信息安全数学基础第一章

定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
21
1.2
5
1.1 群的定义-群的定义
定义3 定义 是一个非空集合， 设 G 是一个非空集合， 是 G上的一个代数 运算，如果该运算满足如下三条性质： 运算，如果该运算满足如下三条性质：
（1）结合律： ∀a, b, c ∈ G , ）结合律：
(a b) c = a (b c)
（2）有单位元：∃ 1∈ G, ∀a ∈ G , 1 a = a 1 = a ）有单位元： （3）有逆元：对 ∀a ∈ G, 存在 a ' ∈ G, 使得 ）有逆元：
该集合对于矩阵的普通乘法是一个群， 该集合对于矩阵的普通乘法是一个群，单位元是
1 0 0 1
11
1.1 群的定义-群的例子 群的定义例6
GL(n, R ) = { A ∈ R n×n , 一般线性群： 一般线性群：
特殊线性群： (n, R) = A A ∈ R n×n , A = 1 特殊线性群： SL
a a = a a =1
' '
为一个群 则称 (G, ) 为一个群（Group） ）
6
1.1 群的定义-群的定义
进一步， 还满足如下的交换律： 进一步，如果群 (G , )还满足如的交换律：
∀a, b ∈ G, a b = b a
交换群(commutative group )。 则称 (G, ) 为交换群 。 表示。 注1：群中的单位元是唯一的，一般用 表示。 ：群中的单位元是唯一的，一般用1表示 的逆元是唯一的， 注2：群中每一个元素 a 的逆元是唯一的，记为a −1。 ： 表示， 注3：交换群中代数运算通常用 + 表示，此时单位 ： 元称为零元，记为0，逆元称为负元， 元称为零元，记为 ，逆元称为负元，记为 −a 。
SL(n, R ) ≤ GL(n, R )
18
1.2
群的性质群的性质-子群
定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
10
a =b
1.1 群的定义-群的例子
集合的元素不一定是数， 例5 集合的元素不一定是数，下面是集合元素为二阶 方阵的例子： 方阵的例子：
1 0 −1 0 1 0 −1 0 , , , 0 1 0 −1 0 −1 0 1
−1
UH
i =1
∞
H1 ⊆ H 2 ⊆ H 3 ⊆ …
i
≤G
22
习题： 习题：
是一个群,证明: 习题 1. 设 G 是一个群,证明: G 中元素 x 是 元素 a 的逆元的充要条件是 的逆元的充要条件是
a ⋅ x = 1.
是一个群, 习题 2. 设 G 是一个群, a,b∈G,则 ∈ ,
(a ⋅ b) −1 = b −1a −1 .
● ●
8
1.1 群的定义-群的例子
整数加群，有理数加群，实数加群，复数加群。 例1 整数加群，有理数加群，实数加群，复数加群。 非零有理数乘法群，非零实数乘法群。 例2 非零有理数乘法群，非零实数乘法群。 例3 ：自然数集合 N＝{1，2，3，．．． ，．．．} ＝ ， ， ，．．． 对于通常的加法封闭且满足结合律，但不存在单 对于通常的加法封闭且满足结合律， 位元和逆元，因此对于加法是半群不是群 。 位元和逆元，
7
1.1 群的定义-群的定义
注4：由于群里结合律是满足的，把元素 的n次连乘 ：由于群里结合律是满足的，把元素a的 次连乘 记为a 交换群也可记为na），称为a的 次幂 ），称为 记为 n （交换群也可记为 ），称为 的n次幂 或称乘方）。 （或称乘方）。 注5：若(G, )只满足结合律，则称 为半群；如果 只满足结合律， 为半群； ： 只满足结合律 则称G为半群 (G, ) 满足结合律且有单位元，则称 为有单位元的 满足结合律且有单位元，则称G为有单位元的 半群。 半群。
{
A ≠ 0}
}
例7
上全体置 n次对称群 Sn： 集合 {1, 2,3,L , n} 换关于置换的合成运算构成的群。 换关于置换的合成运算构成的群。
12
1.1 群的定义-群的例子
是一个非平方数， 例 8 设D是一个非平方数，则集合： 是一个非平方数 则集合：
Z ( D ) = {a + b D | a, b ∈ Z }
17
1.2
群的性质群的性质-子群
是一个群， 的非空子集， 定义6 定义 设 G 是一个群，H是 G的非空子集，如 的运算也构成一个群， 果 H 关于群 G 的运算也构成一个群，那么称 H 子群， 至少有两个子群： 是 G 的子群，记为 H ≤ G 。群G至少有两个子群： 至少有两个子群 G本身；只包含单位元的子集 ，它们称为 的 本身； 本身 只包含单位元的子集{e}，它们称为G的 平凡子群，其他子群为真子群。 平凡子群，其他子群为真子群。 整数加群是有理数加群的子群； 例1.6 整数加群是有理数加群的子群；非零有理数 乘法群是非零实数乘法群的子群； 乘法群是非零实数乘法群的子群； 特殊线性群是一般线性群的子群， 例1.7 特殊线性群是一般线性群的子群，即
15
1.2
群的性质群的性质-元素的阶
定义5 设 G 为一个群， a ∈ G ，如果存在正整 为一个群， 定义 为有限阶元， 数 n，使得 a n = 1 ，则称 a 为有限阶元，否则称 为无限阶元。 为有限阶元时， 为无限阶元。当 a 为有限阶元时，称使得 a n = 1 的阶。 的最小正整数为元素 a 的阶。 的阶， 1）记 | a | 为元素 a 的阶，则
4
1.1 群的定义-代数运算
定义2 是大于1的任意正整数， 定义 设 n 是大于1的任意正整数，剩余类集
Z n 定义为 Z n = {0, 1, 2, L , n − 1}
中定义如下两种运算： 在集合 Z n中定义如下两种运算： 的加法： 模 n 的加法： a ⊕ b = a + b mod n 的乘法： 模 n 的乘法： a ⊗ b = a × b mod n
9
1.1 群的定义-群的例子
例4 当n时素数足够大时（Z n , ⊕) ， 模 ），这个 模 n 的剩余类加法群 ( 大于200位），这个 时素数足够大时（ 时素数足够大时 大于 位 n 的剩余类 问题就远远超过人类的目前计算能力。 问题就远远超过人类的目前计算能力。 乘法群 ( Z nφ , ⊗) ，其中 该问题促进了大素数的研究， 该问题促进了大素数的研究，目前最大的 φ Z 素数是2 = {a a ∈ Z n , ( 超过1200万位 万位)， 素数是 n43112609 -1(超过a, n) = 1} ，对超 超过 万位 万位的素数， 过1000万位的素数，美国的电子基金会奖 万位的素数 φ * 万美元。 为素数时， 。 励10万美元 万美元 当n为素数时，则 Z n = Z n = Z n \{0} 。对已知的 为素数时 * 求整数x， a, b ∈ Z n 求整数 ，使 ：DH密钥交换协议、 该问题被应用于： x 密钥交换协议 密钥交换协议、 该问题被应用于 ElGamal公钥密码算法、DSA数字签名算 公钥密码算法、 公钥密码算法 数字签名算 的问题为离散对数问题。 的问题为离散对数问题。 法等离散对数问题
群的性质-子群的判定 群的性质-
是一个群（ 定理 2 设 G 是一个群（不妨设其中的运算为乘 的非空子集， 法）， H 为 G 的非空子集，则
H ≤ G ⇔ ∀a, b ∈ H , ab ∈ H
例1.8群 G 的任意多个子群的交集仍为 G 的子群。 的子群。 1.8群 的一个子群开链， 例1.9设 {H i }i∈N 为群 G 的一个子群开链，即 1.9设 则H =
19
上次课回顾
定义3 定义 是一个非空集合， 设 G 是一个非空集合， 是 G上的一个代数 运算，如果该运算满足如下三条性质： 运算，如果该运算满足如下三条性质：
（1）结合律： ∀a, b, c ∈ G , ）结合律：
(a b) c = a (b c)
（2）有单位元：∃ 1∈ G, ∀a ∈ G , 1 a = a 1 = a ）有单位元： （3）有逆元：对 ∀a ∈ G, 存在 a ' ∈ G, 使得 ）有逆元：
信息安全数学基础
1
授课内容
代数基础 群 环 域 数论基础 整除与同余 原根与素性检测 组合论 移位寄存器序列
2
第一章
1.1 群的定义 1.2 群的性质
群
1.3 正规子群与商群 1.4 群的同态与同构 1.5 置换群
3
1.1 群的定义-代数运算
定义1 是一个非空集合, 定义1 设 M 是一个非空集合 如果存在一个对 应规则 f , 使得对M中任意两个元素 和b, 在 M 中 使得对 中任意两个元素a 中任意两个元素 都有唯一确定的元素 与它们对应, 确定的元素c与它们对应 都有唯一确定的元素 与它们对应 则称 f 为M上的 上 代数运算（ 一个代数运算 二元运算） 记作c 一个代数运算（二元运算）, 记作 = f(a, b)或简记 或简记 为 c = a · b. 一些基本代数运算： 一些基本代数运算： 上的加法运算； 减法？ （1）自然数集 N 上的加法运算；(减法？) 上的加法、减法与乘法运算； （2）整数集 Z 上的加法、减法与乘法运算； 上的加法、减法和乘法运算； （3）有理数集 Q上的加法、减法和乘法运算； 非零有理数集 上的乘法与除法运算； （4）非零有理数集Q*上的乘法与除法运算； （5）实数域上全体 n阶方阵的集合 R n×n上的矩阵的加 法与乘法运算。 法与乘法运算。