复旦附中2018-2019学年第一学期高一期末数学试卷及答案
2018复附高一数学期末考试卷(含解析)
。
4. 若在等比数列{an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
。
5. 方程 (3cos x 1)(cos x 3sin x) 0 的解集是
。
6.
若数列{an} 满足 a1 13 ， an1 an
n ，则 an n
的最小值为
。
7.
若数列{an} 是等差数列，则数列 bn
an1 anm m
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
1/6
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心 二. 选择题
选择菁英高中，成就名校梦想
13. “b 是1 3 与1 3 的等差中项”是“b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
（2）设 Sn 是数列{an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
3/6
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年
件的所有数列{an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
。
12. 用 An 表示所有形如 2r1 2r2 2rn 的正整数集合，其中 0 r1 r2 rn n ， n N* 且
ri N (i N* ) ， bn 为集合 An 中的所有元素之和，则{bn} 的通项公式为 bn
21.（1） an2 an1 an1 an ，即 bn1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【解析】∵实数满足：∈{1，4，}，∴=1或=4，或=a，解得=﹣2或=2或=﹣1或=1或=0，当=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当=﹣1，或=±2，或=0时，满足题意．∴实数的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．2.函数的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】由题意得，解得．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和．故答案为：（∞，0）和（0，+∞）．5.已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】设，则，由已知当时，，当时，可得，．6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____．【答案】【解析】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：．7.函数的值域为_______.【答案】【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.8.已知a＞0，b＞0，则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为4．故答案为：4．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【解析】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．11.若函数，则_____．【答案】1【解析】由题意得．故答案为：1．12.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【解析】对于①，集合A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集．对于④，集合A=表示以点为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，由x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为，，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．14.已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x3＜x1＜x2D. x2＜x3＜x1【答案】B【解析】函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sin x与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x1＜0，x2＞0，x3=0，所以x1＜x3＜x2．故选B．15.已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A. 0B. 1C. －1D. 不确定【答案】C【解析】依题意，得当4∈M时，有，从而，，于是集合M的元素只有4，，所有元素之积等于4×（）×=-1．16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A. f（x）的图象关于x=1对称B. f（x）的最大值与最小值之和为2C. 方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D. 当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【解析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以．故D不正确．故选C．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．18.已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，（1）试求f（﹣2）的值；（2）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（3）求出f（x）的零点．解：（1）∵函数为奇函数，∴．（2）当x＞0时，函数在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（3）当时，由，得，解得，∴是函数的零点．又函数为奇函数，∴也为函数的零点．综上可得函数的零点为和．19.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.法二：设，则，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，故时，即的取值范围为.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．21.已知函数，．(1)若函数是奇函数，求实数的值；(2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，即，，显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.上面等式左右两边同时乘以得，化简得，.上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域.由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数. 令，显然在区间和均单调递增，又，且，.所以函数在区间和上各有一个零点，即方程在定义域上有2个解，所以函数与函数的图象有2个公共点.（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立，令，则，上式整理得在恒成立.方法一：令，.①当，即时，在上单调递增，所以，恒成立；②当，即时，在上单调递减，只需，解得与矛盾.③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以由，解得，又，所以综合①②③得的取值范围是.方法二：因为在恒成立. 即，又，所以得在恒成立令，则，且，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，所以,所以的取值范围是.。
【优质文档】2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题考试范围：必修4(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分)1.sin(-2 055°)等于( )A.6-242+64C. D.2+642-642.若sin α>0且tan α<0,则的终边在( )α2A.第一象限B.第二象限C.第一象限或第三象限D.第三象限或第四象限3.若sin(π-α)=-,且α∈(π,),则sin(+α)等于( )533π2π2A.- B.5353C.- D.23234.已知D 是△ABC 所在平面内一点,=+,则( )→AD 713→AB 613→AC A.= B.=→BD 713→BC →BD 613→BC C.= D.=→BD 137→BC →BD 136→BC5.已知a 与b 的夹角为,a=(1,1),|b|=1,则b 在a 方向上的投影为( )π3A B..2262C. D.12326.函数f(x)=cos(x+)-cos(x-)是( )π4π4A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数7.已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( )A. B. 710C. D.4138.若tan(π-α)=,α是第二象限角,则等于( )341sin π+α2·sin π-α2A. B.5910C. D.101099.已知α是锐角,a=(,sin α),b=(cos α,),且a∥b,则α为( )3413A.15° B.45°C.75°D.15°或75°10.已知函数y=sin (2x+)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+)的图象( )ϕπ6ϕA.关于点(,0)对称π6B.关于点(,0)对称π3C.关于直线x=对称π6D.关于直线x=对称π311.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,-<<)的部分图象如图所示,则ω,的值ϕπ2ϕπ2ϕ分别是( )A.2,-B.2,-π3π6C.4,-D.4,π6π312.将函数f(x)=2cos 2x-2sin xcos x-的图象向左平移t(t>0)个单位,所33得图象对应的函数为奇函数,则t 的最小值为( )A. B.2π3π3C. D. π2π6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知角α的终边过点(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(,π),则cos α=π214.已知向量a=(-2,3),b=(4,m),若(a+2b)∥(a-b),则实数m= . 15.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,π6π2且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称,x 0∈,则x 0= . [0,π2]16.如图,在矩形ABCD 中,AB=,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,2若·=,则·的值是 .→AB →AF 2→AE →BF三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(1)设tan α=-,求的值;121sin 2α-sinαcosα-2cos 2α(2)已知cos(75°+α)=,且-180°<α<-90°,求cos(15°-α)的值.1318.(本小题满分10分)已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).→OA →OB 3→OC →OA →OB (1)求·,在上的投影;→OA →OB →OA →OB (2)证明A,B,C 三点共线,并在=时,求λ的值;→AB →BC (3)求||的最小值.→OC 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos(2x-)+sin 2x-cos 2x+.π32(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m>0,求实数m 的取值范围.π12π3220.(本小题满分12分)已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(,2π),3π2且a⊥b.(1)求tan α的值;(2)求cos(+)的值.α2π321.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)在一个周期内的图象如图所示.ϕϕπ2(1)求函数的解析式;(2)设0<x<π,且方程f(x)=m 有两个不同的实数根,求实数m 的取值范围以及这两个根的和.22.(本小题满分14分)已知向量a=(-sin ,1),b=(1,cos +2),函数f(x)=a·b.3x 2x 232(1)求函数f(x)在x∈[-π,]的单调减区间;5π3(2)当x∈[,π]时,若f(x)=2,求cos 的值.π3x 2。
专题14(5.4 反函数)(解析版)
专题14（*5.4 反函数）一、单选题1．（2019·上海杨浦·复旦附中高一期末）下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） A ．3y x -=和13y x -=B ．23y x =和()320y xx =≥C ．()20x y x =>和()2log 1y x x => D ．()()lg 11y x x =->和101x y =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y ，即3y x -=和13y x -=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x ∈R ，由()320y xx =≥得320=≥y x，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数. 故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.2．（2019·上海市建平中学高一期末）函数()10y x =≤的反函数是（ ）A ．)1y x =≥- B ．)1y x =≥-C ．)0y x =≥D ．)0y x =≥【答案】B【分析】根据反函数：用原函数中的函数表示自变量，且原函数的值域为定义域，原函数的定义域为值域， 即可求()10y x =≤的反函数；【详解】()10y x =≤，知：值域为[1,)-+∞且x =∴其反函数为)1y x =≥-；故选：B【点睛】本题考查了反函数，从解析式角度写出原函数的反函数，注意用函数表示自变量且定义域、值域互换即为所求反函数解析式；3．（2019·上海徐汇·高一期末）函数()()21122f x x x =+>的反函数是（ ）A ．)13y x =≤<B ．)3y x =>C ．)13y x =≤<D ．)3y x =>【答案】B【分析】先根据原函数的定义域求出值域,再由原函数解析式反解出x ,然后对调,x y 的位置可得反函数的解析式,并写上原函数的值域作为反函数的定义域即可得到. 【详解】因为2x >,所以211()141322f x x =+>⨯+=,由2112y x =+,得222x y =-,又2x >,所以x =对调,x y 的位置可得反函数1()f x -=(3)x >.故选B .【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,特别要注意反函数的定义域,属于基础题.4．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（ ）A ．1sin ([0,])3y x x π=∈B ．1cos ([0,])3y x x π=∈ C ．1sin ([0,])3y x x π=-∈D ．1cos ([0,])3y x x π=-∈【答案】D【分析】根据反三角函数的定义即可求出【详解】函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是1cos 3y x =-，[0,]x π∈， 故选D ．【点睛】本题主要考查反正弦函数的定义和性质，熟记反三角的定义是关键，属于基础题． 5．（2019·松江·上海市延安中学高一期末）若函数()y f x =的图像位于第一、二象限，则它的反函数1()y fx -=的图像位于（ ）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限【答案】D【分析】结合函数与反函数关于y x =得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可． 【详解】结合函数与反函数关于y x =得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可． 【点睛】本道题考查了函数与反函数的性质，难度中等．6．（2020·徐汇·上海中学高一期末）函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x - C ．()1f x + D ．()1f x -【答案】C【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位， 得到1(1)y f x -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 7．（2020·宝山·上海交大附中高一期末）设1x ，2x 分别是函数()xf x x a-=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则129x x +的取值范围是（ ）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞【答案】D【分析】根据零点定义,可得1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解.结合函数与方程的关系可知1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标,所以可得101x <<,21>x .而x y a =与log a y x =互为反函数,则由反函数定义可得121x x ⋅=.再根据基本不等式,即可求得12x x +的最小值,将129x x +化为1228x x x ++,即可得解. 【详解】因为1x ,2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点则1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解所以1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标所以交点分别为121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以101x <<,21>x由于函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =都关于y x =对称所以点A 与点B 关于y x =对称因为111,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于y x =对称的点坐标为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以121x x =即121x x ⋅=,且12x x ≠ 所以129x x +1228x x x =++28x ≥228x >+,由于12x x ≠,所以不能取等号因为21>x所以2282810x +>+= 即()12910,x x +∈+∞ 故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.二、填空题8．（2018·上海杨浦·复旦附中高一期末）函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1f x -=[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可． 【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1fx -∴=[]2,3x ∈故答案为()1f x -=[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．9．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________.【答案】-2【分析】求出反函数与原函数比较可知2a =-．【详解】由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 10．（2019·上海南汇中学高一期末）已知()1f x x x=+，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1 【分析】令1=21xx+，解方程即得解.【详解】令1=21x x+， 所以1x =.由反函数与原函数的关系得1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为1【点睛】本题主要考查反函数和原函数的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.11．（2020·上海市控江中学高一期末）设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，若()13f a -=，则a =__________.【答案】3【分析】由()13f a -=，可得(3)a f =，即可求解.【详解】函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，()13f a -=，则2(3)log 83a f ===. 故答案为:3.【点睛】本题考查互为反函数图像的关系，属于基础题.12．（2020·上海黄浦·高一期末）若函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是________. 【答案】(0,2)-【分析】首先求出函数log (3)a y x =+过的定点，再根据原函数与反函数图象关于y x =对称即可求出点P 的坐标.【详解】令31+=x 得2x =-，此时log 10a y ==，所以函数log (3)a y x =+过定点()2,0-， 所以函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点(0,2)-. 故答案为：(0,2)-【点睛】本题考查对数函数、对数函数的反函数，属于基础题. 13．（2019·上海青浦·高一期末）函数13x y +=的反函数是______． 【答案】31log (0)y x x =-+>【分析】该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．【详解】由13x y +=得31log x y +=，即：31log x y =-+， 又原函数的值域是0y >，∴函数()13x y x R +=∈的反函数是31log (0)y x x =-+>．故答案为31log (0)y x x =-+>．【点睛】求反函数，一般应分以下步骤：()1由已知解析式()y f x =反求出()x y =Φ；()2交换()x y =Φ中x 、y 的位置；()3求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．14．（2019·上海徐汇·高一期末）若函数()()111f x x x =≠-的反函数为()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 【答案】3【分析】求反函数中自变量为12的函数值,就是求原函数中函数值等于12时的自变量的值. 【详解】令1()1f x x =-12=,解得3x =, 所以函数()f x 的图象过点(13,2),所以反函数1()f x -的图象过点1(,3)2,即11()32f -=.故答案为:3【点睛】本题考查了求反函数值,属于基础题.15．（2019·上海市高桥中学高一期末）若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为_________. 【答案】12x y -=【分析】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，求得2a =，得到21log y x =+，再根据反函数的求法，即可求解. 【详解】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，即41log 8a =+，即log 83a =，解得2a =， 即21log y x =+，所以2log 1x y =-，即12y x -=， 所以函数21log y x =+的反函数为12x y -=. 故答案为12x y -=.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的求解，其中解答中熟记对数的运算性质，熟练应用反函数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．（2019·徐汇·上海中学高一期末）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果. 【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得1x =-； 当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x = 又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.17．（2019·上海市吴淞中学高一期末）已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x 代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握. 18．（2019·上海市第八中学高一期末）函数()()2111x f x x x +=≠-的反函数是()1f x -=______.【答案】()122x x x +≠-. 【分析】令211x y x +=-解得12y x y +=-，将其中的,x y 互换得12x y x +=-，再求出原函数的值域得其反函数的定义域，得解.【详解】令211x y x +=-，得12y x y +=-，将12y x y +=-中,x y 互换得12x y x +=-，所以()112x f x x -+=-， 又因为()2111x y x x +=≠-，2y ≠，所以()112x f x x -+=-中的2x ≠， 所以函数()()2111x f x x x +=≠-的反函数是()()1122x f x x x -+=≠-， 故填：()122x x x +≠-. 【点睛】本题考查求已知函数的反函数，求解反函数的步骤一般是：1、反解x ；2、互换,x y ；3、由原函数的值域得反函数的定义域，属于基础题.19．（2020·上海浦东新·高一期末）设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2【分析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】令()111f x x ==-解得2x = 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.20．（2019·上海市第二中学高一期中）函数arcsin(1)y x =-的定义域是________. 【答案】[]0,2【分析】利用反正弦函数的定义域即可得到结果. 【详解】由题意可知：111x -≤-≤， ∴02x ≤≤∴函数arcsin(1)y x =-的定义域是[]0,2 故答案为[]0,2【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，考查表达式有意义的条件，考查不等式的解法，属于基础题.21．（2020·上海奉贤·高一期中）已知()32f x x =-，则()1f f x -=⎡⎤⎣⎦______；()1f f x -⎡⎤=⎣⎦______.【答案】x x【分析】因为()32f x x =-，所以()123x f x -+=，代入即可. 【详解】因为()32f x x =-，所以()123x f x -+=， 所以()()1232233-+-+===⎡⎤⎣⎦f x x f f x x ，()()11232323--+⎡⎤=-=⋅-=⎣⎦x f f x f x x . 故答案为：x ；x【点睛】本题主要考查反函数的定义，解题的关键是准确找出()32f x x =-的反函数，属于基础题.22．（2020·上海奉贤·高一期中）设()1f x -是函数()()2log 1f x x =+的反函数，若()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，则()f a b +的值是______.【答案】2【分析】先求出()()2log 1f x x =+的反函数，然后根据()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦及可求出3a b +=，代入原函数即可.【详解】解：由()()2log 1f x x =+可得()f x 的反函数为()121xf x -=-，因为()()11118f a f b --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，所以()()1211218+-⋅+-=a b，即28a b += 所以3a b +=，所以()()2log 312f a b +=+=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查求反函数的方法以及函数求值问题，属于基础题. 23．（2020·上海浦东新·高一期中）已知函数()1f x x =-，则1(0)f -=________ 【答案】1【分析】由原函数的解析式反解出x ，再将x 与y 互换，可得原函数的反函数，进而得解. 【详解】()1f x x =-， 令1y x =-，解得1x y =-， 所以()11f x x -=-， 所以()11100f-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查反函数的求法，属于基础题.一般情况下，求反函数就是从原函数()y f x =，解出()1x f y -=，最后互换x 与y 的位置，得()1y f x -=，同时注意反函数的定义域，即为原函数的值域.24．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）已知()3131-=+x x f x ，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数的性质计算可得；【详解】解：因为()3131-=+x x f x 与()1f x -互为反函数，则()311312x x f x -==+解得1x =即()112f =，则1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查反函数的性质，若点(),x y 在原函数上，则(),y x 在反函数上，属于基础题.25．（2020·上海杨浦·复旦附中高一月考）函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________【答案】56π 【分析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.26．（2019·上海市曹杨中学高一期末）已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,()()2log 1f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则()3g -=_______.【答案】7-【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，且反函数与原函数奇偶性一致，即可求解.【详解】解：由函数()y f x =是奇函数,则其反函数()y g x =也为奇函数，则(3)(3)g g -=-，设2log (1)3x +=，则7x =，则(3)7g =，故(3)(3)7g g -=-=-， 故答案为7-.【点睛】本题考查了反函数与原函数奇偶性一致，重点考查了反函数的定义域是原函数的值域，属基础题.27．（2019·上海市曹杨中学高一期末）函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点(2,-2),那么函数()11y f x -=+的图像一定过点________.【答案】()2,3-【分析】利用函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的关系即可求得1(2)2f --=，再利用该结论即可得解.【详解】解：因为函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，又(2)2f =-，则1(2)2f --=，所以1(2)13f --+=，即函数1()1y f x -=+的图像一定过点()2,3-， 故答案为()2,3-.【点睛】本题考查了函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的性质，重点考查了函数与其反函数图像的关系，属基础题.28．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）下列四个命题中正确的是______． ①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，yA 是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④．【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数， 则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A ，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-， 故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为①②．【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．29．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f =+-⎡⎤⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得到答案．【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称，()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，化为log 21a -， 解得12a，舍去． ②当01a <<时，log a y x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -，解得102a <． 综上可得：102a<． 故答案为(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222x xf x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202x xm --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________. 【答案】③【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可．【详解】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f （x ）＝x 2，x ∈R 与g （x ）＝x 2，x ∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： ()222xxf x -=在(),1-∞ 上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增，故②错误；对于③：∵函数()1f x -的定义域为[]0,2，∴111x -≤-≤ ，即()f x 的定义域为[]1,1-， ∴111x -≤+≤，即20x -≤≤，∴函数()1f x +的定义域为[]2,0-，∴③正确；对于④：函数f （x ）1x=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：()42222xx f x =+++，令()222,xt =+∈+∞ 则()4f x t t=+在()2,+∞上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x ﹣m |12x -＜0，得|2x ﹣m |12x＜，∴11222x x x m --＜＜， 即112222xx x xm -+＜＜在区间[0，1]内恒成立， ∵函数f （x ）122xx=-在区间[0，1]内单调递增，∴f （x ）的最大值为32；令g （x ）122xx=+，t ＝2x（1≤t ≤2），则y ＝t 1t+在[1，2]上为增函数，由内函数t ＝2x 为增函数，∴g （x ）122xx=+在区间[0，1]内单调递增，g （x ）的最小值为2．∴322m ＜＜．∴⑥错误. 故答案为③【点睛】本题考查了命题真假性的判断问题，考查两个函数相同的条件，复合型函数的单调性，抽象函数的定义域，存在反函数的充要条件，不等式恒成立问题，是综合题．31．（2019·上海市吴淞中学高一期末）已知()2xf x =的反函数为()1y fx -=，()()()1111g x f x f x --=--+，则不等式()0g x <的解集是______.【答案】(0,1)【分析】先计算反函数，代入数据得到21log ()01xx-<+，计算得到答案. 【详解】()2xf x =的反函数为()12log y fx x -==()()()112222111log (1)log (1)log ()0log 11xg x f x f x x x x---=--+=--+=<=+ 满足：1010111x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-⎪<+⎩解得：01x <<故答案为(0,1)【点睛】本题考查了反函数，对数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.32．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）设常数a R ∈，函数()()lg f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______.【答案】99【分析】反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得． 【详解】依题意知：f （x ）＝lg （x +a ）的图象过（1，2），∴lg （1+a ）＝2，解得a ＝99． 故答案为99【点睛】本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题．33．（2020·上海普陀·曹杨二中高一期末）函数()y f x =的定义域为[1,1]-，其图像如图所示，若()y f x =的反函数为1()y f x -=，则不等式111(())(())022f x f x --->的解集为________【答案】3(,1]4【分析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集. 【详解】根据函数图象可得()f x 图象经过()()1,0,1,1-，所以[]11(),[1,1],()0,122f x x x f x =+∈-∈， 1122y x =+，得21x y =-， 所以()f x 的反函数[]1()21,0,1f x x x -=-∈不等式111(())(())022f x f x --->，[]0,1x ∈即[]110,22210,1x x x ⎛⎫⎛⎫>⎪⎪⎝⎝⎭--∈⎭，解得：3(,1]4x ∈故答案为：3(,1]4【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.34．（2020·上海浦东新·华师大二附中高一期末）已知函数()f x =，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【分析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.35．（2020·上海奉贤·高一期中）给出下列四个命题： （1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确，由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c，所以0c 是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确；（4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.36．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -=_______.【答案】()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞ 【分析】首先求出原函数的值域即反函数的定义域，再用y 表示x ，从而得到()1f x -.【详解】解：()221573912333123432x xxx x y +⎛⎫=+-=⋅+-- ⎪⎭+=⎝因为30x >，所以12y >-2325734x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∴332x ∴+=233x ∴=33log 2x ⎫∴=⎪⎪⎭()3132log x f-⎫⎪⎪⎭∴=，()12,x ∈-+∞故答案为：()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞ 【点睛】本题考查反函数的计算，指数型函数的值域，属于中档题. 37．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）已知函数()1x x a f b -=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1fx -=____.【答案】14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【分析】函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，则()13f =．1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，试求函数1(4)2f a -+=．根据两个方程，求出参数a 、b ．再根据求反函数的方法，求出反函数即可． 【详解】解：函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，()013f a b ∴=+=，03312a b =-=-=．又函数1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，1(4)2f a -∴+=． ()24426f a ∴=+=+=，即2126b -+=．4b ∴=．故1()24x f x -=+．再求其反函数即得14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞． 故答案为：14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【点睛】本题考查反函数的一个重要性质，若()1f a b -=则()f b a =，要灵活使用该性质．在求出反函数后，必须标明反函数的定义域，属于中档题．38．（2019·上海宝山·高一期末）若点P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，则称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，已知函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，则代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________.【答案】94【分析】根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=， 代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-则914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上， 所以00140,0x x y y +=>>，， 代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--，令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x << ，故04t <≤ 则91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.三、解答题39．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x ∈R 都有()()121f x f x +=-成立. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x gx -=+的值域.【答案】（1）()21xf x =+；（2）()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将0x =代入()f x ，解得b 的值；写出恒成立的不等式，令2a -等于0，求出a 的值．（2）写出()g x 的解析式，根据定义域求出值域，即反函数的定义域，再令21x y =+，利用y 表示x 即可求出()1g x -．（3）利用两个增函数的和函数为增函数；利用函数的单调性求出函数的最值． 【详解】解：（1）由(0)2f =，得1b =， 由(1)2()1f x f x +=-，得(2)0x a a -=， 由0x a >得2a =， 所以()21x f x =+．（2）由题意知，当[2,2]x ∈-时，()()21x g x f x ==+．则()5,54g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令21x y =+，5,54y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则2log (1)x y =-，所以2log (1)y x =-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）()21x g x =+，[2,2]x ∈-，()()12log 1gx x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．两个函数的公共定义域是5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()1y g x g x -=+2log (1)21xy x ∴=-++，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由于函数()21x g x =+与()()12log 1gx x -=-在区间524⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上均为增函数， 因此当54x =时，5544min 25log 121214y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，当2x =时，()2max 2log 21215y =-++=，所以函数()()1y g x g x -=+，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、反函数的求法、利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．40．（2019·上海市文来中学高一期末）设函数()2(x f x p p =+为常数且)p R ∈. （1）若(3)5,f =求()f x 的解析式.（2）在（1）的条件下，解方程：122()log (1)log (21).f x x x -=++-【答案】（1）()23xf x =-；（2）x =【分析】（1）根据题意(3)5f =代入方程，求出p 的值，从而求出解析式. （2）先求出函数的反函数，然后解对数方程注意定义域优先原则，从而求出所求. 【详解】（1）由题设可得3253p p +=⇒=-，所以()23xf x =-.（2）由（1）可得()()()12log 33f x x x -=+>-，于是方程()2221log 3log (1)log (21)2x x x x ⎛⎫+=++->⎪⎝⎭()()3121x x x ⇒+=+-，解得12x x ==（舍去），所以方程的根为x 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反函数的求法、对数的运算，属于基础题. 41．（2020·上海浦东新·高一期末）已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1f x -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21xg x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点；(3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可. (2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x xF x =-+-+，令()0F x =，即()()21212xx -+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11xg x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围. 【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22xF x g x =+- 令()0F x =，即221021xx-+-=+ 则()()()2212121412x x xx -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =. (3)由(2)可知()2121xg x =-+∴()()121log ,1,11xg x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x g x x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x xx-+-++=+=+++令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤又k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.42．（2019·上海杨浦·复旦附中高一期末）已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭ ； （2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩. 【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果. 【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ， 所以0x >或322-<<-x ， 因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =； 所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x g x ；当10x -≤<时， 01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ， 所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0xxx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.43．（2020·上海黄浦·格致中学高一期末）已知函数()log a x bf x x b-=+ ()0,0,0a a b >≠≠. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）求()f x 的反函数()1f x -的解析式.【答案】（1）0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞；（2）为奇函数，理由见解析；（3）()11212xxf x b +=⋅-﹣（0x ≠）. 【分析】（1）由0x bx b->+，化为：()()0x b x b -+>，对b 分类讨论即可解出； （2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论； （3）由log ax b y x b -=+，化为：2y x bx b-=+，解得用y 表示x ，把x 与y 互换可得()f x 的反函数()1f x -．【详解】(1)由x bx b->+0，化为：()()0x b x b -+>. 当0b >时，解得x b >或x b <-；0b <时，解得x b >-或x b <. ∴函数()f x 的定义域为：0b >时，()),(,x b b ∈-∞-+∞，0b <时，()),(,x b b ∈-∞-+∞.(2)∵定义域关于原点对称，()()log aa xb x bf x log f x x b x b----==-=--++，∴函数()f x 为奇函数.(3)由log a x b y x b -=+，化为：2yx b x b -=+，解得12 12y yx b +=⋅-. 把x 与y 互换可得：1212xxy b +=⋅-. ∴()f x 的反函数()()112 ,012xx fx b x -+=⋅≠-.【点睛】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．44．（2020·上海虹口·高一期末）已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-.（1）当1a =时，求()11f -；（2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【分析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可. （2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定. （3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+.。
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。
【精准解析】上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
∴ m2 2m 3 0 ，且 m2 2m 3 为偶数， m N ，且 a 1=1 . 解得 1 m 3 ， m 0 ，1，2， 且 a=2 , 只有 m 1时满足 m2 2m 3= 4 为偶数. ∴ m 1.
-2-
am3
故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和 等式，求解即可，属于基础题.
5.函数 y log3 x2 x 的递增区间为__________．
【答案】 1,
【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进
而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数 y log3 x2 x 的单调递增区间． 【详解】函数 y log3 x2 x 的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)
所以原函数的定义域为： ,5 ， 故答案为： ,5 .
【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于 0 列不等式求解即可，属于基础题.
2.函数 f x x2 1x 1 的反函数为__________．
【答案】 y x 1 ， x 2
【解析】 【分析】 通过函数的方程，求出 x，利用反函数的定义，求出函数的反函数即可．
a m ____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，
可得 m2-2m-3＜0，且 m2-2m-3 为偶数，m∈Z，且 a 1=1 ．解出即可．
【详解】∵幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在 0, 上是减函数，
∵一根大于 2，一根小于 2，
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.2.函数y =的定义域为______.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x xy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．5.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.6.函数0.5()2log 1x f x x =-的零点个数为__________.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.9.当lg lg a b=，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.10.函数()142x f x =-的图象关于点______成中心对称.11.设{}2|M y y x-==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223mm f x xm Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1gx -.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++xxx f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x-=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【分析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果.【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为()1,1【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.2.函数y =的定义域为______.【答案】(],6-∞【分析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞.故答案为(],6-∞【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【分析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果.【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ，即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即=1x -或1x =；又0x ≥，所以1x =.故答案为1【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．【答案】1<a<3【详解】解：因为分段函数在R 上单调增函数，则说明每一段都是增函数，同时第一段的最大值不能大于第二段的最小值，即30(3)4,1(){{1log ,1340a a a x a x f x a x x a a ->--<=∴>≥--≤，故1<a<35.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】[)4,+∞【分析】先求定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意可得：241740-+≥x x ，即(4)(41)0--≥x x ，解得4x ≥或14x ≤；令24174-=+t x x ，则其对称轴为178=x ；因此二次函数24174-=+t x x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)4,+∞上单调递增；又y =是增函数，所以当1,4⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦x 时，()()1224174f x x x =-+单调递减；在[)4,+∞上单调递增；即增区间为：[)4,+∞故答案为[)4,+∞【点睛】本题主要考查求复合函数单调区间，熟记基本初等函数单调性即可，属于常考题型.6.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【分析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可.【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是【答案】513a ≤≤【详解】试卷分析：因为函数值域为R ，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a 的范围即可．试卷分析：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：()()2221>0Δ=+1410a a a ---≥⎧⎪⎨⎪⎩解得513a <≤又a=－1，f(x)=0不满足题意，a=1，合题意．所以a 的取值范围是：513a ≤≤考点：一元二次不等式的应用；对数函数的值域与最值；对数函数的图像与性质；对数函数图象与性质的综合应用．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得=1x -；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.9.当lg lg a b =，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,+∞【分析】先lg lg a b =，a b <，得到01a <<，1b >，lg lg a b -=，推出1ab =，122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.【详解】因为lg lg a b =，a b <，所以01a <<，1b >，lg lg a b -=，即lg lg lg 0a b ab +==，因此1ab =，所以122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，任取121x x <<，则1212121212121211111()()222()()2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x x x x x ，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ，因此1212121()()()20⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭f x f x x x x x ，即12()()f x f x <，所以函数1()2=+f x x x在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)3>=f x f ，即2+a b 的取值范围是()3,+∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.10.函数()142xf x =-的图象关于点______成中心对称.【答案】12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由题意求出函数定义域为{}2x x ≠，再计算()2(2)++-f x f x ，即可得出结果.【详解】因为240-≠x ，所以2x ≠，即函数()142xf x =-的定义域为{}2x x ≠；又()2112424(12)++==--x x f x ，()2112224424(21)4(12)42--====-----x xx x x xf x ，所以()1212(2)4(12)4(12)4++-=-=--x x x f x f x ，即()2(2)128++-=f x f x ，所以函数()142x f x =-的图象关于点12,8⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故答案为12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求函数对称中心，熟记对称中心的概念即可，属于常考题型.11.设{}2|M y y x -==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,0-【分析】先化简集合M ，再由()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m 是一次函数，根据N M ⊆，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|0M y y x y y -===>，令()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m ，则()f x 是一次函数，又N M ⊆，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，所以只需(1)0(2)0f f >⎧⎨>⎩，即()(1)1101(2)101f m m f m ⎧=--=->⎪⎨=+>⎪-⎩，解得10m -<<；故实数m 的取值范围是()1,0-.故答案为()1,0-【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞【分析】由题意，分别讨论0a =，0a >，a<0三种情况，根据二次函数单调性即可求出结果.【详解】（1）当0a =时，()41f x x =+，则()()165=+f f x x ，显然不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；（2）当0a >时，()224411⎛⎫=++≥-=- ⎪⎝⎭f x ax x f a a ，若02a <≤，则242110⎛⎫---=-> ⎪⎝⎭a a a ，即241-≥-a a，所以()()241⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭f f x f a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需410-≥a，所以4a ≥（舍）；若2a >，则241-<-a a ，所以()()2444114113⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f x f a a a a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需30-≥a ，所以3a ≥；（3）当a<0时，()241⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭f x f a a ，不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；综上，实数a 的取值范围是[)3,+∞.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y，即3y x -=和13y x-=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x R ∈，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数.故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x=+ B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--【答案】B 【详解】试卷分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,'0<y ,当lg x e >时'0>y ,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,'0>y ,当lg x e >时，'0<y ,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B.考点：函数的图象.16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C 【分析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m --⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错；故选C【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f x x x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为：5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩.【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果.【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ，所以0x >或322-<<-x ，因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =；所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x gx ；当10x -≤<时，01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ，所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .【答案】（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.【分析】（1）设安装n 对轧辊，由题意列出不等式()20120%2-≤n，求解，即可得出结果；（2）根据题意，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到31600(120%)=⋅-L ，求出3L ，同理即可求出1L ，2L .【详解】（1）设安装n 对轧辊，因为输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，每对轧辊的减薄率不超过20%，则有()20120%2-≤n ，即41510⎛⎫≤ ⎪⎝⎭n ，两边同时取对数可得45111log 10.3110lg 4lg 5lg 52lg 2-≥==≈--n ，所以至少安装11对轧辊；（2）第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，31600(120%)=⋅-L ，所以32000()=L mm ；同理：32(120%)=⋅-L L ，21(120%)=⋅-L L ，所以22500()=L mm ，13125()=L mm .【点睛】本题主要考查指数函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2x y f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =±，偶函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-；（3）1515,153⎛ ⎝⎭.【分析】（1）先由题意得到函数()2x y f =的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论21a =与21≠a ，即可判断出结果；（2）先由题意，将问题转化为2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；求出221+=+x y 的最大值，即可得出结果；（3）先假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，求出1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，将对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，转化为()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，作差得到()()()21212121⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭a f t f t t t t t ，分别讨论2109<≤a ，21193<≤a ，2113<<a ，21a ≥四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：()2222222-=+=+⋅x xx x x a f a 的定义域为R ，又()2222222----=+=+⋅x xx x x a f a ，当21a =，即1a =±时，()()22-=x x f f ，所以()2xy f =是偶函数；当21≠a ，即1a ≠±时，()2x y f =是非奇非偶函数；（2）由不等式()12242<++x x x f 可得：2212422-<++⋅+x x x x a ，即2221+<+x a ，所以不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，等价于2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；又221+=+x y 在[]0,1x ∈上单调递增，所以59≤≤y 因此，只需29<a ，解得33a -<<；即实数a 的取值范围是()3,3-；（3）假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，则211t x =-++在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2()==+a f g x f t t t；所以对于区间10,2⎡⎤⎢⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，等价于()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，所以120t t -<，12119<<t t 则()()()22212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a f t f t t t t t t t t t ，①当2109<≤a 时，()2121210⎛⎫--< ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12<f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2max (1)1==+f t f a ，()2min 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得222613+>+a a ，解得：2115>a ，所以211159<≤a ；②当21193<≤a 时，易得：()2=+a f t t t 在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 11max ,(1)max 3,1133⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：241>+a a，解得：22-<<+a 所以21193<≤a ；③当2113<<a 时，易得：()2=+a f t t t 在在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 111max ,(1)max 3,13333⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：21433>+a a ，解得：232333<<a ，所以2113<<a ；④当21a ≥时，()2121210⎛⎫--> ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12>f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()2min (1)1==+f t f a ，()2max 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得()2212133+>+a a ，解得253<a ，所以2513≤<a ；综上，215153<<a ，又a 为正数，所以1515,153a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即存在1515,153a ⎛∈ ⎝⎭满足题意.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及由不等式能成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据题意，令1x =，0y =，得到()()()21210=f f f ，再由0x ≠时，()1f x >，即可得出(0)1f =；（2）令0x =，得到()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数；因此1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，令12x y ==得()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，作出，根据二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，即()()()21210=f f f ，又0x ≠时，()1f x >，所以()11>f 因此(0)1f =；（2）令0x =，由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=可得：()()()()202()+-==f y f y f f y f y ，所以()()-=f y f y ，因此，函数()f x 为偶函数；所以1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ；令12x y ==得()()211022⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f f ，所以()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，因此()221912122811112224⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎡⎤⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫-=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f f f f ，因为0x ≠时，()1f x >，所以112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，因此21192824⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎭-⎝f 在112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 上单调递增，所以2291112492210848⎡⎤⎛⎫->--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦f .因此()1102⎛⎫ ⎪⎝>⎭-f f ，所以11(1)22⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f .【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及比较函数值的大小，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.。
2017-2018学年上海复旦附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞ B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A. B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1f x -=______．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．10.函数21lg82y x x=+-的单调递减区间是______．11.函数1223xxy -=+的值域是______．12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x 的不等式()22log 230x x t -++<，其中t R ∈．（1）当0=t 时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x fx a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+【答案】A【详解】试卷分析：对A ，函数在上为增函数，符合要求；对B ，在上为减函数，不符合题意；对C ，为上的减函数，不符合题意；对D ，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]【答案】D【分析】根据二次函数223y x x =-+的关系式，可求出对称轴、顶点坐标、与y 轴交点坐标，可画出大致图象，再根据二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，确定m 的取值范围．【详解】解： 二次函数2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，对称轴为1x =，顶点坐标为(1,2)，与y 轴的交点为(0,3)其大致图象如图所示：由对称性可知，当3y =时，0x =或2x =，二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，12m ∴．故选：D ．3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤【答案】C【分析】由给出的方程得到函数()y f x =图象上任意一点的横纵坐标,x y 的关系式，利用基本不等式求出x y +的范围，整理出()1111y x x =+≠-，可得函数在()1,+∞上的增减性，二者结合可得正确答案．【详解】()lg lg lg lg x y x y xy+=+= 00x y x y xy >⎧⎪∴>⎨⎪+=⎩22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取等号）22x y x y +⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，解得：4x y +≥由x y xy +=得：()11111111x x y x x x x -+===+≠---当()1,x ∈+∞时，11y x =-为减函数111y x ∴=+-在()1,+∞上为减函数故选C【点睛】本题考查了函数单调性的判断，利用基本不等式求最值等知识，关键是能利用对数方程得到真数之间的关系，属于基础题．4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【分析】f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称是反函数的重要性质；而将f （x ）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f （x ﹣a ）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【详解】函数f （x ﹣1）是由f （x ）向右平移一个单位得到，f ﹣1（x ﹣1）由f ﹣1（x ）向右平移一个单位得到，而f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称，从而f （x ﹣1）与f ﹣1（x ﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x ﹣1，排除B ，D ；A ，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A 选项有可能，C 选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.【答案】{|2x x -且1}x ≠【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x -且1}x ≠.故答案为：{|2x x -且1}x ≠.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1fx -=，[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可．【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1f x -∴=，[]2,3x ∈故答案为()1fx -=，[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒【答案】x ，x ＞1【分析】求f (x )·g (x )的定义域，然后化简f (x )·g (x )即可﹒【详解】()()f x g x ⋅定义域为(1，＋∞)，2()()x f x xx g ⋅==，∴()()f x g x ⋅=x ，x ＞1．故答案为：x ，x ＞1．8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.【答案】1【详解】试卷分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立）所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．【答案】2【分析】根据幂函数的定义求出t 的值，再验证()f x 是否为奇函数，从而求出()2f 的值．【详解】()()3311t f x t t x+=-+ 为幂函数311t t ∴-+=，解得：1t =±或0当1t =时，()4f x x =为偶函数，不合题意当1t =-时，()2f x x -=为偶函数，不合题意当0=t 时，()f x x =为奇函数，符合题意()22f ∴=综上所述：()22f =故答案为2【点睛】本题考查了幂函数的定义、奇偶性的应用，属于基础题．10.函数21lg 82y x x =+-的单调递减区间是______．【答案】(]2,1-【分析】根据对数函数定义域要求求得函数的定义域；根据复合函数单调性，由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，即分式的分母的增区间，利用二次函数的单调性求解即可得到结果．【详解】由题意得：21082x x >+-，解得：24-<<x ∴函数21lg82y x x=+-的定义域为()2,4-根据复合函数单调性可知，要求21lg 82y x x=+-的单调递减区间，只需求282y x x =+-在()2,4-上的单调递增区间即可282y x x =+-在(]2,1-上单调递增，在[)1,4上单调递减∴函数21lg82y x x=+-的单调递减区间为(]2,1-故答案为(]2,1-【点睛】本题考查复合函数的单调性的求解，涉及到分式函数、二次函数和对数函数的单调性；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.11.函数1223xxy -=+的值域是______．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】采用分离常数法得到4123x y =-++，根据指数函数的值域和不等式的性质即可求得函数的值域.【详解】()2341241232323x x x x x y -++-===-++++233x +> 440233x ∴<<+4111233x ∴-<-+<+∴函数1223xx y -=+的值域为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分离常数法求解分式型函数的值域问题，涉及到指数函数值域的运用，属于基础题.12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．【答案】{}0,2,3,4【分析】将方程265x x a -+=的实数解的个数问题转化为265y x x =-+与y a =交点的个数问题，作图分析即得答案．【详解】由题意知：n 为265y x x =-+与y a =交点的个数在平面直角坐标系中画出265y x x =-+与y a =的图象，如图：①当a<0时，该方程没有实数根，0n =；②当0a =时，该方程恰有两个实数解，2n =；③当04a <<时，该方程有四个不同的实数根，4n =；④当4a =时，该方程有三个不同的实数根，3n =；⑤当4a >时，该方程有两个不同的实数根，2n =；n ∴的可能取值组合的集合为{}0,2,3,4故答案为{}0,2,3,4【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，关键是能够将问题转化为函数交点个数问题，通过数形结合的方法来进行求解．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.【答案】10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；【答案】[)5,+∞【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可.【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-，且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++，且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．【答案】①.1-②.(][),04,-∞+∞ 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞ 故答案为1-；(][),04,-∞+∞ 【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．【答案】24,0305,3t t t t t -≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【分析】当1t =和1t >时，可知函数单调递增，则()()2f t g =；当1t <时，结合对号函数性质得到()g x 在()0,∞+2≥、12<<和1≤三种情况下确定()g x在[]1,2上的单调性，进而可确定最大值点，代入求得最大值；综合各种情况可得最终结果.【详解】①当1t=时，()4g xx=-，可知()g x在[]1,2上单调递增()()22f t g∴==-②当1t>时，()()41g x t xx=--，可知()g x在[]1,2上单调递增()()222224f tg t t∴==--=-③当1t<时，()()()4411g x t x t xx x⎡⎤=--=--+⎢⎥⎣⎦由对勾函数性质可知：()g x在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减2≥，即01t≤<时，()g x在[]1,2上单调递增()()224f tg t∴==-⑵当12<<，即30t-<<时()g x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减()f t g∴==--1≤，即3t£-时，()g x在[]1,2上单调递减()()15f tg t∴==-综上所述：()24,0305,3t tf t tt t-≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩故答案为24,0305,3t ttt t-≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【点睛】本题考查含参数的函数最值的求解，涉及到对号函数性质的应用；关键是能够通过分类讨论的方式，将变量所处不同范围时函数的单调性确定，进而根据函数单调性得到最值.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式()22log230x x t-++<，其中t R∈．（1）当0=t时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据对数函数性质可得20231x x <-+<，解不等式求得结果；（2）不等式有解等价于2223231x x t x x -<<-+能成立；分别求出不等式左右两侧函数的最小值和最大值，从而得到t 的范围.【详解】（1）当0=t 时，不等式为：()22log 230x x -+<，即20231x x <-+<等价于22231230x x x x ⎧-+<⎨-+>⎩，解得：102x <<或312x <<∴不等式的解集为130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 不等式()22log 230x x t -++<有解20231x x t ∴<-++<有解2223231x x t x x ∴-<<-+能成立令()223f x x x =-，则()min 39994848f x f ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭令()2231g x x x =-+，则x →+∞或x →-∞时，()g x →+∞98t ∴>-，即实数t 的取值范围为9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数不等式的求解、能成立问题的求解；解决能成立问题的关键是能通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小比较，通过求解函数最值求得结果；易错点是求解对数不等式时，忽略定义域的要求.18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x f x a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．【答案】（1）())11fx x -=>；（2）()1-+【分析】（1）首先确定()f x 的值域，再根据解析式反解出x ，再将,x y 互换，标注出定义域（即()f x 的值域）即可得到结果；（2）利用（1）的结论，将不等式化成(211a a +>-，分别在1a =-、1a >-和1a <-三种情况下，利用恒成立的思想求解出实数a 的取值范围.【详解】（1）()22111x f x x x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x >111x∴+>()()1,y f x ∴=∈+∞又11x+=，解得：x =())11f x x -∴=>（2）由（1）得：((11x a a -=>(211a a ∴+>-①当1a =-时，00>，不成立②当1a >-2111a a a ->=-+对2x ≥恒成立11a ∴-<<+③当1a <-1a <-对2x ≥恒成立x →+∞→+∞∴此时a 无解综上所述：()1a ∈-+【点睛】本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等知识，考查运算求解能力；求反函数，一般应分以下步骤：求解出()y f x =的值域，即为所求反函数的定义域；由解析式反求出()x g y =；交换()x g y =中,x y 的位置，标注出定义域即可得到()1fx -.19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦；（2）答案见解析，50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当0x =时，得到0=t ；当024x <<时，11t x x=+，利用对勾函数性质可求得10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，取并集得到结果；（2）由（1）可将()f x 化为()33034231442a t t a g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪=-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，，得到()g t 的单调性后，可知最大值在0=t 或12t =处取得；分别在104a ≤≤和1142a <≤两种情况下确定()g t 的最大值，即()M a ，由()2M a ≤得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）当0x =时，0=t 当024x <<时，11t x x=+12x x +≥ （当且仅当1x x =，即1x =时取等号），又0x →时，1x x +→+∞[)12,x x∴+∈+∞110,12t x x⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦+综上所述：10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：令21x t x =+，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()33034231442a t t a f x g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪==-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，当[]0,t a ∈时，()g t 单调递减；1,2t a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g t 单调递增又()3034g a =+，1524g a ⎛⎫=+⎪⎝⎭()110222g g a ⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭①当104a ≤≤时，1202a -≤()1524M a g a ⎛⎫∴==+⎪⎝⎭由()2M a ≤得：34a ≤10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦②当1142a <≤时，1202a ->()()3034M a g a ∴==+由()2M a ≤得：512a ≤15,412a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦综上所述：当50,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，综合污染指数不超标【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2m =，1n =；（2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由指数函数定义可求得()g x ；利用()f x 为R 的奇函数可利用特殊值()00f =和()()11f f -=-构造方程求得,m n ；（2）由（1）结论可得()11221x f x =-++，可知()f x 为减函数；利用奇偶性将不等式化为()()2222f t t f k t ->-，由单调性得自变量大小关系，整理可得232k t t >-，由不等式有解可得()2min32k t t >-，根据二次函数最小值可求得结果.【详解】（1）()y g x = 为指数函数，即x y a =，又()24g =2a ∴=，即()2xg x =()122x x n f x m+-+∴=+()f x 是定义域为R 的奇函数()00f ∴=，即102n m -=+1n ∴=又()()11f f -=-1121214m m -+-+∴=-++，解得：2m =（2）由（1）得：()()()1212121122221221x x x x x f x +-++-===-++++2x y = 在R 上单调递增()f x \在R 上单调递减()f x 为奇函数()()22220f t t f t k ∴-+->可化为()()()222222f t t f t k f k t ->--=-2222t t k t ∴-<-，即232k t t>-令()232h t t t =-，则()min 11213333h t h ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭13k ∴>-即k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点包括：待定系数法求指数函数的解析式，利用函数的奇偶性和函数单调性求解函数不等式，根据不等式能成立求解参数范围的问题；关键是能够利用函数性质将函数值的比较转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法得到所求变量与函数最值之间的关系．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．【答案】（1）()2f x x =为M 中元素，理由见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，运用作差法结合新定义，可判断出满足条件，即可得到结论；（2）根据()()f x f x -=-，得到当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+>+⎪⎝⎭，即可得证；（3）分别讨论12,x x 对应点都在()f x 或()g x 上、12,x x 分别在两个函数上两种情况，可验证出结论；举例()2f x x =，()()23g x x =+，取12x =-，21x =-，可验证出不符合条件，即可得到结论．【详解】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，满足条件①()()22121212123333f x f x x x +=+ ，2221212112212121443333999f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()222121211221212122422033339999f x x f x f x x x x x x x ⎛⎫∴+--=-+-=--< ⎪⎝⎭即：()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+<+⎪⎝⎭，满足条件②∴函数()2f x x =是M 中元素（2）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-若当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫--<-+- ⎪⎝⎭则121212123333f x x fx x ⎛⎫⎛⎫+=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()121212123333f x f x f x f x +=----()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，不满足条件②，()f x M∴∉（3）①若12,x x 对应的点在()f x 或()g x 图象上()(),f x g x Q 都是M 中的元素()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+<+ ⎪⎝⎭，()()121212123333g x x g x g x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭可知结论必然成立②若12,x x 对应的点一个在()f x 上，一个在()g x 上()()()()121212121212333333f x g x g x g x g x x ⎛⎫∴+>+>+ ⎪⎝⎭或()()()()121212121212333333f x g x f x f x f x x ⎛⎫+>+>+ ⎪⎝⎭∴题设结论成立综上所述：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩是M 中元素当()2f x x =，()()23g x x =+，满足()(),f x g x 均为M 中元素当32x ≥-时，()2G x x =；当32x <-时，()()23G x x =+取12x =-，21x =-1212433332x x ∴+=->-，41639G ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭又()()12121213333G x G x +=+=，()()121212123333G x x G x x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭()G x ∴存在不满足条件的情况，不一定为M 中的元素【点睛】本题考查新定义的理解与运用，涉及到函数奇偶性的应用、作差法和反例法的应用，考查学生的推理能力和计算能力，相对较抽象，属于中档题.。
上海市2018-2019复旦附中高一数学上册期末试卷(含答案)
复旦大学附属中学2018学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题1.函数()3x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过的一个定点，这个定点的坐标是____________．2.函数y =的定义域为____________．3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥．经过____________分钟，该物质温度为5摄氏度．4.函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是____________．5.函数()()1224174f x x x -=-+的单调递增区间是____________．6.函数()0.52log 1x f x x =-的零点个数为____________个7.若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则a 的取值范围是____________．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．9.当lg lg a b =，a b <时，则2a b +的取值范围是____________．10.函数()142xf x =-的图像关于点____________成中心对称．11.设{}()()()21,1112,121M y y xN y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭．若N M ⊆，则实数m 的取值范围是____________．12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x ∈R ，()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________．二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是（）A.3y x ==和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20x y x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A.lg y x x =+B.lg y x x =-+C.lg y x x =-D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1123x x x n f x n x m -+--≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈其中正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x xm -++=∈Z 是奇函数，且()()12f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()22121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域．18.已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数．（1）当2a =时，满足()1f x >的x 的取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -．19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度—输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在钢带上压出一个疵点，在冷轧机输出的钢带上，疵点的间距为k L ，易知41600L =mm ，为了便于检修，请计算123,,L L L ．20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）．（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242xxxf <++在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g m f g n f g p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=．（1）证明：()01f =；（2）比较()11,,122f f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由；（3）对任意的,,x y Q x y +∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由．参考答案一、填空题1.()1,1- 2.(],6-∞ 3.14.()1,3 5.[)4,+∞ 6.27.53a >或1a ≤-8.1-9.()3,+∞10.()2,011.()1,0-12.[)3,+∞二、选择题13.B 14.A 15.C 16.C三、解答题17.（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ ；（2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩19.（1）11；（2）1233125,2500,2000L L L ===20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-（3）515155,,315153⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（1）略；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()f x f y <。
2019年复旦附中高一期末
复旦附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：23lim 31n n n →∞-=+ 2. 2与8的等比中项是3. 函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为4. 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =5. 用列举法表示集合1{|cos(),[0,]}32x x x ππ-=∈= 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若面积2222a b c S +-=， 则角C =7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为8. 已知函数()2sin()46xf x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x ∈R ）成立，则12||x x -的最小值为9. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=10. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）在区间[,]62ππ上单调，且 2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 11. 由正整数组成的数列{}n a 、{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =12. 已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为二. 选择题13. 对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）A. ()f x 在(,)42ππ上单调递增 B. ()f x 的图像关于原点对称 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的最大值为214. 若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定15. 已知数列{}n a 的通项公式2019(1)120191()20202n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则关于数列 {}n a 、{}n S 的极限，下列判断正确的是（ ）A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：① 若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ∈N ，0n S >；② 若对一切*n ∈N ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列；③ 若存在*m ∈N ，使得0m S =，则存在*k ∈N ，使得0k a =；④ 若存在*k ∈N ，使得0k a =，则存在*m ∈N ，使得0m S =；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.18.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中，若角2C B =，求()f A 的值域.19. 已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a n 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =+（*n ∈N ），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n ++⋅⋅⋅+<-+，*n ∈N .20. 设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，(0,)2πϕ∈. （1）设2ω=，若函数()f x 的图像的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图像向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图像都过坐标原 点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6πϕ=，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N ，求123212222n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++的值.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n ∈N ）， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即1[]x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a 、{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5；（2）若13n n a +=，13n n b -=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d +∈Z .参考答案一. 填空题 1. 23 2. 4± 3. tan y x =，(0,)4x π∈ 4. 8 5. 2{0,}3π 6. arctan2 7. (0,1)(1,2)U 8. 4π9. 9 10. π 11. 262 12. {|41,}q q k k =+∈Z二. 选择题13. B 14. C 15.D 16. C三. 解答题17.（1）12(2)n n a -=-；（2）12.18.（1）2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1,2). 19.（1）(1)n a n n =+；（2）略.20.（1）310π；（2）643n ω+=，3πϕ=；（3）3913π. 21.（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明略.。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的定义域为______．6.函数的反函数为______．7.已知，试用a表示______．8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则______．9.函数的递增区间为______．10.方程的解是______．11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为______．12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是______．13.已知的反函数为，当时，函数的最大值为M，最小值为m，则______．14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．16.已知函数，，若对任意的，，均有，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．若，解方程：；若在上存在零点，求实数a的取值范围．18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．求a的值；设集合，，若，求实数m的取值范围．19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：求利润函数的解析式利润销售收入总成本；工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在D上封闭．若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．21.已知函数，其中．若，解不等式；设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：若命题甲：，命题乙：，若命题甲：，则，，则命题甲：，能推出命题乙：，成立；若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C．利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．4.答案：A解析：解：设，，，即，故；故，，当时，成立；当时，0，不是的根，故，解得：；综上所述，；故选：A．由可得，从而求得；从而化简，从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题5.答案：解析：解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.答案：解析：解：由，得，，x，y互换得：，函数的反函数为，故答案为：．由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7.答案：解析：解：，故答案为：．利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．8.答案：3解析：解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．9.答案：解析：解：函数的定义域为，令，则，为增函数，在上为减函数；在为增函数，函数的单调递增区间为，故答案为：．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．10.答案：解析：解：，，令，则，解得或．由式子有意义可知，解得，即，．．故答案为：．利用对数运算性质解方程．本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．11.答案：解析：解：令，由题意可得，即：，整理：，解得：，所以实数k的取值范围为；故答案为：．设函数，由题意可得，解得k的取值范围．考查方程的根的分布，属于基础题．12.答案：解析：解：由于函数且的值域是，故当时，满足．若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是．综上可得，，故答案为：．当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，当，令，则为奇函数且单调递增所以反函数也是单调递增的奇函数，所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，由互为反函数的性质可得，故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．15.答案：解析：解：当时，，方程，，即；．当时，，方程，，即；；当时，方程无解；当时，方程有且只有一个解；当时，方程在上有两个解；当时，方程的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．16.答案：解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；对函数，函数若有最小值，则，即，当时，，易知函数；又对任意的，，均有，，即，，，即实数k的取值范围为．故答案为：．可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．，，或舍，当时，令，则，由，得，．在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，，，．解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．，，解得．当时，，与条件矛盾，舍去．；集合解不等式得．由知，；，且，解得；由于，所以，解得，．故m的取值范围是．解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：由题意得，则，即；当时，函数递减，即有，当时，函数，当时，有最大值，综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，都有函数值，故函数在上不封闭；在中，，在上封闭．的定义域为，对称中心为，当时，函数在上为增函数，只需，解得当时，函数在上为减函数，只需，解得综上，所求a的值等于2．证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．且，根据单调函数性质，则有唯一的，．解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21.答案：解：当，，当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上所述，不等式的解为．，，，，，由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，，化简得，在上恒成立，令，则，当时，，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，故实数a的取值范围为；函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，即，，令，，则，，在上恒成立，当即时，恒成立，，当即时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．解析：把代入函数，分段解不等式即可；，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；由函数存在反函数，可得且；再令，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．（3分）函数21(1)y x x =+-„的反函数为 ． 3．（3分）已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．（3分）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．（3分）函数23log ()y x x =-的递增区间为 ． 6．（3分）方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解是 ．7．（3分）已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．（3分）若函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 ．9．（3分）已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3x ∈-，5]时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．（3分）对于函数()f x ，若对于任意的a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 ．11．（3分）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 ．12．（3分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩„，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „，则实数k 的取值范围是 ． 二.选择题13．（3分）若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分也非必要条件14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．1||y x =B ．2y x -=C ．2|log |y x =D ．23y x =15．（3分）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M „，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x „，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．316．（3分）已知函数2()2x f x m x nx =++g ，记集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，集合{|[()]0B x f f x ==，}x R ∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是( )A ．[0，4)B ．[1-，4)C ．[3-，5]D ．[0，7)三.解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-+g ． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1-，1]上存在零点，求实数a 的取值范围． 18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-…，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522(016)()224(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩剟，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．1()21f x x =-，2()21x f x =-． （2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩…，其中a R ∈．（1）若1a =-，解不等式1()4f x …；（2）设0a >，21()log ()g x f x=，若对任意的1[2t ∈，2]，函数()g x 在区间[t ，2]t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --+-„在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）函数12log (5)y x =-的定义域为 (,5)-∞ ．【解答】解：由50x ->，得5x <． ∴函数12log (5)y x =-的定义域为(,5)-∞．故答案为：(,5)-∞．2．（3分）函数21(1)y x x =+-„的反函数为2)y x =… ． 【解答】解：由21(1)y x x =+-„，得21x y =-，2)x y ∴=…， x ，y互换得：2)y x =…， ∴函数21(1)y x x =+-„的反函数为2)y x =…，故答案为：2)y x =…． 3．（3分）已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=22a a+ ． 【解答】解：22292212342129232log log log a log log log a++===， 故答案为：22a a+． 4．（3分）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m +=3 ．【解答】解：Q 幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈，在(0,)+∞上是减函数，11a ∴-=，且2230m m --<， 2a ∴=，13m -<<，又m N ∈Q ，0m ∴=，1，2， 又Q 幂函数()f x 为偶函数，1m ∴=， 3a m ∴+=，故答案为：3．5．（3分）函数23log ()y x x =-的递增区间为 (1,)+∞ ．【解答】解：函数23log ()y x x =-的定义域为(-∞，0)(1⋃，)+∞， 令2t x x =-，则3log y t =， 3log y t =Q 为增函数，2t x x =-在(,0)-∞上为减函数；在(1,)+∞为增函数，∴函数23log ()y x x =-的单调递增区间为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞．6．（3分）方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解是 1x = ． 【解答】解：222log (95)log (32)2log [4(32)]x x x -=-+=-Q ，954(32)x x ∴-=-， 令3x t =，则2430t t -+=， 解得1t =或3t =．由式子有意义可知950320x x ⎧->⎨->⎩，解得3x >t >3t ∴=． 1x ∴=．故答案为：1x =．7．（3分）已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 (3,0)- ．【解答】解：令22()4f x x kx k k =+++-，由题意可得f （2）0<， 即：222240k k k +++-<，整理：230k k +<，解得：30k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,0)-； 故答案为：(3,0)-．8．（3分）若函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 (1，2] ．【解答】解：由于函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞， 故当2x „时，满足()64f x x =-…．①若1a >，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 4a f x x =+…，log 1a x ∴…，log 21a ∴…，12a ∴<„． ②若01a <<，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递减， ()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[4，)+∞．综上可得，12a <„， 故答案为：(1，2]．9．（3分）已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3x ∈-，5]时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 2 ．【解答】解：由题意可得1()(33)()2x x f x f x --=-=-，即函数()f x 在R 上为奇函数，当[3x ∈-，5]，令1[4t x =-∈-，4]，则1(1)()(33)2t t f x f t --==-为奇函数且单调递增所以反函数1()f t -也是单调递增的奇函数，所以1()()F x f t -=是1()y f t -=向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心(0,1)， 由互为反函数的性质可得352M m +=-+=， 故答案为：210．（3分）对于函数()f x ，若对于任意的a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 1[2，2] ．【解答】解：由题意可得f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，由于1()111x x xe t tf x e e +-==+++， ①当10t -=，()1f x =，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．②当10t ->，()f x 在R 上是减函数，1f <（a ）11t t <+-=， 同理1f <（b ）t <，1f <（c ）t <，由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得2t …，解得12t <„． ③当10t -<，()f x 在R 上是增函数，t f <（a ）1<， 同理t f <（b ）1<，t f <（c ）1<，由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得21t …，解得112t >…．综上可得，122t 剟，故实数t 的取值范围是1[2，2]，故答案为：1[2，2]11．（3分）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 ．【解答】解：当x 450x x-…，Q 方程54(4)|5|x x m x x+--=，54(4)(5)x x m x x ∴+--=，即9x m x -+=；m ∴„当0x <<时，450x x -<， Q 方程54(4)|5|x x m x x+--=，54(4)(5)x x m x x∴++-=，即19x m x+=； 196x x+Q …；∴当6m <时，方程19x m x+=无解； 当6m =时，方程19x m x+=有且只有一个解； 当610m <<时，方程19x m x+=在(0,1)上有两个解； 当10m =时，方程19x m x+=的解为1，19；综上所述，实数m的取值范围为．故答案为：． 12．（3分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩„，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „，则实数k 的取值范围是 3(,]4-∞- ．【解答】解：对函数()f x ，当1x „时，11()()24max f x f k ==+；当1x >时，1()(1)2max f x f ==-，()f x ∴在(2,)-+∞上的最大值11(){,}42max f x max k =+-；对函数()g x ，函数()g x 若有最小值，则0a =，即2()1xg x x =+， 当(2x ∈-，0)(0⋃，)+∞时，1()1g x x x=+，易知函数1()2min g x =-； 又对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „， ()()(2)max min f x g x x ∴>-„，即111{,}422max k +--„，∴1142k +-„， ∴34k -„，即实数k 的取值范围为3(,]4-∞-．故答案为：3(,]4-∞-．二.选择题13．（3分）若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分也非必要条件【解答】解：若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=， ①若命题甲：10x -=，则1x =，22110lg x lgx lg lg -=-=， 则命题甲：10x -=，能推出命题乙：20lg x lgx -=，成立；②若命题乙：20lg x lgx -=，则(1)0lgx lgx -=，所以0lgx =或1lgx =，即1x =或10x =； 命题乙：20lg x lgx -=，不能推出命题甲：10x -=成立， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断． 命题甲是命题乙的充分非必要条件； 故选：A ．14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．1||y x =B ．2y x -=C ．2|log |y x =D ．23y x =【解答】解：A ．函数为偶函数，当0x >时，1()f x x=，为减函数，不满足条件． B ．函数为偶函数，当0x …时，()f x 为减函数，不满足条件． C ．函数的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．函数为偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数，满足条件故选：D ．15．（3分）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M „，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x „，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①错．原因：M 不一定是函数值，可能“=”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值 所以②③对 故选：C ．16．（3分）已知函数2()2x f x m x nx =++g ，记集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，集合{|[()]0B x f f x ==，}x R ∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是( )A ．[0，4)B ．[1-，4)C ．[3-，5]D ．[0，7)【解答】解：设1{|()0}{|(())0}x x f x x f f x ∈===， 11()(())0f x f f x ∴==，(0)0f ∴=，即(0)0f m ==， 故0m =； 故2()f x x nx =+，22(())()()0f f x x nx x nx n =+++=， 当0n =时，成立；当0n ≠时，0，n -不是20x nx n ++=的根， 故△240n n =-<， 解得：04n <<； 综上所述，04n m +<…； 故选：A ． 三.解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-+g ． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1-，1]上存在零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()4221x x f x =-+g ．()4f x =Q ，42214x x ∴-+=g ， 23x ∴=或21x =-（舍)，2log 3x ∴=．（2）当[1x ∈-，1]时，令2x t =，则1[,2]2t ∈， ∴由()0f x =，得2210t at -+=，∴2112t a t t t+==+． Q 1y t t =+在1[,1]2上单调递减，在[1，2]上单调递增， ∴当1x =时，1()2min t t +=；当2x =或12时，15()2max t t +=， ∴52[2,]2a ∈，∴5[1,]4a ∈． 18．已知函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值；（2）设集合4{|1}7A x x=-…，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）Q 函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． ∴222111()111ax ax x f x log log log x x ax +---==-=----， ∴1111ax x x ax+-=---， 解得1a =±．当1a =时，11111ax x x x --==---，与条件矛盾，舍去． 1a ∴=-； （2）Q 集合4{|1}7A x x=-…解不等式得{|37}A x x =<„． 由（1）知，2221()log (1)log log (1)1x f x x x m x ++-=+-<-； ∴21(1)x log x m>⎧⎨+<⎩，且A B ≠∅I ，解得121m x <<-； 由于A B ≠∅I ，所以213m ->，解得，2m >．故m 的取值范围是(2,)+∞．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522(016)()224(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩剟，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【解答】解：（1）由题意得()1210P x x =+，⋯（1分）则20.5221210,016()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--=-=⎨-->⎩剟 即为20.51212,016()21210,16x x x f x x x ⎧-+-=⋯⎨->⎩剟（4分） （2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()(16)21216052f x f <=-=万元6⋯ 分 当016x 剟时，函数2()0.51212f x x x =-+-20.5(12)60x =--+，当12x =时，()f x 有最大值60万元．9⋯ 分所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．10⋯ 分20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．1()21f x x =-，2()21x f x =-．（2）若函数5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．【解答】解：（1）在1()21f x x =-中，对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值10()(1f x ∈-，11)D ∉，故函数1()21f x x =-在1D 上不封闭；在2()21x f x =-中，21(0,1)x -∈，在1D 上封闭．（2）5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，对称中心为(2,5)-， 当100a +>时，函数5()2x a g x x -=+在2D 上为增函数， 只需(1)1(2)210f f a ⎧⎪⎨⎪>-⎩…„，解得2a =当100a +<时，函数5()2x a g x x -=+在2D 上为减函数， 只需(1)2(2)110f f a ⎧⎪⎨⎪<-⎩„…，解得a ∈∅ 综上，所求a 的值等于2．证明：（3）Q 函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．0x D ∈且00(())f f x x =，∴根据单调函数性质0()f x D ∈，则有唯一的0x D ∈，00()f x x ∴=．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩…，其中a R ∈． （1）若1a =-，解不等式1()4f x …； （2）设0a >，21()log ()g x f x=，若对任意的1[2t ∈，2]，函数()g x 在区间[t ，2]t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --+-„在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =-，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩…， 当0x …时，1()|1|4f x x =-…，解得54x …或34x „，所以304x 剟或54x …；当0x <时，1()24x f x =…，解得2x -…，所以20x -<„； 综上所述，不等式的解为35[2,][,)44x ∈-+∞U ． （2）0a >Q ，1[2t ∈，2]，[x t ∈，2]t +，()f x x a ∴=+，2211()log ()()g x f log a x x==+， 由复合函数的单调判断原则，可知()g x 在[x t ∈，2]t +上单调递减，2211()()()(2)()()12max min g x g x g t g t log a log a t t ∴-=-+=+-++„， 化简得，2(2)t a t t -+…在1[2t ∈，2]上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，则22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =， 当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m=+-， 由对勾函数性质可知，86m m +-在3(0,]2上单调递减，∴8316566236m m +-+-=…，即60()5h m <„， 故实数a 的取值范围为65a …； （3）Q 函数()y f x =存在反函数，()y f x ∴=单调，又()f x Q 在(,0)-∞上单调递增，()y f x ∴=在R 上必须单调递增，0021a ∴+=…即1a …，12,(),01x a x a f x log x x --⎧∴=⎨<<⎩…， 令2()()|2|F x f x x a =+-，[0x ∈，)+∞， 则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a ax a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩…， ∴22()()22min a a F x F a ==+， 12(4)()|2|f a f x x a --+-Q „在[0x ∈，)+∞上恒成立，∴当041a <-<即34a <<时，22(4)2a log a a -+„恒成立，34a ∴<<，当4a a -…即2a „时，242a a a a --+„32a 剟，综上所述，实数a 的取值范围为3,2](3,4)a ∈U ．。
2018-2019标准试卷(含答案)高一(上)期末数学试卷
○…………装…………学校:___________姓名：______○…………装…………2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若，则（ ） A. B. C. D.2. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为人，其中持各种态度的人数如表所示： 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（ ） A.，，， B.，，， C.，，， D.，，，3. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D.4. A. B. C. D.5. 如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D.6. 某次数学测试中，小明完成前道题所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则的值为（ ） A. B. C. D.7. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则 A. B. C. D.8. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生到之间取整数值的随机数，用，，，表示下雨，用，，，，，表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下组随机数：据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D.9. 设曲线的方程为，直线的方程，则曲线上的点到直线的距离为的点的个数为（ ） A. B. C. D.10. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（ ） A.图象关于点中心对称 B.图象关于轴对称 C.在区间单调递增 D.在单调递减11. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么面积是面积的（ ）倍． A. B. C. D.12. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1. 化简：________．2. 函数的图象如图所示，则的解析式为________．3. 已知一个三角形的三边长分别是，，，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率是________．4. 给出下列四个命题： ①的对称轴为，； ②函数的最大值为； ③函数的周期为； ④函数在上是增函数．其中正确命题的个数是________ A.个 B.个个．个．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）1. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．2. 有名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中的值；（2）分别求出成绩落在,,中的学生人数；（3）从成绩在的学生中任选人，求所选学生的成绩都落在中的概率．3. （1）求值：； 3.（2）已知，求的值．4. 已知函数．（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．5. 已知圆的方程：（1）求的取值范围；（2）若圆与直线相交于，两点，且，求的值．6. 已知（）其最小值为．（1）求的表达式；（2）当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2016-2017学年福建省泉州市德化一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】C【考点】三角函数值的符号【解析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．2.【答案】D【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．3.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【解析】由，可得，展开即可得出．4.【答案】A【考点】两角和与差的正切公式【解析】把所给的式子展开，利用两角和的正切公式，化简可得结果．5.【答案】B【考点】程序框图【解析】判断程序框图的功能，找出规律然后推出判断框的条件．6.【答案】B【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】利用平均数、方差的概念列出关于，的方程组，解这个方程组，求解即可．7.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意判断点在圆上，求出与圆心连线的斜率就是直线的斜率，然后求出的值即可．8.【答案】B【考点】模拟方法估计概率【解析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共组随机数，根据概率公式，得到结果．9.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出圆心坐标，利用圆心到直线的距离与条件之间的关系即可得到结论．10.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可．11.【答案】C【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】根据题意与平面向量的加法法则，得出，再根据为边中点得出，从而得出是的中点，结合图形求出面积是面积的倍．12.【答案】C【考点】函数的周期性 函数单调性的性质 【解析】利用函数的周期性及时的表达式，可求得时的表达式，从而可判断逐个选项的正误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1.【答案】 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】直接利用诱导公式化简求解即可． 2.【答案】 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数图象得到，解方程组得到，的值，再由图象得到周期，代入周期公式求得，再由求得的值． 3.【答案】 【考点】 几何概型 【解析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 4.【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】求出函数的对称轴判断①的正误；公式的最值判断②的正误；函数的周期判断③的正误；函数的单调性判断④的正误；三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分） 1.【答案】 解：（1）根据表中已知数据，解得，，．数据补全如下表： 且函数表达式为．（2）由知，得． 因为的对称中心为，． 令，解得，．由于函数的图象关于点成中心对称，令， 解得，．由可知，当时，取得最小值． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】（1）根据表中已知数据，解得，，．从而可补全数据，解得函数表达式为． （2）由及函数的图象变换规律得．令，解得，．令，解得，．由可得解． 2.【答案】 解：（1）根据各小组频率和等于，得； ， ∴；…（2）成绩落在中的学生人数为 ，成绩落在中的学生人数是 ，成绩落在中的学生人数是 ；…（3）设落在中的学生为，，，， 落在中的学生为，，则 ，基本事件个数为，设“此人的成绩都在”，则事件包含的基本事件数， ∴事件发生的概率为．… 【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】（1）根据各小组频率和等于，求出的值； （2）利用频率，计算成绩落在、、中的学生人数；（3）用列举法求出从中的学生抽取人的基本事件数以及此人的成绩都在的基本事件数，求出概率即可． 3.【答案】 解：（1）原式 ；（2）由，得，又，则， 所以 ．【考点】两角和与差的正弦公式 弦切互化两角和与差的余弦公式 【解析】（1）根据两角和与差的正弦函数公式分别化简分子与分母，然后利用诱导公式 及，利用特殊角的三角函数值求出即可． （2）因为，所以化简得：，然后把原式的分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，分母利用同角三角函数间的基本关系把；然后对分子分母都除以进行化简，然后把代入求出值即可．4.【答案】解：（1）∵，且，∴，∴；（2）∵函数，∴的最小正周期为；令，，解得，；∴的单调增区间为，．【考点】正弦函数的图象【解析】（1）根据题意，利用求出的值，再计算的值；（2）化简函数，求出的最小正周期与单调增区间即可．5.【答案】解：（1）方程，可化为，∵此方程表示圆，∴，即．（2）圆的方程化为，圆心，半径，则圆心到直线的距离为由于，则，有，∴，得．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）方程，可化为，利用方程表示圆，即可求的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，利用，求的值．6.【答案】解：（1）∵，∴，∴，当时，则当时，；当时，当时，；当时，当时，；∴（2）当时，．令．欲使有一个实根，则只需使或即可．解得或．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值【解析】（1）利用的范围确定，对函数解析式化简整理，对进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的的解析式，最后综合．（2）根据（1）中获得当时的解析式，令，要使有一个实根需和异号即可．。
上海市复旦附中2018-2019学年高一(上)期中数学模拟试卷(精品解析含答案)
2018-2019学年上海市复旦附中高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1．若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为．2．函数y=+lg（3﹣x）的定义域为．3．命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题是．4．函数y=+2的单调区间是．5．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，f（x）=．6．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为．7．函数的值域为．8．已知a＞0，b＞0，则的最小值为．9．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=10．若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围．11．若函数f（x）=，则f（5）=．12．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x115．已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A．0B．1C．﹣1D．不确定16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）的最大值与最小值之和为2C．方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（14分）已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间；（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求a的取值范围．20．（16分）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．21．（18分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数y=f（x）与函数y=lg2x的图象公共点个数，并说明理由；（3）当x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象上方，求实数a的取值范围．2018-2019学年上海市复旦附中高一（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分54分）1．若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0} ．【分析】由实数a满足：a2∈{1，4，a}，得到a2=1或a2=4，或a2=a，由此能求出实数a的取值集合．【解答】解：∵实数a满足：a2∈{1，4，a}，∴a2=1或a2=4，或a2=a，解得a=﹣2或a=2或a=﹣1或a=1或a=0，当a=1时，{1，4，1}不成立，当a=﹣1，或a=±2，或a=0时，都成立．∴实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素的性质的合理运用．2．函数y=+lg（3﹣x）的定义域为[﹣2，3）．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣2≤x＜3．∴函数y=+lg（3﹣x）的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题是若b≠0，则ab≠0．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出答案即可．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题之间的相互转化问题，解题时应明确四种命题之间的关系，是基础题．4．函数y=+2的单调区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）．【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【解答】解：函数y=+2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，知函数y=+2的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），故答案为：（﹣∞，0）和（0，+∞）．【点评】该题考查函数的单调性及单调区间的求解，属基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题基础．5．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，f（x）=x （1﹣x）．【分析】根据f（x）是奇函数可得出f（﹣x）=﹣f（x），根据xx≥0时，f（x）=x（1+x），可设x＜0，从而可求出f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；又x≥0时，f（x）=x（1+x）；∴设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）=x（1﹣x）．故答案为：x（1﹣x）．【点评】考查奇函数的定义，函数解析式的定义及求法．6．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为{} ．【分析】分类讨论，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可．【解答】解：①x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x转化为函数f（x）=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时．函数f（x）=sgn（x）﹣2x的零点是；②x=0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x转化为函数f（x）=0，函数f（x）=sgn（x）﹣2x的零点是0；③x＜0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x转化为函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=﹣，即当x＜0时．函数f（x）=sgn（x）﹣2x的零点是﹣；综上函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：{}．故答案为：{}．【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．7．函数的值域为（0，+∞）．【分析】根据8x＞0即可得出8x+1＞1，从而可求出，即得出f（x）的值域．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】考查函数值域的概念及求法，指数函数的值域，对数函数的单调性．8．已知a＞0，b＞0，则的最小值为4．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．【解答】解：由==（a+2b）+，∵a＞0，b＞0，∴（a+2b）+≥2=4，当且仅当a+2b=2时取等号．则的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了“构造思想”与基本不等式的性质运用，属于基础题．9．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C={1，2，4}【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又集合C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．【点评】本题考查了交集与并集的运算问题，是基础题．10．若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围（﹣∞，2）．【分析】根据y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数即可由f（x）＜f（2x﹣2）得出x ＞2x﹣2，这样即可解出x的取值范围．【解答】解：∵y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数；∴由f（x）＜f（2x﹣2）得：x＞2x﹣2；∴x＜2；∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．【点评】考查单调减函数的定义，以及一元一次不等式的解法．11．若函数f（x）=，则f（5）=1．【分析】推导出f（5）=f（3）=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是①③．（请写出所有符合条件的序号）【分析】根据新定义进行计算后判断，弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界【解答】解：对于①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故①不是开集．对于②：A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故②是开集；对于③：A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故该集合不是开集；对于④：A=表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故该集合是开集；故答案为：①③．【点评】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息，解决问题的能力．正确理解好集的定义是解决本题的关键二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【解答】解：函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sinx与y=﹣x的图象如图：可知x1＜0，x2＞0，x3=0，满足x1＜x3＜x2．故选：B．【点评】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题．15．已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A．0B．1C．﹣1D．不确定【分析】根据新定义运算法则“若x∈M，则∈M”求得集合M的所有元素，然后求其积即可．【解答】解：依题意，得当4∈M时，有=﹣∈M，从而=∈M，=4∈M，于是集合M的元素只有4，﹣，，所有元素之积等于4×（﹣）×=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断．解题的关键是根据“若x∈M，则∈M”得到集合M的所有元素．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）的最大值与最小值之和为2C．方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【分析】根据奇函数的性质和周期性可得f（x）关于（1，0）对称，求出x∈（﹣1，0]时，函数的解析式，再根据函数的周期性，即可得到函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，由图象即可判断．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），可得f（x）为周期为2的奇函数，可得f（﹣x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），即有f（x）的图象关于点（1，0）对称，故A错误；当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，由x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]时，可得f（x﹣2）=f（x）=2x﹣2﹣1，故D错误；当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1）时，f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣2﹣x，可得f（x）无最小值和最大值，故B错误；画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，结合图象可得函数f（x）无对称轴，f（x）的最大值与最小值之和为0，当x＞0时，y=f（x）与y=lg|x|有个交点，当x＜0y=f（x）与y=lg|x|有5个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根，故C正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性周期性，对称性，以及函数零点的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）运用真值表判断命题真假即可；（2）运用充分必要条件的判断可解出．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3由q为真时，实数x的范围是﹣2≤x≤3，若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（1，3）．（2）￢p：x≤a或x≥3a，￢q：x＜﹣2或x＞3，由￢q是￢p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时￢p≠＞￢q，即a的取值范围为（0，1]．【点评】本题考查充分必要条件和命题真假的判断．18．（14分）已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间；（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性以及函数的解析式真假求解f（﹣2）的值；（Ⅱ）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式写出f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）f（x）的零点转化为方程的根，求解即可．【解答】本题满分（12分）解：（I）由已知f（﹣2）=﹣f（2），2∈（0，3]，所以（II）函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，，单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）（8分）（III）由，且0＜x≤3，解得又f（x）为奇函数，可得另一个零点为综上：f（x）的零点为和（12分）【点评】本题考查分段函数的应用幂函数的奇偶性以及函数值的求法，函数的零点的求法，考查计算能力．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数为分段函数，然后求解不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求出函数的最小值，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）因为，所以当x＜﹣3时，由f（x）≤15得﹣8≤x＜﹣3；当﹣3≤x≤2时，由f（x）≤15得﹣3≤x＜2；当x＞2时，由f（x）≤15得﹣2＜x≤7．综上，f（x）≤15的解集为[﹣8，7]．（2）由﹣x2+a≤f（x）得a≤x2+f（x），因为f（x）≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当﹣3≤x≤2取等号，所以当﹣3≤x≤2时，f（x）取得最小值5，所以当x=0时，x2+f（x）取得最小值5，故a≤5，取a的取值范围为（﹣∞，5]．【点评】本题考查不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．【分析】（1）令x1=x2=1，代入已知条件，即可求解得f（1）．（2）f（x）为偶函数．利用偶函数的定义证明即可．（3）求解f（4×4）=2，由（2）知，f（x）是偶函数，转化f（x﹣1）＜2⇔f（|x﹣1|）＜f（16）．然后求解即可．【解答】解：（1）∵对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），∴令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）f（x）为偶函数．证明：令x1=x2=﹣1，有f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=f（1）=0．令x1=﹣1，x2=x有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数．（3）依题设有f（4×4）=f（4）+f（4）=2，由（2）知，f（x）是偶函数，∴f（x﹣1）＜2⇔f（|x﹣1|）＜f（16）．又f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴0＜|x﹣1|＜16，解之得﹣15＜x＜17且x≠1，∴x的取值范围是{x|﹣15＜x＜17且x≠1}．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．21．（18分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数y=f（x）与函数y=lg2x的图象公共点个数，并说明理由；（3）当x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象上方，求实数a的取值范围．【分析】（1）运用奇函数的定义，以及对数的运算性质，结合恒成立思想解方程可得a的值；（2）求得f（x）的定义域，要求方程解的个数，即求方程在定义域D 上的解的个数．构造函数，运用函数零点存在定理，即可得到所求零点个数；（3）要使x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象的上方，必须使在x∈[1，2）上恒成立，令t=2x，则t∈[2，4），上式整理得t2+（a﹣5）t+6﹣a＞0在t∈[2，4）恒成立．由参数分离和基本不等式可得最值，进而得到所求范围．【解答】解：（1）函数为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有f（x）+f（﹣x）=0，即，∴，显然x≠1，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x≠﹣1．上面等式左右两边同时乘以（x﹣1）（x+1）得[a（x﹣1）+2]•[a（x+1）﹣2]=x2﹣1，化简得（a2﹣1）x2﹣（a2﹣4a+3）=0，上式对定义域内任意x恒成立，所以必有，解得a=1；（2）由（1）知a=1，所以，即，由得x＜﹣1或x＞1，所以函数f（x）定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域D上的解的个数．令，显然F（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）均单调递增，又，，且，，所以函数F（x）在区间和上各有一个零点，即方程在定义域D上有2个解，所以函数y=f（x）与函数y=lg2x的图象有2个公共点；（3）要使x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象的上方，必须使在x∈[1，2）上恒成立，令t=2x，则t∈[2，4），上式整理得t2+（a﹣5）t+6﹣a＞0在t∈[2，4）恒成立．因为t2+（a﹣5）t+6﹣a＞0在t∈[2，4）恒成立．即（t﹣1）a＞﹣t2+5t﹣6，又1≤t﹣1＜3，所以得在t∈[2，4）恒成立，令u=t﹣1，则u∈[1，3），且t=u+1，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立）即，所以，所以a的取值范围是．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是奇偶性的定义和性质，考查函数零点存在定理的应用以及参数分离、构造函数和基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【解析】∵实数满足：∈{1，4，}，∴=1或=4，或=a，解得=﹣2或=2或=﹣1或=1或=0，当=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当=﹣1，或=±2，或=0时，满足题意．∴实数的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．2.函数的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】由题意得，解得．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和．故答案为：（∞，0）和（0，+∞）．为定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________．5.已知【答案】【解析】设，则，由已知当时，，当时，可得，．6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____．【答案】【解析】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：．的值域为_______.7.函数【答案】【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.的最小值为_____．8.已知a＞0，b＞0，则【答案】4【解析】由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为4．故答案为：4．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【解析】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．11.若函数，则_____．【答案】1【解析】由题意得．故答案为：1．12.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【解析】对于①，集合A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，|则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数 r 为半径的圆面，均不满足 ，故①不是开集．对于②，集合 A ={（x ，y ） x +y +2＞0}，对于 A 中的任一点（x 0，y 0），设该点到直线 x +y +2=0 的距离为 d ，取 r =d ，则满足 ，故②是开集．对于③，集合 A ={（x ，y ）||x +y |≤6}，在曲线|x +y |=6 任意取点（x 0，y 0），以任意正实数 r 为半径的圆面，均不满足对于④，集合 A =表示以点 ，故该集合不是开集．为圆心，以 1 为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集 A 中的任一点（x 0，y 0），则该点到圆周上的点的最短距离为 d ，取r =d ，则满足，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．二．选择题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13.设 x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（）A. 充分而不必要条件C. 充分必要条件B. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x ﹣2|＜1 得﹣1＜x ﹣2＜1，解得 1＜x ＜3，由 x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3．因为， ，所以“1＜x ＜3”是“﹣2＜x ＜3”的充分不必要条件，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的充分不必要条件．故选 A ．14.已知函数 f （x ）=3x +x ，g （x ）=log 3x +x ，h （x ）=sin x +x 的零点依次为 x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（ ）A . x 1＜x 2＜x 3 C . x 3＜x 1＜x 2B . x 1＜x 3＜x 2 D . x 2＜x 3＜x 1【答案】B【解析】函数 f （x ）=3x +x ，g （x ）=log 3x +x ，h （x ）=sin x +x 的零点依次为 x 1，x 2，x 3，在坐标系中画出 y =3x ，y =log 3x ，y =sin x 与 y =﹣x 的图象，如下图所示：x由图形可知 x 1＜0，x 2＞0，x 3=0，所以 x 1＜x 3＜x 2．故选 B ．15.已知非空集合 M 满足：若 x ∈M ，则于（ ）∈M ，则当 4∈M 时，集合 M 的所有元素之积等A. 0【答案】CB. 1C. －1D. 不确定【解析】依题意，得当 4∈M 时，有，从而 ， ，于是集合 M 的元素只有 4，， 所有元素之积等于 4×（ ）× =-1．16.已知函数 f （x ）是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x ∈R ，均有 f （x +2）=f （x ），当 x ∈[0，1）时，f （x ）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A. f （x ）的图象关于 x =1 对称B. f （x ）的最大值与最小值之和为 2C. 方程 f （x ）﹣lg|x |=0 有 10 个实数根D. 当 x ∈[2，3]时，f （x ）=2x +2﹣1【答案】C【解析】由函数 f （x ）是定义在 R 上的奇函数，可得又当 x ∈[0，1）时，f （x ）=2x ﹣1，所以，当 x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈[0，1），．则 f （﹣x ）=2﹣﹣1=﹣f （x ），∴．又 f （x +2）=f （x ），∴函数 f （x ）是周期为 2 的周期函数．画出函数 y =f （x ）与 y =lg|x |的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以．故D不正确．故选C．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．18.已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，（1）试求f（﹣2）的值；（2）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（3）求出f（x）的零点．解：（1）∵函数为奇函数，∴．（2）当x＞0时，函数在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（3）当∴是函数时，由的零点．，得，解得，又函数为奇函数，∴也为函数的零点．综上可得函数的零点为和．19.已知函数（1）求不等式（2）若.的解集；对恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.法二：设 ，则，当所以当时，时， 取得最小值 ，取得最小值 ，故时，即 的取值范围为.20.函数 f (x )的定义域为 D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意 x 1，x 2∈D ，有 f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求 f (1)的值；(2)判断 f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f (4)＝1，f (x －1)<2，且 f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．解：(1)∵对于任意 x 1，x 2∈D ，有 f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令 x 1＝x 2＝1，得 f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令 x 1＝x 2＝－1，有 f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝ f (1)＝0.令 x 1＝－1，x 2＝x 有 f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有 f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2 f (|x －1|)<f (16)．又 f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17 且 x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17 且 x ≠1}．21.已知函数(1)若函数， ．是奇函数，求实数 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数(3)当时，函数与函数的图象始终在函数 的图象公共点个数，并说明理由；的图象上方，求实数 的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有，即 ，，显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.上面等式左右两边同时乘以 得，化简得，.上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域.由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数.令，显然在区间和均单调递增，又，且，.所以函数在区间和上各有一个零点，即方程所以函数在定义域上有2个解，与函数的图象有2个公共点.（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使令，则在上恒成立，，上式整理得在恒成立.方法一：令①当所以，.，即时，在上单调递增，，恒成立；②当，即时，在上单调递减，只需，解得与矛盾.③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以由又，所以综合①②③得的取值范围是方法二：因为在，解得，.恒成立.即，又，所以得在恒成立令，则，且，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，所以,所以的取值范围是.。