第二章附录 拉氏变换
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第二章 拉氏变换
n A A A A A k n 1 2 F(s) = + +L+ +L+ =∑ k s − p1 s − p2 s − pk s − pn k=1 s − pk
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
第二章 拉氏变换
类似地，可得象函数的微分性质： 若，F (s) = £ [f (t)]，则
F ( s ) =-£ [ Hale Waihona Puke f (t ) ]，Re(s)>c
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则：
1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s) st A(sk )esk t Res e , sk B( sk ) B( s )
A(sk )e 即：f (t ) , (t 0) k 1 B( sk )
n
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £ [f (t)]
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
f (t ) Mect ,0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
第2节拉氏变换1
[
− αt
f (t ) = F (s + α )
]
[
− αt
cos ωt
]
s +α cos ωt = 2 2 (s + α ) + ω
s L[cos ωt ] = 2 s +ω2 Le
[
−αt
]
5
延时定理
L[ f (t − α ) ⋅1(t − α )] = e
f (t ) ⋅ 1(t )
−αs
F (s )
f (t − α ) ⋅ 1(t − α )
0
0
α
6 初值定理
lim
t →0+
f (t ) = lim sF (s )
s→∞
例：
ω 求 lim sin ωt = lim s ⋅ 2 =0 2 s +ω s→∞ t →0
+
7 终值定理
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞ s→0
∞ 0
− σt
dt < ∞，其中 σ — 正实数
∞
∫
0
x (t ) e
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
∞ 0 − st
1
0
t
1 − st ∞ 1 dt = − e = s 0 s
拉普拉斯变换
e −σ ⋅t , t ≥ 0 定义函数：ϕ (t ) = 0, t < 0
+∞
浙江大学控制工程第2章 拉氏变换
(t 0)
④
注意求拉氏反变换的步骤
19
2.1.4 拉普拉斯反变换
s m bm 1 s m1 b1 s b0 B(s) bm F ( s) n 1 s n1 a1 s a0 A(s) s an
A(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) 0
1. A(s)=0 只有单实根:
-si为A(s)=0的根, 应先求出.
c c1 c 2 n s s1 s s 2 s sn
si 为实数且两两相异. 有 F (s) B(s)
A( s)
[ F ( s)( s si )] ci为待定系数: ci slim s
1
现有: 则:
F (s) e
1 s
f (t ) 1(t t1 )
1s
0
t1
t
1 s
14
知识巩固
• • • • • • 所谓原函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 所谓象函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 从原函数获得象函数有两种方法,即( ), 课程要求是( ); 对原函数微分一次, 则对应的象函数运算是( ); 对原函数积分一次, 则对应的象函数运算是( ); 假设初始条件为零, 其好处是( ); 这种假设对自动控制系统的分 析有影响吗? • 所谓初值定理中的”初值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值; • 所谓终值定理中的”终值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值;
F (s) A sa
f (t ) e at
f (t ) Ae
at
t
自动控制原理-附录拉氏变换
附录1： 拉普拉斯（LapLace ）变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
一、拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t 为自变量的实变函数)(t f ，它的定义域是0≥t ，那么)(t f 的拉普拉斯变换定义为⎰∞-==0)()()]([dt e t f s F t f L st （1-1）式中，s 是复变数， ωσj s +=（σ、ω均为实数），⎰∞-0st e 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称)(s F 为)(t f 的象函数，而称)(t f 为)(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（1-1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数)(1t 的拉氏变换)(t f 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为)0()0(101≥<⎩⎨⎧∆t t t ）（图1-1 单位阶跃函数单位阶跃函数如图1-1所示，它表示在0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为∞--∞-===⎰00|1)(1)](1[)(st st e sdt e t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0lim →-∞→stt e所以 ss e ss F st1)]1(0[1)(0=--=-=∞-（1-2）2.指数函数atet f -=)(的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
dt e dt ee eL s F t s a atst at⎰⎰∞+--∞--===0)(0][)(令a s s +=1则与求单位阶跃函数同理，就可求得 as e L s F sat+===-11][)(1（1-3） 3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设t t f ωsin )(1=， t t f ωcos )(2=，则dt te t L s F st ⎰∞-==01sin ][sin )(ωω由欧拉公式，有je e t tj t j 2sin ωωω--=所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞---001j 21)(dt e e dt e e s F stt j st t j ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞+---00)()(j 21dt e dt e t j s t j s ωω ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=∞+-∞--0)(0)(j s 1j -s 1j 21t j s t j s e e ωωωω22s j s 1j -s 1j 21ωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=（1-4）同理 222][cos )(ωω+==s st L s F （1-5）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间)0(→=εεt 期间幅值为ε1的矩形波。
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换xin
f (t τ ) 的图象是由f(t)的 时间 τ 。从它们的图象来讲，
图象沿t 轴向右平移距离而得。 这个性质表明，时间函数延迟 τ 的拉氏变换等于它的
象函数乘以指数因子 e s 。
28
0, t τ 的拉氏变换。 例 求函数 u (t τ ) 1, t τ
解 由于
f (t ) Mect ,0 t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级 的，c为它的增长指数）。
7
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( s)
0
f (t ) e st dt
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在
0
sin t 1 dt d s arctan s 0 s2 1 t
0
2
22
d．位移性质 若 L f (t ) F (s) ，则有
L e at f (t ) F (s a)
证
(Re(s a) c)
0
L e f (t ) 其中 Nhomakorabea 0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
F (s) L f (t )
这一公式，常用来计算某些积分。
21
例 求积分
0
sin t dt t
1 L sin t 2 s 1
解 因为
且
所以
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
1 sinh t L L sinh t ds 2 ds s s s 1 t
1 s 1 ln 2 s 1
图象沿t 轴向右平移距离而得。 这个性质表明，时间函数延迟 τ 的拉氏变换等于它的
象函数乘以指数因子 e s 。
28
0, t τ 的拉氏变换。 例 求函数 u (t τ ) 1, t τ
解 由于
f (t ) Mect ,0 t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级 的，c为它的增长指数）。
7
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( s)
0
f (t ) e st dt
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在
0
sin t 1 dt d s arctan s 0 s2 1 t
0
2
22
d．位移性质 若 L f (t ) F (s) ，则有
L e at f (t ) F (s a)
证
(Re(s a) c)
0
L e f (t ) 其中 Nhomakorabea 0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
F (s) L f (t )
这一公式，常用来计算某些积分。
21
例 求积分
0
sin t dt t
1 L sin t 2 s 1
解 因为
且
所以
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
1 sinh t L L sinh t ds 2 ds s s s 1 t
1 s 1 ln 2 s 1
CH2-拉氏变换
1 jt jt st F (s) L sin t sin te dt (e e )e dt 0 0 2j 1 ( s jt ) e dt e ( s jt ) dt 0 2 j 0
st
K st K e dt 2 s 0 s
若式K=1，即单位斜坡函数 1 L t 2 s
分部积分法： u d v uv vd u
2.2 常用时间函数的拉普拉斯变换
4.指数函数（Exponential Function）e t 拉氏变换为 F ( s) L e
2.2 常用时间函数的拉普拉斯变换
单位阶跃函数和单位脉冲函数的关系 1 由以上两例可见，在区间（0， ）里 1 (t ) t d1 (t ) 1 (t ) 所以 dt 由上式
1
(t )
d1 (t ) lim lim (t ) 0 0 dt
1 1 1 ( ) 2 2 j s jt s jt s 2
2.3 拉氏变换的运算定理
1.比例定理
K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍
L Kf (f (t ) Kf (t )e st dt
(e j e j ) sin 2j
(e j e j ) cos 2
2.1 复变量和复变函数
（5） 复数的表示方法 1）点表示法 2）向量表示法
2.1 复变量和复变函数
（5） 复数的表示方法 3) 三角表示法和指数表示法
r cos r sin
G ( s) G ( s)
当 s z1、z2 时，G(s) 0 ，则称 z1、z2 为 当 s p1、p2 时，G(s) ，则称 p1、p2 为
拉氏变换
拉普拉斯变换拉氏变换的物理意义拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。
时域(t)变量t 是实数，复频域F(s)变量s 是复数。
变量s 又称“复频率”。
拉氏变换建立了时域与复频域(s 域）之间的联系。
s=jw ，当中的j 是复数单位，所以使用的是复频域。
通俗的解释方法是，因为系统中有电感X=jwL 、电容X=1/jwC ，物理意义是，系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减，即这种衰减是发生在频域的，所以为了与时域区别，引入复数的运算。
但是在复频域计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL 、KVL 、叠加法Laplace 变换是工程数学里的重要变换，主要是实现微分积分电路的代数运算，建议参看《积分变换》这书.在一阶和高阶电路中，有一些问题在频域中分析比在时域中分析要方便的多，而拉氏变换就是一个很好的分析工具。
它将时域中的信号输入，变换成S 域中的信频输入，再由S 域的输出，转换成时频的输出，很简洁明了，又可以分析出信号的多种变化.工程数学或者积分变换都可以解决你所提的问题.拉普拉斯变换简称拉氏变换。
它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。
并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。
因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。
最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。
在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。
2.1拉氏变换2.1.1拉氏变换的定义若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作[()]f t L 或)(s F ，并定义为：[()]()()e d L st f t F s f t t +∞-==⎰（2.1）式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。
第2章 拉氏变换
证
d L[ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
| f (t )( s )e st dt
0 0
f (0) s f (t )e st dt sF ( s ) f (0)
0
t
图 2 - 7 单位阶跃函数
第1章 自动控制系统概述
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e st dt
0
1 st 1 e |0 s s
单位阶跃函数如图 2 - 7所示。
(2 - 24)
第1章 自动控制系统概述
【例2】 求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。
第1章 自动控制系统概述
第1章 自动控制系统概述
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时， 常需要借助于拉氏变换运算 定理， 这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以 证明。 下面介绍几个常用定理。 1) 叠加定理
两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变
换的代数和。 即
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )]
第1章 自动控制系统概述
当初始条件f(0)=0时， 有 L ［f′(t)］=sF(s) L ［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0) … L ［f (n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f (n-1)(0)
同理， 可求得
第1章 自动控制系统概述
若具有零初始条件， 即 f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 则 L［f″(t)］=s2F(s) … L［f(n)(t)］=snF(s)
第二章附录-拉氏变换
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理
二章2拉氏变换ppt课件
五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2
第二节 拉氏变换公式
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
抛物线函数
（2－16）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
（2－17）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 指数函数的拉氏变换
（2－18）
机械工程控制基础
例2-1：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三角函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-10：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域微分定理
证：
Ltf (t) dF (s)
ds
（2－30）
dF (s) d f (t)estdt d[ f (t)est ] dt
F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数
解：由于
f
(t)
s s2 1
利用实位移定理
f (t 2) s e2s s2 1
由尺度变换定理
s
f
(3t
2)
1
3
2s
e3
3 (s)2 1
s
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
抛物线函数
（2－16）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
（2－17）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 指数函数的拉氏变换
（2－18）
机械工程控制基础
例2-1：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三角函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-10：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域微分定理
证：
Ltf (t) dF (s)
ds
（2－30）
dF (s) d f (t)estdt d[ f (t)est ] dt
F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数
解：由于
f
(t)
s s2 1
利用实位移定理
f (t 2) s e2s s2 1
由尺度变换定理
s
f
(3t
2)
1
3
2s
e3
3 (s)2 1
s
拉氏变换
[ f (t )]
m t 0
[ f ( t )]
de st
e
st
dt
1 m t 0 s
1 m st t e s
0
m m 1 st t e dt s 0
m m 1 st m! st t e dt m e dt 0 s s 0
( n1)T nT
T
f (t ) e
st
f (t ) e st dt
nT
( n1)T
f (t ) e
st
dt t nT
0
T
f ( nT ) e s( nT )d( nT )
T
[ f ( ) e s d ]e snT
f (t )u(t )e t
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， f ( t ) 的傅立叶变换存在。 即函数
F [ f (t )u(t )e
t
]
f (t )u(t )e
t j t
e
dt
0
f (t )e ( j ) t dt
F (s )
[sin kt ]
st
1 jkt jkt st sin kte dt (e e )e dt 0 0 2j 1 ( s jkt ) e dt e ( s jkt ) dt 0 2 j 0
第二章 拉普拉斯变换
§1 §2 §3 §4 拉氏变换的概念 拉氏变换的性质 拉氏逆变换 卷积
§1
拉氏变换的概念
m t 0
[ f ( t )]
de st
e
st
dt
1 m t 0 s
1 m st t e s
0
m m 1 st t e dt s 0
m m 1 st m! st t e dt m e dt 0 s s 0
( n1)T nT
T
f (t ) e
st
f (t ) e st dt
nT
( n1)T
f (t ) e
st
dt t nT
0
T
f ( nT ) e s( nT )d( nT )
T
[ f ( ) e s d ]e snT
f (t )u(t )e t
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， f ( t ) 的傅立叶变换存在。 即函数
F [ f (t )u(t )e
t
]
f (t )u(t )e
t j t
e
dt
0
f (t )e ( j ) t dt
F (s )
[sin kt ]
st
1 jkt jkt st sin kte dt (e e )e dt 0 0 2j 1 ( s jkt ) e dt e ( s jkt ) dt 0 2 j 0
第二章 拉普拉斯变换
§1 §2 §3 §4 拉氏变换的概念 拉氏变换的性质 拉氏逆变换 卷积
§1
拉氏变换的概念
§2、1 拉氏变换的概念
第二章 拉普拉斯（Laplace）变换
我们知道，一个函数除了要满足狄氏条件外，还要在 ( −∞, +∞) 上绝对可积，才存在古典意义下 的傅氏变换．但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正 弦、余弦函数以及线性函数等）都不满足这个条件；其次，还要求进行傅氏变换的函数必须在整个 数轴 ( −∞, +∞) 上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间 t 作为自变量的函数往 往在 t < 0 时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的函数都不能取傅氏变换．由此可见，傅氏变 换的应用范围受到相当大的限制． 对于任意一个函数 ϕ (t ) ，能否经过适当地改造使其进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？这就 使我们想到单位阶跃函数 u (t ) 和指数衰减函数 e
结果发现，只要 β 选得适当，一般说来，这个函数的傅氏变换总存在的．对函数 ϕ (t ) 进行先乘以
u (t )e − β t ( β > 0) ，再取傅氏变换的运算，就产生了 Laplace 变换．
对函数 ϕ (t )u (t )e
−βt
( β > 0) 取傅氏变换，可得
Gβ (ω ) = ∫
+∞ −∞
+ −
∫
+∞ 0
f (t )e − st dt
中的下限取 0 或 0 不会影响其结果．但当 f (t ) 在 t = 0 处包含了脉冲函数时，则 Laplace 变换的积 分下限必须明确指出是 0 还是 0 ，因为 ℒ＋ [ f (t )] = ℒ－ [ f (t )] =
+ −
∫
+∞ 0+ +∞ 0−
+∞ −∞
δ (t )e− st dt = e− st |t =0 = 1 .
我们知道，一个函数除了要满足狄氏条件外，还要在 ( −∞, +∞) 上绝对可积，才存在古典意义下 的傅氏变换．但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正 弦、余弦函数以及线性函数等）都不满足这个条件；其次，还要求进行傅氏变换的函数必须在整个 数轴 ( −∞, +∞) 上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间 t 作为自变量的函数往 往在 t < 0 时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的函数都不能取傅氏变换．由此可见，傅氏变 换的应用范围受到相当大的限制． 对于任意一个函数 ϕ (t ) ，能否经过适当地改造使其进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？这就 使我们想到单位阶跃函数 u (t ) 和指数衰减函数 e
结果发现，只要 β 选得适当，一般说来，这个函数的傅氏变换总存在的．对函数 ϕ (t ) 进行先乘以
u (t )e − β t ( β > 0) ，再取傅氏变换的运算，就产生了 Laplace 变换．
对函数 ϕ (t )u (t )e
−βt
( β > 0) 取傅氏变换，可得
Gβ (ω ) = ∫
+∞ −∞
+ −
∫
+∞ 0
f (t )e − st dt
中的下限取 0 或 0 不会影响其结果．但当 f (t ) 在 t = 0 处包含了脉冲函数时，则 Laplace 变换的积 分下限必须明确指出是 0 还是 0 ，因为 ℒ＋ [ f (t )] = ℒ－ [ f (t )] =
+ −
∫
+∞ 0+ +∞ 0−
+∞ −∞
δ (t )e− st dt = e− st |t =0 = 1 .
积分变换第二章拉氏变换
1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s ) st A( sk )e sk t Res e , sk B( sk ) B( s)
即：f (t )
k 1
n
A( sk )e , (t 0) B( sk )
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
0
f (t )e st dt （s j是一复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定 的函数可写为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
可记为 F(s)=£ [f(t)] 其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
则有，£ [ f (t ) ] = s 2 F (s) sf (0) f (0)
ct
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
的Laplace变换。
结论
定理： 若s ,s , …,sn是函数F(s)的所有奇点 （适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β 内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：
A( s ) st A( sk )e sk t Res e , sk B( sk ) B( s)
即：f (t )
k 1
n
A( sk )e , (t 0) B( sk )
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
0
f (t )e st dt （s j是一复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定 的函数可写为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
可记为 F(s)=£ [f(t)] 其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
则有，£ [ f (t ) ] = s 2 F (s) sf (0) f (0)
ct
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
的Laplace变换。
结论
定理： 若s ,s , …,sn是函数F(s)的所有奇点 （适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β 内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：
2拉氏变换
将上式化为部分分式之和，有2种情况： 1. F(s)无重极点的情况； 2. F(s)有重极点的情况。
nm
39/50
机械工程控制基础
拉氏变换
一、F(s)无重极点的情况
Kn B( s ) K1 K2 F ( s) A( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn ) ( K1 , K 2 K n为代定系数)
4) 复数域的位移定理（衰减定理）
证明：
L[e
f (t )] F ( s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
dt
原函数乘以指数函数e-at 像函数d在复数域中作位移a
F(s a)
20/50
机械工程控制基础
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
5/50
机械工程控制基础
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
2) 复数的表示方法
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
幅角
a
+1
A cos A sin b 2 2 A a b tan a
6/50
机械工程控制基础
B ( s ) bm s m bm 1s m 1 b0 F (s) A( s ) an s n an 1s n 1 a0 K ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
0
拉氏变换
nm
39/50
机械工程控制基础
拉氏变换
一、F(s)无重极点的情况
Kn B( s ) K1 K2 F ( s) A( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn ) ( K1 , K 2 K n为代定系数)
4) 复数域的位移定理（衰减定理）
证明：
L[e
f (t )] F ( s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
dt
原函数乘以指数函数e-at 像函数d在复数域中作位移a
F(s a)
20/50
机械工程控制基础
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
5/50
机械工程控制基础
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
2) 复数的表示方法
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
幅角
a
+1
A cos A sin b 2 2 A a b tan a
6/50
机械工程控制基础
B ( s ) bm s m bm 1s m 1 b0 F (s) A( s ) an s n an 1s n 1 a0 K ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
0
拉氏变换
数学物理方法 拉氏变换
② 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式
K1 K2 Kn F (s) A s p1 s p2 s pn
③ 求各部分分式的系数 ④ 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换
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例
解
s 9 s 11 求：F ( s ) 2 的原函数 s 5s 6 s 2 9 s 11 1 4 s 5 F (s) 2 2 s 5s 6 s 5s 6
则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2 L f 2 (t )
A1 F1 ( s) A2 F2 ( s)
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例1 求 : f (t ) K (1 e
解
at
)的象函数
F ( s ) L[ K ] - LKe
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(2) 若 D ( s ) 0 具有共轭复根
p1 j p 2 j
N (s) N (s) F (s) D( s ) ( s j )( s j ) D1 ( s )
K1 K2 N1 ( s ) s j s j D1 ( s )
解
d (t ) (t ) dt
d n f (t ) n n 1 n 1 s F ( s ) s f ( 0 ) f ( 0 ) L[ ] dt n
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3.积分性质
若： L[ f (t )] F (s)
1 f ( )d ] F (s) s
m m 1
d K1n 1 [ ( s p1 ) n F ( s )] s p1 ds
K1 K2 Kn F (s) A s p1 s p2 s pn
③ 求各部分分式的系数 ④ 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换
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例
解
s 9 s 11 求：F ( s ) 2 的原函数 s 5s 6 s 2 9 s 11 1 4 s 5 F (s) 2 2 s 5s 6 s 5s 6
则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2 L f 2 (t )
A1 F1 ( s) A2 F2 ( s)
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例1 求 : f (t ) K (1 e
解
at
)的象函数
F ( s ) L[ K ] - LKe
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(2) 若 D ( s ) 0 具有共轭复根
p1 j p 2 j
N (s) N (s) F (s) D( s ) ( s j )( s j ) D1 ( s )
K1 K2 N1 ( s ) s j s j D1 ( s )
解
d (t ) (t ) dt
d n f (t ) n n 1 n 1 s F ( s ) s f ( 0 ) f ( 0 ) L[ ] dt n
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3.积分性质
若： L[ f (t )] F (s)
1 f ( )d ] F (s) s
m m 1
d K1n 1 [ ( s p1 ) n F ( s )] s p1 ds
积分变换第二章拉氏变换
j e(sjk )td t e(sjk )td t
20
0
j 1
1 k
2
s
jk
s
jk
s2
k2
(Re s 0)
7
L[sin
kt]
s2
k
k2
同理可得
(Re s 0)
L[cos kt]
s2
s
k2
(Re s 0)
n 1,2,L
特别当 f 0 f 0 L f n1 0 0 时，有
L
f
n
t
snF
s
此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程.
9
像函数的微分性：
d L f (t) L [ tf (t)] Re(s) c
26
例2
F(s)
(s2
1 2s
5)2
,求L1 F (s).
解
F
(s)
[(
s
1 1)2
22
]2
,
L1
(s
1 1)2
22
et
1 2
L1
s2
2
22
1 2
et
sin 2t
L1
F
(s)
L1
(s
1 1)2
22
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依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
则
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
0
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) F ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
cn c1 c2 F ( s) s p1 s p2 s pn
式中pi (i 1,2,, n)是D( s) 0的根, ci是常数 M ( s) ci [ ( s pi )]s pi D( s ) 1 例1 : F ( s ) ( s 1)(s 2)(s 3) c3 c1 c2 s 1 s 2 s 3
单位速度函数（斜坡函数）
0 t 0 f (t ) t t 0
L f (t ) 0 te st dt
st
f(t) 1
e t s 1 2 s
0
e st 0 dt s
0
Re(s) 0
1 单位速度函数
t
单位加速度函数
0 f (t ) 1 2 2 t
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e
0 0
s ( )
d d F2 ( s ) F1 ( s )
f 2 ( )e
0
s
d f 1 ( )e
0
s
即得证。
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 L1 [ F ( s )] 。 称为拉氏反变换。记为 由F(s)可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s) 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
1 lim (1 e s ) 0 s
0 t 单位脉冲函数
1 (1 e s ) 由洛必达法则： lim (1 e s ) lim 0 s 0 ( s )
e s 1 所以： L (t ) lim 0
lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t ) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
2
F(s)
w (s 2 w2 )
2 2
s
(s w )
t
1s
at
e sin wt
e at cos wt
at
e
1/(s+a)
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总 能展开成如下简单的部分分式之和
2 s 2
Re(s) 0
s 同理： L[cos t ] 2 2 s
单位脉冲函数(t)
0 (t ) 1 lim 0
0 0
(t 0且t ) (0 t )
f(t) 1
L (t ) lim e st dt 1
(7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同 样倍数。即： L[ f ( t )] aF (as) a 证： L[ f ( t )] f ( t )e st dt
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e sa ad aF (as)
st 0 0 0
t
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
拉普拉斯变换简介
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积 分 F ( s) f (t )e dt
st 0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。记为 F ( s ) L[ f (t )] f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t ) L [ F ( s)]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
1
式中 f (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。 证：设 h(t ) f (t )dt 则有 h(t ) f (t ) 由上述微分定理，有
L[h(t )] sL[h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[h(t )] L[h(t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
st 0
等式两边对s趋向于0取极限
0 0
左边 lim f (t )e dt lim f (t )e st dt s 0 s 0 f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t 右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 t 1 2 t 1 3t f (t ) e e e 6 15 10
1
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t) 1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L (t ) 1(t )e 1
0
dt
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
指数函数
f (t ) e
L[e
at
f (t ) L1[ F ( s)] t 1 e t
例3. F ( s )
1 的逆变换 2 s ( s 1) a b c 解：F ( s ) s s 1 ( s 1) 2
则a ( s 1) 2 bs( s 1) cs 1 对应项系数相等得 1, b 1, c 1 a 1 1 1 F (s) s s 1 ( s 1) 2 f (t ) 1 e t te t
at
（a为常数）
f(t) 1
] e at e st dt e ( s a ) t dt
0
0
0
1 , (Re(s a ) 0) sa
指数函数
t
正弦函数与余弦函数
f(t) 1 L[cos t ] 0 cos t est dt
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
s
n
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
（4）.终值定理
lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有 st
0
L[ f (t )] f (t )e dt sF ( s) f (0)
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0) s 2 F (s) sf (0) f (0)