2021届宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题 PDF版

，
，
，故 正确；
对于 取 AC 中点 O，延长 ， 交于一点，
而在正方体中，与 ，AC， 都相交的直线只有这一条．
故 错误；
对于 ，因为 平面
，即 平面 BEF，
要与平面 BEF 所成角为 ，即为过 的中点的直线与 AC 成 ，
由于过 的中点与直线 和直线 AC 所成角都为 的直线有 2 条．故 正确；
1 OB 2
的最大值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 f (x) x 1 x 2 ． （1）求不等式 f (x) x 4 的解集； （2）若 f (x) 的最小值为 m，正实数 a，b，c 满足 a b c m ， 求证： 1 + 1 + 1 m ．
ab bc ca 2
2
（1）若函数 y f x 在 x 1 处的切线斜率为 2，求 a 的值；
（2）若函数 y f x 有两个极值点 x1，x2 ，求证： f (x1)+ f (x2 )<6-lna ．
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
故答案为：B．
根据题意，依次分析：如图可知 平面
，
，进而判断出 正确；
根据
，判断出
平面
，即
平面 BEF，计算出 到平面 BEF 的距离，即可判断
出 项错误；
设 AC，BD 交于点 O， 平面
，可分别求得 和 AO，则三棱锥
的体积可得判断 项
-5-
正确；
再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定 和 项正确．
，
因
平面
，所以
D.
在
中，
，
，则
，
在
中，
，
，则
，
故
，故 BD
，
因
，故 B 平面 CBD．
以 D 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 x，y 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 0， ， 1， ，
，
由
是正三角形可知
，
，
，
，
平面 CBD 的一个法向量
，面 的法向量
，
，
由图可知二面角
的平面角为锐角，
二面角
x
4 a,
x
0
是单调递增函数，则实数 a
的取值范围是
A． (1，2)
B． 1，3
C． 2，3
D． 3，+
12．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有
两个动点 E，F，且 EF
2 2
，则下列结论中错．误．的个数是
(1) AC BE ．
(2)若 P 为 AA1 上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 2 ． 2
13．记 Sn 为等比数列an 的前 n 项和，若 a1 =1，且 3S1, 2S2 , S3 成等差数列，则 a4 = ___．
14． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b a(cos C 3 sin C) ， a 3 ， c 1，则 3
角 C ______．
15．已知矩形 ABCD 中， AB 2, BC 3, E 是 CD 边的中点．现以 AE 为折痕将 ADE 折起，当三
18．(12 分)
已知正项等比数列
an
中，
a4
=81
，且
a2
,
a3
的等差中项为
3 2
(a1
a2
)
．
(1)求数列an 的通项公式；
(2)若 bn = log3
a2n1
，数列bn 的前
n
项和为
Sn
，数列cn 满足 cn
1 4Sn 1
， Tn
为数列cn 的前
n
项和，求Tn .
19．(12 分)
如图，扇形 ABC 是一块半径为 2 千米，圆心角为 60o 的风景区，
1．已知集合 A x x2 3x 4 0 ，B 4，1，3，5 ，则 A B
A．-4，1
B．1，5
C．3，5
D．1，3
2．设 z 3 i ，则 z = 1 2i
A．2
B． 3
C． 2
D．1
3．若平面上单位向量 ar ,
r b
满足（ar
rr +b） b
=
3
，则向量
ar ,
r b 的夹角为
重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有 1 个六边形，第二行有
2 个六边形，每行比上一行多一个六边形 六边形均相同 ，设图
中前 n 行晶格点数 bn 满足 bn+1-bn =2n 5, n N ，则 b10 =
A．101
B．123
C．141
D．150
11．已知函数
f
x
＝ax3x
,
(a2 4) x0
2
A． 6
B． 3
C． 2
D．
4．已知直线 l 是平面 和平面 的交线，异面直线 a，b 分别在平面 和平面 内．
命题 p：直线 a，b 中至多有一条与直线 l 相交；
命题 q：直线 a，b 中至少有一条与直线 l 相交；
命题 s：直线 a，b 都不与直线 l 相交．
则下列命题中是真命题的为
P 点在弧 BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道 PQ 与 AB 垂直，街道 PR 与 AC 垂直，线段 RQ 表示第三条街道．
（1）如果 P 位于弧 BC 的中点，求三条街道的总长度； （2）由于环境的原因，三条街道 PQ、PR、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米 300 万元、200 万 元及 400 万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？ 20．(12 分)
h x＝f x 1 -g x 恰有 2021 个零点，则所有这些零点之和为
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
10．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代
表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结
构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，
A． 1 2
B． 1 2
C． 1
D． 1
6．函数 f x
2 sin(x )，(
0,
) 的部分图象如图所示，则 2
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f
4
的值为
-1-
A． 6 2
B． 3 2
C． 2 2
D． - 2 2
7．设
a
cos2
12o-
sin
2
12o，b
2 tan12o 1- tan2 12o
，c
A． p q
B． p s
C． q s
D． p q
5．如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(,1), C(,1), D(0,1), 正弦曲线 f x sin x 和
余弦曲线 g x cos x 在矩形 ABCD
内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点 落在阴影区域内的概率是
由余弦定理可知：丨 RQ 丨 丨 AQ 丨 丨 AR 丨 丨 AQ 丨丨 AR 丨
，
，
，
则丨 RQ 丨 ，
三条街道每年能产生的经济总效益 W， 丨 PQ 丨
丨 PR 丨
丨 RQ 丨
，
，
-7-
，
，
当
时，W 取最大值，最大值为
20.【答案】 证明：设点 C 在平面
内的射影
E，则
， 平面 CBD， 平面
棱锥 D ABE 的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______．
16．函数 f x 满足 f 1 x f 1 x ，当 x 1 时， f x = x ，
ln x
若 f 2 x -2mf x 4m 0 有 8 个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是______．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考
的余弦值为 ．
21.【答案】解： 因为
，
所以 则
若 若
，
，所以 a 的值为
，函数
的定义域为
，
，即 ，则
，此时 的单调减区间为
；
，即
，则
的两根为
，
-8-
此时 的单调增区间为
单调减区间为
所以当
时，函数
因为
，
，
有两个极值点 ， ，且
，
．
，
要证
，只需证
构造函数
，则
，
在 上单调递增，又
，
，且 在定义域上不间断，
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 y 2 ，曲线 C 的参数方程是
x 2cos
(为参数) ,以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
y 2 sin
（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
（2）若
A
1
,
是曲线
C
上一点，
B
2
,
4
是直线
l 上一点，求
1 OA 2
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分)
17．(12 分)
如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是 矩形， PA 平面 ABCD ，M，N 分别是 AB，PC 的中点，
PA AD a ．
(1)求证： MN / / 平面 PAD (2)求证： MN 平面 PCD．
(3)三棱锥 A-BEF 的体积为定值．
(4)在空间与 DD1， AC ， B1C1 都相交的直线有无数条．
(5)过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40o 并且与平面 BEF 所成角为 50o 的直线有 2 条．
A．0
B．1
C． 2
D．3
-2-
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
-3-
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1=2AB 2 ，
BAA1= 3
，D
为
AA1 的中点，点
C
在平面
ABB1 A1
内的射影在线段 BD 上．
（1）求证： B1D 平面 CBD； （2）若 CBD 是正三角形，求二面角 C1 BD C 的余弦值．
21．(12 分)
已知函数 f x 4x a ln x- 1 x2 -2 ，其中 a 为正实数．
由零点存在定理，可知
在 上唯一实根 ，且
则 在 上递减， 上递增，所以 的最小值为 ，
因为
，
当
时，
，则
，
所以 所以 所以
恒成立． ， ，得证
22.【答案】解： Ⅰ 直线 l 的方程是 ，转换为极坐标方程为
，
曲线 C 的参数方程是
为参数 转换为直角坐标方程为
，转换为极坐标方程为
银川一中 2021 届高三年级第四次月考
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
-4-
银川一中 2021 届高三第四次月考数学(理科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 D C B C B C A D D C C A
10.C【解析】
，
，
则
，
所以数列
是以 7 为首项，2 为公差的等差数列，
，
，
平面
平面 PDA，
平面 PAD．
平面 ABCD，
．
底面 ABCD 是矩形，
，
又
，
平面 PAD，
．
，
，
又
，
，
平面 ENM，
．
，N 是 PC 的中点，
又
，
平面 PCD．
18.【答案】解： 设等比数列 的公比为
，
由题意，得
-6-
解得 所以
由得
，
， ，
，
． 19.【答案】解： 由 P 位于弧 BC 的中点，在 P 位于 则丨 PQ 丨 丨 PR 丨 丨 PA 丨
1 cos 48o ，则有 2
A． c b a B． a b c C． a c b D． b a c
8．已知函数
f
x
＝
2x 2x
1 1
，若不等式
f
a2 2a m f 1 2a 0 对任意的 a -1，4 均成立，则 m
的取值不可能是
A．9
B．8
C．7
D．6
9．已知函数 f x＝x3 sin x(x R) ，函数 g x 满足 g x g 2 x 0(x R) ，若函数
的角平分线上， ，
丨 AQ 丨 丨 PA 丨
，
由
，且丨 AQ 丨 丨 AR 丨，
为等边三角形，
则丨 RQ 丨 丨 AQ 丨 ，
三条街道的总长度 丨 PQ 丨 丨 PR 丨 丨 RQ 丨
；
设
，
，
则丨 PQ 丨 丨 AP 丨
，丨 PR 丨 丨 AP 丨
，
丨 AQ 丨 丨 AP 丨
，丨 AR 丨 丨 AP 丨
本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能 力，是中档题． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 27 14. 15 .
16.
三、解答题： 17.【答案】证明：(1)如图，取 CD 的中点 E，连接 NE，ME．
，M，N 分别是 CD，AB，PC 的中点，
当 时，
，所以
．
故选：C．
12. A【解析】解：对于 ， 在正方体中 平面
，又 平面
，
对于 ，
，
平面
，
平面
，
平面
，即
平面 BEF，
又 正方体
的棱长为 1，
到平面 BEF 的距离为 到 的距离 ，
故 正确．
若 P 为 上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 ，故 正确；
对于 ，
，
设 AC，BD 交于点 O， 平面