高三第四次月考数学试卷(理科)答案
2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题
2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题（5月月考）数学试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） ABCD2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y = B．y =±C．y x = D．2y x =± 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A． B ．4π C． D ．3π5．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．36． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A．75 B．65 C．55 D．457．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A．B．C．D．8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 10．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1 11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考数学试卷(四)参考答案
雅礼中学2023届高三月考试卷（四）一、单项选择题：1．答案C 解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．2．答案B 解析由等差中项的性质可得，a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝4a 7＝12，解得a 7＝3，∵a 7＋a 11＝2a 9，∴2a 9－a 11＝a 7＝3.3.答案C 解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b＋a 2b ＋≥12×＝94，4.答案C 解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺)，即为2丈6尺．5.答案B 解析直线x ＋ay －a －1＝0可化为(x －1)＋a (y －1)＝0，则当x －1＝0且y －1＝0，即x ＝1且y ＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M (1,1)，设圆的圆心为C (2,0)，半径r ＝2，当MC ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|MC |2＝24－2＝22，此时弦长AB 对的圆心角为π2，所以劣弧AB 的长为π2×2＝π.6．答案D 解析由题意，得x ＝15×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，y ＝15×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k ＝y －0.25x ＝30－0.25×40＝20，故A 正确；由经验回归方程可知，b ^＝0.25>0，变量x ，y 呈正相关关系，故B 正确；若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25，故C 正确；当x ＝52时，y ^＝0.25×52＋20＝33，故D 不正确．7.答案A 解析设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38.8．答案B 解析∵c cos A ＋a cos C ＝2，由余弦定理可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2，整理可得b ＝2，又AC 边上的高为3，∴12×2×3＝12ac sin B ，即ac ＝23sin B，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＝1－2ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，∴cos B ≥1－33sin B ，即3sin B ＋3cos B ≥3，即≥32，∵B ∈(0，π)，∴B ＋π3∈B ＋π3∈，2π3，∴B ，π3，故∠ABC 的最大值为π3.二、多项选择题：9．答案AD 解析f (x )＝2cos 2x －x 1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin x对于A ，由y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin 2＝2sin x 故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[0，π]，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈－π2，0，所以2x ＋π4∈－3π4，π4，所以x ∈－1，22，所以f (x )∈[－2，1]，所以f (x )在－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．10.答案BCD 解析A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故A 错误；B 项，由已知可得B 1F ⊥A 1C 1，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1，所以B 1F ⊥平面CAA 1C 1.在矩形AEFA 1中，△DEF 的面积S ＝12×EF ×A 1F ＝12×2×1＝1.又B 1F ＝12A 1C 1＝1，所以三棱锥D －MEF 的体积V M －DEF ＝13S ×B 1F ＝13×1×1＝13，所以B 正确；C 项，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，因为BD ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥BD ，所以C 正确；D 项，由题意可得四边形BB 1FE 为矩形，连接BF (图略)，则矩形BB 1FE 外接圆的圆心为BF 的中点O 1，且O 1F ＝O 1B ＝52.过O 1作O 1N ⊥EF ，垂足为N ，连接DN ，O 1D ，则O 1N ＝12，DN ＝1，O 1N ⊥DN ，故O 1D ＝52，所以O 1是四棱锥D －BB 1FE 的外接球的球心，外接球的半径为R ＝52，则外接球的表面积为S ＝4π＝5π，所以D 正确．11．答案AD 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2，＝my ＋p 2，2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.对于A ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2，故A 正确；对于B ，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，故|AF |·|BF |12(my 1＋p )(my 2＋p )＝m 2y 1y 2＋pm (y 1＋y 2)＋p 2＝－m 2p 2＋2p 2m 2＋p 2＝p 2(m 2＋1)＝4p 2，所以m 2＋1＝4，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率k ＝1m ＝±33，故B 不正确；对于C ，由题意可知2＋p 2＝3，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ，故C 不正确；对于D ，由题意可知p ＝2，所以y 1＋y 2＝4m .易得sin ∠PMN ＝d r，其中d 是点P 到y 轴的距离，r 为以AB 为直径的圆的半径，且d ＝x 1＋x 22，r ＝|PM |＝|AB |2＝x 1＋x 2＋22.又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，且y 1＋y 2＝4m ，所以d ＝2m 2＋1，r ＝2m 2＋2，所以sin ∠PMN ＝d r ＝2m 2＋12m 2＋2＝1－12(m 2＋1)，当m ＝0时，sin ∠PMN 取得最小值12，故D 正确．12.答案ABC 解析由题意，原不等式可变形为1e x －1x ≤x a －a ln x ，即1e x －1ln e x ≤x a －ln x a ，设f (x )＝x －ln x ，则当x ≥e 时，1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )恒成立，因为f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x ≥e ，a >0，所以1e x>1，x a >1，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以要使1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )，只需1e x ≤x a ，两边取对数，得1x ≤a ln x ，因为x ≥e ，所以a ≥1x ln x.令h (x )＝x ln x (x ∈[e ，＋∞))，因为h ′(x )＝ln x ＋1>0，所以h (x )在[e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝e ，所以0<1x ln x ≤1e ，则a ≥1e ，故正实数a 的最小值为1e .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13．答案23解析方法一设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，①(3－a )2＋(1－b )2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝23.故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23.14.答案－2解析如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝AD →＋14AB →·34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2.15.答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x－x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.16．答案如图，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，焦距为2c ，由椭圆定义可得m ＋n ＝2a ，由双曲线定义可得m －n ＝2a 1，解得m ＝a ＋a 1，n ＝a －a 1，当|F 1F 2|＝4|MF 2|时，可得n ＝12c ，即a －a 1＝12c ，可得1e 1－1e 2＝12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 1e 2＝2e 222＋e 2，可设2＋e 2＝t (3<t <4)，则2e 222＋e 2＝2(t －2)2t＝＋4t －f (t )＝t ＋4t －4在(3,4)上单调递增，可得f (t )e 1e 2四、解答题：17.解(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·(a 1＋d )＝2(a 1＋3d )，整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又由a 1＋2d ＝5，可得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又由数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，得新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×(1－22n ＋1)1－2＋(3＋2n ＋4)(2n ＋2)2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.18.解（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C c ABC b =∠，∴ac BD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.19.(1)证明因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，所以CF ＝1，BF ＝5.如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (1,1,0)，F (0,2,1)，BF →＝(0,2,1)．设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0,2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2)．所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)解易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面DFE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )·n 2＝0，·n 2＝0，又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1,1,1)1－m )x ＋y －2z ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，于是平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1,2－m )，所以cos 〈n 1，n 2设平面BB 1C 1C 与平面DFE 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小．20.解(1)进行一次试验，获得0分的概率为12×13＋12×23＝12，获得1分的概率为12×23＝13，获得2分的概率为12×13＝16，进行两次试验，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝4)＝16×16＝136，P (X ＝3)＝13×16×2＝19，P (X ＝2)＝12×16×2＋13×13＝518，P (X ＝1)＝13×12×2＝13，P (X ＝0)＝12×12＝14.所以分数X 的分布列为X01234P 141351819136E (X )＝0×14＋1×13＋2×518＋3×19＋4×136＝43.(2)①G (2)＝16＋13×13＝518，②据题意有，G (n )＝16G (n －2)＋13G (n －1)，其中n ≥3，设G (n )－λG (n －1)＝16G (n －2)＋13G (n －1)－λG (n －1)＝16G (n －2)(n －1)G (n －1)－λG (n －2)]＝16，解得λ＝1±76，所以{G (n )－λG (n －1)}是公比为13－λ的等比数列，其中n ∈N *，n ≥2，λ＝1±76.21.解(1)设y 由P (4,0)，可得|AP |2＋y 20＝y 4016－y 20＋16＝116(y 20－8)2＋12≥12，当y 0＝±22时，|AP |取得最小值23.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝my ＋t ，2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0，即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3,0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.22.解(1)f ′(x )＝2x sin x －(x 2－a )cos x sin 2x，f π，所以f (x )f y ＝πx ，所以f ＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2.(2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x－2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈π2，g ′(x )>0，所以g (x )在区间π2，x h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x又g ′(0)＝－2<0，g π>0，所以存在x 0g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减，x ∈x 0g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。
四川省德阳市重点高中2022届高三上学期第四阶段考试 数学(理)试卷
2021年秋高2019级第四阶段考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{1,2,3}A =，{}(1)(2)0B x Z x x =∈+-<，则A B =（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1}2．已知命题:,cos 1p x x ∀∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||11x e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨3．双曲线2212x y -=-的离心率是（ ）A 3B 2C 2D 34．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．1925．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．16B ．2524C ．34D ．11126．已知实数,x y 满足条件：0301x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．35D ．17．经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a 的平行线，将一根长度为()l l a ≤的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=（其中π为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm 的针，在画有一组间距为3cm 平行线所在的平面上投掷了n 次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出π的近似值为103，则n =（ ）A ．300B ．400C ．500D ．6008．已知()63212x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．80B ．160C ．240D ．3209．已知函数32()2727f x x x x =--+，在下列说法中正确的是（ ） A ．(1,0)是函数()f x 的一个零点 B ．函数()f x 只有两个零点 C ．函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点 D ．函数()f x 在(3,4)上没有零点10．设向量()()()0,1,21b OC ，a OB ，，OA -=-=-=其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．911．已知一圆锥底面圆的直径为333a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）A ．3B 2C ．9322D 3212．已知实数a 、b ，满足526log 6log 25a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜2B ．b ＜a ＜2C ．2＜a ＜bD ．2＜b ＜a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数12i=-z （i 为虚数单位），则z z ⋅=__． 14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积()()()S p p a p b p c =---中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积()()()()2cos S p p a p b p c p d abcd θ=-----．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．16．已知点A 在抛物线23y x =上，过点A 作抛物线的切线与x 轴交于点B ，抛物线的焦点为F ，若30BAF ∠=︒，则A 的坐标为___________.三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(本题满分12分)已知函数 f (x) = sin 2 x - sin x cos x .(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)把 f (x)的图象沿x 轴向右平移8π个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集.18.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列｛n a ｝满足1a =1,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）若12-=n n b 求数列｛n n b a ⋅｝的前n 项和n T ；19.（本小题满分12分）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 111086514.2（1）根据1至5月份的数据，y 与x 近似满足线性回归方程，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）若由回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归方程是理想的，试问是否可以认为所得到的回归方程是理想的？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）20.(本题满分12分)如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABEF 丄平面ABCD , AD//BC , AD ⊥DC, AD=2DC=2BC .（1）求二面角A-CF-D 的余弦值；（2）判断点D 与平面CEF 的位置关系，并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()x f = 1ln +-ax x (R a ∈). （1）函数()0≤x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围; （2）求证：当*N n ∈,2≥n 时，311311211222<⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ； （3）若()x f 有两个不同的零点1x ，2x ,求证：2211a x x <.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系Ox 中，正方形OBCD 的边长为2.（1）求正方形OBCD 的边BC , CD 的极坐标方程；（2）若以O 为原点，OB ,OD 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E ：522=+y x 与边BC , CD 分别交于点P,Q ，求直线PQ 的参数方程.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()x f =|x + 2| + |x -l|. （1）求不等式()x f <5的解集；（2）设函数()x f 的最小值为m ,若c b a ,,均为正数，且m c b a =++222 .求证：3≤++c b a .参考答案1．D【分析】先求得集合{}0,1B =，再根据交集定义得解.【详解】∵{}{}{}(1)(2)0120,1B x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=，{1,2,3}A =， ∴A B ={1}，故选：D. 2．B【分析】根据题意得命题p 是假命题，命题q 是真命题，再依次判断即可. 【详解】解：当0x =，cos 1x =，命题:,cos 1p x x ∀∈<R 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||111x e e ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，所以p q ∧，p q ∧⌝，()p q ⌝∨是假命题，p q ⌝∧是真命题故选：B 3．D【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，即可求出离心率. 【详解】 解：根据题意得2212x y -=-，即2212x y -=故21a =，22b =，2223c a b =+=，即1,a b c ===ce a∴=D 4．B【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.【详解】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=，由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.5．D 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值，计算求解即可． 【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值， 由于11111024612S =+++= 故选：D ．6．C 【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解. 【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-的连线的斜率.解方程组030x y x y -=⎧⎨+-=⎩的33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭,1yx +的最大值为3323512=+ 故选C. 7．A【分析】根据题意此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=列出关系式2120lnπα=，从而求n . 【详解】根据题意，得2120lnπα=，即221201033n ⨯=⨯，所以300n =. 故选：A. 8．D【分析】令1x =解得2a =，再求得6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式求解.【详解】令1x =得6(1)(21)3a +-=，解得2a =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为666316621C (2)(1)2C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为26223633662(1)2C (1)2C 320--⨯-+-=．故选：D 9．C【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，函数的零点不是坐标，故错误；对于B 选项，()()()()()322()27272712711f x x x x x x x x x =--+=--=--+，故()0f x =得7,12x x ==±，即函数有三个零点，故错误；对于C 、D 选项，7(3,4)2x =∈，故函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点，故C 正确，D 错误； 故选：C 10．C【分析】根据向量共线定理可得21a b +=，再应用基本不等式“1”的代换求12a b+的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--，A ，B ，C 三点共线，∴AB AC λ=且R λ∈，则1(1)21a b λλ-=-+⎧⎨=⎩，可得21a b +=，∴11()(2)42244428a b a b a b a b b ba b a a+=++=++≥+⋅=，当且仅当122b a ==时等号成立.∴112+a b的最小值为8 故选：C. 11．B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值． 【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球 设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =，故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠， 所以30PBO ∠=︒； 所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以12r==，所以a=即a．故选：B．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．12．D【分析】先根据526log6log25a=+判断a接近2，进一步对a进行放缩，536log6log25a>+，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】225265365565651 log6log25log6log25log6log5log6log5log6log6a=+>+=+=+=+2>=.构造函数：()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知函数()f x是R上的减函数，且()20f=，由2a>，可知：()341034555a aa a af a⎛⎫⎛⎫=+-<⇒+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又345a a b+=，∴55b a<，则a>b.又∵2253434252b a a b=+>+=⇒>，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.13．15【分析】根据复数的除法运算化简z ，再求出z ，利用复数的乘法运算计算即可求解.【详解】()()12i 21i 2i 2i 2i 55z +===+--+，则21i 55z =-2121411i i 555525255z z ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪⎪⎝⎭⋅=⎝⎭， 故答案为：15. 14．10【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有25=10C 种方法，故答案为：10 15．2102【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为2cos θ的最值问题 【详解】因为()12p a b c d =+++，且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =， 所以()172p AB BC CD DA =+++=,∴S =θ2cos 840abcd - 当2cos θ=0即当90θ=︒的时候，S 取到最大值2102 故答案为:210216．9,4⎛ ⎝⎭【分析】设出A 点坐标，求得切线方程，由此求得B 点坐标，根据cos 30BAF ∠=︒列方程，解方程求得A 点的坐标.【详解】3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,3y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00y ≠，依题意可知过A 点的切线斜率存在且不为0，设为k ，则切线方程为203y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2003kyy kx y =+-，由200233ky y kx y y x⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，化简得2200330k y y y ky ⋅-+-=，()2009430k y ky ∆=--=，220041290k y ky -+=，()20230ky -=，032k y =，故切线方程为2000323y y y x y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，令0y =得203y x =-，故20,03y B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2002,3y AB y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，20094,12y AF y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 依题意，3cos 2AB AF BAF AB AF⋅∠==⋅222000294y y y --⋅+=， 204y =42004270y y -=，由于00y ≠，故20027,4y y ==，此时20027193434yx ==⨯=，所以A 点坐标为9,4⎛⎝⎭.故答案为：9,4⎛ ⎝⎭【点睛】本题的难点有两个，一个是求过A 的切线方程，另一个是利用30BAF ∠=︒来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.18.19.21.。
山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考(4月)数学试题数学试题
山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考（4月）数学试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．62．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π4．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．36．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-8．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．610．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥11．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州外国语学校2022-2023学年高三上学期调研考试(四)理科数学试卷含答案
郑州外国语学校2022-2023学年上期高三第四次调研考试试卷数 学（理科）（120分钟 150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{x |lgx ＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥﹣1}2．已知复数z 满足zi ＝3i +4，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列各命题的否定为真命题的是（ ） A ．∀x ∈R,x 2−x +14≥0 B ．∃x ∈R ，2x ＞x 2C ．∃x ∈R +,(13)x >log 2xD ．∀x ∈[0,π2],sinx ＜x4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16π+32B ．8π+32C ．8π+323D ．16π+3235．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 是C 上一点，且|PF |＝5，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p ＝（ ） A ．2B ．2或4C ．4D ．4或66．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 3＝3a 2+8a 1，S 8＝2S 7+2，则a 2＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．将曲线（x +y ）（x ﹣2y +1）+1＝0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x 轴水平向右，y 轴竖直向上），得到的图像最有可能为（ ）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣m2+2n+1的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，4）D．（1，4）9．已知函数f（x）＝ae x+4x，对任意的实数x1,x2∈(−∞,+∞)，且x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>x1+x2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2e ，+∞)B．[2e3+∞)C．(2e，+∞)D．(2e3+∞)10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD中，AB＝BD ＝2√3，将△ABD沿BD进行翻折，使得AC＝2√6．按张衡的结论，三棱锥A﹣BCD外接球的表面积约为（）A．72B．24√10C．28√10D．32√1011．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣x ln x，且对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值集合为（）A．{a|0＜a＜1}B．{a|1＜a＜2}C．{a|﹣1＜a＜1}D．{1}12．已知函数f（x）＝sin（cos x）+cos（sin x），则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的最大值为2C．∀x∈R，f（x﹣π）＝f（x）D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.）13．∫2−2(e|x|+√4−x2)dx=．14．已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球．现从甲、乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率为．15．已知函数f（x）＝（sinωx）2+12sin2ωx−12(ω＞0，ω∈R)，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．16．过双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2. 若存在直线l，使得AF2⊥BF2，则Γ的离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c sin B cos B+b sin B cos C=√32b．（1）求A；（2）若角A为钝角，△ABC的面积为S，求Sa2的最大值．18．已知数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a1＝1，a n+1=−23S n+1，b n= 2log13a n+3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n+1T n，设数列{c n}的前n项和为R n，证明：R n＜3．19．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（1）求证：EF∥平面CPM；（2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求线段QN 的长．20．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）若σ≈12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为[80，90）和[90，100]的考生中随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤X ≤μ+3σ）≈0.9973．21．已知离心率为√22的椭圆C 的中心在原点O ，对称轴为坐标轴，F 1，F 2为左右焦点，M 为椭圆上的点，且|MF 1→|+|MF 2→|=2√2．直线l 过椭圆外一点P （m ，0）（m ＜0），与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，满足y 2＞y 1＞0． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于任意点P ，是否总存在唯一的直线l ，使得F 1A →// F 2B →成立，若存在，求出点P （m ，0）对应的直线l 的斜率；否则说明理由．22．已知函数f (x )=ax 2−bx +ln x 在点(1,f (1))处的切线方程为2x −2y −3=0． （1）求实数a ，b 的值；（2）设函数g(x)=f(x)−mx(m ≥32)的两个极值点为x 1，x 2且x 1<x 2，若g (x 1)−g(x 2)≥λ恒成立，求满足条件的λ的最大值．郑州外国语学校2022-2023学年上期高三第四次调研考试试卷数 学（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{x |lgx ＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥﹣1}【解答】解：解x 2﹣x ﹣2≤0得﹣1≤x ≤2，A ＝{x |﹣1≤x ≤2}， 由lgx ＞0得x ＞1，故B ＝{x |x ＞1}， 所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 故选：B ．2．已知复数z 满足zi ＝3i +4，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z =3i+4i=3−4i ，则z =3+4i ．故z 在复平面内对应点（3，4）在第一象限． 故选：A ．3．下列各命题的否定为真命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2−x +14≥0 B ．∃x ∈R ，2x ＞x 2C ．∃x ∈R +，(13)x ＞log 2xD ．∀x ∈[0，π2]，sinx ＜x【解答】解：对于A ，∀x ∈R ，x 2−x +14=(x −12)2≥0为真命题，故其否定为假命题，错误；对于B ，因为x ＝5时，25＝32＞52＝25，∃x ∈R ，2x ＞x 2为真命题，故其否定为假命题，错误；对于C ，当x ∈（0，1）时，(13)x ＞0，log 2x ＜0，∃x ∈R +，(13)x ＞log 2x 为真命题，故其否定为假命题，错误；对于D ，当x ＝0时，sin0＝0，故∀x ∈[0，π2]，sinx ＜x 为假命题，故其否定为真命题，正确； 故选：D ．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．16π+32B．8π+32C．8π+323D．16π+323【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成的几何体；如图所示：故V=12×π⋅22×4+12×4×4×4=8π+32．故选：B．5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是C上一点，且|PF|＝5，以PF 为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p＝（）A．2B．2或4C．4D．4或6【解答】解：设以PF为直径的圆与x轴交点为A，则|AF|＝1，|PF|＝5，连接P A，则∠P AF＝90°，所以|P A|=√|PF|2−|AF|2=√52−12=2√6，所以y P＝2√6，把y＝2√6，代入y2＝2px，得x=12p，所以x P=12p，所以12p −（−p2）＝|PF|，即12p +p2=5，所以p2﹣10p+24＝0解得p＝4或6，故选：D．6．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若2S3＝3a2+8a1，S8＝2S7+2，则a2＝（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，∵2S3＝3a2+8a1，∴2（a1+a2+a3）＝3a2+8a1，即6a1+a2﹣2a3＝0，∴6a1+a1q−2a1q2=0，∵a1＞0，∴6+q﹣2q2＝0，解得q＝2或q=−32（舍去），∴q＝2，∵S8＝2S7+2，∴S7+a8＝2S7+2，∴a8＝S7+2，∴a1q7=a1(1−q7)1−q+2，∵q＝2，∴128a1＝127a1+2，解得a1＝2，∴a2＝a1q＝4．故选：A．7．将曲线（x +y ）（x ﹣2y +1）+1＝0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x 轴水平向右，y 轴竖直向上），得到的图像最有可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：令x ＝0，得2y 2﹣y ﹣1＝0有一正一负根，故图象与y 轴正负半轴各有一个交点，再令y ＝0，得x 2+x +1＝0，显然无实根，故图象与x 轴没交点，故排除A ，D ； 由原式得x +y =−1x−2y+1，当x →+∞，y →﹣∞时，x +y =−1x−2y+1→0﹣，即此时图象在第四象限无限趋近于直线x +y ＝0，且纵坐标的绝对值大一点，B 选项在第四象限的图象更符合，C 不符合，故B 最有可能． 故选：B ．8．若函数f （x ）＝x 2+mx +n 在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n 2﹣m 2+2n +1的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，4）D ．（1，4）【解答】解：设f （x ）的两个零点为x 1，x 2，其中x 1,x 2∈(−1,1)， 则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2），所以n 2﹣m 2+2n +1＝（n +1）2﹣m 2＝（n +1+m ）（n +1﹣m ）＝f （1）•f （﹣1）＝（1−x 12）（1﹣x 22） ∈(0,1)．故选：A ．9．已知函数f （x ）＝ae x +4x ，对任意的实数x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），且x 1≠x 2，不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2e ，+∞) B ．[2e 3+∞)C ．(2e ，+∞)D ．(2e 3+∞)【解答】解：不妨设x 1＞x 2，由f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞x 1+x 2，得f(x 1)−f(x 2)＞x 12−x 22，即f(x 1)−x 12＞f(x 2)−x 22，令g （x ）＝f （x ）﹣x 2，所以对任意的实数x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），x 1＞x 2时，都有g （x 1）＞g （x 2），即g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以g '（x ）＝ae x ﹣2x +4≥0在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立， 即a ≥2x−4e x．在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立，令ℎ(x)=2x−4e x．则ℎ′(x)=6−2x e x，令h '（x ）＞0，解得x ＜3，令h '（x ）＜0，解得x ＞3，所以h （x ）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(3)=2e 3，所以a ≥2e 3， 即实数a 的取值范围是[2e 3，+∞)． 故选：B ．10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD 中，AB ＝BD ＝2√3，将△ABD 沿BD 进行翻折，使得AC ＝2√6．按张衡的结论，三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积约为（ ） A ．72B ．24√10C ．28√10D ．32√10【解答】解：∵AB =BD =2√3且ABCD 为菱形，可知△ABD 和△CBD 为全等的等边三角形，记BD 中点为E ，则AE ＝CE ＝3，又翻折后AC =2√6，由余弦定理可知：cos∠AEC =32+32−(2√6)22×3×3=−13，过△ABD 和△CBD 的外接圆圆心O 1，O 2，分别作两条垂线垂直于△ABD 和△CBD ，相交于外接球O ，因为O 1E =13AE =1，且cos∠AEO =√1+cos∠AEC2=√33， 由此，在Rt △O 1EO 中，可求得OE =√3，OO 1=√2．O 1A =23AE =2， 由已知π2=16×58=10⇒π=√10，所以外接球半径R 2=OA 2=O 1A 2+OO 12=6，所以外接球表面积为4πR2=24√10，故选：B．11．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣x ln x，且对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值集合为（）A．{a|0＜a＜1}B．{a|1＜a＜2}C．{a|﹣1＜a＜1}D．{1}【解答】解：函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，即为ax﹣a﹣lnx≥0恒成立，即有0≤（ax﹣a﹣lnx）min．设g（x）＝ax﹣a﹣lnx，x＞0，g′（x）＝a−1x，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）内递减，g（x）无最小值；当a＞0时，x＞1a 时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜1a时，g′（x）＜0，g（x）递减，可得g（x）在x=1a处取得极小值，且为最小值1﹣a+lna．所以1﹣a+lna≥0，又设h（a）＝1﹣a+lna，a＞0，h′（a）＝﹣1+1a，当a＞1时，h′（a）＜0，h（a）递减；当0＜a＜1时，h′（a）＞0，h（a）递增，则h（a）在a＝1处取得极大值，且为最大值0，所以1﹣a+lna≤0，即1﹣a+lna＝0，解得a＝1．故选：D．12．已知函数f（x）＝sin（cos x）+cos（sin x），则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的最大值为2C．∀x∈R，f（x﹣π）＝f（x）D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0【解答】解：对于A，f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））+cos（sin（﹣x））＝sin（cos x）+cos（﹣sin x）＝sin（cos x）+cos（sin x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，选项A错误；对于B，由于﹣1≤cos x≤1，则sin（cos x）的最大值为sin1，而cos（sin x）的最大值为1，∴f（x）的最大值为sin1+1＜2，选项B错误；对于C，不妨取x＝0，则f（﹣π）＝sin（cos（﹣π））+cos（sin（﹣π））＝sin（﹣1）+cos0＝1﹣sin1，而f（0）＝sin（cos0）+cos（sin0）＝sin1+1，∴f（0﹣π）≠f（0），选项C错误；∴选项D正确，作出函数f(x)图象验证如下，由图象可知，选项D正确．选项D的代数推导：f(x+π)=cos(sin x)−sin(cos x)，若x∈[π2,π]，则cos(sin x)>0，sin(cos x)<0，则f(x+π)>0，若x∈[0,π2)，则sin x+cos x≤√2<π2，即0<sin x<π2−cos x<π2，所以cos(sin x)>cos(π2−cos x)=sin(cos x)，即f(x+π)>0.故选：D．二．填空题（共4小题）13．∫2−2(e|x|+√4−x2)dx=2e2−2+2π．【解答】解：∫2−2√4−x2dx＝2∫2√4−x2dx＝2π，∫2−2e|x|dx＝2∫2e x dx＝2e x|02=2e2﹣2，故∫2−2(e|x|+√4−x2)dx=2e2−2+2π，故答案为：2e2−2+2π.14．已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球．现从甲、乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率为12．【解答】解：设X 为红球的个数. P （X ＝2）=C 22C 42⋅C 22C 32+C 21C 21C 42⋅C 11C 21C 32=12，答案为：12．15．已知函数f （x ）＝（sinωx ）2+12sin2ωx −12(ω＞0，ω∈R)，若f （x ）在区间（π，2π））内没有零点，则ω的取值范围是 （0，116]∪[18，516] ． 【解答】解：函数f （x ）＝（sinωx ）2+12sin2ωx −12 =12（1﹣cos2ωx ）+12sin2ωx −12 =12sin2ωx −12cos2ωx =√22sin （2ωx −π4）， 由f （x ）＝0，可得sin （2ωx −π4）＝0，解得x =kπ+π42ω∉（π，2π），因为f （x ）在区间（π，2π）内没有零点， 所以T 2≥π，即π2ω≥π，解得ω≤12； 又因为ω＞0， 令π＜kπ+π42ω＜2π，k ∈Z ；解得k 4+116＜ω＜k2+18，k ∈Z ； 当k ＝0时，ω∈（116，18）， 当k ＝1时，ω∈（516，58）；所以有解时ω的取值范围是（116，18）∪（516，12]，由f （x ）在区间（π，2π）内没有零点，所以ω的取值范围是（0，116]∪[18，516]． 故答案为：（0，116]∪[18，516]．16．过双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2. 若存在直线l ，使得AF 2⊥BF 2，则Γ的离心率的取值范围是 (√5，1+√2] ．【解答】法1：设|AF 1|=m ，|BF 1|=n ，则|AF 2|=m +2a ，|BF 2|=n +2a ，且1m +1n =2a b 2.若AF 2⊥BF 2，则|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2，代入化简即得(4a 2b 2−1)mn +4n 2=0， 又2ab 2=1m +1n ≥√mn，所以mn ≥b 4a 2， 所以4a 2b 2−1<0，且(4a 2b 2−1)b 4a 2+4a 2≥0.解上述不等式得b 2a 2∈(4,2√2+2]，所以e =√1+b 2a 2∈(√5,1+√2]. 法2：依题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ﹣c ，将直线l 的方程为x ＝my ﹣c 代入椭圆方程可得（b 2m 2﹣a 2）y 2﹣2b 2cmy +b 4＝0， 设A （x I ，y l ），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=2b 2cm b 2m 2−a 2，y 1y 2=b 4b 2m 2−a 2，由AF 2⊥BF 2，可得AF 2→⋅BF 2→=0，故（x l ﹣c ）（x 2﹣c ）+y l y 2＝0，整理可得（my l ﹣2c ）（my 2﹣2c ）+y l y 2＝0，整理得(m 2+1)y 1y 2−2cm(y 1+y 2)+4c 2=0，将y 1+y 2=2b 2cmb 2m 2−a 2，y 1y 2=b 4b 2m 2−a 2代入上式可得（m 2+1）b 4﹣4m 2c 2b 2+4c 2（b 2m 2﹣a 2）＝0，∴（m 2+1）b 4＝4a 2c 2，∴m 2+1=4a 2c 2b 4≥1，化简整理得4a 2c 2≥（c 2﹣a 2）2，进而可得c 4+a 4﹣6a 2c 2≤0，不等式两边除以a 4得e 4﹣6e 2+1≤0，解不等式得3﹣2√2≤e 2≤3+2√2，又e ＞1，∴1＜e 2≤3+2√2，解得1＜e ≤1+√2，又A ，B 在左支且l 过F 1，∴y 1y 2＜0，∴b 4b 2m 2−a 2＜0，∴m 2＜a 2b 2， ∴m 2+1=4a 2c 2b 4＜a 2b 2+1，∴4a 2c 2＜a 2b 2+b 4＝b 2（a 2+b 2）＝b 2c 2，解得4a 2＜b 2＝c 2﹣a 2，∴5a 2＜c 2，∴e 2＞5，∴e ＞√5， 综上：√5＜e ≤1+√2，即e ∈（√5，1+√2]．三．解答题（共6小题，第17题10分，其余各题12分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B cos B +b sin B cos C =√32b ． （1）求A ；（2）若角A 为钝角，△ABC 的面积为S ，求Sa 2的最大值．【解答】解：（1）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B cos B +b sin B cos C =√32b ， 则sinCsinBcosB +sinBsinBcosC =√32sinB ， 因为sin B ≠0，所以sinCcosB +sinBcosC =√32， 所以sin(B +C)=sinA =√32， …………………………………………4分因为0＜A ＜π， 所以A =π3或A =2π3； …………………………………………5分（2）由A 为钝角及（1）结论，则A =2π3，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2+bc ， 又S =12bcsinA =√34bc ， 所以S a 2=√34×bc b 2+c 2+bc≤√34×bc2bc+bc =√312，当且仅当b ＝c 时取等号，故S a 2的最大值为√312． …………………………………………10分 18．已知数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a 1＝1，a n +1=−23S n +1，b n =2log 13a n +3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若c n ＝a n +1T n，设数列{c n }的前n 项和为R n ，证明：R n ＜3．【解答】解：（1）因为a n +1=−23S n +1， 由a 1＝1，所以a 2=−23a 1+1=13， 当n ≥2时，a n =−23S n ﹣1+1，两式相减得，a n +1﹣a n =−23a n ，即a n +1=13a n ，…………………………………3分 易知，a 2=13a 1，符合上式， …………………………………………4分 所以数列{a n }是以1为首项，13为公比的等比数列，所以a n ＝（13）n ﹣1； …………………………………………5分 b n =2log 13a n +3=2log 13(13)n−1+3=2n +1； …………………………6分（2）证明：由（1）b n ＝2n +1，所以T n =n(3+2n+1)2=n （n +2），若c n ＝a n +1T n=（13）n ﹣1+1n(n+2)=（13）n ﹣1+12（1n −1n+2），…………………8分所以R n =1−(13)n 1−13+12[（1−13）+（12−14）+（13−15）+（14−16）+……+（1n−1−1n+1）+（1n −1n+2）]=32−32×（13）n +12（32−1n+1−1n+2）=32−32×（13）n +34−12(n+1)−12(n+2)=94−32×（13）n−12(n+1)−12(n+2)＜94＜3，得证．…………………………………………12分19．如图，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，PQ ∥CD ，AD ＝CD ＝DP ＝2PQ ＝2AB ＝2，点E ，F ，M 分别为AP ，CD ，BQ 的中点． （1）求证：EF ∥平面CPM ；（2）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求线段QN 的长．【解答】解：（1）证明：连接EM ，因为AB ∥CD ，PQ ∥CD ，CD ＝2PQ ＝2AB ＝2，所以四边形ABQP 为平行四边形，又点E ，F ，M 分别为AP ，CD ，BQ 的中点，则EM ∥AB ，EM =AB ，CF =12CD ，即EM ∥CF 且EM ＝CF ， 所以四边形EMCF 为平行四边形，则EF ∥CM ， 又EF ⊄平面CPM ，CM ⊂平面CPM ，所以EF ∥平面CPM ； …………………………………………4分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，Q(0，1，2)，M(1，1，1PM →=(1，1，−1)，PQ →=(0，1，0)，CM →=(1，−1，1)，PC →=(0，2，−2)，设平面QPM 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅PM →=x +y −z =0m →⋅PQ →=y =0，则可取m →=(1，0，1)； …………………………………………6分 设QN →=λQC →(0≤λ≤1)，则QN →=λQC →=(0，λ，−2λ)，所以N(0，λ+1，2−2λ)，DN →=(0，λ+1，2−2λ)， 由题意直线DN 与平面QPM 所成的角为π6， 则sin π6=|cos ＜DN →，m →＞|=|DN →⋅m →||DN →||m →|=√(λ+1)2+(2−2λ)2⋅√2=12，解得λ=13或λ＝3（舍）， …………………………………………10分 所以|QN →|=13|QC →|=√53，即线段QN 的长为√53．………………………………12分20．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）若σ≈12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为[80，90）和[90，100]的考生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤X ≤μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：（1）由题意知，μ=1100（45×5+55×10+65×25+75×30+85×20+95×10）＝73， ………………………………………2分 所以P （73﹣12≤X ≤73+12）＝P （61≤X ≤85）≈0.6827，所以P （X ＞85）=12（1﹣0.6827）＝0.15865，……………………………………4分 所以估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数为10000×0.15865＝1586.5≈1587名． …………………………………………6分 （2）按照比例分配的分层随机抽样方法，抽取的6人中，笔试成绩为[80，90）的考生有4名，笔试成绩为[90，100]的考生有2名， 随机变量ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ＝0）=C 42C 20C 62=25，P （ξ＝1）=C 41C 21C 62=815，P （ξ＝2）=C 40C 22C 62=115，所以ξ的分布列为均值E （ξ）＝0×25+1×815+2×115=23．…………………………………………12分 21．已知离心率为√22的椭圆C 的中心在原点O ，对称轴为坐标轴，F 1，F 2为左右焦点，M 为椭圆上的点，且|MF 1→|+|MF 2→|=2√2．直线l 过椭圆外一点P （m ，0）（m ＜0），与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，满足y 2＞y 1＞0． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于任意点P ，是否总存在唯一的直线l ，使得F 1A →// F 2B →成立，若存在，求出点P （m ，0）对应的直线l 的斜率；否则说明理由． 【解答】解：（1）由题可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，则e =ca =√22， 由椭圆定理可得|MF 1→|+|MF 2→|=2a =2√2， 则a =√2，c =1，b =1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1． …………………………………………4分 （2）设直线l 方程为y ＝k （x ﹣m ）（斜率必存在）， 则F 1A →=(x 1+1，y 1)，F 2B →=(x 2−1，y 2)， ∵F 1A →∥F 2B →，∴（x 1+1）⋅y 2＝（x 2﹣1）⋅y 1，∴（x 1+1）⋅k （x 2﹣m ）＝（x 2﹣1）⋅k （x 1﹣m ），化简得x 2+x 1+m （x 2﹣x 1）﹣2m ＝0①， …………………………………………6分 联立y ＝k （x ﹣m ）与椭圆方程可得，（1+2k 2）x 2﹣4mk 2x +2k 2m 2﹣2＝0，Δ＝8k 2（2﹣m 2）+8＞0，∴x 1+x 2=4mk 21+2k 2，x 1x 2=2k 2m 2−21+2k 2， …………………………………………8分代入①得，4mk 21+2k 2+m(x 2−x 1)−2m =0， ∴x 2−x 1=21+2k 2②，∴(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=16k 2−8k 2m 2+8(1+2k 2)2，代入②得：4k 2﹣2k 2m 2+1＝0，故k 2=12m 2−4，…………………………………10分 而点A 、B 在x 轴上方，所以对于任意一个m ＜−√2，存在唯一的k =√12m 2−4使得F 1A →∥F 2B →成立，故满足题意的直线l 有且只有一条． ………………………………………12分 22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx +ln x 在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣2y ﹣3＝0． （1）求实数a ，b 的值；（2）设函数g(x)=f(x)−mx(m ≥32)的两个极值点为x 1，x 2且x 1＜x 2，若g （x 1）﹣g （x 2）≥λ恒成立，求满足条件的λ的最大值．【解答】解：（1）由f （x ）＝ax 2﹣bx +lnx ，得f′(x)=2ax −b +1x ， 因为（1，f （1））在切线方程2x ﹣2y ﹣3＝0上， 所以2﹣2y ﹣3＝0，解得y =−12， 所以f(1)=−12，所以{a −b +ln1=−122a −b +1=1，解得a =12，b =1． …………………………………………4分 （2）由（1）知，f(x)=12x 2−x +lnx ， 则g(x)=12x 2−x +lnx −mx(m ≥32) 则g′(x)=1x +x −(m +1)=x 2−(m+1)x+1x（x ＞0），由g ′（x ）＝0，得x 2﹣（m +1）x +1＝0，因为x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，所以方程x 2﹣（m +1）x +1＝0有两个不相等的正实根x 1，x 2，所以x 1+x 2＝m +1，x 1x 2＝1，所以x 2=1x 1． ………………………………………6分因为m ≥32，所以x 1+1x 1=m +1≥52，解得0＜x 1≤12或x 1≥2，因为0＜x 1＜x 2=1x 1，所以0＜x 1≤12，所以g(x 1)−g(x 2)=lnx 1+12x 12−(m +1)x 1−lnx 2−12x 22+(m +1)x 2=ln x 1x 2+12(x 12−x 22)−(m +1)(x 1−x 2)=2lnx 1−12(x 12−1x 12)， ………………8分令F(x)=2lnx −12(x 2−1x 2)(0＜x ≤12)， 则F′(x)=2x −x −1x 3=−(x 2−1)2x 3＜0，所以F （x ）在(0，12]上单调递减，所以当x =12时，F （x ）取得最小值， 即F (x )min =2ln 12−12(14−4)=158−2ln2，所以λ≤158−2ln2，即实数λ的最大值为158−2ln2．……………………………12分。
新领航教育特供：北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学(理)试题
小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 （教师版）/wxxlhjy QQ:157171090北大附中河南分校2013届高三年级第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设是实数，且11ai R i+∈+，则实数（ ）A ．B ．1C ．2D ．【答案】B 【解析】因为11ai R i+∈+，所以不妨设1,1ai x x R i+=∈+，则1(1)ai i x x xi +=+=+，所以有1x a x=⎧⎨=⎩，所以1a =，选B.2．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是 （ ）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法【答案】C【解析】因为M P ⊆,所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合中的运算为乘法运算，选C.3．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．22D ．4【答案】B【解析】因为2414(22)8a a ==，即241498a a a ==，所以922a =。
则2299711999222222228a a a a a q a q a qq+=+≥⨯=⨯=，当且仅当29922a a q q=，即42q =，时取等号，选B.4．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负【答案】Aa =a 1-2-。
广东省中山五中高三数学第四次月考(理) 新人教版
广东省中山五中2010届高三第四次月考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（每小题5分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1 设集合U={1，2，3，4}, A={2，3}, B={1}, 则)(B C A U 等于 (A) {2}(B) {3} (C) φ(D) {2，3}2 已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i 3 下列不等式不一定成立的是(A) ),(,222R b a ab b a ∈≥+ (B) ),(,232R b a a a ∈>+(C) )(,21R x x x ∈≥+ (D) ),(,2222R b a b a ba ∈+≤+ 4 在三角形ABC 中，“B=60°”是“A ，B ，C 成等差数列”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5 已知数列}{n a 满足12,311-==+n n a a a , 那么数列}1{-n a (A) 是等差数列 (B) 是等比数列(C) 既是等差数列又是等比数列(D) 不是等差数列也不是等比数列6．若实数yx,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+14252yxyxyx, 目标函数yxz-=2，则A．25max=z B．1max-=zC．2max=z D．0min=z7．底面是矩形的四棱柱''''DCBAABCD-中，5,3,4'===AAADAB，︒=∠90BAD，︒=∠=∠60''DAABAA，则='ACA．95B．59C．85D．588．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）种。
天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科数学试卷(带解析)
吉林省长春市2014届高三第四次调研测试理科数学试卷（带解析）1．设全集=U R ，={x|<0}2xA x -，B={x|2<2}x ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 【答案】B 【解析】试题分析：}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()ðUB A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ．考点：集合的运算.2．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=（ ）A ．2B ．3C ．．【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 考点：复数的运算.3．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】试题分析：A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ．考点：线面关系.4．设变量,x y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ） A ．1，-1 B ．2，-2 C ．1，-2 D ．2，-1 【答案】B 【解析】试题分析：由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图，设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ，当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，z 取得最小值2-，故选B ．考点：线性规划.5．按照下图的程序图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（ ）A ．6B ．21C ．5050D ．231 【答案】D 【解析】 试题分析：由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 考点：程序框图. 6．已知3tan 24α=，(0,)4πα∈，则sin cos sin cos αααα+=-（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2【答案】D 【解析】试题分析：432tan =α，即43t a n 1t a n 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ． 考点：倍角公式、齐次式.7．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．13 【答案】D 【解析】试题分析：观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ． 考点：茎叶图、中位数.8．曲线21y x =+在点(1,2)处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A ．15- B ．15- C 1 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ， 又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 考点：抛物线的标准方程、圆的标准方程、点和圆的位置关系.9．双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A 【答案】A【解析】试题分析：在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c2332=，化简得3=a c ，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其几何性质.10．将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置. 若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）A 3B 3C 3D 3 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24， 易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ． 考点：四棱锥的体积.11．已知函数()1f x x =，g()2x x x =+，()ln h x x x =+的零点分别为123,,x x x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．312x x x <<D ．231x x x << 【答案】D 【解析】试题分析：令0)(=x f ，0)(=x g ， 0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．考点：函数图象、零点的概念.12．设数列2sin1sin 2sin 222n n na =+++，则对任意正整数,(m n)m n >都成立的是（ ） A ．||2n m mn a a -> B ．||2n m m na a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a ->【答案】C【解析】 试题分析：|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++)212121(21212121221nm n m n n -+++++=+++<n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．考点：绝对值的基本性质、放缩放.13．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布2(10,0.1)N ，任取一袋大米，质量不足9.8kg 的概率为 .（精确到0.0001） 【答案】0.0228 【解析】试题分析：设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N ，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg 8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ． 考点：正态分布.14．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-，若a ，b 在非零向量c 上的投影相等，且()()0c a c b --=，则向量c 的坐标为 .【答案】)3,1( 【解析】试题分析：设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得： 0322=-+-y y x x ①又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=． 考点：向量的运算.15．已知*111()1(,4)23f n n N n n =++++∈≥，经计算得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 . 【答案】23)2(1+>+n f n )(*∈N n【解析】试题分析：24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为23)2(1+>+n f n ，)(*∈N n 考点：归纳推理.16．设a ，b 为实数，关于x 的方程22(1)(1)0x ax x bx -+-+=的4个实数根构成以q 为公比的等比数列，若[2q ∈，则ab 的取值范围是 . 【答案】[]4,18 【解析】试题分析：设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f 的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18．考点：等比数列的性质、函数值域.17．将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图形向右平移4π个单位后得到()g x 的图像，已知()g x 的部分图像如图所示，该图像与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点P 、Q ，点M 为最高点，且MPQ ∆的面积为2π.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，()1g A =，且a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）()2sin(2)6g x x π=+；（2）435. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的解析式，由解析式得最大值M=2，利用三角形面积公式可得到||PQ ，而周期2||T PQ =，利用周期的计算公式得到2ω=，又因为()g x 过(0,1)F ，代入解析式得到ϕ的值，从而得到()g x 的解析式；第二问，先利用()1g A =，利用特殊角的三角函数值得到角A 的大小，再利用余弦定理得到b 和c 的一个关系式，利用基本不等式得到5bc ≤，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值. （1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω 2分又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ=5分 即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ．6分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A8分由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=22510分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435． 12分 考点：三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式. 18．由某种设备的使用年限i x （年）与所支出的维修费i y （万元）的数据资料算得如下结果，52190ii x==∑，51112i i i x y ==∑，5120i i x ==∑，5125i i y ==∑.（1）求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程^^^y b x a =+； （2）①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少.（附：在线性回归方程^^^y b x a =+中，）^1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，^^a yb x =-，其中x ，y 为样本平均值.)【答案】（1）2.02.1ˆ+=x y ；（2）变量x 与y 之间是正相关，8.9万元.【解析】试题分析：本题主要考查线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用已知的数值及公式先计算^b ，再利用^^a y b x =-计算^a ，从而得到线性回归方程；第二问，①在^^^y b x a =+中，当^0b >时，变量x 与y 之间是正相关，当^0b <时，变量x 与y 之间是负相关，本题是正相关；②使用年限即x 的值，而维修费用是y 的值，代入回归方程中求函数值y 即可.（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a5分 ∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y． 6分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． 9分 ②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y （万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元．12分考点：线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断.19．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（1）求证：1BC D E ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）11D E =.【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得CD BC ⊥，1CC BC ⊥，所以利用线面平行的判定得⊥BC 平面11D DCC ，再利用线面垂直的性质，得1⊥BC D E ；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面11BCC B 和平面1BED 的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段1D E 的长度..（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1∴⊥BC 平面11D DCC 3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． 6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1， 则平面11ADD A 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC =∴E D 1⊥底面ABCD ，∴1D E AE ⊥∴⊥AE 平面1BED 9过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan =⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EGED FG EG 1=，求得11D E =．12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC = ∴ED 1⊥底面A B C7分设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图． 8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B设平面1BED 的一个法向量),,(z y x = ∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED = 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED EB n ，得⎩⎨⎧==+00z y x 令1=x ，得)0,1,1(-=n 9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为 (1,0,0)CB =，1(1,1,)CB a =， 由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a =-． 10分 由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π， 得 ||cos ,cos 32m n m n m n π⋅<>===，解得1a =． 即线段1D E 的长度为1． 12分考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.20．如图12,F F 为椭圆C：22221x y a b+=(0)ab >>的左、右焦点，D ，E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =，2DEF ∆的面积为1.若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭圆”，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的“椭圆”分别为P ，Q.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线方程为2622+=x y 或2622--=x y . 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a 和b 的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l 过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ 为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明OQ OP ⊥，解出k 的值.（1）由题意，e =23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a 2分 又222c b a =-得： 1,2==b a∴椭圆C 的标准方程：2214x y +=． 5分 (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ， 不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ． 而021≠=⋅ 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y x Q y x P 由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x 9分 若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥ 而),2(),,2(2211y x OQ y x OP ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x 代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． 12分 考点：椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.21．已知函数2()()x x ax f x x a R e+=-∈. （1）当1a =时，证明：当0x ≥时，()0f x ≥；（2）当1a =-时，证明：2ln 1(1)()1x f x x e->-. 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当0x ≥时，()0f x ≥转化为()0g x ≥，对函数()g x 求导，利用'()0()g x g x >⇒单调递增，'()0()g x g x <⇒单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将2ln 1(1)()1x f x x e ->-转化为ln 1x x -≥且21111x x e e--≥-，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)1a =时，2()(1)x x x x x x f x x e x e e+=-=--， 令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='x e x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0xx f x g x e =≥，得证． 6分 (2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，x x x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h 即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 9分∴1)1()(=≥h x h ①令=)(x ϕ11x x e --，xe x x 2)(-='ϕ， ∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e x -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． 12分 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.22．如图，ABC ∆是的内接三角形，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交圆O于点D ，PA=PE ，045ABC ∠=，PD=1，DB=8.（1）求ABP ∆的面积；（2）求弦AC 的长.【答案】（1）272；（2） 【解析】试题分析：本题主要考查圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，先利用切线的性质得到PAE ∠=45ABC ∠=︒，所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以利用三角形面积求△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272；第二问，在Rt △APE 中，利用勾股定理得AE =，2,6ED EB ==，再由相交弦定理得出=AC（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， 1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒2分 因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ，4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． 5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = 6分又2=-=PD EP ED ， 6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC 9分所以222312==EC ，故=AC 10分考点：圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理.23．长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，2BA PA =，点P 的轨迹为曲线C.（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（2）求点P 到点D (0,2)-距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）；（2）||PD 取得最大值3212. 【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P 点的横纵坐标，写出曲线C 的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到2||PD ，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设),(y x P ，由题设可知， 则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）． 5分（2）由（1）得 =2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα． 当32sin =α时，||PD 取得最大值3212． 10分考点：参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.24．已知实数0,0a b >>，且2292a b +=，若a b m +≤恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）3；（2）31-≤x 或35≥x . 【解析】试题分析：本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用基本不等式先求函数a b +的最大值，再利用恒成立问题得到m 的最小值为3；第二问，由3≤+b a ，先将“2|1|||x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立”转化为“2|1|||3x x -+≥”，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到x 的取值范围.（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． 5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． 10分 考点：基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法.。
湖北省天门市2014届下学期高三年级4月调研测试数学试卷(理科 有答案)
湖北省天门市2014届下学期高三年级4月调研测试数学试卷（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。
答在试题卷上无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1．设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，{||1N x =<，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为 A ．（0，1）B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1]22a <，则函数()||2f x x =-的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．44．函数1()()3x f x =的零点所在区间为A ．（0，13）B ．（13，12）C ．（12，1）D ．（1，2）6．将正三棱柱截去三个角（如图（1）所示A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图（2），则该几何体按图（2）所示方向的侧视图（或称左视图）为A B C D7．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02,x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定. 若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =的最大值为A ．3B ．4 C． D．9．设平面向量(,1)m m =a ，(2,)n n =b ，其中,{1,2,3,4}.m n ∈记“使得()m m n ⊥-a a b 成立的(,)m n ”为事件A ，则事件A 发生的概率为 A ．12B ．14C ．18D ．11610．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为22千元. 设该容器的建造费用为y 千元. 当该容器建造费用最小时，r 的值为 A ．12B ．1C ．32D ．2二、填空题：本大题 共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。
2024届湖南师范大学附属中学高三上学期月考卷(四)数学及答案
湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
安徽省六安第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题含答案
六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ， 平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。
辽宁省阜新二高2024届高三下学期期末考试(第四次月考)数学试题
辽宁省阜新二高2024届高三下学期期末考试（第四次月考）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ． 1D ．1-3．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+7．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S8．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<9．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．212．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
六安一中2013届高三年级第四次月考
六安一中2013届高三年级第四次月考数学试卷（理科）命题人 袁家锋审题人谢贻海一选择题：本大题共有10小题，每小题5分共50分每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设全集U=R ，集合{}{}0lg |,11|x M >=≤-=x x N x 则=⋂N M （） A {}1|>x xB {}10|≤<x xC {}21|<<x xD {}21|≤<x x2若向量a ，b ，c 满足b a //且c a ⊥，则)2(b a c +⋅等于（） A.4B.3C.2D.03命题p:R x ∈∃0使25sin 0=x ；q:R x ∈∀都有012>++x x 给出下列结论：① 命题“q p ∧”为真；②命题“q p ⌝∧”为假； ② 命题“q p ∨⌝”为真；④命题“q p ⌝∨⌝”为假； 其中正确的命题序号为（）A ②④B ②③C ③④D ①②③ 4以双曲线13x22=-y的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程为（）A 05422=+-+x y xB 03422=+-+x y xC 012222=+-+x y xD 02222=-+x y x 5设2.0)31(-=a ，2log3=b ，5log9=c 则a,b,c 的大小关系为（）A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c6设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =1，364S S =则4a =（）A ．2 B.3 C.47执行如图的程序框图，则输出的复数z 是（） A ．i 2321-+B. i 2321--C.1D.-18函数x xsin 2y -=的图像大致是（）AB C D9已知实数x,y 满足2212++≤++y x y x ，且1≤y 则z=2x+y 的最大值为() A.3B.4C.5D.610已知函数)0(,log)0(,1{)(f 2>≤+=x x x ax x 则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是（） A. 当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点； B. 当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点； C. 无论a 为何值，均有2个零点； D.无论a 为何值，均有4个零点；二填空题：本大题共5小题，每小题5分共25分，请将答案填写在答题卷的相应位置上 11等差数列{}n a 中6a 64=+a ，前5项的和105=S ，则公差d=_______ 12设R y x ∈,,a>1,b>1,若2==y x b a 则4=+b a 则yx12+的最大值为______13一个几何体的三视图及其有关数据如右图所示，则这个几何体的体积是_______14若关于x 的不等式221x 2ax <-）（的解集中的整数共有3个，则实数a 的取值范围是____ 15设R a ∈，x x x a x f 2sin )cos sin cos()(+-=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2411,4，3)4(=πf 给出下列几个命题：① f(x)在4π=x 处取得最小值；② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2411,125是f(x)的一个单调递减区间；③ f(x)的最大值为2；④ 使得f(x)取得最大值的点仅有一个3x π=其中正确的命题序号是_______(将你认为正确命题的序号都填上)三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写文字说明证明过程或演算步骤 16（本小题满分12分）（Ⅰ）设+∈R b ,a ，求证：3333228))()((b a b a b a b a ≥+++；（Ⅱ）已知b a ≠，求证：)(46224224b a ab b b a a +>++；17（本小题满分12分）函数)sin(2)(ϕϖ+=x x f )20,0(πϕϖ<<>的部分图像如图所示：（Ⅰ）求ϕϖ,的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，2=a ，b=1,56)2(-=A f ,求sinB 的值；18（本小题满分12分） 数列{}n a 中，751=a ，nn a a 121-=+（*∈N n ）；数列{}n b 满足11-=n n a b （*∈N n ）（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n a 中最大项与最小项； 19（本小题满分12分） 如图所示的多面体中，2BAC π=∠，2AC AB ==，A B C PA 面⊥，PA=1，M ，D 分别是所在线段的中点，PADN 为矩形.（Ⅰ）求证：MN//面PAC ；（Ⅱ）求平面MNC 与平面PAC 所成锐二面角大小θ；20（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为221-a 1+-=-n n n S （*∈N n ）（Ⅰ）求证：数列{}n 2a n 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令n n a nn b 1+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）令nn n a n a c +=，求证：当2≥n 时，6521<+++n c c c ；21（本小题满分14分） 已知函数x x a x a x f +--=221)ln()( （a<0）（Ⅰ）当-1<a<0时，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若-1<a<2(ln2-1),求证：函数f(x)只有一个零点0x ，且a+1<0x <a+2; （Ⅲ）当54-=a 时，记函数f(x)的零点为0x ，若对任意[]021,0,x x x ∈且112=-x x ，都有m x f x f ≥-)()(12成立，求实数m 的最大值； （本题可参考数据：ln2=0.7,59.059ln,8.049ln==）。
2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考(四)数学试卷含详解
所以 ，
解得： ，当n=1适合
因 ，
所以
，
又因为 是单调递增数列，
所以有 ，对任意的正整数 ，都有 ，
所以 ，
故选：C
8.已知函数 的定义域为 ，对任意大于 的实数 ，都满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性判断出 的大小关系.
A. B. C. D.
6.在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（）
又 ，则2023年的天干是癸
又 ，则2023年的地支是卯
所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯
故选：D7.已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，都有 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意累加法求得 ，再根据裂项相消求和解决即可.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作椭圆 的切线 ，与直线 、直线 分别交于 ， 两点，求 面积的最小值.
东北三省三校2020届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
东北三省三校2020届高三下学期第四次模拟考试数学试卷(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合22{|40},{|log 1},A x x x B x x =-<=…则A B =U ()[)()(].0,.2,.0,4.0,2A B C D +∞+∞ 2．已知复数21i 1ia z =-+-（i 为虚数单位，a ∈R )，z 在复平面上对应的点在第四象限，则a 的取值范围是 ().2,0A - ().1,1B - ().1,C +∞ ().1,2D -3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是A ．乡村游人数逐年上升B ．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C ．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D ．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．在等比数列{a n }中512,2,8,a a a ==则数列{a n }前7项的和S 7=A ．253B ．254C ．255D ．2565．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出x 的值为A ．123B ．125C ．127D ．1296．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，①若,n βα⊥∥,,m βα⊥ 则m//n ；②若m//,,n ααββ⊥⊥则m//n ；③若,n βα⊥//,m β∥α，，则m ⊥n ；④若,,m n ααβ⊥⊥//,β则m n ⊥在上述四个命题中，真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为 A ．1 B ．2 C. 12D.3 8．已知α为锐角，若c ，则3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α= A.710 B.310 C.13 D.724 9．已知双曲线()2222.10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：22220x y a b +--=与双曲线的一个交点为P ，若12|||,PF PF =则双曲线的离心率为A ．2BC ．2 1D10．把函数()()cos 03f z x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后得到函数()g x 的图象，函数g(x)图像的一条对称轴为直线6x π=，若函数()f x 在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．已知三棱锥P-ABC(记ABC ∆所在的平面为底面)内接于球O ，PA ：PB ：PC=1：2：3，当三棱锥P-ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56143，则此时ABC ∆的面积为 A ．12 B ．13 C ．14D ．15 12．若不等式2ln mx x mxe ≥恒成立，则实数m 的取值范围为2111.,.,.,.2A B C D e e e ⎫⎡⎫⎡⎫⎛⎫+∞+∞+∞+∞⎪⎪ ⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎝⎭⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分3．已知实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„„则z=2x+y 的最小值 ▲14．已知平面向量,,||2,||3,==a b a b 若()34,⊥-a a b 则向量a 与b 的夹角的大小为 ▲15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在Sn 中只有S1最小，则1513______02S S -.（填“>”或“=”或“<”)16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ|的最小值为 ▲三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17．(12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3(cos cos )tan b a C A A =+(1)求角A 的大小；(2)若ABC ∆的面积为3，且6,a =求b ，c.18．(12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，2,2,DC AC BC AB DO ====⊥平面ABC(1)求证：平面OEF//BCD 平面；(2)求二面角D-OE-F 的余弦值19．(12分)“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回)，若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元。
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银川一中2012届高三第四次月考数学(理科)试题参考答案
一．选择题：CDBBD AABCC CD
13.6 14.8-32π. 15.3
2π
. 16.n n n q b T 1= 三．解答题： 17．解：（Ⅰ）设数列
的公比为
，
由已知，得
， ……………………………………2分
即， 也即
解得
………………………………………………………………………5分 故数列
的通项为
． ………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴
， (8)
分
又，
∴
是以
为首项，以
为公差的等差数列 ……………10分
∴
即
． ……………………………………………………………12分 18.证明：（Ⅰ）连接，由条件可得
∥. 因为平面，
平面
，
所以
∥平面
.
（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，
,是
中点，
所以，
又因为四边形是正方形，所以.
因为
，所以
.
又因为，所以平面平面. - （Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知
，
.
建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥的底面边长为2，
则
，，，
，
，. 所以，
.
设
（
），由已知可求得
.
所以
，
.
设平面
法向量为
，
则 即
令
，得. 易知
是平面
的法向量.
因为，
所以，所以平面
平面
. -------------------（8分）
（Ⅲ）解：设
（
），由（Ⅱ）可知，
平面法向量为
.
因为
， 所以
是平面
的一个法向量.
由已知二面角
的大小为
.
所以，
所以，解得.
所以点是的中点. -----------------（12 19.解:（1）由已知:
∴∴锐角△ABC ∴
（2）原式=
=
=
20.解：（I ），又，
四边形是平行四边形，。
又平面，平面，
直线平面
（Ⅱ）过作于，连结
平面，，
是二面角的平面角。
，是的中点，。
在中，
，即二面角的大小为60°（Ⅲ）过作于，
平面，平面平面，
平面且为点到平面的距离。
，。
21．解：（1
）………………2分
由，故
时由得的单调增区间是，
由得单调减区间是
同理时，的单调增区间，，单调减区间为…5分
（2）①由（1）及（i）
又
由
有
知的零点
在内，
设，
则，结合（i ）解得，…8分
∴………………9分
②又设，先求与轴在的交点
∵，由得
故，在单调递增
又，故与轴有唯一交点
即
与的图象在区
间上的唯一交点坐标
为为所求…………13分
22．
解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因
为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
23.解：（I
）直线的参数方程是． -----------------（5
分）
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别
为．
圆化为直角坐标系的方程．
以直线l 的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． -----------------（12分）
24.解：（Ⅰ）由得，
∴
，即，∴，
∴。
┈┈┈┈┈4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知令，
则，
∴的最小值为4，故实数的取值范围是。
┈┈┈┈┈10分。