A6动态规划
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
动态规划-(矩阵连乘)
12
4、构造最优解
void MatrixChain::Traceback(int i, int j) {
if(i==j) { cout<<'A'<<i; return;} if (i<s[i][j]) cout<<'('; Traceback(i, s[i][j]); if (i<s[i][j])cout<<')'; if(s[i][j]+1<j)cout<<'('; Traceback(s[i][j]+1, j); if(s[i][j]+1<j) cout<<')'; } void MatrixChain::Traceback() { cout<<'('; Traceback(0, n-1); cout<<')'; cout<<endl; }
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n ③当i<j时，m [ i ] j ] [ m [ i ] k ] [ m [ k 1 ] j ] [ p i 1 p k p j
这里 A i 的维数为 pi1pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
m [i]j] [ m i k j{ m [i]n k [ ] m [k 0 1 ]j] [ p i 1 p kp j}i i j j
根据MatrixChain动态规划算法： ②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000
《算法设计与分析》第3章 动态规划法
最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);
动态规划的具体操作，分四步
动态规划的具体操作，分四步动态规划是我学的最蛋疼的⼀个问题。
⼤家觉得呢•动态规划算法的⼀般步骤1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2.递归地定义最优值；3.以⾃底向上的⽅式计算出最优值；根据计算最优值时得到的信息，构造最优解下⾯⽤⼀个例⼦来说明。
矩阵连乘问题（⾃⾏百度查⼀下是什么哈）•将矩阵连乘积AiAi+1…Aj记作A[i:j]–把问题转化成考察A[1:n]的最优计算次序问题–设计算次序在A[k]处将矩阵断开最优，则总计算量为： A[1:k] 的计算量加上A[k+1:n]的计算量，再加上A[1:k] 和A[k+1:n]相乘的计算量。
关键特征lA[1:n]的最优计算次序所包含的计算矩阵⼦链A[1:k]和A[k+1:n]的次序也是最优的。
（可⽤反证法证明）——问题的最优解包含了其⼦问题的最优解，这种性质称为最优⼦结构性质。
对矩阵：A1A2A3A4A5A6，可能的最优解A1(A2A3)|A4(A5A6)最优解：A[1:6]=A[1:3]+A[4:6]+A[1:3]*A[4:6]–A[1:3]与A[4:6]也必分别为最优解（计算总量最少），因为其⽆关；–若有A’[1:3]⼩于A[1:3],由后两项不改变，则A[1:6]不是最⼩，故与前提⽭盾；递归地定义最优值。
•设计算A[i:j],1≤i≤j ≤n，所需的最少数乘次数为m[i][j]——则原问题的最优解为m[1][n]–考察两种情况•i=j;•i<j;m[i][j] = 0+m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];for (k = i+1; k < j; k++) {t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];if (t < m[i][j]) m[i][j] = t;}void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s) {for (j = 2; j <= n; j++)for (i = j-1; i >= 1; i--) {m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j] = i;for (k = i+1; k < j; k++) {t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k; }}}} //算法的计算时间上界为O(n3)。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。
（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。
⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。
动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。
这样就能够从表中得到原始问题的解。
（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。
关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。
⽽在各阶段中。
⼈们都须要作出⽅案的选择。
我们称之为决策。
⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。
这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。
因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。
因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。
每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。
我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。
因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。
经常是⼈们所关⼼的问题。
我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
在⾼负荷下⽣产时。
产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y 的关系为h=h(y)。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题——备忘录法
算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题——备忘录法问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。
确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
输⼊数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
问题解析：由于矩阵乘法满⾜结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以⽤加括号的⽅式来确定。
若⼀个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调⽤2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表⽰为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的⽅式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。
每⼀种完全加括号的⽅式对应于⼀个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下⾯⼀个例⼦，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):100*5*50 + 10*100*50 = 75000次（注意计算次数的⽅法！）所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最⼩化。
算法思路：例：设要计算矩阵连乘乘积A1 A2 A3 A4 A5 A6，其中各矩阵的维数分别是：A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25递推关系：设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
算法导论答案
算法导论答案算法导论是计算机科学领域的经典教材，它介绍了算法设计和分析的基本原理和方法。
通过学习算法导论，我们可以深入理解算法的运行机制，并且能够运用这些知识解决实际问题。
本文将介绍一些算法导论的常见问题，并给出相应的答案。
第一部分：算法基础在算法导论中，我们首先学习了算法的基础概念和表达方法。
其中最重要的是时间复杂度和空间复杂度的概念。
时间复杂度衡量了算法运行所需的时间，而空间复杂度则衡量了算法所需要的额外空间。
通过计算复杂度，我们可以估算出算法的效率和资源使用情况。
Q1：什么是时间复杂度和空间复杂度？A1：时间复杂度是指算法解决问题所需要的时间代价，通常以大O表示。
空间复杂度是指算法解决问题所需要的额外空间，通常也以大O表示。
时间复杂度和空间复杂度可以帮助我们评估算法的效率和资源使用情况。
Q2：如何计算时间复杂度？A2：时间复杂度可以通过分析算法中的基本操作的执行次数来计算。
通常，我们可以统计算法中循环、递归和条件判断等操作的执行次数，并根据问题规模n来表示。
然后，我们可以将执行次数与n的关系用大O表示法表示。
第二部分：排序算法算法导论中介绍了多种排序算法，包括插入排序、归并排序、快速排序等等。
不同的排序算法适用于不同的问题场景，并且它们的时间复杂度和稳定性也不同。
Q3：什么是稳定的排序算法？A3：稳定的排序算法是指当原始序列中有两个相等的元素时，排序后它们的相对位置不发生改变。
例如，插入排序和归并排序是稳定的排序算法，而快速排序不是稳定的排序算法。
Q4：如何选择合适的排序算法？A4：选择合适的排序算法需要考虑多个因素，包括数据规模、稳定性要求和系统资源等。
对于小规模数据，可以使用插入排序或者冒泡排序。
对于数据规模较大且对稳定性要求较高的情况，可以选择归并排序。
而快速排序则适用于大规模数据和对稳定性没有要求的场景。
第三部分：动态规划动态规划是算法导论中的重要主题，它是一种解决多阶段决策问题的方法。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
数据结构之动态规划动态规划的基本思想和常见应用场景
数据结构之动态规划动态规划的基本思想和常见应用场景动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂问题的方法。
它的基本思想是利用已解决过的子问题的解来求解当前问题的解，从而避免重复计算，提高算法效率。
动态规划的应用广泛，可以用于解决一些优化问题、最优化问题以及组合优化问题等。
动态规划的基本思想可以用以下三个步骤来概括：1. 定义子问题：将原问题划分为一个或多个子问题，并找到它们之间的关系。
2. 构建状态转移方程：根据子问题之间的关系，找到问题的递推关系，将问题转化为子问题的解。
3. 解决问题：通过递推计算或者自底向上的方法，求解问题的最终解。
动态规划的核心是状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题与原问题之间的关系，通过它可以求解原问题的解。
在构建状态转移方程时，需要考虑如何选择最优子结构并进行状态转移，以及确定初始状态和边界条件。
动态规划常见的应用场景包括：1. 最优化问题：如最短路径问题、最长递增子序列问题、背包问题等。
这类问题中，动态规划可以帮助我们找到最优解。
2. 组合优化问题：如旅行商问题（TSP）、任务分配问题等。
这类问题中，动态规划可以帮助我们找到最佳的组合方案。
3. 概率计算问题：如概率图模型中的推断问题、隐马尔可夫模型中的预测问题等。
这类问题中，动态规划可以帮助我们计算复杂的概率。
举例来说，我们可以通过动态规划求解最长递增子序列问题。
给定一个序列，我们希望找到其中最长递增的子序列的长度。
首先，定义状态dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
然后，我们可以根据dp[i-1]和第i个元素的大小关系来更新dp[i]的值，即dp[i]= max(dp[i], dp[j]+1)，其中j为i之前的某个位置，且nums[j] < nums[i]。
最后，我们通过遍历数组，找到dp数组中的最大值，即可得到最长递增子序列的长度。
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧动态规划应用 - 动态规划解决问题的思路与技巧动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法思想，用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
通过将大问题划分为小问题，并将小问题的解存储起来以避免重复计算，可以在一定程度上优化问题的求解过程。
本文将介绍动态规划的应用，并提供一些思路与技巧。
一、动态规划的基本思路动态规划问题通常可以由以下步骤解决：1. 定义状态：将问题划分成若干子问题，并确定每个子问题需要记录的状态。
2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，建立状态转移方程，以表达子问题的最优解与更小规模子问题的关系。
3. 初始化边界条件：确定最小规模子问题的解，并初始化状态转移方程中需要用到的边界条件。
4. 递推求解：按照状态转移方程的定义，从较小规模的子问题开始逐步推导出较大规模的问题的解。
5. 求解目标问题：根据最终推导出的状态，得到原始问题的最优解。
二、动态规划的技巧与优化1. 滚动数组：为了降低空间复杂度，可以使用滚动数组来存储状态。
滚动数组只记录当前状态与之前一部分状态相关的信息，避免了存储所有状态的需求。
2. 状态压缩：对于某些问题，可以将状态压缩成一个整数，从而大幅减小状态的数量。
例如，当问题中涉及到某些特定的组合或排列时，可以使用二进制位来表示状态。
3. 前缀和与差分数组：对于某些问题，可以通过计算前缀和或差分数组，将问题转化为求解累加或差对应数组中的某个区间的值的问题，从而简化计算过程。
4. 贪心思想：有些动态规划问题可以结合贪心思想，在每个阶段选择局部最优解，然后得到全局最优解。
5. 双重循环与多重循环：在实际解决问题时，可以使用双重循环或多重循环来遍历状态空间，求解问题的最优解。
三、动态规划的实际应用动态规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 最短路径问题：例如，求解两点之间的最短路径、最小生成树等。
高中数学线性规划与动态规划
高中数学线性规划与动态规划数学是一门抽象而深奥的学科，其中涵盖了大量的分支和理论。
在高中阶段，线性规划与动态规划是数学中的两个重要概念，对于解决实际问题和优化决策具有重要意义。
本文将介绍高中数学中线性规划与动态规划的概念、原理以及实际应用。
一、线性规划线性规划是数学规划问题中的一种常见方法。
它的目标是在满足多个线性约束条件的前提下，寻找线性目标函数的最优解。
线性规划问题可以用图像来表示，其中目标函数和约束条件都是线性方程或线性不等式。
线性规划的标准形式可以表示为：Maximize (或Minimize) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，Z表示线性目标函数的值，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …, bₙ为约束条件的右边常数，x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划问题可以使用单纯形法等算法求解，得到最优解及最优解对应的目标函数值。
二、动态规划动态规划是一种通过将原问题拆分成子问题并保存子问题解，然后利用这些子问题的解来求解原问题的方法。
它适用于那些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划通常包含以下几个步骤：1. 定义子问题：将原问题拆分成一系列子问题，这些子问题和原问题具有相同的性质，并且可以通过子问题的解来推导出原问题的解。
2. 确定状态：将子问题的解表示成状态，通常使用状态转移方程来描述状态之间的关系。
3. 构建状态转移方程：根据子问题的性质和状态之间的关系，建立状态转移方程，以表达问题的最优解与子问题最优解之间的关系。
4. 确定初始条件：确定问题的起始状态下的初始值，通常需要定义初始值。
算法设计与分析_第3章_动态规划1
引言
分治技术的问题
子问题是相互独立的
Why?
问题：
如果子问题不是相互独立的，分治方法将重复 计算公共子问题，效率很低，甚至在多项式量 级的子问题数目时也可能耗费指数时间
解决方案：动态规划
用表来保存所有已解决子问题的答案 不同算法的填表格式是相同的
9
引言
最优化问题
Why?
可能有多个可行解，每个解对应一个 值，需要找出最优值的解。
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 if columns[A] ≠ rows[B] 2 then return “error: incompatible dimensions” 3 else for i ← 1 to rows[A] 4 for j ← 1 to columns[B] 5 C[i, j] ← 0 6 for k ← 1 to columns[A] 7 C[i, j]←C[i, j]+A[i, k]·B[k, j] 8 return C
(A1 (A2 (A3 A4))) , (A1 ((A2 A3) A4)) , ((A1 A2) (A3 A4)) , ((A1 (A2 A3)) A4) , (((A1 A2) A3) A4).
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矩阵连乘问题
采用不同的加括号方式，可导致不同的、 甚至及其富有戏剧性差别的乘法开销
设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别 是： A=50×10 B=10×40 C=40×30 D=30×5 总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ——16000 (A(B(CD))) ——10500 ((AB)(CD)) ——36000 (((AB)C)D) ——87500 ((A(BC))D) ——34500
力扣优秀题解
力扣优秀题解——动态规划动态规划（Dynamic programming，简称DP）是一种常见的求解优化问题的方法。
它与分治算法类似，都是通过将大问题分解成若干个小问题来求解的。
不同的是，DP解决的问题通常是有重叠子问题和最优子结构特征的，即在求解过程中会反复计算相同的子问题，并且每个子问题都具有最优解，可以通过这些最优解推导出全局最优解。
力扣中的很多题目都可以使用动态规划来解决，比如最长公共子序列、股票买卖、打家劫舍等等。
下面针对这些题目进行详细解析。
一、最长公共子序列题目描述：给定两个字符串text1 和text2，返回它们的最长公共子序列。
如果不存在公共子序列，返回0。
示例：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
解题思路：最长公共子序列问题是比较经典的DP问题。
设字符串text1和text2的长度分别为m 和n，令dp[i][j]表示text1[0:i]和text2[0:j]的最长公共子序列长度，为方便起见，text1和text2的下标从1开始。
当text1[i-1] == text2[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，即text1[0:i-1]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度加上1。
当text1[i-1] != text2[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即考虑text1[0:i-1]和text2[0:j]的最长公共子序列长度与text1[0:i]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度，两者取最大值。
最终的答案即为dp[m][n]。
代码实现：class Solution: def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i - 1] == text2[j - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) return dp[m][n]二、股票买卖题目描述：给定一个数组prices，其中prices[i]是一支给定股票第i天的价格。
动态规划算法(一)
动态规划：向后处理(K段图)Байду номын сангаас
BC ( i,j) O m S B iT n C ( i 1 ,O l) c ( l,S j) T l V i 1 l,j E
动态规划：0/1背包问题
对于0/1背包问题，可以通过作出变量x1,x2,…,xi的一个 决策序列来得到它的解。而对变量x的决策就是决定它 们是取0还是取1值。
动态规划：0/1背包－向后处理
先求解f0: i> 当x≥0，f0(x)=0 ii> 当x<0， f0(x)=-∞
利用递推式，求出f1, f2, …, fn
动态规划：0/1背包求解实例
考虑如下背包问题： n=3 (w1, w2, w3)=(2, 3, 4) (p1, p2, p3)=(1,2,5) M=6
求解过程(图解法求解)：
i=3: f2(x-w3)+p3
8 7 6 5 4 3 2 1
12
567
9
f3(x)
8 7 6 5 4 3 2 1
1234
67
9
动态规划：0/1背包－向后处理
i=1: f0(x-w1)+p1
f1(x)
2 1
2
6
i=2: f1(x-w2)+p2
3 2 1
2
56
2 1
2
6
f2(x)
C( O i,j) S m T c (ij,l n ) CO (i 1 ,l) ST l V i 1 j,lE
动态规划：向前处理算法
void function FGRAPH(E, int k, int n, int P[]){ int COST[n]; int D[n-1]; int r, j; COST[n]=0; for(j=n-1; j<=1; j--){ r是这样的节点，<j,r>∈E且使c(j,r)+COST[r]最小 COST[j]=c(j,r)+COST[r]; D[j]=r; } P[1]=1; P[k]=n; for(j=2;j<=k-1;j++){ P[j]=D[P(j-1)]; }
动态规划课程设计
动态规划课程设计一、教学目标本课程的教学目标是让学生掌握动态规划的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能够：1.理解动态规划的基本思想及其在解决问题中的应用。
2.掌握动态规划的基本方法和技巧，如状态转移方程、最优子结构等。
3.能够运用动态规划解决实际问题，提高问题求解的效率。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.动态规划的基本概念：介绍动态规划的定义、特点及其与分治法、贪心法的区别。
2.动态规划的方法：讲解状态转移方程的建立、求解过程，以及如何找到最优子结构。
3.动态规划的应用：通过实例分析，让学生了解动态规划在图论、序列对齐、背包问题等方面的应用。
三、教学方法为了达到本课程的教学目标，将采用以下几种教学方法：1.讲授法：讲解动态规划的基本概念、方法和应用。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划进行求解。
3.讨论法：学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
四、教学资源为了支持本课程的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：1.教材：《动态规划及其应用》。
2.参考书：提供相关的研究论文和书籍，供学生深入研究。
3.多媒体资料：制作PPT、视频等资料，帮助学生更好地理解动态规划的概念和方法。
4.实验设备：提供计算机等实验设备，让学生能够实际操作和验证动态规划的算法。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等。
平时表现主要评估学生的课堂参与度、提问和回答问题的积极性等；作业主要评估学生对课堂所学知识的掌握程度；考试则评估学生对整个课程知识的综合运用能力。
评估方式将客观、公正地全面反映学生的学习成果。
六、教学安排本课程的教学安排将紧凑合理，确保在有限的时间内完成教学任务。
教学进度将根据课程内容和学生的实际情况进行调整，以满足学生的学习需求。
教学时间将安排在学生作息时间的合理段，避免与学生的其他课程和学习活动冲突。
教学地点将选择适合教学的环境，以提供良好的学习氛围。
动态规划例子与复杂度
动态规划例⼦与复杂度动态规划的基本思路：动态规划使⽤分⽽治之的策略，但是具有针对性。
此种策略由理查德.贝尔曼（Richard E. Bellman）于1957年在dynamic programming⼀书中提出。
同年Bellman和Lester Ford⼀起设计了图论中最短路径的Bellman-Ford算法。
动态规划和贪⼼算法的区别：动态规划的特点：1 分析⼀个最有解决⽅案应该具备的结构（能否使⽤动态规划策略）；2递归定义最有解决⽅案（状态转移⽅程）；3 由底⾄上构建⼀个最优解决⽅案（备忘录构建）动态规划的⼏个例⼦：补充（以下例⼦全是基于备忘录的动态规划）流⽔装配线问题：问题描述：产品从“出发”到“到达”要经过流⽔线，经过n个步骤，每个步骤可以有两种选择：S1,i 和S2,i;图1中C i,j X i,j是花销；要求产品总花销最少。
（扩展为和图论算法最短路径的关系）最基本的想法：类似于组合数学上过程相乘的问题，每⼀个相乘的元素有2中状态，所以⽣产的路径数⼀共有2n种，程序复杂度为指数时间复杂度，空间复杂度为n。
实际操作中会发现，当固定k种处理组合⽅式，计算其他步骤取不同值时，相同处理⽅式的花销组合会重复计算。
动态规划⽅法：⼀个问题是假如整体最优解通过S1,j状态，那么从出发点到S1,j和S1,j到到达点两段路径是不是也是最优解（最短路径）？可以使⽤反证法证明：两段路径也是最优解。
这样的话我们就可以把⼤问题分解为⼦问题。
在分解的时候我们从出发点开始累计计算最优花销，也可以从到达点开始计算最优花销，这⾥我们采⽤前者，这样符合直观顺序。
考虑其中的状态转移过程，当进⼊S1,j状态时，要么从S1,j-1要么从S2,j-1流⼊。
那么到达S1,j时的处理花销C(S1,j)=C(S1,j-1)+C1,j-1 或者C(S1,j)=C(S2,j-1)+C2,j-1 +X2,j-1，最优解时取两者中的最⼩值。
下⾯来推算下时间复杂度。
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f k 1 ( s k len k ,1 ) mod 4 f k ( s k ) f k 1 ( s k len k ,2 ) mod 4 f ( s len ) mod 4 k ,3 k 1 k
2012/7/20 2012jsoi夏令营 10
《书的复制》分析 这个问题的关键在于划分好书的分配方式。由于一个人 抄的书必须是连续的，因此不难发现这个问题是符合动态规划 的条件的（即无后效性和最优子结构）。 设value[k..l ]为第 k本书到第l本书的页数和， opt[i, j] 表示前i个人抄到第j本书所需要消耗的最小时间（这i个人中 单人抄写最多页数） 状态——opt[i, j] 状态转移方程—— opt[i,j]=min{max (opt[i-1,k], value[k+1..j ]) value[k+1..j ]) (i-1≤k≤j-1); opt[i,j]初始植为value[1..j] 最优解——opt[n,maxn];
2012/7/20 2012jsoi夏令营 7
常见动态规划的几种类型
线性动规例题1 《拦截导弹（Noip2002）》
状态——f[i]，表示当第i个导弹必须拦截时，前i个导弹中最 多能拦截数。 状态转移方程—— f[i]=1 i=1..n (初始条件) f[i]=max{f[k] │ a[k]≥a[i],k=1..i-1 )}+1 最优解—— max{f[I] I=1..n}
2012/7/20
2012jsoi》
状态——ans[i,j]表示前 i个字符s1s2…si插入j个乘号可以 获得的最大值。 状态转移方程——
ans[i,0]=s1..si ans[i,j] = max{ans[k,j-1]×sk+1..si} (j≤k≤i-1) (I=1..n,j=1..m)
2012/7/20 2012jsoi夏令营 11
区间动规 例题1 《Power》 《Power》分析
1. 明确这样一个决策：我们关掉的灯必然是一个连续的区 间，也就是说，我们在路过的时候肯定会把灯顺手关掉，不然 肯定不是最优解。而在关掉一个区间之后，我们需要作出的决 定就是，回头关另外一边的灯还是继续朝当前方向走关前面的 灯。 对于我们的最后求解区间i..j,有2种可能：最后关第j盏 灯，或者最后关第i盏灯。 2. 为了实现对这两种情况的记录，我们需要两个数组，分别 存放关完[i,j]区间的所有路灯后分别站在两个端点时最小的 电能消耗值。并且这两个数组中，[k,gdje]（k=1.2.3...gdje-1） 区间的数值和[gdje,k](k=gdje+1...n)区间的数值都是很容易 确定的(gdje为开始位置)。 在下面的动规过程中，我们只需要决策是需要转向另外一 2012/7/20 12 2012jsoi夏令营 边还是继续走下去就可以了。
2012/7/20 2012jsoi夏令营 16
通过前面的分析，我们看到，归并代价实际上由两部分 组成： （1）归并树左右子树的最小代价之和 （2）归并树所有叶结点的权值之和
而对于opt数组中的子区间数值的取值大小， 我们有两种 渠道来获取： （1）利用普通的dp，枚举开始结点和区间长度来进 行DP （2）记忆化搜索
• 动态规划法与分治法类似，它们都是将问题实例归纳为更小 的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。 其中分治法中的各个子问题是独立的（即不包含公共的子问 题），因此一旦递归地求出各子问题的解后，便可自下而上 地将子问题的解合并成问题的解。如果各子问题是不独立的， 则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题。 解决上述问题的办法是利用动态规划 。动态规划允许这些子 问题不独立，（亦即各子问题可包含公共的子子问题）也允 许其通过自身子问题的解作出选择，该方法对每一个子问题 只解一次，并将结果保存起来，避免每次碰到时都要重复计 算。
虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路 径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的 最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余 数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优— —这个问题不满足最优化原理。
2012/7/20
2012jsoi夏令营
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但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。 判断从第 1点到第 k 点的长度 mod 4 为 sk 的路径是否存在， 用fk(sk)来表示，则递推公式如下：
状态的确定
用left[i,j]表示关完灯后人站在i点所消耗的最小电能，用 right[i,j]表示关完灯后人站在j点所消耗的最小电能，则有
状态转移方程
left[i,j]=min {left[i+1,j]+(value[1..i]+value[j+1..n])*(pos[i+1]-pos[i]), right[i+1,j]+(value[1,i]+value[j+1..n])*(pos[j]-pos[i])}; right[i,j]=min {left[i,j-1]+(value[1..i-1]+value[j..n])*(pos[j]-pos[i])), right[i,j-1]+(value[1..i-1]+value[j..n])*(pos[j]-pos[j-1])}
括弧中加一个4的倍数 保证不会是负数
（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度， 方括号表示“或(or)”运算），最后的结果就是可以使 2012/7/20 6 夏令营 f4(s4)值为真的最小的s2012jsoi 4值。
与其他一些算法的联系(续)
•贪心策略运用于动态规划的状态转移的决策，是十分普遍的 现象。按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问 题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到 的大多数是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有 力武器。
2012/7/20 2012jsoi夏令营 14
关键代码
区间动规 例题2《最小代价子母树》
问题描述
有n堆沙子排成一排，每堆沙子有一个数量，例如： 13 7 8 16 21 4 18。任意2堆相邻的沙子可以进行合并， 将两堆沙子合并为一堆时，两堆沙子数量的和称为合并这两 堆沙子的代价。经过不断的归并，最后将这些沙子归为一堆， 而全部归并代价的和总称为代价。例如上列数，其中2种归并 方案的代价为： 第1种的总代价为 20+24+25+44+69+87 = 267 第2种的总代价为 15+37+22+28+59+87 = 248 由此可见，不同的归并过程得到的总代价是不一样的。 问题：当n个数给出后，找出一种合理的归并方法，使得总代 价最小。
2012/7/20
•在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所 以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。把一个动 态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、边界条 件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是 自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里 指深度搜索，宽度搜索类似）。一般说来，动态规划算法在时 间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根 本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差 别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常 可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。
动态规划深入 (2)
苏州中学 章维铣
2012/7/20 2012jsoi夏令营 1
内容提要
(一)深入了解动态规划
1.动态规划 的基本思想 2.与其他一些算法的联系
3.常见动态规划的几种类型
(二)动态规划算法设计实例
2012/7/20 2012jsoi夏令营 2
动态规划的基本思想
先归纳一下我们已了解的有关动态规划的知识:
最优解——ans[n,m]
2012/7/20
2012jsoi夏令营
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线性动规例题3 《书的复制》
把maxn本有顺序的书分给n个人复制（抄写），每一个人 的抄写速度都一样，一本书不允许给两个（或以上）的人抄 写，分给每一个人的书，必须是连续的，比如不能把第一、 第三、第四本书给同一个人抄写。现在请你设计一种方案， 使得复制时间最短。复制时间为抄写页数最多的人用去的时 间。 输入 第一行两个整数maxn, n；（n<=maxn<=100） 第二行maxn个整数，第i个整数表示第i本书的页数。 输出 共n行，每行两个正整数，第i行表示第i个人抄写的书的起始 编号和终止编号。n行的起始编号应该从小到大排列，如果有 多解，则尽可能让前面的人少抄写。
最优解:min{left[1,n],right[1,n]}
2012/7/20 2012jsoi夏令营 13
right[gdje,gdje]:=0; left[gdje,gdje]:=0; for i:=gdje+1 to n do begin right[gdje,i]:=right[gdje,i-1]+(pos[i]-pos[i-1])*(v[1..gdje-1]+v[i..n]); left[gdje,i]:=right[gdje,i]+(pos[i]-pos[gdje])*(v[1.. gdje-1]+v[i+1..n]); end; for i:=gdje-1 downto 1 do begin left[i,gdje]:=left[i+1,gdje]+(pos[i+1]-pos[i])* (v[1..i]+v[gdje+1..n]) ; right[i,gdje]:=left[i,gdje]+(pos[gdje]-pos[i])* (v[1..i-1]+v[gdje+1..n]) ; end; for i:=gdje-1 downto 1 do for j:=gdje+1 to n do begin left[i,j]:=min(left[i+1,j]+(pos[i+1]-pos[i])*(v[1..i]+v[j+1..n]), right[i+1,j]+(pos[j]-pos[i])*(v[1,i]+v[j+1..n]); right[i,j]:=min(right[i,j-1]+(pos[j]-pos[j-1])*(v[1..i-1]+v[j..n]), left[i,j-1]+(pos[j]-pos[i])*(v[1..i-1]+v[j..n]); end;