2016-2017学年上海市上外附中高一(下)3月月考数学试卷
上海市2016届高三数学3月月考试题文无答案
上海市2016届高三数学3月月考试题 文（无答案）考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时刻120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必需涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一概不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对4分，不然一概得零分．1.已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =_______________.2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________.3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________.4.已知圆锥的轴与母线的夹角为3π，母线长为3，则过圆锥极点的轴截面面积的最大值为_________. 5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，1sin sin 3x y ⋅=，则x y -= .6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.8．设正三棱柱的所有极点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，则该球的表面积为_________.9. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是 ．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影别离是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．11.若,x y 知足不等式组2,,2,x y y x x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．12.某几何体的三视图及部份数据如图所示，则此几何体的表面积是 ．13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，知足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的 一个“友好”三角形.在知足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C ===. 14. 已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。
2016-2017学年上海交大附中高一(下)3月月考数学试卷
2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是______ ．【答案】【解析】解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，由一周角为，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是，故答案为：．根据2分钟，秒针针转过2周，一个周角为，即可得到答案．本题考查的知识点是弧度制，其中一周角，是解答本题的关键．2.已知角的终边上一点P落在直线上，则______ ．【答案】【解析】解：角的终边上一点P落在直线上，，，故答案为：．由条件利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．3.把化成，，的形式为______ ．【答案】【解析】解：由，，，，，则，故答案为：根据辅助角公式化解可得答案．本题主要考察了辅助角公式的应用，属于基本知识的考查．4.函数的定义域为______ ．【解析】解：由题意得：且，解得：，故函数的定义域是，，，故答案为：，，．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．5.函数的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：，的最大值为2．故答案为2．，即可得出结论．本题考查函数的最值，考查二次函数的性质，正确转化是关键．6.已知，求______ ．【答案】【解析】解：，，故答案为先两边平方，利用同角三角函数关系求得，再将化简，代入即可．本题的考点同角三角函数的基本关系考查了同角三角函数的基本关系，关键是利用好平方关系及切化弦关系．7.已知：，则______ ．【答案】【解析】解：因为，．．故答案为：．先由得到，再用诱导公式对所求问题化简整理即可得出答案．本题考查了诱导公式的应用三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一．8.若函数的值域为R，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：函数的值域为R，，为函数的值域的子集，，解得．故答案为，．令，为函数的值域的子集，根据二次函数的性质列出不等式组即可得出a的范围．本题考查了对数的函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．9.若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：当时，，若关于x的方程有负根，在，即，即，或，则解得，故答案为：根据指数函数的性质，解不等式即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键．10.小媛在解试题：“已知锐角与的值，求的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角的值为______ 写出所有的可能值【答案】，，【解析】解：由题意可得：，观察可得：锐角的值可能为，，．故答案为：，，．由已知利用两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11.已知，则函数的最小值为______ ．【答案】0【解析】解：由，可得，，可得，，那么当时，y取得最小值为0．故答案为0．由，可得，可得，，转化为二次函数求解最小值即可．本题主要考查了同角三角函数关系式和三角函数的有界性的应用，属于基本知识的考查．12.已知，，，则______ ．【答案】【解析】解：，，，．故答案为：．，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、选择题（本大题共4小题，共16.0分）13.一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是A. 2弧度B. 3弧度C. 4弧度D. 5弧度【答案】A【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，面积，所以解得：，，所以扇形的圆心角的弧度数是．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系，属于基础题．14.角的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第象限．A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】C【解析】解：角的终边在第二象限，，，，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第三象限故选：C．首先利用终边相同角的表示方法，写出的表达式，再写出的表达式，由此判断终边位置．本题考查了终边相同角的表示方法，象限角的概念属于基础知识和基础题目．15.已知，均为锐角，且，则，的大小关系是A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】解：，，，，，，均为锐角，．故选：A．利用两角和与差的正弦函数公式解得，从而得到，由此能比较，的大小关系．本题考查两个锐角的大小的比较，考查两角和与差的正弦函数的应用，属于基础题．16.下列关于幂函数的论述中，正确的是A. 当时，幂函数的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过，和，两个点【答案】D【解析】解：对于，时，无意义；对于，不过，；对于，是奇函数，在定义域内无单调性；对于D，因为时，，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故对；故选：D．通过求函数的定义域，判断出错；通过举反例说明错；通过求点的坐标的范围判断出对．本题考查幂函数的性质：定义域、过定点、单调性、奇偶性．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个毫升：试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？精确到小时．【答案】解：某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个毫升：故200毫升饮料有细菌A4000个，故细菌A的个数，；由得：，解得：，即小时后该饮料将对人体有害．【解析】求出最初的细菌个数，列出函数解析式即可；根据题意得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了求函数解析式问题，考查不等式的应用，是一道中档题．18.已知中，，是方程的两个实数根：若，求的值；求的最小值，并指出此时对应的，的值．【答案】解：时，，，；：由题意，，解得或；又，，，，的最小值是，此时对应的．【解析】由根与系数的关系写出，；利用三角形内角和定理与两角和的正切公式计算即可；由以及根与系数的关系，求出；再利用三角形内角和定理与两角和的正切公式，求出的最小值以及此时对应的、的值．本题考查了根与系数的关系以及三角形内角和定理与两角和的正切公式应用问题，是基础题．19.已知函数，其中，是适合的常数若，，求函数的最小值；是否可能为常值函数？若可能，求出为常值函数时，，的值，如果不可能，请说明理由．【答案】解：函数，其中，是适合的常数，，则函数的最小值为1．假设存在常数值，，则，即，，则．，．【解析】将，带入化简，利用三角函数的性质求解即可．假设存在常数值，采用“赋值法”，特殊值，令，带入计算求解在内的常数即可．本题考查了三角函数的性质和赋值法证明存在性问题属于中档题．20.某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”其中，是过抛物线的两条相互垂直的弦点，在第二象限，且，交于点，，点E为y轴上的一点，记，其中为锐角：设线段AF的长为m，将m表示为关于的函数；求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小．【答案】解：点，，，即．，；同理：，，．“蝴蝶形图案”的面积，令，，，，，，，此时．【解析】由点，，代入抛物线的标准方程，即可将m表示为关于的函数；由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用、、、和表示，代入抛物线方程后最终求得、、、，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点直线与抛物线的关系、三角函数化简、换元法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.若函数定义域为R，满足对任意，，有，则称为“V形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，，有，则称为“对数V形函数”：当时，判断函数是否为V形函数，并说明理由；当时，证明：是对数V形函数；若是V形函数，且满足对任意，有，问是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．【答案】解：，，符号不定，当时，是V形函数；当时，不是V形函数；证明：假设对任意，，有，则，，，显然成立，解：是对数V形函数证明：是V形函数，对任意，，有，对任意，有，，，，，是对数V形函数．【解析】由，可得符号不定，从而可得结论；利用反证法证明假设对任意，，有，则可得，即证，显然成立；是对数V形函数，根据是V形函数，利用对任意，有，证明，从而可得是对数V形函数．本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
《首发》上海外国语大学附属外国语学校2016-2017学年高一下学期3月月考数学卷Word版含答案bybao
2016学年上外附中高一年级第二学期数学月考试卷2017.4 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.计算 .2.已知，用a,b表示 .3.已知，则实数的取值范围是 .4.函数的反函数为 .5．已知函数，则 .6.方程的解为 .7.若方程的根为，则 .8.把的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为 .9.函数的定义域为 .10.函数的单调递减区间为 .11.已知函数的图象关于直线对称，则 .12.若函数的图象经过点，则函数的反函数必经过点为 .13.设定义在R上的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是为 .14.设函数，实数满足，若，则实数 , .二、选择题：15．已知，且，则的值为A. 2B. 1C. 0D. -116．如果方程的两个根为，则的值是A. B. C. D.17．已知函数的值域为R,则实数的取值范围是A. B. C. D.18．设满足，则y关于x的图象大致是三、解答题：19.解方程：.20.已知函数（是实常数）（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性与实数的关系.21.已知函数在上恒为负值，求实数的取值范围.22.设函数 .（1）求函数的解析式；（2）设，是否存在实数，使得当时，恒有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.23.已知函数的定义域为R,且的图象过点.（1）求实数的值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数在R上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.。
2016-2017年上海交大附中高一(下)3月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是．2．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．3．（5分）把化成A sin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为．4．（5分）函数的定义域为．5．（5分）函数的最大值为．6．（5分）已知，求tan2α+cot2α＝．7．（5分）已知：，则＝．8．（5分）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是．9．（5分）若关于x的方程5x＝有负根，则实数a的取值范围是．10．（5分）小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为．（写出所有的可能值）11．（5分）已知﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，则y＝sin2α+sin2β函数的最小值为．12．（5分）已知，则f（cos10）＝．二、选择题：13．（4分）一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是（）A．2弧度B．3弧度C．4弧度D．5弧度14．（4分）角α的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限．A．一B．二C．三D．四15．（4分）已知α，β均为锐角，且，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．不确定16．（4分）下列关于幂函数y＝xα（α∈Q）的论述中，正确的是（）A．当α＝0时，幂函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）两个点C．若函数f（x）为奇函数，则f（x）在定义域内是增函数D．幂函数f（x）的图象不可能在第四象限内三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）．18．（14分）已知△ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4＝0的两个实数根：（1）若a＝﹣8，求tan C的值；（2）求tan C的最小值，并指出此时对应的tan A，tan B的值．19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．20．（16分）某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y ＝x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E 为y轴上的一点，记∠EF A＝α，其中α为锐角：（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．21．（16分）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当f（x）＝x2时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．2016-2017学年上海交大附中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是﹣4π．【解答】解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，由一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故秒针转过的角的弧度数是﹣4π，故答案为：﹣4π．2．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．【解答】解：∵角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝，故答案为：．3．（5分）把化成A sin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为2sin （）．【解答】解：由＝φ），tanφ＝，∵φ∈（0，2π）），∴φ＝，则＝2sin（），故答案为：2sin（）．4．（5分）函数的定义域为[﹣3，1）∪（1，5]．【解答】解：由题意得：﹣x2+2x+15≥0且x≠1，解得：﹣3≤x≤5，故函数的定义域是[﹣3，1）∪（1，5]，故答案为：[﹣3，1）∪（1，5]．5．（5分）函数的最大值为2．【解答】解：＝1+≤2，∴的最大值为2．故答案为2．6．（5分）已知，求tan2α+cot2α＝．【解答】解：∵，∴，∴∵tan2α+cot2α＝故答案为7．（5分）已知：，则＝．【解答】解：因为，∴sinθ＝．∵＝+2（﹣tanθ）•（﹣cosθ）＝﹣sinθ+2sinθ＝sinθ＝．故答案为：．8．（5分）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【解答】解：∵函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，∴（0，+∞）为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，∴，解得a≥4．故答案为[4，+∞）．9．（5分）若关于x的方程5x＝有负根，则实数a的取值范围是a＜﹣3．【解答】解：当x＜0时，0＜5x＜1，若关于x的方程5x＝有负根，在0＜＜1，即，即，则，解得a＜﹣3，故答案为：a＜﹣310．（5分）小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为，，．（写出所有的可能值）【解答】解：由题意可得：sinαcosβ+cosαsinβ＝cosαcosβ+sinαsinβ＝＝×+×，观察可得：锐角α的值可能为，，．故答案为：，，．11．（5分）已知﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，则y＝sin2α+sin2β函数的最小值为0．【解答】解：由﹣5sin2α+sin2β＝3sinα，可得sin2β＝5sin2α+3sinα∈[0，1]，可得sinα∈[]∪[0，]那么y＝sin2α+sin2β＝6sin2α+3sinα＝6（sinα+）2当sinα＝0时，y取得最小值为0．故答案为0．12．（5分）已知，则f（cos10）＝21﹣7π．【解答】解：∵，∴f（cos10）＝f[sin（10﹣）]＝2（10﹣）+1＝21﹣7π．故答案为：21﹣7π．二、选择题：13．（4分）一个扇形OAB的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是（）A．2弧度B．3弧度C．4弧度D．5弧度【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l＝4，S面积＝lr＝1，所以解得：r＝1，l＝2，所以扇形的圆心角的弧度数是α＝＝＝2．故选：A．14．（4分）角α的终边在第二象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：∵角α的终边在第二象限，∴+2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z，∴+＜x＜+，k∈Z，当k＝3n（n∈Z）时，此时的终边落在第一象限，当k＝3n+1（n∈Z）时，此时的终边落在第二象限，当k＝3n+2（n∈Z）时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第三象限故选：C．15．（4分）已知α，β均为锐角，且，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．不确定【解答】解：∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，，∴2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ，∴sinα（2﹣cosβ）＝cosαsinβ，∴tanα＝＜＝tanβ，∵α，β均为锐角，∴α＜β．故选：A．16．（4分）下列关于幂函数y＝xα（α∈Q）的论述中，正确的是（）A．当α＝0时，幂函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）两个点C．若函数f（x）为奇函数，则f（x）在定义域内是增函数D．幂函数f（x）的图象不可能在第四象限内【解答】解：对于A，x＝0时，无意义；对于B，y＝不过（0，0）；对于C，y＝是奇函数，在定义域内无单调性；对于D，因为x＞0时，y＝xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故④对；故选：D．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）有一种细菌A，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A的个数y表示成经过的小时数x的函数；（2）若饮料中细菌A的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）．【解答】解：（1）某种饮料200毫升，其中细菌A的浓度为20个/毫升：故200毫升饮料有细菌A4000个，故细菌A的个数y＝4000•2x，x＞0；（2）由（1）得：4000×2x＞90000，解得：x＞4.49，即4.5小时后该饮料将对人体有害．18．（14分）已知△ABC中，tan A，tan B是方程x2+ax+4＝0的两个实数根：（1）若a＝﹣8，求tan C的值；（2）求tan C的最小值，并指出此时对应的tan A，tan B的值．【解答】解：（1）a＝8时，x2﹣8x+4＝0，∴tan A+tan B＝8，tan A tan B＝4；∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝：（2）由题意，△＝a2﹣16≥0，解得a≥4或a≤﹣4；又tan A tan B＝4＞0，∴，∴tan A+tan B＝﹣a＞0，∴a＜0，即a≤﹣4；∴tan C＝﹣tan（A+B）＝＝≥，∴tan C的最小值是，此时对应的tan A＝tan B＝2．19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）∵，则f（x）＝sin2x+sin2（x+）+sin2（﹣x）＝sin2x+1≥1∴函数f（x）的最小值为1．（2）假设存在常数值，f（0）＝f（），则sin2α+sin2β＝1+cos2α+cos2β，即2（sin2α+sin2β）＝3，∴sin2α+sin2β＝，则cos2α+cos2β＝．∴，．20．（16分）某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y ＝x2的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点，点E 为y轴上的一点，记∠EF A＝α，其中α为锐角：（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．【解答】解：（1）点A（﹣m sinα，m cosα+），∴m cosα+＝（﹣m sinα）2，即m2sin2α﹣m cosα﹣＝0．∵m＞0，∴m＝|AF|＝；（2）同理：|BF|＝，|DF|＝，|CF|＝．“蝴蝶形图案”的面积S＝S△AFB+S△CFD＝，令t＝sinαcosα，t∈（0，]，S＝＝（﹣），，∴＝2，S min＝，此时．21．（16分）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）有，则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当f（x）＝x2时，判断函数f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．【解答】（1）解：f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]＝（x1+x2）2﹣（x12+x22）＝2x1x2∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0时，f （x）不是V形函数；（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）＝lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2）2+2≥0，显然成立，∴假设正确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是对数V形函数．。
上海市2016届高三数学3月月考试题理
8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为 3 ，侧棱长为 2， 则该
球的表面积为_________.
9.
已知
f (x) ln(x
4 x
a)
，若对任意的
m
R
，均存在
x0
0 使得
f (x0 ) m ，则实数 a 的
取值范围是
．
10.直线 y=k(x 1)(k 0) 与抛物线 y2 =4x 相交于 A, B 两点，且 A, B 两点在抛物线的准线
如图，在直三棱柱
ABC
A1B1C1
中，
BAC
2
，
AB
AC
2
，
A1
B1
AA1 6 ，点 E、F 分别在棱 AA1、CC1 上，且 AE C1F 2 ．
C1
（1）求四棱锥 B AEFC 的体积；
F
（2）求 BEF 所在半平面与 ABC 所在半平面所成二面角 的余弦值．
E
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第（1）小题满分 6 分，
作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每 个空格填对 4 分，否则一律得零分．
1. 已知集合 A x y lg x , B x x2 2x 3 0 ，则 A B _______________.
2.复数 (1 i)(1 ai) 是实数，则实数 a =_______________.
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！
高一下三月月考试题及答案.doc
1.在△ ABC 中,Q , b, c 所对的角分别为A, A. V3 B. V2 C. 1 人=乌8=三，则8等于（ 4 6D.笠 2 数列…的一个通项公式a,是 B. — C. 2〃 + 1 2〃一3 函数 f (x) = sin(x + 45°) + sin(45° D . D.2V2 4. 已知｛□〃｝为等差数列，且= 2% -1,。
2 =。
，则公差d = C. -1 2 A.1 C.2 A. 1 B. -1 5. 等比数列｛q ｝中，公比q 是整数，％+% = 18,角+% = 12 , A.514 B. 513C. 512 6,在 ZiABC 中，内角 A, £ 2 此数列的前8项和为（ D . D. 510的对边分别是a, b, A. 30°B.60° C. 120° D. 150° A. -[(1 + P )，-(1 + p)]B.P2弓， 10.数列｛勺｝满足o…+1 = <2% -1,。
(10<a n < —n 2 — <a n <\2c.为顷- (5若。
1 ='，则 a 20ll =D. Q (l+A. §7B.AC .D .一、选择题（每题5分，共50分）sinC = 2jisinB ,贝I] A=()7. 若 0 且 cos （a +月, 那么 cos 2a 的值是（）63 63 33 56 免 13 A,— B,——c.— D,— 或 --- 65656565 658. 在Z\ABC 中，A = 60',AB = 2,且其面积S MBC =^~ ,则边BC 的长为 （）A. V3B. 3C. V7D. 79, 某人从2005年起，每年1月1日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保 持不变，并约定每年到期均进行自动转存（即本金和利息一起计入下一年的本金）, 到2011年12月31日将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数（元）为（）a ] + 8d— —2, 8a 】+ 28d — 2解：（1） Va 9=-2,二、填空题(每题5分，共25分) 11.在数列｛%｝中，已知且叫=1,贝 >]心=「12. sin 4 22.5°-cos 4 22.5° =13. 已知 tan| — + a\ = 2, 则 ----------- - ----- - - 的值为—<4 ) 2sinizcos« + cos _a 314. 某海上缉私小分队驾驶缉私船以40km/h 的速度山A 处出发，沿北偏东60°方向 航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45。
上海市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．若扇形圆心角为135°，扇形面积为，则扇形半径为______. 3π【答案】【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则3π4r 213π3π,24S r r =⨯==故答案为：2．在中，，则______. ABC A 2,60BC AC B ==∠=︒A ∠=【答案】90︒【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以sin sin BC AC A B =22sin A ==sin 1A =90A ∠=︒故答案为： 90︒3．，则__.tan 3α=sin cos sin cos αααα-=+【答案】## 120.5【分析】弦化切求解. 【详解】.sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++故答案为：124．已知函数，则方程的解________34()log (2)f x x=+1()4f x -=x =【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足的值，即求的值． 1()4f x -=x (4)f 【详解】由题意得值即为的值， x (4)f 因为， 34()log (2)f x x=+所以，34(4)log (2)14f =+=所以. 1x =故答案为.1x =【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点，则反函数过点，考查对(,)x y (,)y x 概念的理解和基本运算求解能力.5．已知，是第三象限角，则_____.3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=βπsin 4β⎛⎫-= ⎪⎝⎭【分析】先利用两角和的正弦公式将条件变形得到，根据角所在象限可得，再利用两角sin βcos β差的正弦公式将展开计算即可.πsin 4β⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】由已知， 3sin()cos cos()sin sin()sin()sin 5αβααβααβαββ---=--=-=-=，又是第三象限角，3sin 5β∴=-β，4cos 5β∴==-.πππ34sin sin cos cos sin 44455βββ⎛⎫∴-=-=-+= ⎪⎝⎭. 6．已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是__________． ()231x f x x -=+P P 【答案】；()1,2-【分析】由题意，对函数进行简化，可得，即可求得点的坐标. ()235211x f x x x --==+++P 【详解】， ()235211x f x x x --==+++函数的图像关于点中心对称， ()231x f x x -=+P 点的坐标是.∴P ()1,2-故答案为：()1,2-【点睛】本题主要考查函数的中心对称点，对于分式形式可采用分离参数法求解，属于基础题.7．已知函数，则的最小正周期为______．()22sin sin ,6f x x x x π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭R ()f x 【答案】π【分析】利用倍角公式以及辅助角公式变形为的形式，进而可得周期.()sin y A ωx φ=+【详解】 ()22ππ1cos 2cos 2cos 21cos 233sin sin 6222x x xx f x x x π⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭=--=-= ⎪⎝⎭，ππcos 2cos sin 2sin cos 21π33sin 2226x x x x +-⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为. ()f x 2ππ2=故答案为：.π8．函数的最小值是__________． 2cos sin 2y x x =-+【答案】1【分析】化简可得，根据的范围结合二次函数的性质，即可求出函数的2113sin 24y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭sin x 最小值.【详解】，22cos sin 21sin sin 2y x x x x =-+=--+2113sin 24x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为，，根据二次函数的性质可知， 1sin 1x -≤≤当时，函数有最小值为.sin 1x =2min 1131124y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭故答案为：1.9．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 0x >0y >2282y xm m x y+≥+m 【答案】[]4,2-【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.28y xx y +2min 282y x m m xy ⎡⎤+≥+⎢⎥⎣⎦【详解】，，0x >0y >，当且仅当，即时等号成立， 288y x x y ∴+≥=28y x x y =2y x =，解得.228m m ∴+≤42m -≤≤故答案为：.[]4,2-10．已知满足，当，，若函数()f x ()(8)f x f x =+[0,8)x ∈()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.2()()()1g x f x af x a =+--[8,8]x ∈-a 【答案】(9,5)--【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的[8,8]x ∈-图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，()f x ()(8)f x f x =+()f x结合，作出函数在上的图象，如图示： ()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩[8,8]x ∈-因为，[][]2()()()1()1()(1)g x f x af x a f x f x a =+--=-++故时，即或，()0g x =()1f x =()(1)f x a =-+则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不()g x [8,8]x ∈-()f x 1,(1)y y a ==-+同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，1y =()f x 则和的图象需有2个不同的交点，即， (1)y a =-+()f x 4(1)8a <-+<故，95a -<<-则实数的取值范围为， a (9,5)--故答案为：(9,5)--【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.二、单选题11．设，则“”是“”的（ ） x R ∈<2x -20x x +≥A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断充分必要性即可． 【详解】由“”，解得：或， 20x x +≥0x ≥1x ≤-故“”是“或”的充分不必要条件， <2x -0x ≥1x ≤-故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． 12．已知曲线，，则下面结论正确的是（ ） 12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2:sin C y x =A ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长2C π3度，得到曲线1C B ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长2C 2π3度，得到曲线1C C ．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长2C 12π3度，得到曲线1C D ．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长2C 122π3度，得到曲线 1C 【答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线，把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到2:sin C y x =2C 12曲线，sin 2y x =再把曲线向左平移个单位长度，得到曲线，即曲线.sin 2y x =π3π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1C 故选：C.13．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ． D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误； π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-D 正确. 故选：D.14．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭次为A ，B ，C ，且是钝角三角形，则的取值范围是（ ） ABC A ωA ． B ．C ．D ． ⎫+∞⎪⎪⎭π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭π0,4⎛⎫⎪⎝⎭⎛ ⎝【答案】D【分析】画出两函数图象，求出A ，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案. 【详解】作出函数和的图象，如图所示．由图可()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭知．取的中点D ，连接，则．因为是钝角三角形，所以2πAC ω=AC BD BD AC ⊥ABC A ，则，即．由，得π4ABD ∠>tan 1AD ABD BD ∠=>AD BD >ππ2sin 2sin 36x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，即，，则π2ππ3π6x x k ωω-++=+k ∈Z 7ππ12x k ω=+k ∈Z ，即A，故．因为π7ππ2sin 2sin π3123y x k ω⎛⎫⎛⎫=-=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BD =，所以．AD BD >πω>ω<故选：D三、解答题15．已知.sin(π)cos 2()3πcos tan(π2π)f ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.162πf α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) ()cos f αα=-(2)12-【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简； （2）直接利用倍角公式求解.【详解】（1）；sin(π)cos sin sin sin sin 2()cos sin 3πsin tan sin cos tan(π)co 2πs f ααααααααααααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭====--⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）得，1cos 662ππf αα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos 62πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.2211cos 22cos 1213226ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16．已知函数．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递减区间； ()f x (2)求在区间上的最值．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)π5π,ππ,Z 36k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2) ()()max min 2f x f x ==-【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可. π26x -【详解】（1）因为，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，， ππ32π2π2π262k x k +<-<+Z k ∈解得，， π5πππ36k x k +<<+Z k ∈所以的单调递减区间为.()f x π5π,ππ,Z 36k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭（2）令，由知，2π6x t -=ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以要求在区间上的最值，即求在上的最值，()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2sin y t =2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦当时，，当时，π2t =-min π2sin 22y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭π3t =max π2sin 3y ==所以.()()max min 2f x f x ==-17．如图，是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A 点北偏东,A B (15145°，B 点南偏东30°的C 处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B 点正西方向且与B 点相距50海里的D 处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时.(1)求两点间的距离；,B C (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C 处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） cos21.790.93= 【答案】(1)30海里 (2)南偏东；小时 68.21 1.75【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案；ACB∠（2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出DBC ∠CD 的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.cos BDC ∠【详解】（1）依题意得，， 45,30BAC ABC ∠∠=︒=︒(151AB =所以， )180(180(4530)105ACB BAC ABC =-+∠=-+=∠∠ 在中，由正弦定理得ABCA ,sin sin sin 45BC AB BC BAC ACB ︒==∠∠∴, 1sin105sin 75sin(452)30︒︒︒==+=+=故（海里），30BC ==所以求两点间的距离为30海里.,B C （2）依题意得，9030120,50DBC DBA ABC BD ∠=+==∠+∠=在中，由余弦定理得， DBC △222503025030cos1204900CD ⨯⨯=+-⨯= 所以（海里），70CD =所以救搜船到达C 处需要的时间为小时，7040 1.75÷=在中，由余弦定理得 ,DBC △22222250703013cos 0.9322507014BD DC BC BDC BD DC +-+-∠===≈⨯⨯⨯⨯因为， 090,cos21.790.93BDC ︒<∠<︒= 所以，21.79BDC ∠≈ 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒9021.7968.21-= 18．已知、是函数，图像的两个端点，是上任意一点，过A B ()y f x =[],x a b ∈(),M x y ()f x 作轴交直线于，若不等式恒成立，则称函数在上“阶段(),M x y MN x ⊥AB N MN k ≤()f x [],a b k 性近似”.（1）若，，证明：在上“阶段性近似”； ()1f x x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12（2）若在上“阶段性近似”，求实数的最小值.()2f x x =[]1,2-k k 【答案】（1）证明见解析（2）94【分析】（1）根据对勾函数的图像与性质，得到，，满足，进而得()1f x x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12MN ≤到答案.（2）由已知可得N 和M 的横坐标相同，根据以及221992244MN x x x ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭[]1,2x ∈-，求出的范围，再由恒成立，求得实数的取值范围.MN MN k ≤k 【详解】解：（1）证明：由题意得、可知的方程为：，15,22A ⎛⎫⎪⎝⎭52,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 52y =又是上任意一点，由已知得点和点的横坐标相同，(),M x y ()f x N M ，， 51522MN y x x =-=+-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又时，在上单调递减，在上单调递增，，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x x +1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2152,2x x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，15515122222MN x x x x ⎛⎫=+-=-+≤-= ⎪⎝⎭∴即满足在上“阶段性近似”； 12MN ≤()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12（2）由题意得、，直线的方程是：()1,1A -()2,4B AB ()()411121y x --=+--整理得，2y x =+，，22M N MN y y x x =-=--[]1,2x ∈- 220x x --≤221992244MN x x x ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭又在上“阶段性近似”，即，()2f x x =[]1,2-k MN k ≤，所以实数的最小值是.94k ≥∴k 94【点睛】本题考查的是函数的新定义、直线的点斜式方程以及不等式恒成立，属于中档题.。
上海市外国语大学附属外国语学校2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(word版含答案)
2016学年上外附中高一年级下学期期中数学试卷2017.4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 若函数()231,3log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()9f f = .2. 函数()()log 230,1a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点_________.3.若cos α=2tan α= . 4.135 的圆心角所对的弧长为3π，则圆的半径是 .5．已知11sin ,sin 32αβ==，则()()sin sin αβαβ+⋅-= . 6.已知5sin 13θ=-，且θ是第三象限角，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 7.已知角α的终边在13y x =上，则sin α= . 8.已知1sin cos 2αα+=-，则22tan co t αα+= . 9.若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 . 10.若tan 2α=，则222sin sin cos cos αααα-+= .11.设函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，且函数()y x f x =-的图象经过点()2,5，则函数()13y f x -=+的图象一定过点 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，那么()cos10f = . 13.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为 .14.设,αβ为锐角，且满足()22sinsin sin αβαβ+=+，则αβ+= . 15.已知225sinsin 3sin αβα-+=，则函数22sin sin y αβ=+的最小值为 .二、选择题16．下列4个命题中：（1）存在()0,x ∈+∞，使不等式23x x<成立；（2）不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；（3）任意的()0,x ∈+∞，使不等式2log 2x x <成立；（4）任意的()0,x ∈+∞，使不等式21log x x <成立.其中正确的命题个数是（ ） A. （1）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） D.（2）（4）17．角α的终边在第三象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限 A. 一 B. 二C. 三D. 四 18．tan ,tan αβ是一元二次方程240x ++=的两根，,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么()cos αβ+等于（ ）B. C. 12- D.1219．若定义在()(),11,-∞+∞ 上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，()231x f x x -=-则下列结论中正确的是（ ） A.存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 B. 存在t R ∈，使()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 C. 存在t R ∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 D. 存在t R +∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 20．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()1122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ()3,-+∞B. (]3,3-C. [)3,3-D. (),3-∞三、解答题21.已知()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求β的值.22.已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两根322πθπ<<，求角θ.23.扇形AOB 的中心角为2,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？24. 设函数()()0,1x x f x ka a a a -=->≠是奇函数.（1）求常k 数的值；（2）若()813f =，且函数()()222x x g x a a mf x -=+-在区间[)1,+∞上的最小值为-2，求实数m 的值.25.若函数()f x 的定义域为R,满足对任意12,x x R ∈，有()()()1212f x x f x f x +≤+,则称()f x 为“V 形函数”.若函数()g x 定义域为R ，恒大于0，且对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212lg lg lg f x x f x f x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否是“V 形函数”并说明理由； （2）当时()52xg x =+判断()g x 是否是“对数V 形函数”，并说明理由； （3）若函数()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈都有()2f x ≥，问()f x 是否是“对数V 形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.参考答案一、填空题1、52、(3,3)3、24、45、536-6、 7、 8、469 9、13 10、75 11、()3,5- 12、217π- 13、27 14、2π 15、0二、选择题16. A 17. B 18. C 19. C 20. B三、解答题21、3π22、53π23、sin θ为13时，圆2O 的面积最大，最大值是64π 24、（1）1k =；（2）2512m =25、（1）不是，理由略；（2）是，理由略；（3）是，理由略。
上海外国语大学附属外国语学校2016-2017学年高一下学期3月月考数学卷含答案bybao
2016学年上外附中高一年级第二学期数学月考试卷2017.4一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 计算lg0.72lg20172-⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ .2. 已知23log 7,log 2a b ==，用a ，b 表示28log 63= .3。
已知3log 14a <，则实数a 的取值范围是。
4。
函数()()()24log 13f x x x =+-≥的反函数为 。
5．已知函数()1313x x f x -=+,则145f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 6。
方程()21log 3722x x x ---=的解为 。
7。
若方程()96340x x a +-+=的根为,αβ,则αβ+= 。
8.把()1y f x -=的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位，得到函数2x y =的图象，则函数()f x 的解析式为 . 9。
函数()()21log 322x x y -=-的定义域为 . 10。
函数()213log 65y x x =-+的单调递减区间为 .11.已知函数2x y x a -=+的图象关于直线y x =对称，则a = . 12.若函数()21y f x =-的图象经过点()1,2P ，则函数()121y f x -=-的反函数必经过点为 。
13.设定义在R 上的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是为 .14。
设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,若()106214lg2f a b ++=，则实数a = ，b = .二、选择题: 15．已知0m >，且()110lg 10lg x m m =+，则x 的值为 A. 2 B 。
1 C 。
0 D 。
—1 16．如果方程()2lg lg6lg lg2lg30x x ++⋅=的两个根为12,x x ，则12x x ⋅的值是 A 。
高一数学下册3月月考试题
高一数学下册3月月考试题高一数学下册3月月考试题_.03.08一.填空题:1．在等差数列{an}中,已知a5＝10,a12＝31,则首项是_______－2,公差是_______3.2．在△ABC中,已知A＝1050,B＝300,b＝2,则c等于___________ 43．在△ABC中,若sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinB·sinC,则角A=________4．在△ABC中,已知a＝7,b＝8,cosC＝,则最大角的余弦值是________-5．在中,,,,则的面积为____________ 6．在△ABC中,若∠B＝30°,AB＝2,AC ＝2,则△ABC的面积是________2或7． a.b.c为△ABC的三边,其面积S△ABC＝12,bc＝48,b－c＝2,则a=______2或28．在△ABC中,若b＝2csinB,则∠C＝________30°或150°9．已知△ABC的面积为,且b＝2,c＝,则∠A＝__________60°或120°10．在△ABC中,若AB＝,AC＝5,且cosC＝,则BC＝__________4或511．在△ABC中,a.b.c分别为A.B.C的对边,,则△ABC的形状为______直角三角形12．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N_)且f(2)＝2,则f(101)＝_______－13．若三角形中有一个角为60°,夹这个角的两边的边长分别是8和5,则它的内切圆半径等于________ 外接圆半径等于________分析:设60°的角的对边长为_,外接圆半径为R,内切圆半径为r,则_2＝82＋52-2_8_5_cos60°＝49,∴_＝7∵7＝2Rsin60°,∴R＝∵S△ABC＝_8_5_sin60°＝_r_(8＋5＋7),∴r＝二.解答题:14．已知数列{an}为等差数列,a3＝,a7＝－,求a15的值.利用通项公式,设数列{an}的首项为a1,公差为d则解之得a15＝a1＋14d＝＋14_(－)＝－15．已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.解:设此三数分别为_－d._._＋d则解得_＝5,d＝±2.∴所求三个数列分别为3.5.7或7.5.3.16．数列通项公式为an＝n2－5n＋4,问(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(1)由an为负数,得n2－5n＋4_lt;0,解得1_lt;n_lt;4.∵n∈N_,故n＝2或3,即数列有2项为负数,分别是第2项和第3项.(2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－,∴对称轴为n＝＝2.5又∵n∈N_,故当n＝2或n＝3时,an有最小值,最小值为22－5_2＋4＝－2.17．△ABC中,D在边BC上,且BD＝2,DC＝1,∠B＝60o,∠ADC＝150o,求AC的长及△ABC的面积．在△ABC中,∠BAD＝150o－60o＝90o,∴AD＝2sin60o＝．在△ACD中,AD2＝()2＋12－2__1_cos150o＝7,∴AC＝．∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝_1_3_sin60o＝．18．在△ABC中,已知a＝,b＝,B＝45°,求A,C及c.解:∵＝,∴sinA＝＝＝∵b＜a且b＞asinB∴A有两解:A＝60°或120°.(1)当A＝60°时,C＝180°－(A+B)＝75°c＝＝＝(2)当A＝120°时,C＝180°－(A+B)＝15°c＝＝＝.19．在△ABC中,a.b.c分别是角A.B.C所对的边长,若a2＋c2＝b2＋ac且＝,求角C的大小.【解】由a2＋c2＝b2＋ac得:cosB＝＝＝,所以,B＝60°又∵＝∴＝＝＝cotC＋＝∴cotC＝1,C＝45°.20．一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.28．解: 设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过小时后在B处追上, 则有,所以所需时间2小时,。
上海市2016_2017学年高一数学下学期期中试卷(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第象限．2． = ．3．若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a= ．4．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8= ．5．在△ABC中，，，则= ．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．9．无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{1，3}，则k的最大值为．10．在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．已知，，，则β=（）A． B．C．D．12．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第二象限．【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】判断角的范围，即可得到结果．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2． = ﹣．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解： =cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a= ±4 ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得最大值．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8= 8 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．在△ABC中，，，则= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC的值，结合C的范围可求C，利用三角形内角和定理可求B，由正弦定理及比例的性质即可计算得解．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得： =，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．方程3sinx=1+cos2x的解集为．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinx=，由此求得x的取值范围．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，∴x∈，故答案为：．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（﹣θ）及cos（﹣θ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴﹣+2kπ＜θ＜2kπ，则﹣+2kπ＜θ+＜+2kπ，k∈Z，又sin（θ+）=﹣，∴cos（θ+）==．∴cos（﹣θ）=sin（θ+）=﹣，sin（﹣θ）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（﹣θ）=﹣=．故答案为：．9．无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{1，3}，则k的最大值为 4 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】根据a1∈{1，3}，a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），即可得出结论．【解答】解：∵对任意n∈N*，S n∈{1，3}，∴a1=S1∈{1，3}，∴a1=1或a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∴a n可能的值只有0，2，﹣2，三种情况，故数列{a n}最多有1，0，2，﹣2，或3，0，2，﹣2四个数字组成，故答案为4．10．在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，进而得到tanB+tanC=3tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t ＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．已知，，，则β=（）A． B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α﹣β），cosα，进而由sinβ=﹣sin，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先，根据图形，得到振幅A=2，然后，根据周期公式，得到ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（，2）代入，解得φ，最后，得到f（x）．【解答】解：据图，A=2，，∴T=π，∵T=，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），将点（，2）代入上式，得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；故选A．13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；（2）由（1）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出b n，使用分项求和法和平方差公式计算．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴b n+1﹣b n=1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据tanx有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f（x），得出f（x）的周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z．∩=，[+kπ， +kπ]∩=，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】（1）两边取正切列方程解出x，从而可求出arccos的值；（2）两边取正切得出tana关于x的函数，利用不等式得出tana的范围，从而得出a的范围；（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时， =arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x+≥2或4﹣x+≤﹣2，∴0＜tana≤或≤tana＜0，综上，≤tana≤，∴a∈．（3）由（2）知=tana在上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得﹣＜tana＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜2，方程在上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana＜﹣，又，解得tana≤﹣，综上，﹣＜tana≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．。
上海市高一下学期数学3月月考试卷
B .
C .
D .
10. （5分） 在 中，若 ， 则 的外接圆半径是（ ）
A .
B .
C .
D .
11. （5分） 将函数y=sin(x+ )图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个பைடு நூலகம்位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ）
A . x=-
B . x=-
C . x=
D . x=
15. （5分） (2018高二下·甘肃期末) 若 ，则 的值为________.
16. （5分） 设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为________
三、 解答题 (共6题；共70分)
17. （10分） (2019高一上·蚌埠月考) 已知 ，且 .
（1） 求 的值；
（2）
若sinC-sinAcosB= ，且B为钝角，求A,B，C
20. （12分） 已知函数f（x）=sinx﹣cosx，f′（x）是f（x）的导函数，求函数t（x）=2f（x）f′（x﹣1）的值域和对称轴．
21. （12分） (2019高三上·铁岭月考) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
2. （5分） (2016高一下·仁化期中) 与角﹣463°终边相同的角为（ ）
A . K•360°+463°，K∈Z
B . K•360°+103°，K∈Z
C . K•360°+257°，K∈Z
D . K•360°﹣257°，K∈Z
3. （5分） (2016·太原模拟) 已知D是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（ ）
上海市上海外国语附属外国语学校高一下学期3月月考数学试题(解析版)
上海市上海外国语附属外国语学校高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．函数()2x xe ef x --=的反函数 （ ）A ．是奇函数，它在(0, ＋∞)上是减函数B ．是偶函数，它在(0, ＋∞)上是减函数C ．是奇函数，它在(0, ＋∞)上是增函数D ．是偶函数，它在(0, ＋∞)上是增函数 【答案】C【解析】判断出原函数的单调性和奇偶性，由此判断出其反函数的单调性和奇偶性. 【详解】原函数的定义域和值域都为R ，由于()()2x xe ef x f x ---=-=-，故函数为奇函数.由于x 增大时，xe 和1x e-都递增，所以()122xx x x e e e e f x ---==为R 上的增函数.根据原函数和反函数奇偶性相同，对应区间上的单调性相同可知()f x 的反函数是奇函数，它在()0,∞+上是增函数，故选C. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查反函数与原函数单调性和奇偶性的关系，属于基础题.2．函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（ ）A．a <<B．72a <<C ．732a << D．3a <<【答案】D 【解析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数， 故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立， 即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x=+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a << 故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．3．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数5log y x =的图像交点个数为（ ） A ．2 B ．6C ．8D ．多于8【答案】C【解析】先利用周期性画出函数()f x 的图象，再利用对数函数的图象及函数的对称性画出5log ||y x =的图象，数形结合即可得解 【详解】解：(2)()f x f x +=Q ，∴函数()f x 是周期为2的周期函数．(]1,1x ∈-Q 时，()||f x x =，∴函数()f x 的图象与函数5log ||y x =的图象如图：5x =±Q 时，5log ||1y x ==∴由图数形结合可得函数()y f x =的图象与函数5log ||y x =的图象交点个数是8个． 故选：C ．【点睛】本题考查了函数的周期性、对称性及其意义，对数函数的图象，数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题4．已知()3131-=+x x f x ，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【解析】根据互为反函数的两个函数的性质计算可得； 【详解】解：因为()3131-=+x x f x 与()1f x -互为反函数，则()311312x x f x -==+解得1x =即()112f =，则1112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：1 【点睛】本题考查反函数的性质，若点(),x y 在原函数上，则(),y x 在反函数上，属于基础题. 5．若0a >，1a ≠，0x y >>，*n N ∈，则下列各式： （1）()log log na a x n x =；（2）()log log nn a a x x =；（3）1log log a ax x=-；（4）log log log a aa x xy y=； （51log a x n=； （6）log log a axn=（7）log log n na a x x =； （8）log log aa x y x yx y x y-+=-+- 其中正确的是__________. 【答案】（3）（6）（7）（8）【解析】根据对数的运算及对数的性质判断可得； 【详解】根据对数的性质,(m na a nlog b log b m n m∈R ＝，且0)m ≠ 11log log log a a a x x x --=-=，1log log log a n a a x x n==，log log log n n a a a x x x nn==， 1log log log a a ax y x y x y x y x y x y -⎛⎫-++==- ⎪+--⎝⎭，而log log log a a a x x y y =- 故正确的有：（3）（6）（7）（8） 故答案为：（3）（6）（7）（8） 【点睛】本题考查对数的性质的应用，关键是熟练的记忆公式，属于基础题.6．函数()22log 23y x x =+-的定义域是________.【答案】(()[),1132,-∞---+∞U U【解析】根据要使函数有意义，再对数函数的真数大于零，分母不为零，偶次根式的被开方数大于等于零，得到不等式组，解得； 【详解】解：因为2log 23y x x =+-所以22240,230,231,x x x x x ⎧-≥⎪+->⎨⎪+-≠⎩①②③解①得2x ≥或2x -≤；解②得1x >或3x <-；解③得1x ≠-+1x ≠--综上可得，<1-x13x -<<-或2x ≥，即(()[),1132,x ∈-∞----+∞U U故答案为：(()[),1132,-∞----+∞U U 【点睛】本题考查具体函数的定义域的计算，一元二次不等式的解法，属于中档题. 7．函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -=_______.【答案】()133og 2l fx -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞【解析】首先求出原函数的值域即反函数的定义域，再用y 表示x ，从而得到()1f x -.【详解】 解：()221573912333123432x xxx x y +⎛⎫=+-=⋅+-- ⎪⎭+=⎝因为30x >，所以12y >-2325734x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∴332x ∴+=233x ∴=33log 2x ⎫∴=⎪⎪⎭()3132log x f -⎫⎪⎪⎭∴=，()12,x ∈-+∞ 故答案为：()133og 2l f x -⎫⎪⎪⎭=，()12,x ∈-+∞【点睛】本题考查反函数的计算，指数型函数的值域，属于中档题.8．己知()22log ,(0,),(1,0]2(,1]x x x f x x x x ⎧∈+∞⎪=∈-⎨⎪-∈-∞-⎩，则(()()2f f f -=_______.【答案】4-【解析】利用分段函数解析式，代入计算，即可得出结论． 【详解】解：()22log ,(0,),(1,0]2(,1]x x x f x x x x ⎧∈+∞⎪=∈-⎨⎪-∈-∞-⎩Q(2212224f --∴-=-=-=-(()211124416f f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(()()()4221112log log 2441616f f f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：4- 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．9．已知x 、y 、z 都是大于1的实数，0m >且log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为______.【答案】60【解析】利用换底公式可得出1log 24m x =，1log 40m y =，()1log 12m xyz =，然后利用对数的运算性质可得出log m z ，然后利用换底公式可得出log z m 的值. 【详解】log 24x m =Q ， log 40y m =， log 12xyz m =，11log log 24m x x m ∴==，同理可得1log 40m y =，()1log 12m xyz =， ()1111log log log log 12244060m m m m z xyz x y ∴=--=--=，因此，1log 60log z m m z==.故答案为60. 【点睛】本题考查对数的运算，考查换底公式的应用，解题时要熟悉换底公式推论的应用，考查计算能力，属于中等题.10．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 【答案】[)6,+∞【解析】由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+…，得到2224x xy y xy ++…，所以2()4x y xy +„，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围． 【详解】解：Q 正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+， 22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+…， 所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++…， 所以2()4x y xy +„，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++„，设x y a +=即2412a a +„，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．11．如果函数()()2log 3a a f x x x =-+在区间[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()11,1,168⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U【解析】先根据复合函数的单调性确定函数2()3g x ax x =-+的单调性，进而分1a >和01a <<两种情况讨论．【详解】解：令2()3(0,1)g x ax x a a =-+>≠，对称轴为12x a=当1a >时，()g x 在[2,4]上单调递增，∴(2)01221g aa >⎧⎪⎪⎨⎪>⎪⎩„即42301221a a a -+>⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩解得1a > 当01a <<时，()g x 在[2,4]上单调递减，∴01(4)0142a g a ⎧⎪<<⎪>⎨⎪⎪⎩…即0116430142a a a ⎧⎪<<⎪-+>⎨⎪⎪≥⎩解得11168a <≤ 综上所述：1a >或11168a <≤即()11,1,168a ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦U故答案为：()11,1,168⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和对数函数的真数一定大于0．属于中档题． 12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)(1,)-??【解析】根据函数奇偶性的性质,利用对称性即可得到结论. 【详解】()f x Q 是R 上的奇函数, (0)0f ∴=,设0x <,则0x ->,Q 当(0,)x ∈+∞时,()lg f x x =，()()()f x lg x f x ∴-=-=-, ∴当(,0)x ∈-∞时,()lg()f x x =--,lg ,0()0,0(),0x x f x x lg x x >⎧⎪∴==⎨⎪--<⎩.若0x >,由()0f x >得,0lgx >,此时1x >, 若0x <,由()0f x >得,()0lg x -->,即()0lg x -<,此时2x -4x m 0+=,解得10x -<<, 综上:10x -<<或1x >.即不等式的解集为{|10x x -<<或1}x >.本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式的解法,利用函数的奇偶性求出函数的表达式是解决本题的关键.13．不论a 为何值，函数(1)22xay a =-⋅-的图像恒过一定点，这个定点的坐标是_____. 【答案】11,2⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】由已知中，不论a 为何值时，函数(1)22x ay a =--的图象恒过一定点，我们可将函数的解析式变形为12(2)02x xa y ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭的形式，则根据1202x -=，20x y -=，构造一个关于x ，y 的方程，解方程即可求出定点坐标． 【详解】解：函数(1)22x a y a =--的解析式可化为12(2)02x xa y ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭的若不论a 为何值时，函数(1)22x ay a =--的图象恒过一定点， 即不论a 为何值时，12(2)02x xa y ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭恒成立则1202x -=，20x y +=解得1x =-，12y =-，即恒过的定点坐标是11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故答案为：11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象过定点，处理的方法是将函数的解析式化成两部分：一部分含参数，一部分不含参数，让两部分的系数均为0，构造方程组，属于基础题． 14．设14log 7a =，145b =，则35log 28=_____.（用,a b 表示） 【答案】2aa b-+ 【解析】根据指数和对数的关系，对数的运算及对数的性质计算可得； 【详解】 解：因为145b = 14log 5b ∴=又14log 7a = 14141414141435141414141428214147142log 28355757log log log log log log alog log log log log a b+-+-∴====+++故答案为：2aa b-+ 【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式的应用，属于基础题． 15．若函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，则实数k 的取值范围是____.【答案】[)2,3-【解析】依题意，令()()()25224g x k x k x =++++，利用()0g x >恒成立即可求得实数k 的取值范围 【详解】解：Q 函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ， 令()()()25224g x k x k x =++++， 则()0g x >恒成立，当20k +=即2k =-时，()54g x =大于零恒成立，满足条件； 当20k +≠，则()()220524204k k k +>⎧⎪⎨+-⨯⨯+<⎪⎩解得23k -<<综上可得23k -≤<，即[)2,3k ∈- 故答案为：[)2,3- 【点睛】本题考查函数恒成立问题，着重考查对数函数的定义域，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题16．已知函数()1x x a f b-=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1f x -=____.【答案】14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞．【解析】函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)，则()13f =．1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，试求函数1(4)2f a -+=．根据两个方程，求出参数a 、b ．再根据求反函数的方法，求出反函数即可． 【详解】解：Q 函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图象经过点(1,3)， ()013f a b ∴=+=，03312a b =-=-=．又函数1()(0)f x a a -+>的图象经过点(4,2)，1(4)2f a -∴+=． ()24426f a ∴=+=+=， 即2126b -+=．4b ∴=．故1()24x f x -=+．再求其反函数即得14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞． 故答案为：14()log (2)1f x x -=-+，()2,x ∈+∞． 【点睛】本题考查反函数的一个重要性质，若()1f a b -=则()f b a =，要灵活使用该性质．在求出反函数后，必须标明反函数的定义域，属于中档题．17．若()2311x x mx +≥-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_____.【答案】[]6,2-【解析】把不等式化为2(3)10m x mx -++…，利用判别式列出不等式组，求出m 的取值范围． 【详解】解：不等式231(1)x mx x +-…可化为2(3)10m x mx -++…， 该不等式对任意的x ∈R 恒成立，当30m -=时，不等式化为310x +…，不满足条件； ∴300m ->⎧⎨∆⎩„，即234(3)0m m m <⎧⎨--⎩„，解得62m -剟，即[]6,2m ∈- 故答案为：[]6,2-． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及不等式的恒成立问题，属于基础题．18．定义在[2,2]-上的连续函数()f x 满足()()120182018f x f x -=，且在[0,2]上是增函数，若()[]24log log (2)f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先确定函数()f x 为奇函数，函数()f x 在[2,2]-上为增函数，从而不等式可化为关于m 的不等式组． 【详解】 解；由()()120182018f x f x -=得，()()201820181f x f x -⋅=，即()()20181f x f x -+= 即()()0f x f x -+=，故函数()f x 为奇函数，又函数()f x 的图象在[2,2]-上为连续不断的曲线，且在[0,2]上是增函数， 所以()f x 在[2,2]-上单调递增，所以不等式24(log )[log (2)]f m f m <+可化为24242log 22log (2)2log log (2)m m m m -⎧⎪-+⎨⎪<+⎩剟剟，解得124m <„即1,24m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，利用性质把不等式转化为关于m 的不等式组是解决问题的关键，属基础题．三、解答题19．22122123235x x x x++⋅+⋅=【答案】31log 2x =或0x = 【解析】将方程变形为()2222233235xx xx ⨯⋅+⨯⋅=，令223x x t =⋅，则23250t t +-=解出t ，再计算出x ； 【详解】解：因为22122123235x x x x++⋅+⋅=22222233235x x x x ∴⨯⋅+⨯⋅=()2222233235x x x x∴⨯⋅+⨯⋅=令223x x t =⋅，则23250t t +-=，解得1t =或53t =-（舍去） 2123xx ⋅=∴即()231xx ∴⨯=则0x =或213x ⨯=解得31log 2x =或0x = 【点睛】本题考查指数方程的计算，指数的运算，属于中档题.20．()1331log 31log 323xx -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 【答案】3log 10x =或34log 3x = 【解析】由()1331log 31log 323xx -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，可得()()33log 31log 3112x x ⎡⎤-⋅--=⎣⎦，令()3log 31xt =-，化为220t t --=，解得t 从而求出x .【详解】解：Q ()1331log 31log 323xx -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭()()133log 31log 3312x x-⎡⎤∴-⋅-=⎣⎦ ()()1333log 31log 31log 32x x -⎡⎤∴-⋅-+=⎣⎦ ()()33log 31log 3112x x⎡⎤∴-⋅--=⎣⎦令()3log 31xt =-，化为220t t --=解得2t =或1t =-所以()3log 312x-=或()3log 311x-=- 解得3log 10x =或34log 3x = 【点睛】本题考查对数方程的解法，对数的运算，属于中档题. 21．若()3log 3mx f x x -=+，设其定义域上的区间[,]αβ（0βα>>）. （1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当1m >时，判断函数在区间[,]αβ（0βα>>）上的单调性，并证明； （3）当01m <<时，若存在区间[,]αβ（0βα>>），使函数()f x 在该区间上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()f x 在[,]αβ（0βα>>）为增函数，证明见解析；（3）0m <<【解析】（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）由（1）得，当01m <<时，()f x 在[,]αβ为减函数，故若存在定义域[α，](0)ββα>>，使值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，则有3log log (1)33log log (1)3m m m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，从而问题可转化为α，β是方程(1)33m x x x --=+的两个解，进而问题得解． 【详解】解：（1）因为()3log 3mx f x x -=+由303x x ->+解得3x >或3x <-，即()f x 的定义域为()(),33,-∞-+∞U ，关于原点对称．Q ()1333log log log ()333m m m x x x f x f x x x x ---+-⎛⎫-====- ⎪-+-+⎝⎭()f x ∴为奇函数.（2）()f x 在[,]αβ（0βα>>）为增函数； 证明：()f x Q 的定义域为[,](0)αββα>>，则[,]αβ()3,+∞．设1x ，2[,]x αβ∈，则12x x <，且1x ，23x >， 121212121233(3)(3)()()log log log 33(3)(3)mm m x x x x f x f x x x x x ---+-=-=+++- 121212(3)(3)(3)(3)6()0x x x x x x -+-+-=-<Q ， 1212(3)(3)(3)(3)x x x x ∴-+<+-即1212(3)(3)01(3)(3)x x x x -+<<+-，因为1m >时，所以1212(3)(3)log 0(3)(3)mx x x x -+<+-，即12()()f x f x <，所以()f x 在[,]αβ（0βα>>）为增函数．（3）由（1）得，当01m <<时，()f x 在[,]αβ（0βα>>）为递减函数，∴若存在定义域[,]αβ（0βα>>），使值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，则有3log log (1)33log log (1)3m m m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩∴3(1)33(1)3m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩α\，β是方程(1)33m x x x --=+在(3,)+∞上的两个相异的根， ()(1)33m x x x ∴-+=-即()221330mx m x m +-+-=， 即()221330mx m x m +-+-=在(3,)+∞上的两个相异的根，令()()22133h x mx m x m =+-+-，则()h x 在(3,)+∞有2个零点，01,(3)0,213,2210,2m h m m m h m <<⎧⎪>⎪⎪-∴->⎨⎪⎪-⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩解得0m <<即当0m <<[],αβ=⎢⎥⎣⎦，1m <时，方程组无解，即[,]αβ（0βα>>）不存在． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题． 22．设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x ∈R 都有()()121f x f x +=-成立.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x gx -=+的值域.【答案】（1）()21xf x =+；（2）()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将0x =代入()f x ，解得b 的值；写出恒成立的不等式，令2a -等于0，求出a 的值．（2）写出()g x 的解析式，根据定义域求出值域，即反函数的定义域，再令21x y =+，利用y 表示x 即可求出()1gx -．（3）利用两个增函数的和函数为增函数；利用函数的单调性求出函数的最值． 【详解】解：（1）由(0)2f =，得1b =， 由(1)2()1f x f x +=-，得(2)0x a a -=，由0x a >得2a =， 所以()21x f x =+．（2）由题意知，当[2,2]x ∈-时，()()21x g x f x ==+．则()5,54g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令21x y =+，5,54y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则2log (1)x y =-，所以2log (1)y x =-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）()21xg x =+，[2,2]x ∈-，()()12log 1g x x -=-，5,54x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 两个函数的公共定义域是5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()1y g x g x -=+Q2log (1)21x y x ∴=-++，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由于函数()21x g x =+与()()12log 1gx x -=-在区间524⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上均为增函数， 因此当54x =时，5544min 25log 121214y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭，当2x =时，()2max 2log 21215y =-++=，所以函数()()1y g x g x -=+，5,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为5421,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、反函数的求法、利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．23．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]{}1,23,4U ．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】【详解】试题分析：（1）当5a =时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到11f t f t -+≤（）（），恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由21log 50x ＞⎛⎫+⎪⎝⎭，得151x +＞，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0得log 2（1x+a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0． 即log 2（1x+a ）＝log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]， 即1x+a ＝（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，① 则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1＝0， 即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]＝0，②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立 当a ＝3时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝﹣1或x 14a =-， 若x ＝﹣1是方程①的解，则1x+a ＝a ﹣1＞0，即a ＞1， 若x 14a =-是方程①的解，则1x+a ＝2a ﹣4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a ＝3或a ＝4． （3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减， 由题意得f （t ）﹣f （t +1）≤1， 即log 2（1t +a ）﹣log 2（11t ++a ）≤1，即1t +a ≤2（11t ++a ），即a ()12111t t t t t -≥-=++ 设1﹣t ＝r ，则0≤r 12≤， ()()()2111232t r rt t r r r r -==+---+，当r ＝0时，232rr r =-+0， 当0＜r 12≤时，212323r r r r r=-++-， ∵y ＝r 2r +在（0∴r 219422r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--， ∴实数a 的取值范围是a 23≥．【一题多解】（3）还可采用：当120x x ＜＜时，1211a a x x ++＞，221211log log a a x x ＞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,∞+上单调递减．则函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a ＞，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
上海市重点中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，若点的坐θx (,)P x y P 标为，则__． (3,4)-sin 2θ=【答案】## 2425-0.96-【分析】先利用角的终边定义三角函数值，然后再利用二倍角公式即可. 【详解】由题令，则3,4=-=xy5r ===所以，，4sin 5y r θ==3cos 5x r θ==-所以． 24sin 22sin cos 25θθθ==-故答案为：. 2425-2．已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为___________. 【答案】4【分析】设出扇形半径和弧长，列出方程组，求出，，进而求出扇形面积.2r =4l =【详解】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：，解得：，，所以该扇形r l 228l rr l =⎧⎨+=⎩2r =4l =的面积为1142422lr =⨯⨯=故答案为：4 3．已知，,则________. 2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=tan()4πα+=【答案】322【分析】由，再结合两角差的正切公式求解即可. ()()44ππααββ+=+--【详解】解：因为，, 2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=又，()()44ππααββ+=+--所以=，tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-213542122154-=+⨯故答案为. 322【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观()()44ππααββ+=+--察能力及运算能力，属中档题.4．函数的最大值为__．()cos28sin 2f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】9【分析】运用二倍角公式和诱导公式转化为二次函数求解【详解】，22()cos28sin 2cos 8cos 12(cos 2)92f x x x x x x π⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭因为，所以当时，取到最大值为9． cos [1,1]x ∈-cos 1x =-故答案为：95．已知菱形，若，，则向量在上的投影为_______.ABCD 1AB =3A π=AC AB【答案】32【分析】根据菱形中向量关系，求向量模长，再根据投影公式求投影.AC【详解】菱形ABCD 中，， AC AB AD =+2222()23AC AB AD AB AB AD AD ∴=+=+⋅+=向量在上的投影AC AB 3cos 62AC π== 故答案为：32【点睛】本题考查利用平面向量解决平面几何问题，以及投影公式. cos a θ 6．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的； 12②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍； 2③图象向右平移个单位长度； 3π④图象向左平移个单位长度；3π⑤图象向右平移个单位长度； 23π⑥图象向左平移个单位长度. 23π请用上述变换中的两种变换，将函数的图象变换为函数的图象，那么这两sin y x =sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭种变换正确的标号是__________.（按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可） 【答案】④②或②⑥【分析】可将函数按照“先平移，后伸缩”和“先伸缩，后平移”两类，按照伸缩规则和平移sin y x =规则得到，得到答案.sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【详解】按“先平移，后伸缩”得的图像的图像sin y x =sin 3y x π−⎛⎫=+ ⎪⎝−→⎭④1sin 23y x π⎛⎫−−→=+ ⎪⎝⎭②的图像，按“先伸缩，后平移”得的图像的图像sin y x =sin 2x y −−→=②的图像. 12sin sin 2323x y x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⑥故答案为④②或②⑥【点睛】本题考查正弦型函数的伸缩变换和平移变换，属于简单题.7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．π()sin()4f x x =-[,]a a -a 【答案】．π0,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用整体代换法求出函数的增区间，然后根据题意分析建立不等式组解出即可. 【详解】由， ()Z πππ2π2π242k k k x -≤-≤∈+得， ()Z π3π2π2π44k k k x -≤≤∈+即函数的单调增区间为，()π3π[2π,2πZ 44k k k -+∈因为在是增函数，所以区间过原点，且 ()f x [,]a a -0a >所以时，的增区间为，0k =()f x π3π[,]44-则满足，即，π43π4a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩π4a ≤所以实数的取值范围是a π0,4⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：.π0,4⎛⎤⎥⎝⎦8．若关于的不等式对任意恒成立，则所有满足条件的实数的取x 2sin 4cos 60x x αα⋅-⋅+≥x ∈R α值构成的集合为__．【答案】,π5π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【分析】对二次项系数进行讨论，分成与两种情况，当时，考虑二次函sin 0α=sin 0α≠sin 0α≠数的开口方向及一元二次方程根的判别式情况.【详解】当时，，不等式化简为，不恒成立，舍去，sin 0α=cos 1α=±460x ±+≥当时，则，即 sin 0α≠2sin 0Δ16cos 24sin 0ααα>⎧⎨=-≤⎩2sin 02sin 3sin 20ααα>⎧⎨+-≥⎩解得，1sin ,12α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则满足条件的实数的取值取值构成的集合为,．απ5π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 故答案为：,.π5π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 9．在中，，三角形面积，则与的夹角的范围________. ABC ∆6AC AB ⋅= S 3S <<AC AB【答案】64A ππ<<【分析】由得到，从而得到的范6AC AB ⋅= 6cos bc A =3S <<1sin 32bc A <<tan A 围，从而得到的范围A 【详解】因为在中，，ABC∆6AC AB ⋅=所以，即 cos6bc A =6cos bc A=因为三角形面积，S 3S <<，1sin 32bc A <<， tan 1A <<又因， ()0,A π∈所以64A ππ<<故答案为：64A ππ<<【点睛】本题考查向量的数量积，三角形面积公式，属于中档题.10．若在上是严格减函数，则实数的取值范围是__．π(31)tan 1,04()41πlog ,π24a a x x f x x a x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪++> ⎪⎪⎝⎭⎩[0,)+∞a 【答案】11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据分段函数在上是严格减函数，要求每一段函数是严格减函数，且当时分[0,)+∞π4x =别代入两段函数，左边界函数值大于等于右边界的函数值.【详解】已知函数在上是严格减函数，则在区间上是严格减函()f x [0,)+∞(31)tan 1y a x =-+π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦数，且在区间上是严格减函数，且当时分别代入两段函数，左边41log π2a y x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭π4x =界函数值大于等于右边界的函数值.则，所以．310011(31)12a a a a ⎧⎪-<⎪<<⎨⎪⎪-+≥+⎩11,43a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：.11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知函数的定义域为R ，且，当时，．若存在()f x ()()2f x f x π+=[)0,x Îp ()sin f x x =-，使得，则m 的取值范围为___________．(]0,x m ∈-∞0()f x ≤-【答案】 10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意分段求出解析式，画出图象后数形结合即可得解. 【详解】且当时，，()()2f x f x π+=[)0,x Îp ()sin f x x =-当时，，不合题意； ∴(),0x ∈-∞()f x >-当时，，∴[),2x ππ∈()()2sin f x x π=--当时，， [)2,3x ππ∈()()4sin 2f x x π=--当时，， [)3,4x ππ∈()()8sin 3f x x π=--作出函数图象，如图：当时，令或，[)3,4x ππ∈()8sin 3x π--=-103x π=113x π=若存在，使得. (]0,x m ∈-∞0()f x ≤-103m π≥故答案为：. 10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了函数解析式的求解和数形结合思想，属于中档题. 12．对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得I I M sin y x =I a成立，则实数的取值范围是_________.[][]0,,2a a a M kM =k 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论的范围得出的表达式，求出的值域即可. a k ()k f a =【详解】①当时，，0,4πa ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由，得，所以， [][]0,,2a a a M kM =sin sin 2a k a =12cos k a=，则； cos 1a ≤≤2cos 2a ≤≤1122cos a <≤12k ⎛∈ ⎝②当时，，,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由，得，[][]0,,2a a a M kM =sin k a =，即； sin 1a ≤≤k ⎤∈⎥⎦③当时，，,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==由，得，所以，[][]0,,2a a a M kM =1sin k a =1sin k a =此时，则，即； 0sin 1a <<11sin a>()1,k ∈+∞④当时，，则， a π=22a π=[0,][,2]1,0a a a M M ==由，得不成立，此时不存在；[][]0,,2a a a M kM =10=k ⑤当时，，5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭由，得，所以， [][]0,,2a a a M kM =1sin 2k a =1sin 2k a=此时，则，即； 0sin 21a <<11sin 2a>()1,k ∈+∞⑥当时，，5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭由，得，[][]0,,2a a a M kM =1k =综上，由有且仅有一个正数使得成立，实数的取值范围是.a [][]0,,2a a a M kM =k 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论的范围，根据的不同取值范围a a 得出的表达式，再利用三角函数的性质求解.k二、单选题13．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ） ,a b 00,a b ,a bA ．B ．或 00a b = 00a b = 00a b =-C ．D ． ||1||a b = 01a b = 【答案】D【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB 不正确； 题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C 不正确； ,a b因为分别是的单位向量，所以， 00,a b ,a b001a b = 故选：D14．，已知函数恰有五个零点，则实数的取值范围是（ ） 0,1a a >≠()log 2|sin π|2a f x x x =+-aA ．B ．C ．D ．(1,2)2))+∞【答案】B【分析】由函数的零点转化为两个函数的交点，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】由题意得可转化为与恰有五个交点， 1log a y x =222|sin π|y x =-当时，单调递减，且当时，， 01a <<1log a y x =1x >1log 0a y x =<而函数，当时，函数单调递减， 222|sin π|0y x =-≥102x <<222sin πy x =-当时，函数单调递增，所以此时两个函数图象不可能有5个交点， 112x <<222sin πy x =-当时，如图所示：1a >如图所示，需满足，所以，1log 322log 42a a a a >⎧⎪<⇒<<⎨⎪>⎩a ∈故选：B15．下列命题正确的个数为（ ） （1）函数在定义域内单调递增；tan y x =（2）函数是周期函数，且最小正周期为； |sin |y x =2π（3）函数的一条对称轴为； πcos 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π16x =（4）函数的最小正周期为的充要条件是． cos(2)y ax b =+π1a =A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【分析】（1）利用正切函数的单调性进行说明即可；（2）结合的最小正周期即可；（3）sin y x =令解出即可；（4）利用三角函数的性质及充要条件判断. ()π2πZ 8x k k -=∈【详解】（1）函数在单调递增，不能说在它的定义域上单调递增故tan y x =πππ,π(Z)22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（1）错误；（2）函数是周期函数，且最小正周期为，故（2）错误； |sin |y x =π（3）由， ()πππ2πZ 8162k x k x k -=⇒=+∈当时，，0k =16x π=所以函数的一条对称轴为，πcos 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16x π=符合题意，故（3）正确； （4）由 2π2ππ112T a a aω===⇒=⇒=±所以函数的最小正周期为的充要条件是， cos(2)y ax b =+π1a =±故（4）错误； 故选：A.16．设函数，最小值为，则与满足的关系是 ()f x M m M m A ． B ． 2M m -=2M m +=C ． D ．4M m -=4M m +=【答案】B【解析】将函数化为一个常数函数与一个奇函数的和，再利用奇函数的对称性可得答案.()f x 【详解】因为()f x ==， 222cos sin 6sin 16cos 6cos x x x x x xx x x x++++==+++令，则， 2sin ()6cos x xg x x x +=+22sin()()sin ()()6()cos()6cos x x x x g x g x x x x x -+-+-==-=--+-+所以为奇函数， ()g x 所以，max min ()()0g x g x +=所以， max min 1()1()2M m g x g x +=+++=故选：B【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，考查了奇函数的对称性的应用，属于中档题.三、解答题17．函数的定义域为，函数．()2()lg 3f x x x m =-+-(1,)n ()24g x x ax =-++(1)求的值；,m n (2)若在上为严格增函数，解关于的不等式．()y g x =(,1]-∞x ()232nx x ma a -++-<【答案】(1)；2,2m n ==(2)1,(1,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用定义域与不等式的关系，结合根与系数的关系进行求解； （2）先利用单调性求出，再利用指数函数的单调性进行求解. 2a ≥【详解】（1）由题意得，即的定义域为，230x x m -+->230x x m -+<(1,)n 则，所以；131n n m +=⎧⎨⋅=⎩2,2m n ==（2）因为函数在上递增，则，所以， ()y g x =(,1]-∞12a≥2a ≥原不等式等价于，解得或， 2231x x -+<1x >12x <综上，关于的不等式的解集为．x 1,(1,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 18．设函数部分图像如图所示．()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<(1)求；,,A ωϕ(2)求函数的单调递减区间．π2π,233x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭【答案】(1)，，1A =2ω=π3ϕ=(2)． π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图A 1π44T =ω像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；ϕ（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意得，则周期为， 1π5ππ1,46124A T ==-+=π则，2ππ,2ωω==所以，()sin(2)f x x ϕ=+将代入得，所以，即，π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭π0sin()3=-+ϕπ2π,Z 3-+=∈k k ϕπ2π,Z 3=+∈k k ϕ由可得，则；02πϕ<<π3ϕ=π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2），ππ2πsin ,,2333x f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭令， ()ππ3π2π2πZ 232k x k k +≤+≤+∈得，()π7π2π,2πZ 66x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦令，则， 0k =π7π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为， π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以单调递减区间为． π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景60 区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【答案】（1）（千米）；（2）.2【解析】（1）根据P 位于弧的中点，则P 位于的角平分线上，然后分别在BC BAC ∠正中求解.,,Rt APQ Rt APR A A AQR A （2）设，，然后分别在表示 ，，在中由余弦PAB θ∠=060θ<<︒,Rt APQ Rt APR A A PQ PR AQR A 定理表，再由求解.RQ 300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯【详解】（1）由P 位于弧的中点，在P 位于的角平分线上，BC BAC ∠则，1||||||sin 2sin 30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=， ||cos 2AQ PA PAB =∠==由，且，60BAC ∠=︒AQ AR =∴为等边三角形，则，QAR A ||RQ AQ ==三条街道的总长 ；||||||112l PQ PR RQ =++=++=（2）设，，PAB θ∠=060θ︒<<︒则，sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 60sin θθθθ-=-=- ，cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-= 由余弦定理可知：， 2222cos 60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=++-⨯=则|，RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ， ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=当时，W 取最大值，最大值为．()sin 1θϕ+=【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．20．已知函数，（其中．2ππ()sin()sin()2cos 662x f x x x ωωω=++--x ∈R 0)ω>(1)求函数的最大值；()f x (2)若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，若不等式R a ∈(),(,π]y f x x a a =∈+1y =-在上恒成立，求实数的取值范围． |()|2f x m -<ππ[,]42x ∈m 【答案】(1)1；(2)．(1,2)-【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1） 2ππ()sin()sin()2cos ,R 662x f x x x x ωωω=++--∈11cos cos (cos 1)22x x x x x ωωωωω+--+， 1πcos )12sin(126x x x ωωω=--=--所以函数的最大值为；()f x 1（2）若对任意，函数与直线有且仅有R a ∈(),(,π]y f x x a a =∈+1y =-两个不同的交点，则的周期为，()y f x =π又由，得，得．0ω>2ππω=2ω=，|()|2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，所以且， ππ[,]42x ∈max ()2m f x >-min ()2m f x <+又，，则， ππ[,]42x ∈ππ5π2366x ≤-≤π02sin 2116x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭所以，即的取值范围是．12m -<<m (1,2)-21．已知函数． π()1sin 4f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭(1)求函数的最小正周期；()f x(2)在中，角所对应的边分别为，若，求的ABC A ,,A B C ,,a b c 3π28A f a ⎛⎫+== ⎪⎝⎭6b =c 值；(3)设函数，记最大值为最小4π1π3π()284828x x g x f x ⎡⎤⎫⎛⎫⎫=++++⎪ ⎪⎪⎢⎥⎭⎝⎭⎭⎣⎦()g x max [(,)]()g x g x值为，若实数满足，如果函数在定义域min [()]g x m max min [()][()]g x g x =-()22log y x mx λ=-++内不存在零点，试求实数的取值范围．λ【答案】(1)最小正周期为；π(2)的值为2；c (3)．(1,0)-【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，求出周期作答.()f x（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.cos A （3）利用（1）中函数求出，换元并结合单调性求出的最值，再利用对数函数性质求解()g x ()g x 作答.【详解】（1）依题意，2()1)12sin cos 2cos sin 2cos2f x x x x x x x x x =+=+-=-， π)4x =-所以函数的最小正周期为.()f x π（2）因为1）知， 3π(28A f +=，解得， 3πππ)2842A A A +-=+==1cos 3A =-在中，由余弦定理得，即，而ABC A 2222cos a b c bc A =+-248364c c =++0c >解得，2c =所以的值为2.c（3）由（1）（2）知，，，， π()28x f x +=3π(28x f x +=π(28f x x +=则， 4π1π3π()()|[(|()|284828x x g x f f x f =++++4|sin ||cos |sin (2)x x x =++令，则，|sin ||cos |t x x =+=2|sin 2|1x t =-因此，函数在上单调递增，，函数在24()()(1)g x h t t t ==-+21u t =-t ∈[0,1]u ∈4y u =上单调递增， [0,1]u ∈因此在上，函数单调递增，单调递增，则t ∈()421t -()h t， max min [()]1()]1(1)g x h g x h ====因为，即有， max min [()][()]g x g x =-=2m =-函数，即在定义域内不存在零点，()22log y x mx λ=-++()22log 2y x x λ=--+显然，即，，函数的定义域为220x x λ--+>222(1)1x x x λ>+=+-1λ>-()22log 2y x x λ=--+，(11--于是原问题转化为函数在上无零点，()22log 2y x x λ=--+(11--即的最大值小于1恒成立，显然当时，，有，解得22x x λ--+=1x -2max (2)1x x λλ--+=+11λ+<，0λ<所以实数的取值范围为．λ(1,0)-【点睛】结论点睛：函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在()y f u =I ()u g x =D ()u g x =上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；如果与单调D I (())y f g x =D ()y f u =()u g x =性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函(())y f g x =()y f u =()u g x =(())y f g x =数.。
上海市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，集合，若，则的值为________. {}1,2A ={},2B m ={}1,2,3A B = m 【答案】3【分析】根据集合的并集结果，结合集合的性质求参数即可. 【详解】由，，， {}1,2,3A B = {}1,2A ={},2B m =∴. 3m =故答案为：32．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (4)= __________ 【答案】2【详解】分析：设幂函数f （x ）=x α，把点（9，3）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f （4）的值．详解：设幂函数f （x ）=x α，∵函数f （x ）的图象经过（9，3），∴9α=3，解得， 12a =则f （x ），∴f （4）=2， 故答案为2．点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．3．已知，则__________.tan 2α=tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】-3【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵，∴， tan 2α=tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅故答案为：-3.4．把化成的形式___________(注:不唯一).sin αα()sin (0)A A αϕ+>ϕ【答案】2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据特殊角的三角函数值，以及两角和的正弦公式得到结果. 【详解】 1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数的化一的应用，题目比较基础.5．函数是定义在上的偶函数,则__．()()221f x ax a b x a =+-+-()(),00,22a a -- 225a b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可解得,再根据偶函数定义可得,代入即可得解2a =1b =析式,从而可求出.225a b f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为是定义在上的偶函数,()()221f x ax a b x a =+-+-()(),00,22a a -- 所以,解得, 220a a -+-=2a =由得,即,()()=f x f x -20a b -=1b =则,故．()221f x x =+()22222211211355a b f f f ⎛⎫⎛⎫++===⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:36．已知在地球上，大气压p 和海拔高度h 之间的关系可以表达为，其中k 和e 是常数，0khp p e -=是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为__________. 0p 【答案】 01lnph k p =-【分析】根据指数与对数的关系，将转化为用k 和e 、、表示的函数形式即可.0khp p e -=0p p h 【详解】由，则， 0khp p e -=0khep p -=∴，即. 0lnh p k p =-01lnph k p =-故答案为：. 01lnp h k p =-7．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代文化．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风．如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，2.4m 0.6m 0.9m 若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积为__．2m【答案】1.35【分析】设小扇形的半径为，可得大扇形的半径，由弧长公式以及两个扇形的弧长之比求出，r r 利用扇形面积公式计算即可．【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， r 0.9r +所以，， 0.9 2.40.6r r +=0.3r =所以扇环面积为，112.4(0.30.9)0.60.3 1.3522⨯⨯+-⨯⨯=所以扇环内需要进行工艺制作的面积估计值为． 21.35m 故答案为：1.358．若命题“关于的不等式有解”为真命题,则实数的取值范围是__． x 12x x a ++-<a 【答案】3a >【分析】关于的不等式有解为真命题转化为,分类讨论去绝对x 12x x a ++-<()min12x x a ++-<值求出的最小值即可. ()12f x x x =++-【详解】设,则 ()1212f x x x x x =++-=++-当时,, 2x >()213f x x =->当时,, 12x -≤≤()3f x =当时,, 1x <-()123f x x =->则,()min 3f x =关于的不等式有解为真命题,则,x 12x x a ++-<()min12x xa ++-<,3a ∴>故答案为:.3a >9．如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 为线段CD 的中点. 现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A 与点M 重合，折痕与AD 交于点E ，与BC 交于点F . 记，则_______.MEF θ∠=sin(4πθ+=【分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出 DE x =12DM EM EA x ===-，34x =，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系54EM =sin DEM ∠sin 2θ和两角和的正弦公式计算即可.【详解】设，则， DE x =12DM EM EA x ===-，在中，，所以， Rt DEM △90D ︒∠=222DE DM EM +=即，解得，所以，2221(2)x x +=-34x =54EM =所以在中，， Rt DEM △4sin 5DM DEM EM ∠==则， 4sin 2sin()sin 5DEM DEM θπ=-∠=∠=又 sin cos θθ+==所以sin(cos )4πθθθ+=+=10．设A ={2，4，6，8，9}，B ={1，2，3，5，8}，若存在非空集合C ，使C 中的每一个元素加上2变成A 的一个子集，且C 的每一个元素都减去2变成了B 的子集，则集合C 所有可能的情况为__________;【答案】，，{}4{}7{}4,7【分析】若设集合A 中每个元素都减去2变成集合，则，设集合B 中每个元{}0,2,4,6,7D =C D ⊆素都加上2变成集合，则，从而可得，进而可求得结果 {}3,4,5,7,10E =C E ⊆()C D E ⊆ 【详解】若设集合A 中每个元素都减去2变成集合，则， {}0,2,4,6,7D =C D ⊆设集合B 中每个元素都加上2变成集合，则，{}3,4,5,7,10E =C E ⊆所以，()C D E ⊆ 因为，为非空集合， {}4,7D E = C 所以，或，或， {}4C ={}7{}4,7故答案为：，，{}4{}7{}4,711．已知函数是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式()f x 12,x x 12x x ≠恒成立，则不等式的解集为__．11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+(1)(2022)0x f x +>【答案】(,1)(0,)-∞-⋃+∞【分析】根据条件推导出 的单调性，再结合奇偶性解不等式即可. ()f x 【详解】不等式，11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+即，， 112212[()()][()()]x f x f x x f x f x ->-1212()[()()]0x x f x f x -->故函数在R 上是增函数，函数 在R 上为奇函数， ，()f x ()f x ∴(0)0f =若不等式，则，或，，(1)(2022)0x f x +>1020220x x +>⎧⎨>⎩0x >1020220x x +<⎧⎨<⎩1x <-；()(),10,x ∴∈-∞-+∞ 故答案为： .()(),10,-∞-⋃+∞12．对于问题：当x >0时，均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，求实数a 的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．甲：解含参不等式，其解集包含正实数集； 乙：研究函数y ＝[(a －1)x －1](x 2－ax －1)；丙：分别研究两个函数y 1＝(a －1)x －1与y 2＝x 2－ax －1； 丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________． 【答案】##1.5 32【分析】题意可以选择丙同学的想法对两个函数分开进行分、和三种情况10a -<10a ->10a -=情况讨论，从而可得到答案． 【详解】解：可以选择丙同学的想法． 对于函数，(1)1y a x =--①当时，由于当时，，因此在上恒成立， 10a -<0x =11y =-10y <(0,)+∞若，恒成立，0x >2[(1)1](1)0a x x ax ----…则在上亦恒小于或等于0，显然不可能成立；221y x ax =--(0,)o +②当时，对于函数在上， 10a ->1(1)1y a x =--1(0,)1a -10y <在，上恒成立； 1(1a -)∞+10y >若，恒成立，0x >2[(1)1](1)0a x x ax ----…因此在上，在，上恒成立， 221y x ax =--1(0,)1a -20y <1(1a -)∞+20y >即当时，，即，，或（舍去）． 11x a =-20y =21110(1)1a a a -⋅-=--2230a a -=32a =0a =检验：当时，原不等式可化为，．即，32a =213(1)(1)022x x x ---…2(2)(232)0x x x ---…，2(2)(21)0x x -⋅+...又，所以恒成立，因此时，符合题意． 0x >2(2)0x - (3)2a =③当时，易知不符合题意， 10a -=综上所述：. 32a =故答案为：. 32二、单选题13．若为第三象限角，则（ ） αA ． B ． sin 0α>cos 0α>C ． D ．tan 0α>sin cos 0αα<【答案】C【分析】根据角所在象限，可判断其三角函数值的正负，即可得答案. α【详解】为第三象限角，α则，，，， sin 0α<cos 0α<tan 0α>sin cos 0αα>由此可得：A ，B ，D 错误，C 正确， 故选：C.14．下列函数中，在是增函数的是（ ）(),0∞-A ．B ．C ．D ．3y x =2y x =1y x=32y x =【答案】A【分析】分别判断各选项函数所对应的单调增区间，可得答案． 【详解】对于A ，在是增函数，正确； 3y x =(),0∞-对于B ，在是减函数，错误； 2y x =(),0∞-对于C ，在是减函数，错误； 1y x=(),0∞-对于D ，在上没有意义，错误； 32y x =(),0∞-故选：A15．在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件，即表示开关A 闭合时灯泡B 不一定亮，但是灯泡B 亮时开关A 一定闭合：选项A 中，开关A 闭合是灯炮B 亮的充分不必要条件；选项C 中，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；选项D 中，开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件；选项B 中，开关A 和开关C 都闭合时灯泡B 才亮．故选B ． 【解析】充要条件点评：本题考查充要条件的判断，与物理知识相结合，体现学科综合 16．设为锐角，且，则的最大值为（ ） ,αβsin cos()sin ααββ+=tan αA B C ．1D 【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】解法一：由得， sin cos()sin ααββ+=2cos cos sin sin sin sin αββαβα-=所以． 2cos sin tan sin tan ββαβα-=因为均为锐角，所以,αβ22cos sin tan 1tan 11sin 12tan 2tan tan βββαββββ===≤+++当且仅当tan β=tan α解法二: 由得:sin cos()sin ααββ+=，1cos()sin sin [sin(2)sin ]sin 2αββααβαα+=⇒+-=于是，11sin sin(2)33ααβ=+≤等号当时取得，111arcsin ,arccos 323αβ==因此的最大值为tanα1tan arcsin 3=三、解答题 17．已知． cos α=(0,π)α∈(1)求的值； π3πsin()cos()22sin(π)cos(3π)αααα--+-++(2)求的值．3πcos(2)4α-【答案】(1)13-(2)【分析】（1）根据同角三角函数关系求出的值，根据诱导公式奇变偶不变符号看象限化简求sin α值；（2）根据诱导公式化简成，根据两角和的余弦公式展开，二倍角公式求三角函数πcos(2)4α-+值.【详解】（1）因为 cos α=又因为，且，22sin cos 1αα+=(0,π)α∈所以sin α=所以；π3πsin()cos()cos sin 122sin(π)cos(3π)sin cos 3αααααααα--+--==--++-（2） 3ππcos(2cos(2)44αα-=-+ sin 2)αα=- 212sin cos )ααα=--=18．记函数的定义域为，若对任意的，都有成立，则称是集合()y f x =D x D ∈(())f f x x =()f x M 的元素．(1)判断函数，是否是集合的元素； ()1f x x =-+()21g x x =-M (2)若，求使成立的的取值范围． ()(0)1axf x M a x =∈<+()1f x <x 【答案】(1)， ()1f x x M =-+∈()g x M ∉(2)或1x <-12x >-【分析】（1）通过计算得，而，即可判断；()()f f x x =(())43g g x x =-（2）由题得，化简得恒成立，则求出值，得到不等式，111axa x x ax x ⋅+=++22(1)(1)0a x a x +--=a 11xx -<+解出即可.【详解】（1）因为对任意，，所以， R x ∈(())(1)1f f x x x =--++=()1f x x M =-+∈因为不恒等，所以； (())2(21)143g g x x x =--=-x ()g x M ∉（2）因为，所以对定义域内一切恒成立， ()(0)1axf x M a x =∈<+(())f f x x =x 所以，即恒成立，111axa x x axx ⋅+=++22(1)(1)0a x a x +--=故，解得， 21010a a +=⎧⎨-=⎩1a =-由，得即，所以或． ()1f x <11x x -<+2101x x +>+1x <-12x >-19．2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购100买量没达到千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过千克时，超出部分每多一千克，2020则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买千克，则所有的千克均按元单价执121.521.598.5行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过千克.60(1)求购买该种子千克花费的总费用（元）关于的函数；x y x (2)学校采购该种子时，幸运的获得了一张元代金券，在购买产品总量不少于千克时，可用90020来一次性抵扣元. 那么，在购买量不超过千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克90060的平均花费在什么范围？【答案】(1) 2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩(2) [45,60]【分析】（1）根据已知条件求得关于的函数.y x （2）求得购买种子每千克的平均花费的函数表达式，通过求的值域来求得平均花费的()f x ()f x 取值范围.【详解】（1）当时，；020x ≤<100y x =当时，；2060x ≤≤2[100(20)]120y x x x x =--=-+.2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩（2）设购买种子每千克的平均花费为，则由题可知；()f x 2060x ≤≤此时.2120900900()120()x x f x x x x-+-==-+，， 900206520+=900607560+=，当时等号成立. 90060x x +≥=30x =所以当时，取得最小值；当时，取得最大值；30x =900y x x =+6060x =900y x x =+75当时，的值域为； ∴2060x ≤≤900y x x=+[60,75]故值域为，即购买种子每千克平均花费在元.()f x [45,60][45,60]20．立德中学高一数学兴趣小组利用每周五开展课外探究拓展活动，在最近的一次活动中，他们定义一种新运算“”：，，通过进一步探究，发现该运算有许多优美的⊕()lg 1010x y x y ⊕=+,R x y ∈性质：如，等等．x y y x ⊕=⊕()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕(1)对任意实数，请判断是否成立？若成立请证明，若不成立，请,,a b c ()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-举反例说明；(2)已知函数，函数，若对任意的，存在，使得()()f x x x =⊕-()()()1g x x x =⊕⊕-1R x ∈2R x ∈，求实数的取值范围．()()12lg 32g x m f x =-+m 【答案】(1)成立，证明见解析(2) 4228,,3333⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】（1）根据新运算的定义，去判断证明即可；（2）根据新运算的定义，先得到函数f (x ),g (x )的的解析式，求得各自的值域，再根据条件推得，据此列出不等式，解得答案.A B ⊆【详解】（1）成立，()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-证明如下：由条件可知，()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-()()()()()lg 1010lg 101010lg 1010lg10a c b c a b c a b c a c b c ----⎡⎤-⊕-=+=+⨯=++⎣⎦， ()lg 1010a b c =+-所以成立．()()()a b c a c b c ⊕-=-⊕-（2）由题意知()()()lg 1010x x f x x x -=⊕-=+ ()()()()1lg 101010x x g x x x -=⊕⊕-=++当时，（当且仅当时等号成立）x R ∈10102x x -+≥=0x =所以函数的值域为，()g x [)lg12,A ∞=+函数的值域为()f x [)lg 2,+∞令，则函数的值域为，()()lg 32h x m f x =-+()h x )lg2lg 32,B m ∞⎡=+-+⎣由已知可得，A B ⊆于是，所以，，lg12lg2lg 32m ≥+-lg 32lg6m -≤0326m <-≤解得且， 4833m -≤≤23m ≠因此实数的取值范围为. m 4228[,)(,]3333- 21．对于集合和常数，定义：{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅0θ()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-++-=为集合相对的“余弦方差”． A 0θ（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭00θ=A 0θ（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭0θ0θ值；（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭[)0,πα∈[)π,2πβ∈0θ0θ关的定值，求出、．αβ【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，． 38127π12α=23π12β=11π12α=19π12β=【分析】（1）由“余弦方差”的定义，及特殊角的三角函数值计算可得；（2）由“余弦方差”的定义，及两角差的余弦公式化简可得．（3）由“余弦方差”的定义，在由两角差的余弦公式及二倍角公式化简分子，可得即可求出、的值，即可得解． cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩αβ【详解】解：（1）依题意：； 22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===（2）由“余弦方差”定义得：， ()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=则分子 ()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22200013cos sin cos 22θθθ=++ 32=为定值，与的取值无关． 31232μ∴==0θ（3）依题意， ()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=所以分子 =()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++ ()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++ 22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++ 22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+要使是一个与无关的定值，则，， μ0θcos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩cos 2cos 2αβ=- 与终边关于轴对称或关于原点对称，又，2α∴2βy sin 2sin 21αβ+=-得与终边只能关于轴对称，， 2α2βy 1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩又，，则当时，；当时，． [)0,πα∈[)π,2πβ∈72π6α=232π6β=112π6α=192π6β=，或，． 7π12α∴=23π12β=11π12α=19π12β=故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定7π12α=23π12β=11π12α=19π12β=0θ0θ值．。
上海市高一下学期3月月数学试题(解析版)
一、填空题1．________.sin 900︒=【答案】0【分析】根据诱导公式直接求值即可.【详解】.()sin 900sin 2360180sin180sin 00︒=⨯︒+︒=︒=︒=故答案为：0.2．设角终边上的点的坐标为，则________.α()3,4-tan α=【答案】 43-【分析】根据任意角三角函数的定义即得．【详解】因为角终边上一点的坐标为，α()3,4-所以． 4tan 3α=-故答案为：． 43-3．是第________象限角. 5π3【答案】四【分析】根据象限角的定义可得出结论. 【详解】因为，故是第四象限角. 3π5π2π23<<5π3故答案为：四.4．弧度________角度.2.4≈【答案】137.52【分析】根据弧度与角度的换算关系可得出结果.【详解】弧度.2.4 2.457.3137.52≈⨯= 故答案为：.137.525．若，，则是第________象限角.sin 0α>sin cos 0αα<α【答案】二【分析】根据三角函数在各个象限的符号即可判断.【详解】由，，可得，，sin 0α>sin cos 0αα<sin 0α>cos 0α<由三角函数的符号规律可知：由，可得为第一，二象限角，或轴的非负半轴，sin 0α>αy 由可得为第二，三象限角，或轴的非正半轴，cos 0α<αx取公共部分可得为第二象限角，α故答案为：二.6．使得有意义，则的取值范围为______．tan αα【答案】 ,Z 2k k πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】由正切函数的定义域求得答案即可.【详解】显然 ,Z 2k k πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为： ,Z 2k k πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．请用集合表示终边位于轴的角的集合________.x 【答案】{|180,Z}n n αα=⋅︒∈【分析】写出落在x 轴上的角，再根据终边相同的角写出所有的角即可.0~360︒︒【详解】在内,终边在x 轴上的角有两个,即和,与这两个角终边相同的角组成的集合[)0,360︒︒0︒180︒依次为,.{}1360,Z S k k αα==⋅︒∈{}2180360,Z S k k αα==︒+⋅︒∈为简便起见,我们把集合和的表示方法改为,1S 2S {}12180,Z S k k αα==⋅︒∈,(){}221180,Z S k k αα==+⋅︒∈因为,{}{}2,Z 21,Z Z m m k k m m k k =∈⋃=+∈=即集合是终边在x 轴上的角的集合.{|180,Z}S n n αα==⋅︒∈故答案为：{|180,Z}n n αα=⋅︒∈8．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．120 π【答案】 3π4【分析】利用扇形弧长和面积公式直接求解即可.【详解】设扇形的半径为，则弧长，解得：，扇形面积. r 120ππ180r l ==32r =∴13π24S lr ==故答案为：. 3π49．若是第三象限角，且，则______. αtan 3α=sin cos αα-=【答案】 【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为是第三象限角，且，αtan 3α=所以,sin 3cos ,sin 0,cos 0αααα=<<因为22sin cos 1αα++=所以， sin αα==所以 sin cos αα⎛== - ⎝=故答案为：10．计算：________.7cos 2703sin 270tan 765︒+︒+︒=【答案】2-【分析】利用特殊三角函数值求解即可.【详解】()()7cos 2703sin 270tan 7657031tan 236045︒+︒+︒=⨯+⨯-+⨯︒+︒.312=-+=-故答案为：.2-11．“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的________条件.【答案】必要不充分条件【分析】写出第二象限角的范围以及钝角的范围，再按照充分必要条件的定义判断.【详解】第二象限上的角满足，当时，这个角不是钝角，故不满α22,Z 2k k k απ+π<<π+π∈1k =足充分性，钝角满足，这个角必在第二象限，满足必要性，βππ2β<<故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件.12．若，则________. ()cos πx -=[)0,2πx ∈x =【答案】或 π611π6【分析】利用诱导公式可得出的值，结合可得出的值.cos x [)0,2πx ∈x【详解】因为 ()cos πcos x x -=-=cos x =又因为，则或. [)0,2πx ∈π6x =11π6故答案为：或. π611π6二、单选题13．已知角的终边过点，则是第（ ）象限角．α()sin1,cos1P αA ．一B ．二C ．三D ．四【答案】A【解析】分析横纵坐标的符号即可求解.()sin1,cos1P 【详解】因为角的终边过点，α()sin1,cos1P 且，sin10,cos10>>所以是第一象限角.α故选：A14．若是第三象限角，则下列各式中成立的是（ ）αA ．B ． tan sin 0αα->sin cos 0αα+>C ．D ． cos tan 0αα->tan sin 0αα>【答案】A【分析】根据所在象限，确定的三角函数值的正负，然后逐一判断选项的正误即可.αα【详解】因为是第三象限角 α，sin 0,cos 0,tan 0ααα∴<<>，A 正确；tan sin 0αα∴->，B 错误；sin cos 0αα+<，C 错误；cos tan 0α-α<，D 错误.tan sin 0αα<故选：A.15．下列说法正确的是（ ）A ．的定义域是()f x =()1,+∞B ． tan x =,3x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZC ．同时满足， 1sin 2x =cos x =D ．当时，的图像在的上方()0,1x ∈43y x =y x =【答案】B【分析】对A ，定义域满足； ()10lg 10x x ->⎧⎨-≥⎩对B ，由 πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭对C ，由三角函数周期性判断；对D ，由作差法说明的符号即可判断. 43x x -【详解】对A ，定义域满足，A 错； ()1012lg 102x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒≥⎨⎨-≥≥⎩⎩对B ，，B 对； πtan π,3x x k k Z =⇒=-+∈对C ，由三角函数周期性可得该角有无数个，C 错；对D ，令，∵，则，即，即的图()41331f x x x x x æöç÷=-=-ç÷èø()0,1x ∈()1310f x x x æöç÷=-<ç÷èø43x x <43y x =像在的下方，D 错.y x =故选：B.16．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【详解】因为 ,0,sin sin()cos ,2222A B A B A B B πππππ+∴->∴>-=,所以点P 在第二象限. cos sin 0,,0B A sinB cosA ∴--同理三、解答题17．在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 αk αβπ=+Z k ∈π3π,24β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】图形见详解【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. απ23π4【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边απ23π4界线.18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．证明：(1).2442cos sin cos 1θθθ+=+(2)已知， π32ππ2π22k x k +<<+k ∈Z sin 1cos x x-=【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立；（2）由已知条件可得，，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成1sin 1x -<<cos 0x ≥立.【详解】（1）证明：因为 ()()()244222222cos sin cos 12cos 1sin cos sin cos θθθθθθθθ+-+=-+-+，222222cos 1sin cos sin cos 10θθθθθ=-+-=+-=因此，.2442cos sin cos 1θθθ+=+（2）证明：因为，，则，， π32ππ2π22k x k +<<+k ∈Z 1sin 1x -<<cos 0x <. 1sin sin 1cos cos x x x x --====故结论得证. 20．已知， ()()1sin πcos 5αα-+-=()0,πα∈(1)求的值；sin cos αα-(2)求的值 3πtan 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)； 75(2). 34-【分析】（1）由题可得，然后根据平方关系结合条件可得，进而即1sin cos 5αα+=()2sin cos αα-得；（2）由题可得，，然后利用同角关系式及诱导公式即得.. 4sin 5α=3cos 5α=-【详解】（1）由，可得， ()()1sin πcos 5αα-+-=1sin cos 5αα+=所以， ()21sin cos 25αα+=即，解得， 221sin cos 2sin cos 25αααα++=12sin cos 025αα=-<因为，所以，可得，， 0πα<<2απ<<πsin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以， ()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭所以； 7sin cos 5αα-=（2）因为，， 1sin cos 5αα+=7sin cos 5αα-=所以，， 4sin 5α=3cos 5α=-所以. 3πsin 3πcos 2tan 3335π2sin cos 2445ααααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-== ⎪-⎛⎫⎝⎭- =-⎪=-⎝⎭21．已知是第三象限角，且． α3sin()cos(2)tan 2()cot()sin()f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简；()f α（2）若，求的值． 31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f α【答案】（1）；（2. cos α-【分析】（1）利用诱导公式先逐部分化简，然后可得化简后的；()f α（2）先根据诱导公式求得的值，然后根据同角的三角比求解出的值，最后由的表sin αcos α()f α示求解出其结果.【详解】（1）； ()sin 2cos 4tan 3sin cos cot 222()cos cot sin cot 2sin 222f πππααααααααππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭===--⋅⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为，所以， 31cos cos 3sin 225ππααα⎛⎫⎛⎫-=⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 5α=-又因为是第三象限角，所以， αcos α==所以. ()cos f αα=-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年上海市上外附中高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）计算：lg20﹣lg2﹣=．2．（5分）已知log27=a，log32=b，用a，b表示log2863=．3．（5分）设，则实数a的取值范围是．4．（5分）函数f（x）=4+log2（x﹣1）（x≥3）的反函数为．5．（5分）已知函数，则=．6．（5分）方程的解为．7．（5分）若方程9x+（6﹣a）3x+4=0的根为α，β，则α+β=．8．（5分）把y=f﹣1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=2x的图象，则函数f（x）的解析式为．9．（5分）函数的定义域为．10．（5分）函数的单调递减区间为．11．（5分）已知f（x）=的图象关于直线y=x对称，则a=．12．（5分）若函数y=f（2x﹣1）的图象经过点P（1，2），则函数y=f﹣1（2x﹣1）的反函数必经过点为．13．（5分）设定义在R上的函数，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是为．14．（5分）设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足，f（10a+6b+21）=4lg2，求a，b的值．二、选择题：15．（5分）已知m＞0，且10x=lg10m+lg，则x的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣116．（5分）如果方程lg2x+（lg6）lgx+lg2•lg3=0的两个根为x1，x2，则x1•x2的值是（）A．lg2•lg3B．lg2+lg3 C．D．﹣617．（5分）已知函数的值域为R，则实数k的取值范围是（）A．（0，6） B．[0，6） C．（﹣∞，0]∪[6，+∞）D．（﹣∞，0）∪（6，+∞）18．（5分）设a＞1，实数x，y满足|x|﹣log a=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A． B．C．D．三、解答题：19．（12分）方程log2（2x+1）log2（2x+1+2）=2的解为．20．（12分）已知函数（a是实常数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性与实数a的关系．21．（12分）已知函数在x∈[1，2]上恒为负值，求实数a的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=a x+3a（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数y=f﹣1（x）的解析式；（2）设g（x）=log a（x﹣a），是否存在实数a，使得当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f﹣1（x）+g（x）|≤1成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．23．（12分）已知函数f（x）=log4的定义域为R，且y=f（x+1）的图象过点A（﹣1，0）．（1）求实数b的值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年上海市上外附中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）计算：lg20﹣lg2﹣=．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg20﹣lg2﹣=lg10﹣=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．2．（5分）已知log27=a，log32=b，用a，b表示log2863=．【分析】由log27=a，log32=b，利用对数换底公式可得：lg7=alg2，lg3=，log2863=，代入即可得出．【解答】解：∵log27=a，log32=b，∴lg7=alg2，lg3=．∴log2863===．故答案为：．【点评】本题考查了对数换底公式、对数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）设，则实数a的取值范围是．【分析】当a＞1时，由于，不等式显然成立，当1＞a＞0时，由=log a a 可得0＜a＜．由此可得实数a的取值范围．【解答】解：∵，当a＞1时，由于，不等式显然成立．当1＞a＞0时，由=log a a 可得0＜a＜．综上可得，不等式的解集为，故答案为．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．4．（5分）函数f（x）=4+log2（x﹣1）（x≥3）的反函数为f﹣1（x）=2x﹣4+1（x ≥5）．【分析】利用指数是与对数式的互化关系，按照求反函数的步骤逐步求出函数y=4+log2（x﹣1）（x≥3）的反函数，然后根据原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：f（x）的定义域是[3，+∞），故f（x）≥4+1=5，故f（x）的值域是[5，+∞），故f﹣1（x）的定义域是[5，+∞），由y=4+log2（x﹣1），可得x﹣1=2y﹣4，即：x=1+2y﹣4，将x、y互换可得：y=2x﹣4+1，所以函数f（x）=4+log2（x﹣1）（x≥1）的反函数的表达式：f﹣1（x）=2x﹣4+1（x≥5）故答案为：f﹣1（x）=2x﹣4+1（x≥5）．【点评】本题考查反函数的求法，注意函数的定义域和值域，这种题目易错点在反函数定义域的确定上，有同学会利用反函数的解析式来求，这就错了，必须利用原函数的定义域来确定．5．（5分）已知函数，则=﹣2．【分析】根据反函数的定义问题转化为解方程，求出x的值即的函数值．【解答】解：由题意得：，即9•3x=1，故3x==3﹣2，故x=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了反函数的定义，考查函数求值问题以及转化思想，是一道基础题．6．（5分）方程的解为x=3．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=3，故答案为：x=3．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．7．（5分）若方程9x+（6﹣a）3x+4=0的根为α，β，则α+β=log34．【分析】根据根与系数的关系求出α+β的值即可．【解答】解：由题意得：3α•3β=3α+β=4，故α+β=log34，故答案为：log34．【点评】本题考查了二次方程根与系数的关系，考查指数、对数的运算，是一道基础题．8．（5分）把y=f﹣1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=2x的图象，则函数f（x）的解析式为y=log2（x+1）+2．【分析】利用函数的解析式首先进行平移变换，然后求解反函数即可求得最终结果．【解答】解：把y=2x的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=2x﹣2﹣1的图象，即f﹣1（x）=2x﹣2﹣1，据此可得函数f（x）的解析式为y=log2（x+1）+2．故答案为：y=log2（x+1）+2．【点评】本题考查函数图象的平移变换，反函数的概念及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．9．（5分）函数的定义域为．【分析】利用函数的解析式得到关于实数x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．【解答】解：函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数定义域的求解，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．10．（5分）函数的单调递减区间为（5，+∞）．【分析】由对数式的真数大于0求出函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，结合复合函数的单调性可得原函数的减区间．【解答】解：由x2﹣6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．内函数t=x2﹣6x+5在（5，+∞）上为增函数，而外函数y=为减函数，∴复合函数的单调递减区间为（5，+∞）．故答案为：（5，+∞）．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．11．（5分）已知f（x）=的图象关于直线y=x对称，则a=﹣1．【分析】通过圆锥条件，求出函数的反函数，两个函数相同，即可得到a的值．【解答】解：因为f（x）=的图象关于直线y=x对称，所以函数的反函数与原函数相同，f（x）=的反函数为：y=，所以，所以a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数与反函数的关系，考查计算能力．12．（5分）若函数y=f（2x﹣1）的图象经过点P（1，2），则函数y=f﹣1（2x﹣1）的反函数必经过点为（1，）．【分析】根据互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称即可得出结论．【解答】解：设2x﹣1=t，则y=f（t）经过点（1，2），∴y=f﹣1（t）经过点（2，1），令2x﹣1=2得x=，∴y=f﹣1（2x﹣1）经过点（，1），∴函数y=f﹣1（2x﹣1）的反函数必经过点（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查了反函数的性质，属于基础题．13．（5分）设定义在R上的函数，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是为c=0且b＜0．【分析】画出函数f（x）的图象，把关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解转化为f（x）有一0根和一正根，可得c=0且b＜0．【解答】解：作出函数的图象如图，要使方程f2（x）+bf（x）+c=0有7解，由图可知关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0有一0根和一正根．应有f（x）=0有3解，则c=0，b＜0，故答案为：c=0且b＜0．【点评】本题考查函数与方程的应用，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，是中档题．14．（5分）设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足，f（10a+6b+21）=4lg2，求a，b的值．【分析】根据题目给出的等式，代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．【解答】解：因为，所以，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以．从而．又f（10a+6b+21）=4lg2，所以，故．解得或b=﹣1（舍去）．把代入（a+1）（b+2）=1解得．所以，．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．二、选择题：15．（5分）已知m＞0，且10x=lg10m+lg，则x的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】可知lg10m+lg=lg10=1，从而求得．【解答】解：∵lg10m+lg=lg10=1，∴10x=1，∴x=0，故选：C．【点评】本题考查了对数的化简与运算，属于基础题．16．（5分）如果方程lg2x+（lg6）lgx+lg2•lg3=0的两个根为x1，x2，则x1•x2的值是（）A．lg2•lg3B．lg2+lg3 C．D．﹣6【分析】利用韦达定理转化求解即可．【解答】解：方程lg2x+（lg6）lgx+lg2•lg3=0的两个根为x1，x2，可得lgx1+lgx2=﹣lg6，即x1•x2=．故选：C．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．17．（5分）已知函数的值域为R，则实数k的取值范围是（）A．（0，6） B．[0，6） C．（﹣∞，0]∪[6，+∞）D．（﹣∞，0）∪（6，+∞）【分析】利用函数的值域是R，通过判别式列出不等式求解即可．【解答】解：函数的值域为R，所以对数的真数取遍全体正实数，可得△=（k﹣3）2﹣9≥0，解得k∈（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的值域，恒成立问题的处理方法，考查计算能力以及转化思想的应用．18．（5分）设a＞1，实数x，y满足|x|﹣log a=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A． B．C．D．【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可去绝对值讨论，当x≥0时，f（x）=（）x，因为a＞1，故为减函数，又因为f（x）为偶函数，故可选出答案．【解答】解：，∴f（x）=（）|x|当x≥0时，f（x）=（）x，因为a＞1，故为减函数，又因为f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．三、解答题：19．（12分）方程log2（2x+1）log2（2x+1+2）=2的解为0．【分析】本题考查的是对数方程问题．在解答时，可先将log2（2x+1）看作一个整体即可将问题转化为一元二次方程问题，由此即可获得log2（2x+1）的值，进而即可解得x的值．【解答】解：由题意可知：令，则t（t+1）=2，所以t=1或﹣2．由log2（2x+1）=1，可知x=0；由log2（2x+1）=﹣2，可知无解；所以方程的解为0．故答案为：0．【点评】本题考查的是对数方程问题．在解答的过程当中充分体现了换元的思想、整体的思想以及解方程的思想．注意隐含条件的利用，值得同学们体会和反思．20．（12分）已知函数（a是实常数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性与实数a的关系．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）由函数的解析式可得f（﹣x），结合a的取值分析f（x）与f（﹣x）的关系，即可得答案．【解答】解：（1）函数，有，解可得x＜﹣1或x＞，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）；（2）函数，则f（﹣x）=lg+lga，分析可得：a=2时，有f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；当a≠2时，f（﹣x）与﹣f（x）没有关系，函数f（x）为非奇非偶函数．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及函数的定义域的求法，注意对数函数的定义域．21．（12分）已知函数在x∈[1，2]上恒为负值，求实数a的取值范围．【分析】要使函数在x∈[1，2]上恒为负值，只需在x∈[1，2]上恒成立即可．由函数f（x）=在[1，2]递减，可得实数a的取值范围．【解答】解：要使函数在x∈[1，2]上恒为负值，只需在x∈[1，2]上恒成立即可．①若在x∈[1，2]上恒成立，∵函数f（x）=在[1，2]递减，∴只需f（2）=1﹣2+a＞0，可得a＞1；②若＜1在x∈[1，2]上恒成立，∵函数f（x）=在[1，2]递减，∴只需f（1）=＜1，可得a综上，实数a的取值范围为（1，）．【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．22．（12分）设函数f（x）=a x+3a（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数y=f﹣1（x）的解析式；（2）设g（x）=log a（x﹣a），是否存在实数a，使得当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f﹣1（x）+g（x）|≤1成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将y=a x+3a作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域即为反函数的定义域；（2）设h（x）=f﹣1（x）+g（x），然后求出h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分，使最大值与最小值都小于等于，建立不等式组进行求解即可．【解答】解：（1）设y=a x+3a，则a x=y﹣3a…（2分），两边取对数得：x=log a（y﹣3a）…（4分），所以f﹣1（x）=log a（x﹣3a）…（6分）（2）因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）﹣3a=2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，…（7分）设h（x）=f﹣1（x）+g（x），则，二次函数u=x2﹣4ax+3a2的对称轴为x=2a＜2，所以u=x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上为增函数，当x=a+2时，取得最小值4（1﹣a），当x=a+3时取得最大值3（3﹣2a）…（9分）从而可得在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为log a3（3﹣2a），log a4（1﹣a）…（11分）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f﹣1（x）+g（x）|≤1成立的充要条件为，…（13分）解得．…（14分）【点评】本题主要考查了函数解析式求解，以及反函数和函数恒成立问题的求解，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．23．（12分）已知函数f（x）=log4的定义域为R，且y=f（x+1）的图象过点A（﹣1，0）．（1）求实数b的值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由图象变换可得f（0）=log4b=0，解得b；（2）可令t=，可得t＞0，且函数t在[1，+∞）上单调递增，求出导数，由导数不小于0，解不等式即可得到a的范围；（3）假设存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43，即有t=在R上的最大值为．将函数t整理为关于x的方程，运用判别式非负，结合二次方程的根的含义，代入，解方程即可得到a的值，检验即可得到所求值．【解答】解：（1）y=f（x+1）的图象过点A（﹣1，0），可得y=f（x）的图象过点（0，0），即有f（0）=log4b=0，解得b=1；（2）可令t=，可得t＞0，且函数t在[1，+∞）上单调递增，由导数t′==≥0恒成立，由于x≥1，可得a﹣1≤0，即a≤1，当a=1时，函数t=1为常数，舍去，故a＜1；（3）假设存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43，即有t=在R上的最大值为．即有（t﹣1）x2+（t﹣a）x+t﹣1=0由△=（t﹣a）2﹣4（t﹣1）2≥0，即有3t2﹣（8﹣2a）t﹣（a2﹣4）≤0，由假设可得3×﹣（8﹣2a）×﹣（a2﹣4）=0，解得a=2或，当a=2时，f（x）=log4的定义域不为R，舍去，则存在实数a为，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43．【点评】本题考查函数的单调性及应用，以及函数的最值的求法，考查存在性问题的解法，考查转化思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。