2019中考数学专题08 一元二次方程试题(含解析)-精选资料

合集下载

2019年中考复习试题-九上数学一元二次方程(含解析答案)

一元二次方程一．选择题（共14小题）1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝22．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或163．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣64．一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48B．24C．24或40D．48或805．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34B．30C．30或34D．30或366．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1 8．若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2B．﹣2或2C．﹣2D．210．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m 的值为（）A．B．C．D．011．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣112．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠213．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．201914．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6B．5C．4D．3二．填空题（共7小题）15．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．16．a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是．17．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于．18．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是．19．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．20．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．21．对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则m2+n2＝．三．解答题（共6小题）22．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．25．已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．26．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A．3．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．4．【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为2＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．5．【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．6．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．8．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，∴k＝2．故选：D．10．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．12．【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴，解得：k≥且k≠2．故选：D．13．【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．14．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m＝2或3．∴2+3＝5．故选：B．二．填空题（共7小题）15．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．16．【解答】解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．17．【解答】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，则+c＝2，故答案为：2．18．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4+4m＞0，∴m＞﹣1；故答案为0；19．【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案为﹣3或4．20．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．21．【解答】解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6．故答案为：6．三．解答题（共6小题）22．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．23．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．24．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．25．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．26．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）k的最大整数为2，方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，∴m的值为．27．【解答】解：（1）由题意△≥0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1．。

专题08 一元二次方程(4大考点)2022-2024年中考数学真题分类汇编

专题08 一元二次方程（4大考点）【考点归纳】一、考点01 解一元二次方程-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02 一元二次方程根的判别式------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03 根与系数的关系-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3四、考点04 一元二次方程的实际应用------------------------------------------------------------------------------------------------------4考点01 解一元二次方程一、考点01 解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02 一元二次方程根的判别式二、考点02 一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c = ．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03 根与系数的关系三、考点03 根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12c x x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04 一元二次方程的实际应用四、考点04 一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m，则小路的宽是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x-+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为2S．cm(1)求y与,x s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m ？如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下a，当a为何值时，2025降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．专题08 一元二次方程（4大考点）（解析版）【考点归纳】一、考点01 解一元二次方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02 一元二次方程根的判别式----------------------------------------------------------------------------------------------5三、考点03 根与系数的关系--------------------------------------------------------------------------------------------------------16四、考点04 一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------22考点01 解一元二次方程一、考点01 解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶ 220x x -=，∴()20x x -=，∴0x =或20x -=，∴12x =，20x =，故选∶B ．2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．12【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知20a +≠；一根是0，代入()22240a x x a +++-=可得240a -=，即可求答案．【详解】解：()22240a x x a +++-=是关于x 的一元二次方程，20a ∴+≠，即2a ≠-①由一个根0x =，代入()22240a x x a +++-=，可得240a -=，解之得2a =±；②由①②得2a =；故选A3．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．把1x =代入一元二次方程得到130++=m ，求解即可得出m 的值．【详解】解：把1x =代入方程230x mx +=+得：130++=m ，解得：4m =-．故选：B ．4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．6．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或1【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当10m +>时和当10+<m ，根据一次函数性质列出关于m 的一元二次方程，求解即可得出答案．【详解】解：当10m +>即1m >-时，一次函数y 随x 的增大而增大，∴当5x =时，6y =，即25(1)16m m +++=，整理得：250m m +=解得：0m =或5m =-（舍去）当10+<m 即1m <-时，一次函数y 随x 的增大而减小，∴当2x =时，6y =，即22(1)16m m +++=，整理得：2230m m +-=解得：3m =-或1m =（舍去）综上，0m =或3m =-，故选：A8．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将2y x =代入22330x y x -+-=，转化为解一元二次方程，20y x =≥，要进行舍解．【详解】解：∵20y x -=，∴2y x =，将2y x =代入22330x y x -+-=得，2330x x x -+-=，即：2230x x --=，()()310x x -+=，∴3x =或=1x -，∵20y x =≥，∴=1x -舍，∴3x =，故答案为：3．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．【答案】11x =，25x =【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2650x x -+=，()()150x x --=，10x -=或50x -=，11x =，25x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．二、考点02 一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠【答案】D【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥，且0m ≠，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，440m -≥，且0m ≠，解得，1m £，且0m ≠.故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根，∴a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，解得：a ＞-1且a ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．16．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0∆>且10m +≠，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m ∆=--+>，解得：0m <，10m +≠ ，1m ∴≠-，m ∴的取值范围是：0m <且1m ≠-．故选：A ．17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x k ++-=无实数根，∴()Δ4410k =--<，解得：0k <，则函数y kx =的图象过二，四象限，18．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-⨯⨯-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=有两个相等的实数根，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．2690x x -+=20．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：223．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c = ．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．【答案】1k <【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据根的判别式的意义得到()2240k -->，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得()2240k ∆=-->，解得1k <．故答案为：1k <．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)11m =或22m =-．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=-x x m ，进行变形后代入即可求解．【详解】（1）证明：()()22Δ24118m m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-=+⎣⎦，∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵12,x x 是方程()2210x m x m -++-=的两个实数根，∴122x x m +=+，121⋅=-x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +-=+-=+--=，解得：11m =或22m =-．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)m 的值为1或2-【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵()()22Δ21410m m m ⎡⎤=-+-⨯+=>⎣⎦，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵()22210x m x m m -+++=的两个实数根为,a b ，∴221,a b m ab m m +=+=+．∵()()2220a b a b ++=，∴2224220a ab b ab +++=，22()20a b ab ++=．∴222(21)20m m m +++=．即220m m +-=．解得1m =或2m =-．∴m 的值为1或2-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．三、考点03 根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，∴2112022x x -=，122022x x =-，121x x =+321122022-+x x x ()()()2222211212121220222122022x x x x x x x x x =-+=+=+-=-⨯-4045=故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．34．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．【答案】(1)1k >(2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根”，则0∆>，得出关于k 的不等式求解即可；（2）根据5k <，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2，3，4，分别计算讨论整数k 的不同取值时，方程22210x kx k k -+-+=的两个实数根1x ，2x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即可．。

2019年中考数学专题复习8——一元二次方程(含答案级解析)

2019年中考数学专题复习8——一元二次方程（含答案级解析）一、选择题1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是A. B.C. D.2. 方程的解是A. B.C. ，D. ，3. 若方程是一元二次方程，则的值为A. B. C.4. 一元二次方程中的一次项系数为A. B. D.5. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为A. C. 或6. 若关于的方程有一个根为，则的值为A. D.7. 用配方法解方程，下列变形正确的是A. B. C. D.8. 一元二次方程的根的情况是A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值为A. C.10. 关于的一元二次方程有两个不等的整数根，那么的值是B. C. D.11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A. B.C. 且D. 且12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是A. B. ， C. ， D. ，，13. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是A. B.14. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为A. 或 C. D.15. 一元二次方程（，，，都是有理数）的求根公式是，通过研究我们知道：若方程的根是有理数根，则必是完全平方数，已知方程的根是有理数，则下列数中，可以取的是A. B.16. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解在和之间 B. 和之间C. 和之间D. 和之间17. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是A. B.C. D.18. 如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为平方米，则道路的宽应为多少米?设道路的宽为米，则可列方程为A.B.C.D.19. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为A. B.C. D.20. 用米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为平方米．若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为A. B.C. D.21. 三角形两边长分别为和，第三边是方程的根，则三角形的周长为A. B. C. D. 或22. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为A. B. C. D.二、填空题23. 为了增强学生体质，我市开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了场，则共有人进入半决赛．24. 波音公司生产某种型号飞机，7 月份的月产量为台，由于改进了生产技术，计划9 月份生产飞机台，那么 8、9 月飞机生产量平均每月的增长率是．25. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由元下降到元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为，则可列出关于的方程为．26. 某楼盘年房价为每平方米元，经过两年连续降价后年房价为元．设该楼盘这两年房价平均降低率为，根据题意可列方程为．27. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少 ?设通道的宽为，由题意列得方程．28. 方程的根为．29. 现定义运算“ ”，对于任意实数，，都有，如：，若，则实数的值是．30. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．31. 已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于且小于，则的取值范围是．32. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了次手，参加这次聚会的同学共有多少人?若参加聚会有名同学，可列方程．33. （）剪一块面积是的长方形铁片，使它的长比宽多，设这块铁片的宽为，根据题意所列方程是．（）一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，则这个直角三角形的三边长分别为．（）有一间长为、宽为的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的?若设所留宽度为，则可列方程：．34. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液35. 某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排天，每天安排场比赛，共有多少个队参加?设有个队参赛，则所列方程为．36. 某制药厂两年前生产吨某种药品的成本是万元，随着生产技术的进步，现在生产吨这种药品的成本为万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为．37. 若实数，满足，则．38. 关于的方程，有以下三个结论：①当时，方程只有一个实数解；②当时，方程有两个不等的实数解；③无论取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．39. 如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是．若矩形的面积为，则）．40. 如图，一个长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是，容积是的无盖长方体容器，那么这块铁皮的长为，宽为．三、解答题41. 小明遇到这样一个问题：已知．求证：．经过思考，小明的证明过程如下：，．．接下来，小明想：若把带入一元二次方程，恰好得到．这说明一元二次方程有根，且一个根是．所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：．根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：．求证：．请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．42. 解方程：．43. 解方程：．44. 如图，要利用一面墙（墙长为米）建羊圈，用米的围栏围成总面积为平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为多少米?45. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为非负整数，且该方程的根都是无理数，求的值．46. 已知关于的一元二次方程．（1）当为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（）的条件下，求方程的根．47. 某公司今年销售一种产品，月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，月份的利润比月份的利润增加万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．48. 解方程：49. 某家庭新购住房需要装修，如果甲、乙两个装饰公司合做，天可以完成，需付装修费万元；如果甲公司先做天，剩下的由乙公司来做，还需天完成，共需付装修费万元．若只选一个装饰公司来完成装修任务，应选择哪个装饰公司?试说明理由．50. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是万元，每月另需支付设备维护费万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达万元，3月份后，每月生产收入稳定在3 月份的水平．（1）求使用新设备后，2月、 3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润?（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）答案第一部分1. C2. D3. D4. C5. B6. A7. A8. C9. A10. A11. D12. A13. C14. B 【解析】把代入方程得：，解得：，是关于的一元二次方程，，即，的值是．15. D16. B17. B18. C19. B20. B21. A 【解析】解方程得：，．三角形两边之和大于第三边，所以第三边长为．22. C第二部分23.24.25.26.27.28. ，30.或32.33. ，，，，34.35.36.【解析】设这种药品的成本的年平均下降率为．由题意得解得答：这种药品的成本的年平均下降率为．37. 或【解析】令，原式可变性为．38. ①③【解析】当时，；当时，，，．39.【解析】设的长为．根据题意，得整理得解得所以．40. ，【解析】设宽为．依题意得．解得（舍）或．第三部分41. ，．．是一元二次方程的根．，．42. 原方程变为解得43. 由原方程，得所以解得44. 设的长度为，则的长度为米．根据题意，得解得因为，则．．即，．答：羊圈的边长、分别是米、米．45. （1）．因为方程有两个不相等的实数根，所以，即，解得．（2）因为，且为非负整数，所以或．①当时，原方程为，解得，，不符合题意．②当时，原方程为，解得，，符合题意．综上所述，．46. （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以．所以，即．又为非负整数，所以．（2）当时，原方程为，解得：，．47. 设这个增长率为，依题意得解得．答：这个增长率为．48.【解析】49. 解：设甲公司单独做天完成，乙公司单独做天完成．根据题意，得解之，得经检验，是原方程组的解，且符合题意．设甲公司单独完成装修工程需装修费万元，乙公司单独完成装修工程需装修费万元．则解之，得所以，甲公司完成装修工程需天，装修费万元；乙公司完成装修工程需天，装修费万元．从节约时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项装修任务．50. （1）设2月、 3月生产收入的月增长率为，根据题意有即解得所以2月、3月生产收入的月增长率为．（2）设使用新设备个月所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有解得所以使用新设备个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．第11页（共11 页）。

中考数学一元二次方程综合试题含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点. （1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣13．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】4．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．5．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）135x +=，2354x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得135x +=，235x -=. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.6．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.8．如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km ．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过15﹣15h 就会进入台风影响区；（3）215小时．【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，整理得到：t2﹣30t+210=0，解得t15由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(1515h就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；()2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。

专题08二次函数的图象与性质(讲)-2019年中考数学二轮复习

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）242a b a b c a b c ±±+±+、、的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定；当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定；简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负；对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。

专题08一元二次方程(含解析)讲解

专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳 2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。

2019编辑2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程和应用(含答案).doc

2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程及应用一、选择题1.（2019年山东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3【考点】解一元二次方程【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．2. （2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．3. （2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且+=-，则m等于（）A. B. C. 2 D. 3【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3；故选：B．4. （2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x－1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A ．－6B ．6C ．－3D ． 3 【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】试题分析：∵一元二次方程2x 2+6x －1=0的两个实根分别为x 1，x 2，由两根之和可得; ∴x 1+x 2=﹣26=3，故答案为：C ．5. （2019年河南省）一元二次方程（x +1）（x ﹣1）＝2x +3的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：原方程可化为：x 2﹣2x ﹣4＝0， ∴a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ．6. （2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．（用百分数表示）【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ， 20000（1+x ）2＝39200，解得，x 1＝0.4，x 2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．7. （2019年甘肃省）若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（） A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或0【考点】一元二次方程的解【解答】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0，解得：k ＝﹣1，故选：A ．8. （2019年湖北省鄂州市）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的两实数根分别为x 1、x 2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．9. （2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．10. （2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．11. （2019年内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．12. （2019年内蒙古赤峰市）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．13. （2019年内蒙古呼和浩特市）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，故选：D．14. （2019年内蒙古通辽市）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A．48 B．24 C．24或40 D．48或80【考点】一元二次方程的应用【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为2＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．15. （2019年新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤且k≠1【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．16.（2019年新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．二、填空题1.（2019年上海市）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．2. （2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x2＝＝﹣2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．3. （2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．4. （2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得△＝b 2﹣4ac ＝4+4×3a ＞0，解得a ＞则a ＞且a ≠0故答案为a ＞且a ≠05. （2019年四川省资阳市）a 是方程2x 2＝x +4的一个根，则代数式4a 2﹣2a 的值是．【考点】一元二次方程的解【解答】解：∵a 是方程2x 2＝x +4的一个根， ∴2a 2﹣a ＝4，∴4a 2﹣2a ＝2（2a 2﹣a ）＝2×4＝8．故答案为：8．6. （2019年江苏省泰州市）若关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】∵关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4m ＞0 解得：m ＜1，∴m 的取值范围是m ＜1. 故答案为：m ＜1.7. （2019年江苏省扬州市）一元二次方程()22-=-x x x 的根为___.【考点】一元二次方程的解法【解答】解：()22-=-x x x()()021=--x x x 1=1， x 2=28. （2019年湖北省十堰市）对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m +2）◎（m ﹣3）＝24，则m ＝．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：根据题意得[（m +2）+（m ﹣3）]2﹣[（m +2）﹣（m ﹣3）]2＝24，（2m ﹣1）2﹣49＝0，（2m ﹣1+7）（2m ﹣1﹣7）＝0， 2m ﹣1+7＝0或2m ﹣1﹣7＝0，所以m 1＝﹣3，m 2＝4．故答案为﹣3或4．9. （2019年甘肃省武威市）关于x 的一元二次方程x 2+x +1＝0有两个相等的实数根，则m 的取值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意，△＝b 2﹣4ac ＝（）2﹣4＝0得m ＝4 故答案为410. （2019年辽宁省本溪市）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +k ＝0有实数根，那么k 的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k ≥0，解得：k ≤4．故答案为：k ≤4．11. （2019年西藏）一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的根是．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5， x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故答案为x 1＝，x 2＝．三、解答题1.（2019年安徽省）解方程2x 1=4-（）【考点】一元二次方程的解法【解答】利用直接开平方法：x-1=2或x-1=-2 ∴ ， 2.（2019年北京市）关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法【解答】∵01222=-+-m x x 有实数根，∴△≥0，即0)12(4)2(2≥---m ，∴1≤m∵m 为正整数，∴1=m ，故此时二次方程为,0122=+-x x 即0)1(2=-x∴121==x x ，∴1=m ，此时方程的根为121==x x3.（2019年乐山市）已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x . （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值；（3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆Rt ABC的内切圆半径.【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数关系、内切圆【解答】（1）证明： 0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， 431121=+x x，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ，解得：2=k ；（3）解方程得：41=x ，k x =2，根据题意得：22254=+k ，即3=k ，设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图，由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+；4.（2019年重庆市）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，64月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．【考点】一元一次方程的应用与解法、一元二次方程的应用与解法【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：2（50×2x+80x）＝90000，解得x＝250答：该小区共有250套80平方米的住宅．（2）参与活动一：50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；参与活动二：50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．由题意得100（1﹣%）•200（1+2a%）+160（1﹣%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0∴t1＝0（舍），t2＝，∴a＝50．答：a的值为50．5. （2019年山东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【考点】一元二次方程的应用与解法【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x ）+128（1+x ）2=608 化简得：4x 2+12x -7=0 ∴（2x -1）（2x +7）=0， ∴x =0.5=50%或x =-3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128×=432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．6. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。

2019年中考数学试题汇编一元二次方程选择题(含解析答案)

1.（2019年湖北省鄂州市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．2.（2019年甘肃省兰州市）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣6【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3.（2019年四川省遂宁市）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣1【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．4.（2019年山东省淄博市）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．【解答】解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．5.（2019年山东省威海市）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．2019【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．6.（2019年四川省宜宾市）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（）A．﹣2B．b C．2D．﹣b【分析】根据“一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2”，结合根与系数的关系，即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣＝2，故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7.（2019年浙江省丽水市）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8.（2019年浙江省宁波市）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（）A．m＝﹣1B．m＝0C．m＝4D．m＝5【分析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0没有实数解，从而可把m＝5作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．【解答】解：当m＝5时，方程变形为x2﹣4x+m＝5＝0，因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，所以方程没有实数解，所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9.（2019年甘肃省）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10.（2019年江苏省盐城市）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求【解答】解：由根的判别式得，△＝b2﹣4ac＝k2+8＞0故有两个不相等的实数根故选：A．【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．11.（2019年湖南省怀化市）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝2【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．【解答】解：∵x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，则x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12.（2019年湖南省衡阳市）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：9（1﹣x）2＝1，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．13.（2019年山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠2【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴，解得：k≥且k≠2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．14.（2019年山东省潍坊市）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2【分析】设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，∴△＝﹣4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，∴m＝3或m＝﹣2；∴m＝﹣2；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．15.（2019年四川省自贡市）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．16. (2019年四川省达州市)某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．17.（2019年山东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．。

2019年中考数学专题：一元二次方程及答案

2019年中考数学专题：一元二次方程一、选择题1.已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（）A. y＜8B. 3＜y＜5C. 2＜y＜8D. 无法确定2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（）A. （B.C.D.3.方程x2－2x＝0的根是（）A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x＝0D. x＝24.下列一元二次方程没有实数根的是（）A. x2+2x+1=0B. x2+x+2=0C. x2﹣1=0D. x2﹣2x﹣1=05.下列关于方程x2+x﹣1=0的说法中正确的是（）A. 该方程有两个相等的实数根B. 该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数C. 该方程有一根为D. 该方程有一根恰为黄金比例6.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且7.已知一元二次方程的两个根是1和3，则b，c的值分别是（）A. b=4,c=－3B. b=3,c=2C. b=－4,c=3D. b=4,c=38.张华去参加聚会，每两人互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有人参加聚会，根据题意列出方程为（）A. B. C. D.9.某市2018年国内生产总值(GDP)比2017年增长了12％，预计今年(2019年)比2018年增长7％，若这两年年平均增长率为x％，则x％满足的关系是( )A. 12％＋7％＝x％B. (1＋12％)(1＋7％)＝2(1＋x％)C. 12％＋7％＝2x％D. (1＋12％)(l＋7％)＝(1＋x％)210.某制药厂2016年正产甲种药品的成本是500元/kg，随着生产技术的进步，2018年生产甲种药品的成本是320元/kg，设该药厂2016﹣2018年生产甲种药品成本的年均下降率为x，则根据题意可列方程为（）A. 500（1﹣x）2=320B. 500（1+x）2=320C. 320（1﹣x）2=500D. 3320（1+x）2=50011.某超市1月份的营业额为200万元，到三月底营业额累计为1000万元．如果设平均每月的增长率为x，依题意得，可列出方程为（）A. 200（1+x）2＝1000B. 200（1+x）3＝1000C. 200（1+x）2＝800D. 200+200（1+x）+200（1+x）2＝100012.融侨半岛某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个20元，当售价为每个50元时，每星期可以卖出100个，现需降价处理：售价每降价3元，每星期可以多卖出15个，店里每星期笔袋的利润要达到3125元．若设店主把每个笔袋售价降低x元，则可列方程为（）A. （30+x）（100－15x）=3125B. （30﹣x）（100+15x）=3125C. （30+x）（100－5x）=3125D. （30﹣x）（100+5x）=312513.用配方法解方程，下列配方的结果正确的是（）A. B. C. D.14.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（）A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2二、填空题15.试写出一个含有未知数x的一元二次方程________．16.观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0最精确的一个近似解是________（精确到0.1）．17.如果恰好只有一个实m数是关于x的方程的根，则k=________．18.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是________．19.如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．20.方程2x3﹣16=0的根是________21.某林场有木材蓄积量为以a m3，预计在今后两年内木材蓄积量平均增长率为p%，则两年后木材蓄积量为________ ．22.股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是________．三、计算题23.解方程：x（x-2）=3（x-2）24.（1）用公式法解方程x2﹣3x﹣7=0．（2）解方程：4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）25.求一元二次方程x2+2x﹣10=0的近似解．（精确到个位数）26.若α为锐角,且2cos2α+7sin α-5=0.求α的度数.四、解答题27.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？28.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．29.小明的爸爸前年在银行存入10000元（二年定期），今年到期后获利息2100元，请你计算银行的年利率是多少？30.某公司销售一种进价为元/个的计算器，其销售量（万个）与销售价格（元/个）的变化如下表：价格（元/个）销售量（万个）同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计万元．（1）观察并分析表中的与之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出（万个）与（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润（万个）与销售价格（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于万元，请写出销售价格（元/个）的取值范围．参考答案一、选择题1. C2. D3. A4.B5. D6.D7. C8.B9. D10. A11. D12. D13. A14. C二、填空题15.-2x+1=016.1.717.2,-2,18.119.220.x=221.a（1+p%）2m222.（1﹣10%）（1+x）2=1三、计算题23.解：由x（x-2）=3（x-2）得，（x-3）（x-2）=0，∴x1=2，x2=3。

专题08 一元二次方程(归纳与讲解)(解析版)

专题08 一元二次方程【专题目录】技巧1：一元二次方程的解法归类技巧2：根的判别式的六种常见应用技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【题型】一、一元二次方程的概念【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法【题型】三、解一元二次方程：配方法【题型】四、解一元二次方程：公式法【题型】五、解一元二次方程：因式分解法【考纲要求】1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．3、会列一元二次方程解决实际问题.【考点总结】一、一元二次方程【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一般步骤1、一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；02=++a cx a b x 2、二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；acx a b x -=+23、三配：①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a c a b x a b x 的形式；①方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 4、四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数a ac b a b x 2422-±=+。

①分别解这两个一元二次方程，求出两根aacb b x 242-±-=。

一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）)的解法选择（1）当b=0时，首选直接开平法（2）当c =0时，首选因式分解法或配方法（3）当a =1,b ≠0,c ≠0时，首选配方法或因式分解法（4）当a ≠1,b ≠0,c ≠0时，首选公式法或因式分解法一元二次方程根与系数关系的两类应用（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x 1+x 2和x 1x 2的值，然后依照所求方程是x 2（x 1+x 2）x +x 1x 2=0写出方程【技巧归纳】技巧1：一元二次方程的解法归类【类型】一、限定方法解一元二次方程题型1：形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0 题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝2 4．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求xy的值．题型3：能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解 6．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和2 7．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0； (2)16x 2－9＝0； (3)4x 2＝4x －1.题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解 8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( )A ．x ＝－2±52B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0； (2)4x 2－3x －5＝x －2. 【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－4C ．x 1＝3和x 2＝－4D ．x 1＝3和x 2＝4 12．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝2 13．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0； (2)2x 2－3x ＋1＝0. 【类型】三、用特殊方法解一元二次方程题型1：构造法14．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.15．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．题型2：换元法 a ．整体换元16．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48. 17．x 2＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0. b ．降次换元18．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0. c ．倒数换元19．解方程：x －2x －3xx －2＝2.题型3：特殊值法20．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016. 参考答案 1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2， (x ＋2)2 ＝6， x ＋2 ＝±6，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0， (x －5)2＋(y －8)2 ＝0， ∴x ＝5，y ＝8.∴x y ＝58.6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，∴x 1＝－34，x 2＝34.(3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0， (2x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝12.8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13. ∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136.(2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4＝1±22.∴x 1＝32，x 2＝－12.10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94， y －12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1. (2)2x 2－3x ＋1＝0，∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1， ∴x ＝3±12×2＝3±14，即x 1＝1，x 2＝12.14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23.15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4.所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.16．解：原方程可变为[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48. 解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332；当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根． ∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.17．解：x 2＋1x2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0，设x ＋1x ＝y ，则原方程为y 2－2y －3＝0.∴y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＋1x ＝3，∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52.当y ＝－1时，x ＋1x＝－1，无实数解．经检验，x 1＝3＋52，x 2＝3－52都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝3＋52，x 2＝3－52.18．解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x2＝0，即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2，原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0. 解得y 1＝52，y 2＝103.当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12；当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13.经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.19．解：设x －2x＝y ，则原方程化为y －3y ＝2，整理得y 2－2y －3＝0， ∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x ＝3，∴x ＝－1；当y ＝－1时，x －2x ＝－1，∴x ＝1.经检验，x ＝±1都是原方程的根， ∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x －2 014＝t ，则x －2 013＝t ＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t 的值，进而求出x 的值．技巧2：根的判别式的六种常见应用【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m 的值．【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【类型】三、利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m 的值．【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根．(1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长． (2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根． 2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得 x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m，x 2＝1.∵方程的两个根都是正整数， ∴2m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝52或m ＝－32.当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 点拨：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A . 6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c4＝b 2－(a 2－c 2)＝0.即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形． 7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1. 此时原方程为x 2－x ＋14＝0，∴x 1＝x 2＝12，∴当m ＝1时，▱AB CD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12.(2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0，解得m ＝52，故原方程为x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12.故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5. 技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)； (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1； (3)x 1－x 2.【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝ x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23， q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.3．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m≥0， ∴m≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝4，① 又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6.∴m ＝x 1·x 2＝－2×6＝－12. 4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k.∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32.∴k ＝95.经检验，k ＝95是该分式方程的根．又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．【题型讲解】【题型】一、一元二次方程的概念例1、若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（）A ．0B ．±1C ．1D ．–1【答案】D 【详解】因为方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠, 解得1m =±且1m ≠ 所以1m =-, 故选D.【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法例2、解下列方程：（1）241210x -=；（2）2(41)90x --=．【答案】（1）121111,22x x ==-；（2）1211,2x x ==- 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可．【详解】解：（1）方程变形得21214x =，开平方，得 112x =±， ①121111,22x x ==-；（2）由原方程，得2(41)9x -=，开平方，得413x -=±， ①1211,2x x ==-．【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．【题型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程．（1）2420x x --=；（2）2680x x ++=．【答案】（1）12x =22x =；（2）2x =-，4x =- 【分析】（1）直接利用配方法进行求解；（2）直接利用配方法进行求解．【详解】解：(1)方程变形为x 2-4x =2．两边都加4，得x 2-4x +4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x +m )2=n 的方程，即有(x -2)2=6．解这个方程，得12x =22x =于是，原方程的根为12x =，或22x =． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x =-8．两边都加“一次项系数一半的平方”，得x 2+6x +32=-8+32， ①(x +3)2=1．用直接开平方法，得x +3=±1，①x =-2或x =-4．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤．【题型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程2820x x --=【答案】14x =+24x =- 【分析】先求出1a = ，8b =- ，2c =- ，根据一元二次方程判别式，可得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式即可解答【详解】解：①1a = ，8b =- ，2c =- ，①224(8)41(2)720b ac ∆=-=--⨯⨯-=> ， ①方程有两个不相等的实数根．①4x ===±①14x =+24x =- 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，即x =．【题型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程：（1）234y y y -=-；（2）3(1)33x x x +=+．【答案】（1）122y y ==；（2）121,1x x ==- 【分析】（1）移项后利用完全平方公式得到2(2)0y -=，然后利用直接开方法解方程；（2）先变形得到3(1)(33)0x x x +-+=，然后利用因式分解方法解方程．【详解】解：（1）移项，合并同类项，得2440y y -+=，因式分解，得2(2)0y -=，所以，原方程的根为122y y ==；（2）移项，得3(1)(33)0x x x +-+=，即(1)(1)0x x x +-+=，提公因式，得(1)(1)0x x +-=，于是，得10x +=或10x -=，所以，原方程的根为121,1x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．一元二次方程（达标训练）一、单选题1．（2022·四川泸州·一模）方程x 2﹣6x ＝0的解是（） A ．x ＝6 B ．x ＝0 C ．x 1＝6，x 2＝0 D ．x 1＝﹣6，x 2＝0【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：因式分解得：x （x ﹣6）＝0，则x ﹣6＝0或x ＝0，所以x 1＝6，x 2＝0，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程23120x x --=在用求根公式x =求解时，a ，b ，c 的值是（） A ．3，―1，―2 B ．―2，―1，3 C ．―2，3，1 D ．―2，3，―1【答案】D【分析】先按照未知数x 的降幂排列，据此可得答案．【详解】①23120x x --=， ①22310x x -+-=，则a =-2，b =3，c =-1, 故选： D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2022·浙江温州·一模）用配方法解方程2450x x --=时，配方结果正确的是（） A ．2(2)1x -= B ．2(2)1x -=- C ．2(2)9x -= D ．2(2)9x -=-【答案】C【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：2450x x --=∴245x x -= ∴24454x x -+=+ ∴()229x -=只有选项C 符合题意；故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程290x 的两个根为（）A ．1x ＝﹣3，2x ＝3B ．1x ＝﹣9，2x ＝9C ．1x ＝﹣1，2x ＝9D ．1x ＝﹣9，2x ＝1 【答案】A【分析】先将9移到方程右边，再开平方解方程即可．【详解】解：29x =， x ＝±3，所以1x ＝3，2x ＝﹣3．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x 的一元二次方程a 2x ﹣5ax +4＝0，有一个根为1．则a 的值为（） A ．1 B ．﹣1C ．1或﹣1D ．不能确定【答案】A【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，将方程的根代入一元二次方程计算求值即可；【详解】解：将x ＝1代入到方程可得：a ﹣5a +4＝0， -4a =-4， ①a ＝1，故选： A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等式的性质，掌握方程的解的意义是解题关键．二、填空题6．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设1x ，2x 是关于x 的方程220x kx k -+-=的两个根，121x x =+，则12x x =_____．【答案】1-【分析】运用根与系数关系定理，具体化求解即可．【详解】解：①12x x 、是关于x 的方程x 2﹣kx +k ﹣2＝0的两个根，121x x =+， ①121x x =+＝k ，12x x ＝k ﹣2， ①12x x ＝1﹣2＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键． 7．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x ，可列方程为：_________．【答案】()28118x +=【分析】汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x ，则4月份的销售额是8（1+x ），5月份的销售额是()281x +，据此即可列出方程．【详解】解：根据题意可列方程： ()28118x +=，故答案为：()28118x +=．【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”．三、解答题8．（2022·四川南充·一模）已知关于x 的方程：x 2＋（m ﹣2）x ﹣m ＝0． (1)求证：无论m 取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数m ，n 是方程的两根，试求m ﹣n 的值．【答案】(1)见解析 (2)52【分析】（1）根的判别式为24Δb ac =-，将系数代入即可证得．（2）把x m =代入方程可求得32m =，由根与系数的关系可求得n 值，即可求解．(1)证明：2Δ(2)4m m =-+24m =+．无论m 取何实数时，总有240m +>． ①方程总有两个不相等的实数根． (2)把x m =代入方程，得2(2)0m m m m +--=．即223m m =． ①0m ≠，①32m =．由根与系数的关系，mn m =-． ①1n =-． ①52m n -=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．一元二次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）关于x 的一元二次方程2410x x k -+-=两个相等的实数根，则关于x 的一元二次方程240x x k -+=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判定【答案】C【分析】根据2410x x k -+-=两个相等的实数根，计算出k 的值，再根据k 的取值范围计算出方程240x x k -+=的根的判别式，即可进行解答．【详解】解：①方程2410x x k -+-=两个相等的实数根， ①224(4)41(1)0b ac k -=--⨯⨯-=，解得：k =5，一元二次方程240x x k -+=中，a =1，b =-4，c =k ， ①224(4)41164b ac k k -=--⨯⨯=-， ①k =5，①164k -=-4<0，①240x x k -+=无实数根．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关内容的解题的关键．240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根，240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，240b ac -<时，方程没有实数根．2．（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（） A ．230x = B ．(3)(2)0x x -+= C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=【答案】C【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．【详解】解：A ．选项实数根为120x x ==，故该一元二次方程有两个相等的实数根； B ．选项实数根为13x =和22x =-，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；C ．选项依题意得：2,5,5a b c ==-=，则224(5)425150b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，故该一元二次方程没有实数根；D ．选项实数根为122x x ==-，故该一元二次方程有两个相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，240b ac -≥ 时一元二次方程有实数根． 3．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（）A ．－3B ．3C ．－5D ．5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：①α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根， ①+=,1b αβαβ-=-，①222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=- ①5b =- 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为ca是解题的关键．4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（） A ．k ＞﹣9 B ．k ≤3 C ．﹣9＜k ＜6 D ．k 384-＞【答案】A【分析】设3t x =-，再把原方程化为290t t k +--=，结合根的判别式可得374k >-，再由原方程有两个实数根，可得1290,t t k =--<从而可得答案．【详解】解：①263,x x k x -++=-①269|3|90,x x x k -++---= ①2(3)|3|90,x x k -+---= 设t ＝|x ﹣3|，则原方程变形为290t t k +--=，所以Δ＝1﹣4（﹣k ﹣9）＞0，解得374k >-， ①原方程有两个解，①方程290t t k +--=有一正根和负根， ①1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，①k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．5．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=①无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=①若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则1x y +=①满足()()22220x xy x y xy y +-+--≤的整数解(),x y 共有8个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】①代入求值后因式分解计算即可；①提取公因式x 后根据恒成立找关系即可；①两个方程相加后因式分解即可解题；①去括号后因式分解判断即可．【详解】①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则22(2)0x xy x x x y --=-=-①20x y --=或者0x =，故①错误；①等式223x mxy x x +-=化简后为(5)0x my x +-=①无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，①50x my +-=，即5x my +=①()225x my +=，故①正确；①若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则两个方程相加得：222214x xy x y xy y +-++-=， ① 2()2()14x y x y +-+=2(1)15x y +-=① 1x y +=，故①错误；①整理()()22220x xy x y xy y +-+--≤得：22220x y x y +--≤①22(1)(1)2x y -+-≤①整数解(),x y①22(1)0(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩①11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩， 10x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩， 01x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩， ① 整数解(),x y 共9对，故①错误；综上所述，结论正确的有①；故选：A ．【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．二、填空题6．（2022·辽宁本溪·二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．【答案】0m >且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别方法列出关于m 的不等式，即可解得答案．【详解】解：①一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，①224(1)(1)0m ∆=-⨯-⨯->，解得：0m >；①10m -≠，①1m ≠；①m 的取值范围是：0m >且1m ≠．故答案为：0m >且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．7．（2022·广东番禺中学三模）已知x 2＝2x +15，则代数式22((x x +--=__________．【答案】-【分析】直接将原式分解因式，再把x 的值代入进而计算得出答案．【详解】解：22((x x +--＝(x x x x＝2x×＝．①2215x x +＝，①22150x x ﹣﹣＝，（x ﹣5）（x +3）＝0，①x ＝5或x ＝﹣3．当x ＝5时，原式＝5=当x ＝﹣3时，原式＝(3)-=-【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．三、解答题8．（2022·广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．(1)请直接写出函数2y x =-的不动点M 的坐标；(2)若函数38x y x a+=+有两个关于原点对称的不动点A ，B ，求a 的值； (3)已知函数2(1)(1)y ax b x b =+++-，若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a 的取值范围．【答案】(1)(1,1)M(2)3a =(3)01a <<【分析】（1）设函数y =2-x 的不动点M 为（m ,m ），根据定义得到2-m =m ，求出m 即可求M 点坐标；（2）由题意可知AB 所在直线解析式为y =x ，联立方程组38y x x y x a =⎧⎪+⎨=⎪+⎩，再由根与系数的关系得3-a =0，即可求a 的值；（3）由题意可得211ax b x b x +++-=()（），则①24(1)0b a b =-->恒成立，对于关于b 的一元二次不等式恒成立，只需①216160a a =-<，即可．（1）解：设函数2y x =-的不动点M 为(,)m m ，2m m ∴-=，解得1m =，(1,1)M ∴；（2） A 、B 关于原点对称，且是函数的不动点，AB ∴所在直线解析式为y x =，联立方程组38y x x y x a =⎧⎪+⎨=⎪+⎩，整理得，2(3)80x a x +--=，30a ∴-=，3a ∴=；（3）由题意可知，2(1)(1)ax b x b x +++-=，整理得，2(1)0ax bx b ++-=，函数恒有两个相异的不动点，∴①24(1)0b a b =-->，2440b ab a ∴-+>恒成立，∴关于b 的一元二次不等式恒成立，∴①216160a a =-<，解得01a <<．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与根的关系是解题的关键．。

【2019-2020年度】中考数学专题08 一元二次方程试题(含解析)

【2019-2020年度】中考数学专题08 一元二次方程试题（含解析）☞解读考点【2015年题组】1．（2015来宾）已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（）1x 2x 127x x +=1212x x =1x 2xA ．B ．C ．D ．27120x x -+=27120x x ++=27120x x +-=27120x x --=【答案】A ．【解析】试题分析：以，为根的一元二次方程，故选A ．1x 2x 27120x x -+=考点：根与系数的关系．2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）A ．B ．C ．D ．2+10x x +=24210x x ++=212360x x ++=220x x +-=【答案】C ．考点：根的判别式．3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程有实数根，则整数a 的最大值为（）2(1)220a x x --+=A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 【答案】B ．【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程有实数根，∴△==且，∴且，∴整数a 的最大值为0．故选B ．2(1)220a x x --+=2(2)8(1)a ---1280a -≥10a -≠32a ≤1a ≠ 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（2015钦州）用配方法解方程，配方后可得（）21090x x ++= A ． B ． C ． D ．2(5)16x +=2(5)1x +=2(10)91x +=2(10)109x += 【答案】A ．【解析】试题分析：方程，整理得：，配方得：，即，故选A ．21090x x ++=2109x x +=-2102516x x ++=2(5)16x +=考点：解一元二次方程-配方法．5．（2015成都）关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）2210kx x +-=kA ．B ．C ．D ．且1k >-1k ≥-0k ≠1k >-0k ≠ 【答案】D ．【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴，∵有两个不想等的实数根，则，则有，∴，∴且，故选D ．0k ≠0∆>224(1)0k ∆=-⨯->1k >-1k >-0k ≠考点：根的判别式．6．（2015攀枝花）关于x 的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）2(2)(21)20m x m x m -+++-=A ．B ．且C ．D ．34m >34m >2m ≠122m -<<324m << 【答案】D ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）2430x x -+=A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．【解析】试题分析：解方程，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得，；2430x x -+=13x =21x = ∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3； ∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（）A ．B ．C ．D ．2560(1)315x +=2560(1)315x -=2560(12)315x -=2560(1)315x -= 【答案】B ．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（2015达州）方程有两个实数根，则m 的取值范围（）21(2)04m x -+= A ． B ．且 C ． D ．且52m >52m ≤2m ≠3m ≥3m ≤2m ≠ 【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：，解得且．故选B．220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩52m ≤2m ≠考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（2015泸州）若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（）2210x x kb -++=y kx b =+A ．B ．C ． D．【答案】B ．【解析】试题分析：∵有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，2210x x kb -++=A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（2015南充）关于x 的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）0222=++n mx x 0222=++m ny y 2)1()1(22≥-+-n m 1221≤-≤-n mA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题．12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（2015怀化）设，是方程的两个根，则的值是（）1x 2x 2530x x +-=2221x x + A ．19 B ．25 C ．31 D ．30 【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（2015安顺）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第（）象限．220x x m --=(1)1y m x m =++-A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D ．【解析】试题分析：∵一元二次方程无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数的图象不经过第一象限，故选D ．220x x m --=(1)1y m x m =++-考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（2015）我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得道原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（）2360x x -=3(2)0x x -=30x =20x -=10x =22x =A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．【解析】试题分析：我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得道原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．2360x x -=3(2)0x x -=30x =20x -=10x =22x =考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（2015枣庄）已知关于x 的一元二次方程的两个实数根分别为，，则m+n 的值是（）20x mx n ++=12x =-24x =A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 【答案】A ．考点：根与系数的关系．17．（2015淄博）若a 满足不等式组，则关于x 的方程的根的情况是（）211122a a-≤⎧⎪⎨->⎪⎩21(2)(21)02a x a x a ---++= A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．以上三种情况都有可能【答案】C ．【解析】试题分析：解不等式组，得a ＜﹣3，∵△==2a+2，∵a＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程没有实数根，故选C ．211122a a-≤⎧⎪⎨->⎪⎩21(21)4(2)()2a a a ---+21(2)(21)02a x a x a ---++= 考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（2015烟台）如果，那么x 的值为（）201(1)x x x --=+ A ．2或﹣1 B ．0或1 C ．2 D ．﹣1 【答案】C ．【解析】试题分析：∵，∴，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：，，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．201(1)x x x --=+211x x --=12x =21x =-考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程的两根，则n 的值为（）2610x x n -+-=A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（2015大庆）方程的根是．)5(2)5(32-=-x x 【答案】，．15x =2173x = 【解析】试题分析：方程变形得：，分解因式得：，可得或，解得：，．故答案为：，．23(5)2(5)0x x ---=(5)[3(5)2]x x ---50x -=3170x -=15x =2173x =15x =2173x = 考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（2015甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为．27120x x -+=【答案】5．【解析】试题分析：方程，即，解得：，，则矩形ABCD 的对角线长是：=5．故答案为：5．27120x x -+=(3)(4)0x x --=13x =24x =考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理． 22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数和关于x 的一元二次方程中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________．2(5)y m x =-2(1)10m x mx +++= 【答案】．2- 【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴，∴，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，250m ->25m <将m=0代入中得，，△=﹣4＜0，无实数根；2(1)10m x mx +++=210x += 将代入中得，，，有实数根，但不是一元二次方程；1m =-2(1)10m x mx +++=10x -+=1x =将代入中得，，△=4+4=8＞0，有实数根．2m =-2(1)10m x mx +++=2210x x +-= 故m=．故答案为：．2-2-考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题． 24．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足，，且，则= ．23650m m +-=23650n n +-=m n≠n m m n+ 【答案】．225-【解析】试题分析：∵时，则m ，n 是方程的两个不相等的根，∴，．m n ≠23650x x --=2m n +=53mn =-∴原式===，故答案为：．22m n mn +2()2m n mn mn +-2522()223553-⨯-=--225- 考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（2015泸州）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为．1x 2x 2510x x --=2212x x +【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（2015绵阳）关于m 的一元二次方程的一个根为2，则=2220n m --=22n n -+【答案】26．【解析】试题分析：把m=2代入得，整理得：，所以，所以原式===26．故答案为：262220n m --=022742=--n n n n 7212=+721=+n n 21()2n n+-22-考点：一元二次方程的解．27．（2015内江）已知关于x 的方程的两根分别是，，且满足，则k 的值是．260x x k -+=1x 2x 12113x x += 【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x 的方程的两根分别是，，∴，，，解得：k=2，故答案为：2．260x x k -+=1x 2x 126x x +=12x x k=1212121163x x x x x x k++=== 考点：根与系数的关系．28．（2015咸宁）将配方成的形式，则m= ．263x x ++2()x m n ++ 【答案】3．考点：配方法的应用．29．（2015荆州）若m ，n 是方程的两个实数根，则的值为．210x x +-=22m m n ++【答案】0．【解析】试题分析：∵m，n 是方程的两个实数根，∴，，则原式==1﹣1=0，故答案为：0．210x x +-=1m n +=-21m m +=2()()m m m n +++考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（2015曲靖）一元二次方程有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）．250x x c -+=【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=，解得，∵，，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．250x x c -+=2(5)40c -->254c <125x x +=120x x c => 考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型． 31．（2015呼和浩特）若实数a 、b满足，则=__________．(44)(442)80a b a b ++--=a b +【答案】或1．12- 【解析】试题分析：设=x ，则由原方程，得：，整理，得：，解得，．则的值是或1．故答案为：或1．a b +4(42)80x x --=(21)(1)0x x +-=112x =-21x =a b +12-12-考点：换元法解一元二次方程．32．（2015）若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．20x x m -+=【答案】答案不唯一，只要即可，如：0．14m <考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（2015毕节）关于x 的方程与有一个解相同，则a= ．2430x x -+=121x x a=-+ 【答案】1．【解析】试题分析：由关于x 的方程，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程无意义；当x=3时，，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．2430x x -+=121x x a =-+12313a=-+ 考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论． 34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L ．【答案】20．【解析】试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．40401040xx x ---⋅=考点：一元二次方程的应用．35．（2015日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式= ．23m m -=23n n -=2222015n mn m -++【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．20ax bx c ++=①方程是倍根方程；220x x --=②若是倍根方程，则；(2)()0x mx n -+=22450m mn n ++=③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；()p q ，2y x=x 230px x q ++= ④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．20ax bx c ++=(1)M t s +，N(4)t s -，2y ax bx c =++20ax bx c ++=54【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：20a x bx c ++=t 2t 22()(2)a x b x c a x ++=--=2902b a c -=292K b =0K =20ax bxc++=对于①，，因此本选项错误；29102K b ac =-=对于②，，而，∴，因此本选项正确；2(2)20mx n m x n +--=29K (2)(2)02n m m n =---=22450m mn n ++=对于③，显然，而，因此本选项正确；2pq =29K 302pq =-=对于④，由，知，∴，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．(1M ts +，N (4t s-，145222b t ta++--==5b a =-2902b ac -=509c a =250509ax ax a -+=2945500x x -+=1103x =253x = 故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（2015黄石）解方程组：．224 4 2 2 x y y ⎧+=⎪+=①②【答案】，．1101x y =⎧⎨=⎩2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩考点：高次方程．38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：，，∴另一边为8米或50米．125x=24x=答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．39．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58，李明应该怎么剪这根铁丝？2cm （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48．你认为他的说法正确吗？请说明理由．2cm【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：，解得，（不符合题意舍去）23(1) 6.75x+=10.5x=22.5x=-答：政府投资平均增长率为50%；（2）（万平方米）2+=12(10.5)18答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x ；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：．11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++ 令，则111234t ++= 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程．22(51)(57)7x x x x ++++= 【答案】（1）；（2），．1201510x =25x =-考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（2015十堰）已知关于x 的一元二次方程．()222320x m x m -+++= （1）若方程有实数根，求实数的取值范围；m（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．1x 2x 22121231x x x x +=+m【答案】（1）；（2）2．112m ≥- 【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到，，由和，得到，即，代入即可得到结果．1223x x m +=+2122x x m =+21220x x m =+>22121231x x x x +=+22121231x x x x +=+21212()313x x x x +=+ 试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程有实数根，∴△≥0，即，∴；()222320x m x m -+++=22(23)4(2)0m m +-+≥112m ≥-（2）根据题意得，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．1223x x m +=+2122x x m =+21220x x m =+>1212x x x x =22121231x x x x +=+22121231x x x x +=+21212()313x x x x +=+22(23)313(2)m m +=++考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题． 46．（2015潜江）已知关于x 的一元二次方程．042=+-m x x （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．1x 2x 22521=+x x m 【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（2015鄂州）关于x 的一元二次方程有两个不等实根，．22(21)10x k x k ++++=1x 2x（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根，满足，求k 的值．1x 2x 1212x x x x += 【答案】（1）k ＞；（2）k=2．34【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=，求出k 的取值范围；430k ->（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k 的取值范围解方程即可．2211k k +=+试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△===，解得：k ＞；22(21)4(1)k k +-+2244144k k k ++--430k ->34（2）∵k ＞，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵k ＞，∴k=2．3412(21)0x x k +=-+<21210x x k =+>10x <20x <1212x x x x +=1212x x x x --=2211k k +=+10k =22k =34考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．【2014年题组】1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac 满足的条件是（）A. b2﹣4ac=0B. b2﹣4ac ＞0C. b2﹣4ac ＜0D. b2﹣4ac≥0【答案】B ．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac ＞0．故选B ．考点：一元二次方程根的判别式．2. （2014年广西贵港中考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．﹣1 【答案】A ．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3. （2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x ﹣2=0的解是（）A. x1=2，x2=1B. x1=﹣2，x2=1C. x1=2，x2=﹣1D.x1=﹣2，x2=﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C ．考点：因式分解法解一元二次方程．4. （2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0），此方程可变形为（）A.B.C. D.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ 【答案】A ．【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c ，两边同除以a ，得，两边同加上一次项一半的平方，得，∴．故选A ．2b c x x a a +=-222b b c b x x a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭考点：配方法解一元二次方程．5. （2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6. （2014年广西桂林中考）已知关于x 的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k 的值是．()22x 2k 1x k 20+++-=()()112x 2x x 0--=【答案】或．2-94- 【解析】试题分析：∵，∴或．()()112x 2x x 0--=1x 2=12x x =∵关于x 的一元二次方程的两根x1和x2，∴若，则；()22x 2k 1x k 20+++-=1x 2=()22222k 1k 20k 2+++-=⇒=-若，则方程有两相等的实数根，∴．12x x =()22x 2k 1x k 20+++-=()()2292k 141k 20k 4∆=+-⋅⋅-=⇒=-∴或．k 2=-9k 4=-考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用． 7. （2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为．【答案】x1=0 或x2=2．【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x （x ﹣2）=0，得到x=0或 x ﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0 或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程． 8. （2014年中考）若是方程的两个实数根，则．,a b 2x 2x 30--=22a +b =【答案】10．【解析】试题分析：∵是方程的两根，∴．∴．,a b 2x 2x 30--=2,3a +b =a b =- ()222222610a +b =a +b -a b=+=考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．9. （2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x ﹣1=0．【答案】．12x x ==考点：公式法解一元二次方程．10. （2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x﹣52）=200个，不符合题意舍去．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x 的一元二次方程的一个根，则a 的值为（）225x ax a 02-+=A. 1或4B. ﹣1或﹣4C. ﹣1或4D. 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳 2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(解析版)

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【典例1】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．【点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根．【解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=•-=+212111a x x ，解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．【典例2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．【点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k ≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，典例解读解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k ≠1．【总结】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【典例3】已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1．【总结】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1．【典例4】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7．方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-，故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值．【典例5】关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=()221x x +﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜21． ∴m 的取值范围为m ＜21．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴x 12+x 22=()221x x +﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．【典例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程是()021212=++-x x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【教材知识必背】一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；教材知识链接（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++； ⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数2\1x x 为根的一元二次方程是()021212=++-x x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【变式1】下列一元二次方程没有实数根的是（） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0【点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【答案】B ．【解析】精准变式题解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B ．【总结】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．【变式2】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3 【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤34，且k ≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式3】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根【变式4】已知：关于x 的方程2(1)04kkxk x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.【变式5】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．【变式6】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134；（2）3．1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-1综合提升变式练【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（）． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：1212x x +=-，1212x x =-，从而121212111x x x x x x ++==． 3. 一元二次方程x 2﹣4x+4=0的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．4．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．5．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0， ∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．6．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .7．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（）A.k ≥4B.k ≤4C.k ＞4D.k=4【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k ≥0，解得：k ≤4，故选B ．8．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（）． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=9．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，把x=2代入x 2﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n ﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b 时，方程x 2﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10，故选B ．10．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．2013 【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．11．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129- 【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b可看成方程25201290x x ++=的两根，再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．12．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 13．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___．【答案】54m <-；【解析】因为关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，所以22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<，解得54m <-． 14．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是．【答案】k ≥﹣6；【解析】当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x=﹣，当k ≠0时，方程kx 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k ×（﹣）≥0，解得k ≥﹣6，k ≠0，综上k ≥﹣6．15．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，∴+= =﹣2．故答案是：﹣2． 16．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是。

初升高数学专题一元二次函数的图像和性质(解析版)

专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …x2…9 4 1 0 1 4 9 …2x2…18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b x a )＋c ＝a(x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b ac b a x a a-=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac ba a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系表判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a>0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c>0(a>0) 的解 12x x x x <>或2b x a≠-全体实数Δ＝b 2－4ac ax 2＋bx ＋c<0(a>0) 的解12x x x << 无解无解二、典例精析【典例1】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．【答案】见解析【解析】∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B233(,0)3-和C233(,0)3+-，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．【说明】：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．【典例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130 150 165y/件70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？【答案】见解析【分析】：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．【解析】由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋b 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．【典例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．【答案】见解析【解析】解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．【说明】：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．【典例4】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．【答案】见解析【分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。

2019年中考数学一元二次方程及其应用真题汇编(含解析)

2019年中考数学一元二次方程及其应用真题汇编(名师精选全国真题实战训练+答案，值得下载练习)一、选择题1. （2018•山东菏泽•3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，解得k≤0且k≠﹣1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2. （2018•江苏盐城•3分）已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 48.【答案】B【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=1代入方程可得1+k-3=0，解得k=2。

故答案为：B【分析】将x=1代入原方程可得关于k的一元一次方程，解之即可得k的值。

3．（2018•山西•3分）用配方法将二次函数y = x2 - 8x - 9 化为y = a(x - h)2 + k 的形式为（）A. y =(x - 4)2 + 7B. y =(x - 4)2 - 25C. y =(x + 4)2 + 7D. y =(x + 4)2 - 25【答案】B【考点】二次函数的顶点式【解析】y = x2 - 8x - 9 = x2 - 8x +16 -16 - 9 =(x - 4)2 - 254．（2018•山西•3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. x2 - 2x = 0B. x2 + 4x -1 = 0C. 2x2 - 4x + 3 = 0D. 3x2 = 5x - 2【答案】C【考点】一元二次方程根的判别式【解析】△＞0，有两个不相等的实数根，△ =0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根.A.△ =4B.△ =20C. △ =-8D. △ =15.（2018·山东临沂·3分）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2=【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2﹣y﹣=0y2﹣y=y2﹣y+=1（y﹣）2=1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．6. （2018•安徽•4分）若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a 的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，得解得：故选C.【点评】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8. （2018•安徽•4分）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b 万件，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a，由此即可得.【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a万件，即b=（1+22.1%）2a万件，故选B.【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.9. （2018年江苏省泰州市•3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A 正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10. （2018·四川宜宾·3分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11. （2018·四川宜宾·3分）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．0【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．12. （2018·台湾·分）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b 之值为何？（）A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，x﹣11=0或x﹣3=0，所以x1=11，x2=﹣3，即a=11，b=﹣3，所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13. （2018·广东·3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14. （2018•广西桂林•3分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A. B. C. 2或3 D. 或【答案】A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：∵方程有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=．故选：A．点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的关键．15. (2018四川省绵阳市)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A.9人B.10人C.11人D.12人【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为：C.【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.16. (2018四川省眉山市2分) 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 / 32
2019中考数学专题08 一元二次方程试题（含解析）-精选资料
☞解读考点
【2015年题组】
1．（2015来宾）已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（）
1x 2x 127x x +=1212x x =1x 2x
A ．
B ．
C ．
D ．
27120x x -+=27120x x ++=27120x x +-=27120x x --= 【答案】A ．
【解析】
试题分析：以，为根的一元二次方程，故选A ．1x 2x 27120x x -+=
考点：根与系数的关系．
2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．2+10x x +=24210x x ++=212360x x ++=220x x +-=
【答案】C ．
2 / 32 考点：根的判别式．
3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程有实数根，则整数a 的最大值为（）
2(1)220a x x --+=
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B ．
【解析】
试题分析：∵关于x 的一元二次方程有实数根，∴△==且，∴且，∴整数a 的最
大值为0．故选B ．2(1)220a x x --+=2(2)8(1)a ---1280a -≥10a -≠32a ≤
1a ≠ 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
4．（2015钦州）用配方法解方程，配方后可得（）21090x x ++=
A ．
B ．
C ．
D ．2(5)16x +=2(5)1x +=2(10)91x +=2(10)109x +=
【答案】A ．
【解析】
试题分析：方程，整理得：，配方得：，即，故选
A ．21090x x ++=2109x x +=-2102516x x ++=2(5)16x +=
考点：解一元二次方程-配方法．
5．（2015成都）关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
（）2210kx x +-=k
A ．
B ．
C ．
D ．且1k >-1k ≥-0k ≠1k >-0k ≠
【答案】D ．
【解析】
试题分析：∵是一元二次方程，∴，∵有两个不想等的实数根，则，则有，∴，
∴且，故选D ．0k ≠0∆>224(1)0k ∆=-⨯->1k >-1k >-0k ≠
考点：根的判别式．
6．（2015攀枝花）关于x 的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m 的取值
范围是（）2(2)(21)20m x m x m -+++-=。