1.3.1单调的最大(小)值

b - ， - 在 2a
在(o y x x
∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
b , 在 2a
o
y o
o
y o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
增函数 b x 在 - - ， 2a 减函数
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
k 例2、物理学中的玻意耳定律 p V (k为正常数 ) 告诉
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值 (0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 V2 V1 k k 作差 p(V1 ) p(V2 ) k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
思考？
思考：画出反比例函数的图象．
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你 的结论．
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
1.3.1
单调性与最大（小）值
第一课时
函数单调性的概念
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
x2
x
思考:我们把具有上述特点的函数称为减函数， 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x1,x2，若当x1 < x2时，都有f(x1) >f(x2)则称函数f(x)在区间D上是减函数.
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
又k>0,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0
定号
即
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
k 所以，函数 p V , V (0,)是减函数.
p(V2 ) p(V1 )
结论
三．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
f(x) = -x
y
f(x) = x2(x<0)
y
o
x
o
x
二者有何共同特征？
思考： 如图为函数f(X)在定义域I内某 个区间D上的图象，对于该区间 上任意两个自变量x1和x2，当 x1<x2 时，f(x1) 与f(x2)的大小 关系如何？
y
y=f(x)
y f ( x)
f(x2)
f(x1)
o
x1
注意：
1 、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质，是函数的局部性质； 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.
y
o y x x
y
在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
2 2
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1O
x
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f (x1 )
O
x1
x
思考： 如图为函数f(X)在定义域I内某 个区间D上的图象，对于该区间 上任意两个自变量x1和x2，当 x1<x2 时，f(x1) 与f(x2)的大小 关系如何？
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 且x1<x2，则 1 1 x2 x1 f(x1)- f(x2)= x1 x2 x1 x2 由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2 得x2-x1>0 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2) 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
问题：
思考
（ 1 ）对于某函数，若在区间 (0 ， +∞) 上， 当x＝1时， y＝1；当 x＝2时，y＝3 ，能否 说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
y
3 1
0
1
2
x
（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞) 上，y 随x 的增大而增大呢？
y
0 1 2 3 4
1
2
3
t
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?
∞,+∞) 上，随着x的增大，f(x)的值随 2、在区间 (________ 着 ______ 增大 ．
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(xபைடு நூலகம் = x2
图象在y轴右侧” 上升“
∞,0]上， f(x) 的值随着 x 的增大而 1 、在区间 (____ 减小 ． ______ 2、 在区间 (0,+∞) _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 增大 ． _____
x f(x)=x2
… …
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
… …
在区间0， 上任取两个x1 , x2，得到f ( x1 ) x12 , 们就说函数f ( x) x 在区间0， 上是增函数.
2
f ( x2 ) x ，当x1 x2时，有f ( x1 ) f ( x2 )，这时我
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是减函数 ．
二．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
取值
作差 变形
定号
判断
归纳小结:
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
作业:
P23 习题1.3 A组 1、2题
x
（3）若有n个正数x1< x2<x3<· · · · · · < xn，它 们的函数值满足: y1< y2<y3<· · · · · · < yn．能 否就说在区间(0，+∞) 上y随着x的增大， 若x取无数个呢? 而增大呢？
y
yn
y3 y2 y1 0 x1 x2 x3 xn
x
思考 :一般地，若函数 f ( x) 在区间A、B上是 单调函数，那么 f ( x) 在区间 A B上是单调函 数吗？
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
o
x1
x2
x
思考:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x1,x2，若当x1 < x2时，都有f(x1) <f(x2)则称函数f(x)在区间D上是增函数.
考察下列两个函数:
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势？通过这个 60 试验，你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？