第二章_逻辑代数及其应用(1)

12
逻辑代数 运算顺序?
先括号 “或”。
“非”
“与”
为书写方便，括号和运算符号可按下述规则省略: (1) 对一组变量进行非运算时，可以不加括号。如 （A＋B）可写成A＋B. (2) 乘积项中的•可以省略。如A•B可写成AB.
2019/1/28 14
2.2 代入定理及其应用
任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有 出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此 等式依然成立。 例如： AB ＝A＋B，若用BC替代等式中的B，则得
反映输入和输出波形变 输入变量不同取值组合与函 二、逻辑函数的表示方法 化的图形又叫时序图 数值间的对应关系列成表格 用逻辑符号来表示 函数式的运算关系 真值表 逻辑函数式 逻辑图 波形图 卡诺图 HDL 2019/1/28
16
C例：举重裁判电路 C 合， 合， AA 、 、 BB 均断， 中有 一个合， F灭 F亮 C开，F灭
第二章
2.1 概述
逻辑代数基础
2.1.1 逻辑代数中的三种基本运算 2.1.2 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.2 代入定理及其应用
2.3 逻辑函数及其表示方法 2.4 逻辑函数的公式化简法 2.5 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6 具有无关项的逻辑函数及其化简
2019/1/28 1
2.1.1 逻辑代数中的三种基本运算
2019/1/28 9
基本公式
序号 （1a） （2a） 公 式 序号 （1b） （2b）
证明方法：真值表
• 根据与、或、非的定义，得表2.1.4的逻辑代数的基本公式
公 式 0 A = 0 1A= A 1 + A= 1 0 +A=A
（3a）
（4a） （5a） （6a） （7a）
（8a）
（9）
AA=A A A′= 0 AB=BA A (B C) = (A B) C A (B +C) = A B + A C (A B) ′ = A′ + B′ (A ′) ′ = A
一、逻辑代数、逻辑变量
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻 辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用 字母表示变量，但逻辑变量的取值只有“0”，“1” 两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。这里“0” 和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互 对立的逻辑状态。 逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是
数量关系。这是它与普通代数的本质区别。
2019/1/28 2
二、三种基本逻辑运算
1. “与”逻辑运算
A
~220V
B
真值表
A
Y 0 0 1 1
B
0 1 0 1
Y
0 0 0 1
逻辑表达式：
Y=A•
B “与”逻辑关系是指当决定某事件的条件全部
具备时，该事件才发生。 设：开关断开、灯不亮用逻辑 “0”表示，开关 闭合、灯亮用 逻辑“1”表示。
• 实质：将逻辑函数式的最小项之和形式以图形的方式 表示出来。
2019/1/28
24
• 二变量卡诺图
表示最小项的卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图Biblioteka 2019/1/2825
• 二变量卡诺图
表示最小项的卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
2019/1/28
26
• 二变量卡诺图
表示最小项的卡诺图
AB是三变量函数的最小项吗？ 推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
ABBC 因此是三变量函数的最小项吗？ N个变量共有2N个最小项。
2019/1/28 18
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
三变量的卡诺图
• 四变量的卡诺图
2019/1/28
27
正确认识卡诺图的 “逻辑相邻”：上下相 邻，左右相邻，并呈现 “循环相邻”的特性， 它类似于一个封闭的球 面，如同展开了的世界 地图一样。 对角线上不相邻。
以2 个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将 它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在 逻辑上也是相邻的（即只有一个变量不同），就得到了 表示n变量全部最小项的卡诺图。
Y2 AC D A( B B )C D ABC D ABC D m (9,13)
2019/1/28
Y3 ABCD m7
31
思考
• 如果由真值表和一般逻辑函数表达式如 何画出卡诺图？
2019/1/28
32
用卡诺图表示逻辑函数
例：
Y ( A, B, C, D) m(0,1,4,8,10,12,15)
A
“非”逻辑关系是指条件具备，结果就不
发生；而条件不具备，结果就一定发生。
2019/1/28 5
三、与、或、非的图形符号
2019/1/28
6
四、复合逻辑的图形符号和运算符号
2019/1/28
7
2.1.2 逻辑代数的基本公式和导出公式
2.1.2.1 基本公式
1. A 0 0 2. A 1 A 3. A A A 4. A A 0
真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 0 1 0 1
断“0”
合“1” 亮“1” 灭“0”
逻辑函数式
挑出函数值为1的项 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项 F= ABC+ABC+ABC 这些乘积项作逻辑加
结合律
普通代数 不适用！
7. A ( B C ) A B A C 17. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) 分配律 证: ( A B ) ( A C ) . A A=A A A A C B A B C A A(C B ) BC A+1=1 A(1 C B ) BC A BC
A 1 1 0 0 B 1 0 1 0
列状态表证明：
A B
0 0 1 1 0 1 0 1
2019/1/28
A B
1 0 0 0
A B
1 0 0 0
A B A B
1 1 1 0 1 1 1 0
11
常用的导出公式
序号 （11a） （12a） （13a） （14a） 公 式 序号 （11b） （12b） （13b） （14b）
A
A BC
B
BC
C
2019/1/28
36
由逻辑图写出逻辑式
例：
A B
B A
34
三、各种表示方法间的互相转换
1、由真值表写出逻辑式
由逻辑式列真值表
例： Y AB A B
A B
0 0 1 1 0 1 0 1
A
1 1 0 0
B
1 0 1 0
AB
0 1 0 0
A B
0 0 1 0
Y
0 1 1 0
35
2019/1/28
2、由逻辑式画逻辑图 例：
Y A BC ABC C
例 已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。
0 0
0 0
0
0 0
1
ABCD=0111 ACD=101 最后将剩 30 下的填0
AB＝11
1 1 +1 1
0
1
0
1
0
2019/1/28
例 已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。
Y1 AB AB (C C )( D D) AB C D AB C D ABC D ABCD m (12,13,14,15)
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
2019/1/28 22
逻辑图
F ( A B) C
乘积项用与门实现， 和项用或门实现
F
波形图
2019/1/28
23
用卡诺图描述逻辑函数
1. 最小项的卡诺图表示法
5. A B B A
11. A 1 1 12. A 0 A 13. A A A 14. A A 1
变量与常量(01律)
重叠律 互补律 15. A B B A 交换律 还原律
9. A A 10. 1 0
2019/1/28
0 1
8
6. ( A B ) C A ( B C ) 16. ( A B ) C A ( B C )
2019/1/28
3
2. “或”逻辑运算 A B ~220V
真值表
A
Y 0 0 1 1
B
0 1 0 1
Y
0 1 1 1
逻辑表达式：
Y= A + B
“或”逻辑关系是指当决定某事件的条件之 一具备时，该事件就发生。
2019/1/28 4
3. “非”逻辑运算
真值表
R
~220V A
A
Y 0 1
Y
1 0
逻辑表达式：Y =
2019/1/28
33
用硬件描述语言描述逻辑函数
• EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit …) Verilog HDL 典型：VHDL和VerilogHDL
2019/1/28