【数学】湖南省永州市2018届高三下学期第三次模拟考试试题(理)

湖南省永州市2018届高三下学期第三次模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1．设集合}0,{a A =，}1,2{+=a B ，若}0{=B A ，则=B A （ ） A ．}2,0,1{- B ．}2,1,0{ C ．}2,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．若复数z 是纯虚数，且i a z i +=-)1(（R a ∈，i 是虚数单位），则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．23．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）4．双曲线11322=-+-ay a x 的焦点x 轴上，若焦距为4，则a 等于（ ） A ．1 B ．23C ．4D ．10 5．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ax y =在),0(+∞是增函数的概率为（ ）A ．21 B ．52 C ．32D ．43 6．3)3)(1(xx x x +-的展开式中的常数项为（ ）A ．6-B ．6C ．12D ．187．设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知B c B b A b tan 2tan tan =+，则=A （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．在ABC ∆中，060=∠BAC ，5=AB ，6=AC ，D 是AB 上一点，且5-=⋅，则||BD 等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．610．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为2F ，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且||3||||2OM OF OA ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．410 B ．610 C ．55 D ．35 11．三棱锥BCD A -的所有棱长都相等，N M ,别是棱BC AD ,的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．31 B ．42 C ．33 D ．3212．若曲线)11()1ln(1)(41-<<-+=e x e x a x f 和)0()1()(22<-=x x x x g 上分别存在点A 和点B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[2e eB ．),2(2e e C ．)4,2[e e D ．),4(2e e二、填空题13．中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为 .14．已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30203x y x y x ，则22)1(y x z ++=的最小值为 .15．函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的部分图象如图所示，将函数)(x f的图象向右平移125π个单位后得到函数)(x g 的图象，若函数)(x g 在区间],6[θπ-上的值域为]2,1[-，则 .16．记n S 为正项等比数列}{n a 的前n 项和，若2224=-S S ，则46S S -的最小值为 . 三、解答题17．在等比数列}{n a 中，首项81=a ，数列}{n b 满足n n a b 2log =，且15321=++b b b . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，又设数列}1{n S 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC EF //，1=EF ，60=∠ABC ，⊥CE 平面ABCD ，3=CE ，2=CD ，G 是DE 的中点.（1）求证：平面//ACG 平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19．某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为C B A ,,三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知C B A ,,三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. （1）求保险公司在该业务所或利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.20．设斜率不为0的直线l 与抛物线y x 42=交于B A ,两点，与椭圆14622=+y x 交于D C ,两点，记直线OD OC OB OA ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k .（1）求证：4321k k k k ++的值与直线l 的斜率的大小无关；（2）设抛物线y x 42=的焦点为F ，若OB OA ⊥，求FCD ∆面积的最大值.21．已知2ln 22)(1b x a aex f x -+=-,222222ln 22)(a b x ex g x +-+=-. （1）若对任意的实数a ，恒有)()(x g x f <，求实数b 的取值范围；（2）当a b a 10,42-=<<时，求证：方程xx e e x f +=-12)(恒有两解.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线l 过点)2,1(P ，且倾斜角为α，)2,0(πα∈.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12)sin 3(22=+θρ. （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，并判断曲线C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交与N M ,两点，当2||||=⋅PN PM ，求α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数3|2|)(|,3||2|)(+-=++-=x x g x a x x f . （1）解不等式6|)(|<x g ；（2）若对任意的R x ∈2，均存在R x ∈1，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、选择题1～5 ACDCC 6～10 BCCBA 11～12 DA 二、填空题13．14．9 215．3π16．8三、解答题17.解：（1）由2log=n nb a和12315b b b++=得2123log()15a a a=，所以151232a a a=，设等比数列}{na的公比为q，18=a，18-∴=nna q，2158882∴⋅⋅=q q解得4=q．（4=-q舍去），184-∴=⋅nna即212+=nna．（2）由（1）得21=+nb n，易知}{nb为等差数列，235...(21)2=++++=+nS n n n,则11111()(2)22nS n n n n==-++，=nT111111[(1)()()]23242n n-+-++-+1311()2212n n=--++，34∴<nT．18．（1）证明：连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE⊂面BEF，OG 在面BEF外，所以OG//面BEF；又EF//AC，AC在面BEF外，A C//面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面A C G∥面BEF；（2）解：如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A-，(0,3,0)B-，(0,3,0)D，(0,0,3)F，(1,3,0)AD=，(1,3,0)AB=-，(1,0,3)AF=，设面ABF的法向量为(,,)m a b c=，依题意有mmABAF⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩，(,,)(1,)(,,)(1,0,)3,030330a b c aa b c abc⋅-=-⋅=+⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3a=，1b=，1c=-，(,1,)31m=-，3315cos,441mAD=+<>=⨯+，直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是5．19． 解：（1）设工种A 、B 、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 的分布列为保险公司的期望收益为45511()25(1)(2510010)151010E X =-+-⨯⨯=； 45522()25(1)(2510010)51010E Y =-+-⨯⨯=； 44411()40(1)(405010)101010E Z =⨯-+-⨯⨯=-； 保险公司的利润的期望值为12000()6000()2000()10000090000E X E Y E Z ⨯+⨯+⨯-=， 保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：4444455412112000100106000100102000501012104610101010⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=⨯， 方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：4(1200025600025200040)0.737.110⨯+⨯+⨯⨯=⨯，44461037.110⨯>⨯，故建议企业选择方案2．20．解：（1）设直线l ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ．联立=+y kx m 和24=x y ，得2440--=x kx m ，则124+=x x k ，124=-x x m ，121212+=+=y y k k x x 1244+=x x k ， 联立=+y kx m 和22164+=x y 得222(23)63120+++-=k x kmx m ， 在22222(6)4(23)(312)0(46)km k m k m ∆=-+->⇒+>此式可不求解)的情况下，342623-+=+km x x k ，234231223-=+m x x k ，233443422343434()682223124y m x x y m m km kk k k k k x x x x x x m m +--+=+=++=+=+=--，所以 2123448+-=-+k k m k k 是一个与k 无关的值． （2）由（Ⅰ）知124+=x x k ，124=-x x m ，而由OA OB ⊥得12120x x y y +=22212124016∴+=-+=x x x x m m 得m =4（m =0显然不合题意），此时202∆>⇒>k ， 3422423k x x k -+=+，3423623x x k =+，34CD x =-12=， 点(0,1)F 到直线CD 的距离21=+d k，所以2118223∆=⋅=⋅+FCDS CD d k ， （求面积的另法：将直线l 与y 轴交点（0,4）记为E ，则341||2FCD S EF x x ∆=⋅- 32=18FCD S ∆=0=>t，则21838FCD t S t ∆=≤=+， 当且仅当83=t，即k =OCD S ∆21．解：（1）要使f (x )＜g (x )恒成立，即使21222222ln 22ln 22e ex x b ba a x x a --+-<+-+成立，整理成关于a 的二次不等式221222ln )(22ln 22(e e)02x x ba x x ba --+++--+>， 只要保证△＜0，21222222122ln )4(22ln e ln 8ln 224(ee)44e 202x x x x bx x x x b bb ----∆=+-+-+++=---<， 整理为22212e ln 2e ln 11022x x x x b b ---++->，122(e ln )1122x x b b -->- （i ）下面探究（i ）式成立的条件，令1()ln ex t x x --=，1()e 1x t x x-'-=，(1)0t '=，当(0,1)x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 单调递增，x =1时()t x 有最小值(1)1t =，222min 111(()(())122)b b t x t -<==，220b b --<，12b -<<．实数b 的取值范围是（－1,2）．（2）方程1e e ()2x x f x a -=+化为e 2ln 50x a x a --=， 令()e 2ln 5x h x a x a =--，2()e x a h x x'=-，()h x '在（0，＋∞）上单调递增，e (1)20h a '=-<， 2(2)e 0h a '=->，存在0(1,2)x ∈使0()0h x '=，即002e x a x =，002ex a x =，()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， ()h x 在0x 处取得最小值． 000022()e 2ln 52ln5ex x a a h x a x a a a x =--=--0012()2ln 25a x a a a x =+--，001(2,)52x x +∈，0()2ln 2h x a a <-＜0，3e3()0e eh a --=+>，e22()90e e h a =->，()h x 在03(e ,)x -和02(,e )x 各有一个零点，故方程1()2e e x x f x a -=+恒有两解．22.解：（1）直线的参数方程为.曲线的直角坐标方程为，即， 所以曲线是焦点在轴上的椭圆. （2）将的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，得，，得， ，.23.解：（1）由|，得6236x -<-+<， ∴，得不等式的解为 .（2），， 对任意的均存在，使得成立，∴，∴，解得或，即实数的取值范围为：或．l ⎪⎭⎫⎝⎛∈⎩⎨⎧+=+=2,0),(sin 2,cos 1πααα为参数t t y t x C 124322=+y x 13422=+y x C x l ⎪⎭⎫⎝⎛∈⎩⎨⎧+=+=2,0),(sin 2,cos 1πααα为参数t t y t x C 124322=+y x 07)sin 16cos 6()sin 4cos 3(222=++++t t αααα1222723cos 4sin PM PN t t αα∴⋅=⋅==+21sin 2α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4πα∴=236x -+<923x -<-<15x -<<()()()232323f x x a x x a x a =-++≥--+=+()233g x x =-+≥2x R ∈1x R ∈21()()f x g x ={}{}()()y y f x y y g x =⊆=233a +≥0a ≥3a ≤-a 0a ≥3a ≤-。