【优质文档】2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合A＝{2, 0, 1, 9}，则集合A的非空真子集的个数为________．【答案】14【考点】子集与真子集【解析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n−2个非空真子集．【解答】∵集合A＝{2, 0, 1, 9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24−2＝14．2. U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{x|x2−1≤0, x∈Z}，B＝{x|−1≤x≤3, x∈Z}，则(∁U A)∩B＝________．【答案】{2, 3}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】用列举法求出集合A和B，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出(∁U A)∩B．【解答】∵A＝{x|x2−1≤0, x∈Z}＝{−1, 0, 1}，B＝{x|−1≤x≤3, x∈Z}＝{−1, 0, 1, 2, 3}，∴∁U A＝{x|x≤−2, 或 x≥2, x∈Z}，∴(∁U A)∩B＝{2, 3}，3. 不等式-2<1x <3的解集是________|________<13} ．【答案】{x,x<−12或0<x【考点】其他不等式的解法【解析】结合x的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．【解答】∵ -2<1x<3，当x>0时，−2x<1<3x，解可得，$${\{}$ - \${dfrac\{1\}\{2\}}$∴ {0}$当x<0时，−2x>1>3x，解可得，x<−12，综上可得，不等式的解集为{x|x<−12或0<x<13}．4. 设集合T＝{⌀, {⌀}}，则下列命题：①⌀∈T，②⌀⊆T，②{⌀}∈T，④{⌀}⊆T中正确的是________．【答案】①②③④【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号．【解答】∵T＝{⌀, {⌀}}，∴⌀∈T，⌀⊆T，{⌀}∈T，{⌀}⊆T．5. 若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 3]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意可得，x2+2(a+1)x+a2−5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．【解答】由题意可得，x2+2(a+1)x+a2−5≥0恒成立，∴△＝4(a+1)2−4(a2−5)≤0，解可得，a≤−3，6. 如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有________个元素．【答案】5【考点】交、并、补集的混合运算【解析】作出维恩图，由维恩图能求出集合P中含有的元素个数．【解答】由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．7. 已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为________．【答案】3−2√2【考点】正弦定理【解析】设直角边长为a，b，则斜边长为√a2+b2，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+√a2+b2=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】设直角边长为a，b，则斜边长为√a2+b2，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+√a2+b2=2，∴2≥2√ab+√2ab，∴√ab≤=2−√2，2+√2∴ab≤6−4√2，∴S=1ba≤3−2√2，2∴△ABC的面积的最大值为3−2√2．8. 若f(x)在区间[t, t2−2t−2]上为奇函数，则实数t的值为________．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2−2t−2＝0，且t2−2t−2>0，即可求解．【解答】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2−2t−2＝0，且t2−2t−2>0，∴t2−t−2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝−1，9. 已知不等式|x−3|−|x+4|<a解集非空，则实数a的取值范围为________．【答案】(−7, +∞)【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】由题意，不等式|x−3|−|x+4|<a解集非空可转化为|x−3|−|x+4|的最小值小于a，依据绝对值的几何意义求出|x−3|−|x+4|的最小值，即可得出参数a的取值范围．【解答】不等式|x −3|−|x +4|<a 解集非空，所以|x −3|−|x +4|的最小值小于a ， 又|x −3|−|x +4|≥−7，此时x ≥3 ∴ a >−710. 对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ∗B＝{x|f A (x)⋅f B (x)−1}．已知集合A ={x|√2−x >x}，B ＝{x|x(x −3)(x +3)>0}，则A ∗B ＝________． 【答案】(−∞, 1)∪(3, +∞) 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【解析】求出集合A ，B ，利用新定义求出A ∗B 即可． 【解答】A ＝(−∞, 1)，B ＝(−∞, −3)∪(3, +∞)， f A (x)⋅f B (x)＝−1，当f A (x)＝1，f B (x)＝−1，A ∗B ＝B ，当f A (x)＝−1，f B (x)＝1，A ∗B ＝[−3, 1)， 故A ∗B ＝(−∞, 1)∪(3, +∞)，11. 若实数x ，y ≥0满足x +3y −xy ＝1，求3x +4y 的最小值为________． 【答案】43【考点】基本不等式及其应用 【解析】将等式x +3y −xy ＝1，转化得x =3y−1y−1，代入3x +4y 中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题 【解答】由x +3y −xy ＝1，得；x +3y −xy ＝1x =3y−1y−1≥0，y ∈[0,13]∪(1,+∞)，3x +4y =33y−1y−1+4y =13+6y−1+4(y −1)，当y >1时，3x +4y ≥13+2√24=13+4√6；当y ∈[0,13]时，设y −1=u ∈[−1,−23]，6y−1+4(y −1)=6u +4u 在[−1,−23]上单调递减，在u =−23处取得最小值−9−83，3x +4y 取得最小值43， 综上可得3x +4y 取得最小值43，12. 已知a >0，且对任意x >0，有(x −a)(x 2+bx −a)≥0恒成立，则ab 的取值范围为________．【答案】(−∞, −1)∪(0, +∞)【考点】函数恒成立问题【解析】首先分析出x＝a是方程x2+bx−a＝0的根，得到a+b−1＝0，再运用a的几何意义b求解．【解答】∵对任意x>0，有(x−a)(x2+bx−a)≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx−a＝0的根，即a2+ab−a＝0，又a>0，则a+b−1＝0，∴(b, a)可理解为直线a+b−1＝0上纵坐标大于0的点，则a的几何意义即为直线a+bb−1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，∈(−∞,−1)∪(0,+∞)．直线a+b−1＝0的斜率为−1，由图象可知，ab二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确【答案】D【考点】四种命题间的逆否关系【解析】由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．【解答】命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”已知a，b∈R，则“|a|<1，|b|<1”是“不等式ab+1>a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据“不等式ab+1>a+b”成立等价于“ab+1−a−b＝(b−1)(a−1)>0”，所以“|a|<1，|b|<1”必有(b−1)(a−1)>0；反之，不一定成立，即可得出结果．【解答】∵ “不等式ab+1>a+b”成立等价于“ab+1−a−b＝(b−1)(a−1)>0”，∴当“|a|<1，|b|<1时，则(b−1)(a−1)>0成立；当(b−1)(a−1)>0时，有a>1且b>1；或者a<1且b<1；故“|a|<1，|b|<1”是“不等式ab+1>a+b”成立的充分非必要条件；>0，定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈(−∞, 0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1则当n∈N∗时，有（）A.f(−n)<f(n−1)<f(n+1)B.f(n−1)<f(−n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(−n)<f(n−1)D.f(n+1)<f(n−1)<f(−n)【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】利用函数的奇偶性，单调性判断即可．【解答】根据题意，函数f(x)是偶函数，且在(−∞, 0]递增，(0, +∞)递减，因为0<n−1<n<n+1，所以f(n−1)>f(n)>f(n+1)，设集合P1={x|x2+ax+1>0}，P2={x|x2+ax+2>0}，Q1={x|x2+x+b>0}，Q2={x|x2+2x+b>0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】运用集合的子集的概念，令m ∈P 1，推得m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集；再由b ＝1，b ＝5，求得Q 1，Q 2，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误． 【解答】解：对于集合P 1={x|x 2+ax +1>0}，P 2={x|x 2+ax +2>0}， 可得当m ∈P 1，即m 2+am +1>0，可得m 2+am +2>0， 即有m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集；当b =5时，Q 1={x|x 2+x +5>0}=R ，Q 2={x|x 2+2x +5>0}=R ， 可得Q 1是Q 2的子集；当b =1时，Q 1={x|x 2+x +1>0}=R ，Q 2={x|x 2+2x +1>0}={x|x ≠−1且x ∈R}，可得Q 1不是Q 2的子集．综上可得，对任意a ，P 1是P 2的子集，存在b ，使得Q 1是Q 2的子集． 故选B .三、解答题（本大题共有5题，满分38分）已知集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．（1）若A ∩B ＝A ，求m ，n 的值；（2）若A ∪B ＝A ，求m ，n 的取值范围． 【答案】集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1， 若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0得：n ＝−2，则B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20, n ∈R}＝{x|2x 2−5x +20}＝{2, 12}． 则m +1=12，则m =−12，当A ＝{2}时，m +1＝2，解得m ＝1， 综上m =−12，n ＝−2，或m ＝1，n ＝−2． 若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，当△＝(3n +1)2−16＝0时，n =−53，B ＝{1}，m +1＝1，m ＝0， 或n ＝1时，B ＝{−1}，m +1＝−1，m ＝−2；当△＝(3n +1)2−16≥0，即n ≤−53，或n ≥1时，则2∈B ，由（1）得：m =−12，n ＝−2；当△＝(3n +1)2−16<0时，即$${\{}$ - \${dfrac\{5\}\{3\}}$综上，{m ∈Rn ∈(−53,1) 或{m =−2n =1 或{m =0n =−53或{m =−12n =−2 ． 【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1，若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0可得答案；（2）若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，分当△＝0和当△>0两种情况讨论满足条件的m ，n 的值，综合讨论结果，可得答案． 【解答】集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1， 若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0得：n ＝−2，则B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20, n ∈R}＝{x|2x 2−5x +20}＝{2, 12}． 则m +1=12，则m =−12，当A ＝{2}时，m +1＝2，解得m ＝1， 综上m =−12，n ＝−2，或m ＝1，n ＝−2． 若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，当△＝(3n +1)2−16＝0时，n =−53，B ＝{1}，m +1＝1，m ＝0， 或n ＝1时，B ＝{−1}，m +1＝−1，m ＝−2；当△＝(3n +1)2−16≥0，即n ≤−53，或n ≥1时，则2∈B ，由（1）得：m =−12，n ＝−2；当△＝(3n +1)2−16<0时，即$${\{}$ - \${dfrac\{5\}\{3\}}$综上，{m ∈Rn ∈(−53,1) 或{m =−2n =1 或{m =0n =−53或{m =−12n =−2 ．设a >0，b >0，且a +b =1a +1b ．求证： （1）a +b ≥2；（2）a 2+a <2与b 2+b <2不可能同时成立． 【答案】由a +b =1a +1b ,a >0,b >0，得ab =1，由基本不等式及ab =1，有a +b ≥2√ab =2，即a +b ≥2． 假设a 2+a <2与b 2+b <2同时成立，则a 2+a <2且b 2+b <2，则a 2+a +b 2+b <4，即：(a +b)2+a +b −2ab <4，由（1）知ab =1因此(a +b)2+a +b <6① 而a +b ≥2，因此(a +b)2+a +b ≥6②，因此①②矛盾， 因此假设不成立，原结论成立． 【考点】 不等式的证明 【解析】（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】由a+b=1a +1b,a>0,b>0，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有a+b≥2√ab=2，即a+b≥2．假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则a2+a<2且b2+b<2，则a2+a+b2+b<4，即：(a+b)2+a+b−2ab<4，由（1）知ab=1因此(a+b)2+a+b<6①而a+b≥2，因此(a+b)2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x(l−3x)；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0, l3)；y＝x(l−3x)=13×3x(l−3x)≤13×(3x+l−3x2)2=l212，当x=l6时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=12l，最大面积为l212．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）由题意设长方形场地的宽为x，则长为l−3x，表示出面积y；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x(l−3x)；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0, l3)；y＝x(l−3x)=13×3x(l−3x)≤13×(3x+l−3x2)2=l212，当x=l6时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=12l，最大面积为l212．已知函数f(x)=x2+ax，（1）判断f(x)的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f(x)在x∈(0, 1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈(0, +∞)，不等式f(x)>m−√m−1恒成立，求实数m的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(−x)＝f(x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(1)＝1+a，f(−1)＝1−a，故f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，∴f(x)无奇偶性．f(x)=x2+2x，任取0<x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−x22−2x2=x1−x2x1x2[x1x2(x1+x2)−2]，∵0<x1<x2≤1，∴x1−x2<0，x1x2>0，x1x2(x1+x2)<2，∴f(x1)−f(x2)>0，所以f(x)在区间(0, 1]上是递减．（1）由题意得f(x)min>m−√m−1，由（2）知f(x)在区间(0, 1]上是递减，同理可得f(x)在区间[1, +∞)上递增，所以f(x)min＝f(1)＝3，所以3>m−√m−1，即m−1−√m−1−2<0，令√m−1=t,(t≥0)，则t2−t−2<0，解得−1<t<2，故0≤t<2即0≤√m−1<2，即1≤m<5．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）当a＝0时，f(x)＝x2，判断f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，用定义法判断f(x)无奇偶性．（2）f(x)=x2+2x，利用函数的单调性的定义判断函数的单调性．（3）由题意得f(x)min>m−√m−1，求出f(x)min＝f(1)＝3，利用换元法转化求解m的范围即可．【解答】当a＝0时，f(x)＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(−x)＝f(x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(1)＝1+a，f(−1)＝1−a，故f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，试卷第11页，总13页∴ f(x)无奇偶性． f(x)=x 2+2x，任取0<x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 12+2x 1−x 22−2x2=x 1−x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)−2]，∵ 0<x 1<x 2≤1，∴ x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2(x 1+x 2)<2，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，所以f(x)在区间(0, 1]上是递减．（1）由题意得f(x)min >m −√m −1，由（2）知f(x)在区间(0, 1]上是递减，同理可得f(x)在区间[1, +∞)上递增， 所以f(x)min ＝f(1)＝3，所以3>m −√m −1，即m −1−√m −1−2<0，令√m −1=t,(t ≥0)，则t 2−t −2<0，解得−1<t <2，故0≤t <2 即0≤√m −1<2，即1≤m <5．设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x ∈[0, +∞)时，f(x)＝−x 2+2x ． （1）求函数f(x)的解析式；（2）求实数a ，b ，使得函数f(x)在区间[a, b]⊆[1, +∞)上的值域为[1b ,1a ]；（3）若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[1b ,1a ]，则记所有满足条件的区间[a, b]的并集为D ，设g(x)＝f(x)(x ∈D)，问是否存在实数m ，使得集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】因为f(x)是奇函数，令x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ＝−f(x)， 所以x <0时，f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x ≥0,x 2+2x,x <0； 由（1）可知，当[a, b]⊆[1, +∞)时，f(x)＝−(x −1)2+1，函数f(x)单调递减， 则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b，解得a ＝1，b =√5+12， 由（2）知，函数f(x)在[1, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]当区间[a, b]⊆[0, 1]时，[1b ,1a ]⊆[1, +∞)，而函数f(x)＝−x 2+2x 在[0, 1]上的值域为[0, 1]，所以函数f(x)在[0, 1]上不存在这样的区间，故函数f(x)在[0, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]．当x ∈(−∞, 0)时，同理可知f(x)的倒值区间为[−√5+12, −1]．故g(x)={−x 2+2x,x ∈[1,√5+12]x 2+2x,x ∈[−√5+12,−1]．试卷第12页，总13页若集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素，即函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程−x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝−2x 2+2x 在区间[1, √5+12]内恰有一个解，此时有−2≤m ≤0；当交点在第三象限时，方程x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝2x 在区间[−√5+12, −1]内恰有一个解，有−√5−1≤m ≤−2； 综上可得，m ＝−2． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用函数奇偶性直接求解；（2）根据条件判断出f(x)在[1, +∞)上单调递减，则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b ，再结合1≤a <b ，即可解出a ，b ；（3）根据条件得到g(x)的解析式，然后由函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点知，这两个交点分别在第一、三象限，再分别计算即可． 【解答】因为f(x)是奇函数，令x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ＝−f(x)， 所以x <0时，f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x ≥0,x 2+2x,x <0； 由（1）可知，当[a, b]⊆[1, +∞)时，f(x)＝−(x −1)2+1，函数f(x)单调递减， 则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b，解得a ＝1，b =√5+12， 由（2）知，函数f(x)在[1, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]当区间[a, b]⊆[0, 1]时，[1b ,1a ]⊆[1, +∞)，而函数f(x)＝−x 2+2x 在[0, 1]上的值域为[0, 1]，所以函数f(x)在[0, 1]上不存在这样的区间，故函数f(x)在[0, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]．当x ∈(−∞, 0)时，同理可知f(x)的倒值区间为[−√5+12, −1]．故g(x)={−x 2+2x,x ∈[1,√5+12]x 2+2x,x ∈[−√5+12,−1]． 若集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素，即函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程−x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝−2x 2+2x 在区间[1, √5+12]内恰有一个解，此时有−2≤m≤0；, −1]内恰有一个当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[−√5+12解，有−√5−1≤m≤−2；综上可得，m＝−2．试卷第13页，总13页。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝．3．不等式﹣2＜＜3的解集是．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．若集合，则实数a的取值范围是．6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝{2，3}．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．3．不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：①②③④．5．若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），f A（x）•f B（x）＝﹣1，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝B，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝[﹣3，1），故A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝∅，对m∈R，故成立，综上，或或或．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]⊆[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]⊆[0，1]时，⊆[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．。
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)
上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。
12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)． 解得a =−5． 故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ， 即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ， 则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12， 则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1； 故答案为：1．。
2019-2020 学年上海中学高一(上)期中数学试卷
．
二.选择题
11．（3 分）下列命题中正确的有（ ）
①很小的实数可以构成集合；
②集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；
③集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
12．（3 分）设 x＞0，y＞0，下列不等式中等号能成立的有（ ）
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【分析】作出文氏图，根据集合关系进行求解即可． 【解答】解：作出文氏图， 由（∁UA）∩B＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩∁UB＝{4，6，8} 得 A＝{2，3，5，7}， 故答案为：{2，3，5，7}
．
4．（3 分）若全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A、B 为 U 的子集，且（∁UA）∩B
＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩∁UB＝{4，6，8}，则集合 A＝
．
5．（3 分）已知集合 A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}（a，b∈R），且 A＝B，则 b＝
．
6．（3 分）已知正实数 x，y 满足 x+3y＝1，则 xy 的最大值为
18．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式 x2﹣x﹣m＝0 成立”是真命题， （1）求实数 m 的取值集合 M； （2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0 的解集为 N，若 x∈N 是 x∈M 的必要条件，求 a 的取值范围．
19．已知二次函数
，
，
．
（1）若 a＝3，b＝2，c＝1，解不等式组：
；
（2）若 a，b，c∈{1，2，3，4}，对任意 x∈R，证明：f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少 有一个非负； （3）设 a、b、c 是正整数，求所有可能的有序三元组（a，b，c），使得 f1（x）＝0，f2
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）3.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题5．设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．6．不等式的解集为______．7．已知集合0，，，若，则实数a的值为______．8．用列举法写出集合______9．已知不等式的解集为，则______10．命题“如果，那么”的逆否命题为______．11．已知集合，，，则______．12．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为______14．已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．15．已知正实数x，y满足，则的最小值是______16．若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.18.若“，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且. （1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.21.已知，设，，（，为常数）. （1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是CI S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁IS故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可. 3.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5．设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．【答案】3，【解析】根据补集的定义写出 A.【详解】全集2，3，4，5，，集合4，，则3，．故答案为：3，．【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．6．不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式等价于，根据一元二次不等式的解集的特征，可以断定原不等式的解集为.7．已知集合0，，，若，则实数a的值为______．【答案】【解析】先假设，得，；，；，；取补集得结果．【详解】若，则，；，；，；，．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．8．用列举法写出集合______【答案】【解析】由及即可求出，0，或1，从而得出，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．【详解】，且；，0，或1；，或1；，或0；．故答案为：．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．9．已知不等式的解集为，则______【答案】11【解析】利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．【详解】不等式的解集为，方程的实数根为2和3，，，；．故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．10．命题“如果，那么”的逆否命题为______．【答案】若，则【解析】根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．【详解】原命题“如果，那么”，其逆否命题为：“若，则”．故答案为：若，则．【点睛】本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．11．已知集合，，，则______．【答案】【解析】根据交集定义得．【详解】．故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．12．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．【答案】【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，则，故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为______【答案】【解析】分为，和两种情况讨论，取并集得结论．【详解】，，，，，，，，故实数a的取值集合为．故答案为：．【点睛】本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉，属于基础题．14．已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．【答案】或【解析】推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合．【详解】集合中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，的解为或无解，或，解得．实数a的取值集合为或．故答案为：或．【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知正实数x，y满足，则的最小值是______【答案】【解析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】不等式，，，，令，可得：利用导数研究其单调性极值最值即可得出．【详解】不等式，，，，令，可得：．．函数在，可知：时函数取得最大值，．.不等式对任意，恒成立，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m （2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R＜x＜1}，若∁A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②R当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m 的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且. （1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故. 【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）. （1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
【20套试卷合集】复旦大学附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案考生注意：本卷共4页，22小题，满分100分．第Ⅰ卷(选择题，共36分)一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．下列表述正确的是( )A ．*N 0∈B ．N π∈C ．Q e ∈D ．R Z ⊆2．下列四个对应中，是M 到N 映射的是( )3．已知集合A ＝{1,2,3}，若A B ⊆，则集合B 的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．84．下列四个图形中，不是函数的是( )5．下列函数中，与函数)0(≥=x x y 相等的是( )A ．2x y =B ．2)(x y =C ．2x y =D ．■2=y6．幂函数的图像经过点(2,16)，则幂函数的解析式是( )A ．82+=x yB ．24x y =C ．4x y =D ．xy 4=7．下列与32a 相等的式子是( )A ．231aB ．231a -C ．31aD ．23a -8．已知7.08.0=a ，9.08.0=b ，7.09.0=c ，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b a c >>9．函数|32|2--=x x y 的单调递增区间是( )A ．[)+∞,1B ．[)+∞,3C ．[]1,1-和[)+∞,3D ．[] 1,1-[)+∞,310．函数62ln )(-+=xx x f 的零点所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)11．函数||12x y -=的值域为( )A ．(]2,0B ．()2,0C ．(]2,∞-D ．()2,∞-12．无理数4142.12=…的近似值可利用二分法的思想，通过函数2)(2-=x x f 在区间(1,2)内的零点求得．第一次需计算中点值)5.1(f ，第二次需计算中点值)25.1(f ，…，在精确度为0．01的要求下，至少需要计算区间中点值的次数为( ) A ．8B ．7C ．6D ．5第Ⅱ卷(非选择题，共64分)二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分.)13．函数x x y -++=1)12lg(的定义域是__________________．14．已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时，x x f -=1)(，则当0<x 时，=)(x f _____________． 15．若函数2)1()(2+-+=x k kx x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是_______________．16．已知函数⎩⎨⎧-+=xx x f 21)(2 )0()0(>≤x x ，若5)(=x f ，则x 的值是________________．17．已知函数)(x f 是R 上的增函数，A (0,－2)，B (3,2)是其图象上的两点，那么2|)1(|<+x f 的解集是________________．三、解答题：(本题共5小题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 18．(本题满分8分)设}6{≤∈=x Z x A ，}3,2,1{=B ，}6,5,4,3{=C ，求： (Ⅰ))(C B A ； (Ⅱ))(C C B A A ．19．(本题满分8分)求下列各式的值：(Ⅰ)212)94(2)13(--+--(Ⅱ)2log 9log 25lg )5(lg )2(lg 3222⨯++-20．(本题满分8分)某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)，可近似看做一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图所示)． (Ⅰ)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(Ⅱ)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s 元，试求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．21．(本题满分10分)已知函数)1lg()1lg()(x x x f -++= (Ⅰ)判断函数的奇偶性；(Ⅱ)若)(lg )(x g x f =，判断函数)(x g 在(0,1)上的单调性并用定义证明．22．(本题满分10分)已知函数]8,2[,log )(2∈=t t t f ． (Ⅰ)求)(t f 的值域G ；(Ⅱ)若对于G 内的所以实数x ，函数122)(2+--=m mx x x g 恒大于0，求实数m 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案（完卷时间：120分钟，总分150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1．下列关系正确．．的是（ ） A ．{}10,1∈B ．{}10,1∉C ．{}10,1⊆D ．{}{}10,1∈2．下列四组函数中，相等的两个函数是（ ）A ．2(),()x f x x g x x == B ．,0()||,(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．lg y x =,21lg 2y x = D ．()()f x g x x == 3．函数()12log 21-=x y 的定义域为（ ）A ． （，+∞） B ．（ ，1 C ．［1，+∞ D ．()+∞,14．已知幂函数()αx x f =的图象经过点22,⎛⎝⎭，则()4f 的值为（ ） A ．116 B ． 16 C ．2 D ． 125．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数为（ ） A 1y x=B ln y x =C 3y x = D 2y x = 6．下列大小关系正确的是（ ）A 3.0log 34.044.03<< B 4.04333.0log 4.0<<C 4.03434.03.0log << D 34.044.033.0log <<7．若函数()xa x f =（0>a ，且1≠a ）的图象如图，其中a 为常数．则函数()()0≥=x x x g a的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．随着我国经济不断发展，人均GDP （国内生产总值）呈高速增长趋势，已知2008年年底我国人 均GDP 为22640元，如果今后年平均增长率为%9，那么2020年年底我国人均GDP 为( )A ．1322640(1 1.09)⨯+元B ．1222640(1 1.09)⨯+元C ．1322640 1.09⨯元D ．1222640 1.09⨯元9．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是（ ）2e2x +A ． （－1，0）B ． （0，1）C ． （1，2）D ． （2，3） 10．可推得函数2()21f x ax x =-+在区间[1,2]上为增函数的一个条件是( ) A ．0a =B ．011a a<⎧⎪⎨<⎪⎩C ．012a a >⎧⎪⎨>⎪⎩D ．011a a>⎧⎪⎨<⎪⎩11．已知函数()x x f x3log 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，若实数0x 是方程()0=x f 的解，且010x x <<，则()1x f 的值( )A. 恒为正值B.恒为负值C. 等于0D.不能确定12．定义在R 上的偶函数()f x ，当[1,2]x ∈时，()0f x <且()f x 为增函数，给出下列四个结论： ①()f x 在[2,1]--上单调递增； ②当[2,1]x ∈--时，有()0f x <； ③()f x -在[2,1]--上单调递减； ④ ()x f 在[2,1]--上单调递减． 其中正确的结论是( ) A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海中学高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：19.满分：01.（填空题.3分）已知集合U={-1.0.2.3}.A={0.3}.则∁U A=___ ．2.（填空题.3分）若关于x的不等式|x+a|＜b（a.b∈R）的解集为{x|2＜x＜4}.则ab=___ ．3.（填空题.3分）命题“若x=-2.则x2+3x＜0”的逆否命题是___ ．4.（填空题.3分）若全集U={1.2.3.4.5.6.7.8.9}.A、B为U的子集.且（∁U A）∩B={1.9}.A∩B={2}.（∁U A）∩∁U B={4.6.8}.则集合A=___ ．5.（填空题.3分）已知集合A={a.b.2}.B={2.b2.2a}（a.b∈R）.且A=B.则b=___ ．6.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+3y=1.则xy的最大值为___ ．7.（填空题.3分）已知集合A={x∈R|2x-3≥0}.B={x∈R|x＜a}.若A∩B=∅.则实数a的取值范围为___ ．8.（填空题.3分）已知x∈R.定义：A（x）表示不小于x的最小整数.如A（2）=2.A（0.4）=1.A（-1.1）=-1.A（2x•A（x））=5.则正实数x的取值范围为___ ．9.（填空题.3分）a.b∈R.|a|≤1.|a+b|≤1.则（a+1）（b+1）的最大值为___ .最小值为___ ．10.（填空题.3分）若使集合A（k）={x|（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z}中元素个数最少.则实数k的取值范围是___ .设B⊆Z.对B中的每一个元素x.至少存在一个A（k）.有x∈A（k）.则B=___ ．11.（单选题.3分）下列命题中正确的有（）① 很小的实数可以构成集合；② 集合{y|y=x2-1}与集合{（x.y）|y=x2-1}是同一个集合；③ 集合{（x.y）|xy≤0.x.y∈R}是指第二和第四象限内的点集；A.0个B.1个C.2个D.3个12.（单选题.3分）设x＞0.y＞0.下列不等式中等号能成立的有（）① (x+1x )(y+1y)≥4；② (x+y)(1x+1y)≥4；③ 2√x2+5≥4；④ x+y+√xy≥4；A.1个B.2个C.3个D.4个13.（单选题.3分）集合A={x| {x(x+2)＞0|x|＜1}.集合B={x|x+1|x−3|＞0} .则x∈A是x∈B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立的实数t（）A.不存在B.有且仅有一个C.有不止一个的有限个D.无穷多个15.（问答题.0分）设a＞0.b＞0.比较√a2b +√b2a与√a+√b的大小．16.（问答题.0分）解下列不等式：（1）|x+1|-|2x-1|＞1；（2）xx2−7x+12≤1．17.（问答题.0分）据市场分析.某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨）.月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数.当月产量为10吨时.月总成本为20万元.当月产量为15吨时.月总成本最低为17.5万元．（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数解析式；（2）若x∈[10.25].当月产量为多少时.每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？18.（问答题.0分）已知命题：“∃x∈{x|-1＜x ＜1}.使等式x 2-x-m=0成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x-a ）（x+a-2）＜0的解集为N.若x∈N 是x∈M 的必要条件.求a 的取值范围．19.（问答题.0分）已知二次函数 f 1(x )=x 2−ax +b . f 2(x )=x 2−bx +c . f 3(x )=x 2−cx +a ．（1）若a=3.b=2.c=1.解不等式组： {f 1(x )＞0f 2(x )＞0f 3(x )＞0；（2）若a.b.c∈{1.2.3.4}.对任意x∈R .证明：f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）中至少有一个非负； （3）设a 、b 、c 是正整数.求所有可能的有序三元组（a.b.c ）.使得f 1（x ）=0.f 2（x ）=0.f 3（x ）=0均有整数根．2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19.满分：01.（填空题.3分）已知集合U={-1.0.2.3}.A={0.3}.则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{-1.2}【解析】：根据补集的定义进行求解即可．【解答】：解：∵U={-1.0.2.3}.A={0.3}.∴∁U A={-1.2}.故答案为：{-1.2}【点评】：本题主要考查集合的基本运算.结合补集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.（填空题.3分）若关于x的不等式|x+a|＜b（a.b∈R）的解集为{x|2＜x＜4}.则ab=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由题意.解不等式|x+a|＜b得出-b-a≤x≤b-a.再由已知解集为{x|2＜x＜4}.从而得出-b-a=2且b-a=4.两者联立解出a.b的值.即可得出答案．【解答】：解：∵|x+a|＜b（a.b∈R）.解得-b-a≤x≤b-a.又关于x的不等式|x+a|＜b（a.b∈R）的解集为{x|2＜x＜4}.∴-b-a=2且b-a=4.解得a=-3.b=1.∴ab=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.属于基础题.解答的关键是用参数表示出不等式的解集.再由同一性得出参数的方程．3.（填空题.3分）命题“若x=-2.则x2+3x＜0”的逆否命题是___ ．【正确答案】：[1]若x2+3x≥0.则x≠-2【解析】：由已知可得.原命题的题设P：x=-2.结论Q：x2+3x＜0．逆否命题是若非Q.则非P．从而可求．【解答】：解：依题意得.原命题的题设为：x=-2.结论为：x 2+3x ＜0． 逆否命题：若x 2+3x≥0．.则x≠-2. 故答案为：若x 2+3x≥0．.则x≠-2．【点评】：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论.而命题的逆否命题的题设和结论分别进行否定.属于基础知识．4.（填空题.3分）若全集U={1.2.3.4.5.6.7.8.9}.A 、B 为U 的子集.且（∁U A ）∩B={1.9}.A∩B={2}.（∁U A ）∩∁U B={4.6.8}.则集合A=___ ． 【正确答案】：[1]{2.3.5.7}【解析】：作出文氏图.根据集合关系进行求解即可．【解答】：解：作出文氏图.由（∁U A ）∩B={1.9}.A∩B={2}.（∁U A ）∩∁U B={4.6.8} 得A={2.3.5.7}. 故答案为：{2.3.5.7}【点评】：本题主要考查集合的基本运算.结合文氏图是解决本题的关键．比较基础． 5.（填空题.3分）已知集合A={a.b.2}.B={2.b 2.2a}（a.b∈R ）.且A=B.则b=___ ． 【正确答案】：[1] 12 或1【解析】：由集合相等.则集合中元素相等.再由集合中的元素满足互异性.确定性.无序性.排除不符合要求的解.得出结论．【解答】：解：集合B 中的元素2a.有两种可能. {a =2a b =b 2 .或者 {a =b 2b =2a若 {a =2a b =b 2 .解之得. {a =0b =1 .或者 {a =0b =0（经检验不符合） 若 {a =b 2b =2a.解之得 a =0或者a =14 .经检验a=0时.b=0.不满足集合中元素互异性.所以舍去．综上所述 b =12或者1故答案为b=12或者1【点评】：本题考查集合相等.对解出的解.再由集合中的元素互异性.确定性.无序性去排除不符合条件的解．6.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+3y=1.则xy的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 112【解析】：运用基本不等式得出x+3y=1 ≥2√3xy .化简求解xy ≤112即可．【解答】：解；∵正实数x.y满足x+3y=1.∴x+3y=1 ≥2√3xy .化简得出xy ≤112（x=3y= 12等号成立）xy的最大值为112（= 12.y= 16等号成立）故答案为：112【点评】：本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题.关键是判断.变形得出不等式的条件.属于容易题．7.（填空题.3分）已知集合A={x∈R|2x-3≥0}.B={x∈R|x＜a}.若A∩B=∅.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] a≤32【解析】：化简集合A.根据A∩B=∅写出实数a的取值范围．【解答】：解：集合A={x∈R|2x-3≥0}={x|x≥ 32}.B={x∈R|x＜a}.当A∩B=∅时.实数a的取值范围为a≤ 32．故答案为：a≤ 32．【点评】：本题考查了交集的定义与运算问题.是基础题．8.（填空题.3分）已知x∈R.定义：A（x）表示不小于x的最小整数.如A（2）=2.A（0.4）=1.A（-1.1）=-1.A（2x•A（x））=5.则正实数x的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] 1＜x≤54【解析】：由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围.解不等式验证即可．【解答】：解：当A（x）=1时.0＜x≤1可得.4＜2x•A（x）≤5有2＜x≤52.矛盾.则A（x）≠1；当A（x）=2时.1＜x≤2可得.4＜2x•A（x）≤5有1＜x≤ 54.满足条件；当A（x）=3时.2＜x≤3可得.4＜2x•A（x）≤5有23＜x≤ 56.矛盾；则A（x）≠3；由此类.当当A（x）≥4时也不符合题意；故答案为：1＜x≤ 54【点评】：本题考查新定义的理解.涉及分类讨论的思想.正确理解A（x）取值意义是解决本题的关键.属于中档题．9.（填空题.3分）a.b∈R.|a|≤1.|a+b|≤1.则（a+1）（b+1）的最大值为___ .最小值为___ ．【正确答案】：[1] 94; [2]-2【解析】：令t=a+b∈[-1.1].b=t-a.变换主元法.t主元.令f（t）=（a+1）t+1-a2.求出最大值和最小值为即可【解答】：解：令t=a+b∈[-1.1].b=t-a.a∈[-1.1].则（a+1）（b+1）=（a+1）（t-a+1）=（a+1）t+1-a2.当a=-1.（a+1）（b+1）=0.当a≠-1.a+1∈（0.1].把t主元.令f（t）=（a+1）t+1-a2.f（t）max=f（1）=-（a- 12）2+ 94∈[0. 94].f（t）min=f（-1）=-（a+ 12)22+14∈[−2，14] .所以（a+1）（b+1）的最大值为94.最小值为-2.故答案为：94.-2．【点评】：本题考查了利用函数法解最值问题.还用了变换主元法.中档题．10.（填空题.3分）若使集合A（k）={x|（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z}中元素个数最少.则实数k的取值范围是___ .设B⊆Z.对B中的每一个元素x.至少存在一个A（k）.有x∈A（k）.则B=___ ．【正确答案】：[1]（-3.-2）; [2]Z【解析】：化简集合A.对k讨论即可．求解x的范围.可得答案．【解答】：解：集合A={x|（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z}.∵方程（kx-k2-6）（x-4）=0.k≠0解得：x1=k+ 6k.x2=4.∴（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z当k=0时.A=（-∞.4]；当k＞0时.4＜k+ 6k .A=（-∞.4]∪[k+ 6k.+∞）；当k＜0时.k+ 6k ＜4.A=[k+ 6k.4]；∴当k≥0时.集合A的元素的个数无限；当k＜0时.k+ 6k ＜4.A=[k+ 6k.4].集合A的元素的个数有限.令函数g（k）=k+ 6k.（k＜0）则有：g（k）≤-2 √6 .对于集合A.[0.4]满足条件的元素只有0.1.2.3.4.只需[k+ 6k.0]包含的整数最小.∵题意要求x∈Z.故只需k+ 6k ＞-5.且k+ 6k≤-4.解得：-3＜k＜-2.根据对A（k）的讨论.所以B=Z.故答案为：-3＜k＜-2.B=Z．【点评】：本题考查的是集合元素的分布以及运算问题.方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题.值得同学们认真反思和归纳11.（单选题.3分）下列命题中正确的有（）① 很小的实数可以构成集合；② 集合{y|y=x2-1}与集合{（x.y）|y=x2-1}是同一个集合；③ 集合{（x.y）|xy≤0.x.y∈R}是指第二和第四象限内的点集；A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：A【解析】：① 由集合元素的性质：确定性可知错误；② 中注意集合中的元素是什么；③ 中注意x=0或y=0的情况．【解答】：解：① 错误.很小的实数没有确定的标准.不满足集合元素的确定性；② 错误.中集合{y|y=x2-1}的元素为实数.而集合{（x.y）|y=x2-1}的元素是点；③ 错误.集合{（x.y）|xy≤0.x.y∈R}中还包括实数轴上的点；故正确的有0个．故选：A．【点评】：本题考查集合元素的性质和集合的表示.属基本概念的考查．12.（单选题.3分）设x＞0.y＞0.下列不等式中等号能成立的有（）① (x+1x )(y+1y)≥4；② (x+y)(1x+1y)≥4；③ 2√x2+5≥4；④ x+y+√xy≥4；A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：设x＞0.y＞0.x+ 1x ≥2，y+1y≥2 .所以① 成立.利用基本不等式可知② 成立.2√x2+5 = √x2+5√x2+5.不成立. x+y√xy≥2√xy√xy≥4 .当x=y时成立.得出结论．【解答】：解：设x＞0.y＞0.x+ 1x ≥2，y+1y≥2 .所以① 成立.因为x＞0.y＞0.所以(x+y)(1x +1y) = 2+yx+xy≥2+2√yx⋅xy=4 .当且仅当x=y=1时取等号.故② 成立.2√x2+5 = √x2+5+√x2+5.运用基本不等式不能取等号.此时x2+5=4.显然不成立.x+y√xy ≥2√xy+√xy≥4 .当x=y时成立.故正确的有三个.故选：C．【点评】：考查基本不等式的应用.注意一正二定三相等.条件是否成立.基础题．13.（单选题.3分）集合A={x| {x(x+2)＞0|x|＜1}.集合B={x|x+1|x−3|＞0} .则x∈A是x∈B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：求解不等式（组）化简A.B.再由充分必要条件的判定得答案．【解答】：解：A={x| {x(x+2)＞0|x|＜1}={x| {x＜−2或x＞0−1＜x＜1}={x|0＜x＜1}.B={x|x+1|x−3|＞0} ={x|x＞-1且x≠3}.则由x∈A⇒x∈B.反之不成立．∴x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查一元二次不等式、绝对值的不等式及分式不等式的解法.考查充分必要条件的判定方法.是基础题．14.（单选题.3分）使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立的实数t（）A.不存在B.有且仅有一个C.有不止一个的有限个D.无穷多个【正确答案】：B【解析】：使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立.开口向上.所以只需△=9（t-1）2-8t（t-3）=t2+6t+9=（t+3）2≤0.求出即可．【解答】：解：使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立.开口向上.所以只需△=9（t-1）2-8t（t-3）=t2+6t+9=（t+3）2≤0.即t=-3.所以t有且只有一个．故选：B．【点评】：考查了二次函数的性质.恒成立问题.基础题．15.（问答题.0分）设a＞0.b＞0.比较√a2b +√b2a与√a+√b的大小．【正确答案】：【解析】：a＞b＞0.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：设a＞0.b＞0.√a2b +√b2a=√b+√a.根据均值不等式可得.√b+ √b≥2 √a . ①√a+ √a≥2 √b . ②当且仅当a=b时取等号. 所以由① + ② 可得√b +√a+ √a + √b≥2（√a + √b）.即√a 2b +√b2a≥√a+√b则√a 2b +√b2a与√a+√b的大小为√a2b +√b2a≥√a+√b．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的计算.属于基础题．16.（问答题.0分）解下列不等式：（1）|x+1|-|2x-1|＞1；（2）xx2−7x+12≤1．【正确答案】：【解析】：（1）去绝对值号.分段解不等式即可得出不等式的解集；（2）不等式 x x 2−7x+12≤1 可转化为 x 2−8x+12x 2−7x+12≥0 .分解后可得 (x−2)(x−6)(x−3)(x−4)≥0 .由于四个因子的四个零点.把所有实数分成了五部分.分段讨论不等式是否成立即可得出不等式的解集．【解答】：解：（1）∵|x+1|-|2x-1|= {2−x ，x ≥123x ，−1≤x ≤12x −2，x ＜−1 .∴解|x+1|-|2x-1|＞1得. 13 ＜x ＜1.故不等式的解集是 (13，1) ；（2） x x 2−7x+12≤1 可转化为 x 2−8x+12x 2−7x+12≥0 .即 (x−2)(x−6)(x−3)(x−4)≥0 .当x≥6时.四个因子都非负.不等式成立；当3＜x ＜4时.四个因子两个为正两个为负.此时不等式成立；当x≤2时.四个因子都非正.不等式成立.综上知.不等式 x x 2−7x+12≤1 的解集是（-∞.2]∪（3.4）∪[6.+∞）．【点评】：本题考查分式不等式与绝对值不等式的解法.转化为整式不等式是常用的解答策略.本题也考查了简单高次不等式的解法.对于简单高次不等式可以分解为几个因子的乘积.分别判断每段上各个因子的符号.从而得出不等式的解集．本题解法比较典型.要理解总结．17.（问答题.0分）据市场分析.某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨）.月生产总成本y （万元）可以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时.月总成本为20万元.当月产量为15吨时.月总成本最低为17.5万元．（1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；（2）若x∈[10.25].当月产量为多少时.每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？【正确答案】：【解析】：（1）设出函数解析式.代入（10.20）.可得函数解析式；（2）求出每吨平均成本.利用基本不等式可求最值．【解答】：解：（1）由题意.设y=a （x-15）2+17.5（a∈R .a≠0）将x=10.y=20代入上式得：20=25a+17.5.解得a= 110 .∴y= 110 （x-15）2+17.5（10≤x≤25）（2）平均成本 y x = 110x 2−3x+40x = 110 x+ 40x -3≥2 √110x •40x -3=1 当且仅当 110 x= 40x .即x=20∈[10.25]时上式“=”成立．故当月产量为20吨时.每吨平均成本最低.最低成本为1万元．【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.确定函数解析式是关键．18.（问答题.0分）已知命题：“∃x∈{x|-1＜x ＜1}.使等式x 2-x-m=0成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x-a ）（x+a-2）＜0的解集为N.若x∈N 是x∈M 的必要条件.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用参数分离法将m 用x 表示.结合二次函数的性质求出m 的取值范围.从而可求集合M ；（2）若x∈N 是x∈M 的必要条件.则M⊆N 分类讨论 ① 当a ＞2-a 即a ＞1时.N={x|2-a ＜x ＜a}. ② 当a ＜2-a 即a ＜1时.N={x|a ＜x ＜2-a}. ③ 当a=2-a 即a=1时.N=∅三种情况进行求解【解答】：解：（1）由x 2-x-m=0可得m=x 2-x= (x −12)2−14∵-1＜x ＜1∴ −14≤m ＜2M={m| −14≤m ＜2 }（2）若x∈N 是x∈M 的必要条件.则M⊆N① 当a ＞2-a 即a ＞1时.N={x|2-a ＜x ＜a}.则 {2−a ＜−14a ≥2a ＞1 即 a ＞94② 当a ＜2-a 即a ＜1时.N={x|a ＜x ＜2-a}.则 {a ＜1a ＜−142−a ≥2即 a ＜−14 ③ 当a=2-a 即a=1时.N=∅.此时不满足条件综上可得 a ＞94或a ＜−14【点评】：本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解.集合之间包含关系的应用.体现了分类讨论思想的应用．19.（问答题.0分）已知二次函数 f 1(x )=x 2−ax +b . f 2(x )=x 2−bx +c . f 3(x )=x 2−cx +a ．（1）若a=3.b=2.c=1.解不等式组： {f 1(x )＞0f 2(x )＞0f 3(x )＞0；（2）若a.b.c∈{1.2.3.4}.对任意x∈R .证明：f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）中至少有一个非负；（3）设a 、b 、c 是正整数.求所有可能的有序三元组（a.b.c ）.使得f 1（x ）=0.f 2（x ）=0.f 3（x ）=0均有整数根．【正确答案】：【解析】：（1）代值直接计算即可；（2）只需证明△1、△2、△3至少有一个小于等于0即可；（3）先判断当a≥9时.没有满足条件的有序三元组（a.b.c ）.再讨论a≤8时.满足条件的有序三元组（a.b.c ）即可．【解答】：解：（1）当a=3.b=2.c=1时.解不等式x 2-3x+2＞0得x ＜1或x ＞2.解不等式x 2-2x+1＞0得x≠1.解不等式x 2-x+3＞0得x∈R .综上.所求不等式组的解集为（-∞.1）∪（2.+∞）；（2）证明：∵ △1=a 2−4b . △2=b 2−4c . △3=c 2−4a .∴相加得△1+△2+△3=（a-2）2+（b-2）2+（c-2）2-12.∵a.b.c∈{1.2.3.4}.∴△1+△2+△3≤0即△1、△2、△3至少有一个小于等于0.∴f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少有一个非负；（3）由判别式大于等于0.及f（1）≥0.可得a2≥4b.b2≥4c.c2≥4a.a≤b+1.b≤c+1.c≤a+1.a≥4.b≥4.c≥4.∴a-1≤b≤a+2.a-2≤c≤a+1.∴（a-2）2-12≤a2-4b≤（a-2）2.∵a2-4b为平方数.∴当a≥9时.a2-4b=（a-2）2⇒b=a-1.同理可得当b≥9时.c=b-1=a-2.此时f1(x)=x2−ax+a−1=0两根为1和a-1. f2(x)=x2−bx+b−1=0两根为1和b-1. f3(x)=x2−(a−2)x+a=0无整数解.不符．故a≥9不满足题意；当a≤8时.讨论可得（4.4.4）.（6.8.7）.（7.6.8）.（8.7.6）符合．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法及函数与方程的综合运用.考查逻辑推理能力.属于中档题．。
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【解析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【解析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项. 【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．定义在R 上的偶函数()f x 满足对任意(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，则当*n N ∈时，有（ ）A ．()()()11f n f n f n -<-<+B ．()()()11f n f n f n -<-<+C ．()()()11f n f n f n +<-<-D ．()()()11f n f n f n +<-<-【答案】C【解析】根据函数的奇偶性和在(],0-∞上的单调性，判断函数在[)0,+∞上的单调性，由此判断出()()()1,,1f n f n f n -+的大小关系. 【详解】依题意可知，函数()f x 满足对任意(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，也即函数()f x 在(],0-∞上单调递增，由于()f x 为偶函数，故函数在[)0,+∞上单调递减.而()()f n f n -=，且011n n n ≤-<<+，故()()()11f n f n f n +<<-，即()()()11f n f n f n +<-<-.故选：C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小，属于基础题. 4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 【答案】B【解析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项。
2019-2020学年上海中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 已知集合A ={0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2. 已知x <0，函数y =4x +x 的最大值是( )A. 5B. −4C. −8D. 63. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43) D. [−12,43] 4. 若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. ［−1，+∞)C. ［−1，1］D. ［0，+∞)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}，则C U A =________．6. 解关于x 的不等式：2|x −3|+|x −4|<2．7. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________．8. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)= ______ ．9. 已知a ∈R ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a = ______ ，b = ______ ． 10. 已知x ，y 为正实数，则x2x+y +yx+2y 的最大值为________． 11. 已知集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =_____． 12. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________13. 函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，则a +b = ______ ． 14. 已知集合A ={−1,0,a }，B ={0,√a}.若B ⊆A ，则实数a 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾816. 解下列不等式：(Ⅰ)|2x +1|−2|x −1|>0； (Ⅱ)||x −2|−1|≤1．17. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(I)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？18. 已知命题是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x−a)[x−(2−a)]<0的解集为N，若N⊆M，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题型，直接求解即可． 【解答】解：∵集合A ={0,1}， ∴易得A ，C ，D 正确，B 选项，集合与集合的关系不能用∈， 故选B ．2.答案：B解析：解：∵x <0，∴函数y =4x +x =−(−x +4−x )≤−2√−x ⋅4−x =−4，当且仅当x =−2时取等号．∴x <0，函数y =4x +x 的最大值是−4． 故选B ．变形利用基本不等式即可得出．变形利用基本不等式和掌握使用基本不等式时注意“一正，二定，三相等”是解题的关键．3.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].4.答案：B解析： 【分析】本题考查恒成立问题，考查二次函数知识的综合运用，属于基础题．分两种情况讨论，当a ≥0时，二次函数在［0，+∞)单调递增且f(0)>0，当a <0时，要求Δ≤0，从而得到结果. 【解答】解：∵x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，1)当a ≥0时，函数f(x)=x 2+2ax +1在(−a,+∞)上为单调增函数，则函数f(x)=x 2+2ax +1在[0,+∞)上为单调增函数， 所以f(x)≥f(0)，∵f(0)=1>0，∴符合题意，2)当a <0时，因为f(0)=1>0，所以要使x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立， 则4a 2−4≤0，即−1≤a ≤1， 此时有−1≤a <0， 综上a ≥−1． 故选B ．5.答案：{0}解析： 【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题． 【解答】解：集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}， 则C U A ={0}． 故答案为{0}．6.答案：解：当x ≥4时，原不等式即为2(x −3)+(x −4)<2，即3x −10<2，解得x <4，则有x ∈⌀； 当3<x <4时，原不等式即为2(x −3)+(4−x)<2，即x −2<2，解得，x <4，则有3<x <4； 当x ≤3时，原不等式即为2(3−x)+(4−x)<2，即10−3x <2，解得，x >83，则有83<x ≤3． 则原不等式的解集为{x|83<x ≤3或3<x <4}={x|83<x <4}．解析：运用零点分区间方法，讨论当x ≥4时，当3<x <4时，当x ≤3时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：如果x ≠2或y ≠−1，则√x −2+(y +1)2≠0解析： 【分析】本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题． 【解答】解： 根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．8.答案：{7,9}解析：解：∵集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，∴∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)={7.9}，故答案为：{7,9}根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．9.答案：−1；0解析：解：由题意知,1}={a2,a+b,0}，∵{a,ba∴根据集合相等的定义可知：有以下几种情况①当a=0时，不符合题意，故a≠0=0时，b=0②当ba即这时集合化简为{a,0，1}={a2，a，0}∴当a=1时不满足集合元素的互异性，故a≠1∴当a2=1时，a=1或a=−1经验证a=−1成立．即此时集合为{−1,0，1}∴可知：a=−1，b=0故答案为：−1，0．根据集合相等的定义，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可得出结论．本题考查集合元素的互异性，考查集合相等的定义，比较基础．10.答案：23解析：【分析】本题主要考查基本不等式的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．对原式子进行换元变形，以及基本不等式应用时应该满足的条件：一正二定三等．解：令2x +y =m ，x +2y =n ， 则x =2m−n 3，y =−m+2n3，且m >0，n >0，因此：x 2x +y +y x +2y =2m −n 3m +−m +2n3n =2m −n 3m +−m +2n 3n =43−(n 3m +m3n) ≤43−2√19=23，当且仅当m =n 时取等号， 则x2x+y +yx+2y 的最大值为23， 故答案为23．11.答案：｛4，6｝解析： 【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 利用交集运算定义直接计算即可． 【解答】解：因为集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}， 所以A ∩B =｛4，6｝． 故答案为｛4，6｝．12.答案：解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2． 所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2). 故答案为．解析：解：由题意，a >1，则1a−1=1，1b−1=13，∴a =2，b =4，∴a +b =6； a <1则1a−1=13，不成立． 故答案为：6．分类讨论，利用函数的单调性，结合函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，求出a ，b ，即可求出a +b ．本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：1解析： 【分析】本题主要考查子集的概念，集合的表示，考查学生对基本概念的理解和应用能力，考查核心素养是计算能力，属于基础题.利用子集关系得√a =a ，求解即可，注意集合元素的互异性． 【解答】解：因为B ⊆A ，所以√a ∈A ，因为A ={−1,0,a}，所以√a ≠0,√a ≠−1， 所以√a =a ，解得a =1； 故答案为1．15.答案：(1)解：因为a 2+b 2−2(2a −b)+5=a 2−4a +4+b 2+2b +1=(a −2)2+(b −1)2⩾0，所以a 2+b 2⩾ 2(2a −b)−5；(2)证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a×a+c b×a+b c⩾2√bca×2√ac b×2√ab c=8，当且仅当a =b =c 时，取等号．解析： 【分析】(1)本题考查作差法比较大小，两式作差与零比较，即可比较出两式大小；(2)本题考查不等式的证明，将a +b +c =1分别代入分子并化简，进而利用基本不等式即可证明原不等式．16.答案：解：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开得4x 2+4x +1>4x 2−8x +4，即得原不等式的解集为(14,+∞). (Ⅱ)由||x −2|−1|≤1得−1≤|x −2|−1≤1，即0≤|x −2|≤2，此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，所以原不等式的解集为{x|0≤x ≤4}．解析：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开化简求得原不等式的解集．(Ⅱ)把此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，由此可得原不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.答案：解：(I)设x ∈[200,300]时，获利为S ，则S =200x −(12x 2−200x +80000)=−12(x −400)2， 所以在x ∈[200,300]时，S 为单调递增函数， S max =−5000，S min =−20000， 所以补偿范围是[5000,20000]．(Ⅱ)二氧化碳的平均每吨的处理成本为y x ={13x 2−80x +5040,x ∈[120,144),12x −200+80000x,x ∈[144,500], 当x ∈[120,144)时，当x =120时，yx 取得最小值240， 当x ∈[144,500)时，yx=12x +80000x−200⩾2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时，yx 取得最小值200，∵200<240，所以每月的处理量为400吨时，才能使每吨的处理成本最低．解析：本题考查分段函数模型的应用以及基本不等式实际应用，是中档题． (I)根据x ∈[200,300]，求出函数y 的值域即可判断求解．(Ⅱ)写出每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解．18.答案：解：(1)命题“∃x ∈[−1,0]，x 2+2x +m <0”是真命题，则m <(−x 2−2x)max ，∵x ∈[−1,0]，∴(−x 2−2x)max =1，则m <1，即M =(−∞,1)； (2)当a <2−a ，即a <1时，N =(a,2−a)， ∵N ⊆M ，∴2−a ≤1，即a ≥1，此时a 无解；当a=2−a，即a=1时，N为空集，满足题意；当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，∵N⊆M，∴a≤1，此时a无解．综上：a=1．解析：(1)把原命题转化为m<(−x2−2x)max，再由二次函数求最值得答案；(2)对a分类求解不等式(x−a)[x−(2−a)]<0，再由两集合端点值间的关系列式求解．19.答案：解：(1)设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0．不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．(2)因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以即．解得−1<t<3．解析：本题考查了函数与方程以及一元二次不等式的解法，是一般题．(1)根据韦达定理求出t，然后根据一元二次不等式的解法得出答案．(2)根据一元二次方程根的分布建立关于t的不等式组，解不等式组即可．。
【上海市重点中学】2019-2020年上海市复旦附中高一上期中数学试卷含答案
1复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级数学期中考试试卷时间：120分钟 满分：150分一．填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合{}2,0,1,9A =，则集合A 的非空真子集的个数为 ．2.若{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，2{|10A x x =-„，}x Z ∈，{|13B x x =-剟，}x Z ∈，则()U A B =I ð ．3. 不等式123x-<<的解集为__________. 4. 设集合{}{},T =∅∅,则下列命题：①T ∅∈；②T ∅⊆；③{}T ∅∈；④{}T ∅⊆中正确的是__________.（写出所有正确命题对应的序号）5. 若集合{x y R ==，则实数a 的取值范围__________.6. 如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q I 中含有2个元素，U U C P C Q I 含有4个元素，U C P Q I 含有3个元素，则P 含有______个元素.7. 已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为 ．8. 若()f x 在区间2,22t t t ⎡⎤--⎣⎦上为奇函数，则t 的值为_______.9. 不等式|3||4|x x a --+<的解集非空，则实数a 的取值范围是 ．210. 对于集合M ，定义函数1,()1,.M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合A ，B ，定义集合{|()()1}A B A B x f x f x *==-g．已知集合{}()(){},330A x B x x x x =>=-+>，则A B *=__________.11. 若实数x ，0y …满足31x y xy +-=，求34x y +的最小值为_________.12. 已知0a >，且对任意0x >，有()()20x a x bx a -+-≥恒成立，则ab的取值范围为_________. 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( )A ．若q 不正确，则p 不正确B ．若q 不正确，则p 正确C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确14.已知,a b R ∈，则“1,1a b <<”是“不等式1ax a b +>+”成立的( )条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要条件15.定义在R 上的偶函数，()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有1221()[()()]0x x f x f x -->，则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-316.设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( )A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三．解答题（本大题共有5题，满分76分17.已知集合()(){}23210A x x m x m =-+++=，(){}223120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若A B A =I ，求,m n 的值；（2）若A B A =U ，求,m n 的取值范围.18. 设0a >，0b >，且11a b a b+=+． 证明：（1）2a b +…； （2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立．419.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()2()af x x a R x=+∈， （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当2a =时，①判断()f x 在()0,1x ∈上的单调性并用定义证明；②若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()f x m >m 的取值范围．实用文档 用心整理521.设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，（1）求函数()f x 的解析式；（2）求实数,a b ，使得函数()f x 在区间[][),1,a b ⊆+∞上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则记所有满足条件的区间[],a b 的并集为D .设()()()g x f x x D =∈，问是否存在实数m ，使得集合()(){}(){}2,,x y y g x x y y xm ==+I恰含有2个元素？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.实用文档 用心整理6参考答案1、142、{}2,33、11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 4、①②③④ 5、(],3-∞- 6、5 7、3- 8、1- 9、()7,-+∞ 10、(][)(),30,13,-∞-+∞U U11、4312、()(),10,-∞-+∞U 13-16、DACB17、（1）2n =-，1m =或12m =-；（2）5,13m R n ∈⎧⎪⎨⎛⎫∈- ⎪⎪⎝⎭⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 18、证明略19、（1）()3y x l x =-（0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）；（2）当6l x =时，最大为212l20、（1）当0a =时，偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；（2）单调递减；（3）[)1,521、（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩；（2）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）2m =-。
上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及解析
上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格.则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（ ） A.若及格分不高于70分，则A ，B ， C 都及格 B.若A ，B ， C 都及格，则及格分不高于70分 C.若A ，B ， C 至少有一人及格，则及格分不高于70分 D.若A ， B ， C 至少有一人及格，则及格分高于70分 2.下列各组不等式中解集相同的是（ ）A.22311x x x x -<--与223x x -< B.(3)(1)01x x x -+>+与30x ->C.5x <与221153232x x x x x +<+-+-+ D.(3)(1)03x x x -+>-与10x +>3.观察下列四个函数的图象，其中值域为[]0,4的函数是（ ）A. B.C. D.4.已知非空集合,A B 满足以下两个条件： （ⅰ）{}1,2,3,4,5,6A B ⋃=， A B ⋂=∅；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素， B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为 （ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B =_________.6.函数f (x )=√x +1+(2−x )0的定义域为______.7.已知函数()1(1)3(1)x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()5f f -=⎡⎤⎣⎦__________.8.“4x >”是“2x >”的___________条件. 9.不等式11x≤的解集为__________ 10.已知1x >，则41x x +-的取值范围是__________. 11.不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为________. 12.已知{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈，则()U C M N =________.13.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(x f x x m m =++为常数)，则()f m 的值为__________.14.设集合A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义: 0,,0,1,,1,x A x Bm n x A x B ⎧∉∉⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩.①若A B ⊆；则对任意(),10x R m n ∈-=；②若对任意,0x R mn ∈=，则A B φ⋂=；③若对任意,1x R m n ∈+=，则A ，B 的关系为R A C B =.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号)15.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 16.设关于x 的不等式()()222222224704547x a x a a x a a x a a ++-+-<++--+-的解集是一些区间的并集， 且这些区间的长度和(规定:(),a b 的长度为b a -)不小于12，则a 的取值范围为__________.三、解答题（题型注释）17.已知集合{|A x y ==，集合{}2|7120B x x x =--->，集合{|121}C x m x m =+≤≤-.(1)求AB ；(2) 若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 18.记关于x 的不等式30ax x a-≤+的解集为P . (1)若1a =，求P ；(2)若1P ∉，求实数a 的取值范围.19.2019年10月1日为庆祝中华人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有580台(套)装备、160 余架各型飞机接受检阅。
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中正确的有（ ）①很小的实数可以构成集合；②集合{}21y y x =-与集合{}2(,)1x y y x =-是同一个集合；③集合{}(,)0,,x y xy x y R ≤∈是指第二和第四象限内的点集. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】根据集合的概念即可判断. 【详解】对于①，集合具有确定性，故①错；对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错； 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的概念，属于基础题.2．设0,0x y >>，下列不等式中等号不能成立的有（ ） A ．11()()4x y x y++≥ B ．11()()4x y x y++≥ C ．24≥D ．4x y ++≥ 【答案】C【解析】由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解. 【详解】 已知0,0x y >> 对于A 项，11()()224x y x y ++≥⨯=，当且仅当11,x y x y==时，即1,1x y ==时等号成立，故A 项正确，不符合题意；对于B 项，11()()4x y x y ++≥，当且仅当x y =时等号成立，故B 项正确，不符合题意；对于C 2=≥，=时等号成立，但此时x 无实数根，所以等号不成立，故C错误，符合题意；对于D 项，4x y+≥≥，当且仅当x y == 即1,1x y ==时，等号成立，故D 正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式时，务必验证等号成立的条件.3．集合(2)01x x A x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭，集合103x B x x ⎧⎫+⎪⎪=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分不必要 【答案】A【解析】根据条件求出集合,A B ，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】}{(2)0011x x A x x x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪==<<⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭，{1013x B xx x x ⎧⎫+⎪⎪=>=>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭且}3x ≠， 即x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 项正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用，同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法，比较基础.4．使关于x 的不等式23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立的实数t （ ） A ．不存在 B ．有且仅有一个 C ．有不止一个的有限个 D ．无穷多个【答案】B【解析】利用二次函数的性质23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，只需0∆≤即可.23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，则0∆≤，即[]23(1)8(3)0t t t ----≤化简整理得2690t t ++≤，所以2(3)0t +≤，解得3t =- 故满足条件的实数t 有且只有一个. 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，借助一元二次不等式与二次函数的关系，转化为用判别式∆求解.二、填空题5．已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2-【解析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2- 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.6．若关于x 的不等式(,)x a b a b R +<∈的解集为{}24x x <<，则ab =________. 【答案】3-【解析】根据解绝对值不等式(,)x a b a b R +<∈得a b x b a --<<-； 再由不等式的解集为{}24x x <<，对应相等即可求出答案. 【详解】由(,)x a b a b R +<∈得b x a b -<+<a b x b a ⇒--<<- 又不等式的解集为{}24x x <<，24a b b a --=⎧∴⎨-=⎩ 解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-.故答案为：3-本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.7．命题“若2x =-，则230x x +<”的逆否命题是________. 【答案】“若230x x +≥，则2x ≠-”【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”即可解答. 【详解】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”可得 逆否命题为“若230x x +≥，则2x ≠-”. 故答案为：若230x x +≥，则2x ≠- 【点睛】本题考查四种命题，掌握四种命题间的关系是解决问题的关键，属于基础题. 8．若全集U =（1，2，3，4，5，6，7，8，9），A ，B 为U 的子集，且{}()1,9U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=则集合A =________.【答案】{}2,3,5,7A =【解析】作出韦恩图即可得到结论. 【详解】根据集合关系作出韦恩图（如上图）{}()1,9U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=∴ 由韦恩图得{}2,3,5,7A =.故答案为：{}2,3,5,7A = 【点睛】本题主要考查韦恩图的应用，根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.9．已知集合{},,2A a b =，{}22,,2(,)B b a a b R =∈，且A B =则b =________. 【答案】1或12【解析】首先集合相等转化元素相等，求出001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由集合元素的互异性舍去00a b =⎧⎨=⎩即可得出答案.【详解】 由A B =，22a ab b =⎧∴⎨=⎩ 或22a b b a ⎧=⎨=⎩解得 001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由集合元素的互异性可知00a b =⎧⎨=⎩ (舍去)，所以1b =或12b = 故答案为：1或12【点睛】本题考查集合之间的相等关系，集合相等转化为元素相等，由于集合元素的无序性，元素相等往往要分情况讨论.10．若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________. 【答案】112【解析】运用基本不等式得出31x y +=≥112xy ≤即可. 【详解】正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立. 故答案为：112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.11．已知集合{}230A x R x =∈-≥，{}B x R x a =∈<.若A B =∅，则实数a 的取值范围为________. 【答案】32a ≤【解析】首先解出集合A ，由A B =∅即可求出32a ≤. 【详解】由{}32302A x R x x x ⎧⎫=∈-≥=≥⎨⎬⎩⎭，{}B x R x a =∈<, 若A B =∅，所以32a ≤故答案为：32a ≤ 【点睛】本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围，属于容易题.12．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=-.若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ．【答案】514x <≤【解析】试题分析：由已知得，即，又因为，又因为x>0，所以，当时，显然不满足条件；当时，，从而得514x <≤；当时，显然不满足条件．故正实数 的取值范围是514x <≤． 【考点】新定义创新题．13．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.【答案】94【解析】根据基本不等式2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为：94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.14．若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________. 【答案】[]3,2--【解析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有k 0<满足，若集合A 的元素个数最少，由k 0<，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解. 【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<； 当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+， 所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当k 0<时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个. 综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当k 0<时，集合A 的元素个数为有限个，故当k 0<时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k=+（k 0<），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =所以()f k在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-≤+<-，即32k -≤≤-时， 集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -≤≤- 故答案为：[]3,2-- 【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题15．设0,0a b >>， .≥【解析】首先由0,0a b >>==，然后由基本不等式得≥+≥. 【详解】0,0a b >>，==根据基本不等式得≥ ①≥ ② 当且仅当a b =时，①②的等号成立， ①+ ② 得+≥≥【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小，此题也可用“作差法”进行比较. 16．解下列不等式：（1）1211x x +-->； （2）21712xx x ≤-+.【答案】（1）113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞【解析】（1）解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解.（2）解分式不等式转化为整式不等式，分解因式，利用穿针引线即可求解. 【详解】 （1）当12x ≥时，12111(21)11x x x x x +-->⇒+-->⇒< 112x ∴≤< 当112x -≤<时，1121112113x x x x x +-->⇒++->⇒> 1132x ∴<< 当1x <-时，121112113x x x x x +-->⇒--+->⇒> 所以此时无解，综上所述，故不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）22222(712)812100712712712x x x x x x x x x x x x --+-+-≤⇒≤⇒≤-+-+-+ 22222(812)(712)0812********x x x x x x x x x x ⎧-+-+≥-+⇒≥⇒⎨-+-+≠⎩(2)(6)(3)(4)0(3)(4)0x x x x x x ----≥⎧⇒⎨--≠⎩，如图所以不等式的解集为(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，解分式不等式式，转化为整式不等式后为一元高次不等式，分解因式利用穿针引线的方法进行求解.17．据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y （万元）x 可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元. （1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；（2）若[10,25]x ∈，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？【答案】（1）21(15)17.5(1020)10y x x =-+≤≤ （2）当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 【解析】（1）设出函数解析式，代入()10,20，可得函数解析式. （2）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）由题意，设2(15)17.5(,0)y a x a R a =-+∈≠，将10,20x y ==代入上式得202517.5a =+，解得110a =21(15)17.5(1020)10y x x ∴=-+≤≤. （2）21340140103110x x y x x x x -+==+-≥= 当且仅当4010x x=，即[]2010,25x =∈时等号成立， 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是解此题的关键.18．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或. 【解析】试题分析：（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解， 即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以8分 当时，解集为空集，不满足题意 9分 当时，，此时集合 则，解得12分 当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥15分 综上9144a a ><-或16分 【考点】命题与逻辑、分类讨论思想.19．已知二次函数222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+.（1）若3,2,1a b c ===，解不等式组：123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩；（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，证明：123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.【答案】（1）{2x x >或}1x <（2）见详解【解析】（1）把3,2,1a b c ===代入解析式，解一元二次不等式组即可求解. （2）利用反证法，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由{},,1,2,3,4a b c ∈，22240,40,40a b b c c a ->->->不恒成立，即可得证.【详解】（1）若3,2,1a b c ===，由222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+则解不等式组123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即解不等式组22232021030x x x x x x ⎧-+>⎪-+>⎨⎪-+>⎩，即211`x x x x R ><⎧⎪≠⎨⎪∈⎩或， 故不等式的解集为{2x x >或}1x <.（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，即函数123(),(),()f x f x f x 在x 轴下方均有图像，所以22240,40,40a b b c c a ->->->恒成立，所以三式相加2224440a b c a b c ++--->，即222(2)(2)(2)12a b c -+-+->，又因为{},,1,2,3,4a b c ∈，显然上式不成立， 即假设不成立，故123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.【点睛】本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.。
上海市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
高一年级期中试卷一、填空题1、已知集合{}2|≤=x x A 与集合{}1|≥=x x B ，则=⋂B A .2、命题“若0652=+-x x ，则2=x 或3=x ”的逆否命题是 . 3、不等式0513<--xx 的解集是 . 4、已知函数()()21,122-+=+-=x x x g x x x f ，则()()x g x f ⋅ . 5、若集合{}Z x x x x A ∈<--=,043|2,则集合A 的子集个数为 .6、已知集合{}02|2=+-=q px x x A ，{}05|2=+-=q x x x B ，且{}3=⋂B A ,则q p += .7、已知集合{}a x x A >=|，{}R x x x B ∈<-=,22|，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围 .8、定义在整数集上的函数()x f 满足()()6,20098,2009n n f n f f n n -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩，则()2008f = .9、关于x 的不等式()()011122<----x m x m 的解集为R ，则实数m 的取值范围为 . 10、设偶函数()x f 的定义域[]55-，，若当[]50，时，()x f 的图像如图所示，则满足不等式()0<x xf 的x 的范围是.11、对于M x x ≤+2-2成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做x x 2-2+的上确界.若+∈R b a , 且1a b +=,则122a b--的上确界为 . 12、设集合{}6,5,4,3,2,1=A ,集合B 有k 个元素，且A B ≠⊂，若所有可能的B 的各个元素之和是210，则k 的所有可能值为 .二、选择题13、设R m b a ∈、、,则“mb ma =”是“b a =”的（ ）、A 充分非必要条件 、B 必要非充分条件 、C 充要条件 、D 既非充分又非必要条件14、下列四组函数中，是同一函数的是（ ）()1=x f A 、和()0x x g = 、B ()2x x f =与()x x g =、C ()31+⋅-=x x x f 与()322-+=x x x g 、D ()212+-=x x x f 与()212+-=x x x g 15、下列结论正确的是（ ）、A 若b a <且d c <，则bd ac < 、B 若b a >，则22bc ac > 、C 若0≠a ，则21≥+aa 、D 若b a <<0，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧==a x x A 1|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==b x x B 1|，则B A ⊇ 16、当一个非空数集G 满足“如果G b a ∈,，则G ab b a b a ∈-+,,,且0≠b 时，G ba ∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则G ∈2017；③集合{}Z k k x x P ∈==,2|是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）、A 1个 、B 2个 、C 3个 、D 4个三、解答题17.已知集合{}a A ,4,1=，{}2,1aB =，且A B ⊆,求实数a 的值.18.已知集合{}{}0107-|,321|2≥-+=+≤≤+=x x x B a x a x A （1）已知3=a ，求集合()B A C R ⋂(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围.19.已知()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()x x x f 22+-= （1）求()x f 的解析式并直接写出函数()x f 的单调递减区间；（2）若函数()x f 在区间[]21--a ，上单调递增，求实数a 的取值范围。
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2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（?U A）∩B＝．3．不等式﹣2＜＜3的解集是．4．设集合T＝{?，{?}}，则下列命题：①?∈T，②??T，②{?}∈T，④{?}?T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．若集合，则实数a的取值范围是．6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，?U P∩?U Q 含有4个元素，?U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A （x）？f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]?[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（?U A）∩B＝{2，3}．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴?U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（?U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．3．不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．4．设集合T＝{?，{?}}，则下列命题：①?∈T，②??T，②{?}∈T，④{?}?T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【解答】解：∵T＝{?，{?}}，∴?∈T，??T，{?}∈T，{?}?T．故答案为：①②③④．5．若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，?U P∩?U Q 含有4个元素，?U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，?U P∩?U Q含有4个元素，?U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A （x）？f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），f A（x）？f B（x）＝﹣1，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝B，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝[﹣3，1），故A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A?B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B?A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝?，对m∈R，故成立，综上，或或或．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]?[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]?[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]?[0，1]时，?[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．。