辽宁省铁岭高中2014届高三年级下学期第一次考试(文科)数学试卷及答案
14年高考真题——文科数学(辽宁卷)-推荐下载
6
（D） c a b
（D） p q
辽宁
（D）
2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
8．已知点 A2, 3在抛物线 C ： y2 2 px 的准线上，记 C 的焦点为 F ，则直线
AF 的斜率为( )
（A） 4 3
（B） 1
9．设等差数列an的公差为 d ，若数列2a1an 为递减数列，则( )
⑴根据表中数据，问是否有 95%的把握认为
“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯
，求：⑴
a
和
方面有差异”； ⑵已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，
现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率。
附： 2 n n11n22 n12n21 2 ，
）
（A）5, 3
（D）4, 3
（B）6, 9 8
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．执行右侧的程序框图，若输入 n 3 ，则输出T
。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年辽宁高考数学文科卷
2014年辽宁高考数学文科卷1. 已知集合，，，则集合A.B.C.D.2. 设复数满足，则A.B.C.D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是 A.若，，则.B.若，，则. C.若，，则.D.若，，则. 5.设，，是非零向量.已知命题：若，，则.命题：若，，则.则下列命题中真命题是 A.B.C.D.6.将一个质点随机投入如图所示的长方形中，，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为主视图左视图俯视图A. B. C. D.9.设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则A. B. C. D.10.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.13. 执行下面的程序框图，若输入，则输出________的最大值为15.已知椭圆，点与的焦点不重合. 若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则________16.对于，当非零实数，满足且使最大时，的最小值为_______17. 在△中，内角的对边分别为，且.已知，，.求输入，，输出（Ⅰ）和的值； （Ⅱ）的值.18.调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有名数学系的学生，其中名喜欢甜品，现在从这名学生中随机抽取人，求至多有人喜欢甜品的概率.，附：19. 如图，△和△所在平面互相垂直，且，，分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积.附：锥体的体积公式，其中为底面面积，为高.20. 圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为.（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于两点，若△的面积为，求的标准方程.21. 已知函数，.证明：（Ⅰ）存在唯一，使；（Ⅱ）存在唯一，使，且对（Ⅰ）中的，有.22. （选修4-1）如图，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（Ⅰ）求证：为圆的直径；（Ⅱ）若，求证：.23. （选修4-2）将圆上每一点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.（Ⅰ）写出的参数方程；（Ⅱ）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （选修4-5）设函数，.记的解集为，的解集为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，证明：.。
2014年高考辽宁卷数学(文)试卷解析(精编版)(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a bb c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以A B 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得，11122nn a a a a -<，即111212n n a a a a -<，1n 1(a )21n a a --<，又n 1a n a d --=，故121a d<，从而10a d <，选C ．【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性．10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x，y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为.【考点定位】线性规划．15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求： （Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()BC -的值.【答案】（Ⅰ）3,2a c ==；（Ⅱ）2327【解析】试题分析：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=及向量数量积的定义，得cos 2ca B =，从而6ca =，故再寻求关于,a c 的等式是解题关键．由1cos 3B =，3b =不难想到利用余弦定理，得2292213a c +=+⨯=，进而联立求,a c ；18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G分别为AC 、DC 、AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D-BCG 的体积.附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.GFEBC D A【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、四面体的体积．20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.（Ⅱ）设C的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．点1122A(x,y),B(x,y)．由点P在C上知22221a b+=．并由22221,3,x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b++-=．又12,x x 是方程的根，因此12221224362x xbbx xb⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，1sin 2()()11sin x x g x x x ππ-=-+-+. 证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =； （Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.试题解析：证明：（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+->，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=--<．2()4022f ππ=->．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =． （Ⅱ）当(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x x g x x x ππ=-+-+．令t x π=-．记()()u t g t π=-=- t cos 211sin t t t π-++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（Ⅰ）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲，连接DG并延长交圆于点A，作弦如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PDAB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（Ⅰ）得，ED AB =．【考点定位】1、三角形全等；2、弦切角定理；3、圆的性质．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.【考点定位】1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．。
2014年辽宁省高考数学试卷(文科)教师版
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A ∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，∴﹣=﹣2，∴F（2，0），∴直线AF的斜率为=﹣．故选：C．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0B．d＜0C．a1d＞0D．a1d＜0【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．【解答】解：∵数列{2}为递减数列，∴＜1，即＜1，∴＜1，∴a1（a n+1﹣a n）=a1d＜0故选：D．10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，，，，，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，则πx=，即x=，当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，解得x=，则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）则由f（x）为偶函数，∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，解得≤x≤或≤x≤，即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，故选：A．11．（5分）（2014•辽宁）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得，．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+ (i)的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，∴输出T=1+3+6++10=20．故答案为：20．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为18．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．【分析】首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]≥[2（a﹣）+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h=V G﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的是AO长度的一半，利用V D﹣BCG体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，∵G为AD的中点，∴CG⊥AD．同理BG⊥AD，∵CG∩BG=G，∴AD⊥平面BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面BCG；（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO=ABsin60°=，∴V D=V G﹣BCD==×=．﹣BCG20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x 轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，则+=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．则切线的斜率为﹣，故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．再根据+=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，故此时，点P的坐标为（，）．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．由求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．由y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•=．由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得b4﹣9b2+18=0，解得b2=3，或b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为+=1．21．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x ﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．＜②，分别求得【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．＜②．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()AB = U ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a bb c，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．84π-B ．82π- C ．8π- D ．82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21.（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 18 15. 12 16. -1三、解答题 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac = 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >，所以3,2a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ==由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+= 18.解：（Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。
2014年高考文科数学辽宁卷及答案解析
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|}B x x =≥1，则集合()UAB =ð（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x ＜＜2．设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ） A ．b a c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．c a b ＞＞4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=，b c 0=，则a c 0=； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π87．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π84-B ．π82-C ．8π-D ．82π-8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22ypx =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d ＞B ．0d ＜C ．10a d ＞D ．10a d ＜10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间π7π[,]1212上单调递减B ．在区间π7π[,]1212上单调递增C ．在区间ππ[,]63-上单调递减D ．在区间ππ[,]63-上单调递增12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =________. 14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=________.16．对于0c ＞，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a bc++的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c ＞．已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19．（本小题满分12分）如图，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =+交于A ，B 两点.若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．（本小题满分12分）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πxg x x =--. 证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =； （Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0gx =，且对（Ⅰ）中的0x ，有01πx x +＞.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题附：22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+，数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）号下方的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC BD =，求证：AB ED =.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参考方程 将圆221xy +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）{|AB x x =){|0AB x =【提示】先求A B ，再根据补集的定义求)AB ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以B 运用线面垂直的性质，即可判断；C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系A【解析】若0a b =，0b c =，则a b b c =，即()0a c b -=，则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题.若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，故命题q 为真命题.则p q ∨，命题，故选A.的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）【解析】等差数列(123)++++++的值，当输入(123i)++++++的值，距最大，即最大.max .，Q数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）【解析】242a ab -不等式得，23232b ⎤⎛⎫⎤=⎥⎦（Ⅰ）由2B A B C =得2cos ac B .2c =232+2sin c B b ⨯=C 1⎛=- 2BA BC =1cos 3B =代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到22（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解.【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式Ⅰ）AB BC =G 为AD 的中点，CG ∴.CG BG G =，BGC .EF AD ∥EF ∴⊥平面BCG （Ⅱ）在平面，∆.G 6B=11sin1203322BD BC ︒=00014482x y x y =再根据2200x y +=数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）122d AB =，解得()221k ⎡=+⎣2232b b -，代入上式得2231683b b -= 或26b =，所以椭圆方程为：P 00(,)x y 切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积008S x y =.再利用基122d AB =，求出【考点】直线与圆锥曲线的综合问题（Ⅰ）()πf x =.()πf x '=上单调递增.（Ⅱ）()(g x =cos (π)1sin x x x --++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++由导数法可得函数的零点，可得不等式【考点】函数零点的判定定理 ）PD PG PDG PGD PD=∴∠=∠为切线，PDA DBA ∴∠=∠，PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠，NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.（Ⅱ）连接BC ，DC .90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB BA AC BD ==，， Rt BDA Rt ACB ∴△≌△，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠，DCB CBA ∴∠=∠，DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠，为直角，∴ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB ED ∴=.（Ⅱ）由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ， 则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据与l 垂直的直线的斜率为12， 故所求的直线的方程为111y x ⎛⎫-=- ⎪，即3220x y -+=.数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）【提示】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程.（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤，求得1344x -≤≤，,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦，M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 当x MN ∈时，()1f x x =-，22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，故要证的不等式成立.【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求.N =30,4⎡⎢⎣MN 时，f ，显然它小于或等于14，要证的不等式。
2014年 辽宁省 高考数学 试卷及解析(文科)
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p ：若•=0，•=0，则•=0；命题q ：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）1A ．B ．C ．D ．7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A ．﹣ B．﹣1 C ．﹣ D ．﹣9．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜010．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，2则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=．314．（5分）已知x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为．三、解答题417．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P（x2＞k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．5。
铁岭高中2014届高三年级下学期第一次考试(数学文科)
辽宁省铁岭高中2014届高三年级下学期第一次考试数 学 试 卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合},214|{},,212|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则 A. M N = B. M N ⊂ C. M N ⊃ D. M N ⋂=∅2. 给出下列四个命题:①命题1sin ,:≤∈∀x R x p ,则1sin ,:<∈∃⌝x R x p . ②当1≥a 时,不等式a x x <-+-34的解集为非空. ③当1>x时,有2ln 1ln ≥+xx . ④设复数z 满足（1-i ）z =2 i ，则z =1-i 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．1865. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+ 与a b λ- 互相垂直的充要条件是（ ）A ．1λ=-或1λ=B ．12λ=-或12λ=C ．λ=λ=D ．λ为任意实数6．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+ 7.下面几个命题中，假命题是（ ）A.“若a b ≤,则221a b ≤-”的否命题；B.“) ,0(∞+∈∀a ，函数x a y =在定义域内单调递增”的否定；C.“π是函数x y sin =的一个周期”或“π2是函数x y 2sin =的一个周期”；D.“022=+y x ”是“0=xy ”的必要条件.8．下列函数中在区间),1(+∞上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） A.122-+-=x x y B.x y cos = C.|1|lg -=x y D.x x x y 3323+-=9. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( ) A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上 B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDE C ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直10. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ， 若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36，B ．2ππ36，C ．ππ63，D ．ππ33，11.设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10012.函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=,2),2(212,0,11)(x x f x x x f ，则下列说法中正确命题的个数是（ ）① 函数)1ln()(+-=x x f y 有3个零点； ② 若0>x 时，函数x k x f ≤)(恒成立，则实数k 的取值范围是) ,23[∞+； ③ 函数)(x f 的极大值中一定存在最小值；④)2(2)(k x f x f k +=，)(N ∈k ，对于一切) ,0[∞+∈x 恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{}n a 满足15,a a 是方程282810x x -+=的两个根，且15a a <，则3a = ______14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≥-≥142117x y x y x y 表示的平面区域为D ，若对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是__________.15. 空间中一点P 出发的三条射线,,PA PB PC ，两两所成的角为60︒，在射线,,PA PB PC 上分别取点,,M N Q ，使1,2,3PM PN PQ === ，则三棱锥P MNQ - 的外接球表面积是______________.16．关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称； ②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2； ④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题17． （本小题满分12分）函数()f x a b =⋅，,sin ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==-,其中0ω>,点()()12,0,,0x x 是函数()f x 图像上相邻的两个对称中心，且122x x π-=（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 图像向右平移m ()0m >个单位后所对应的函数图像是偶函数图像， 求m 的最小值． 18. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A , B 两组被抽到的评委中各有2人支持1评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.19. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,4,ABCD PA AB BC E ===是PD 的中点（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥P AEC -的体积。
2014年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）把给出的等式两边同时乘以3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）2＜c=log5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）•=0•=0，则••，即（）=0，则•∥，∥，则∥平行，故命题6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）BS=为直径的半圆内的概率是7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）﹣﹣圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面圆柱，×8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为﹣=的斜率为=．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）＜}∴＜∴10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（），]∪[，]，﹣]∪[，]，]∪[，]，﹣]∪[，]的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上≤]，即x=x=，时，由，得，x=≤的解为，≤的解为﹣≤，的解为或﹣≤≤或≤，≤或≤，≤{x|≤或≤的11．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图[，][，，]，[，]2x+）的图象向右平移个单位长度，）]﹣当函数递增时，由，得，]12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取，﹣]≥=﹣二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y 的最大值为18．作出可行域如图，，解得，为直线方程的斜截式，得：由图可知，当直线15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12．，易得，，16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．，转化为=++∴=[][]∴∴++=三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2）∵=2cosB=，sinB===由正弦定理=sinB=×==，×+×．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=≈人，共有名喜欢甜品，有人喜欢甜品的概率19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．====×=20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．．再利用基本不等式求得=1+S=则切线的斜率为﹣••==4=的坐标为（，=1，∴=1，=+|x=•．，y=x+，•时，由+=1+=121．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．，）﹣﹣t+1，，）上为增函数，）﹣，[﹣+﹣﹣]，）时，）上为增函数，））时，，，，，四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．，线的斜率为，，=1=1）由，的中点坐标为（垂直的直线的斜率为1=﹣=0．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．）由所给的不等式可得，﹣，解②，，求得﹣≤，，]，=﹣。
2014年高考(辽宁卷)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014辽宁，文1)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合U (A ∪B )＝( )． A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．故选D.2．(2014辽宁，文2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )． A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 答案：A解析：∵(z －2i)(2－i)＝5，∴52i 2i 2iz -==+-. ∴z ＝2＋3i.故选A.3．(2014辽宁，文3)已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 答案：D解析：∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，∴c ＞a ＞b .故选D.4．(2014辽宁，文4)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案：B解析：对A ：m ，n 还可能异面、相交，故A 不正确．对C ：n 还可能在平面α内，故C 不正确．对D ：n 还可能在α内，故D 不正确．对B ：由线面垂直的定义可知正确．5．(2014辽宁，文5)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是( )．A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(p )∧(q )D ．p ∨(q ) 答案：A解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题．由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题．故p ∨q 为真命题．故选A.6．(2014辽宁，文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )．A ．π2 B ．π4 C ．π6 D ．π8答案：B解析：所求概率为21π1π2==214S S ⋅⨯半圆长方形，故选B. 7．(2014辽宁，文7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π84-B ．π82- C ．8－π D ．8－2π答案：C解析：由几何体的三视图可知，原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的14圆柱，故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱，即V ＝23－21π122⋅⋅＝8－π.故选C.8．(2014辽宁，文8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )．A ．43-B ．－1C ．34-D ．12- 答案：C解析：由已知，得准线方程为x ＝－2， ∴F 的坐标为(2,0)． 又A (－2,3)，∴直线AF 的斜率为303224k -==---.故选C.9．(2014辽宁，文9)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{12n a a}为递减数列，则( )．A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜0 答案：D解析：∵{12n a a}为递减数列， ∴111111()111222212n n n n a a a a a a a a d n na a a a +===<＋＋－－.∴a 1d ＜0.故选D.10．(2014辽宁，文10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，()1cos π,0,,2121,,,2x x f x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩则不等式1(1)2f x ≤－的解集为( )．A ．1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦答案：A解析：令t ＝x －1.当10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()12f t ≤，即1cos π2t ≤，得πππ32t ≤≤，解得1132t ≤≤. 当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，由()12f t ≤，即1212t ≤－， 解得1324t <≤.综上，t ∈[0，＋∞)时，()12f t ≤的解集为13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.∵f (x )为偶函数，∴f (|x |)＝f (x )．故t ∈R 时，由()12f t ≤可得1334t ≤≤， 即3143t -≤≤-或1334t ≤≤.∴由1(1)2f x ≤－得31143x -≤≤-－或13134x ≤-≤，解得1243x ≤≤或4734x ≤≤.故选A.11．(2014辽宁，文11)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增答案：B解析：由题意知，平移后的函数f (x )ππ3sin 223x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ3sin 2π+3sin 233x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令πππ2π22π+232k x k -≤+≤，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5πππ,π+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .令ππ32π+22π+π232k x k ≤+≤(k ∈Z )，解得f (x )的递增区间为π7π+,π+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .从而可判断选项B 正确．12．(2014辽宁，文12)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－5，－3]B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案：C解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0＜x ≤1时，由(*)得232343143x x a x x x x--≥=--恒成立． 设()23143f x x x x =--，则()2234441898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++==.当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x ＜0时，由(*)得23143a x x x ≤--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2014辽宁，文13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝__________.答案：20解析：由程序框图可知，当i ＝0≤3时，i ＝1，S ＝1，T ＝1； 当i ＝1≤3时，i ＝2，S ＝3，T ＝4； 当i ＝2≤3时，i ＝3，S ＝6，T ＝10； 当i ＝3≤3时，i ＝4，S ＝10，T ＝20； 可知i ＝4＞3，退出循环． 故输入n ＝3时，输出T ＝20.14．(2014辽宁，文14)已知x ，y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z ＝3x ＋4y的最大值为__________．答案：18解析：画出x ，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分．由330,240,x y x y --=⎧⎨-+=⎩得2,3,x y =⎧⎨=⎩∴A 点坐标为(2,3)．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，可知当平移l 0到l (l 过点A )时，目标函数有最大值，此时z max ＝3×2＋4×3＝18.15．(2014辽宁，文15)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.答案：12解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|.∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.16．(2014辽宁，文16)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，124a b c++的最小值为__________． 答案：－1解析：要求|2a ＋b |的最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值． ∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， ∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ，∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ＋4ab ＝c ＋6ab ≤c ＋2232a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当2a ＝b 时，取得等号，即(2a ＋b )2取到最大值，即2a ＝b 时，|2a ＋b |取到最大值．把2a ＝b 代入4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，可得c ＝4a 2.∴2221241242111124a b c a a a a a a ⎛⎫++=++=+=+- ⎪⎝⎭. ∴当11a =-时，124a b c++取到最小值－1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2014辽宁，文17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA BC ⋅＝2，cos B ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．分析：(1)由数量积定义及余弦定理，可列出a ，c 的方程组，解方程组即可求出a ，c 的值．(2)由已知及正弦定理可分别求出B ，C 角的正、余弦值，再利用两角差的余弦公式可求出cos(B －C )的值．解：(1)由BA BC ⋅＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B=由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C1723393927=⨯+=. 18．(本小题满分12分)(2014辽宁，文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全(1)惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：221122122112n n n n n n n n n χ+(-)=.分析：(1)(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数．再由古典概型的概率公式计算即可．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得22112212211212n n n n n n n n n χ++++(-)=＝21006010201070308020⨯(⨯-⨯)⨯⨯⨯＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710. 19．(本小题满分12分)(2014辽宁，文19)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积．(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ； 同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝1111·sin 1203322DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅=. 20．(本小题满分12分)(2014辽宁，文20)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =A ，B 两点．若△P AB的面积为2，求C 的标准方程．分析：(1)设出切点P 的坐标，用此坐标表示三角形的面积．又由切点P 在圆上，利用基本不等式求最值的方法，可求出点P 的坐标．(2)设出椭圆C 的标准方程，由点P 在椭圆C 上，及直线l 与C 相交于A ，B 两点且S △P AB ＝2，可求出a ，b 的值．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为00x y -，切线方程为0000()xy y x x y -=--， 即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=， 由22000042x y x y +=≥知当且仅当x 0＝y 0x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P的坐标为．(2)设C 的标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知22221a b+=，并由2222=1=x y a by x ⎧+⎪⎨⎪+⎩，得222620b x b ++-=， 又x 1，x 2是方程的根，因此122122=62=,x x b x x b ⎧+⎪⎪⎨-⎪⎪⎩由11y x =22y x =得122|AB x x b ==－.由点P 到直线l及S △P AB＝122=得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为22163x y +=. 21．(本小题满分12分)(2014辽宁，文21)已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝2(π1πx x --，证明：(1)存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.分析：(1)利用求导数方法判断函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，再利用函数零点的存在性定理进行判断，证出结论．(2)先化简函数g (x )在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，再用求导法判断函数单调性，结合函数零点的存在性定理，即可证明．证明：(1)当x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0， 所以f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，又f (0)＝－π－2＜0，2ππ4022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，化简得()cos 2(π)11sin πx x g x x x =-⋅+-+. 令t ＝π－x ，记()cos 2(π)11sin πt t u t g t t t =-=--++，t ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则()π1sin f t u t t ()'=(+).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0， 当t ∈0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭时，u ′(t )＞0. 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上u (t )为增函数， 由π02u ⎛⎫= ⎪⎝⎭知，当t ∈0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，u (t )＜0，所以u (t )在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0. 于是存在唯一t 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使u (t 0)＝0. 设x 1＝π－t 0∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭， 则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0， 因此存在唯一的x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0， 由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．(本小题满分10分)(2014辽宁，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .分析：(1)证明AB 是直径，即证明∠BDA ＝90°.由∠PF A ＝90°，从而寻求∠BDA ＝∠PF A 就可证明．(2)要证AB ＝DE ，即证DE 为直径，连DC ，即证∠DCE ＝90°，从而只需证明AB ∥DC 即可．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°.于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .23．(本小题满分10分)(2014辽宁，理23)选修4—4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．分析：(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,2.x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=，得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)． (2)由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭， 所求直线斜率为12k =， 于是所求直线方程为111=22y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即34sin 2cos ρθθ=-. 24．(本小题满分10分)(2014辽宁，理24)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 分析：(1)分类讨论去绝对值符号即可．(2)在x ∈M ∩N 的条件下，先化简x 2f (x )＋x [f (x )]2，再配方求其最大值即可． 解：(1)()[)()33,1,,1,,1,x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩ 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得43x ≤， 故413x ≤≤； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得211644x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得1344x -≤≤. 因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭. 故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x·f(x)＝x(1－x)＝2111 424x⎛⎫--≤⎪⎝⎭.。
2014年辽宁省高考数学试卷(文科)
2014年某某省高考数学试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每一小题5分〕1．〔5分〕全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，如此集合∁U〔A∪B〕=〔〕A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．〔5分〕设复数z满足〔z﹣2i〕〔2﹣i〕=5，如此z=〔〕A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．〔5分〕a=，b=log2，c=log，如此〔〕A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．〔5分〕m，n表示两条不同直线，α表示平面，如下说法正确的答案是〔〕A．假如m∥α，n∥α，如此m∥n B．假如m⊥α，n⊂α，如此m⊥nC．假如m⊥α，m⊥n，如此n∥αD．假如m∥α，m⊥n，如此n⊥α5．〔5分〕设，，是非零向量，命题p：假如•=0，•=0，如此•=0；命题q：假如∥，∥，如此∥，如此如下命题中真命题是〔〕A．p∨q B．p∧q C．〔￢p〕∧〔￢q〕D．p∨〔￢q〕6．〔5分〕假如将一个质点随机投入如下列图的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，如此质点落在以AB为直径的半圆内的概率是〔〕A．B．C．D．7．〔5分〕某几何体三视图如下列图，如此该几何体的体积为〔〕A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π8．〔5分〕点A〔﹣2，3〕在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，如此直线AF的斜率为〔〕A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣9．〔5分〕设等差数列{a n}的公差为d，假如数列{2}为递减数列，如此〔〕A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜010．〔5分〕f〔x〕为偶函数，当x≥0时，f〔x〕=，如此不等式f〔x﹣1〕≤的解集为〔〕A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]11．〔5分〕将函数y=3sin〔2x+〕的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数〔〕A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增12．〔5分〕当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，如此实数a的取值X围是〔〕A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题〔共4小题，每一小题5分〕13．〔5分〕执行如图的程序框图，假如输入n=3，如此输出T=．14．〔5分〕x，y满足约束条件，如此目标函数z=3x+4y的最大值为．15．〔5分〕椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，假如M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，如此|AN|+|BN|=．16．〔5分〕对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为．三、解答题17．〔12分〕在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，•=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．18．〔12分〕某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进展了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100〔Ⅰ〕根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞；〔Ⅱ〕在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P〔x2＞k〕k19．〔12分〕如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．〔Ⅰ〕求证：EF⊥平面BCG；〔Ⅱ〕求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．20．〔12分〕圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P〔如图〕．〔Ⅰ〕求点P的坐标；〔Ⅱ〕焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，假如△PAB的面积为2，求C的标准方程．21．〔12分〕函数f〔x〕=π〔x﹣cosx〕﹣2sinx﹣2，g〔x〕=〔x﹣π〕+﹣1．证明：〔Ⅰ〕存在唯一x0∈〔0，〕，使f〔x0〕=0；〔Ⅱ〕存在唯一x1∈〔，π〕，使g〔x1〕=0，且对〔Ⅰ〕中的x0，有x0+x1＞π．四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做如此按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．〔10分〕如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．〔Ⅰ〕求证：AB为圆的直径；〔Ⅱ〕假如AC=BD，求证：AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．〔Ⅰ〕写出C的参数方程；〔Ⅱ〕设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．设函数f〔x〕=2|x﹣1|+x﹣1，g〔x〕=16x2﹣8x+1．记f〔x〕≤1的解集为M，g〔x〕≤4的解集为N．〔Ⅰ〕求M；〔Ⅱ〕当x∈M∩N时，证明：x2f〔x〕+x[f〔x〕]2≤．2014年某某省高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每一小题5分〕1．〔5分〕全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，如此集合∁U〔A∪B〕=〔〕A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U〔A∪B〕={x|0＜x＜1}，应当选：D．2．〔5分〕设复数z满足〔z﹣2i〕〔2﹣i〕=5，如此z=〔〕A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：由〔z﹣2i〕〔2﹣i〕=5，得：，∴z=2+3i．应当选：A．3．〔5分〕a=，b=log2，c=log，如此〔〕A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．应当选：D．4．〔5分〕m，n表示两条不同直线，α表示平面，如下说法正确的答案是〔〕A．假如m∥α，n∥α，如此m∥n B．假如m⊥α，n⊂α，如此m⊥nC．假如m⊥α，m⊥n，如此n∥αD．假如m∥α，m⊥n，如此n⊥α【解答】解：A．假如m∥α，n∥α，如此m，n相交或平行或异面，故A错；B．假如m⊥α，n⊂α，如此m⊥n，故B正确；C．假如m⊥α，m⊥n，如此n∥α或n⊂α，故C错；D．假如m∥α，m⊥n，如此n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．应当选B．5．〔5分〕设，，是非零向量，命题p：假如•=0，•=0，如此•=0；命题q：假如∥，∥，如此∥，如此如下命题中真命题是〔〕A．p∨q B．p∧q C．〔￢p〕∧〔￢q〕D．p∨〔￢q〕【解答】解：假如•=0，•=0，如此•=•，即〔﹣〕•=0，如此•=0不一定成立，故命题p为假命题，假如∥，∥，如此∥平行，故命题q为真命题，如此p∨q，为真命题，p∧q，〔￢p〕∧〔￢q〕，p∨〔￢q〕都为假命题，应当选：A．6．〔5分〕假如将一个质点随机投入如下列图的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，如此质点落在以AB为直径的半圆内的概率是〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，如此由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，应当选：B．7．〔5分〕某几何体三视图如下列图，如此该几何体的体积为〔〕A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．应当选：C．8．〔5分〕点A〔﹣2，3〕在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，如此直线AF的斜率为〔〕A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣【解答】解：∵点A〔﹣2，3〕在抛物线C：y2=2px的准线上，∴﹣=﹣2，∴F〔2，0〕，∴直线AF的斜率为=﹣．应当选：C．9．〔5分〕设等差数列{a n}的公差为d，假如数列{2}为递减数列，如此〔〕A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0【解答】解：∵数列{2}为递减数列，∴＜1，即＜1，∴＜1，∴a1〔a n+1﹣a n〕=a1d＜0应当选：D10．〔5分〕f〔x〕为偶函数，当x≥0时，f〔x〕=，如此不等式f〔x﹣1〕≤的解集为〔〕A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]【解答】解：当x∈[0，]，由f〔x〕=，即cosπx=，如此πx=，即x=，当x＞时，由f〔x〕=，得2x﹣1=，解得x=，如此当x≥0时，不等式f〔x〕≤的解为≤x≤，〔如图〕如此由f〔x〕为偶函数，∴当x＜0时，不等式f〔x〕≤的解为﹣≤x≤﹣，即不等式f〔x〕≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，如此由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，解得≤x≤或≤x≤，即不等式f〔x﹣1〕≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，应当选：A．11．〔5分〕将函数y=3sin〔2x+〕的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数〔〕A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【解答】解：把函数y=3sin〔2x+〕的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2〔x﹣〕+]．即y=3sin〔2x﹣〕．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．应当选：B．12．〔5分〕当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，如此实数a的取值X围是〔〕A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f〔x〕=，如此f′〔x〕==﹣〔*〕，当0＜x≤1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔0，1]上单调递增，f〔x〕max=f〔1〕=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由〔*〕式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′〔x〕＞0，f〔x〕单调递增，f〔x〕min=f〔﹣1〕=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值X围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值X围是[﹣6，﹣2]．应当选：C．二、填空题〔共4小题，每一小题5分〕13．〔5分〕执行如图的程序框图，假如输入n=3，如此输出T=20．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+〔1+2〕+〔1+2+3〕+...+〔1+2+3+ (i)的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，∴输出T=1+3+6++10=20．故答案为：20．14．〔5分〕x，y满足约束条件，如此目标函数z=3x+4y的最大值为18．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C〔2，3〕．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．15．〔5分〕椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，假如M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，如此|AN|+|BN|=12．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．16．〔5分〕对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]≥[2〔a﹣〕+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1三、解答题17．〔12分〕在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，•=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；〔Ⅱ〕在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，如此cos〔B﹣C〕=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．〔12分〕某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进展了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100〔Ⅰ〕根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞；〔Ⅱ〕在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P〔x2＞k〕k【解答】解：〔Ⅰ〕由题意，X2=≈＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞；〔Ⅱ〕从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．19．〔12分〕如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．〔Ⅰ〕求证：EF⊥平面BCG；〔Ⅱ〕求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，∵G为AD的中点，∴CG⊥AD．同理BG⊥AD，∵CG∩BG=G，∴AD⊥平面BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面BCG；〔Ⅱ〕解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO=ABsin60°=，=V G﹣BCD==×=．∴V D﹣BCG20．〔12分〕圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P〔如图〕．〔Ⅰ〕求点P的坐标；〔Ⅱ〕焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，假如△PAB的面积为2，求C的标准方程．【解答】解：〔Ⅰ〕设切点P的坐标为〔x0，y0〕，且x0＞0，y0＞0．如此切线的斜率为﹣，故切线方程为y﹣y0=﹣〔x﹣x0〕，即x0x+y0y=4．此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．再根据+=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，故此时，点P的坐标为〔，〕．〔Ⅱ〕设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．由求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．由y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•=．由于点P〔，〕到直线l：y=x+的距离d=，△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得b4﹣9b2+18=0，解得b2=3，或b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为+=1．21．〔12分〕函数f〔x〕=π〔x﹣cosx〕﹣2sinx﹣2，g〔x〕=〔x﹣π〕+﹣1．证明：〔Ⅰ〕存在唯一x0∈〔0，〕，使f〔x0〕=0；〔Ⅱ〕存在唯一x1∈〔，π〕，使g〔x1〕=0，且对〔Ⅰ〕中的x0，有x0+x1＞π．【解答】解：〔Ⅰ〕当x∈〔0，〕时，f′〔x〕=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f〔x〕在〔0，〕上为增函数，又f〔0〕=﹣π﹣2＜0，f〔〕=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈〔0，〕，使f〔x0〕=0；〔Ⅱ〕当x∈[，π]时，化简可得g〔x〕=〔x﹣π〕+﹣1=〔π﹣x〕+﹣1，令t=π﹣x，记u〔t〕=g〔π﹣t〕=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′〔t〕=，由〔Ⅰ〕得，当t∈〔0，x0〕时，u′〔t〕＜0，当t∈〔x0，〕时，u′〔t〕＞0，∴函数u〔t〕在〔x0，〕上为增函数，由u〔〕=0知，当t∈[x0，〕时，u〔t〕＜0，∴函数u〔t〕在[x0，〕上无零点；函数u〔t〕在〔0，x0〕上为减函数，由u〔0〕=1与u〔x0〕＜0知存在唯一t0∈〔0，x0〕，使u〔t0〕=0，于是存在唯一t0∈〔0，〕，使u〔t0〕=0，设x1=π﹣t0∈〔，π〕，如此g〔x1〕=g〔π﹣t0〕=u〔t0〕=0，∴存在唯一x1∈〔，π〕，使g〔x1〕=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做如此按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．〔10分〕如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．〔Ⅰ〕求证：AB为圆的直径；〔Ⅱ〕假如AC=BD，求证：AB=ED．【解答】证明：〔Ⅰ〕∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；〔Ⅱ〕连接BC，DC，如此∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．〔Ⅰ〕写出C的参数方程；〔Ⅱ〕设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：〔Ⅰ〕在曲线C上任意取一点〔x，y〕，由题意可得点〔x，〕在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为〔0≤θ＜2π，θ为参数〕．〔Ⅱ〕由，可得，，不妨设P1〔1，0〕、P2〔0，2〕，如此线段P1P2的中点坐标为〔，1〕，再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=〔x﹣〕，即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．选修4-5：不等式选讲24．设函数f〔x〕=2|x﹣1|+x﹣1，g〔x〕=16x2﹣8x+1．记f〔x〕≤1的解集为M，g〔x〕≤4的解集为N．〔Ⅰ〕求M；〔Ⅱ〕当x∈M∩N时，证明：x2f〔x〕+x[f〔x〕]2≤．【解答】解：〔Ⅰ〕由f〔x〕=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．〔Ⅱ〕证明：由g〔x〕=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f〔x〕=1﹣x，∴x2f〔x〕+x[f〔x〕]2 =xf〔x〕[x+f〔x〕]=﹣≤，故要证的不等式成立．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()AB = U ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a bb c，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．84π-B ．82π- C ．8π- D ．82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21.（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 18 15. 12 16. -1三、解答题 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac = 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >，所以3,2a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ==由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+= 18.解：（Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。
2014年高考文科数学辽宁卷
-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------⎨ + = 2绝密★启用前在2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)此注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.卷2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.上第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只答有一项是符合题目要求的.5. 设 a ，b ，c 是非零向量.已知命题 p ：若 a b = 0 ，b c = 0 ，则 a c = 0 ；命题q ：若 a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c .则下列命题中真命题是（）A ． p ∨ qB ． p ∧ qC ． (⌝p ) ∧ (⌝q )D ． p ∨ (⌝q )6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中AB = 2 ， BC =1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ． π2 B ． π4 C ． π6D ． π87. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． 8 - π4 B ． 8 - π2C ． 8 - πD ． 8 - 2π8. 已知点 A (-2,3) 在抛物线C ： y 2= 2 px 的准线上，记C11.将函数 y = 3sin(2x + π) 的图象向右平移 π个单位长度，所得图象对应的函数（）12.当 x ∈[-2,1] 时，不等式ax 3 - x 2 + 4x + 3≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是 （）A ．[-5, -3]B ．[-6, - 9] 8C ．[-6, -2]D ．[-4, -3]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.执行右侧的程序框图，若输入n = 3 ， 则输出T = .14.已知 x ， y 满足约束条件1．已知全集U = R ， A ={x |x ≤0}， B ={x | x ≥1} ，则集合 （ ）的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为（ ）⎧2x + y - 2≥0 ⎪x - 2 y + 4≥0 ⎪3x - y - 3≤0 2．设复数 z 满足(z - 2i)(2 -i) = 5 ，则 z =（）9．设等差数列{a } 的公差为d .若数列{2a 1 a n} 为递减数列，则（ ）⎩n题则目标函数 z = 3x + 4y 的最大值为 .- 11 12 15．已知椭圆C ： x y1，点 M 与C 的焦点不重合.3. 已知a = 2 3， b = log 2 ， c = log 1 ，则（） ⎧1 9 43 2 3⎪cos πx , x ∈[0, 2], 110．已知 f (x ) 为偶函数，当 x ≥0 时， f (x ) = ⎨ 则不等式 f (x -1)≤ 的解 1 2 若 M 关于C 的焦点的对称点分别为 A ， B ，线段 MN⎪2x -1, x ∈( , +∞),的中点在C 上，则| AN | + | BN |= . 无⎪⎩24. 已知m ， n 表示两条不同直线，α 表示平面.下列说法正确的是（）集为（）16．对于c ＞0 ，当非零实数a ，b 满足4a 2 - 2ab + b 2 - c = 0 且使| 2a + b | 最大时， 1 + 2 + 4的最小值为 .a b c效数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）U ( A B ) =姓名准考证号A ．{x | x ≥0}B ．{x | x ≤1}C ．{x | 0≤x ≤1}D ．{x | 0＜x ＜1}A ． 2 + 3iB ． 2 - 3iC ． 3 + 2iD ． 3 - 2iA ． a ＞b ＞cB ． a ＞c ＞bC ． c ＞b ＞aD ． c ＞a ＞bA ．若m ∥α ， n ∥α ，则m ∥nB ．若m ⊥α ， n ⊂ α ，则m ⊥nC ．若m ⊥α ， m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α ， m ⊥n ，则n ⊥αA ． - 43B ． -1C ． - 3 4D ． - 12A ． d ＞0B ． d ＜0C ． a 1d ＞0D ． a 1d ＜0A ．[1 , 2] [ 4 , 7]4 3 3 4 B ．[- 3 , - 1] [1 , 2]4 3 4 3 C ．[1 , 3] [ 4 , 7]3 4 3 4 D ．[- 3 , - 1] [1 , 3]4 3 3 43 A ．在区间[π , 7π] 上单调递减12 12 2 B ．在区间[π , 7π] 上单调递增12 12 C ．在区间[- π , π] 上单调递减6 3D ．在区间[- π , π] 上单调递增6 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）在△ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 a ＞c ．已知 BA BC = 2 ，cos B = 1， b = 3 .求：3 （Ⅰ） a 和c 的值； （Ⅱ） cos(B - C ) 的值．18．（本小题满分 12 分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查19．（本小题满分 12 分）如图， △ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB = BC = BD = 2 ， ∠ABC = ∠DBC =120， E ，F ，G 分别为 AC ， DC ， AD 的中点.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面 BCG ；（Ⅱ）求三棱锥 D - BCG 的体积.附：锥体的体积公式V = 1Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高.320．（本小题满分 12 分）圆 x 2+ y 2= 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）. （Ⅰ）求点 P 的坐标；（Ⅱ）焦点在 x 轴上的椭圆C 过点 P ，且与直线l ：请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于 E ，C 两点，PD 切圆于 D ，G 为CE 上一点且 PG = PD ，连接 DG 并延长交圆于点 A ，作弦 AB 垂直 EP ，垂足为 F . （Ⅰ）求证： AB 为圆的直径；（Ⅱ）若 AC = BD ，求证： AB = ED .23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参考方程将圆 x 2+ y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；y = x + 3 交于 A ，B 两点.若△PAB 的面积为 2，求C（Ⅱ）设直线l ：2x + y - 2 = 0 与C 的交点为 P 1 ， P 2 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴的标准方程.为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.（Ⅰ）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从 这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = π(x - cos x ) - 2sin x - 2 ， g (x ) = (x - π) 证明：（Ⅰ）存在唯一 x ∈(0, π) ，使 f (x ) = 0 ；0 2 0+ 2x-1 .π24．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲设函数 f (x ) = 2 | x -1| +x -1 ，g (x ) =16x 2 - 8x +1 ．记的解集为 N .f (x ) ≤1的解集为 M ，g (x )≤4（Ⅱ）存在唯一 x 1 ∈ π( 2, π) ，使 g (x 1 ) = 0 ，且对（Ⅰ）中的 x 0 ，有 x 0 + x 1＞π .（Ⅰ）求 M ； （Ⅱ）当 x ∈ MN 时，证明： x 2 f (x ) + x [ f (x )]2≤1.4数学试卷 第 4 页（共 6 页）数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）1- sin x 1+ sin x喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100χ 2n (n n - n n )2附：= 11 2212 21，n 1 +n 2 + n +1n +2P (χ 2≥k )0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635。
辽宁省铁岭高中2014届高三下学期第一次考试数学文试题Word版含答案
辽宁省铁岭高中2014届高三年级下学期第一次考试数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合则A. B. C. D.2. 给出下列四个命题:①命题,则.②当时,不等式的解集为非空.③当时,有.④设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=1-i其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．43. 已知，，则（）A. B.或 C. D.4. 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90 D．1865. 已知两个单位向量与的夹角为，则与互相垂直的充要条件是（）A．或 B．或C．或 D．为任意实数6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A. B.160C. D.7.下面几个命题中，假命题是（）A.“若,则”的否命题；B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；D.“”是“”的必要条件.8．下列函数中在区间上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（）A. B. C. D.9. 如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D．异面直线与不可能垂直10.中，角的对边为，向量，若，且，则角的大小分别为（）A． B． C． D．11.设，，在中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．10012.函数，则下列说法中正确命题的个数是（）①函数有3个零点；②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；③函数的极大值中一定存在最小值；④，，对于一切恒成立．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列满足是方程的两个根，且，则______14．不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.15. 空间中一点出发的三条射线，两两所成的角为，在射线上分别取点，使，则三棱锥的外接球表面积是______________.16．关于函数，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．（本小题满分12分）函数，,其中,点是函数图像上相邻的两个对称中心，且（1）求函数的表达式；（2）若函数图像向右平移个单位后所对应的函数图像是偶函数图像，求的最小值．18. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.19. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面是的中点（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积。
辽宁省铁岭高中高三数学下学期第一次考试试题 文 新人教A版
数 学 试 卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合},214|{},,212|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则 A. M N = B. M N ⊂ C. M N ⊃ D. M N ⋂=∅ 2. 给出下列四个命题:①命题1sin ,:≤∈∀x R x p ,则1sin ,:<∈∃⌝x R x p . ②当1≥a 时,不等式a x x <-+-34的解集为非空. ③当1>x 时,有2ln 1ln ≥+xx . ④设复数z 满足（1-i ）z =2 i ，则z =1-i 其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．1865. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是（ ）A ．1λ=-或1λ=B ．12λ=-或12λ= C ．32λ=-或32λ= D ．λ为任意实数 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+ 7.下面几个命题中，假命题是（ ） A.“若a b ≤,则221ab≤-”的否命题；B.“) ,0(∞+∈∀a ，函数x a y =在定义域内单调递增”的否定；C.“π是函数x y sin =的一个周期”或“π2是函数x y 2sin =的一个周期”；D.“022=+y x ”是“0=xy ”的必要条件.8．下列函数中在区间),1(+∞上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） A.122-+-=x x y B.x y cos = C.|1|lg -=x y D.x x x y 3323+-=9. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直10. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量31)(cos sin )A A =-=，，，m n ， 若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36，B ．2ππ36， C ．ππ63， D ．ππ33，11.设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10012.函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=,2),2(212,0,11)(x x f x x x f ，则下列说法中正确命题的个数是（ ）① 函数)1ln()(+-=x x f y 有3个零点； ② 若0>x 时，函数x k x f ≤)(恒成立，则实数k 的取值范围是) ,23[∞+； ③ 函数)(x f 的极大值中一定存在最小值；④)2(2)(k x f x f k +=，)(N ∈k ，对于一切) ,0[∞+∈x 恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{}n a 满足15,a a 是方程282810x x -+=的两个根，且15a a <，则3a = ______14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≥-≥142117x y x y x y 表示的平面区域为D ，若对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是__________.15. 空间中一点P 出发的三条射线,,PA PB PC ，两两所成的角为60︒，在射线,,PA PB PC上分别取点,,M N Q ，使1,2,3PM PN PQ === ，则三棱锥P MNQ - 的外接球表面积是______________.16．关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称； ②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2； ④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题17． （本小题满分12分）函数()3f x a b =⋅-，(3cos ,sin ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==-,其中0ω>,点()()12,0,,0x x 是函数()f x 图像上相邻的两个对称中心，且122x x π-=（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 图像向右平移m ()0m >个单位后所对应的函数图像是偶函数图像， 求m 的最小值． 18. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若, 两组被抽到的评委中各有2人支持1到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.19. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,4,ABCD PA AB BC E ===是PD 的中点（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥P AEC -的体积。
2014年高考文科数学辽宁卷-答案
3 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供文科考生使用)答案解析第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】D【解析】A B ={x | x ≥1或x ≤ 0} ，∴| 0 < x <1} .故选 D.【提示】先求A B ，再根据补集的定义求 ( A B ) .【考点】交、并、补集的混合运算2. 【答案】A【解析】 (z - 2i)(2 -i) = 5 ，∴ z =5+ 2i = 5(2 + i)+ 2i = 2 + 3i. 故选 A. 2 - i 5 【提示】把给出的等式两边同时乘以 12 - i，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则 z 可求.【考点】复数代数形式的乘除运算3. 【答案】D【解析】∵ - 1， b = log 1 < log 1 = 0 ， c = log1 = log 3 > log2 = 1，∴c > a > b .故选D.0 < a = 2 3 < 2 =1 2 32 1 2 2 2【提示】利用指数式的运算性质得到0 < a <1 ，由对数的运算性质得到b < 0，c >1，则答案可求. 【考点】对数的运算性质4. 【答案】B【解析】若m ∥α ， n ∥α ，则m ， n 相交或平行或异面，故A 错；若 m ⊥ α ， n ⊂ α ，则m ⊥ n ，故B 正确；若m ⊥ α ， m ⊥ n ，则n ∥α 或 n ⊂ α ，故 C 错；若m ∥α ， m ⊥ n ，则n ∥α 或n ⊂ α 或n ⊥ α ，故 D 错.故选 B.【提示】A 运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B 运用线面垂直的性质，即可判断； C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系5. 【答案】A【解析】若a b = 0 ， b c = 0 ，则a b = b c ，即(a - c )b = 0 ，则 a c = 0 不一定成立，故命题 p 为假命题.若a ∥b ， b ∥c ，则 a ∥c ，故命题q 为真命题.则 p ∨ q ，为真命题， p ∧ q ，(⌝p ) ∧ (⌝q ) ， p ∨ (⌝q ) 都为假命U (A B ) ={x题，故选A.【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】复合命题的真假6.【答案】B1 π ⋅12【解析】P( A) =2 = π，故选B.1⨯ 2 4【提示】利用几何概型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论.【考点】几何概型7.【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个1圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，4高为2，所以几何体的体积V = 23 - 2 ⨯1⨯π⨯12 ⨯ 2 = 8 -π ，故选C. 4【提示】几何体是正方体切去两个1圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把4数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.【考点】由三视图求面积、体积8.【答案】C【解析】因为点A(-2,3) 在抛物线C ：y2 = 2 px 的准线上，所以p= 2 ，所以F(2,0) ，所以直线AF 的斜率2为3=-3，故选C. -2 - 2 4【提示】利用点A(-2,3) 在抛物线C ：y2 = 2 px 的准线上，确定焦点F 的坐标，即可求出直线AF 的斜率.【考点】抛物线的简单性质9.【答案】D【解析】等差数列a 1d < 0 .故选D.{an}的公差为d ，2a1a n+1∴an+1-an=d.又数列{2a1a n }为递减数列，所以2a1a n+1=2a1a n2a1d<1，【提示】由数列递减可得2a1a n< 1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得.【考点】等差数列的性质10.【答案】A【解析】当x ∈⎡0,1 ⎤，由f (x) =1，即cos πx =1，则πx =π，即x =1.⎢⎣ 2 ⎥⎦2 2 3 3⎢ ⎥ 当 x > 1 时，由 f (x ) = 1 ，得2x -1 = 1 ，解得 x = 3 .则当 x ≥ 0 时，不等式 f (x ) ≤ 1 的解为 1 ≤ x ≤ 3 .2 2 2 4 23 4由 f (x ) 为偶函数，所以当 x < 0 时，不等式 f (x ) ≤ 1 的解为- 3 ≤ x ≤ - 1 ，即不等式 f (x ) ≤ 1 的解为 1 ≤ x ≤ 32 43 2 3 4或- 3 ≤ x ≤ - 1 ，则由- 3 ≤ x -1 ≤ - 1 或 1 ≤ x -1 ≤ 3 ，解得 1 ≤ x ≤ 2 或 4 ≤ x ≤ 7 ，即不等式 f (x -1) ≤ 1 的4 3 4 3 3 4 4 3 3 4 2 解集为 1 ≤ x ≤ 2 或 4 ≤ x ≤ 7，故选 A.4 3 3 4【提示】先求出当 x ≥ 0 时，不等式 f (x ) ≤ 1 的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上 f (x ) ≤ 1的解，2 2即可得到结论.【考点】分段函数的应用11. 【答案】B【解析】把函数 y = 3sin ⎛2x + π ⎫ 的图象向右平移 π 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：3 ⎪ 2 ⎝ ⎭y = 3sin ⎢2 x - 2 ⎪ + 3 ⎥ .即 y = 3sin 2x - 3 ⎪ .由- 2 3 + k π ，k ∈ Z .取k = 0 ，得 π ≤ x ≤ 7π .所得图象对应的函数在区间⎡ π , 7π ⎤上单调递增，故选 B.12 12 ⎢⎣12 12 ⎥⎦【提示】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k = 0 即可得到函数在区间⎡ π , 7π ⎤ 上单调递增，则答案可求. ⎣12 12 ⎦【考点】函数 y = A sin(ωx + ϕ) 的图象变换12. 【答案】C【解析】当 x = 0 时，不等式ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0 对任意a ∈ R 恒成立；当0 < x ≤1时， ax 3 - x 2+ 4x + 3 ≥ 0 1 4 3 1 4 31 8 9 (x - 9)(x +1)(*)可化为 a ≥ - - ，令 x x 2 x 3 f (x ) = - - ，则 x x 2 x 3 f '(x ) = - + + = - x 2 x 3 x 4 x4，当0 < x ≤1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 在(0,1] 上单调递增， f (x )max = f (1) = -6 ，∴a ≥ -6 .当-2 ≤ x < 0 时，ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0可化为 a ≤ 1 - 4 - 3.当-2 ≤ x ≤ -1时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，当-1< x < 0 时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单x x 2 x 3调递增， f (x )min = f (-1) = -2 ，∴a ≤ -2 .综上所述，实数 a 的取值范围是-6 ≤ a ≤ -2 ，即实数a 的取值范围是[-6, -2].故选C.【提示】分 x = 0 ，0 < x ≤1， -2 ≤ x < 0 三种情况进行讨论，分离出参数a 后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a 取交集.⎡ ⎛ π ⎫ π ⎤ ⎛2π ⎫ π + 2k π ≤ 2x - 2π ≤ π π + k π ≤ x ≤ 7π ⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭ 2+ 2k π ，得 12 12⎩ ⎨ ⎩ 【考点】函数恒成立问题，其他不等式的解法第Ⅱ卷二、填空题13. 【答案】20【解析】由程序框图知：算法的功能是求T =1+ (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + + (1+ 2 + 3 + + i) 的值，当输入n = 3时，跳出循环的i 值为 4，所以输出T =1+ 3 + 6 +10 = 20 . 【提示】算法的功能是求T =1+ (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + + (1+ 2 + 3 + + i ) 的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的 T 值. 【考点】程序框图14. 【答案】18⎧2x + y - 2 ≥ 0 【解析】由约束条件⎪x - 2 y + 4 ≥ 0 作出可行域如图，联立⎧x - 2 y + 4 = 0 ，解得⎧x = 2 ，∴C (2,3) .化目标⎨ ⎪3x - y - 3 ≤ 0⎩3x - y - 3 = 0 ⎨y = 3函数 z = 3x + 4y 为直线方程的斜截式，得： y = - 3 x + z .由图可知，当直线 y = - 3 x + z过点C 时，直线在4 4 4 4 y 轴上的截距最大，即 z 最大.∴z max = 3⨯ 2 + 4⨯ 3 =18 .【提示】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【考点】简单线性规划15. 【答案】12【解析】如图： MN 的中点为Q ，易得| QF|= 1 | NB | ，| QF |= 1| AN | ， Q 在椭圆C 上，2 2 12∴|QF 1|+ | QF 2 |= 2a = 6 ，∴| AN | + | BN |=12 .3 1 - ⎛ 1 ⎫2⎝ 3 ⎭ ⎪ 2 2 4 2 1- sin 2 C 1 - ⎛ 4 2 ⎫2 ⎝ ⎭ 9 ⎪ ⎝⎩⎩ ⎩ ⎩ ⎭【提示】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出| AN | + | BN | 的值.【考点】椭圆的简单性质16. 【答案】-1c1 ⎛ b ⎫23 【解析】 4a 2 - 2ab + b 2 - c = 0 ，∴ = a 2 -4 2 ab + b 2= a - ⎝ ⎪ + 16b 2 ，由柯西不等式得，⎡ b 2 ⎛ ⎫2 ⎤ 2⎡ b ⎢⎛ a - ⎫ +b ⎪ ⎥ ⎡22 + (2 3)⎤ ≥ ⎢2⎛ a - ⎫ + b2a + b 2 ，故当 2a + b 最大时， ⎢4 ⎪ 4 ⎪ ⎥ ⎢⎣⎥⎦ 2 ⎪ 4⎣⎝ ⎭a - b⎝ ⎭ ⎦3b1⎣ ⎝⎭ 1 2 4 2 2 4 1 ⎛ 1 1 ⎫2有 4 = 4 2 ，∴a = b ， c = b 2，∴ + + = + + = 2 a b c b b b 2 4 b + ⎪ -1 ，当b = -2 时， ⎭ 取得最小值为-1.【提示】 4a 2 - 2ab + b 2 - c = 0 转化为 c 4= ⎛ a - ⎝b ⎫2⎪ ⎭ + 3b 2，再由柯西不等式得到| 2a + b |2 ，分别用b 表示 16a ， c ，在代入到 1 + 2 + 4 得到关于b 的二次函数，求出最小值即可.a b c【考点】一般形式的柯西不等式，基本不等式 三、解答题17. 【答案】（ Ⅰ ） 由b 2 + 2 ac cos B .得 ac ⋅cos B = 2 . 又 cos B = 1，所以 ac = 6 . 由余弦定理得 a 2 + c 2 = 3 又因为b = 3 ，所以a 2 + c 2 = 32+ 2 ⨯ 6 ⨯ 1 = 13 .解⎧ac = 6 得⎧a = 2 或⎧a = 3 .因为a > c ，∴⎧a = 3 .3 ⎨a 2 + c 2 = 13 ⎨c = 3 ⎨c = 2 ⎨c = 2（Ⅱ）在△ABC 中， sin B == = .由正弦定理得 b = c ，c sin B2 ⨯ 2 23 sin B sin C7 所以sin C = = 3 = .因为a > c ，所以角C 为锐角. cos C = = = . b 3 9 9 cos(B - C ) = cos B cos C + sin B sin C = 1 ⨯ 7 + 2 2 ⨯ 4 23 9 3 93 2 3⎥ =⎦ ⎤2 2 3 BA BC = 21- cos 2 B 4 2 423.273 ( ) 【提示】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简 BA BC = 2 ，将cos B = 1代入求出ac = 6 ，再利用余3弦定理列出关系式，将b ， cos B 以及ac 的值代入得到a 2 + c 2 =13 ，联立即可求出ac 的值.（Ⅱ）由cos B 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin B 的值，由c ， b ， sin B ，利用正弦定理求出sin C 的值，进而求出cos C 的值，将原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值.【考点】余弦定理，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦函数100 ⨯ 60 ⨯10 - 20 ⨯10 218.【答案】（Ⅰ）由题意， X 2= ≈ 4.762 > 3.841 ，所以有95%的把握认为“南方学 70 ⨯ 30 ⨯ 80 ⨯ 20生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.（Ⅱ）从这 5 名学生中随机抽取 3 人，共有C 3 = 10 种情况，有 2 名喜欢甜品，有C 1 = 3 种情况，所以至多53有 1 人喜欢甜品的概率 7.10【提示】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论.（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解.【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式19. 【答案】（Ⅰ） AB = BC = BD = 2 ， ∠ABC = ∠DBC =120︒ ，∴△ABC ≌△DBC ，∴ AC = DC .G 为 AD 的中点，∴CG ⊥ AD .同理 BG ⊥ AD . CG BG = G ，∴ AD ⊥ 平面 BGC . EF ∥AD ， ∴EF ⊥ 平面 BCG .（Ⅱ）在平面ABC 内，作 AO ⊥ CB ，交CB 的延长线于O ， ∆ABC 和∆BCD 所在平面互相垂直， ∴ AO ⊥ 平面 BCD . G 为 AD 的中点，∴ G 到平面BCD 的距离h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中， AO = AB sin 60︒ = ，V= V = 1 S h = 1 1 BD BC sin120︒ = 1. D -BCG D -BCD3 △DCB 3 2 2【提示】（Ⅰ）先证明 AD ⊥平面 BGC ，利用 EF ∥AD ，可得 EF ⊥平面 BCG .（Ⅱ）在平面 ABC 内，作 AO ⊥ CB ，交CB 的延长线于O ，G 到平面 BCD 的距离h 是 AO 长度的一半，利用V= V = 1 S h ，即可求三棱锥 D - BCG 的体积. D -BCG D -BCD3△DCB【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定1 4 4 = 82 x 0 y 0 x 0 y 0x 0 y 0 3 2 4 2 32 3x +3 -4 3 3 - b 2 = 16 b 2 3 ⎩ y 20. 【答案】（Ⅰ）设切点 P 的坐标为(x 0 , y 0 ) ，且 x 0 > 0 ， y 0 > 0 .则切线的斜率为- x 0 ，故切线方程为y - y = - x 0 (x - x ) ，即 x x + y y = 4 . 0 00 0此时，切线与x 轴正半轴， y 轴正半轴围成的三角形的面积 S = .再根据 x 2 + y 2 = 4 ≥ 2，可得当且仅当 x = y =2 ，故点 P 的坐标为( 2, 2) .0 0 0 0 （Ⅱ）设椭圆方程 x 2 + y2= ， A (x , y ) ， B (x , y ) .椭圆过点得： 2 + 2 = 1 ， a 2 b 2 1 1 1 2 2 P ( 2, 2) a 2 b 2则 P 到直线 y = x + 3 的距离d = .由题得： S △ABP= 1d AB = 2 ，解得 AB = . 2由弦长公式得 AB 2 = (1+ k 2)⎡(x + x )2 - 4x x ⎤ = 2 ⎡( x + x )2 - 4x x ⎤ = 32 ，即(x+ x )2- 4x x= 16 .⎣ 1 2 1 2 ⎦ ⎣ 1 2 1 2 ⎦ 3 1 2 1 23⎧ y = x +把点 P 代入方程得： 2 + 2 a 2 b 2 ⎪ = 1 ，由⎨ x 2 + y 2 x 2 得 + = 1 a 2 b 2-1 = 0 ，整理得 x 2+ -1 = 0 ，b 2 ⎪ a 2 b 2∴ x + x = ， x x = 2 ，代入上式得 48 - 8 ， 即 6 - 3 + 1 = 0 ，1 2b 21 2 b 4 b 4 b 2 3 x 2 y 2 解得b 2 = 3 ， a 2 = 6 ，或b 2 = 6 ， a 2= 3 （舍），所以椭圆方程为： + = 1. 6 3【提示】（Ⅰ）设切点 P 的坐标为(x 0 , y 0 ) ，求得圆的切线方程，根据切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成 的三角形的面积 S =8x 0 y 0.再利用基本不等式求得 S 取得最小值，求得点 P 的坐标. x 2 y 22 2 （Ⅱ）设椭圆的标准方程为 a 2 + b2 = 1 ， a > b > 0 ， a 2 + b 2 = 1 .把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于 x 的一元二次方程，再用韦达定理、弦长公式求出弦长 AB 以及点 P 到直线的距离d ，再由△PAB的面积为 S △ABP= 1 d AB = 2 ，求出a 2 ， b 2 的值，从而得到所求椭圆的方程. 2 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题3 x 2 + 2 3x + 3 3 - b 2b 2 y 0 0 22 ⎪ 2 21. 【答案】（Ⅰ） f (x ) = π(x - cos x ) - 2sin x - 2 ，∴ f (0) = -π - 2 < 0 ， f ⎛ π ⎫ = π ⎝ ⎭ 2 - 4 > 0 .f (x ) 在⎛ 0 π⎫ 上有零点. f '(x ) = π(1+ sin x ) - 2cos x = πsin x + (π - 2cos x ) > 0 ，， ⎪ ⎝ 2 ⎭∴ f (x ) 在⎛ 0 π⎫ 上单调递增.， ⎪ ⎝ 2 ⎭（Ⅱ） g ( x ) = (x -2x -1，x ∈⎛ π, π⎫，π 2 ⎪∴ g (x ) = (x - π)-cos x 1+ sin x ⎝ ⎭+ 2x -1 .π∴ g (π - x ) = -x cos x + π - 2x ，x ∈⎛ 0, π ⎫ .1+ sin x π 2 ⎪ ⎝ ⎭设 h (x ) = x -cos x + π - 2x ， x ∈⎛ 0, π ⎫，则 g (x ) 与 h (x ) 的零点同.1+ sin x π 2 ⎪' -cos x⎝ ⎭sin x (1+ sin x ) + cos 2 x 2 -cos x x2 π(x - - cos x ) - 2(1+ sin x )h (x ) = + x 1+ s in x (1+ sin x )2 - = + - =π 1+ sin x 1+ sin x ππ(1+ sin x )= f (x ) ， x ∈⎛ 0, π ⎫ .由（Ⅰ）知， f (x ) 在⎛ 0 π ⎫上只有一个零点 x ，且在点 x 左负右正. π(1 + sin x ) 2 ⎪ ， ⎪ 0 0⎝ ⎭ ⎝ 2 ⎭∴h ( x ) 在 x 点左侧递减，在 x 点右侧递增，且h (0) =1 > 0 ，h ⎛ π⎫ = 0 ，故 h (x ) <0 ，存在唯一 x ∈(0, x ) ， 0 0 ⎪ 0 2 0⎝ ⎭使得h (x 2 ) = 0 ，即 g (π - x 2 ) = 0 ，∴ x 1 = π - x 2 ，即 x 1 + x 2 = π < x 1 + x 0 ，∴ x + x > π ，所以 g ( x ) 在⎛ π ,π ⎫上存在唯一零点 x ，且 x + x > π . 012 ⎪ 1 0 1 ⎝ ⎭【提示】（Ⅰ）导数法可判 f (x ) 在⎛ 0 π ⎫上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一.， ⎪ ⎝ 2 ⎭（Ⅱ）化简可得 g (x ) = (x - π)-cos x + 2x -1 ，设h (x ) = x -cos x + π - 2x，则 g (x ) 与h (x ) 的零点同.由导 1+ sin x π 数法可得函数的零点，可得不等式.1+ sin x π1- s in x 1+ sin x2⎝ ⎭ ⎩ ⎩ = 【考点】函数零点的判定定理22. 【答案】证明：（Ⅰ） PD = PG ∴∠PDG = ∠PGD PD 为切线，∴∠PDA = ∠DBA ，∠PGD = ∠EGA ∴∠DBA = ∠EGA ∴∠DBA + ∠BAD = ∠EGA + ∠BAD ，∴∠NDA = ∠PFA . AF ⊥ EP ∴∠PFA = 90︒∴∠BDA = 90︒∴ AB 为圆的直径.（Ⅱ）连接 BC ，DC .AB 是直径∴∠BDA = ∠ACB = 90︒ ，在 Rt △BDA 与 Rt △ACB 中， AB = BA ，AC = BD ， ∴Rt △BDA ≌Rt △ACB ，∴∠DAB = ∠CBA ∠DCB = ∠DAB ，∴∠DCB = ∠CBA ，∴DC ∥AB . AB ⊥ EP ∴DC ⊥ EP ，∠DCE 为直角，∴ED 为圆的直径， AB 为圆的直径，∴ A B = ED .【提示】（Ⅰ）证明 AB 为圆的直径，只需证明∠BDA = 90︒ .（Ⅱ）证明 Rt △BDA ≌Rt △ACB ，再证明∠DCE 为直角，即可证明 AB = ED .【考点】圆周角定理，与圆有关的比例线段⎛ y ⎫ 2 2y 223. 【答案】（Ⅰ）在曲线 C 上任意取一点(x , y ) ，由题意可得点 x , 2 ⎪ 在圆 x 1 + y 1 =1 上，∴ x 2 + = 1， 42⎧x = cos θ(0 ≤ θ＜2π，θ即曲线 C 的方程为 x + 4 = 1 ，化为参数方程为⎨ y = 2sin θ为参数）. ⎧x 2+ y = 1⎧x = 1 ⎧x = 0 （Ⅱ）由⎪4 ，可得⎨ ， ，不妨设 P (1,0) 、 P (0, 2) ，⎨ ⎪⎩2x + y - 2 = 0⎩ y = 0 ⎨ y = 2 1 2则线段 PP 的中点坐标为⎛ 1 ,1⎫，再根据与 l 垂直的直线的斜率为 1 ， 1 2 2 ⎪ 2 ⎝ ⎭故所求的直线的方程为 y -1 = 1 ⎛ x - 1 ⎫ ，即2x - 2 y + 3 = 0 . 2 2 ⎪ 2⎝ ⎭再根据 x = ρ cos α 、 y = ρ sin α 可得所求的直线的极坐标方程为 ρ cos θ - 2ρ sin θ + 3= 0 ，2ρ 3.4sin θ - 2cos θ2 y11 / 10 ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ 4 2 【提示】（Ⅰ）在曲线 C 上任意取一点(x , y ) ，再根据点⎛ x , y ⎫ 在圆 x 2 + y 2 =1 上，求出 C 的方程，化为 2 ⎪ 1 1 ⎝ ⎭参数方程.（Ⅱ）解方程组求得 P 、 P 的坐标，可得线段 PP 的中点坐标.再根据与 l 垂直的直线的斜率为 1 ，用点斜 1 2 1 2 2式求得所求的直线的方程，再根据 x = ρ cos α 、 y = ρ sin α 可得所求的直线的极坐标方程.【考点】参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化.24.【答案】（Ⅰ）由 f (x ) = 2 | x -1| +x -1≤1 可得⎧x ≥ 1 ⎩3x - 3 ≤ 1 ⎧x < 1 ①，或 ⎩1 - x ≤ 1②.解①求得1 ≤ x ≤ 4 ，解②求 3 得0 ≤ x <1.综上，原不等式的解集为⎡0, 4 ⎤ . ⎢⎣ 3 ⎥⎦（Ⅱ）由 g (x ) =16x 2 -8x +1 ≤ 4 ，求得- 1 ≤ x ≤ 3 ，∴ N = ⎡- 1 , 3 ⎤ ，∴M⎡0, 3 ⎤ .44 ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ 1 ⎛ 1 ⎫21 当 x ∈ M N 时， f (x ) =1- x ， x2 f (x ) + x [ f (x )]2 = xf (x )[x + f (x )] = - x - ⎪ ≤ ，故要证的不等4 ⎝ 2 ⎭ 4式成立. ⎧x ≥ 1⎧x < 1 【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得 ⎩3x - 3 ≤ 1 ①，或 ⎩1 - x ≤ 1 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）由 g (x ) ≤ 4，求得 N ，可得 M ⎡0, 3 ⎤ .当 x ∈ M 时， f ( x ) = 1- x ，不等式的左边化为 ⎢⎣ 4 ⎥⎦1 ⎛ 1 ⎫2 1 - x - ⎪ ⎝ ⎭，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证. 4【考点】绝对值不等式的解法，交集及其运算.，二次函数最值 N = N = N。
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辽宁省铁岭高中2014届高三年级下学期第一次考试数 学 试 卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合},214|{},,212|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则 A. M N = B. M N ⊂ C. M N ⊃ D. M N ⋂=∅2. 给出下列四个命题:①命题1sin ,:≤∈∀x R x p ,则1sin ,:<∈∃⌝x R x p . ②当1≥a 时,不等式a x x <-+-34的解集为非空.③当1>x 时,有2ln 1ln ≥+xx . ④设复数z 满足（1-i ）z =2 i ，则z =1-i 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1865. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是（ ）A ．1λ=-或1λ=B ．12λ=-或12λ=C ．λ=λ=D ．λ为任意实数6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+ 7.下面几个命题中，假命题是（ ） A.“若a b ≤,则221ab≤-”的否命题；B.“) ,0(∞+∈∀a ，函数x a y =在定义域内单调递增”的否定；C.“π是函数x y sin =的一个周期”或“π2是函数x y 2sin =的一个周期”；D.“022=+y x ”是“0=xy ”的必要条件.8．下列函数中在区间),1(+∞上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） A.122-+-=x x y B.x y cos = C.|1|lg -=x y D.x x x y 3323+-=9. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( ) A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上 B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDE C ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直10. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36， B ．2ππ36， C ．ππ63， D ．ππ33， 11.设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10012.函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=,2),2(212,0,11)(x x f x x x f ，则下列说法中正确命题的个数是（ ）① 函数)1ln()(+-=x x f y 有3个零点； ② 若0>x 时，函数x k x f ≤)(恒成立，则实数k 的取值范围是) ,23[∞+； ③ 函数)(x f 的极大值中一定存在最小值；④)2(2)(k x f x f k +=，)(N ∈k ，对于一切) ,0[∞+∈x 恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{}n a 满足15,a a 是方程282810x x -+=的两个根，且15a a <，则3a = ______14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≥-≥142117x y x y x y 表示的平面区域为D ，若对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是__________.15. 空间中一点P 出发的三条射线,,PA PB PC ，两两所成的角为60︒，在射线,,PA PB PC 上分别取点,,M N Q ，使1,2,3PM PN PQ === ，则三棱锥P MNQ - 的外接球表面积是______________.16．关于函数)0(||1lg)(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称； ②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2； ④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题17． （本小题满分12分）函数()3f x a b =⋅-，(3cos ,sin ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==-,其中0ω>,点()()12,0,,0x x 是函数()f x 图像上相邻的两个对称中心，且122x x π-=（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 图像向右平移m ()0m >个单位后所对应的函数图像是偶函数图像， 求m 的最小值． 18. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A,分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.19. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,4,ABCD PA AB BC E ===是PD 的中点（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥P AEC -的体积。
20 （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b +=＞≥C 上一点N 到点Q 03（，）的距离最大值为4，过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB 范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（3）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲． 如图,已知PE 切⊙O 于点E ,割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点,∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D .求证:(Ⅰ)CEDE =; (Ⅱ)CA PECE PB=.23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C p a a θθ=>过点P(-2,-4)的直线2,:(4x l t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)与曲线C 相交于点M,N 两点.(Ⅰ)求曲线C 和直线的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()|2||1|f x x a x =-+-.(Ⅰ)当a = 3时,求不等式()2f x ≥的解集;(Ⅱ)若()5f x x ≥-对x R ∀∈恒成立,求实数a 的取值范围.文科B AC C A CD CD A D B 13----16题 9 ()(]3,11,0⋃ π1016.①③④17题 )62cos(π+x π121 18题（1）略； （2）43P AEC V -=.(Ⅱ)92 【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。
从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。
(Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为32· B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为62· 现从抽样评委A 组3人,B 组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率926232=⋅=P .所以，从A,B 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为92. 20题12131)3(31)2(21)1(1+-+n n 、 21题120)2()1(中点22题 21)2(-≤m讨论0≥m ，显然0)(≥x f （舍） mx m x x f 2)21()1ln()(++++='21-≤m ，mx m x x f 2)21()1ln()(++++=')12)(1(2)21(++=+++≤m x mx m x0)0()(,0)(=≤≤'f x f x f ，符合题意021<<-m ，令)()(x f x T '=，对)(x T 求导知，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m 221,0单调递增，存在⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∈m m x 221,00，0)0()(0=>f x f （舍）20、解析：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b = （1分） 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则NQ ====当1y =-时，NQ4,=解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y += （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=.由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞，得215k ＜.2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++ （6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++= 则2122124()(14)k x x x t t k =+=+,[]12122116()()6.(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+① （8分）又由12AB x =-即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜ 化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞, ∴21185k ＜＜② （10分）由①，得22223699,1414k t k k ==-++ 联立②，解得234,t ＜＜∴2t -＜＜2.t ＜ （12分）。