吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考数学(文)试题 Word版含答案

吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ,集合,|{*3>=x x x B 分所表示的集合是（A ）}{2 （B ）}{32， （C ）},{321，（D ）},{986，2．已知i 为虚数单位，则=+12ii - （A ）25 （B ）25 （C ）217 （D ）210 3. 已知命题R :∈∀x p ，0>2x ，则 （A ）R :∉∃⌝x p ，0≤2x （B ）R :∈∃⌝x p ，0≤2x （C ）R :∈∃⌝x p ，0<2x（D ）R :∉∃⌝x p ，0>2x4．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为150的样本，已知从学生中抽取的人数为135，那么该学校的教师人数是 （A ）15（B ）200（C ）240（D ）21605．已知α是第四象限角，且43-=αtan ，则=αsin （A ）53-（B ）53（C ）54 （D ）54-6．已知实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧0≥2-+20≤3--32≤y x y x y ，则目标函数y x z +3=的最大值为（A ）2（B ）3（C ）7（D ）8②2-=-x x e e y ，①2+=-xx e e y ，7．现有三个函数：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）③②①（D ）②①③8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的485=S ，则判断框内的条件是9．一个几何体的三视图如上右图，则其体积为 （A ）320 （B ）6 （C ）316 （D ）510．已知m ，n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是 （A ）若γα⊥，γβ⊥，则βα//（B ）若α////m n m ，，则α//n（C ）若n =βα ，α//m ，β//m ，则n m // （D ）若α⊥m ，n m ⊥，则α//n11．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则⋅的取值范围是（A ）][1818-， （B ）][1616-， （C ）][1212-， （D ）][88-，12．若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列三个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线4=+221y x C :和曲线0=4+2+4-+222y x y x C : 为“相关曲线”；②曲线1=-4221x y C :和曲线1=4-222y x C :是“相关曲线”； ③曲线：1C x y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.（第8题图）（第9题图）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13．已知等差数列}{n a 中，8=2=52a a ，，则其前6项和=6S . 14．圆心在原点且与直线0=4-+y x 相切的圆的方程为 . 15. 把函数x x x x f 221+3=cos cos sin )(的图象上各点向右平移)(0>ϕϕ个单位，得到函数x x g 2=sin )(的图象，则ϕ的最小值为 .16．已知直线0=1+-y x l :与抛物线y x C 4=2:交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，且在直线l 下方，则△P AB 的面积的最大值为 .三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足)(222-+43=b c a S . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，设x A =，c a y 2+13=）（-，求函数)(x f y =的解析式和最大值.18．（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图:4.0 4.2 4.4 4.6 4.85.0 5.2（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年 级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下数据：根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知CD AD CD AB ⊥，//，1==AD AB ,2=CD .（Ⅰ）求证：⊥BC 平面BDE ； （Ⅱ）求点C 到平面BDF 的距离.CABFED20．（本小题满分12分）已知椭圆)(:0>>1=+2222b a by a x C 的左、右焦点分别为)(011，-F 、)(012，F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△2ABF 的周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)(04，作与直线l 平行的直线m ，且直线m 与抛物线x y 4=2交于P 、Q 两点，若A 、P 在x 轴上方，直线P A 与直线QB 相交于x 轴上一点M ，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分） 设函数xx x f 1+2=ln )(. （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥1，都有)(x f ≤ax ，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ． （Ⅰ）证明：E 是BC 的中点； （Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为0=-2θθρcos sin ，点)(21π，M . 以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点.（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到A ，B 两点的距离之积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数⎪⎩⎪⎨⎧1<<011≥=x xx x x f ,)(，，||)()(2--=x x af x g ，R ∈a .（Ⅰ）当0=a 时，若b x x g +1-≤||)(对任意)(∞+0∈，x 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x g y =的最小值.参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：每小题5分二、填空题：每小题5分13. 30 14. 822=+y x 15. 12π16.24 三、解答题 17.解： （Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得B ac B ac cos sin 2⋅43=21 ……2分∴3=B tan ，又)(π，0∈B ……4分所以3=πB……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3=πB ，△ABC 的内角和π=++C B A ，又0>0>C A ，得32<<0πA ． ……6分由正弦定理，知x x A Bba sin sin sinsin sin 2=33==π， ……7分)sin(sin sin x C B b c -322==π……8分所以c a y 2+13=）（-)32sin(4sin 1-32x x -+=π）（ x x cos 32sin 32+=))(sin(32<<04+62=ππx x ……10分 当2=4+ππx ，即4=πx 时，y 取得最大值62 ……12分18.解：（Ⅰ）设各组的频率为),,,,,(654321=i f i ，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故030=20⨯150=1...f ，090=20⨯450=2...f ，270==1223.f f f ……2分所以由)..()(090+030-1=24⋅+63f f 得170=6.f ， ……4分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， ……5分 故全年级视力在5.0以下的人数约为830=830⨯1000. ……7分（Ⅱ）8413>1104≈73300=27⨯73⨯50⨯509⨯32-18⨯41⨯100=22..)(k ……10分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. ……12分19.解：在梯形ABCD 中，取CD 中点H ，连接BH ，因为AB AD =，CD AD CD AB ⊥，//，所以四边形ADHB 为正方形，又2=+=222AB AD BD ，2=+=222HB HC BC ，所以222+=BC BD CD ，所以BD BC ⊥ ……3分又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD DE AD ⊥=，，所以⊥DE 平面ABCD ， ……5分 DE BC ⊥，又D DE BD = ，故⊥BC 平面BDE . ……6分 （Ⅱ）设点C 到平面BDF 的距离为h ，ABFED CH由（Ⅰ）知2===FB BD FD ，所以△BDF 为等边三角形， 其面积23=2⨯43=2∆BDF S ，又△CDB 的面积1=⋅21=∆CD BH S CD B ……8分所以由三棱锥CDB F -的体积BDF C CDB F V V --=三棱锥三棱锥 ……10分即BDF CDB S h S AF ∆∆⋅31=⋅31即h 23⨯31=1⨯1⨯31 因此332=h ，即点C 到平面BDF 的距离为332 ……12分20．解：（Ⅰ）依题意，24=4a ，1=-22b a……2分所以2=a ，1=1-=22a b ……3分故椭圆C 的方程为1=+222y x ……4分 （Ⅱ）设)()()()(44332211y x Q y x P y x B y x A ，，，，，，， 直线l 的方程为：1-=ty x ，直线m 的方程为4+=ty x 依题意得||||||||||||QN BF MN MF PN AF 111== 则||||||||4231=y y y y ，可得4321=y y y y ，令)(0<==4321λλy y y y， ……5分 由⎪⎩⎪⎨⎧1=+21-=22y x ty x 消去x ，得0=1-2-2+22ty y t )(， ……6分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧2+1-=2+2=+221221t y y t t y y ，把21=y y λ代入，整理，得2+4=+1222t t -λλ)(① ……8分由⎩⎨⎧4=4+=2xy ty x 消去x ，得0=16-4-2ty y ， ……9分 则⎩⎨⎧16-=4=+4343y y t y y ，把43=y y λ代入，整理，得22=+1t -λλ)(② ……10分 由①②消去λ，得222=2+4t t t ，解得0=t 或2=t 或2-=t ……11分故直线l 的方程为：1-=x 或0=1+2-y x 或0=1+2+y x ……12分 21. 解：（Ⅰ） )(x f 的定义域为)(∞+0，，212='x x x f -)( ……2分 当21<<0x 时，0<')(x f ，当21>x 时，0>')(x f ……3分 所以函数)(x f 在)(210，上单调递减，在),(+∞21单调递增. ……5分 （Ⅱ）法一：设ax xx x g -1+2=ln )(，则a x a x x x g -1+1-1-=-1-2='22)()( 因为x ≥1，所以0≤1-1-<1-2)(x……7分 （ⅰ）当1≥a 时，0≤-1a ，0≤')(x g ，所以)(x g 在),[∞+1单调递减，而0≤-1=1a g )(，所以对所有的x ≥1，)(x g ≤0，即)(x f ≤ax ；（ⅱ）当1<<0a 时，1<-1<0a ，若),(a a x -1+11∈，则0)(>'x g ，)(x g 单调递增，而0>-1=1a g )(，所以当),(aa x -1+11∈时，0)(>x g ，即ax x f >)(； （ⅲ）当0≤a 时，1≥-1a ，0>')(x g ，所以)(x g 在),[∞+1单调递增，而0>-1=1a g )(，所以对所有的x ≥1，0>)(x g ，即ax x f >)(；综上，a 的取值范围是)[∞+1，. ……12分 法二：当x ≥1时， )(x f ≤ax 21+2≥⇔xx x a ln ……6分 令)(ln )(1≥1+2=2x x x x x h ，则3321--2=1-2-2='x x x x x x x x h )ln (ln )( ……7分 令)(ln )(1≥1--=x x x x x m ，则x x m ln )(-='，当x ≥1时，0≤')(x m ……8分于是)(x m 在)[∞+1，上为减函数，从而0=1≤)()(m x m ，因此0≤')(x h ， ……9分 于是)(x h 在)[∞+1，上为减函数，所以当1=x 时)(x h 有最大值1=1)(h ， ……11分 故1≥a ，即a 的取值范围是)[∞+1，. ……12分 22.解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为AB 为⊙O 的直径，所以AC BD ⊥，又 90=∠B ，所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此ED EB =， ……2分 EDB EBD ∠=∠，C EBD EDB CDE ∠+∠==∠+∠ 90，所以C CDE ∠=∠，得ED EC =，因此EC EB =，即E 是BC 的中点 ……5分 （Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB 于是有ABAE AF AB =，即AF AE AB ⋅=2， ……8分 同理可证AC AD AB ⋅=2所以AF AE AC AD ⋅=⋅……10分23.解： （Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0=-2θθρcos sin 得θρθρcos sin 22=．所以x y =2，即为曲线C 的直角坐标方程； ……2分点M 的直角坐标为)10(，， ……3分 直线l 的倾斜角为43π故直线l 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） ……5分（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得 t t 22)221(2-=+，即02232=++t t ， ……7分 01024)23(2>=⨯-=∆，设A 、B 对应的参数分别为21t t 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+2232121t t t t ……8分 又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA ……12分24．解：（Ⅰ）当0=a 时，)0(|2|)(>--=x x x g ，||||||2-+1-≤-⇔+1-≤x x b b x x g )( ……1分 1|)2()1(||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当21≤≤x 时等号成立 ……4分实数b 的取值范围是)[∞+1-， ……5分 （Ⅱ）当1=a 时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<<-+=2,221221021)(x x x x x x x g ，，， ……7分当10<<x 时，0=2-1⋅2>2-+1=xx x x x g )(； ……8分 当1≥x 时，0)(≥x g ，当且仅当1=x 等号成立； ……9分 故当1=x 时，函数)(x g y =取得最小值0. ……10分。