第4讲Kronecker积
第4讲Kronecker积
= ( P ⊗ Q )−1 ( J1 ⊗ J 2 )( P ⊗ Q ) ⇒
p p m p
= ( ∏ λ1 µ j )( ∏ λ2 µ j )L ( ∏ λm µ j ) = ( ∏ λi ) ( ∏ µ j )
p j =1 j =1 j =1 i =1 j =1
p
m
∴ det( A ⊗ B ) = (det A) p (det B )m
(4) ( A ⊗ B ) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C )
(5) ( A ⊗ B ) = A ⊗ B ,( A ⊗ B )
T T T
H
=A
H
⊗B
H
(6) 当n = r , q = k时， ( A ⊗ C )( B ⊗ D ) = AB ⊗ CD
(7) 当m = n, p = q时，且A, B可逆，则 ( A ⊗ B ) −1 = A−1 ⊗ B −1
相 的 征 量 B 为 应 特 向 ;µj ( j = 1,2,L, n)为 ∈Cn×n, y j ( j = 1, 2,L, n)为 应 特 向 ,则 i + µj是 ⊕k B 特 值 A 相 的 征 量 λ 的 征 , xi ⊗ y j为 应 特 向 . 对 的 征 量
证： ( A⊕k B)( xi ⊗ y j )
= ( A⊗ En)( xi ⊗ y j ) + (Em ⊗ B)( xi ⊗ y j )
= ( Axi ) ⊗ yj + xi ⊗(Byj ) = (λi + µj )xi ⊗ yj
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2、向量化算符 、
a11 a12 a21 a22 设 A= L L am1 am2 L a1n L a2n L L L amn
-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 . (1)矩阵的Kronecker 积的定义 ................................................ 1 矩阵的Kronecker 积的性质 ................................................ 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 .......................................... 6 第三章 矩阵的拉直 (9)矩阵的拉直的定义 ......................................................... 9 矩阵的拉直的性质 ......................................................... 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................... 11 矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................... 13 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 ........................................ 14 参考文献.................................................................... 16 致谢 .. (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义定义设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211， 根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 *， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 *，由*，*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 *， 由*，*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f Df D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质和性质可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A=r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质和性质可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质和性质可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质： 性质 设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵nm CB ⨯∈，k 和l 是常数，则(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA (=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T=[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵pn CX ⨯∈，矩阵qp CB ⨯∈，则→⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.→⊗=X B I Tm )(.3(AX +)→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：∑=→→=⊗rk T kk F X B A 1)][(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. *设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX 引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→00(()()(X X t X B I I A dt t X d T m n 由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= 这就是微分方程的解.例 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社..[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社..[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社..[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社..[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.（重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社..[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社..[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社..[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社..[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社..[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社..[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社..[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社..（重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社..[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社..[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社..[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社..[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社..[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.（重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社..[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社..[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社..[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.（重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社..[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社..[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社..[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社..[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社..[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社..[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社..[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社..致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 (1)1.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 1 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 6 第三章 矩阵的拉直 . (9)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 9 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 11 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 13 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 14 参考文献......................................................................................................................................... 16 致谢 (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a C b aC b a C b a Cb a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*， 由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O OO I P P Q Q O O O I O OO I P P Q O O O I P Q O OO I P B A rssrsr所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
矩阵理论 -Kronecker积
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(8) 当m n, p q时，
tr( A B) trA• trB
(9) rank(A B) rankA• rankB
(10) 当m n, p q时，
det( A B) (det A) p g(det B)m
证：
1
A
P 1
2
O
P
P 1J1 P
a22 L LL
am1 am2 L
a1n
a2n L
amn
记A的列为 Ac1, Ac2 ,K , Acn A ( Ac1, Ac2 ,K , Acn )
Ac1
向量化算符:Vec
A
Ac2 M
Acn
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性质1： Vec (kA lB) kVec A lVec B
定理5：设 A Cmn , X Cnr , B Crs , 则 Vec ( AXB) (BT A)Vec X
0
m
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1
பைடு நூலகம்
B
Q1
0
2
O
Q
Q 1 J 2Q
p
A B (P1J1P) (Q1J2Q) (P Q)1(J1 J2 )(P Q)
det( A B) det(J1 J2 )
p
p
p
m
p
( 1 j )( 2 j )L ( m j ) ( i ) p ( j )m
(2)当U,V均为酉矩阵时,U V也是酉矩阵;
(3) ( AB)[k] A[k]B[k].
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例1：以1或-1为元素的m阶矩阵H，如果有 HH T mEm
则称H 为m阶Hadamard矩阵.设Hm , Hn分别为m, n阶Hadamard矩阵,则 Hm Hn为mn阶Hadamard
drazin逆的kronecker积的基本性质和奇异值分解
drazin逆的kronecker积的基本性质和奇异值分解Drazin 逆的 Kronecker 积是一种常见的矩阵积。
它由三位英国数学家 Peter Lax，Morris Drazin 和 Hector J. S. Wormald 合著，并由 CambridgeUniversity Press 出版于 2001 年。
Drazin 逆的 Kronecker 积被用于展现复杂的矩阵乘法及其局部性质，用来揭示可以表达的一种矩阵乘法的结构。
它可以用于解决复杂的矩阵乘法问题，可以更有效地解决用一组矩阵乘法更新的问题。
首先，我们来看一下Drazin逆的Kronecker积的基本性质。
它是一种形状维度上阶下降而言，采用Kronecker积形式和其逆形式，交换其顺序而形成一种变体，其基本形式如下：A⊗BC−1 =(A⊗B)C−1。
其次，Drazin逆的Kronecker积还可以用来计算矩阵的奇异值分解。
以N×M矩阵X为例，可以把它分为两个N×N矩阵X1和M×M矩阵X2，可以分别在X1和X2的空间中求出其奇异值分解：X1 =U1Σ1V1T，X2 =U2Σ2V2T，那么X的奇异值分解可以通过X=X1⊗X2=(U1⊗U2)(Σ1⊗Σ2)(V1⊗V2)T来表示。
借助于Drazin逆的Kronecker积可以使得奇异值分解中的计算更加简单高效。
Drazin 逆的 Kronecker 积是一种强大的数学工具，通过由多个系数描述的矩阵的局部特性可以更好地理解矩阵的行为，这是极其重要的。
它可以帮助我们发现更多有关矩阵乘法及其局部性质。
另外，Drazin逆的Kronecker积还可以用来求解矩阵的奇异值分解，从而使我们能够更有效地计算出其特征值和特征向量，从而帮助科学家们更好地理解数据，进而发现新的科学现象。
可以看出，Drazin逆的Kronecker积在高校和高等教育中具有重要的意义和应用。
kronecker积的行列式
kronecker积的行列式（实用版）目录1.Kronecker 积的定义2.Kronecker 积的行列式公式3.Kronecker 积行列式的性质4.Kronecker 积行列式的应用正文1.Kronecker 积的定义在矩阵论中，Kronecker 积是一种特殊的矩阵乘积，用于将两个矩阵的元素逐个相乘。
设矩阵 A 是一个 m×n 矩阵，矩阵 B 是一个 p×q 矩阵，则它们的 Kronecker 积是一个 mp×nq 矩阵，表示为 AB。
其中，AB 的元素由 A 的行和 B 的列对应元素相乘得到。
例如，如果 A = [[a11, a12], [a21, a22]]，B = [[b11, b12], [b21, b22]]，则 AB = [[a11b11, a11b12, a12b11, a12b12], [a21b21, a21b22, a22b21, a22b22]]。
2.Kronecker 积的行列式公式Kronecker 积的行列式是一个重要的概念，它可以通过简单的公式计算。
设 A 是一个 m×n 矩阵，B 是一个 p×q 矩阵，则它们的 Kronecker 积的行列式|AB| = |A|·|B|。
其中，|A|和|B|分别表示矩阵 A 和 B 的行列式。
3.Kronecker 积行列式的性质Kronecker 积行列式具有一些有趣的性质。
首先，它满足交换律，即|AB| = |BA|。
其次，Kronecker 积行列式与矩阵的乘法满足分配律，即|A(BC)| = |A|·|BC|。
此外，Kronecker 积行列式还满足行列式的性质，如行列式的某一行（或列）乘以一个常数 k，则行列式的值也要乘以 k。
4.Kronecker 积行列式的应用Kronecker 积行列式在许多领域都有广泛的应用，如线性代数、概率论、工程学等。
Kronecker积与矩阵方程
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗(BD) (A ⊗ B)－1 = A－1 ⊗ B－1
证明：（1）（2）显 然 a 12 B " a 1n B ⎤ ⎡a 11 B ⎥ ⎢a B a B a B " 22 2n ⎥ (3):(A ⊗ B)T = ⎢ 21 ⎢ # # # ⎥ ⎥ ⎢ a m2 B " a mn B ⎦ ⎣a m1 B ⎡a 11 B T a 21 B T " a m1 B T ⎤ ⎥ ⎢ T T T a 12 B a 22 B " a m2 B ⎥ ⎢ T T = A ⊗ B =⎢ ⎥ # # # ⎥ ⎢ T T T ⎢ a 2n B " a mn B ⎥ ⎦ ⎣a 1n B
Kronecker积与矩阵方程
主讲 孟纯军博士
在系统控制等工程领域，常常要求解线性矩 阵方程，Kronecker积是研究矩阵方程的有 效工具之一。本章我们首先介绍Kronecker 积的性质，然后用Kronecker积求解线性矩
定义：设A＝(a ij )∈ C m×n ,B＝(b ij )∈ C p×q ⎡a 11 B a 12 B " a 1n B ⎤ ⎥ ⎢a B a B a B " 22 2n ⎥ A ⊗ B = ⎢ 21 ∈ C mp×nq ⎢ # # # ⎥ ⎥ ⎢ a B a B a B m2 " mn ⎦ ⎣ m1 称为矩阵A与B的Kr onecker积，也 叫矩阵的张量积，或直 积 注意A ⊗ B的维数。
定义：二元多项式 f(x,y) =
i, j= 0 i j c x ∑ ij y l
为复系数二元多项式。 设A为m方阵，B为n 阶方阵，矩阵多项式： f(A,B) =
i, j= 0 i j c A B ⊗ ∑ ij l
矩阵的Kronecker积及其应用
分类号：学士学位论文矩阵的Kronecker积及其应用学院名称数学与计算机工程学院目 录摘要 ............................................................... 1 关键词 ............................................................. 1 引言 ............................................................... 2 1 矩阵的Kronecker 积的定义 ......................................... 2 2矩阵的Kronecker 积的性质、定理及推论 .............................. 2 3.矩阵的Kronecker 积的特征值、特征向量的性质、推论及定理 ........... 5 4.矩阵的Kronecker 积的应用 .. (6)4.1矩阵的行（列）展开的定义及其相关性质 ........................ 6 4.2利用Kronecker 积解决特殊的矩阵方程 .......................... 7 4.2.1C XB A i si i =∑=1型方程的求解 ................................. 7 4.2.2C XB AX =+型方程的求解 ................................ 8 4.2.3C AXB X =+型方程的求解 ................................ 8 4.3利用Kronecker 积求一些特殊矩阵的特征值和特征向量 ............ 9 小结 .............................................................. 11 参考文献 .......................................................... 11 致谢 .. (12)矩阵的Kronecker 积及其应用刘 阳（西安文理学院 数学与计算机工程学院,陕西 西安， 710065）摘要：本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker 积与它的特征值及特征向量。
kronecker积分解
kronecker积分解
Kronecker积分解是指将一个矩阵分解为Kronecker积的形式。
Kronecker积，也称为直积，是一种用于描述两个矩阵的运算，其
结果是一个新的大矩阵，其中每个元素都是原始矩阵对应元素的乘积。
Kronecker积分解是将一个大矩阵分解为两个小矩阵的Kronecker积的形式。
具体来说，对于两个矩阵A和B，它们的Kronecker积（记作A ⊗ B）是一个新的矩阵，其大小为mn和pq的矩阵的Kronecker积
定义为一个mpnq的矩阵，其中第(i,j)个元素为A的(i,j)元素乘以
B的所有元素。
Kronecker积分解可以帮助我们将一个大矩阵分解为两个小矩
阵的Kronecker积的形式，这种分解可以在一些矩阵计算和分析问
题中起到重要的作用。
在实际应用中，Kronecker积分解可以用于
压缩表示大型矩阵、求解线性方程组、求解特征值等问题。
在数学和工程领域，Kronecker积分解有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，Kronecker积分解可以用于描述多维信号的卷积运算；在量子力学中，Kronecker积可以用于描述多粒子系统的状态
空间；在卷积神经网络中，Kronecker积可以用于描述卷积层和全连接层之间的关系等等。
总之，Kronecker积分解是一种重要的矩阵分解方法，它可以帮助我们理解和处理复杂的矩阵计算问题，具有广泛的应用价值。
矩阵Kronecker乘积性质及应用
矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................... Abstract ............................................................................................................................................ I 第一章 矩阵的Kronecker 积 01.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 0 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 0 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 5 第三章 矩阵的拉直 . (8)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 8 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 8 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (10)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 10 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 12 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 13 参考文献......................................................................................................................................... 15 致谢 (17)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*， 由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
高等流体力学-第4讲
·二次曲面 F ( r ) = ± 1 可看作二阶对称张量的几何表示，是有心二次曲面； ·在主轴坐标系下：如果主值 λ1 λ 2 λ 3 同号，表示的半径分别为：
G
1
1
1
λ1
λ2
λ3
的椭球面；
·在主轴坐标系下： 如果主值异号，则表示的双曲椭圆面。
G 1 (5) 对称张量 S 与矢径的内积为 ： S ⋅ r = gradF 2
∇P= ∂ pi i "i ∂xk
1 2
n
其梯度运算的结果是一个 (n+1) 阶张量 。
( )
JGJG ∂aij JGJGJG ∂ JG ek aij ei e j = ek ei e j ∇A = ∂xk ∂xk
(
)
1.5 张量初步
1.5.6 张量的微分运算
¾ 张量的散度运算 n 阶张量P 的散度 — 定义为哈密顿算子与张量P 的左向内积：
ei′ = α ij ei′
α isα js = α siα sj = δ ij
ai′ = αij a j a j = α ji ai′
′ = αisα jt pst pij ′ pij = αsiαtj pst
1.5 张量初步
1.5.5 二阶张量
⎛ p11 ⎜ {pij } ↔ ⎜ p21 ⎜p ⎝ 31 p12 p 22 p32 p13 ⎞ ⎟ p 23 ⎟ p33 ⎟ ⎠
+
p11 p31
p11 p12 ⎞ ⎟− p =0 + p33 p21 P22 ⎟ ⎠ p13
由根与系数的关系得知: —— 二阶张量的三个不变量 ——
I1 = p11 + p22 + p33 =λ1 +λ2 +λ3
克罗内克(Kronecker)积及其应用.pdf
L
a22 B L
L L
a2n B L
∈
C
mp×nq
a m1 B
am2 B
L
amn B
为 A 的克罗内克（Kronecker）积，或称 A 与 B 的直积，或张量积，简记为 A ⊗ B = (aij B) m×n , 即 A ⊗ B
是一个 m × n 块的分块矩阵，最后是一个 mp × nq 阶的矩阵。
p
∑ f ( A; B) = aij Ai ⊗ B j iA 和 B 的特征值分别是 λ1 , λ2 L, λm 和 µ1 , µ2 ,Lµn ，它们对应的特征向量分别是
x1, x2 ,L xm 和 y1 , y2 ,L yn ，则矩阵 f ( A; B) 的特征值是 f (λr ; µs ) ，而对应 f (λr ; µs ) 的特
1
1
O
O
1
1
A1 =
0
， B1 =
0
O
0
O
0
A1 中数 1 的个数为 rank（A）， B1 中数 1 的个数为 rank（B）。
由式（1—6）有
A = M −1 A1 N −1 ， B = P −1B1Q −1
于是，由式（1—1）有
A ⊗ B = (M −1 A1 N −1 ) ⊗ (P −1B1Q −1 ) = (M −1 ⊗ P −1 )( A1 ⊗ B1 )(N −1 ⊗ Q −1 )
再由此种初等矩阵的性质知 PT P = I ，有
PT (A ⊗ B)P = PT (A ⊗ I n ) (I m ⊗ B)P = PT (A ⊗ I n ) PPT (I m ⊗ B)P
=（ I n ⊗ A ）（ B ⊗ I m ）
(完整版)Kronecker积及其应用
矩阵的Kronecker 积及其应用陈蔚(集美大学理学院数学系2005届，厦门 361021）[摘要］ 本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker 积，通过对概念的引入，性质、定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker 积在求解几类矩阵方程中的应用.［关键词] Kronecker 积,特征值，拉直，1ti i i A XB F ==∑矩阵方程，AX ＋F XB =矩阵方程，X－F AXB =矩阵方程,矩阵微分方程0、引言众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数,如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积,但我们却可以求它们的Kronecker 积。
对于矩阵的Kronecker 积问题，绝大多数人是陌生的。
本文主要介绍了Kronecker 积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采。
文中所用到的符号均可从参考文献[1—11]中找到。
一、 矩阵的Kronecker 积的概念[1]1.1定义 设()m n ij A a C ⨯=∈, C b B qp ij ⨯∈=)(，则称如下的分块矩阵111212122212n n mp nq m m mn B B a a a B a a a BB B A BC a a a BBB ⨯⎛⎫⎪⎪⊗=∈ ⎪⎪⎝⎭为A 与B 的Kronecker 积（也称为直积或张量积）。
B A ⊗是一个n m ⨯块的分块矩阵,所以上式还可以简写为B A ⊗=()ij a B 。
例1.1 设),,(321a a a T A =， ),(21b b B T =，求B A ⊗和A B ⊗.解 B A ⊗=()111221223132123T a Ba ab a b a b a b a b a b Ba B⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，,A B ⊗=()11121321222312Tb A b a b a b a b a b a b a b A ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，，，。
kronecker定理的证明
kronecker定理的证明Kronecker定理的证明：Kronecker定理是代数数论中的一个重要定理，它给出了一个关于代数整数环的理想结构的完整描述。
本文将详细讨论和证明Kronecker定理，希望能够帮助读者更好地理解这一定理的内涵。
首先，我们需要介绍一些基本概念。
设K为一个域，即一个具有加法和乘法运算的集合，并满足加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
设R为K上的整环，即一个环并且满足乘法闭合性和交换律。
称R为K的整数环，简称整环。
现在，我们可以正式陈述Kronecker定理：设K为一个域，K的整数环R为一个唯一分解整环。
也就是说，R中的每个非零非可逆元素都可以表示为R中的素元素的乘积，且这种表示方式是唯一的。
证明Kronecker定理的关键思路是利用整环R中非零非可逆元素的唯一分解性质。
具体证明过程如下：1. 首先，假设R中存在非零非可逆元素a，且a无法表示为素元素的乘积。
考虑R中的理想(a)，即所有可以被a整除的元素所组成的集合。
由于R是唯一分解整环，我们知道(a)一定是主理想，即存在一个元素b使得(a)={(b)}。
由于a不是素元素的乘积，因此a不能整除b，即b不在(a)中。
但是由于a在(a)中，因此a一定可以整除b，产生矛盾。
所以假设不成立，a可以表示为素元素的乘积。
2. 其次，假设a可以表示为不同素元素的两种分解方式，即a=p1*p2*...*pn=q1*q2*...*qm，其中p1,p2,...,pn,q1,q2,...,qm均为素元素。
考虑到R的唯一分解性质，我们知道p1一定可以整除q1,q2,...,qm中的某一个素元素，否则a不可能存在第二种分解方式。
但是由于q1,q2,...,qm均为素元素，p1只能等于其中一个素元素。
反之，也可以证明q1=q2=...=qm中的一个素元素等于p1。
因此，这两种分解方式实际上是等价的，唯一性得以证明。
通过上述证明，我们得知Kronecker定理成立。
kronecker积例题
kronecker积例题Kronecker积是一种矩阵运算，用于计算两个矩阵的乘积。
它的定义如下：设A为m×n的矩阵，B为p×q的矩阵，那么A和B的Kronecker积记作A ⊗ B，结果为一个mp × nq的矩阵。
具体计算方式如下：A ⊗B = [ a11B, a12B, ..., a1nB ][ a21B, a22B, ..., a2nB ][ ... , ... , ..., ... ][ am1B, am2B, ..., amnB ]其中，aijB表示将矩阵B的每个元素都乘以aij得到的新矩阵。
为了更好地理解Kronecker积，下面举一个例题来说明。
假设有两个矩阵A和B，分别如下：A = [ 1, 2 ][ 3, 4 ]B = [ 5, 6 ][ 7, 8 ]我们来计算A ⊗ B：A ⊗B = [ 1 B, 2 B ][ 3 B, 4 B ]= [ [ 1 5, 1 6 ], [ 2 5, 2 6 ] ] [ [ 3 5, 3 6 ], [ 4 5, 4 6 ] ] = [ [ 5, 6 ], [ 10, 12 ] ][ [ 15, 18 ], [ 20, 24 ] ]因此，A ⊗ B的结果为一个4×4的矩阵：[ 5, 6, 0, 0 ][ 10, 12, 0, 0 ][ 0, 0, 5, 6 ][ 0, 0, 10, 12 ]这个例题展示了如何计算两个矩阵的Kronecker积。
当然，在实际应用中，矩阵的规模可能更大，但计算方式是类似的。
需要注意的是，Kronecker积具有一些特殊的性质，比如分配律和结合律。
此外，Kronecker积在很多领域中有广泛的应用，比如图像处理、信号处理和量子力学等。
希望这个例题能够帮助你理解Kronecker积的概念和计算方法。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
克罗内克积二维傅里叶变换
克罗内克积（Kronecker product）是矩阵运算中的一种基本操作，它将两个矩阵的每个元素进行对应相乘，得到一个新的矩阵。
二维傅里叶变换（2D Fourier Transform）是一种将图像从空间域转换到频率域的方法，可以用于图像处理、信号分析等领域。
克罗内克积二维傅里叶变换是将克罗内克积和二维傅里叶变换结合起来的操作。
具体来说，假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别为M×N和P×Q，那么它们的克罗内克积为：
C = A ⊗B = (a_{ij}b_{kl})
其中a_{ij}和b_{kl}分别表示矩阵A和B中第i行第j列和第k行第l列的元素。
对于二维图像I(x, y)，其傅里叶变换为：
F(u, v) = ∫∫I(x, y)e^(-2πi(ux+vy))dxdy
其中u和v分别表示频率域中的水平和垂直方向上的变量。
如果将图像I(x, y)表示为一个M×N的矩阵，那么它的二维傅里叶变换可以表示为：
F(u, v) = I(u, v)
其中I(u, v)是一个M×N的矩阵，表示图像在频率域中的表示。
因此，克罗内克积二维傅里叶变换可以表示为：
C(u, v) = A(u, v) ⊗B(u, v)
其中A(u, v)和B(u, v)分别表示图像A和B在频率域中的表示。
这个操作可以将两个图像在频率域中进行组合，从而得到一个新的图像。
例如，可以将两个不同尺度的图像进行组合，以实现多尺度分析或金字塔结构等应用。
克罗内克 Kronecker 积及其应用
由例 1—1 我们已看到，Kronecker 积的交换律不成立，即 A ⊗ B 一般不等于 B ⊗ A ，但是，我们
仍有下面的性质。
定理 1—8 设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，则有 A ⊗ B 相似于 B ⊗ A 。 证 容易验证，对矩阵 A ⊗ I n 进行一系列“相合”变换（对矩阵的行和相应的列进行相同的初等
应用本定理，便有定理 1—5 的结论，即
推论 1 A ⊗ B 的特征值为 m n 个数 λr µs (r = 1,L, m; s = 1,L, n) ，且对应 λr µs 的特征向
量为 xr ⊗ ys 。 若取 f (x, y) = x + y ，即 f (x, y) = xy 0 + x0 y ，则
dy 4×2
由这个例子可以看出， A ⊗ B 与 B ⊗ A 一般不是同一矩阵，即 Kronecker 积不满足交换律，但它们的阶
数是相同的。
对单位矩阵，有
6．1． 2 Kronecker 积的性质
I n ⊗ I m = I m ⊗ I n = I mn
不难验证，矩阵的 Kronecker 积满足下列运算律： 1
变换，这里是指对调矩阵的第 I 行与第 J 行，然后再对调第 I 列与第 J 列。），可以变成 I n ⊗ A ，即存在一
个 mn 阶置换矩阵（有限个初等矩阵的乘积）P，使
PT (A ⊗ I n )P = I n ⊗ A
同理，对矩阵 I m ⊗ B 也有
PT (I m ⊗ B)P = B ⊗ I m
det( A ⊗ B) = det(J1 ⊗ J 2 ) ( ) 显然，当 J1 , J 2 均为下（上）三角矩阵时， J1 ⊗ J 2 也为下（上）三角矩阵，故有
矩阵Kronecker乘积性质及应用
矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................... Abstract ............................................................................................................................................ I 第一章 矩阵的Kronecker 积 01.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 0 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 0 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 5 第三章 矩阵的拉直 . (8)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 8 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 8 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (10)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 10 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 12 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 13 参考文献......................................................................................................................................... 15 致谢 (17)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*， 由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
矩阵教案Ch1p4. Kronecker积
det( A B) det( J1 J 2 )
( 1 j )( 2 j )
j 1 j 1 p p
( m j ) ( i ) p ( j ) m
j 1 i 1 j 1
返回
p
m
p
det( A B) (det A) p (det B)m
x1 y1 T xy xm y1
vec( xy ) y x
T
x1 yn R m n x m yn
返回
2.性质： (1) Vec (kA lB) kVec A lVec B
(2) A P mn , 且A T ,Vec ( T )
定理4：设 A C mn , X C nr , B C rs , 则
Vec ( AXB ) ( BT A)Vec X
推论3：设A C mm , B C nn , X C mn , 则
(1) Vec ( AX ) ( En A)Vec X ; (2) Vec ( XB ) ( BT Em )Vec X . (3)vec( AX XB ) [( En A) ( BT Em )]vec( X )
1 证： A P 1 0
2
P P 1 J P 1 m
返回
1 B Q 1 0
2
Q Q 1 J Q 2 p
A B ( P 1J1 P ) (Q 1J 2Q ) ( P 1 Q1 )[( J1 P ) ( J 2Q)] ( P Q)1 ( J1 J 2 )( P Q) Fra bibliotek, m;
kronecker运算 -回复
kronecker运算-回复Kruecker eigenvalue estimation(kronecker运算)是一种用于计算矩阵Kruecker积的算法。
Kruecker积是一个基于矩阵的一种操作，它将两个矩阵的对应元素相乘，并形成一个新的矩阵。
首先，我们需要明确什么是Kruecker积。
设A和B是两个矩阵，如果A 是m ×n维的矩阵，B是p ×q维的矩阵，那么它们的Kruecker积记作A ⊗B，是一个mp ×nq维的矩阵。
具体而言，Kruecker积是通过将A的每个元素与B的所有元素相乘，然后将结果按原来的顺序排列得到的。
例如，如果A是一个2 ×2维的矩阵[A11, A12; A21, A22]，B是一个2 ×2维的矩阵[B11, B12; B21, B22]，那么它们的Kruecker积可以表示为：A ⊗B = [A11B11, A11B12, A12B11, A12B12;A11B21, A11B22, A12B21, A12B22;A21B11, A21B12, A22B11, A22B12;A21B21, A21B22, A22B21, A22B22]接下来，我们来介绍一种用于计算Kruecker积的Kruecker eigenvalue estimation算法。
第一步是将原始矩阵A和B进行分块。
具体地说，我们将A和B分别分为等大小的子矩阵，记作A = [A00, A01; A10, A11]和B = [B00, B01; B10, B11]。
第二步是计算子矩阵A01、A10和B01、B10之间的Kruecker积。
这可以通过使用A01 ⊗B10 = [C00, C01; C10, C11]的形式的Kruecker积得到。
第三步是根据公式C00 = A01 ⊗B10进行递归计算。
这意味着我们需要再次将矩阵C00进行分块，并重复第一步和第二步直到达到所需的精度水平。
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⊕ )( i 证： (A k B x ⊗yj) =(A E )(x ⊗yj)+(E ⊗ )(x ⊗yj) ⊗ n i m B i
推论1： ∈ m m ∈ n n 推论 ： A C × ,B C × , X∈ m n,则 C× 设 ( ) Vc(A )=(E ⊗ ) e ; 1 e X n AVcX
T (2 Vc(X )=(B ⊗ m VcX ) e B E)e .
例2： 解矩阵方程 ：
a1 a 2 x x c 1 c 2 1 1 1 3 1 = 1 2 2 2 4 2 2 a 1 a 2x x c 1 c 2
(4) ( A ⊗ B ) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C )
(5) ( A ⊗ B ) = A ⊗ B ,( A ⊗ B )
T T T
H
=A
H
⊗B
H
(6) 当n = r , q = k时， ( A ⊗ C )( B ⊗ D ) = AB ⊗ CD
(7) 当m = n, p = q时，且A, B可逆，则 ( A ⊗ B ) −1 = A−1 ⊗ B −1
返回
定义1 定义
6 k 4 4个 4 4 8 7 Ko e k r 的 幂Ak] =A A L r nc e 积 乘 : [ ⊗ ⊗ A
T T
定理2 定理
( )当 =AB =B , A B 是 称 阵 1 A , 时 ⊗也对矩; H H A , 当 =AB =B , A B 是e m t 矩 ; 时 ⊗ 也 Hrie 阵
Kronecker积 积
一、Kronecker积 积
a 1B a 2B L a nB 1 1 1 a 1B a 2B L a nB 2 2 2 ⊗ Kronecker积⇔ A B= 积 L L L L m m m a 1B a 2B L a nB 定理1： 积的性质： 定理 ：Kronecker积的性质： 积的性质
x =(A i)⊗yj +x ⊗ B j)=(λ +µ )x ⊗yj i ( y i j i
返回
2、向量化算符 、
a 1 1 a 1 设A= 2 L a1 m a2 L an 1 1 a 2 L a n 2 2 L L L a 2 L a n m m
, c A , c 记A的列为 A1, A2,KAn⇒ =(A1, A2,KAn) 的列为 c c c c
返回
返回
解： A =C⇒ X
Vc(A )=(E AVcX=Vc( )⇒ e X e C ⊗ )e
a 1 a 2 x c 1 1 1 1 1 a1 a2 2 2 2 2 x =c 1 a 1 a 2x c 2 1 1 3 1 a 1 a 2x c 2 2 2 4 2
(2 当 , 均 酉 阵 ,U V 是 矩 ; ) UV 为 矩 时 ⊗ 也 酉 阵
(3 A ) )( B
[k ]
=A B .
[k [k ] ]
返回
例1：以1或-1为元素的 阶矩阵 ，如果有 ： 或 为元素的 阶矩阵H， 为元素的m阶矩阵
HH
T
= mEm
则称H 矩阵. 则称 为m阶Hadamard矩阵 设H m , H n分别为 阶 矩阵 分别为m, 阶 n阶Hadamard矩阵 则 H m ⊗ H n 为mn阶Hadamard 阶 矩阵,则 矩阵 矩阵. 矩阵 证： ( H m ⊗ H n )( H m ⊗ H n )T
= ( H m ⊗ H n )( H mT ⊗ H nT ) = H m H mT ⊗ H n H nT
= mEm ⊗ nEn = mnEmn
返回
二、Kronecker积的特征值 积的特征值
理 ,2 , ) A C 定 3: 设i(i =1 ,Lm为 ∈ λ
mm ×
, x (i =1 ,Lm ,2 , ) i
λ2
∗ P = P −1 J P 1 O λm
返回
µ1 B = Q −1 0
µ2
O
∗ Q = Q −1 J Q 2 µp
A ⊗ B = ( P −1 J 1 P ) ⊗ ( Q −1 J 2 Q )
det( A ⊗ B ) = det( J1 ⊗ J 2 )
返回
(8) 当m = n, p = q时， 时， tr ( A ⊗ B ) = trA • trB
(9) rank ( A ⊗ B ) = rankA • rankB
(10) 当m = n, p = q时， det( A ⊗ B ) = (det A) p (det B )m
证：
λ1 A = P −1 0
设A ∈ P m×n , B ∈ P p×q , C ∈ P r × s , D ∈ P k ×h
(1) Em ⊗ En = Emn
(2) λ ( A ⊗ B ) = (λ A) ⊗ B = A ⊗ (λ B )
返回
(3) ( A + B ) ⊗ C⊗ C )
nn ×
相 的 征 量µ ,2 , ) B C 为 应 特 向 ; j(j =1 ,Ln为 ∈ 对 的 征 量 x ⊗yj. 应 特 向 为i
证：
, yj(j =1 ,
2Ln为 应 特 向 , A B m 个 征 λµj, , , ) 相 的 征 量则 ⊗ 有 n 特 值i
A i =λ x ,B j =µ yj ⇒ x i i y j
A1 c A2 向 化 符VcA= c 量算:e M A n c
返回
性质1： e A ) VcA e 性质 ： Vc(k +lB =k e +lVcB 定理5： 定理 ：设 A C × , X∈ n r,B C× , 则 ∈ mn C× ∈ r s
T Vc(A B =(B ⊗ ) e e X) AVcX
=λµ (x ⊗yj) i j i
返回
(A B(x ⊗yj)=A i ⊗ yj =λ x ⊗ j yj x B ⊗ ) i i i µ
定义2 阶矩阵 阶矩阵A与 阶矩阵 阶矩阵B的 定义 m阶矩阵 与n阶矩阵 的Kronecker 和：
A k B=A E +E ⊗ ⊕ ⊗ n m B 定 4: 设i(i =1 ,Lm为 ∈ mm x (i =1 ,Lm λ ,2 , ) A C × , i ,2 , ) 理
= ( P ⊗ Q )−1 ( J1 ⊗ J 2 )( P ⊗ Q ) ⇒
p p m p
= ( ∏ λ1 µ j )( ∏ λ2 µ j )L ( ∏ λm µ j ) = ( ∏ λi ) ( ∏ µ j )
p j =1 j =1 j =1 i =1 j =1
p
m
∴ det( A ⊗ B ) = (det A) p (det B )m