．在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________．16．已知函数2,1()43,13x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩，若关于x 的方程()20f x k x -+=有三个不同实数根，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{}n a 满足()*122222n n a a a n n +++=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，AC PB ⊥，22PB AB PD ==．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为12，求点D 到平面PBC 的距离．19．（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17XX 学校 用心用情 服务教育！日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[)30,40，[)40,50，⋯，[]90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关；男生 女生 优秀 不优秀附：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++． （3）对于样本中分数在[)80,90，[]90,100的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90分的学生数为X ，求X 的分布列．20．（12分）已知函数()2f x ax =，()lng x x =．（1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若曲线()y f x =与y g x 有两条公切线，求a 的取值范围．XX 学校 用心用情 服务教育！21．（12分）已知椭圆2C 与221:143x y C +=的离心率相同，过2C 的右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆2C截得的线段长为 （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若直线:l y m =+与椭圆1C 、2C 的交点从上到下依次为C 、A 、B 、D ，且45AC =，求m 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 与极轴交于点N ，且动点M 满足1MN =． （1）求直线l 的极坐标方程和点M 的轨迹的极坐标方程C ；（2）若直线()π4θρ=∈R 分别交直线l 、曲线C 于点A ，B （非极点），求11OA OB +的值．XX 学校 用心用情 服务教育！23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x a =+，()||g x x b =-． （1）若1a =，3b =，解不等式()()4f x g x +≥；（2）当0a >，0b >时，()2()f x g x -的最大值是3，证明：22942a b ≥+．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】因为{}{}{}230,1,0,1A x x x x x x =-≤∈=≤≤∈=-Z Z ，{}2,,2,1,1,2B y y x y x ⎧⎫==∈∈=--⎨⎬⎩⎭Z Z ，所以{}2,1,0,1,2AB =--，故选B ．2．【答案】D 【解析】由题意22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限， 故选D ． 3．【答案】C【解析】若12//l l ，则()213a a -=，解得32a =或1a =-， 当1a =-时，1:350l x y --=，2:350l x y -++=，直线1l ，2l 重合，32a ∴=， ∴充分性成立；当32a =时，1:20l x y +=，225:206l x y ++=，显然12//l l ，∴必要性成立， ∴故“12//l l ”是“32a =”的充要条件，故选C ．4．【答案】C【解析】程序在执行过程中，,p k 的值依次为1,1p k ==； 4,2p k ==； 20,3p k ==；120p =，此时k m <不成立，结束循环，输出120p =，故选C ． 5．【答案】C【解析】()1112121121212x x x x x e e f x e e e -+-=-=-=-++++，当0x ≥时，1x e ≥，则2101xe -≤-<+，故()2111,1222xf x e ⎡⎫=-+∈-⎪⎢+⎣⎭， 故(){}1,0f x ∈-⎡⎤⎣⎦；但0x <时，01x e <<，则2211xe -<-<-+，故()2131,1222x f x e ⎡⎫=-+∈--⎪⎢+⎣⎭，(){}2,1f x ∈--⎡⎤⎣⎦，综上所述，函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}2,1,0--，故选C ． 6．【答案】B【解析】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示：则()2222693z x y x x y =+-+=-+表示可行域内的点到定点()3,0距离的最小值，过()3,0作10x y --=的垂线，距离为2231211d -==+z 的最小值为22d =，故选B ． 7．【答案】D【解析】在等式+=-a b a b 两边同时平方可得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，0∴⋅=a b ，在等式2+=a b a 两边同时平方可得22224+⋅+=a a b b a，∴=b ，()()222222∴+⋅-=-=-=-a b a b a b a a ，所以，()()221cos ,222-+⋅-<+->===-+⋅-⨯aa b a b a b a b a b a ba a ，0,π≤<+->≤a b a b ，所以，2π,3<+->=a b a b ，故选D ． 8．【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等差数列，11a =，1010a =， 所以1019a a d =+，解得1d =，n a n =， 则()()2181818989n n n a n n a a n n n n n n++===++++++，因为899n n ++≥=+n = 所以当2n =时，231011815292a a a ==++；当3n =时，341113844393a a a ==++， 故数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为344，故选C ． 9．【答案】C【解析】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒︒()[]()tan 25351tan 25tan3525tan35tan 2535=︒+︒-︒︒︒︒=︒+︒=对于②，由于cos65sin 25︒=︒，所以()()2sin35cos25cos35cos652sin35cos25cos35sin 25︒︒+︒︒=︒︒+︒︒2sin 60=︒=对于③，因为tan 451︒=，1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15++︒︒===-︒︒︒︒-︒；对于④，因为tan 451︒=，1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒-︒︒︒︒︒-===++， 故选C ． 10．【答案】C【解析】设所取的两个数分别为x 、y ， 则事件构成的全部区域为(){},01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，区域Ω是边长为1的正方形区域， 事件“这两个数之和小于65”构成的区域为()6,01,01,5A x y x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤+<⎨⎬⎩⎭，如下图所示：直线65x y +=交直线1y =于点1,15⎛⎫⎪⎝⎭，区域A 表示的是图中阴影部分区域． 则三角形区域是直角边长为45的等腰直角三角形， 区域A 的面积为22141712525A S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，因此，事件“这两个数之和小于65”的概率为2171725125A S P S Ω===．故选C ．11．【答案】B【解析】由题可知，(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++，设(32()sin ln 1g x ax b x c x x =++++，其定义域为R ， 又()32()()sin ln(()1)g x a x b x c x x -=-+-+--+，即()3sin ln(g x ax b x c x -=-+--，由于()()((ln ln g c x c x g x x -+=+-(()22ln 1ln10ln x x c x x c c -=+-===，即()()0g x g x -+=，所以()g x 是奇函数， 而()()3f x g x =+，由题可知，函数()f x 的最大值为5， 则函数()g x 的最大值为532-=，由于()g x 是奇函数，得()g x 的最小值为2-， 所以()f x 的最小值为231-+=，故选B ． 12．【答案】B【解析】设动点00(),M x y ，由双曲线方程可得(4,0)A -，(4,0)B ， 则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--， 由此可得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --， 所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--．因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】161【解析】数据112233,,,,n n x y x y x y x y ++++共有n 个，其平均数为111111()3070n n ni i i i i i i x y x y y n n n ===+=+=+=∑∑∑，因此40y =，故数据12341,41,41,,41n y y y y ++++的平均数是4401161⨯+=，故答案为161．14．【答案】【解析】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒，15DCA =︒∠，15DAC ∴∠=︒，()45m AD CD ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=︒，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒，30CBD ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)452m 12BD ⨯∴==，在ABD △中，()45m AD =，)m BD =，135ADB ∠=︒， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)m AB =，故答案为 15．【答案】54π【解析】设ABC △的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ，AC ⊂面ABC ，∴SG AC ⊥，又AC BG ⊥，BGSG G =，∴AC ⊥平面SBG ，SB ⊂平面SBG ，∴AC SB ⊥，又SB CD ⊥，ACCD C =，∴SB ⊥平面ACS ．,SA SC ⊂平面ACS ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，∵S ABC -为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直，SA SB SC ∴===，故外接球直径为()()()22232323236++=，故三棱锥S ABC -外接球的表面积为2364π54π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为54π．16．【答案】151(0,),153e e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当13x <<时，()243f x x x =-+-，令243y x x =-+-，则()2221x y -+=，13x <<， 故此时()f x 的图象为圆的一部分， 在坐标平面中画出()f x 的图象如下：因为关于x 的方程()20f x k x -+=有三个不同的实数根， 所以()y f x =的图象与2y k x =+的图象有3个不同的交点． 当0k ≤时，()y f x =的图象与2y k x =+的图象无交点，舍去；当0k >时，2y k x =+的图象的左边的射线与()y f x =的图象有一个交点，当射线()()22y k x x =+>-与xy e =相切时，设切点为(),a b ，则()2a a e k a e k⎧=+⎨=⎩，故1a =-，1k e =．当射线()()22y k x x =+>-过()1,e 时，3e k =； 当()()22y k x x =+>-与圆()2221x y -+=1=，故k =因为1153ee <<，故当()yf x =的图象与2y k x =+的图象有3个不同的交点时，有015k <<或13e k e <≤．故答案为1,3e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2nn a =；（2）2332n nn T +=-． 【解析】（1）数列{}n a 满足122222n n a a a n +++=， 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-， 两式作差有12n na =，所以2nn a =， 当1n =时，12a =，上式也成立，所以2nn a =．（2）22211nn n n a --=， 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2311111111221222222nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()111111113142221231222212n n n n n +-+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯--=-+⨯ ⎪⎝⎭-，所以2332n nn T +=-． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）677． 【解析】（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为AC PB ⊥，且BD PB B =，所以AC ⊥平面PBD ．因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥．因为AB AD =，且60BAD ∠=︒，所以BD AB =， 因为22PB AB PD ==，所以222PD BD PB +=，则PD BD ⊥．因为AC 与BD 相交，所以PD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）可知PD ⊥平面ABCD ，BD CD =，则2PB PC PD ==．设AB m =，则四棱锥P ABCD -的体积为3131232m ⨯=，解得3m = 在PBC △中，23BC =26PB PC == 则PBC △的面积为123243372⨯-=． 设点D 到平面PBC 的距离为h ．因为三棱锥P BCD -的体积为11262⨯=， 所以三棱锥D PBC -的体积为163⨯=，解得h =， 即点D 到平面PBC． 19．【答案】（1）82.5；（2）列联表见解析，没有95%的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析．【解析】（1）设这100名学生测试分数的中位数为a ，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得8090a <<， 所以()0.4800.040.5a +-⨯=，82.5a =． （2）列联表如下：()2210045152515 1.786 3.84170306040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为测试优秀与性别有关．（3）由题意可知，12人中分数在[)80,90内的共有8人，分数不低于90分的学生有4人，X 的取值依次为0,1,2,3．()38312C 140C 55P X ===，()2184312C C 281C 55P X ===，()1284312C C 122C 55P X ===，()34312C 13C 55P X ===，所以X 的分布列为：20．【答案】（1）11ln 222+；（2）12a e >．【解析】（1）当1a =时，令()()()2ln F x f x g x x x =-=-，()()212120x F x x x x x-'=-=>，令()0F x '=且0x >，可得2x =，()02F x x '>⇒>；()002F x x '<⇒<<，即函数()F x 在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，min11ln 2ln 2221122F F =--⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由函数()f x 和()g x 的图象可知， 当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线， 即2ln ax x >在0,上恒成立，即2ln xa x>在0,上恒成立，设()2ln x h x x =，()312ln x h x x -'=，令()312ln 0,xh x x x -=='= ()00x h x >⇒<<'()0h x x <'⇒>即函数()h x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减，即max12h h e ==，因此，12a e>．21．【答案】（1）22186x y +；（2）m = 【解析】（1）设椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，将x c =代入2C 的方程可得22221c y a b +=，解得2by a=±．由题意得222212232c a ba c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得226a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因此2C 的方程为22186x y +．（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，由22433x y y x m λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2215834120x mx m λ++-=（1λ=或2）， l 与1C 、2C 相交，只需当1λ=时，()()22216436041248150Δm m m =⨯--=->，解得1515m <<当2λ=时，()()22226436042448300Δm m m =⨯--=->，由韦达定理可得12348315mx x x x +=+=-，所以，AB 与CD 的中点相同， 所以，2CD ABAC -=， 即()()()22341248304815122m m AC x x x x --=⨯⨯---=224330154155m m --==，整理可得23m =，解得3m =22．【答案】（1）:2cos 3sin 20l ρθρθ--=；2:cos C ρθ=；（2． 【解析】（1）由1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）得2320x y --=，∴直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 20ρθρθ--=． 令0θ=，得1ρ=，∴点()1,0N ，由1MN =得点M 的轨迹为以点()1,0N 为圆心，1为半径的圆， ∴点M 的轨迹方程为()2211x y -+=，∴2cos ρθ=．（2）联立2cos 3sin 20π4ρθρθθ--=⎧⎪⎨=⎪⎩，得ρ=-∴点π4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OA = 联立2cos π4ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得ρ=π4B ⎫⎪⎭，OB =∴114OA OB +== 23．【答案】（1）2,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a =，3b =时，123,21()()|21||3|4,3232,3x x f x g x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪+=++-=+-<≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 当12x ≤-时，由234x -≥，解得23x ≤-；当132x -<≤时，44x +≥，解得03x ≤≤； 当3x >时，由324x -≥，解得3x >， 所以不等式()()4f x g x +≥的解集为2,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）当0a >，0b >时，由三角不等式得()2()|2|2|||2||22||222|2f x g x x a x b x a x b x a x b a b -=+--=+--≤+-+=+，所以23a b +=．因为22a b +≤32≤ 所以22942a b ≥+． 当且仅当2a b =，即32a =，34b =时取得等号．。
高三数学第二次模拟考试文科试题
卜人入州八九几市潮王学校西城区2021年抽样测试高三数学试卷〔文科〕202本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分.考试时间是是120分钟.第一卷(选择题一共40分)一、本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项. 1.集合A 、B 满足A B A =，那么以下各式中一定成立的是〔〕A.AB B.BA C.A B B= D.A B A =2.函数ln(1)(2)yx x 的反函数是〔〕A.1e (0)x y x B.1e (1)xy x C.e 1(R)xyxD.e 1(0)xyx3.设向量a =(1,x-1)，b =(x +1,3)，那么“x =2”是“a //b 〞的〔〕 A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆2228x y 的一个焦点，那么此抛物线的焦点到其准线的间隔等于〔〕 A.8B.6 C.4D.2题号分数一 二三总分1516171819205．一个平面，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面内一定存在一条直线b ，使得a 与b 〔〕A.平行B.相交C.异面D.垂直 6．数列{}n a 对任意*N n 满足12nn a a a ，且36a ，那么10a 等于()A.24B.27C.30D.327.某校要从高三的六个班中选出8名同学参加生英语口语演讲，每班至少选1人，那么这8个名 额的分配方案一共有〔〕 A.21B.27 C.31D.368.根据程序设定，机器人在平面上能完成以下动作：先从原点O 沿正东偏北α〔20πα≤≤〕方向行走一段时间是后，再向正北方向行走一段时间是，但机器人行走速度为10米/分钟，α的大小以及何时改变方向不定.如右图.假定设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，那么S 可以用不等式组表示为〔〕A.020020x yB.2240020x y x yC.2240000x y xyD.202020x y x y西城区2021年抽样测试高三数学试卷〔文科〕202第二卷(一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在题中横线上.9.为了理解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n 条鱼.将这n 个样本分成假设干组，假设某组的频数和频率分别为30和0.25，那么n =___________. 10.设(2,2),(0,4)AB AC ，那么ABC 的内角A =_________.11.假设291()ax x的展开式中常数项为672，那么a =___________. 12.设函数()|21|3f x x x =-+-，那么(1)f -=__________；假设()f x x >，那么x 的取值范围是___________.13.一个球的外表积为144，球面上有两点P 、Q ，且球心O 到直线PQ 的间隔为那么此球的半径r =___________；P 、Q 两点间的球面间隔为__________.14.三个函数：2cos y x =；31y x =-；12x y +=.其中满足性质：“对于任意12,x x ∈R ，假设1002102,,22x x x xx x x αβ++<<==，那么有 12|()()||()()|f f f x f x αβ-<-成立〞的函数是______________.(写出全部正确结论的序号)三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 15.〔本小题总分值是12分〕甲，乙两人射击，每次射击击中目的的概率分别是11,34.现两人玩射击游戏，规那么如下：假设某人某次射击击中目的，那么由他继续射击，否那么由对方接替射击.甲、乙两人一共射击3次，且第一次由甲开场射击.假设每人每次射击击中目的与否均互不影响.(Ⅰ)求3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目的的概率； (Ⅱ)求乙至少有1次射击击中目的的概率. 16.〔本小题总分值是12分〕函数2()sin cos sin f x x x x =+.〔Ⅰ〕求()f x 的值域和最小正周期；〔Ⅱ〕设(0,)，且()1f α=，求α的值.17.〔本小题总分值是14分〕如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，1,1,2ABBC AB BCAA ，D 、E 分别是AA 1、B 1C 的中点.(Ⅰ)求证：//DE 平面ABC ；(Ⅱ)求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小； (Ⅲ)求二面角C-B 1D-B 的大小. 18.〔本小题总分值是14分〕 函数321()(,3f x x x ax b a b =-+++∈R ).(Ⅰ)假设a =3，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)假设函数()f x 在其图象上任意一点00(,())x f x 处切线的斜率都小于2a 2，求a 的取值范围.19.〔本小题总分值是14分〕AOB 的顶点A 在射线1:3(0)l yx x 上，A ,B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M满足||||3AM MB .当点A 在l 1上挪动时，记点M 的轨迹为W .(Ⅰ)求轨迹W 的方程；(Ⅱ)设N (2,0)，过N 的直线l 与W 相交于P 、Q 两点.求证：不存在直线l ，使得1OP OQ .20.〔本小题总分值是14分〕f 是直角坐标平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作()Qf P .设1P 11(,)x y ，2132(),()P f P P f P ,1,(),n n P f P .假设存在一个圆，使所有的点*(,)(N )n n n P x y n都在这个圆内或者圆上，那么称这个圆为点(,)n n n P x y 的一个收敛圆.特别地，当11()P f P 时，那么称点1P 为映射f 下的不动点.假设点(,)P x y 在映射f 下的象为点1(1,)2Q x y .(Ⅰ)求映射f 下不动点的坐标；(Ⅱ)假设1P 的坐标为(2,2)，求证：点*(,)(N )n n n P x y n存在一个半径为2的收敛圆.西城区2021年抽样测试参考答案CBC 1B 1AA 1 DE高三数学试卷〔文科〕202一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 2010.45112.1，{|21}x x x 或1，214.注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分. 15.〔本小题总分值是12分〕〔Ⅰ〕解：记“3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目的〞为事件A .-----------1分由题意，得事件A 的概率1231()3346P A ；---------------------------5分 〔Ⅱ〕解：记“乙至少有1次射击击中目的〞为事件B ，---------------------------6分事件B 包含以下两个互斥事件：事件1:B 三次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙击中目的，其概率为11211()33418P B ； ---------------------------8分事件2:B 三次射击的人依次是甲、乙、乙，其概率为2211()346P B .--------------10分 所以事件B 的概率为122()()()9P B P B P B . 所以事件“乙至少有1次射击击中目的〞的概率为2()9P B .----------------------12分 16.〔本小题总分值是12分〕 〔Ⅰ〕解：2()sin cos sin f x x x x11cos2sin 222xx ---------------------------2分21sin(2)242x ，---------------------------4分因为1sin(2)14x，122112sin(2)22422x ，即函数()f x 的值域为1212,]22.---------------------------6分函数()f x 的最小正周期为22T.---------------------------8分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕得21()sin(2)1242f ，所以2sin(2)42，----------------------------9分 因为0<<，所以72444，----------------------------10分所以32,24444或，所以,42或.---------------------------12分17.〔本小题总分值是14分〕方法一：〔Ⅰ〕证明：如图，设G 为BC 的中点，连接EG ，AG ， 在1BCB 中，1,BGGC B EEC ，1//EG BB ，且112EGBB ， 又1//AD BB ，且112ADBB ， //,EG AD EGAD ，四边形ADEG 为平行四边形，//DE AG ，---------------------------2分又AG平面ABC ，DE平面ABC ，//DE 平面ABC .---------------------------4分CGBC 1B 1AA 1 DE F〔Ⅱ〕解：如图，设F 为BB 1的中点，连接AF ，CF ， 直三棱柱111ABCA B C ，且D 是AA 1的中点，111//,//AF B D AC AC， CAF 为异面直线11AC 与1B D 所成的角或者其补角.---------------------------7分在RtABF 中，BFAB ，AB =1，BF =1，222AFAB BF ，同理2CF ， 在ABC 中，,1,ABBC ABBC2AC，在ACF 中，AC AF CF ，60CAF.异面直线11AC 与1B D 所成的角为60.---------------------------9分 〔Ⅲ〕解：直三棱柱111ABCA B C ，1B BBC ，又1,AB BC ABBB B ，BC平面1ABB D .---------------------------10分如图，连接BD ， 在1BB D 中，112,2BDB D BB ，22211BD B D BB ，即1BDB D ，BD 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CDB D ，CDB 为二面角C -B 1D -B 的平面角.---------------------------12分在BCD 中,90CBD ,BC=1,2BD ，2tan 2BC CDBBD,二面角C -B 1D -B 的大小为arctan.---------------------------14分方法二：〔Ⅰ〕同方法一.---------------------------4分〔Ⅱ〕如图，以B 为原点，BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，那么111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)B C A B C A D ，111(1,1,0),(0,1,1)AC B D,---------------------------6分1111111111cos,2||||AC B D AC B DAC B D ，异面直线11AC 与1B D 所成的角为60.---------------------------9分〔Ⅲ〕解：直三棱柱111ABCA B C ，1B BBC ，又1,AB BC ABBB B ，BC平面1ABB D .---------------------------10分如图，连接BD ， 在1BB D 中，112,2BDB D BB ，22211BD B D BB ，即1BDB D ，BD 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CDB D ，CDB 为二面角C -B 1D -B 的平面角.----------------------------12分(1,1,1),(0,1,1)DC DB，6cos 3||||DC DBCDBDCDB ，二面角C -B 1D -B 的大小为分 18.〔本小题总分值是14分〕 〔Ⅰ〕解：因为321()33f x x x x b =-+++，所以2()23f x x x，---------------------------2分y由()0f x ，解得13x ，由()0f x ，解得1x或者3x，---------------------------4分所以函数()f x 的单调增区间为(1,3)，减区间为(,1)，(3,).-----------------6分〔Ⅱ〕解：因为2()2f x x x a '=-++，由题意，得22()22f x x x a a '=-++<对任意x ∈R 成立，---------------------------8分即2222xx a a -+<-对任意x ∈R 成立， 设2()2g x x x =-+，所以22()2(1)1g x x x x =-+=--+，所以当1x时，()g x 有最大值1，---------------------------10分因为对任意x ∈R ，2222x x a a -+<-成立，所以221aa ->，解得1a >或者12a， 所以，实数a 的取值范围为{|1a a >或者1}2a .---------------------------14分19.〔本小题总分值是14分〕〔Ⅰ〕解：因为A ,B 两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行.设M (x ,y )，由题意，得(),(,3)A x B x x ，----------------------------2分所以||,||AM y MB y -=，因为||||3AM MB ，所以)()3y y -⨯=，即2213y x -=，----------------------------5分所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>.-----------------------------6分〔Ⅱ〕证明：设:(2)l y k x =-或者2x =，1122(,),(,)P x y Q x y ，当直线:(2)l y k x =-时：由题意，知点P ，Q 的坐标是方程组2213(2)y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的解， 消去y 得2222(3)4430k x k x k -+--=，所以22222(4)4(3)(43)36(1)0k k k k ∆=----=+>，且230k -≠，22121222443,33k k x x x x k k ++==--，------------------------8分 因为直线l 与双曲线的右支〔即W )相交两点P 、Q ，所以221212224430,033k k x x x x k k ++=>=>--，即23k.-------------9分因为212121212(2)(2)[2()4]y y k x k x k x x x x =-⋅-=-++，所以OP OQ ⋅=1212x x y y +，2221212(1)2()4k x x k x x k =+-++，22353k k -=-，-------------------------11分 要使1OP OQ，那么必须有223513k k -=-，解得21k =，代入不符合.-----12分所以不存在l ，使得1OP OQ .当直线:2l x =时，P (2,3)，(2,3)Q -，5OP OQ ，不符合题意.综上：不存在直线l 使得1OP OQ .--------------------------14分20.〔本小题总分值是14分〕〔Ⅰ〕解：设不动点的坐标为000(,)P x y ，由题意，得000112x x y y ，解得001,02x y ，所以此映射f 下不动点为01(,0)2P .---------------------------4分 〔Ⅱ〕证明：由1()nn P f P ，得11112n n nn x x y y ，---------------------------6分所以11111(),222nn n n x x y y ， 因为112,2x y ， 所以10,02n n x y ， 所以111121,122nn n n x y y x ，---------------------------8分 由等比数列定义，得数列1{}(2n x n N *)是公比为-1，首项为11322x 的等比数列， 所以113(1)22n n x ，那么113(1)22n n x .---------------------------10分 同理112()2n n y . 所以11131((1),2())222n n n P .---------------------------11分 设1(,1)2A ，那么21231||()[12()]22n n AP ，--------------------------12分 因为1102()22n， 所以11112()12n， 所以23||()122n AP . 故所有的点*(N )n P n 都在以1(,1)2A 为圆心，2为半径的圆内， 即点(,)n n n P x y 存在一个半径为2的收敛圆.--------------------------14分。
2021-2022年高三第二次数学模拟考试(文科)
2021年高三第二次数学模拟考试（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至2页，第II卷3至4页，答题纸5至7页，共150分。
测试时间120分钟。
第I卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题。
每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，则满足的集合B的个数为（）A．1 B．3 C．4 D．82．已知，其中是实数，是虚数单位，则（）A．B．C．D．3．已知，且，则（）A．B．C．D．4．设函数，则（）A．在区间内均有零点B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点5．实数满足，则的值为（）A．8 B．C．0 D．106．设函数为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（）A．3 B．1 C．D．7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数①；②；③；④其中“互为生成函数”的是（）A．①②B．①③C．③④D．②④8．在内，内角的对边分别是，若，，则A=（）A．B．C．D．9．已知是实数，则函数的图象不可能是（）10．设命题非零向量是的充要条件；命题“”是“”的充要条件，则（）A．为真命题B．为假命题C．为假命题D．为真命题11．已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（）A．1 B．C．2 D．012．若，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
（将答案填在答题纸上）13．设曲线在点处的切线与直线平行，则.14．如果，那么= .15．在中，，则.16．O是平面上一点，点是平面上不共线的三点。
平面内的动点P满足，若，则·的值等于.三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（将答案写在答题纸上。
四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试文科数学试题含答案
成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试文科数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}230A x x x =-<，{3xB x =≥，则A B ⋃=（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．1,2⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭2．已知z 的共轭复数是z ，且12i z z =+-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．32B ．32-C ．-2D ．-2i3．下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（）A ．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B ．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C ．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D ．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%4．设实数x ，y 满足约束条件20,20,2360,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最小值为（）A ．-8B ．-6C ．-4D ．-25．已知π6sin 46α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（）A ．13B ．23C．3D．36．已知a ，b ，c 为直线，α，β，γ平面，下列说法正确的是（）A ．若a c ⊥，b c ⊥，则a b∥B ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥C ．若a α∥，b α∥，则a b ∥D ．若αγ∥，βγ∥，则αβ∥7．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod 4=．如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．20B ．21C ．22D ．238．已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为)F ，点P ，Q 在双曲线上，且关于原点O 对称．若PF QF ⊥，且PQF △的面积为4，则双曲线的离心率为（）A ．52B ．2C D ．39．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A ．B ．C ．4D ．10．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()110f x f x ++-=，当()0,1x ∈时，()2x f x =()4log 80f =（）A ．55-B ．455-C D ．5511．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于A ，B 两点，F 为抛物线C的焦点，若2FA FB =，则AB 的中点的横坐标为（）A ．52B ．3C ．5D ．612．设2log 3a =，3log 4b =，log a c b =，则下列关系正确的是（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a ，b 满足()3,2a b +=- ，()1,a b x -=，且0a b ⋅= ，则x 的值为______．14．已知直线1:0l y =，2:l y =，圆C 的圆心在第一象限，且与1l ，2l 都相切，则圆C 的一个方程为______．（写出满足题意的任意一个即可）15．已知三棱锥P ABC -的体积为233，各顶点均在以PC 为直径的球面上，AC =，2AB =，2BC =，则该球的表面积为______．16．已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ=+><<⎛⎫ ⎪⎝⎭，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．支持保留不支持50岁以下80004000200050岁以上（含50岁）100020003000（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在50岁以下的概率．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12n n S a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2log n n b a =，从①n n n c b a =⋅，②2141n nc b =-，③()21nn n b c =-⋅三个条件中任选一个，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，ABC △是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，AB EF ∥，12AF EF BE AB ===，平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，4CE =．（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；（Ⅱ）求三棱锥N ABC -的体积．20．（本小题满分12分）已知函数()()2ln ln 0f x x ax x a a =-++>．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若[)1,x ∀∈+∞，()0f x ≤，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点13,2⎫⎪⎭，其右焦点为)3,0F．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，若点P ，Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:1l x y +=与曲线2221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线3π:08m θαα⎛=<<⎫⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 分别交于点A ，B ，若)31OA OB =-，求α的值．23．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，0a >，0b >．（Ⅰ）求2a b +的取值范围；（Ⅱ）求22a b +的最小值．成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试文科数学参考答案答案及解析1．C 【解析】由题意可得，集合{}03A x x =<<，12B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，所以{}0A B x x ⋃=>．故选C ．2．C 【解析】设()i ,z x y x y =+∈R ．因为12i z z =+-，所以()()i 12i 12i x y x y =-+-=+-+，221,20,x y x y ⎧+=+⎨+=⎩解得3,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩则32i 2z =-，所以复数z 的虚部为-2．故选C ．3．D 【解析】这7年我国跨境电商交易规模的平均数为5.56.37.18.039.711.512.18.07++++++>（万亿元），故A 错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故B 错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为12.1 5.5 6.6-=（万亿元），故C 错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.1%14.5%13.8%2+=，故D 正确．故选D ．4．B 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，2z x y =-可化简为1122y x z =-，即斜率为12的平行直线．由20,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,4,x y =⎧⎨=⎩则()2,4A ．结合图形可知，当直线2z x y =-过点()2,4A 时，z 取最小值，min 2246z =-⨯=-．故选B．5．B 【解析】由已知，得2ππ2sin 2cos 212sin 243ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．6．D 【解析】可借助正方体进行判断．对于A 选项，正方体中从同一顶点出发的三条棱两两垂直，故A 错误；对于B 选项，选取正方体的上、下底面为α，β以及一个侧面为γ，则αβ∥，故B 错误；对于C 选项，选取正方体的上底面的对角线为a ，b ，下底面为α，则a b ∥不成立，故C 错误；对于D 选项，选取正方体的上、下底面为α，γ，任意作一个平面β平行于下底面γ，则有αβ∥成立，故D 正确．故选D ．7．C 【解析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，且最小为两位数，所以输出的22n =．故选C ．8．C 【解析】因为双曲线的右焦点为)F，所以c =．设其左焦点为1F ．因为PF QF ⊥，点P ，Q 关于原点O 对称，所以2PQ OF ==．由PQF △的面积为4，得142S PF QF =⋅=，则8PF QF ⋅=．又22220PF QF PQ +==，所以2PF QF -=．又由双曲线的对称性可得1QF PF =，则由双曲线的定义可得122PF PF a ==-，所以1a =，则离心率ce a==．故选C ．9．B 【解析】如图，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，其中面积最大为(21322PBCS =⨯⨯=△．故选B ．10．D 【解析】因为()f x 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数．又因为()()110f x f x ++-=，所以()()()()()21111f x f x f x x f f x -⎡⎤⎡+=++=--+=-⎤⎣⎦=⎣⎦，所以()f x 是周期为2的奇函数．又因为()0,1x ∈时，()2xf x =-所以()()()(()44422log 802log 5log 5log log 2f f f f f =+===(2log 22log 2f -=--=-5=+=．故选D ．11．A 【解析】如图，设AB 的中点为G ，抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-，焦点为()2,0F ，直线()()20y k x k =+>过定点()2,0P -，过点A ，B 分别作AM l ⊥于点M ，BN l ⊥于点N ．由2FA FB =，得2AM BN =，所以点B 为AP 的中点．连接OB ，则12OB FA FB ==，做点B 的横坐标为1，则点A 的横坐标为4，所以AB 的中点G 的横坐标为14522+=．故选A ．12．A 【解析】因为2log 31a =>，3log 41b =>，所以222333333log 2log 4log 8log 9log 2log 41222b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝<<⎭=⨯==，所以1a b >>，所以log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>．故选A ．13．3±【解析】因为()3,2a b +=- ，()1,a b x -= ，所以22,2x a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，21,2x b --⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．又因为0a b ⋅= ，所以2221022x x-+--⨯+⨯=，解得23x =±．14．(()22311x y +-=（答案不唯一）【解析】由题意可得，圆心C 在直线33y x =上，圆C 的方程形如()()()22230x ay a a a -+-=>．15．20π【解析】由3AC =2AB =，2BC =，得2π3ABC ∠=，所以242πsin 3AC r ==，得2r =（r 为ABC △外接圆半径）．又1sin 32ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=△，则1323333P ABC ABC V S h h -=⋅==△，所以2h =，即点P 到平面ABC 的距离为2，所以外接球球心O （PC 的中点）到平面ABC 的距离1d =，所以外接球半径2225R r d =+=，所以24π20πS R ==球．16．5【解析】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ4m ωϕ-+=，m ∈Z ①．又因为ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π4x =是()f x 图象的对称轴，所以πππ42n ωϕ+=+，n ∈Z ②．由①②可得，()ππ24m n ϕ=++．又π02ϕ<<．所以π4ϕ=，则41n ω=+，n ∈Z ．又()f x 在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()f x 的最小正周期为2πω，所以2πππ918ω-≤，即116ω≤，解得6ω≤，故ω的最大值为5．17．解：（Ⅰ）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=，其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人，所以30200001205000n =⨯=．（Ⅱ）由已知易得，抽取的5人中，50岁以下与50岁以上人数分别为2人（记为1A ，2A ），3人（记为1B ，2B ，3B ）．画树状图如下：由树状图可知，从这5人中任意选取2人，基本事件共10个，其中，至少有1人年龄在50岁以下的事件有7个，故所求概率为710．18．解：（Ⅰ）因为12n n S a +=-，所以()122n n S a n -=-≥．将上述两式相减，得()122n n a a n +=≥．因为12a =，122S a =-，即122a a =-，所以24a =，所以212a a =，所以()*12n n a a n +=∈N ．因为120a =≠，所以()*12n na n a +=∈N ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22log log 2n n nb a n ===．若选①：2n n n nc b a n =⋅=⋅，则1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅．将上述两式相减，得123112222222212n nn n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，所以()1122n n T n +=-⋅+．若选②：()()221111114141212122121n n c b n n n n n ⎛⎫====⎪---+-+⎝⎭，则111111111111111232352572212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若选③：()()2211nnn n c b n =-⋅=-⋅．当n 为偶数时，()()()()222222112341122n n n T n n n ⎡⎤⎣+=-++-++⋅⋅⋅+--+=++⋅⋅⋅+=⎦；当n 为奇数时，()()()()211121122n n n n n n n T T n c +++++=-=-+=-．综上，()()121nn T n n +=-．19．（Ⅰ）证明：如图，取CF 的中点D ，连接DM ，DN ．因为M ，N 分别是AF ，CE 的中点，所以DM AC ∥，DN EF ∥．又因为DM ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DM ∥平面ABC ．又因为EF AB ∥，所以DN AB ∥，同理可得，DN ∥平面ABC ．因为DM ⊂平面MND ，DN ⊂平面MND ，DM DN D ⋂=，所以平面MND ∥平面ABC ．又因为MN ⊂平面MND ，所以MN ∥平面ABC ．（Ⅱ）解：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．由已知可得，OA EF ∥且OA EF =，所以四边形OAFE 是平行四边形，所以OE AF ∥且OE AF =．因为ABC △是正三角形，O 是AB 的中点，所以OC AB ⊥．又因为平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ⋂平面ABEF AB =，所以OC ⊥平面ABEF ．又OE ⊂平面ABEF ，所以OC OE ⊥．设12AF EF EB AB a ====，则OC =，OE a =．在Rt COE △中，由222OC OE CE +=，得)2224a +=，则2a =，所以OC =122AF EF EB AB ====，则4AB =，112AM AF ==．由题意易得，60FAB ∠=︒，则点M 到AB的距离sin 602h AM =⋅︒=，即点M 到平面ABC的距离为2．又MN ∥平面ABC ，所以1113423322N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯=△．20．解：（Ⅰ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，()()()211121x x f x x x x+-=-+=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10f x f ==．（Ⅱ）由()()2ln ln 0f x x ax x a a =-++>，得()()1210f x ax a x'=-+>，易知()f x '在()0,+∞上单调递减．①由（Ⅰ）可知，当1a =时，()0f x ≤，符合题意．②当01a <<时，()()1210f a '=->，110f a a ⎛⎫⎪⎝⎭'=-<，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，使得()10f x '=，故当11,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()2111l 1n ln 0f x f a a a a aa >=-⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎭++⎝⎭=⎝，不符题意，舍去．③当1a >时，()()1210f a '=-<，110f a a ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在21,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20f x '=，故当[)1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()1ln 1f x f a a ≤=-+．令()()ln 11g a a a a =-+>，则()1110ag a a a-'=-=<，故()g a 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g a g <=，故()0f x <，符合题意．综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞．21．解：（Ⅰ）依题意，得22222311,4,c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设:PQ y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ．由221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以122814mk x x k-+=+，21224414m x x k -=+，()2216410k m ∆=+->，即2241k m +>．由120AP AQ k k ⋅=，得121212220y y x x ⋅=--，消去1y ，2y 得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，即()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，所以222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⋅++++，整理得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+．又因为直线PQ 不经过点()2,0A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-，所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()3,0B -，则APQ ABP ABQS S S =-△△△1212AB y y =-1252k x x =-52=52=52k ==因为0∆>即2241k m +>，且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，所以()22215955533143APQ k k S k -+==≤⋅=+△，当且仅当2114k =时取等号，所以APQ △面积的最大值为53．22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为()2211x y -+=，(]0,2x ∈．（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ+=，易得1sin cos OA αα=+．曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，易得2cos OB α=．由已知，得)121cos sin cos ααα=+，231sin 22cos 2αα++=，31sin 21cos 22αα+++=，31sin 2cos 22αα-+=，两边平方并整理得3sin 42α=-．又3π08α<<，即3π042α<<，所以4π43α<，则π3α=．23．解：（Ⅰ）由题意，知()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+．因为存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥，即2a b +的取值范围是[)4,+∞．（Ⅱ）由柯西不等式，得()()()2222212216a b a b ++≥+≥，当45a =，85b =时，22a b +取得最小值165．。
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高三文科数学第二次模拟考试试题一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π4．椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12M N F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．12⎫⎪⎪⎣⎭ 5．在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．8212-B ．9212-C ．10122-D ．11122-6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③9．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图1）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米10．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．11．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是．12．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为．13．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．请考生在14，15两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．14．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点π26⎛⎫⎪⎝⎭，到直线l 的距离为．15．如图2所示，圆O 的直径6A B =，C 为圆周上一点，3B C =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线A D ，垂足为D ，则D A C ∠=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．图1A l图2某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．18．（本小题满分14分）四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． SCDB设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．21．（本小题满分12分） 已知椭圆22132xy+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且A C B D ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．2007-2008年高三文科数学第二次模拟考试试题参考答案一、选择题 1．Ｃ2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ5．B6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｃ 9．C 10．C 二、填空题 11．3 12．211n -13．3-14．2 15．30°三、解答题16．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由A B C △为锐角三角形得π6B =．………………………………………………7分（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =．………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．………………………………………………7分（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=．……………………………………14分 18．解法一：（1）作S O B C ⊥，垂足为O ，连结A O ，由侧面SB C ⊥底面A B C D ，得SO ⊥底面A B C D ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，A O B O ⊥，由三垂线定理，得SA B C ⊥．………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA B C ⊥， 依题设A D B C ∥，故SA A D ⊥，由AD BC ==，SA =，SD ==BCSO E又sin 45AO AB == D E B C ⊥，垂足为E ，则D E ⊥平面S B C ，连结SE ．E SD ∠为直线S D 与平面S B C 所成的角．sin 11E D A O E SD SDSD====∠所以，直线S D 与平面S B C 所成角的正弦值为1122．………………………………………………14分解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结A O ，由侧面SB C ⊥底面A B C D ，得SO ⊥平面A B C D ． 因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC = ∠，AO B △为等腰直角三角形，A O O B ⊥．如图，以O 为坐标原点，O A 为x因为2AO BO AB ===1SO ==又BC =0)A ，，(0B ，(0C -，．(001)S ，，，1)SA =- ，(0C B =，0SA CB = ，所以SA B C ⊥．…………………7分 （Ⅱ）1)SD SA AD SA C B =+=-=-- ，0)O A =，.O A 与SD 的夹角记为α，S D 与平面ABC 所成的角记为β，因为O A 为平面S B C 的法向量，所以α与β互余．cos 11O A SD O A SDα==，sin 11β=， 所以，直线S D 与平面S B C 所成角的正弦值为1122．………………………14分19．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，．………………………14分20．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q--==．………………………6分 （Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．………………………12分21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤．………………………6分（Ⅱ）（ⅰ）当B D 的斜率k 存在且0k ≠时，B D 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132xy+=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632kx x k +=-+，21223632k x x k -=+，1232BD x x k =-==+ ；因为A C 与B C 相交于点p ，且A C 的斜率为1k-．所以，221112332k AC k k⎫+⎪⎝⎭==+⨯+． 四边形A B C D 的面积 222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．………………………10分（ⅱ）当B D 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形A B C D 的面积4S =．……………………11分 综上，四边形A B C D 的面积的最小值为9625．………………………12分。