曲线型图形五大解法

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求曲线方程的常用方法

于是，
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法二：（代入法）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（）,根据中点坐标公式得，因为N在圆上，所以
（x≠0），
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法三：（参数法）设P点坐标为（x，y），直线ON的方程为：y=kx，
由消去y得：(1+k2)x2-4x=0，
参数法是借助中间变量，间接得到x、y关系的方法。在预先无法判断曲线的类型，又不容易直接找到x、y关系的情况下，就必须使用参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。
本课通过对一个题目的多种解法，复习求曲线方程的常用方法，并通过一题多变，让学生体验各种方法的适用条件。学会具体问题具体分析，培养学生发散思维能力和创新能力。
的几种形式，圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程等。使用公式法的前提是：知道曲线的类型。有时并不告诉曲线的类型，但是根据定义能够判断出曲线的类型，再利用公式（有些书上称为定义法）。在使用公式时，有时可以一一求出公式中的系数，再代入公式。有时则要带着系数运算，直到最后求出系数（这就是所谓的待定系数法）。
因为PC⊥PO，所以|OP|=|OC| =2 ，于是，，P点轨迹的参数方程为
，消去参数得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法九：（参数法——点差法）设P点坐标为（x，y），直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则
，，两式作差得
注意到x1+x2=2x，y1+y2=2y，，代入整理得：
变化一：（变化圆心和转动点）

(完整版)求曲线方程的六种常用方法

(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。

这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。

方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。

它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。

方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。

它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。

方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。

它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。

通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。

方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。

利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。

方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。

拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。

方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。

它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。

通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。

选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。

结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。

通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。

希望这些方法能够对你有所帮助。

求图形方程的六种常用方法

求图形方程的六种常用方法
1.代入法
这是一种简单直接的方法，适用于已知图形的点坐标。

我们可
以根据具体的点坐标，代入到图形方程中求解未知数。

2.相交法
当两个图形相交时，我们可以通过求解它们的方程组来得到交
点的坐标。

这种方法适用于两个线性方程或多项式方程的相交情况。

3.平移和旋转法
有时候，我们可以通过对图形进行平移或旋转来简化方程的求
解过程。

通过找到适当的平移向量或旋转角度，我们可以将图形方
程转化为更简单的形式。

4.迭代法
对于某些复杂的图形方程，我们可以使用迭代的方法逐步逼近解。

通过设置初值，并不断逼近方程的解，我们可以找到近似的解。

5.几何方法
几何方法主要利用几何图形的性质来求解方程。

例如，通过利
用图形的对称性、中心点、切线等特点，我们可以推导出方程的解。

6.数值解法
当图形方程无法用解析方法求解时，我们可以采用数值解法来
得到近似的解。

数值解法通过逐步逼近求解方程，在计算机上进行
迭代运算，得到方程的数值解。

以上是六种常用的求图形方程的方法。

根据具体情况，我们可
以选择适合的方法来进行求解，并通过验证得出正确的结果。

曲线题解题技巧

图表曲线题解题技巧图表曲线题大多是以知识的获得过程为背景，或以知识的发现过程为背景来设计的，所获取的知识往往不是课本上现成的结论，有的还要求学生“现学现用”，这样的考查过程，实质上是在评价学生分析、归纳、推理的能力。

近几年的生物高考大纲相关能力要求部分均有：能用文字、图表等多种表达形式准确地描述生物学方面的内容。

读懂、读透图表、曲线等题中呈现的知识的过程也就是对知识再理解、再整合、再升华的过程。

针对不少学生看图、识表读图能力相对较差的特点，平时就得多加强这方面的评解和训练。

一．坐标曲线题坐标曲线题解题的一般思路和步骤：1．识图---关键是两看：一看纵横坐标所表示的生物学含义；二看曲线中的特殊点（起点、拐点、终点）和曲线的走势。

2．析图---图中为什么会出现特殊点，曲线为什么有这样的变化趋势和走向，分析曲线变化因果关系。

3．用图---通过联想、迁移等再现与图像曲线相关的知识点，生物学概念、原理、规律等。

例1．将盛有一定浓度蔗糖溶液的透析袋口扎紧后浸于蒸馏水中，下图表示透析袋中蔗糖溶液浓度与时间的关系，正确的是（）命题意图：本题考查的知识点是渗透作用的原理。

解析：渗透作用产生的2个必备条件是：一是具有半透膜；二是半透膜两侧溶液具有浓度差。

水分子能透过半透膜，从低浓度向高浓度扩散。

将盛有一定浓度的蔗糖溶液的透析袋放在蒸馏水中后，蒸馏水将不断向透析袋中扩散，蔗糖溶液浓度不断下降，但受到透析袋容积的限制，到一定时间后，水分子进出达到动态平衡，此时蔗糖溶液浓度下降到一定程度便保持相对稳定。

答案：B例2．下列各图中不正确的是（）命题意图：本题考查的知识点是杂合体连续自交后纯合体的比例、酵母菌呼吸作用产生的二氧化碳浓度、卵裂时细胞的体积、细胞有丝分裂中DNA的含量等方面的变化情况及识图分析的能力。

解析：据图分析可知，杂合体连续自交后产生的杂合子的比例为（1/2）n，自交次数无限增多时，则杂合体比例接近于0，而纯合体的比例接近于1，A项正确；卵裂时细胞进行有丝分裂，在卵裂期囊胚的总体积基本保持不变，但分裂产生的每个新细胞的体积是越来越小，C项正确；细胞有丝分裂过程中，间期DNA分子复制加倍，分裂期的前中后期中DNA的含量也是正常体细胞的2倍，末期复制的DNA分子随染色体平均分配到两个子细胞中，DNA含量恢复正常，D 选项正确；酵母菌的代谢类型是兼性厌氧型，在无氧条件下可进行无氧呼吸产生二氧化碳和酒精，在有氧条件下可进行有氧呼吸产生水和二氧化碳，因此，B选项错误。

曲线方程的几种常用解法

４・－－４－－－一，＊＋－一ｔ＊－ｑ－
４－＋
・＋
－
一
～
…
＋＿＋－＋
－・¨ ￣－
－＋ —一
－＋－４－卜－ —一－－
浅谈新课改下小学语文教学中学生主休作用的发挥
王静亚
新的语文课程标准强调指出，文课语
ｒ———— ————一
消去。，得
由两点间的距离公式，得
ｒ——— ——————一ｒ———— ————
Ｖ（ａｘ＋
・Ｖ（
＝（）・Ｖ：
三、数法参当动点Ｐ中的坐标，间的关系不Ｙ之
２ｘ２ｙａ一：Ｏ ≠ ）ａ＋ｂ— ２ｂ＝（。
例３过定点Ａ（，）．ｏ任作互相垂直的两ｂ
．
．
所求ＭＮ的中点Ｐ的轨迹方程为
如本例中建立的直角坐标系，算量不大，条直线ｌ与２运２６ — ６１，：，且Ｚ与轴交于Ｍ点，与２仳＋ｙ一＝０。。Ｚ
一
．
ｚ．的斜率为一。，：ｚ上！
１
足的关系式，化简整理，并即得所求方程。例２已知点Ａ（，）直线ｆＺ＋ｙ．１３和：ｘ３＝
・．．
பைடு நூலகம்
ｚ的方程为ｙｂｋ（— ）。－＝。ｏ，
① ②
人。那么，在语文教学中应如何发挥学生这对要适应未来社会的发展的学生而言，题或作出怎样令人匪夷所思的回答，只要

求曲线方程的六种常用方法

求曲线方程的六种常用方法本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是：1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相对应的基本解析式。

基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。

2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。

例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值代入方程，然后解方程组得到系数的值。

3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。

比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2和 y^2 的函数。

4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。

切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。

5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。

参数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x =at^2，y = 2at。

6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近曲线的方程。

具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。

综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及通过描点法。

在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和已知条件。

希望本文对您求解曲线方程有所帮助。

注意：本文介绍的方法仅供参考，具体问题具体分析，使用时需根据实际情况做出决策，谨慎使用。

求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。

求曲线方程的六种常用方法

求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。

通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。

这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。

2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。

通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。

例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。

3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。

例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。

4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。

通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。

例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。

5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。

数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。

6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。

通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。

这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。

以上是求曲线方程的六种常用方法。

根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。

讲座图表曲线类题目的解题技巧

【解析】本题以红豆杉种群密度的调查为背景，考查学生绘制柱状图的能力。解题步骤为：第一步，先将数据如下处理；
等级
a级
b级
c级
d级
e级
数量（株） 120
62
32
16
6
第二步，建立平面直角坐标系。并用长方条表示各级数量多少。第三步，注明纵坐标：株高数量（株）；横坐标：高度等级， a级、b级等。
①因果关系：同一个坐标系中（或不同坐标系间）曲
线间的变化，有因果关系。即一个曲线的变化影响着另一曲线的变化。
解题技巧：一理二析法
&具体操作：
“二析”: ②并列关系：同一个坐标系中（或不同坐标系间）曲线的变化，无因果关系，是各自独立的。第二步：对曲线进行分析。第三步：得出结论。
【例2】甲、乙两图分别表示大草履虫和双小核草履虫单独培养（甲）和混合培养（乙）时种群的增长速率。从下图所示的结果可以推断乙
1
【解析】本题以大麦幼苗对矿质元素的吸收
2
为载体，考查学生绘制曲线图的能力。
解题方法为：
3
建立坐标系，标注两轴的含义并注明单位；
4
标出0、10、20、30、40、50、60、70
点相应的纵坐标点；
5
以能穿过最多点的直线或光滑的曲线连结各
6
在图下标出“大麦根尖各区域32P累积量”
点；
文字。
答案：大麦根尖区域32P的累积量
光照后的重量变化（mg）*
+3.5
+3
+2.5
+2
*均与暗处理前的重量进行比较，“-”表示减少的重量值，“+”表示增加的重量值
则在哪一温度条件下每小时叶片光合作用产生的氧气量最多

生物坐标曲线图解题方法

2011高中生物曲线图形类型（1）一．常见单曲线类型：1．升降曲线：曲线递变规律：在一定范围内，纵坐标变量随着横坐标变量的增大而增大，超过某一值时，纵坐标变量随着横坐标变量的增大而减小。

该变化趋势可以表示：（1）温度或PH值对酶活性的影响；（2）生长素浓度与植物生长的关系；（3）温度对呼吸强度、光合强度的影响；（4）叶中可被再利用的矿质元素含量与叶龄的关系；（5）叶片中叶绿素的含量与叶龄的关系；（6）绿色植物体内干物质积累量与叶面积指数；（7）根吸收矿质离子与温度的关系；（8）质壁分离及复原的细胞中细胞液浓度与时间的关系；（9）种群增长率与时间的关系；（10）微生物的生长曲线等。

2．升平曲线：曲线递变规律：在一定范围内，纵坐标变量随着横坐标变量的增大而增大，超过某一值时，纵坐标变量随着横坐标变量的增大而趋于稳定。

如：（1）酶促反应速率与底物浓度（酶量一定）的关系；（2）O2浓度与有氧呼吸速率、ATP产生速率的的关系；（3）O2浓度与矿质离子的吸收速率的关系；（4）光合作用强度与CO2浓度、光照强度、矿质元素、水分的关系；（5）质壁分离后进行复原的细胞重量与时间的关系；（6）叶中不可被再利用的矿质元素含量与叶龄的关系；（7）杂合子自交后代中纯合子所占比例；（8）自然状态下种群密度与时间的关系等。

3．降曲线：曲线递变规律：在一定范围内，纵坐标变量随着横坐标变量的增大而减小。

如：（1）O2浓度与乳酸菌无氧呼吸强度的关系（O2存在时发酵作用受抑制）；（2）发生质壁分离的细胞重量与时间的关系；（3）发生渗透作用失水的细胞重量与时间的关系；（4）杂合子自交后代中杂合子所占比例；（5）生态系统恢复力稳定性与营养结构的复杂程度的关系；（6）恒温动物耗氧量与环境温度的关系等。

4．升曲线：曲线递变规律：在一定范围内，纵坐标变量随着横坐标变量的增大而增加。

如：（1）卵裂中DNA总量与时间的关系；（2）理想状态下种群密度与时间的关系；（3）生态系统抵抗力稳定性与营养结构的复杂程度的关系；（4）变温动物耗氧量与环境温度的关系等。

曲线方程求解方法

曲线方程求解方法
曲线方程求解方法：
1. 极坐标方法：这种方法通过将曲线变换为极坐标方程的形式来求解，在极坐标系中得到定义域和值域的解，继而获得曲线的参数方程和极
坐标方程。

2. 直角坐标方法：这种方法也称为田字型法，它通常用于定位曲线的
拐点及其位置。

具体做法是把曲线裁切成许多小直角矩形，根据曲线
的函数给出的上限和下限，找出它们之间的关系，继而得到曲线方程。

3. 导数方程求解方法：这个方法假设曲线是一种连续函数，以其函数
的连续导数为方程解决，可以解决许多曲线方程求解问题。

4. 霍夫曼变换：霍夫曼变换是一种数学技术，它将一个曲线转换为一
组简单的代数形式的双曲线方程，并可利用这些形式解决曲线方程求
解问题。

5. 幂级数：这种方法使用高次幂级数，用来描述曲线的形状，它可以
有效的解决曲线的复杂曲线方程，并为曲线的拐角和平整度等提供参考。

6. 四边形算法：它使用一种正方形矩形的分割，把曲线分成更小的子
曲线，然后再逐一求解每个子曲线，最后综合各子曲线把整个曲线构
造出来。

7. 马太效应：马太效应是把一个曲线的一部分按一定的定理进行移动，使曲线的某个部分变为定值或等向量，经过移动后的曲线方程和源曲
线方程是等价的，这种方法可以用来解决一些比较复杂的曲线方程。

8. 牛顿迭代法：它是一种求解非线性方程的方法，它可以通过迭代搜
索来求解非线性方程，特别对于曲线方程，可以从参数空间中搜索出
最接近曲线的方程。

(完整版)求曲线解析式的六种常用方法

(完整版)求曲线解析式的六种常用方法
求曲线解析式的六种常用方法
在数学和物理学中，曲线的解析式是描述曲线形状和特征的数
学表达式。

求解曲线的解析式是数学和工程等领域的基础工作之一。

以下是六种常用的方法来求解曲线的解析式：
1.坐标点法
这是最直接的方法之一，通过已知曲线上的若干个坐标点，可
以构建方程来求解曲线的解析式。

通过选择足够多的坐标点来确保
计算的准确性。

2.平移法
平移法基于对已知曲线进行平移变换，通过确定平移后的曲线
上的若干个坐标点来求解解析式。

这种方法常用于对已知曲线进行
微小调整的情况下。

3.逼近法
逼近法通过将曲线近似为一系列线段或曲线段来求解解析式。

常用的逼近方法有线性逼近、多项式逼近和样条逼近等。

4.最小二乘法
最小二乘法通过将已知曲线上的观测值与拟合曲线上的对应点之间的残差最小化来求解解析式。

这种方法适用于曲线上存在较多的观测值的情况。

5.插值法
插值法通过对已知曲线上的若干个点进行插值来求解解析式。

常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

6.数值优化算法
数值优化算法通过利用数值计算的方法来求解曲线的解析式。

常用的数值优化算法有遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。

以上是求解曲线解析式的六种常用方法，每种方法都有其适用的场景和具体实施步骤。

根据具体情况，选择合适的方法来求解曲线的解析式将能够提高工作效率和准确性。

注意：以上内容仅供参考，实际应用中请根据具体情况进行判断和决策。

(整理版)破解抛物线问题“五法”

破解抛物线问题“五法〞1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线，解题中活用它的定义，常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程. 解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=-4的距离相等〞.由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0)为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线. 显然,8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y = 2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题. 例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，那么OA 与OB 的数量积为〔〕 A.43 B.43- C.3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB 为抛物线的通径(如图1). 由于焦点F 的坐标为)0,21(，那么A )1,21(-B )1,21(，于是OA . OB=)1,21(- .)1,21(=.43141-=- 可知，答案B 正确3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下，假设恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．假设能根据题目的特点，采用相应的设法，那么可到达避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点，焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的弦长为解：设抛物线的方程为2y ax =〔0a ≠，那么有21y ax y x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10x a x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上假设干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到假设干个方程，将这假设干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x 22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解析：设斜率为2的平行弦〔动弦〕的两个端点A 、B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，中点M 的坐标为),(y x . 那么2221212,2y x y x -=-=.两式整体相减得，()()()2121212y y x x x x --=-+. 显然,21x x ≠ ∴2121212x x y y x x --⋅-=+. 而,2,2212121x x x x x y y =+=--∴42-=x , .02=+x 联立y x 22-=与02=+x 解得，.2-=y 因此抛物线y x 22-=中斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程是)2(02-<=+y x .5、向量法由于平面向量在直角坐标系下可以用坐标表示，这就为用向量法处理抛物线问题提供了可能性. 对于某些抛物线问题，假设能活用平面向量知识求解，往往十分简捷, 给人以耳目一新之感.例5 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)是抛物线x 2=2py(p ＞0)上的两点，且OA ⊥OB(O 为原点). 求证：x 1x 2=－4p 2，y 1y 2 = 4p 2.证明：如图2，∵x 12= 2py 1, x 22= 2py 2,∴y 1= px 221, y 2= p x 222. o ∴OA=(x 1,y 1)=(x 1, px 221), OB=(x 2, y 2)=(x 2, p x 222). (图2) ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB=0，即 x 1x 2+241p(x 1x 2)2=0, 而x 1x 2≠0， ∴x 1x 2= －4p 2. 进而y 1y 2=241p (x 1x 2)2=4p 2. 以上介绍了破解抛物线问题的五种方法. 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法, 有时候还需要几种方法融为一体, 共同发挥作用.。

专题讲座之曲线题的基本解法(课件)

是 A为有籽果实, D为无籽果实。
例题２：
让一健康人和一糖尿病患者于空腹时同时口服葡萄糖，服用量按每人每 1千克体重1克计算。随后每隔一段时间，测定各人的血糖浓度和血液中的胰岛素浓度。
（1）两人血液浓度变化如右图，其中表
示糖尿病患者的曲线是 B 。
（液2中）胰下岛列素甲浓—度丁变4种化曲的线是图中丙能正确。反映二人血
(溶质为小分子或离子)
曲线走势：在某范围内纵坐标变量随横坐
标变量增加而不断减少，超过某个值纵坐标随横坐标变量增加而不断增加。
图例6：
相关变量：
DNA含量――前、中、后期
曲线走势：在某范围内纵坐标变量随横
坐标变量增加而ห้องสมุดไป่ตู้变
图例比较:
１.１.2 解题思路
(1) 认真审题: 明确解题要求，弄清横坐标纵坐标所表示的变量，注意观察曲线的起点、最高点、最低点、曲线的走势等。
图例3：
曲线走势：
在某范围内纵坐标变量随横坐标变量增加而不断减少。
相关变量：
1. 液泡体积――溶液浓度 (溶质为大分子)
2. 杂合子数量――杂合体自交代数
3. 无氧呼吸―――氧浓度 4. 可再利用元素―――叶龄 5. 恒温动物耗氧量――温度
图例4：
曲线走势：
在某范围内纵坐标变量随横坐标变量增加而不断增加，超过某个值时纵坐标变量随横坐标变量增加而趋于平缓。
授粉, 但未受精不形成种子或授粉并形成种子后, （2）B 种子损坏, 不能产生生长素, 因而果实不能发育；
未授粉, 不产生种子, 因缺乏生长素,
（3）C 子房不发育
；
未授粉, 但人工涂抹适宜浓度的生长
（4）D 素促使子房发育成无籽果实

曲线型图形五大解法

2013-9-17
割补法再一次表演！
例4. 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
2013-9-17
割补法最后震撼全场！掌声！！！
例5. 如图15-7，在3×3的方格表中，分别以A、E为圆心， 3、2为半径，画出圆心角都是90°的两段圆弧．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
2013-9-17Βιβλιοθήκη 小朋友们，这节课程非常有趣！
小朋友们，通过这堂课程的学习，我们明白了“没有绝对的完美”！当我们和同学相处的时候，首先应该看到对方身上的优点，学会去赞美对方；当我们看到对方身上缺点的时候，这时我们不要随便去否认一个人，而是要尝试着去包容对方，并且去帮助对方！“割补法”正好完美的诠释了这一为人处事的道理！最后，送给小朋友们一句话：弱者永不宽恕，宽恕是强者的特性。 The weak can never forgive. Forgiveness is the attribute of the strong。
2013-9-17
曲线型图形五大解法（一）
优☆100数学大讲堂刘老师 2013-6-5
这节课程的重点
1、熟练掌握圆、扇形的面积和周长公式。 2、认识两位好朋友（叶形和鱼尾形）！ 3、熟练掌握平移法、旋转法、割补法、和差法、等积变换法！ 4、重点感悟割补法告诉我们做人做事的道理！
2013-9-17
呵呵，平移法将要发挥啦！
例1. 如图15-3，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，π取3.14）
2013-9-17
割补法和平移法再次闪亮登场！
例2. 如图15-4，求各图中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，π取3.14）
2013-9-17

曲线解题方法

解答曲线类试题一般按照“三步走”的方法。（1）第一步，解读题干文字信息，准确把握题意。结合文字背景，明确曲线呈现的原因，以及曲线表达的主旨。（2）第二步，将曲线信息转化为文字信息，复合型曲线可以拆分为单曲线，明确曲线表达的经济信息。（3）第三步，对比文字信息、曲线信息和题肢选项，找出正确答案。

做经济生活的曲线图题首先要确定横轴和纵轴各代表什么，然后根据所学知识确定是正比还是反
比曲线，如果是由自身价格引起的变化是一条曲线，如果是由其他因素导致的变化是两条曲线。
箭头向外表示增加，箭头向内表示减少。具体解法是“审清题意、变成文字，采用排除法” 。
正确区分需求曲线与供给曲线图像上的点移动与线移动：点移动表示需求曲线和供给曲线不变，由于价格的变动而引起需求或供给数量的变化，在图像上表现为曲线不动，曲线上的点在动。图像上是点移动时，表明商品价格本身变动；线移动表示由于其他因素的变化而引起的需求或供给量的变化，在图像上表现为曲线的平移，这种情况表明商品价格本身不变动。

求曲线方程的几种常见方法

求曲线方程的几种常见方法求曲线方程的几种常见方法2011-04-20 13:59 来源：文字大小：【大】【中】【小】解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M 的轨迹．解析以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B 之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q （），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q 的轨迹方程．解析直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3）-1﹤﹤0时，轨迹方程为，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）．2．3．4．设切点N的坐标为（cos,sin）,则切线CD的方程为，求出点C、D的坐标，进而写出直线BD、AC的方程，消去即可．点P的轨迹为椭圆：除去A、B两点的部分．5．（用向量法和参数法）．6．7．。

曲线求法集合

解析几何在中学数学中既是重点，又是难点，每年高考所占分值较大，综合性强，学生理解和运用时困难较大，特别是对基础较差的学生来说困难更大。

而求曲线的方程又是解析几何最基本、最重要的问题之一，它把基础知识、方法技巧、逻辑思维融于一体，是历届中高考考查的热点。

曲线方程求法较多，常见的方法有五步法（直接法）、待定系数法、相关点法、参数法、交轨法。

因此，应针对题目特点 , 因题采用适当的方法 , 才能兴味无穷，事半功倍,收到良好的效果。

由于求曲线的方程常要用到代数、平面几何、三角函数等基础知识 ,需要具备一定的分析综合能力 ,因此,对培养学生综合分析问题的能力 ,以及应用数学知识解决问题的能力有很大的帮助。

待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。

用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。

待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

若已知曲线的名称，则可以直接用待定系数法求曲线的方程若曲线名称未知，但能根据已知条件判定曲线名称，则可先判定名称，再用待定系数法求曲线方程条件直译法步骤：直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

若曲线名称未知且不易或不能判定其名称，则可采用求曲线方程的一般方法求曲线方程二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。